把m个球放到n个盒子里,有多少种方法 球盒问题,8种情况
将n和球放在m个箱子中的几种类型
将n 和球放在m 个箱子中的几种类型一共有球是否相同，箱子是否相同，是否允许空箱，共8种情况．1.球同，盒不同，无空箱C n －1m －1使用插板法：n 个球中间有n －1个间隙，现在要分成m 个盒子，而且不能有空箱子，所以只要在n －1个间隙选出m -1个间隙即可． 例1 8个相同的小球放在3个不同的盒子中，且不能为空箱，共有多少种不同的放法？解：挡板法 8个小球排在一排，共有7个空位，只要在7个空位中放置两块挡板，共有C 27=21中不同的放法．2.球同，盒不同，允许空箱C n+m －1m －1我们在第1类情况下继续讨论，我们可以先假设m 个盒子里都放好了1个球，所以说白了就是，现在有个相同的球，要放入m 个不同的箱子，没有空箱．也就是第1种情况例2 8个相同的小球放在3个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？解1：当没有空箱时，由例1可知有21种不同的放法；当只有一个空箱时，空箱有3种选择，相当于将8个小球放在2个箱子中，共有C 17种不同的放法，共有3×7=21种；当两个空箱时，相当于8个小球放在1个箱子中，只有唯一的放法，所以有3×1=3；因此共有21+21+3=45种不同的放法．解2：假设共有11个小球，其中3个已经放在了箱子中，问题转化为11个小球，放在3个箱子中，不能有空箱，共有C 210=45种不同的放法； 解3：将8个小球放在一排，共有9个空位，先在9个空位中插入一个挡板，有9种方法，然后挡板和原来的小球又形成了10个空挡，在插入一个挡板，有10种放法，由于挡板相同，所以共有9×102=45种不同的放法．3.球同，盒同，无空箱相当于将n 分解成m 个数的和例3 8个相同的小球放在3个相同的盒子中，共有多少种不同的放法？解：将8个小球分成3堆，有1-1-6，1-2-5，1-3-4，2-2-4，2-3-3五种不同的放法．例4 8个相同的小球放在3个相同的盒子中，共有多少种不同的放法？解：在上例的基础上，增加了空箱这一情况，增加1-7，2-6，3-5，4-4，0-8这五种情况，所以不同的放法有5+5=10种．5.球不同，盒相同，无空箱将n 个不同的球分成m 堆例5 8个不同的小球放在3个相同的盒子中，每个盒子至少一个，共有多少种不同的放法？解：由例3可知，共有5种不同的组合：当分成1-1-6时，不同的放法有C 68 C 12A 22=28种； 当分成1-2-5时，不同的放法有C 58·C 23=168种；当分成1-3-4时，不同的放法有C 48C 34=280种；当分成2-2-4时，不同的放法有C 28·C 26A 22=210种； 当分成2-3-3时，不同的放法有C 28·C 36A 22=280种；所以不同的放置放法共有28+168+280+210+280=966种．例6 8个不同的小球放在3个相同的盒子中，共有多少种不同的放法？解：本题在上例的基础上多了空盒这一情况；当有且只有一个空盒时，即将8个小球分成两堆，共有1+7，2+6，3+5，4+4几种可能，共有C 18+C 28+C 38+12C 48=127； 当有两个空盒时，只要一种情况；因此不同的放法种数为996+127+1=1094. m n例7 8个不同的小球放在3个不同不同的盒子中，共有多少种不同的放方法？解：第1个小球有3种放法；第2个小球也有3种放法，因此8个小球共有38=651种不同的放法．例8 8个不同的小球放在3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个，共有多少种不同的方法？ 解：本题是在例5的基础上增加“放入盒子”这一步骤，由乘法原理，共有966A 33=5796种．。
球入盒问题分类例析
“球入盒”问题分类例析排列组合问题中经常遇到“球入盒子”类型题目，这类问题的类型和解法如下：一、球相同，盒子相同，且盒子不能空例1. 8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析球入盒问题，可以看成分两步完成，首先是将8个球分成三堆，每堆至少一个•由于这里球和盒子都相同，每三堆放入3个盒子中只有一种情况，所以只要将8个球分成三堆•即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种，故将8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一个，有五种不同的放法•结论n个相同的球放入m个相同的盒子（n>m），不能有空盒时的放法种数等于n分解为m个数的和的种数•二、球相同，盒子相同，且盒子可以空例2. 8个相同的球放入3个相同的盒子中•问有多少种不同的放法解析与上题不同的是分成的三堆中，上题中的每一堆至少有一个球，而这个题中的三堆可以有球数为零的堆，即除了分成上面的五堆外，还可分为1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五种情况，故8个相同的球放入3个相同的盒子中•，有十种不同的放法•结论n个相同的球放入m个相同的盒子（n A m），可以有空盒时的放法种数等于将n分解为m个、（m- 1）个、（m—2）个、…、2个、1个数的和的所有种数之和•三、球相同，盒子不同，且盒子不能空例3. 8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析这是个相同的球放入不同的盒子中，与前面不同的是，这里盒子不同，所以不能再用前面的解法•将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，有C" =7-621种，这样将8个球分成三2堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒子内•故将8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有21种不同的放法•结论n个相同的球放入m个不同的盒子中（n A m），不能有空盒的放法种数等于•四、球相同，盒子不同，且盒子可以空例4. 8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中•问有多少种不同的放法解析与上一题不同的是，这里可以有盒子没放一个•还是利用隔板原理将8个球分为三堆，只不过有的堆的球数为零，即在8个球之间插入两块隔板•首先将8个球排成一排，就有9个空，任取一个空插入一块隔板，有C11种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的10个空中，有C w种，但这两种放法中有重复的，要除以2;最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球1 1 1 210 9放入3号盒子中•故一共有一C9 C10 C10------------ 45种•2 2或者，将8个球分成三堆（包括没有0数堆和有0数堆），也就是在8个球的9个空隙中取两个插入隔板或取一个插入两块隔板，即C9 Cg 9 36 45种•例3也可利用上面的分法来解，8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•先放一个到每个盒子中，只有一种放法•然后将剩下的5个球排成一排，插入两块隔板，2 2 种.结论n个相同的球放入m个不同的盒子中（n A m），可以有空盒的放法种数等于Cr?；.五、球不同，盒子相同，且盒子不能空例5. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析 由于盒子相同，所以只要对8个不同的球分成三堆就行了， 因为放入盒子只有一种情况•而8个球分成（注意，分组有几组个数相同即几组均分就要除以几的阶乘）•故一共有 C 1C 1C 6C 2C 2C 4C 2C 3C 3C 8C7C6.12 5.13 4 c8 c6 c4 , c8 C6C3+ C 8C 7C 5 +C 8C 7C 4 ++ —2 2结论 n 个不同的球放入m 个相同的盒子中（ n 》m ），不能有空盒的放法种数等于n 个不同的球分成m 堆的种数•六、球不同，盒子相同，且盒子可以空例6. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法 解析 只比上一题多了两种情况，一是有一堆为0的，即分成两堆，1-7、2-6、3-5、4-4四种情况，有1c 8c ；c f c f -Cs127 ;二是有两堆为0的，即只分成一堆，一种情况•所以一共有966+127+仁10942种.结论 n 个不同的球放入m 个相同的盒子中（n > m ）,可以有空盒的放法种数等于将n 个不同的球分成m 堆、 （m—1）堆、（m — 2）堆、…、2堆、1堆的所有种数之和•七、球不同，盒子不同，且盒子不能空例7. 8个不同的球放入标号为 1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析 这个问题就等价于“ 8本不同的书分给3个同学，每人至少有一本，有多少种分法” 就是在例5先分堆的基础上，再加一步，分到三个不同的盒子中•即966 A 33=5796种•结论 n 个不同的球放入m 个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于n 个不同的球分成m 堆的种数乘以m! •例8将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒子内放一个球，恰好 3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）•A 120B 240C 360D 720解析 先在10个不同的球中任取 7个分别放到对应标号的盒子中，有 Cw 种选法；再将剩下的三个球分别放入剩下的三个盒子中，每个盒子放一个且标号不能相同，有2种放法•故满足题意的放法有 2C 170 =240种，选B.八、球不同，盒子不同，且盒子可以空例9. 8个不同的球放入标号为 1、2、3的三个盒子中，问有多少种不同的放法 解析 包括分三堆的5796种，还有分两堆的 127 A 33762，还有只分一堆的3种情况，所以一共有5796+762+3=6561 种.三堆，各堆球数依次为 1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3 五种.对情况 1-1-6 有c 8c ；c种分法, 对情况1-2-5有C ；C ；C ；种分法，对情况1-3-4有C 8C ；C ：种分法，对情况2-2-4有CsCsC种分法，对情况2-3-3=966 种.它也等价于“ 8封信投到3个邮箱里”，应该有38=6561种•结论n个不同的球放入m个不同的盒子中（n》m），可以有空盒的放法种数等于m n种.。
排列组合n个球放入m个盒子m问题总结
排列组合n个球放⼊m个盒⼦m问题总结求，盒⼦都可以分成是否不能区分，和能区分，还能分成是否能有空箱⼦，所以⼀共是8种情况，我们现在来⼀⼀讨论。
1.球同，盒不同，⽆空箱C(n-1,m-1), n>=m0, n<m使⽤插板法：n个球中间有n-1个间隙，现在要分成m个盒⼦，⽽且不能有空箱⼦，所以只要在n-1个间隙选出m-1个间隙即可2.球同，盒不同，允许空箱C(n+m-1,m-1)我们在第1类情况下继续讨论，我们可以先假设m个盒⼦⾥都放好了1个球，所以说⽩了就是，现在有m+n个相同的球，要放⼊m个不同的箱⼦，没有空箱。
也就是第1种情况3.球不同，盒相同，⽆空箱第⼆类斯特林数dp[n][m]dp[n][m]=m*dp[n-1][m]+dp[n-1][m-1],1<=m<ndp[k][k]=1,k>=0dp[k][0]=0,k>=10,n<m这种情况就是第⼆类斯特林数，我们来理解⼀下这个转移⽅程。
对于第n个球，如果前⾯的n-1个球已经放在了m个箱⼦⾥，那么现在第n个球放在哪个箱⼦都是可以的，所以m*dp[n-1][m];如果前n-1个球已经放在了m-1个箱⼦⾥，那么现在第n个球必须要新开⼀个箱⼦来存放，所以dp[n-1][m-1]其他的都没法转移过来4.球不同，盒相同，允许空箱sigma dp[n][i],0<=i<=m,dp[n][m]为情况3的第⼆类斯特林数这种情况就是在第3种情况的前提下，去枚举使⽤的箱⼦的个数5.球不同，盒不同，⽆空箱dp[n][m]*fact[m],dp[n][m]为情况3的第⼆类斯特林数,fact[m]为m的阶乘因为球是不同的，所以dp[n][m]得到的盒⼦相同的情况，只要再给盒⼦定义顺序，就等于现在的答案了6.球不同，盒不同，允许空箱power(m,n) 表⽰m的n次⽅每个球都有m种选择，所以就等于m^n7.球同，盒同，允许空箱dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m], n>=mdp[n][m]=dp[n][m-1], n<m边界dp[k][1]=1,dp[1][k]=1,dp[0][k]=1现在有n个球，和m个箱⼦，我可以选择在所有箱⼦⾥⾯都放上1个球，也可以不选择这个操作。
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
把m个球放到n个盒子里,有多少种方法 球盒问题,8种情况
球盒问题一、球相同，盒子相同，且盒子不能空例1．8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法？解析 球入盒问题，可以看成分两步完成，首先是将8个球分成三堆，每堆至少一个. 由于这里球和盒子都相同，每三堆放入3个盒子中只有一种情况，所以只要将8个球分成三堆. 即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种，故将8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一个， 有五种不同的放法.结论 ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n ≥m ），不能有空盒时的放法种数等于ｎ分解为ｍ个数的和的种数.二、球相同，盒子相同，且盒子可以空例2．8个相同的球放入3个相同的盒子中. 问有多少种不同的放法？解析 与上题不同的是分成的三堆中，上题中的每一堆至少有一个球，而这个题中的三堆可以有球数为零的堆，即除了分成上面的五堆外，还可分为1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五种情况，故8个相同的球放入3个相同的盒子中.，有十种不同的放法.结论 ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n ≥m ），可以有空盒时的放法种数等于将ｎ分解为ｍ个、(ｍ－1)个、(ｍ－2)个、…、2个、1个数的和的所有种数之和.三、球相同，盒子不同，且盒子不能空例3．8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法？（隔板法）解析 这是个相同的球放入不同的盒子中，与前面不同的是，这里盒子不同，所以不能再用前面的解法. 将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，有27C =21267=⨯种，这样将8个球分成三堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒子内. 故将8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有21种不同的放法.结论 ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n ≥m ），不能有空盒的放法数11--m n C .四、球相同，盒子不同，且盒子可以空例4．8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中. 问有多少种不同的放法？解析 与上一题不同的是，这里可以有盒子没放一个. 还是利用隔板原理将8个球分为三堆，只不过有的堆的球数为零，即在8个球之间插入两块隔板. 首先将8个球排成一排，就有9个空，任取一个空插入一块隔板，有19C 种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的10个空中，有110C 种，但这两种放法中有重复的，要除以2；最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球放入3号盒子中. 故一共有2119C 110C 452910210=⨯==C 种. 或者，将8个球分成三堆（包括没有0数堆和有0数堆），也就是在8个球的9个空隙中取两个插入隔板或取一个插入两块隔板，即453692919=+=+C C 种. 例3也可利用上面的分法来解，8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 先放一个到每个盒子中，只有一种放法. 然后将剩下的5个球排成一排，插入两块隔板，有2126721271716=⨯==C C C 种. 结论 ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n ≥m ），可以有空盒的放法数11--+m m n C .五、球不同，盒子相同，且盒子不能空例5．8个不同的球放入三个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法？ 解析 由于盒子相同，所以只要对8个不同的球分成三堆就行了，因为放入盒子只有一种情况. 而8个球分成三堆，各堆球数依次为1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种. 对情况1-1-6有2661718C C C 种分法，对情况1-2-5有552718C C C 种分法，对情况1-3-4有443718C C C 种分法，对情况2-2-4有2442628C C C 种分法，对情况2-3-3有2333628C C C （注意，分组有几组个数相同即几组均分就要除以几的阶乘）.故一共有2661718C C C +552718C C C +443718C C C +2442628C C C +2333628C C C =966种. 结论 ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n ≥m ），不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数.六、球不同，盒子相同，且盒子可以空例6．8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法？解析 只比上一题多了两种情况，一是有一堆为0的，即分成两堆，1-7、2-6、3-5、4-4四种情况，有1272148553866287718=+++C C C C C C C ；二是有两堆为0的，即只分成一堆，一种情况. 所以一共有966+127+1=1094种.结论 ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n ≥m ），可以有空盒的放法种数等于将ｎ个不同的球分成ｍ堆、(ｍ－1)堆、(ｍ－2)堆、…、2堆、1堆的所有种数之和.七、球不同，盒子不同，且盒子不能空例7．8个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法？解析 这个问题就等价于“8本不同的书分给3个同学，每人至少有一本，有多少种分法？” 就是在例5先分堆的基础上，再加一步，分到三个不同的盒子中. 即96633A =5796种.结论 ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数乘以ｍ！.八、球不同，盒子不同，且盒子可以空例8．8个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，问有多少种不同的放法？解析 包括分三堆的5796种，还有分两堆的12776233A ，还有只分一堆的3种情况，所以一共有5796+762+3=6561种.结论 ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中（n ≥m ），可以有空盒的放法种数等于ｍｎ种.。
关于M个球放N个盒子的分析
关于M个球分到N个盒子的分析前几天有考生问过其中几个，楚老师总结了一下，这类题型总共有八类，太简单的例子很多考生说不具有代表性，所以我们拿出一个相对复杂的情况M=50、N=3来逐一分析。
我们先从简单的进行分析：①50个不同的球分到3个不同的盒子，有多少种方法？楚香凝解析：这时候是不同元素分到不同盒子里，相当于每个球都有3种选择，则总情况数=350种；②50个相同的球分到3个不同的盒子，有多少种方法？楚香凝解析：插板法的三个条件：相同元素分到不同盒子、每个盒子至少一个这时候满足了前两个条件，我们可以这样想，先从3个盒子中各借一个球，总共变成了53个球，因为借了需要还回去，所以最后每个盒子至少要有一个球，这样就转化为----------53个相同的球分到3个不同的盒子，每个盒子至少一个，有多少种方法？利用插板法，C（52 2）=1326种。
③50个相同的球分到3个相同的盒子，有多少种方法？楚香凝解析：解法一：为了防止重复，我们分组时统一按照增序进行计数，这样就不会出现类似于1、2、47和2、1、47这样的重复情况。
第一个盒子为0个球，此时另外两个盒子共有50个球，组合方式有0+50、1+49…25+25，所以共26种；第一个盒子为1个球，此时另外两个盒子共有49个球，组合方式有1+48、2+47…24+25，所以共24种；第一个盒子为2个球，此时另外两个盒子共有48个球，组合方式有2+46、3+45…24+24，所以共23种；第一个盒子为3个球，此时另外两个盒子共有47个球，组合方式有3+44、4+43…23+24，所以共21种；第一个盒子为4个球，此时另外两个盒子共有46个球，组合方式有4+43、5+42…23+23，所以共20种；···至此我们可以看到，当第一个盒子为奇数时，情况数分别为24、21、18…呈等差数列；当第一个盒子为偶数时，情况数分别为26、23、20…也呈等差数列；我们来观察最后几种情况，第一个盒子里为15个球，此时另外两个盒子共有35个球，组合方式有15+20、16+19、17+18三种；第一个盒子里为16个球，此时另外两个盒子共有34个球，组合方式有16+18、17+17两种；第一个盒子里为17个球，此时另外两个盒子共有33个球，组合方式有17+16，不符合增序，所以到此为止。
高中数学排列组合问题的几种基本方法
• 练习： 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种 数． （1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； （8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人； （9）分为甲、乙、丙三组，每组4人； （10）分为三组，每组4人．
2015/10/4
解: 如图所示
4 7 A4 A7
→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → → 1 ① 2 ② ③ 3 4 5 ④ 6 7
8
4. 隔板法： n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例4. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个 名额,则不同的分配方案共有___种. 解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里, 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 3 将16个小球串成一串，截为4段有 C15 455 种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有455种 .
例6. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直 线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标 原点的直线有_________条. 解：所有这样的直线共有
A 210 条， 1 2 其中不过原点的直线有 A6 A6 180 条，
3 7
15
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
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球盒问题
一、球相同，盒子相同，且盒子不能空
例1．8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法？
解析 球入盒问题，可以看成分两步完成，首先是将8个球分成三堆，每堆至少一个. 由于这里球和盒子都相同，每三堆放入3个盒子中只有一种情况，所以只要将8个球分成三堆. 即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种，故将8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一个， 有五种不同的放法.
结论 ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n ≥m ），不能有空盒时的放法种数等于ｎ分解为ｍ个数的和的种数.
二、球相同，盒子相同，且盒子可以空
例2．8个相同的球放入3个相同的盒子中. 问有多少种不同的放法？
解析 与上题不同的是分成的三堆中，上题中的每一堆至少有一个球，而这个题中的三堆可以有球数为零的堆，即除了分成上面的五堆外，还可分为1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五种情况，故8个相同的球放入3个相同的盒子中.，有十种不同的放法.
结论 ｎ个相同的球放入ｍ个相同的盒子（n ≥m ），可以有空盒时的放法种数等于将ｎ分解为ｍ个、(ｍ－1)个、(ｍ－2)个、…、2个、1个数的和的所有种数之和.
三、球相同，盒子不同，且盒子不能空
例3．8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法？（隔板法）
解析 这是个相同的球放入不同的盒子中，与前面不同的是，这里盒子不同，所以不能再用前面的解法. 将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，有27C =212
67=⨯种，这样将8个球分成三堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒
子内. 故将8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有21种不同的放法.
结论 ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n ≥m ），不能有空盒的放法数11--m n C .
四、球相同，盒子不同，且盒子可以空
例4．8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中. 问有多少种不同的放法？
解析 与上一题不同的是，这里可以有盒子没放一个. 还是利用隔板原理将8个球分为三堆，只不过有的堆的球数为零，即在8个球之间插入两块隔板. 首先将8个球排成一排，就有9个空，任
取一个空插入一块隔板，有19C 种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的10个
空中，有110C 种，但这两种放法中有重复的，要除以2；最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，
两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球放入3号盒子中. 故一共有21
19C 110C 452
910210=⨯==C 种. 或者，将8个球分成三堆（包括没有0数堆和有0数堆），也就是在8个球的9个空隙中取两个
插入隔板或取一个插入两块隔板，即453692919
=+=+C C 种. 例3也可利用上面的分法来解，8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 先放一个到每个盒子中，只有一种放法. 然后将剩下的5个球排成一排，插入两块隔板，有212
6721271716=⨯==C C C 种. 结论 ｎ个相同的球放入ｍ个不同的盒子中（n ≥m ），可以有空盒的放法数11--+m m n C .
五、球不同，盒子相同，且盒子不能空
例5．8个不同的球放入三个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法？ 解析 由于盒子相同，所以只要对8个不同的球分成三堆就行了，因为放入盒子只有一种情况. 而8个球分成三堆，各堆球数依次为1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种. 对情况1-1-6有
2
661718C C C 种分法，对情况1-2-5有552718C C C 种分法，对情况1-3-4有443718C C C 种分法，对情况2-2-4有2442628C C C 种分法，对情况2-3-3有2
333628C C C （注意，分组有几组个数相同即几组均分就要除以几的阶乘）.故一共有2
661718C C C +552718C C C +443718C C C +2442628C C C +2333628C C C =966种. 结论 ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n ≥m ），不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数.
六、球不同，盒子相同，且盒子可以空
例6．8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法？
解析 只比上一题多了两种情况，一是有一堆为0的，即分成两堆，1-7、2-6、3-5、4-4四种情况，有1272
148553866287718=+++C C C C C C C ；二是有两堆为0的，即只分成一堆，一种情况. 所以一共有966+127+1=1094种.
结论 ｎ个不同的球放入ｍ个相同的盒子中（n ≥m ），可以有空盒的放法种数等于将ｎ个不同的球分成ｍ堆、(ｍ－1)堆、(ｍ－2)堆、…、2堆、1堆的所有种数之和.
七、球不同，盒子不同，且盒子不能空
例7．8个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个. 问有多少种不同的放法？
解析 这个问题就等价于“8本不同的书分给3个同学，每人至少有一本，有多少种分法？” 就是在例5先分堆的基础上，再加一步，分到三个不同的盒子中. 即96633A =5796种.
结论 ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于ｎ个不同的球分成ｍ堆的种数乘以ｍ！.
八、球不同，盒子不同，且盒子可以空
例8．8个不同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，问有多少种不同的放法？
解析 包括分三堆的5796种，还有分两堆的12776233
A ，还有只分一堆的3种情况，所以一共有5796+762+3=6561种.
结论 ｎ个不同的球放入ｍ个不同的盒子中（n ≥m ），可以有空盒的放法种数等于ｍｎ种.。