子空间-精选文档
§5子空间的交与和直和
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L ( 1 , 2 , … , r ) W . 2) 设 V 是一个有限维线性空间, W 是 V 的一个 子空间, 则 W 也是有限维的. 设1 , 2 , … , r是 W 的一组基，就有 W = L ( 1 , 2 , … , r ) .
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例5 在线性空间P n中，齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a s1 x1 a s 2 x2
次线性方程组的解空间.
a1n xn 0 , a2 n xn 0 , a sn xn 0
( A B) A B A B
所以A B W1 . 又设k P , 于是
( kA) kA kA
所以kA W1 . 故W1是P nn的子空间.
设A, B W2 , 则A A, B B, 于是
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( A B) A B A B ( A B)
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定理 4 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一 个 m 维子空间, 1 , 2 , … , m 是 W 的一组基 ,那么 这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就是说在V 中必定可以找到 n - m 个向量m +1 , m + 2 , …, n , 使得 1 , 2 , … , n 是 V 的一组基 . 证 对维数差 n - m 作归纳法, 当 n - m = 0时, 定理显然成立，因为 1 , 2 , … , m 已经是 V的基. 现在假设 n - m = k 时定理成立, 我们考虑n - m = k + 1的情形. 既然 1 , 2 , … , m 还不是 V 的基，它又是线
第3-4章 子空间
第3章 子空间、积空间、商空间§3.1 子空间3.1.A 度量子空间设(,)X ρ是度量空间；Y 是X 的子集。
易证 :Y Y Y Y ρ⨯⨯→ 满足度量三公理；称为由X 的度量ρ诱导出来的度量，仍记为ρ。
称(,)Y ρ为(,)X ρ的度量子空间。
例如：1221111{(,,): 1}n n n n S x x x x x +++==∈++= ； 2211{(,,): 1}n n n n D x x x x x ==∈++< ；2211{(,,): 1}n n n n E x x x x x ==∈++≤ ；(0,1)(0,1)(0,1)n =⨯⨯ ；[0,1][0,1][0,1]n =⨯⨯ ；其中n S 是1n + 的度量子空间，后4个是n的度量子空间。
分别记点y 在X ,Y 中的球形邻域为(,)X B y ε,(,)Y B y ε。
则容易证明：(,)(,)Y X B y B y Y εε=⋂。
在此基础上不难得到：命题：设Y 是X 的度量子空间。
则U 是Y 的开集⇔U V Y =⋂，其中V 是X 的开集。
3.1.B 拓扑子空间设Y 是一个集合。
设A 是一个集族，它在Y 上的限制定义为：{: }Y A Y A =⋂∈AA 。
命题：设(,)X T 是拓扑空间；Y 是X 的子集。
则Y T是Y 的一个拓扑。
证明： (1) , , Y X Y X Y Y ∅∈⇒=⋂∅=∅⋂∈T T。
(2) 1111, , : , Y A B A B A A Y B B Y ∈⇒∃∈=⋂=⋂T T ；111111: ()()()Y A B A B A Y B Y A B Y ⇒⋂∈⋂=⋂⋂⋂=⋂⋂∈T T。
(3) , : Y A A A A Y γγγγγ∈∈Γ⇒∃∈=⋂ T T 。
因A γγ∈Γ∈ T ，故 ()()YA A Y A Y γγγγγγ∈Γ∈Γ∈Γ=⋂=⋂∈ T 。
定义：设(,)X T 是拓扑空间；Y 是X 的子集。
空间解析几何的子空间子空间的定义性质与计算
空间解析几何的子空间子空间的定义性质与计算空间解析几何的子空间空间解析几何是数学中的一门分支，研究空间中的点、线、面等几何元素之间的关系。
在空间解析几何中，子空间是一个重要的概念。
本文将介绍子空间的定义、性质以及如何进行计算。
一、子空间的定义子空间是指一个向量空间中的一个子集，且满足向量加法和数乘运算在该子集内封闭的性质。
通常用线性方程组的解空间来表示一个子空间。
对于n维向量空间V，若存在一组向量v1, v2, ..., vk，满足以下条件：1. 向量v1, v2, ..., vk属于向量空间V；2. 对于任意实数c1, c2, ..., ck，向量c1v1 + c2v2 + ... + ckvk也属于向量空间V。
则称这组向量v1, v2, ..., vk张成的子集为向量空间V的一个子空间。
二、子空间的性质1. 子空间中的零向量：子空间中必然包含零向量，即所有元素之和为零的向量。
2. 子空间的封闭性：子空间中的任意两个向量进行加法运算，其结果仍然在子空间内。
3. 子空间的伸缩性：子空间中的任意一个向量进行数乘运算，其结果仍然在子空间内。
4. 子空间的维度：子空间的维度小于等于父空间。
例如在三维空间中，一个平面是一个二维子空间，而直线是一个一维子空间。
三、子空间的计算在空间解析几何中，计算子空间常常涉及到线性方程组的解空间。
下面通过一个例子来说明如何计算子空间。
例：考虑以下线性方程组：2x + y - z = 0x - y + z = 0要求解该线性方程组的解空间，即求出满足该方程组的所有解向量。
首先将方程组写成增广矩阵的形式：[ 2 1 -1 | 0 ][ 1 -1 1 | 0 ]接着，对增广矩阵进行行变换，化简为阶梯形矩阵：[ 1 -1 1 | 0 ][ 0 3 -3 | 0 ]由于阶梯形矩阵的最后一行全为0，所以该线性方程组有一个自由变量，即z可以取任意实数。
令z = t（其中t为任意实数），则该线性方程组的解向量可以表示为：x = 2ty = tz = t因此，该线性方程组的解空间可以表示为向量：[ 2t ][ t ][ t ]其中t为任意实数，这就是该线性方程组的解空间。
子空间
例3 在空间V2里，平行于一条固定直线的一切
向量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里，平
行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别
作成V3的子空间(6.1,例1)。
例4 F n中一切形如
(1,2 ,,n1,0),i F 的向量作成 F n的一个子空间。
例5
F [x]中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连 同零多项式一起作成F [x]的一个子空间。
运算封闭，VA,0 是向量空间 F n 的一个子空间。
（2）可以知道，在β≠0 的时候，
V
不一定是
A,
F的n
子空间。因为对任何 X ,Y VA，, 都有A (X + Y) = AX
+AY =β+β≠β，故
对 VA, 的加法F集W是V的一个子空间，要 且只要对于任意a,b∈F和任意α,β∈W，都有 aα+bβ∈W
1）。这样，V3 中过原点的直线都是 V3 的子空间。 同理，V3 中以过原点的平面π上的点为终点的所有 向量作成 V3 的子空间。这样，过原点的平面都是 V3
的子空间（图6-2-2）。
zl
o x
图6-2-1
z
π
y
o
x
图6-2-2
α+β
z
α
l1
β
y o
y
x
图6-2-3
l1
yβ
α
l2
oγ x
图6-2-4
。
其次，如果 X1, X 2 VA,0 , 即X1, X 2 F n ,
且AX1 0, AX 2 0, 那么 A(X1 X 2 ) AX1 AX 2 0,
所以 X1 X 2 VA,0 ，对于任何 a F, X VA,0,
子空间
应用
数学方面 线性空间
概念 科幻方面
子空间指的是维度小于等于全空间的部分空间。所谓空间，所指为带有一些特定性质的集合，是故子空间可 以算是子集合。
另见：
线性空间亦称向量空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合，P是一个域。若： 1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个 元素α+β，称为α与β的和。 2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k， 都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。 3.加法与纯量乘法满足以下条件： 1) α+β=β+α，对任意α，β∈V. 2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V. 3)存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元. 4)对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α. 5)对P中单位元1，有1α=α(α∈V). 6)对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).
子空间的另外主要用途是拿来减少惯性质量，出现在星际旅行第二代系列—星际旅行：下一代第三季电视系 列剧“Déjà Q”中，用以减轻卫星惯性质量，使其容易被推动以改变轨道高度，避免逐渐下坠最后撞上行星而 造成灾难。
实例
某数域F上的所有n阶矩阵的集合对于通常的矩阵加法与数乘运算，构成数域F上的线性空间。数域F上的所有 n阶对称矩阵的集合在同样运算下也构成数域F上的线性空间。而后者作为集合石前者的子集。我们把后一个线性 空间称为前一个线性空间的子空间。
子空间
数学术语
01 概念
线性子空间——精选推荐
§6-5 线性子空间一、定义设V 是数域P 上的线性空间，W 是V 的非空子集，如果W 对于V 的两种运算也构成数域P 上的线性空间，则称W 是V 的一个线性子空间，简称子空间。
例如：三维几何空间中，考虑一个过原点的平面，其上所有向量对于向量的加法和数乘构成一个二维子空间。
从定义上看判断一个非空子集是否子空间，需要逐一验证线性空间的8条运算法则，工作量太大，下面给出判断非空子集是否子空间的判断定理。
二、判断定理定理2：如果线性空间V 的非空子集W 对于V 的两种运算是封闭的，则W 是V 的一个线性子空间。
分析：所谓封闭是指，当P k W ∈∈,,βα时，一定有W ∈+βα，及W k ∈α 证明：对于线性空间的8条运算法则逐一验证。
①②因为V 是线性空间，一定满足αββα+=+，且()()γβαγβα++=++，而W 是V 的子集，其中元一定是V 的元，于是也满足③因为对数乘封闭，所以当0=k 时，W k ∈=0α④因为对数乘封闭，所以当1-=k 时，W ∈-=-αα1⑤--⑧同①②的证法。
对于子空间同样可引人维数、基及坐标的概念，由于V W ⊂，所以W 中不可能有比V 中更多的线性无关的向量，故：W 的维数≤V 的维数。
三、几种特殊的子空间1、 零子空间：因为V ∈θ ，可证明单独一个零元组成一个子空间，叫做零子空间。
2、 平凡子空间：由于V 本身也是V 的子空间，所以称零子空间和V 本身叫做V 的平凡子空间（或假子空间）。
其它的子空间都叫做非平凡子空间（或真子空间）。
例1：普通三维几何空间中，过原点而在一个平面上的所有向量构成一个二维子空间，过原点而在一条直线上的所有向量构成一个一维子空间。
例2：nP 中，使第一个分量01=a 的向量()n a a ,,,02 构成一个子空间，是1-n 维的。
例3：[]n x P 是n P 的一个子空间。
例4：在n P 中，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00111111n mn m n n x a x a x a x a （*）的全部解向量构成一个子空间，称为（*）的解空间。
子空间
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定理3.1.7 设Y是拓扑空间X的一个子空间， y∈Y．则 （1）如果B是拓扑空间 X的一个基，则 B |Y 是子空间 Y的一个基； （2）如果 y是点y在拓扑空间X中的一个邻 域基，则 y |Y 是点y在子空间Y中的一个邻域基．
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3、嵌入
定义 3.1.4 设 X和 Y是两个拓扑空间，f: X→Y． 映射 f称为一个嵌入，如果它是一个单射，并且是 从X到它的象集f(X)的一个同胚． 如果存在一个嵌入f: X→Y，我们说拓扑空间X 可嵌入拓扑空间Y．
3
n维单位球面:
S n {x ( x1 , x2 ,..., xn 1 ) R n 1 | xi2 1}
n维单位开、闭球体:
i 1
n 1
D n {x ( x1 , x2 ,..., xn ) R n | xi2 1} E n {x ( x1 , x2 ,..., xn ) R n | xi2 1}
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另一方面，设 U＝ V∩Y，其中 V是X中的开集 ． 如果y∈U，则有y∈Y和y∈V．
B X ( y, ) V
有 BY ( y, ) BX ( y, ) Y U
∴U是Y中的一个开集.
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二、拓扑空间子空间
1、定义3.1.2 设A是一个集族，Y是一个集 合．集族{A∩Y|A∈A} 称为集族A在集合Y上的限制，记作A |Y
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三、子空间的性质
1. 子空间的传递性 定理3.1.4 设X，Y，Z都是拓扑空间．如果Y 是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间，则Z是X 的一个子空间． 证明 当Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空 间时，我们有 Z Y X ; 并且若设T 为X的拓扑时，Z的拓扑是 （
3-3 子空间
r 称为向量空间V
的维数，并称V 为 r 维向量空间．
说明： （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它 没有基． V 的基就是向量 （2）若把向量空间V 看作向量组，那末 组的最大无关组, V 的维数就是向量组的秩.显然基是不唯一的。
（3）若向量组 1 , 2 , , r 是向量空间V 的一个基，则 V可表示为
二、向量空间的基与维数
定义2 设 V是向量空间，向量组 1 , 2 ,, r V ,且满足 (1) 1, 2 ,,r 线性无关; (2) V中任一向量 都可由1,2 ,, r 线性表示 : a11 a22 arr . 那末，向量组 1 , 2 , , r 就称为向量空间V 的一个基，
第三章 向量
§3 子空间
一、子空间
定义1 设有数域P，W是n维向量空间Pn的一个非空子集。如果
， W , k P, 有 W W , k W ,
则W叫做Pn的一个子空间。
例1 向量空间Pn是自己的子空间。 单独一个零向量的集合{0}是Pn 的一个子空间。 Pn和{0}叫做Pn的平凡子空间， 其他的子空间称为非平凡子空间。． 例2 向量空间Pn的两个子空间W1,W2的交集W1∩W2是Pn 的子空间。 例3
设a1 , a2 , , as 是n维向量空间P n的向量，集 ) { ki i ki P, i 1, 2, s}是P n的子空间。
L(1 , 2 ,, s )叫做向量组1， 2， ， s的生成子空间。
例5 设有数域P，W={(a,b,0,0)│a,b P}是P4的一个子空间。
向量组1 (1,0,0,0),2 (1,1,0,0)是W的基。 (a b, b). 向量 (a, b,0,0)在这组基下的坐标是：
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n 否也是 F n 的一个字空间？这里 F ,0
证明 （1）首先，
0 0 0 0 F
n
，且A0 = 0，所以，VA,0 。
对于W 中任意两个向量α ，β ，它们的和α +β 是V中
一个向量. 一般说来，α +β 不一定在W 内.如果W中任 意两个向量的和仍在W内，那么就说，W对于V的加 法是封闭的. 同样，如果对于W中任意向量α 和数域F 中任意数a，aα仍在W内，那么就说，W 对于标量与
向量的乘法是封闭的.
定理6.2.1
子空间？ W { A M ( F ) |A | 0 } 是不是 M n (F ) 的子空间？ n
解
U中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量空间
M n (F) 的非空子集。又中 M n (F)的运算是矩阵的加 法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一 个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘 积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U 是 M n (F ) 的 一个子空间。
如同上面一样可以证明，也是V的一个子空间.
作为子集的二个子空间W1与W2 的并集，一般说来 不是子空间，现在考虑V的子集。
i
W W { |1 W ,2 W } 1 2 1 2 1 2
由于0∈W1，0∈W2，所以0=0+0∈W1+W2，因此
W1+W2≠ф。设a, b∈F, α ,β ∈W1+W2, 那么, W1,W2都是子空间,所以 a b W 1 1 1, ,于是 a 间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单 独一个零向量所成的集合{0}显然对于V的加法和标 量与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间， 称为零空间。 一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。 V的非平凡子空间叫做V的真子空间。
例2
是不是 M n (F ) 的 U { A ( a ) M ( F ) | a 0 , i j 时 } ij n ij
这就证明了W1+W2是V的子空间,这个子空间叫做 W1与W2 的和.
例8 在 V 3 中，终点位于过原点的同一条直线l上的所
设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么W 本身也作成F上一个向量空间.
定义1
令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的， 那么就称W是V 的一个子空间. 由定理6.2.1，V的一个子空间也是F上一个向量空间， 并且一定含有V的零向量。
+AY =β+β≠β，故
n 对 V A , 的加法不封闭。 F
定理6.2.2
向量空间V的一个非空子集W是V的一个子空间，要
且只要对于任意a,b∈F和任意α ,β ∈W，都有
aα+bβ∈W
6.2.2子空间的交与和
设W1，W2是向量空间V的二个子空间，那么它们的 交W1∩W2也是V的一个子空间. 一般，设 {Wi }是向量空间V的一组子空间（个数可以 有限，也可以无限）.令 W i 表示这些子空间的交。
6.2 子空间
一、内容分布 6.2.1 子空间的概念 6.2.2子空间的交与和. 二、教学目的 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的 子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念.
三、重点、难点 子空间的判别，子空间的交与和．
6.2.1 子空间的概念
设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空子集.
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因为 , , , W , , W
12 1 11 2 22
a b a ( ) b ( ) 1 2 1 2
( a b ) ( a b ) W W 1 1 2 2 1 2
n , X V , 即 X , X F , 其次，如果 X 1 2 A , 0 1 2
且 AX 0 , AX 0 ,那么 A ( X X ) AX AX 0 , 1 2 1 2 1 2
所以 X ，对于任何 a F ,X V , X V A , 0 1 2 A ,0
n 的两种 。故 对于 有 A ( aX ) a ( AX ), 即 aX V V F A , 0 A ,0
运算封闭， V A , 0 是向量空间 F n 的一个子空间。
n （2）可以知道，在β≠0 的时候， V A 不一定是 的 F , 子空间。因为对任何 X,Y ，都有 A (X + Y) = AX V A ,
例4 n F 中一切形如
n
( , , , , 0 ), F 1 2 n 1 i
的向量作成 F 的一个子空间。
例5
F [x]中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连 同零多项式一起作成F [x]的一个子空间。
例6
闭区间[a,b]上一切可微分函数作成C [a,b]的一个子空间。
例7
( a ),a F 设A m n ij ij
x1 x2 (1) 把满足AX = 0的解X表示为 X ， x n n { X F |AX 0 } 显然 X Fn。并记AX = 0的解集为 V A , 0
证明 V A , 0 是向量空间 F n 的一个子空间。
W { A M ( F ) || A | 0 } 不是 M n (F) 的子空间，因 n
为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但 I ( I ) O W
例3
在空间V2里，平行于一条固定直线的一切 向量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里，平 行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别 作成V3的子空间(6.1,例1)。