第二章测验题(微积分)
微积分第二章详细答案
第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 l i m n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 l i m n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。
即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 l i m 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)nn n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n nnn n n nn++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n→∞=，2lim0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n nn n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231nn n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim0!nn n →∞=5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。
微积分 II 考试试卷
(A) tan x2 (B) 2x sec x2 (C) tan b2 tan a2 (D) 03. 下列叙述正确的是( )．(A) 若f (x, y) 在(x , y ) 连续，则函数在(x , y ) 必偏导数存在；0 0 0 0(B) 若f (x, y) 在(x , y ) 偏导数存在，则函数在(x , y ) 必连续；0 0 0 0(C) 若f (x, y) 在(x , y ) 偏导数存在，则函数在(x , y ) 必可微；0 0 0 0(D) 若f (x, y) 在(x , y ) 可微，则函数在(x , y ) 必连续.0 0 0 04. 设二重积分ϕϕ f (x, y)dxdy ，其中D 由y 轴, y = 1及y = x 围成的区域，D则下列对积分区域的表示正确的是( ) .(A) ：D = {(x, y) | 0 < x < 1,0 < y < 1} (B)：D = {(x, y) | 0 < x < 1, x < y < 1}(C) D = {(x, y) | 0 < y < 1,0 < x < 1} (D) D = {(x, y) | 0 < y < 1, y < x < 1}5. unn=1(A) u +10 (B) u 2 (C) 1(D) un=1 n=1 n=1 n n=1.A(1)n nn +1n=1 B(1)n 1nn=11. 下列广义积分发散的是( ) .2.d ϕ b tan x 2 dx = ( ) .dx a ϕ 1 1 dx 0 x 2(A)ϕ + 1 dx (B) ϕ + x dx ϕ 1 1 dx1 x3 0 0 3 xn n u +10 n 一．选择题C xw(- 1)n1n nn =17.x (x - 1)n2n nDxwn =1(-1n 3n[- 1,3) (- 1,3](- 1,3)[- 1,3]( ).(y ,+ xy = 0 y ,+ xy 2 = 0( y , + xy = 0 ((y ,)2 + xy = 09.y , - 4y ,+ 3y = 0 .y = c e x + c e 3xy = e x + e 3x 1 2y = c e xy = e x + c e 3x1 2二、填空题 ．2. j1x sin 2 xdx = j xsin t dt 3.lim 02t = x )0xj 2dy jy 2f (x, y)dx 交换积分次序后的二重积分为5. 0 y 27. j11dx =1+ x1.djx 2sin tdt =dx x．4. j 4e x dx =．．．.-1 1+ x 4dz8. u = x y , x = e t , y = 2t ，则= ．dt9. xdx + y2dy = 010. ()n .n=12n .11n!n=112. y = 2xy三、计算题ϕ 1 ln xdx .1. 求积分ϕ e 3 1 dx .2. 计算反常积分x(1 + ln x) 013. e xy 2z+ e z = 0,4. f (x, y) = x2 + 5y2 6x +10 y +1.ϕϕe x2 + y2 dxdy ，其中D 是由x2 + y2 4 所围成区域.5. 求二重积分D6. ϕϕ (x + 6y)dxdy D y = 5x, y = x, x = 1 .D5. xy2dy = (x3 + y3 )dx8.. 微分方程y 4y+ 3y = e2x 的通解四、应用题.10 y = x2 , x = yy2 = x x y 2 = 0.n +3 .2nn =1(1)n 1n 2 +1五、 1n cos n =1。
微积分第二章习题参考答案
f ( x ) f ( x ), f ( x ) f ( x ),
即f ( x )为奇函数;
§2.3隐函数的导数(23-24)
一.1. ey sec 2 ( r ) ; 2. csc 2 ( r ) ; 2 2 y 1 sec ( r )
x 0
1 2 x
1.
二.解1.(1).
y ln( x 1 x 2 ) ln x ,
1 x
1 y (1 ) x x 1 x2 1 x2 1 . x 2 1 x 2 x(1 x 2 )
(2) 1 y 3sec (ln x ) sec(ln x )tan(ln x ) x 3 sec 3 (ln x )tan(ln x ). x
x 1 dy k 2e ,当 0时, , dx 0 y0
切线方程为 y 2e( x 1), 1 法线方程为 y ( x 1). 2e
四.
解 : s ( t ) x ( t ) 9,
2 2
ds dx s( t ) x ( t ) 0, dt dt ds 已知 160, s 5, x 4, dt dx 200, v 200 120 80. dt
(sin 2 x ) f (cos 2 x )]sin 2 x . [f 1 (3) y f ( x ); 2 1 f ( x)
(4) y f (sin x )cos x cos[ f ( x )] f ( x ).
4.解.(一) lim f ( x ) lim
1 1 2( 1)2 2( 1)2 y , y 2 2 , 3 3 ( t 2) ( t 1) ( t 2) ( t 1)
微积分线性代数练习题
不定积分和定积分一、单项选择题1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 3）的曲线为（ ）． A ．42+=x y B ．32+=x y C ．22+=x y D ．12+=x y 答案：C2. 下列函数中，（ ）是2sin x x 的原函数．A ．-2cos 2x xB ．2cos 2x xC ．2cos 21x -D ．2cos 21x x答案：C3．下列等式不成立的是（ ）．A ．3ln )d(3d 3x xx = B ．)d(cos d sin x x x =-C ．x x xd d 21= D ．)1d(d ln x x x = 选择D 4．若c x x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（ ）.A . 2ex -- B . 2e 21x- C . 2e 41x- D . 2e 41x--答案：D5. =-⎰)d(e x x （ ）．A ．c x x +-eB ．c x x x ++--e eC ．c x x +--eD ．c x x x +---e e答案：B 6. 若c x x f xx+-=⎰11e d e )(，则f (x ) =（ ）．A ．x 1 B ．-x 1 C ．21x D ．-21x 答案：C7. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )．A ．)(d )(x F x x f x a=⎰ B ．)()(d )(a F x F x x f xa-=⎰C ．)()(d )(a f b f x x F b a-=⎰ D ．)()(d )(a F b F x x f ba-='⎰答案：B8．下列定积分中积分值为0的是（ ）．A ．x x x d 2e e 11⎰--- B ．x x x d 2ee 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππD ．x x x d )sin (2⎰-+ππ答案：A9．下列无穷积分中收敛的是（ ）．A ．⎰∞+0d sin x xB ．⎰∞+0d e x xC ．⎰∞+12d 1x xD ．⎰∞+13d 1x x答案：C10．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．A ．y y yx '=+ln 2B ．x xy y y e 2=+'C ．y y x y e ='+''D ．x y y x y x ln e sin ='-'' 答案：D 11．微分方程0)()(432=+'''+'xy y y y 的阶是（ ）.A . 4B . 3C . 2D . 1 答案：C 二、填空题1．=⎰-x x d e d 2．答案：x x d e 2-2．__________________d )cos (='⎰x x 。
微积分第1、2章测验题
的垂线,求此平面的方程. 的垂线,求此平面的方程. 所求平面方程为 x + 2y +1= 0
x 具有二阶连续偏 2．已知函数 z = f x, ,其中 f 具有二阶连续偏 y 2 2 ∂2 z ∂2 f 2 ∂2 f 1 ∂2 f ∂z ∂z + 2⋅ 2 微商. 微商.求 2 , . 2= 2+ ⋅ ∂x ∂x∂y ∂x ∂u y ∂u∂v y ∂v
(12分 七、 分) 已知函数f(x)在[0, 2a]上连续,且f (0) = f (2a) , 在 上连续, 已知函数 上连续 求证在[0, 内至少有一点 内至少有一点c， 求证在 a]内至少有一点 ，使得 f (c) = f (c + a).
一、单项选择题 (每小题 分) 每小题4分 每小题 1．下列说法正确的是 D → → → → → 是单位向量； A i + j + k 是单位向量； B i × i = 0； ； → → → → → → C 如果向量 a 垂直向量 b ,则 a + b = a − b； ； 垂直. D 平面 x+ y+z=0与 x+ y − 2z+3=0 垂直 与 2．函数 y = C1ex + C2e−2x + xex 满足的一个 微分方程是 D A y" − y' − 2y = 3xex； B y" − y' − 2y = 3ex； C y" + y' − 2y = 3xex； D y" + y' − 2y = 3ex.
x→+∞ x→+∞
《微积分》《高等数学》第二章测试题
《微积分》第二章测试题1。
【导数的概念】已知()23f '=，求()()22lim h f h f h h→+--解()()()()()()()00222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h h h →→+--+---⎛⎫'=+== ⎪-⎝⎭2. 设函数cos ln xy x e a -=++，求dydx解sin xdy x e dx-=-- 3.设函数y e=，求dy dx解dydx111e e x =⋅⋅=+4. 设函数2sin cos 2y x x =，求dy dx ，0x dy dx=解()22224sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=-()()3222sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx=-=-=-，0x dy dx ==5. 【函数的微分,记得加dx 】设函数2sin 2xy x =，求dy 解24332cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x x x x x x x dy dx dx x x x---==∴= 6。
【高阶导数】设函数11y x =-，求n n d y dx解()()()()()()()231234123!11,21,3!1,,1n nn n dyd y d y d y n x x x x dxdx dxdx x ----+'=-=--=-=--=-- 7.【隐函数求导】 设函数()y y x =由方程2sin 20xy y -=确定,求dydx解 等式两边同时对x 求导222sin 20,y xyy y y ''+-=则()2222sin 222221dy y y y y dx y xy xy xy x y '====---8.求曲线y =在点()4,2处的切线方程解41142x y y x=''===切线方程为114y x =+ 9。
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时,x x sin tan -是x 的阶无穷小.4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。
5、=-∞→x e xx arctan lim .6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________. 13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数。
(Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C))]()()[(x h x g x f +；(D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； (C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分习题答案第二章极限与连续
练习2.11.写出下列数列的前五项.()12312+-=n n a n (n=1,2,3,…) ()23)1(1n nn a --= (n =1,2,3, …)()3n n na )11(+= n=1,2,3, …)()4)!12()1(121--=--n x n n n a (n=1,2,3, …)，其中x 是固定的实数.解：()1由2312+-=n n a n (n=1,2,3, …)得数列的前五项为 51，83，115，147，179. ()2由3)1(1nnn a --= (n=1,2,3, …)得数列的前五项为 ２，０，332，０，352. ()3由n n na )11(+= (n=1,2,3, …)得数列的前五项为２，2)23(，3)34(，4)45(，5)56(.()4由)!12()1(121--=--n x n n n a (n=1,2,3, …) 得数列的前五项为!1x，!33x -，!55x ，!77x -，!99x .2.做出下面各数列在数轴上的点，并说出哪些数列有极限？哪些没有极限？()1n n a 21=()2n nna )1(-= ()3n n n a 1)1(-= ()41+=n n a n ()5n n a n πsin 1= ()62sin πn n a n =. 解：作图略.()1有极限为0 ()2没有极限 ()3有极限为0 ()4有极限为1 ()5有极限为0 ()6没有极限.3*（略） 4*（略） 5*（略）6.设()⎩⎨⎧≥-<=1,131,x x x x x f ，作()x f 的图形，并讨论当1→x 时()x f 的左右极限，问)(lim 1x f x → 是否存在？ 解：图略.因为 2)(lim 1=+→x f x ，1)(lim 1=-→x f x)(lim )(lim 11x f x f x x -+→→≠所以)(lim 1x f x →不存在.7.求下列函数在指定点的极限.()1xx x f ||)(=在0=x 处 ()2⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在0=x ，1=x ，2=x 处. 解：()1⎩⎨⎧-==11||)(x x x f Θ00<>x x 11lim )(lim 00==++→→x x x f ，11lim )(lim 0-=-=--→→x x x f所以xx x f ||)(=在0=x 处极限不存在. ()24)4(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ，4)4(lim )(lim 0=+=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在0=x 处极限为4.1)12(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ，5)4(lim )(lim 11=+=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在1=x 处极限不存在.3)12(lim )(lim 22=-=++→→x x f x x ，3)12(lim )(lim 22=-=--→→x x f x x所以⎩⎨⎧-+=124)(x x x f 11≥<x x 在2=x 处极限为3.8.下列函数在什么情况下是无穷大量，什么情况下是无穷小量？()111-=x y ()2x y ln = ()32x y = ()4x e y =.解：()1当1→x 时11-=x y 是无穷大量，当∞→x 时11-=x y 是无穷小量.()2当+∞→x 时x y ln =是无穷大量，当+→0x 时x y ln =是无穷大量，当1→x 时x y ln =是无穷小量.()3当∞→x 时2x y =是无穷大量，当0→x 时2x y =是无穷小量.()4当+∞→x 时x e y =是无穷大量，当-∞→x 时x e y =是无穷小量.9.下列各题中哪些是无穷小，哪些是无穷大？()1221,0xx x +→ ()212,0-→-x x()3x x lg ,0+→ ()4θθθsec 1sin ,0+→.解：()1、()3是无穷大，()2、()4是无穷小. 10.下列说法是否正确？()1无穷大量是极限为无穷大的变量()2无穷大量是无界变量，无界变量也是无穷大量 ()3无极限的数列一定无界.解：()1不正确。
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上海第二工业大学
2009-2010学年第一学期 微积分（第二章）测验 试卷
姓名： 学号： 班级： 成绩：
一、填空题（每题3分，共30分）
1．设421()tan f x x
=,则()__________f x '=； 2
．设y =
，则________________x dy =；
3．若2,0()2,0
x ae x f x bx x ⎧<=⎨-≥⎩,在0x =处可导,则常数_______,_________a b ==；
4．设ln x y x =，则2ln 3________x x y xy x
'''++=； 5．27()sin 2x f x x =＋，则(28)()__________f π=； 6．若0()f x '存在，则0000
()()lim _______x x xf x x f x x x →-=-； 7．设(cos )sin[()]y f x f x =+，其中f 可微，则
______________dy dx =； 8．设函数()f u 可导，函数2()y f x =在点1x =-处取得增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性
主部为0.1，则(1)_____________f '=；
9．一个正方体的棱长10x m =，如果棱长增加0.1m ，则正方体体积的增加量(要求用微分近似计算)的近似值为3
__________m ；
10．曲线x y e =在(0,1)处的切线方程为______________。
二、选择题（每题3分，共21分）
1．设()f x 可导，常数0a ≠，则lim [()()]n a n f x f x n
→∞--（ ） （A ）a ； （B ）a -； （C ）()af x '； （D ）()a f x '-；
2．下列结论不正确的是（ ）
（A ）若()f x 在0x 处可导，则()f x 在0x 处可微；
（B ）()f x 在0x 处可微是()f x 在0x 处连续的充分条件；
（C ）()f x 在0x 处的左导数0()f x -'及右导数0()f x +'都存在是()f x 在0x 处可微的充分必要条件；
（D ）()f x 在0x 处连续是()f x 在0x 处可导的必要条件。
30)a =>在点(,)a a 处的切线方程是（ ）
（A ）20x y a --=； （B ）20x y a +-=； （C ）0x y --=； （D ）0x y +-=。
4．设()f x 在点1x =处具有连续导数，且(1)1f '=，则0lim x d f dx
+→为（ ） （A ）1-； （B ）12
-； （C ）2； （D ）1。
5．设()f x 在0x =的邻域内连续，且
08x →=，则(0)f '=（ ） （A ）2； （B ）1-； （C ）8； （D ）1。
6．若函数()f x 可导，且2
()sin [sin(1)],(0)4f x x f '=+=，则()f x 的反函数()x g y =当自变量y 取值为4时的导数值为（ ）
（A ）21sin (sin 4)； （B ）21sin (sin 5)； （C ）0； （D ）21sin (sin1)。
7．已知()f x 在0x =处可导，且1(0)3f '=
，又对任意x ，有(3)3()f x f x +=，则(3)f '=（ ） （A ）3； （B ）13
； （C ）1； （D ）0。
三、计算题（每题5分，共35分）
1.讨论ln ,1()1,1x x f x x x ≥⎧=⎨
-<⎩在定义域内的可导性，求()f x '。
2.设22
sin 2cos ln 2y x x =++，求y '。
3.设(0,1)a a x
a x a y x a a a a =++>≠，求y '。
4.设1log 10()(0,1)x
x y x x x
=+>≠，求y '。
5.函数()y y x =是由方程1cos()x y e e xy -+=所确定的隐函数，求0x dy
dx =。
6.
设参数方程ln arctan x y t
⎧⎪=⎨=⎪⎩求212,t dy d y dx dx =。
7.求由方程(cos )(sin )x y y x =所确定的函数()y y x =的导数dy dx。
四、证明题（注意：任选下列其中一题）（本题7分）
1.设()f x 在0x =处可导，且(0)0,(0)0f f '=≠，又()F x 在0x =处可导，证明(())F f x 在0x =处也可导，并求出0x =处的导数。
2.函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义，对任意x 都有(1)2()f x f x +=，且当01x ≤≤时2()(1)f x x x =-，试判断在0x =处函数()f x 是否可导？
五、设函数()f x 在0x =处可导，且()0f a ≠，求1()lim ()x x f a x f a →∞⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
（本题7分）。