北京市高一数学第一学期期中考试试卷含答案
北京四中2018－2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（I ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 21log 2的值为 A. 2 B. 2-C. 1D. 1-2. 集合M={1，2，3），则下列关系正确的是 A. 1∈M B. 1∉MC. 1⊆MD. 1⊂≠M3. 函数11+=x y 的定义域是 A. {R x x x ∈≠,0|}B. （1-，∞+）C. {R x x x ∈-≠,1|}D. R4. 若xxx f +-=11)(，则=)0(f A. 1B.21C. 0D. 1-5. 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是 A. 1+-=x yB. 3x y =C. 542+-=x x yD. xy )21(=6. 下列函数中，值域是{y ∈R|y>0}的是 A. 121+=x y B. ||1x y =C. 232++=x x yD. x y ln =7. 函数)(x f =x)21(x -的零点所在的一个区间是A. （－2，－1）B. （－1，0）C. （0，1）D. （1，2）8. 若log2 a <0，2b>1，则A. a >1，b >0B. 0<a <1，b >0C. a >1，b <0D. 0<a <1，b <09. 已知函数)(x f 是R 上的偶函数，当x ≥0时)(x f =1-x ，则)(x f <0的解集是 A. （－1，0）B. （0，1）C. （∞-，1-） （1，+∞）D. （－1，1） 10. 若a >1，b <0，则函数b a y x+=的图象有可能是二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 计算：2lg +5lg =________；328=________。
12. 若函数)(x f y =的定义域为[－2，3]，则函数)1(-=x f y 的定义域为________。
13. 函数34)(2--=x x x f ，则其图象的对称轴方程为x =________；)(x f 的增区间是________。
14. 已知函数⎩⎨⎧>≤--=0,0,2)(2x xx x x x f ，若函数g （x ）=f （x ）－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15. （本小题满分10分）设集合A=}4|{<∈x N x ，B={3，4，5，6}。
（I ）用列举法写出集合A ； （II ）求A B 和A B 。
16. （本小题满分10分）已知函数1)(2-+=ax x x f ，x ∈R 。
（I ）当a =0时，判断f （x ）的奇偶性，并证明你的结论； （II ）当a =2时，求f （x ）的值域。
17. （本小题满分10分） 设函数)(x f =xx 4+，x ∈R 。
（I ）利用单调性定义证明：)(x f 在区间（0，2]上是单调递减函数； （II ）当a >1时，求)(x f 在区间[1，a ]上的最大值。
卷（II ）一、选填题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1. 不等式421>-x 的解集是A. {2|>x x }B. {2|<x x }C. {3|>x x }D. {3|<x x } 2. 如果)(x f 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是 A. )(x f x y += B. )(x f x y ⋅= C. )(2x f x y += D. )(2x f x y ⋅=3. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据： 第x 天12 3 4 5 被感染的计算机数量y （台） 10203981160A. y =10xB. 10552+-=x x y C. 10log 102+=x y D. xy 25⨯= 4. 设全集U=R ，集合A={x |x <0}，B={x |x >1}，则=_______；A （）=_______。
5. 如图，函数)(x f 的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则)]0([f f =_________；2)(≤x f 的解集为________。
6. 当0<x ≤21时，不等式4x<log a x 恒成立，则a 的取值范围是________。
二、解答题：（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 7. （本小题满分10分）设函数)(x f =x a log （0<a <1）。
（I ）若)2()(2f x x f >-，求x 的取值范围；（II ）记)(x f 的反函数为g （x ）。
若a +k ·g （x －1）≥0在[2，+∞）上恒成立，求k 的最小值。
8. （本小题满分10分）给定数集A 。
若对于任意a ，b ∈A ，有a +b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合。
（I ）判断集合A={－4，－2，0，2，4}，B={x |x =3k ，k ∈Z }是否为闭集合，并给出证明； （II ）若集合A ，B 为闭集合，则A B 是否一定为闭集合?请说明理由； （III ）若集合A ，B 为闭集合，且A ⊂≠R ，B ⊂≠R 。
证明：（A B ）⊂≠R 。
参考答案 卷（I ）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 15. （本小题满分10分）设集合A={4|<∈x N x }，B={3，4，5，6}。
（I ）用列举法写出集合A ； （II ）求A B 和A B 。
解：（I ）A={0，1，2，3} 4分 （II ）A B={3} 7分 A B={0，1，2，3，4，5，6} 10分 16. （本小题满分10分）已知函数)(x f =12-+ax x ，x ∈R 。
（I ）当a =0时，判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （II ）当a =2时，求)(x f 的值域。
解：（I ）偶函数，证明如下：1)()(2--=-x x f=12-x=)(x f 5分 （II ）当a =2时，12)(2-+=x x x f=（1+x ）2－2故)(x f 的值域是[－2，+∞） 10分 17. （本小题满分10分）设函数)(x f =xx 4+，x ∈R 。
（I ）利用单调性定义证明：)(x f 在区间（0，2]上是单调递减函数； （II ）当a >1时，求)(x f 在区间[1，a ]上的最大值。
解：（I ）任取1x ，2x ∈（0，2]，设1x <2x ，则)4()4()()(221121x x x x x f x f +-+=- 2121214)(x x x x x x -⋅-= ∵21x x <，∴021<-x x∵2021≤<<x x ，∴210x x < ∴04)(212121>-⋅-x x x x x x 所以)()(21x f x f >，故)(x f 在区间（0，2]上是单调递减函数。
6分 （II ）由（I ）可知，)(x f 在区间（0，2]上是单调递减函数； 当],2[,21+∞∈x x ，设1x <2x ，易知总有)(1x f <)(2x f ， 所以)(x f 在区间[2，+∞）上是单调递增函数。
又5)4()1(==f f ，所以)(x f 在区间],1[a 上最大值为⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<4,441,5a a a a 。
10分卷（II ）一、选填题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）二、解答题：（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 7. （本小题满分10分）设函数)(x f =x a log （0<a <1）。
（I ）若)2()(2f x x f >-，求x 的取值范围；（II ）记函数)(x f 的反函数为g （x ）。
若a +k ·g （x －1）≥0在[2，+∞）上恒成立，求k 的最小值。
解：（I ）由已知log a （x 2－x ）>log a 2， 因为0<a <1，所以0<x 2－x <2， 解22<-x x ，得－1<x <2。
解02>-x x ，得x >1或x <0。
所以x 的取值范围是{x |－1<x <0或1<x <2）。
5分 （II ）)(x g 为)(x f 的反函数，所以xa x g =)(。
6分 由已知1-⋅+x a k a ≥在区间[2，∞+）上恒成立， 因为01>-x a，所以2)1(--≥x ak 在区间[2，∞+）上恒成立， 6分即k 大于等于2)1(--x a的最大值。
7分因为0<a <1，所以a1>1，又x －2∈[0，∞+）， 所以（a 1）2-x 的最小值为1，－（a1）2-x 的最大值为－1， 9分 所以k ≥－1，所以k 的最小值为－1。
10分 8. （本小题满分10分）给定数集A 。
若对于任意a ，b ∈A ，有a +b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合。
（I ）判断集合A={－4，－2，0，2，4}，B={x |x =3k ，k ∈Z }是否为闭集合，并给出证明； （II ）若集合A ，B 为闭集合，则A B 是否一定为闭集合?请说明理由； （III ）若集合A ，B 为闭集合，且A ⊂≠R ，B ⊂≠R 。
证明：（A B ）⊂≠R 。
解：（I ）因为A ∈4，但是4+4=8∉A ，所以，A 不为闭集合； 任取B b a ∈,，设Z n m n b m a ∈==,,3,3, 则)(333n m n m b a +=+=+且Z n m ∈+ 所以B b a ∈+，同理，B b a ∈-，故B 为闭集合。
4分 （II ）结论：不一定。
令A={x |x =2k ，k ∈Z}，B={x |x =3k ，k ∈Z}，则由（I ）可知，A ，B 为闭集合，但2，3∈A B ，2+3=5∉A B ， 因此，A B 不为闭集合。
6分（III ）证明：（反证）若A B=R 。
则因为A ⊂≠R ，存在a ∈R 且a ∉A ，故a ∈B 。
北京市顺义2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含解析
牛栏山2023—2024学年度第一学期期中考试数学试卷（答案在最后）（120分钟）2023.11第一部分（填空题共65分）一、填空题共15小题，其中1-10题，每小题4分，11-15题，每小题5分，共65分，把答案填在答题卡相应位置上．1.已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,4A =，则U A =ð______．【答案】{}2,3【解析】【分析】利用补集的定义直接求解.【详解】全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,4A =，则{}2,3U A =ð.故答案为：{}2,3.2.已知集合{}1A x x =>，{}B x x a =<，且A B = R ，则a 的取值范围为______．【答案】()1,+∞【解析】【分析】根据并集的运算性质，即可求解.【详解】因为A B = R ，所以1a >.故答案为：()1,+∞.3.“,||0x R x ∀∈≥”的否定是____________.【答案】,0x R x ∃∈<【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题解答即可.【详解】由题意命题“,||0x R x ∀∈≥”是全称命题，故它的否定是：,0x R x ∃∈<.故答案为：,0x R x ∃∈<.【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定，属于基础题.4.函数()1f x x=的定义域为______________.【答案】[)()1,00,-+∞ 【解析】【分析】由被开方数非负和分母不等式0得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得10x x +≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≥-且0x ≠，故()1f x x=+的定义域为[)()1,00,-+∞ .故答案为：[)()1,00,-+∞ 5.已知函数()2,0,0x x f x x x ⎧>=⎨-<⎩，则()()1f f -=______．【答案】1【解析】【分析】根据函数()f x 的解析式由内而外逐层计算可得出()()1ff -的值.【详解】因为()2,0,0x x f x x x ⎧>=⎨-<⎩，则()11f -=，故()()()21111f f f -===.故答案为：1.6.若11223x x --=，则1x x -+=______．【答案】11【解析】【分析】根据指数的运算性质计算即可.【详解】由11223x x --=，两边同时平方可得129x x -+-=，所以111x x -+=.故答案为：117.关于x 的方程422x x -=的解为______．【答案】1x =【解析】【分析】由422x x -=可得出()()21220xx+-=，结合20x >可求得x 的值.【详解】由422x x -=可得()22220xx --=，即()()21220x x+-=，因为20x >，可得22x =，故1x =.所以，方程关于x 的方程422x x -=的解为1x =.故答案为：1x =.8.若不等式20x ax b ++>的解集为{|2x x <或}3x >，则a b +=______．【答案】1【解析】【分析】由题意可知：2，3是方程20x ax b ++=的两根，利用韦达定理运算求解.【详解】由题意可知：2，3是方程20x ax b ++=的两根，则2323a b -=+⎧⎨=⨯⎩，可得56a b =-⎧⎨=⎩，所以1a b +=.故答案为：1.9.写出21a >成立的一个充分不必要条件______．【答案】1a >（答案不唯一）【解析】【分析】解不等式21a >，结合集合的包含关系可得出结果.【详解】解不等式21a >可得1a <-或1a >，因为{}1a a >{1a a <-或}1a >，故21a>成立的一个充分不必要条件为1a >.故答案为：1a >（答案不唯一）.10.不等式()2660x x x -+<的解集为______．【答案】()(,03-∞-+U 【解析】【分析】根据题意分析可得20660x x x >⎧⎨-+<⎩或20660x x x <⎧⎨-+>⎩，结合一元二次不等式分析求解.【详解】由题意可知：20660x x x >⎧⎨-+<⎩或20660x x x <⎧⎨-+>⎩，解得33x -<<+或0x <，所以不等式的解集为()(,03-∞-+U .故答案为：()(,03-∞-+U .11.不等式21x x ->+的解集为______．【答案】(,0)-∞【解析】【分析】根据一次函数及指数函数的性质求解.【详解】当0x <时，0x ->，则0221x ->=，而11x +<，满足21x x ->+；当0x =时，则0221x -==，而11x +=，则21x x -=+；当0x >时，0x -<，则0221x -<=，而11x +>，则21x x -<+，综上，不等式21x x ->+的解集为(,0)-∞.故答案为：(,0)-∞.12.已知二次函数()2f x ax bx =+，且()()()1212f x f x x x =≠，则()12f x x +=______．【答案】0【解析】【分析】当120x x +=时，()()1200+==f x x f ，当120x x +≠时，()()()121112220-+=+-=x x f x x x x f x f x ，可知()120f x x +=.【详解】已知二次函数()2f x ax bx =+，且()()()1212f x f x x x =≠，当120x x +=时，()()1200+==f x x f ，当120x x +≠时，由()()()1212f x f x x x =≠，()()()()()222211221212120+-+=--==-+ax a f bx x bx a x x f x x x b x ()()()212121212121212--⎡⎤+++=+⎣⎦++x x x x a x x b x x f x x x x x x ，120x x -≠，故()120f x x +=.故答案为：013.已知a ，b 为正实数，且满足2ab =，则14a b+的最小值为______，此时a b +=______．【答案】①.②.2【解析】【分析】利用基本不等式求解即可．【详解】14a b +≥=，当且仅当14a b=且2ab =，即,2a b ==时取等号，则14a b +的最小值为，此时22a b ==++.故答案为：2.14.若函数(){}max ,6M x x x =+，则()M x 的最小值为______，此时x =______．【答案】①.3②.3-【解析】【分析】作出函数()M x 的图象，可得出函数()M x 的最小值及其对应的x 的值.【详解】由6x x ≤+可得221236x x x ≤++，解得3x ≥-，由6x x >+可得221236x x x >++，解得3x <-，故(){},3max ,66,3x x M x x x x x ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，作出函数()M x 的图象如下图中的实线部分所示：由图可知，当3x =-时，函数()M x 取最小值3.故答案为：3；3-.15.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①.130.②.15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元.所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.第二部分（简答题共85分）二、解答题共6道题，共85分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．16.已知函数()()22,12,1xx f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩.（1）在直角坐标系xOy 下，画出函数()f x 的草图（用铅笔作图）；（2）写出函数()f x 的单调区间；（3）若关于x 方程()f x k =有3个解，求k 的取值范围（直接写出答案即可）．【答案】（1）作图见解析（2）减区间为(),1-∞、()1,2，增区间为()2,+∞.（3）1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据函数解析式直接作出函数()f x 的图象；（2）根据函数()f x 的图象可得出函数()f x 的增区间和减区间；（3）分析可知，直线y k =与函数()f x 的图象有三个公共点，数形结合可得出实数k 的取值范围.【小问1详解】解：作出函数()()22,12,1x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩的图象如下图所示：【小问2详解】解：由图可知，函数()f x 的减区间为(),1-∞、()1,2，增区间为()2,+∞.【小问3详解】解：如下图所示：当112k <≤时，直线y k =与函数()f x 的图象由三个公共点，此时，方程关于x 方程()f x k =有3个解，故实数k 的取值范围是1,12⎛⎤⎥⎝⎦.17.已知函数()4f x x x=+．（1）利用函数的单调性定义证明函数()f x 在()2,+∞上单调递增；（2）比较4f a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，()141f a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的大小．【答案】（1）证明见解析（2）414⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f a f a a a 【解析】【分析】（1）由定义法证明函数的单调性；（2）通过单调性比较函数值的大小.【小问1详解】函数()4f x x x=+，任取122x x <<，()()()()121212121212121244444⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x x f x f x x x x x x x x x x x x x ，由122x x <<，124x x >，120x x -<，()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()2,+∞上单调递增.【小问2详解】1a >，则44a a +≥=，当且仅当4a a =，即2a =时等号成立，()23114343-⎛⎫+-+=-=⎪⎝⎭a a a a a a a a，由1a >，有210a ->，则1440⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭a a a a ，1444+>+≥a a a a，函数()f x 在()2,+∞上单调递增，所以414⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f a f a a a .18.已知函数()()21f x x x a a =+-+∈R ．（1）当0a =时，求()f x 的最小值；（2）若函数()f x 是偶函数，求a 值；（3）证明函数()f x 不是奇函数．【答案】（1）1（2）0（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用二次函数的性质求解；（2）利用偶函数的定义求解；（3）利用奇函数的定义判断.【小问1详解】当0a =时，()222411132f x x x x x x ⎛⎫=++=++=+ ⎪+⎝⎭，∵0x ≥，∴当0x =，即0x =时，min ()1f x =.【小问2详解】若函数()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，∴()2211x x a x x a -+--+=+-+，∴x a x a +=-，即()()22x a x a +=-，得40ax =，则0a =.【小问3详解】函数()()21f x x x a a =+-+∈R 的定义域为R ，∵()21f a a =+，2()21f a a a -=++，∴()2213()2222022f a a f a a a ⎛⎫-+=++=++≠ ⎪⎝⎭，即()()a f a f -≠-，∴函数()f x 不是奇函数.19.已知函数()22xxf x -=-．（1）判断函数的单调性与奇偶性，直接写出答案；（2）若120x x +=，求()()12f x f x +；（3）若120x x +>，判断()()12f x f x +的符号并证明．【答案】（1）函数()22xxf x -=-在R 上为增函数，且为奇函数（2）()()120f x f x +=（3）()()120f x f x +>，证明见解析【解析】【分析】（1）根据指数型函数的单调性与函数奇偶性的定义直接判断可得出结论，然后结合单调性和奇偶性的定义证明即可；（2）利用奇函数的性质可得出()()12f x f x +的值；（3）判断出()()120f x f x +>，由120x x +>可得出12x x >-，利用函数()f x 的单调性及奇函数的性质可证得结论成立.【小问1详解】解：函数()22xxf x -=-在R 上为增函数，且为奇函数，理由如下：任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则2122x x >，所以，12220x x -<，121102x x ++>，则()()()1212122112111122222222xx x x x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()121212121222122221022x x x x x x x x x x ++-⎛⎫=-+=-+< ⎪⎝⎭，所以，函数()22xxf x -=-在R 上为增函数，对任意的x ∈R ，()()22xx f x f x --=-=-，故()f x 为奇函数.【小问2详解】解：因为120x x +=，则21x x =-，又因为函数()f x 为R 上的奇函数，故()()()()()()1211110f x f x f x f x f x f x +=+-=-=.【小问3详解】解：()()120f x f x +>，证明如下：因为120x x +>，则12x x >-，又因为函数()22xxf x -=-在R 上为增函数，且为奇函数，则()()()122f x f x f x >-=-，所以，()()120f x f x +>.20.已知参数k 为非零实数，记11x x y y =⎧⎨=⎩与22x x y y =⎧⎨=⎩为关于x ，y 的方程组()222,1142y kx y x =⎧⎪⎨++=⎪⎩的两组不同实数解；记33x x y y =⎧⎨=⎩与44x x y y =⎧⎨=⎩为关于x ，y 的方程组()223,1142y kx y x =-⎧⎪⎨++=⎪⎩的两组不同实数解．（1）求证：122881k x x k +=-+，122281x x k =-+；（2）求3412123432x x x x x x x x +++的值；（3）求322314414123x y x y x y x y y y y y --+--的值．【答案】（1）证明见解析；（2）0；（3）0.【解析】【分析】（1）由给定方程组消去y ，再利用韦达定理列式即得.（2）由（1）的结论，求出3434,x x x x +，再代入计算即得.（3）由1234,,,x x x x 表示给定式子，再结合（1）（2）的信息计算即得.【小问1详解】由()2221142y kx y x =⎧⎪⎨++=⎪⎩消去y 并整理得：22(81)820k x kx ++-=，显然12,x x 是此一元二次方程的两个根，所以：122881k x x k +=-+，122281x x k =-+.【小问2详解】由()2231142y kx y x =-⎧⎪⎨++=⎪⎩消去y 并整理得：22(181)1220k x kx +--=，显然34,x x 是此一元二次方程的两个根，于是34212181k x x k +=+，3422181x x k =-+，由（1）知122881k x x k +=-+，122281x x k =-+，所以223412123422222332118118108122281181x x x x k k k k x x x x k k k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=+==++-++.【小问3详解】由（1）（2）知12122282,8181k x x x x k k +=-=-++，422343122,181181k x x x x k k +==-++，所以32233223144114414123412323323223x y x y kx x kx x x y x y kx x kx x y y y y kx kx kx kx -+---+=+----+23142323141414231423523)25()5235323(2)()3(23x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=++=++++2123422221423124334110()15()0(212281015()()8()11811818123)(23(23)(23)k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x -⋅+--+=+++++++++==+.21.已知{}()1,2,,3n S n n =≥ ，{}()12,,,2k A a a a k =≥L 是n S 的子集，定义集合{}*,i j i j i j A a a a a A a a =-∈>且，若{}*n A n S = ，则称集合A 是n S 的恰当子集．用X 表示有限集合X 的元素个数．（1）若5n =，{}1,2,3,5A =，求*A 并判断集合A 是否为5S 的恰当子集；（2）已知{}()1,,,7A a b a b =<是7S 的恰当子集，求a ，b 的值并说明理由；（3）若存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，求n 的最大值．【答案】（1）{}*1,2,3,4A =，集合A 是5S 的恰当子集；（2）2a =，5b =或3a =，6b =.（3）10【解析】【分析】（1）由定义求*A 并判断集合A 是否为5S 的恰当子集；（2）已知{}()1,,,7A a b a b =<是7S 的恰当子集，则有{}*1,2,3,4,5,6A =，列方程求a ，b 的值并检验；（3）证明10n =时，存在A 是10S 的恰当子集；当11n =时，不存在A 是11S 的恰当子集，【小问1详解】若5n =，有{}51,2,3,4,5S =，由{}1,2,3,5A =，则{}*1,2,3,4A =，满足{}5*5A S = ，集合A 是5S 的恰当子集；【小问2详解】{}()1,,,7A a b a b =<是7S 的恰当子集，则{}*1,2,3,4,5,6A =，*716A -=∈，由*5A ∈则75a -=或15b -=，75a -=时，2a =，此时5b =，{}1,2,5,7A =，满足题意；15b -=时，6b =，此时3a =，{}1,3,6,7A =，满足题意；2a =，5b =或3a =，6b =.【小问3详解】若存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，当10n =时，{}1,2,3,7,10A =，有{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，满足{}0*110A S = ，所以{}1,2,3,7,10A =是10S 的恰当子集，当11n =时，若存在A 是11S 的恰当子集，并且5A =，则需满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =，由*10A ∈，则有1A ∈且11A ∈；由*9A ∈，则有2A ∈或10A ∈，2A ∈时，设{}()1,2,,,11310A a b a b =≤<≤，经检验没有这样的,a b 满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =；当10A ∈时，设{}()1,,,10,1129A a b a b =≤<≤，经检验没有这样的,a b 满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =；，因此不存在A 是11S 的恰当子集，并且5A =，所以存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，n 的最大值为10.。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
2024年高一第一学期期中试卷数学（答案在最后）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{}31M x x =-<<，{}14N x x =-≤<，则M N = （）A.{}31x x -<< B.{}3x x >- C.{}11x x -≤< D.{}4x x <2.设命题p ： n ∃∈N ，225n n >+，则p 的否定是（）A. n ∀∈N ，225n n >+ B. n ∀∈N ，225n n ≤+C.n ∃∈N ，225n n ≤+ D.n ∃∈N ，N 225n n <+3.下列各组函数中，两个函数相同的是（）A.3y =和y x=B.2y =和y x=C.y =和2y =D.y =和2x y x=4.下列函数在区间()0,+∞上为增函数的是（）A.2xy = B.()21y x =- C.1y x-= D.3xy -=5.若实数a ，b 满足a b >，则下列不等式成立的是（）A.a b> B.a c b c+>+ C.22a b > D.22ac bc>6.“4a ≥”是“二次函数()2f x x ax a =-+有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在下列区间中，一定包含函数()25xf x x =+-零点的区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,48.已知函数()1,01,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（）A.()1,2 B.(),2-∞- C.()(),12,-∞+∞ D.(][),12,-∞+∞ 9.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，都有()()21210f x f x x x -<-，且()30f =，则不等式()0f x >的解集是（）A.()(),30,3-∞-B.()()3,03,-+∞C.()3,3- D.()(),33,-∞-+∞ 10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数()()2e 0,e 2.71828ex xa bf x ab +=≠=⋅⋅⋅来表示.下列结论正确的是（）A.若0ab >，则()f x 为奇函数B.若0ab >，则()f x 有最小值C.若0ab <，则()f x 为增函数D.若0ab <，则()f x 存在零点二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.函数()f x =的定义域为__________.12.已知函数()()1104f x x x x=++>，则当且仅当x =_________时，()f x 有最小值________.13.已知集合{}2,0A a =，{}3,9B a =-，若满足{}9A B = ，则实数a 的值为________.14.已知函数()y f x =在R 上是奇函数，当0x ≤时，()21xf x =-，则()1f =________；当0x >时，()f x =________.15.已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①{}1,2,3,4,5,6A B = ；②A B =∅ ；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素.（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么集合A 的元素是__________；（ⅱ）有序集合对(),A B 的个数是__________.三、解答题（共6小题，第16题9分，第17-19题6分，第20题7分，第21题6分）16.已知集合{}14A x x =-≤≤，{}11B x a x a =-≤≤+.（1）若4a =，求A B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.17.解下列关于x 的不等式：（1）2112x x +≤-（2）213x -≥（3）()()2220ax a x a +--≥∈R 18.已知函数()22xxf x a -=⋅-是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值，并用定义法证明()f x 在R 上单调递增；（2）解关于x 的不等式()()23540f x x f x -+->.19.某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？20.已知函数()()21f x mx m x m =--+.（1）若不等式()0f x >的解集为R ，求m 的取值范围；（2）若不等式()0f x ≤对一切()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围；21.设k 是正整数，集合A 至少有两个元素，且* N A ⊆.如果对于A 中的任意两个不同的元素x ，y ，都有x y k -≠，则称A 具有性质()P k .（1）试判断集合{}1,2,3,4B =和{}1,4,7,10C =是否具有性质()2P ？并说明理由；（2）若集合{}{}1212,,,1,2,,20A a a a =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅，求证：A 不可能具有性质()3P ；（3）若集合{}1,2,,2023A ⊆⋅⋅⋅，且同时具有性质()4P 和()7P ，求集合A 中元素个数的最大值.高一第一学期期中试卷数学参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）CBAABABDCD二、共填空题（共5小题）11.[)1,+∞12.12；213.-314.12；()12xf x -=-15.5；10三、解答题（共6小题）17.（1）{}23A B x x =≤≤ .（2）a 的取值范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.16.（1）()3,2-；（2）(][),12,-∞-+∞ （3）综上所述：当0a =时，不等式解集为(],1-∞-；当0a >时，不等式解集为(]2,1,a ⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭；当20a -<<时，不等式解集为2,1a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式解集为{}1-；当2a <-时，不等式解集为21,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.（1）1a =，证明略（2）()()()()()2235403544f x x f x f x x f x f x -+->⇒->--=-∴23542x x x x ->-⇒>或23x <-.19.水池总造价()()16001502331207201600150x f x xy x y x ⎛⎫=⨯++⨯=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭72024000057600240000297600≥+=+=元.当且仅当40x m =，40y m =时取等号.∴设计水池底面为边长为40m 的正方形能使总造价最低，最低造价是297600元.20.（1）m 的取值范围为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）m 的取值范围为(],1-∞-；21.（1）集合B 不具有性质()2P ，集合C 具有性质()2P （2）证明：将集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中的元素分为如下11个集合，{1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}.{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15，18}，{19}，{20}，所以从集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A 不可能具有性质()3P ；（3）先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1，2，3……，11为例.构造抽屉{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}.①5，6，7同时选，因为具有性质()4P 和()7P ，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8.故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{4，11}只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1，8}只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5，6，7中只选1个，又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1个元素，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有184×5=920个.给出如下选取方法：从1，2，3……，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；……；2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.。
2023-2024学年北京市顺义一中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市顺义一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合A ≡{x |x ＜3x ﹣1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．(12，3)C ．（﹣∞，3）D ．(−1，12)2．下列函数是偶函数且在（0，+∞）单调递减的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝xC ．y =1xD ．y ＝﹣x 2+13．若f （x ）与g （x ）是同一个函数，且f （x ）＝x ，则g （x ）可以是（ ） A ．g(x)=(√x)2 B ．g(x)=√x 33C ．g(x)=√x 2D ．g(x)=x 2x4．电讯资费调整后，市内通话费的收费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟以后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费．按此标准，通话收费S （元）与通话时间t （分钟）的函数的大致图象可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．5．（多选）已知幂函数f （x ）＝x a 图像经过点（3，19），则下列命题正确的有（ ） A ．函数f （x ）为增函数 B ．函数f （x ）为偶函数 C ．若x ＞1，则f （x ）＞1D ．若0＜x 1＜x 2，则f(x 1)+f(x 2)2＞f （x 1+x 22）6．已知p ：x ≥k ，q ：2−x x+1＜0，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）A ．[2，∞）B ．（2，+∞）C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]7．奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （1）＝0，则不等式f(x)−f(−x)x＞0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）8．已知函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣1，“∃x ∈R ，f （x ）≥0”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣4，0]B ．（﹣4，0）C ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）9．已知函数f(x)={−x 2−ax −7，x ≤1a x ，x ＞1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围（ ）A ．[﹣4，0）B ．（﹣∞，﹣2]C ．[﹣4，﹣2]D ．（﹣∞，0）10．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（ ） A ．﹣1B ．1C ．6D ．12二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11．函数f(x)=2x−1+√2−x 的定义域为 ． 12．√(−3)2+(π−3)−823+(√−43)3= ．13．已知函数f （x ）为R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)=x 2+1x，则f （﹣1）＝ ． 14．若偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递减且f （1）＝0，则不等式f （x ﹣3）≥0的解集是 ． 15．1859年，我国清朝数学家李善兰将“function ”一词译成“函数”，并给出定义：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数”．①若f （﹣2）＝f （2），则函数f （x ）是偶函数②若定义在R 上的函数f （x ）在区间（﹣∞，0]上单调递增，在区间[0，+∞）上单调递增，则函数f （x ）在R 上是增函数③函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]，a ＜c ＜b ，若f （x ）在[a ，c ）上是增函数，在[c ，b ]上是减函数，则f （x ）max ＝f （c ）④对于任意的x 1，x 2∈（0，+∞），函数f(x)=√x 满足f(x 1)+f(x 2)2≤f(x 1+x 22)上面关于函数性质的说法正确的序号是 ．（请写出所有正确答案的序号） 三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16．（14分）已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1＜x ＜6}，C ＝{x |x ＞a }，U ＝R ． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ； （2）若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围． 17．（14分）设函数f(x)=x +4x ． （1）判断函数f （x ）奇偶性；（2）当x ∈（0，+∞）时，求函数f （x ）的最小值；（3）直接写出函数f （x ）的单调增区间（不需证明过程）． 18．（14分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax +1． （1）若函数f （x ）为偶函数，求实数a 的值；（2）若函数f （x ）在（﹣∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围； （3）求函数f （x ）在[1，2]上的最小值．19．（14分）已知定义在区间（﹣1，1）上的函数f （x ）=x+ax 2+1为奇函数． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断函数f （x ）在区间（﹣1，1）上的单调性并用定义法证明． （3）解关于t 的不等式f （2t ﹣1）+f （t ）＜0．20．（14分）2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环x 万只并能全部销售完，平均每万只的销售收入为R （x ）万元，且R(x)={100−kx ，0＜x ≤202100x−9000k x2，x ＞20．当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元． （1）求出k 的值并写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式W （x ）；（2）当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 21．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”； （3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．2023-2024学年北京市顺义一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合A ≡{x |x ＜3x ﹣1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．(12，3)C ．（﹣∞，3）D ．(−1，12)解：A ≡{x |x ＜3x ﹣1}＝{x |x ＞12}，B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，则A ∩B ＝（12，3）． 故选：B ．2．下列函数是偶函数且在（0，+∞）单调递减的是（ ） A ．y ＝x 2B ．y ＝xC ．y =1xD ．y ＝﹣x 2+1解：对于A ，y ＝x 2为偶函数，在（0，+∞）单调递增，A 错误； 对于B ，y ＝x 为奇函数，B 错误； 对于C ，y =1x 为奇函数，C 错误；对于D ，y ＝﹣x 2+1是偶函数且在（0，+∞）单调递减，D 正确． 故选：D ．3．若f （x ）与g （x ）是同一个函数，且f （x ）＝x ，则g （x ）可以是（ ） A ．g(x)=(√x)2 B ．g(x)=√x 33C ．g(x)=√x 2D ．g(x)=x 2x解：对于A ，函数g （x ）=(√x)2=x 的定义域是[0，+∞），函数f （x ）＝x 的定义域是R ，两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于B ，函数g （x ）=√x 33=x 的定义域是R ，函数f （x ）＝x 的定义域是R ，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C ，函数g （x ）=√x 2=|x |的定义域为R ，函数f （x ）＝x 的定义域是R ，两个函数的对应关系不同，不是同一函数；对于D ，函数g （x ）=x 2x =x 的定义域是{x |x ≠0}，函数f （x ）＝x 的定义域是R ，两个函数的定义域不同，不是同一函数． 故选：B ．4．电讯资费调整后，市内通话费的收费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟以后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费．按此标准，通话收费S （元）与通话时间t （分钟）的函数的大致图象可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意知，当0＜t ≤3时，S ＝0.2． 当3＜t ≤4时，S ＝0.2+0.1＝0.3． 当4＜t ≤5时，S ＝0.3+0.1＝0.4． …所以对应的函数图象为C ． 故选：C ．5．（多选）已知幂函数f （x ）＝x a 图像经过点（3，19），则下列命题正确的有（ ）A ．函数f （x ）为增函数B ．函数f （x ）为偶函数C ．若x ＞1，则f （x ）＞1D ．若0＜x 1＜x 2，则f(x 1)+f(x 2)2＞f （x 1+x 22）解：∵幂函数f （x ）＝x a图像经过点（3，19），∴19=3a ，解得a ＝﹣2， ∴f （x ）＝x ﹣2=1x 2，x ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）， ∴函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，为偶函数， x ＜1时，f （x ）＜f （1）＝1． 可知：A 不正确，B 正确，C 不正确． 画出图象，可知：0＜x 1＜x 2，则f(x 1)+f(x 2)2＞f （x 1+x 22），因此D 正确．故选：BD ．6．已知p ：x ≥k ，q ：2−x x+1＜0，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）A ．[2，∞）B ．（2，+∞）C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]解：命题q ：解不等式2−x x+1＜0可得：x ＞2或x ＜﹣1，因为p 是q 的充分不必要条件，则{x |x ≥k }⫋{x |x ＞2或x ＜﹣1}，所以k ＞2， 故选：B ．7．奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （1）＝0，则不等式f(x)−f(−x)x＞0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）解：∵f （x ）是奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），则f(x)−f(−x)x=2f(x)x＞0，即{x ＞02f(x)＞0或{x ＜02f(x)＜0，∵奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增且f （1）＝0，∴f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，且f （﹣1）＝0， 则不等式f(x)−f(−x)x＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：D ．8．已知函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣1，“∃x ∈R ，f （x ）≥0”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣4，0]B ．（﹣4，0）C ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）解：“∃x ∈R ，f （x ）≥0”为假命题， 则∀∈∈R ，mx 2﹣mx ﹣1＜0为真命题， 当m ＝0时，代入得f （x ）＝﹣1＜0恒成立； 当m ≠0时，由f （x ）＜0恒成立，得到m ＜0，且Δ＝（﹣m ）2﹣4×m （﹣1）＝m 2+4m ＜0，解得﹣4＜m ＜0， 综上，m 的取值范围为（﹣4，0]． 故选：A ．9．已知函数f(x)={−x 2−ax −7，x ≤1a x ，x ＞1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围（ ）A ．[﹣4，0）B ．（﹣∞，﹣2]C ．[﹣4，﹣2]D ．（﹣∞，0）解：根据题意，函数f(x)={−x 2−ax −7x ≤1a xx ＞1在R 上单调递增，则有{−a2≥1a ＜0−1−a −7≤a ，解可得﹣4≤a ≤﹣2；故选：C ．10．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．6 D ．12解：由题意知当﹣2≤x ≤1时，f （x ）＝x ﹣2，当1＜x ≤2时，f （x ）＝x 3﹣2，又∵f （x ）＝x ﹣2，f （x ）＝x 3﹣2在定义域上都为增函数，∴f （x ）的最大值为f （2）＝23﹣2＝6． 故选：C ．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．函数f(x)=2x−1+√2−x 的定义域为 {x |x ≤2且x ≠1} ． 解：由题意得{2−x ≥0x −1≠0，解得x ≤2且x ≠1．故答案为：{x |x ≤2且x ≠1}． 12．√(−3)2+(π−3)−823+(√−43)3= ﹣4 ．解：原式＝3+1﹣4+（﹣4）＝﹣4． 故答案为：﹣4．13．已知函数f （x ）为R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)=x 2+1x，则f （﹣1）＝ ﹣2 ． 解：因为f （x ）为奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 2+1x ，则f （1）＝2， 所以f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣2． 故答案为：﹣2．14．若偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递减且f （1）＝0，则不等式f （x ﹣3）≥0的解集是 [2，4] ． 解：∵偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递减且f （1）＝0， ∴f （x ﹣3）≥0⇔f （x ﹣3）≥f （1）， ∴|x ﹣3|≤1，解得2≤x ≤4． 故答案为：[2，4]．15．1859年，我国清朝数学家李善兰将“function ”一词译成“函数”，并给出定义：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数”．①若f （﹣2）＝f （2），则函数f （x ）是偶函数②若定义在R 上的函数f （x ）在区间（﹣∞，0]上单调递增，在区间[0，+∞）上单调递增，则函数f （x ）在R 上是增函数③函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]，a ＜c ＜b ，若f （x ）在[a ，c ）上是增函数，在[c ，b ]上是减函数，则f （x ）max ＝f （c ）④对于任意的x 1，x 2∈（0，+∞），函数f(x)=√x 满足f(x 1)+f(x 2)2≤f(x 1+x 22)上面关于函数性质的说法正确的序号是 ②③④ ．（请写出所有正确答案的序号） 解：①若f （﹣2）＝f （2），则函数f （x ）不一定是偶函数，错误；②若定义在R 上的函数f （x ）在区间（﹣∞，0]上单调递增，在区间[0，+∞）上单调递增，则函数f （x ）在R 上一定是增函数，正确；③函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]，a ＜c ＜b ，若f （x ）在[a ，c ）上是增函数，在[c ，b ]上是减函数，则f （x ）max ＝f （c ），正确；④因为f （x ）=√x 为上凸函数，故对于任意的x 1，x 2∈（0，+∞），函数f(x)=√x 满足f(x 1)+f(x 2)2≤f(x 1+x 22)．正确．故答案为：②③④．三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16．（14分）已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1＜x ＜6}，C ＝{x |x ＞a }，U ＝R ． （1）求A ∪B ，（∁U A ）∩B ； （2）若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解：（1）∵A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1＜x ＜6}，U ＝R ， ∴A ∪B ＝{x |1＜x ≤8}，∁U A ＝{x |x ＜2或x ＞8}， 则（∁U A ）∩B ＝{x |1＜x ＜2}，（2）∵A ＝{x |2≤x ≤8}，C ＝{x |x ＞a }，且A ∩C ≠∅， ∴a ＜8．17．（14分）设函数f(x)=x +4x ． （1）判断函数f （x ）奇偶性；（2）当x ∈（0，+∞）时，求函数f （x ）的最小值； （3）直接写出函数f （x ）的单调增区间（不需证明过程）． 解：f(x)=x +4x ．（1）函数f （x ）为奇函数，证明如下：定义域{x|x≠0}，因为f（﹣x）＝﹣x−4x=−f（x），所以f（x）为奇函数；（2）因为x∈（0，+∞）时，f（x）＝x+4x ≥2√x⋅4x=4，当且仅当x＝2时取等号，故函数f（x）的最小值为4；（3）根据对勾函数的性质可知，函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣2]，[2，+∞），证明如下：设x1＞x2≥2，则x1﹣x2＞0，1−4x1x2＞0，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+4x1−4x2=（x1﹣x2）（1−4x1x2）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在[2，+∞）单调递增，同理可证f（x）在（﹣∞，﹣2]递增，故函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣2]，[2，+∞）．18．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+1．（1）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）若函数f（x）在（﹣∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围；（3）求函数f（x）在[1，2]上的最小值．解：（1）∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即x2+2ax+1＝x2﹣2ax+1，∴2a＝﹣2a，解得：a＝0．（2）∵f（x）的对称轴为x＝a，f（x）在（﹣∞，4]上是减函数，∴a≥4，即实数a的取值范围为[4，+∞）．（3）由题意知：f（x）开口方向向上，对称轴为x＝a，当a≤1时，f（x）在[1，2]上单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝2﹣2a；当1＜a＜2时，f（x）在[1，a）上单调递减，在（a，2]上单调递增，∴f(x)min=f(a)=1−a2；当a≥2时，f（x）在[1，2]上单调递减，∴f（x）min＝f（2）＝5﹣4a；综上所述：当a≤1时，f（x）min＝f（1）＝2﹣2a；当1＜a＜2时，f(x)min=f(a)=1−a2；当a≥2时，f（x）min＝f（2）＝5﹣4a．19．（14分）已知定义在区间（﹣1，1）上的函数f （x ）=x+ax 2+1为奇函数． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断函数f （x ）在区间（﹣1，1）上的单调性并用定义法证明． （3）解关于t 的不等式f （2t ﹣1）+f （t ）＜0．解：（1）根据题意，函数f （x ）为定义在区间（﹣1，1）上的奇函数， 则有f （0）＝a ＝0， 则函数f （x ）=x1+x 2， （2）函数f （x ）在（﹣1，1）上为增函数； 证明如下：设﹣1＜x 1＜x 2＜1， 则f （x 1）﹣f （x 2）=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)， 又由﹣1＜x 1＜x 2＜1， 则x 1﹣x 2＜0，1﹣x 1x 2＞0， 则f （x 1）﹣f （x 2）＜0，则函数f （x ）在（﹣1，1）上为增函数；（3）根据题意，f （x ）为定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在（﹣1，1）上为增函数；f （2t ﹣1）+f （t ）＜0⇒f （2t ﹣1）＜﹣f （t ）⇔f （2t ﹣1）＜f （﹣t ）⇒{2t −1＜−t−1＜2t −1＜1−1＜t ＜1，解可得：0＜t ＜13，即不等式的解集为（0，13）．20．（14分）2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环x 万只并能全部销售完，平均每万只的销售收入为R （x ）万元，且R(x)={100−kx ，0＜x ≤202100x−9000k x2，x ＞20．当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元． （1）求出k 的值并写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式W （x ）；（2）当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 解：（1）∵数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元，且平均每万只的销售收入为R （x ）万元，且R(x)={100−kx ，0＜x ≤202100x −9000k x 2，x ＞20， ∴W （x ）＝xR （x ）﹣50﹣20x ，又∵该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元，∴W （5）＝500﹣k ×52﹣50﹣20×5＝300，解得k ＝2，∴W （x ）={80x −2x 2−50，0＜x ≤202050−20x −18000x，x ＞20． （2）当0＜x ≤20时，W （x ）＝﹣2x 2+80x ﹣50为二次函数，图象开口向下，对称轴x ＝20，故W max (x)=−2×202+80×20−50=750，当x ＞20时，W （x ）＝2050−(20x +18000x ) ≤2050−2√20x ⋅18000x =850， 当且仅当20x =18000x，即x ＝30时，等号成立， 故当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．21．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．解：（1）对集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4}﹣{4}＝{1，2，3}，且1+2＝3，∴集合{1，2，3，4}可以双拆，若在集合中去掉元素1，∵2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，∴集合{1，2，3，4}不可“任意双拆”；若集合{1，3，5，7，9，11}可以“双拆”，则在集合{1，3，5，7，9，11}去除任意一个元素形成新集合B ，若存在集合B 1，B 2，使得B 1∩B 2＝∅，B 1∪B 2＝B ，S （B 1）＝S （B 2），则S （B ）＝S （B 1）+S （B 2）＝2S （B 1），即集合B中所有元素之和为偶数，事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数和为奇数，不合题意，∴集合{1，3，5，7，9}不可“双拆”．（2）证明：设a1＜a2＜a3＜a4＜a5．反证法：如果集合A可以“任意双拆”，若去掉的元素为a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4，①，或a5＝a2+a3+a4，②，若去掉的是a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4，③，或a5＝a1+a3+a4，④，由①﹣③可得a1＝a2，矛盾；由②﹣③得a1＝﹣a2，矛盾；由①﹣④可得a1＝﹣a2，矛盾；由②﹣④可得a1＝a2，矛盾．∴A不能“任意双拆”；（3）设集合A＝{a1，a2，a3，…，a n}，由题意可知S（A）﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，∴a i（i＝1，2，…，n）均为奇数或偶数，若S（A）为奇数，则a i（i＝1，2，…，n）均为奇数，∵S（A）＝a1+a2+…+a n，∴n为奇数，若S（A）为偶数，则a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，b3，…，b n}可任意双拆，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，则集合A中元素个数n为奇数，当n＝3时，由题意知集合A＝{a1，a2，a3}不可“任意双拆”，当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不可“任意双拆”，∴n≥7，当n＝7时，取集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，∵3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，1+3+5+77＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A可“任意双拆”，∴集合A中元素个数n的最小值为7．。
北京高一数学第一学期期中考试试卷(必修1)及参考答案02
北京高一数学第一学期期中考试试卷（必修1） 2018.11一、选择题（本大题共10道小题，每小题4分，共40分） 1. 集合{}N m N m m M ∈-∈=8,|且，则m 的个数是 A. 6 B. 7 C. 8D. 92. 下列函数中图象完全相同的是 A. 2x y x y ==与B. 0x y xxy ==与 C. ()||2x y x y ==与 D. ()()1111-+=-⋅+=x x y x x y 与3. 设()x f 为定义在R 上的偶函数，且()x f 在),0[∞+上为增函数，则()()π--f f ,2、()3f 的大小顺序是A. ()()()23->>-f f f πB. ()()()32f f f >->-πC. ()()()23-<<-f f f πD. ()()()32f f f <-<-π4. 已知函数()()78log 223+=x x f ，那么()1f 等于A. 2B. 39log 3C. 1D. 15log 35. 函数||3.0x y =()R x ∈的值域是A. +RB. {}1|≤y yC. {}1|≥y yD. {}10|≤<y y6. 若函数()x f y =的定义域为（0，2），则函数()x f y 2-=的定义域是A. （0，2）B. （-1，0）C. （-4，0）D. （0，4）7. 若09log 9log <<n m ，那么n m ,满足的条件是 A. 1>>n m B. 1>>m n C. 10<<<m nD. 10<<<n m8. 图中的图象所表示的函数的解析式为A. ()20|1|23≤≤-=x x y B. |1|2323--=x y ()20≤≤xC. ()20|1|23≤≤--=x x yD. ()20|1|1≤≤--=x x y9. 设函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=0,10,132x xx x x f 若()a a f >，则实数a 的取值范围是A. （∞-，-3）B. （∞-，-1）C. （1，∞+）D. （0，1）10. 已知函数()b a x x f <<=0|,lg |，且()()b f a f >，则 A. 1>ab B. 1<abC. 1=abD. ()()011>--b a二、填空题（本大题共6道小题，每小题4分，共24分，将答案填在题中横线上）； 11. 函数()()x y x -=-3log 1的定义域是_________。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案
北京2024-2025学年度第一学期期中考试（答案在最后）高一年级数学学科本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（每题4分，共48分）1．已知集合{}12A x Z x =∈-≤<，则下列说法正确的是（）A ．0A⊆B ．0A∉C ．3A∈D ．1A-∈2．记命题:0,3p x x ∃>≥，则p ⌝为（）A ．0,3x x ∀><B ．0,3x x ∀≤<C ．0,3x x ∃≤≥D ．0,3x x ∃><3．集合{}0,1的真子集有（）个A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数,a b c ，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A ．b a c a -<+B ．2c ab<C ．c cb a>D ．b c a c<5．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．1y x x=-B ．y =C ．2xy -=D ．22y x x=-6．“12x -<<”是“12x>”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．已知偶函数()f x 在区间(,1]-∞-上单调递减，则下列关系式中成立的是（）A ．5()(3)(2)2f f f -<<B ．5(3)((2)2f f f <-<C ．5(2)(3)(2f f f <<-D ．5(2)((3)2f f f <-<8．若函数(0,1)xy a a a =>≠且的值域为(0,1]，则函数log a x 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,+-∞∞ ）10．设 1.2 1.23log 6,2,0.5a b c ===，则（）A ．b a c <<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．a c b<<11．已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)12．设集合A 是集合N *的子集，对于i N *∈，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在N *的两个不同子集,A B ，使得任意i N *∈都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取N *的两个不同子集,A B ，对任意i N *∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=⋅ ；③任取N *的两个不同子集,A B ，对任意i N *∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=+ ．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题（每题5分，共30分）13．函数1()1f x x =-的定义域为________．14．已知函数3()27log x f x x =+，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．15．若()g x 在R 上是增函数，能够说明“()y xg x =在R 上也是增函数”是假命题的一个()g x 的解析式()g x =________．16．函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩的值域为________．17．已知下列四个函数：1,,ln ,x y x y y x y e x====．从中选出两个函数分别记为()f x 和()g x ，若()F x =()()f x g x +的图象如图所示，则()F x =________．18．已知函数2,(),x a x a f x x x a+≤⎧=⎨>⎩．若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数a 的取值范围为________．三、解答题（每题12分，共72分）19．已知集合{}{}3,15A x a x a B x x x =≤≤+=<->或．（Ⅰ）若2a =-，求集合()()R R B A ；I 痧（Ⅱ）若A B A = ，求a 的取值范围．20．分别求下列关于x 的不等式的解集：（Ⅰ）2610x x --<；（Ⅱ）2(2)20x a x a +--≤．21．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x 米，如图所示．（I ）将两个养殖池的总面积y 表示为x 的函数，并写出定义域；（Ⅱ）当温室的边长x 取何值时，总面积y 最大？最大值是多少？22．已知函数()2,f x x x a a R =--∈．（I ）当2a =时，直接写出函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当2a >时，求函数()f x 在区间[1，2]上的最小值．23．已知()y f x =是定义在[-3，3]上的奇函数，当[3,0]x ∈-]时，1()()94xx af x a R =+∈．（I ）求()y f x =在（0，3]上的解析式；（Ⅱ）当1[1,2x ∈--时，不等式11()34x x m f x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围．24．若集合A 具有以下性质：①0,1A A ∈∈；②若,x y A ∈，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈．则称集合A 是“好集”．（I ）分别判断集合{}1,0,1B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若,x y A ∈，则x y A +∈；（Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由．命题p ：若,x y A ∈，则必有xy A ∈；命题q ：若,x y A ∈，且0x ≠，则必有yA x∈．参考答案一、选择题DACDC ，BDBDC ，BA 二、填空题13．{}1x x ≠或写为(,1)(1,)-∞+∞ 14．215．x （答案不唯一）16．(1,+-∞）17．1x e x+18．1[2,4-三、解答题19．（I ）（1，5]（Ⅱ）(,4)(5,)-∞-+∞ 20．（I ）11(,)32-（Ⅱ）2a <-时，解集为[2，a -]；2a =-时，解集为{}2；2a >-时，解集为[a -，2]．21．解：（I ）依题意得温室的另一边长为1500x米．因此养殖池的总面积1500(3)(5)y x x=--，因为150030,50x x->->，所以3300x <<．所以定义域为{}3300x x <<．（Ⅱ）15004500(3)(5)1515(5)151515153001215y x x x x =--=-+≤-=-=，当且仅当45005x x=，即30x =时上式等号成立，当温室的边长x 为30米时，总面积y 取最大值为1215平方米．22．解：（1）当2a =时，(2)2,2()22(2)2,2x x x f x x x x x x --≥⎧=--=⎨--<⎩，22(1)3,2()(1)1,2x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨---<⎪⎩，由二次函数的性质知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）．或写为（-∞，1），（2，+∞）（Ⅱ）∵2a >，x ∈[1，2]时，所以2()()22f x x a x x ax =--=-+-228(24a a x -=-+，当3122a <≤，即23a <≤时，min ()(2)26f x f a ==-；当322a >，即3a >时，min ()(1)3f x f a ==-；∴min26,23()3,3a a f x a a -<≤⎧=⎨->⎩．23．（I ）因为()y f x =是定义在[-3，3]上的奇函数，x ∈[-3，0]时，1()()94x xaf x a R =+∈，所以001(0)094a f =+=，解得1a =-，所以x ∈（-3，0]时，11()94x xf x =-当(0,3]x ∈时，[3,0)x -∈-，所以11()9494x x x x f x ---=-=-，又()()49xxf x f x =--=-，即()y f x =在(0,3]上的解析式为()49xxf x =-，（Ⅱ）因为1[1,2x ∈--时，11()94x xf x =-，所以11()34x x m f x -≤-可化为11119434x x x x m --≤-，整理得13(334xx m ⎛⎫≥+⋅ ⎪⎝⎭，令13()334xxg x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数单调性可得，所以()g x 也是减函数．所以11max13()(1)3734g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7m ≥，故实数m 的取值范围是[7，+∞）．24．解：（I ）集合B 不是“好集”．理由是：假设集合B 是“好集”．因为1,1B B -∈∈，所以112B --=-∈．这与2B -∉矛盾．有理数集Q 是“好集”．因为0,1Q Q ∈∈，对任意的,x y Q ∈，有x y Q -∈，且0x ≠时，1Q x∈．所以有理数集Q 是“好集”．（Ⅱ）因为集合A 是“好集”，所以0A ∈．若,x y A ∈，则0y A -∈，即y A -∈．所以()x y A --∈，即x y A +∈．（Ⅲ）命题,p q 均为真命题．理由如下：对任意一个“好集”A ，任取,x y A ∈，若,x y 中有0或1时，显然xy A ∈．下设,x y 均不为0，1．由定义可知：111,,1x A x x-∈-．所以111A x x -∈-，即1(1)A x x ∈-．所以(1)x x A -∈．由（Ⅱ）可得：(1)x x x A -+∈，即2x A ∈．同理可得2y A ∈．若0x y +=或1x y +=，则显然2()x y A +∈．若0x y +≠且1x y +≠，则2()x y A +∈．所以2222()xy x y x y A =+--∈．所以12A xy∈．由（Ⅱ）可得：11122A xy xy xy=+∈．所以xy A ∈．综上可知，xy A ∈，即命题p 为真命题．若,x y A ∈，且0x ≠，则1A x∈．所以1y y A x x=⋅∈，即命题q 为真命题．。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（答案在最后）注意事项1.本试卷共四页，共23道小题，满分150分．考试时间120分钟．2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.出题人：高一备课组审核人：高一备课组一、选择题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}1,2,{02}A B x x ==<<，则A B = ()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{02}x x <≤【答案】A 【解析】【分析】根据交集的运算方法即可计算．【详解】∵集合{}1,2,{02}A B x x ==<<，∴A B = {1}．故选：A ．2.设命题2:N,25p n n n ∃∈>+，则p 的否定为（）A.2N,25n n n ∀∈>+B.2N,25n n n ∀∈≤+ C.2N,25n n n ∃∈≤+ D.2N,25n n n ∃∈<+【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定为将存在改任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为2N,25n n n ∀∈≤+.故选：B 3.方程组221{9x y x y +=-=的解集是（）A.(－5，4)B.(5，－4)C.{(－5，4)}D.{(5，－4)}【答案】D 【解析】【分析】消元法解方程组即可求解【详解】解方程组221{9x y x y +=-=，得()2219x x --=，解得54x y =⎧⎨=-⎩，故方程组的解集为{(5，－4)}，故选：D.【点睛】本题考查解二元二次方程组及列举法表示集合，注意解集是点集的形式，是基础题4.已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，{}13N x x =<<，那么下面的维恩图中，阴影部分所表示的集合为（）A.{}2x x > B.{}2x x ≤ C.{}2x x > D.{}1x x ≤【答案】D 【解析】【分析】根据并集和补集的知识求得正确答案.【详解】{}|1M N x x => ，阴影部分表示集合为(){}|1M N x x ⋃=≤R ð.故选：D 5.不等式302xx -<+的解集为（）A.{|2}x x <-B.{|23}x x -<< C.{|2x x <-或3}x > D.{|3}x x >【答案】C【分析】将不等式作等价转换，再求解集即可.【详解】30(2)(3)02xx x x -<⇒+->+，故解集为{|2x x <-或3}x >.故选：C 6.函数26()f x x x=-零点所在的一个区间是（）A.(2,1)-- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,)+∞【答案】C 【解析】【分析】根据零点存在性定理判断即可.【详解】令26()0f x x x=-=，解得：1360x =>，只有一个零点.而()611501f =-=>，()624102f =-=-<，由零点存在性定理知，函数26()f x x x=-零点所在的一个区间是(1,2).故选：C.7.下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（）A.||y x = B.3y x=- C.1y =-D.24y x =-+【答案】A 【解析】【分析】运用增函数定义，结合函数图像判断即可.【详解】对于A,区间()0,1,y x x ==，在()0,1单调递增，A 正确；对于B,区间()0,1,3y x =-，在()0,1单调递减，B 错误；对于C,区间()0,1,1y =-()0,1单调递减，C 错误；对于D,区间()0,1,24y x =-+，在()0,1单调递减，D 错误.故选：A.8.如果函数2()f x x bx c =++对于任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么（）A.f (2)<f (1)<f (4)B.f (1)<f (2)<f (4)C.f (4)<f (2)<f (1)D.f (2)<f (4)<f (1)【答案】A【分析】根据给定条件可得函数()f x 图象对称轴为2x =，再借助对称性、单调性即可比较判断作答.【详解】因函数2()f x x bx c =++对于任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，则其图象对称轴为2x =，且()f x 在[2,)+∞上递增，于是得(2)(3)(4)f f f <<，而(1)(3)f f =，所以(2)(1)(4)f f f <<.故选：A9.已知0a >，0b >，且28a b +=，那么ab 的最大值等于A.4 B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式可求得ab 的最大值.【详解】由基本不等式可得82a b =+≥8ab ≤，当且仅当2a b =时，等号成立，因此，ab 的最大值为8.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题.10.已知,,,R a b c d ∈，则“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性.【详解】当3,2,0,2a b c d ==-==时，a c b d +>+，但c d >不成立，充分性不成立；若a b >且c d >，则必有a c b d +>+，必要性成立；所以“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的必要不充分条件.故选：B11.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A.[)1,1][3,-+∞ B.3,1][,[01]--C.[1,0][1,)-⋃+∞D.[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在 腊语 上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.12.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123,,x x x 满足：()()()123f x f x f x ==.则123x x x ++的取值范围是（）A.11,66⎛⎤⎥⎝⎦B.11,63⎛⎫⎪⎝⎭C.2026,33⎛⎫⎪⎝⎭ D.2026,33⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】根据解析式画出函数草图，结合零点的情况及一次、二次函数性质得236x x +=、1703x -<<，即可得答案.【详解】由解析式，可得如下()f x 图象，令()()()123f x f x f x k ===，要满足题设，则34-<<k ，若123x x x <<，则236x x +=，令343x +=-，则73x =-，故1703x -<<，综上，123x x x ++范围是11,63⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.13.函数()2f x x =-的定义域是_______.【答案】[)2,+∞【解析】【分析】函数()2f x x =-的定义域满足20x -≥，解得答案.【详解】函数()2f x x =-的定义域满足20x -≥，解得2x ≥，故函数定义域为[)2,+∞.故答案为：[)2,+∞14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，()f x =2x ，则1()2f -=________．【答案】14-．【解析】【分析】由于函数是奇函数，所以11(()22f f -=-，再由已知的解析式求出1()2f 的值，可得答案【详解】解：因为当x >0时，()f x =2x ，所以2111(()224f ==，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以111((224f f -=-=-，故答案为：14-15.设函数22y x ax =+在区间(2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】2a ≥-【解析】【分析】由题意可知，(2,)+∞为函数单调递增区间的子集，根据子集关系可以求得.【详解】由函数22y x ax =+可知，对称轴为x a =-，因为在区间(2,)+∞上是增函数，则2a -≤，解得2a ≥-，故实数a 的取值范围是2a ≥-.故答案为：2a ≥-16.命题“2[1,2],10x x ax ∀∈-+<”为假命题的一个充分不必要条件是______.【答案】52a <（答案不唯一）【解析】【分析】问题化为1[1,2],x a x x∃∈≤+为真命题，利用对勾函数的单调性求最大值，即可得52a ≤，结合充分不必要条件写出一个符合要求的参数范围即可.【详解】由题设，1[1,2],x a x x ∀∈>+为假命题，故1[1,2],x a x x∃∈≤+为真命题，又1y x x =+在[1,2]x ∈上递增，则max 52y =，只需52a ≤即可，所以，原命题为假命题的一个充分不必要条件是52a <.故答案为：52a <（答案不唯一）17.设函数()()()2,1,242, 1.a x f x x x a x a x ⎧-<⎪=-⎨⎪--≥⎩①若0a =，则(1)2f =；②若1a =，则()f x 的最小值为1-；③存在实数a ，使得()f x 为R 上的增函数；④若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是1,1[2,)2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②③④【解析】【分析】①当0a =时，1x =代入()4()(2)f x x a x a =--中求值即可；②当1a =时，得到21,<1()24(1)(2),1x f x x x x x ⎧-⎪=-⎨⎪--≥⎩.分情况讨论求出各段最小值，最后得到()f x 的最小值.③保证两端都要增，端点考虑即可；④分类讨论，结合二次函数性质可解.【详解】①当0a =时，1x =代入()4()(2)f x x a x a =--中，得到(1)4(10)(10)42f =⨯-⨯-=≠，所以①错误.②当1a =时，21,<1()24(1)(2),1x f x xx x x ⎧-⎪=-⎨⎪--≥⎩.当<1x 时，则21x ->，，所以0<222<x-，1()1f x -<<.当1x ≥时，2231()4(1)(2)4(32)4()24f x x x x x x ⎡⎤=--=-+=--⎢⎥⎣⎦.对于二次函数2314()24y x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，对称轴为32x =，在32x =时取得最小值3()12f =-.综上，可得()f x 的最小值为1-，所以②正确.③当1x <时，22()22f x a a x x -=-=---是增函数.当1x ≥时，22()4()(2)432f x x a x a x ax a ⎡⎤=--=-+⎣⎦，其对称轴为32ax =.要使()f x 在R 上是增函数，则24(1)(12)21312a a a a ⎧-≤--⎪⎪-⎨⎪≤⎪⎩.解24(1)(12)21a a a -≤---，即281120a a -+≥，解得115711571616a a +-><或.解312a ≤得23a ≤.显然交集有元素.故存在a 能同时满足这两个条件使得函数在R 上单调递增，所以③正确.④当<1x 时，令2()02f x a x =-=-，则22a x =-，2(2)x a =-，22x a=-.若221x a=-<，即02a <<时，函数()f x 在<1x 时有一个零点.当1x ≥时，()4()(2)f x x a x a =--，令()0f x =，则x a =或2x a =.若1a <且21a ≥，即112a ≤<时，()f x 在1x ≥时有一个零点，结合1x <时的情况，此时()f x 恰有2个零点.若1a ≥，要使()f x 恰有2个零点，则21a >且22a a =-（无解）或者21a >且222a a=-（无解）或者1a >且21a >且221a-≥（即2a ≥）.综上，实数a 的取值范围是1[,1)[2,)2+∞ ，所以④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.18.关于x 的一元二次方程()22230x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x .（1）求k 的取值范围；（2）若12111x x +=-，求k 的值.【答案】（1）3(,)4-+∞（2）3【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的性质，结合0∆>，即可求解；（2）根据题意，利用根与系数的关系，求得2121223,x x k k x x +=--=，结合12111x x +=-，列出方程，求得k 的值，即可求解.【小问1详解】由一元二次方程22(23)0x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x ，则满足()222340k k ∆=+->，解得34k >-，即实数k 的取值范围为3(,)4-+∞.【小问2详解】因为方程22(23)0x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x ，由（1）知34k >-，且2121223,x x k k x x +=--=，因为12111x x +=-，可得12121x x x x +=-，即1212x x x x +=-，可得223k k --=-，即223k k +=，解得3k =或1k =-，因为34k >-，所以3k =.19.设全集R U =，集合{}2|20A x x x =--<，集合{|||1}B x x m =->，其中R m ∈．（1）当1m =时，求()U A B A B ⋂⋃,ð；（2）若A B ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）{|10}A B x x =-<< ，(){12}U A B x =-<≤ ð；（2）3m ≥或2m ≤-.【解析】【分析】（1）由题设得{|12}A x x =-<<，{|0B x x =<或2}x >，根据集合交并补运算求集合；（2）根据包含关系有12m -≥或11m +≤-，即可求参数范围.【小问1详解】由题设{}|(2)(1)0{|12}A x x x x x =-+<=-<<，{|1B x x m =<-或1}x m >+，当1m =时，{|0B x x =<或2}x >，故{|10}A B x x =-<< ，且{|02}U B x x =≤≤ð，故(){12}U A B x =-<≤ ð.【小问2详解】由A B ⊆，则12m -≥或11m +≤-，可得3m ≥或2m ≤-.20.已知函数2()(2)2f x x a x a =-++.（1）当0a =时，分别求出函数()f x 在[1,2]-上的最大值和最小值；（2）求关于x 的不等式()0f x <的解集.【答案】（1）最大值为(1)3f -=，最小值为(1)1f =-；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据二次函数的图象及性质确定区间上的最大值和最小值即可；（2）分类讨论求含参一元二次不等式解集.【小问1详解】由题设2()2f x x x =-，开口向上且对称轴为1x =，结合二次函数的图象，在[1,2]-上最大值为(1)3f -=，最小值为(1)1f =-.【小问2详解】由题意2(2)2()(2)0x a x a x a x -++=--<，当2a <时，解集为(,2)a ；当2a =时，解集为∅；当2a >时，解集为(2,)a .21.已知函数21()x f x x+=.（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明()f x 在(0,1)上是减函数；（3）若函数()y f x m =-在12,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求m 的范围．（直接写出答案）【答案】（1）()f x 是奇函数，理由见解析（2）答案见解析（3）5(2,]2【解析】【分析】（1）对于本题，需要先求出()f x -，然后与()f x 和()f x -进行比较.（2）利用函数单调性的定义,设12,(0,1)x x ∈且12x x <，然后计算12()()f x f x -，根据其正负判断函数的单调性.（3）函数()y f x m =-在1[,3]2上有两个零点，等价于()y f x =与y m =的图象在1[,3]2上有两个交点，需要先分析()f x 在1[,3]2上的单调性和值域，从而确定m 的范围.【小问1详解】函数21()x f x x+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称.22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--.根据奇函数的定义，对于定义域内任意x ，()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.【小问2详解】设12,(0,1)x x ∈且12x x <.则222212122112121211(1)(1)()()x x x x x x f x f x x x x x +++-+-=-=,对分子进行化简：222212211222111212212112(1)(1)()()()(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+--=-+-=--.因为12,(0,1)x x ∈，所以12(0,1)x x ∈，1210x x ->，210x x ->，120x x >.所以21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=>，即12()()f x f x >.所以()f x 在(0,1)上是减函数.【小问3详解】1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211()2x f x x x x+==+≥,当且仅当1x =取得最小值.当121,[,1)2x x ∈时，且12x x <，121[,1)4x x ∈,1210x x ->,210x x ->.则21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=>，即12()()f x f x >，则当1)[1,2x ∈()f x 单调递减；当12,(1,3]x x ∈时，且12x x <，12(1,9]x x ∈,1210x x -<,210x x ->.则21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=<，即12()()f x f x <，则当(1,3]x ∈,()f x 单调递增；并且215()11524()112222f +===，(1)2f =，23110(3)33f +==.因为函数()y f x m =-在1[,3]2上有两个零点，所以5(2,]2m ∈.22.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35k C x x =+.再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+.而建造费用为1()6C x x=最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++（Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+.解得5x =，253x =-（舍去）.当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．23.设函数()f x 是定义在R 上的函数，对任意的实数,x y 都有()(1)(1)f x y f x f y +=+⋅-，且当0x >时()f x 的取值范围是(0,1)．（1）求证：存在实数m 使得()1f m =；（2）当0x <时，求()f x 的取值范围；（3）判断函数()f x 的单调性，并予以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）(1,)+∞；（3）()f x 单调递减，证明见解析.【解析】【分析】（1）令1x y ==结合题设可得(0)1f =，即可证；（2）令y x =-得到1(1)(1)f x f x --=+，若10t x =+>，结合已知即可求范围；（3）令1x x y =+>21x x =+，应用函数单调性定义求证即可.【小问1详解】令1x y ==，则(11)(11)(11)(2)(2)(0)f f f f f f +=+⋅-⇒=，当0x >时()f x 的取值范围是(0,1)，即(2)0f ≠，故(0)1f =，显然存在0m =，使()1f m =，得证；【小问2详解】令y x =-，则()(1)(1)f x x f x f x -=+⋅--，即(1)(1)(0)1f x f x f +⋅--==，若10t x =+>，则10x t --=-<，故1(1)(1)f x f x --=+，即1()()f t f t -=，而()(0,1)f t ∈，则()(1,)f t -∈+∞，当0x <时，()f x 取值范围是(1,)+∞；【小问3详解】()f x 单调递减，证明如下：令1x x y =+>21x x =+，则1210x x y -=->，所以1212()()()f x f x f x x =⋅-，则12212()()()[()1]f x f x f x f x x -=--，由题设及（2）知，212()0,()10f x f x x >--<，则12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 单调递减，得证.。
北京市延庆区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含解析
延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高一数学（答案在最后）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2,1,0,1B =--，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,0- C.{}2,1,0,1,2-- D.{}1,0,1-【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得.【详解】集合{}1,0,1,2A =-，{}2,1,0,1B =--，所以{}1,0,1A B ⋂=-.故选：D2.若集合[]3,1A =-，()2,3B =-，则A B = （）A.(]2,1- B.[)2,1- C.(]3,3- D.[)3,3-【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.【详解】因为[]3,1A =-，()2,3B =-，所以A B = [)3,3-，故选：D.3.已知全集{}N 6U x x =∈≤且{}25A x U x =∈≤，则集合U A ð中的元素有（）A.2个B.4个C.5个D.7个【答案】B 【解析】【分析】利用列举法表示集合U ，解不等式化简集合A ，再求出U A ð即可得解.【详解】依题意，{0,1,2,3,4,5,6}U =，解不等式25x ≤，得x ≤≤，则{0,1,2}A =，所以{3,4,5,6}U A =ð，集合U A ð中的元素有4个.故选：B4.已知集合A 满足{}1A ⊆{}1,2,3,4，则A 有（）A.2个 B.4个C.5个D.7个【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出集合{}2,3,4的真子集个数即可得解.【详解】集合A 满足{}1A⊆{}1,2,3,4，则集合A 可视为集合{1}与集合{}2,3,4的每个真子集的并集，而集合{}2,3,4的真子集个数为3217-=，所以A 有7个.故选：D5.若22P a a =-和24Q a =-，则P 和Q 的大小关系为（）A.P Q >B.P Q< C.P Q≥ D.P Q≤【答案】C 【解析】【分析】根据条件，通过作差法，得到2(2)P Q a -=-，即可求解.【详解】因为22P a a =-，24Q a =-，所以2222(24)44(2)0P Q a a a a a a -=---=-+=-≥，当且仅当2a =时取等号，所以P Q ≥，故选：C.6.设,,a b c ∈R ，且a b <，c d <，则（）A.22a b <B.d c a b> C.ac bd< D.33a b <【答案】D 【解析】【分析】举例说明判断ABC ；利用不等式的性质判断D.【详解】对于A ，取2,2a b =-=，满足a b <，而224a b ==，A 错误；对于B ，取2,1,1,4a b c d =-=-==满足,a b c d <<，而21d ca b=-<-=，B 错误；对于C ，取2,1,1,4a b c d =-=-==满足,a b c d <<，而24ac bd =->-=，C 错误；对于D ，由不等式性质知，由a b <，得33a b <，D 正确.故选：D7.下列函数中，既是偶函数又在区间(),0-∞上单调递增的是（）A.21y x =B.1y x =+C.2y x =-，(),0x ∈-∞D.y x=【答案】A 【解析】【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可求解.【详解】对于选项A ，因为221y x x-==，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称，又2211()()()f x f x x x -===-，所以21y x=是偶函数，又由幂函数的性质知21y x =在区间()0,∞+上单调递减，所以21y x =在区间(),0-∞上单调递增，故选项A 正确，对于选项B ，因为1y x =+图象不关于y 轴对称，即1y x =+不是偶函数，所以选项B 错误，对于选项C ，因为2y x =-，(),0x ∈-∞的定义域不关于原点对称，即2y x =-，(),0x ∈-∞是非奇非偶函数，所以选项C 错误，对于选项D ，当(),0x ∈-∞时，y x x ==-在区间(),0-∞上单调递减，所以选项D 错误，故选：A.8.已知函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 为奇函数”是“(0)=0f ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因函数的定义域是,故“是奇函数”是“”的充分条件；反之,若(0)0f =,则函数不一定是奇函数,“f (x )为奇函数”不是必要条件.应选A.考点：充分必要条件.9.已知函数2()2f x x ax =++有两个零点，在区间(1,2)-上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A.(,)-∞-⋃+∞B.(,3)(3,)-∞-⋃+∞C.(,4](3,)-∞-+∞D.(,4][2,)-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】求出函数()f x 的单调区间，再结合集合的包含关系及零点存在性定理列式求解即得.【详解】函数2()2f x x ax =++在(,]2a -∞-上单调递减，在[,)2a-+∞上单调递增，由在区间(1,2)-上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，得(,](1,2)2a ∞---⊆且(1)0(2)0f f ->⎧⎨<⎩或[,)(1,22)a--+∞⊆且(1)0(2)0f f -<⎧⎨>⎩，则2230620a a a ⎧-≥⎪⎪->⎨⎪+<⎪⎩或1230620aa a ⎧-≤⎪⎪-<⎨⎪+>⎪⎩，解得4a ≤-或3a >，所以实数a 的取值范围是(,4](3,)-∞-+∞ .故选：C10.x ∀∈R ，设()f x 取41y x =+，1y x =+，24y x =-+三个函数值中的最小值，则()f x 的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，利用图象求出其最大值.【详解】在同一坐标系内作出直线41y x =+，1y x =+，24y x =-+，由()f x 取41y x =+，1y x =+，24y x =-+三个函数值中的最小值，得()f x 的图象为下图中实线构成的折线图，则()f x 的最大值即为()f x 的图象最高点对应的纵坐标值，观察图象知，()f x 的图象最高点是直线1y x =+与24y x =-+的交点，由124y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，因此()f x 的图象最高点是(1,2)，所以()f x 的最大值为2.故选：B第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()124f x x =+______.【答案】(2,)-+∞【解析】【分析】利用函数有意义列式求出定义域.【详解】依题意，240x +>，解得2x >-，所以函数()124f x x =+的定义域是(2,)-+∞.故答案为：(2,)-+∞12.已知奇函数()f x 满足()()53f f -<-，则()5f ______()3f .【答案】大于【解析】【分析】利用奇函数的性质，结合不等式的性质求解即得.【详解】由奇函数()f x 满足()()53f f -<-，得()()53f f -<-，所以()()53f f >.故答案为：大于13.已知(],A a =-∞，(),3B =-∞，且x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则a 的取值范围是______【答案】3a ≥【解析】【分析】根据条件得到BA ，再利用集合间的关系，即可求解.【详解】因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B A ，又(],A a =-∞，(),3B =-∞，所以3a ≥，故答案为：3a ≥.14.已知0x <，则812y x x=++的最大值是______，当且仅当x =______时，等号成立.【答案】①.7-②.2-【解析】【分析】根据给定条件，借助配凑的方法，利用基本不等式求出最大值及对应x 的值.【详解】由0x <，得0x ->，则81(2)17y x x =--+≤---，当且仅当82x x-=-，即2x =-时取等号，所以当2x =-时，812y x x=++取得最大值7-.故答案为：7-；2-15.已知函数2()2||1f x x x =--，给出下列四个结论：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 的增区间为[1,)+∞；③不等式()1f x x <-的解集是(1,3)-；④当3x >-时，令3()()g x f x x =+，则()g x 的最小值为4-.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①④【解析】【分析】利用偶函数的定义判断①；求出函数的单调递增区间判断②；分段求出不等式的解集判断③；利用基本不等式分段求出最小值判断④.【详解】函数2()2||1f x x x =--的定义域为R ，对于①，22()()2||12||1()f x x x x x f x -=----=--=，函数()f x 是偶函数，①正确；对于②，2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧+-≤=⎨-->⎩，函数()f x 的增区间为[1,0],[1,)-+∞，②错误；对于③，不等式()1f x x <-，则20211x x x x ≤⎧⎨+-<-⎩或20211x x x x >⎧⎨--<-⎩，解得10x -<<或03x <<，所以不等式()1f x x <-的解集是(1,0)(0,3)- ，③错误；对于④，依题意，2221,303()21,03x x x x g x x x x x ⎧+--<≤⎪⎪+=⎨--⎪>⎪+⎩，当30x -<≤时，2()(3)4443g x x x =++-≥=+，当且仅当233x x +=+，即3x =-时取等号；当0x >时，14()(3)88283x g x x =++-≥=+，当且仅当1433x x +=+，即3x =时取等号，而84)2)]0--=-+=>，即84->，所以()g x的最小值为4-，④正确.故所有正确结论的序号是①④.故答案为：①④【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.求下列方程（组）的解集．．：（1）2560x x +-=（2）3ax =（3）10x +-=（4）2214112x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩【答案】（1）{6,1}-（2）当0a =时，解集为∅；当0a ≠时，方程解集为3a 禳镲睚镲铪.（3）{3-（4）{(0,1),(2,0)}-【解析】【分析】（1）解一元二次方程即可得解集.（2）对a 分类讨论即可得方程的解集.（3(0)t t =≥，把原方程化为一元二次方程，结合t 的取值范围即可得到原方程的解集.（4）利用代入消元法即可得到方程组的解集.【小问1详解】由2560x x +-=得，(6)(1)0x x +-=，解得126,1x x =-=，故方程的解集为{6,1}-.【小问2详解】当0a =时，方程无解，解集为∅，当0a ≠时，解方程得3x a =，方程解集为3a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】(0)t t =≥，则方程可化为2210t t +-=，解方程得，1211t t =-+=-，22(13x t ==-=-{3-.【小问4详解】由2214112x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得，2240x x +=，解得120,2x x ==-,方程组的解为1101x y =⎧⎨=⎩，2220x y =-⎧⎨=⎩，故方程组解集为{(0,1),(2,0)}-.17.求下列不等式（组）的解集．．：（1）2430x x -+≥（2）23210x x -++>（3）2112x x +≥+（4）221132340x x x ⎧+<⎪⎨⎪-+>⎩【答案】（1）{|1x x ≤或}3x ≥（2）1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（3）{|2x x <-或 （4）{}|21x x -<<【解析】【分析】（1）根据条件，因式分解得到(3)(1)0x x --≥，再利用一元二次不等式的解法，即可求解；（2）根据条件，变形得到23210x x --<，再因式分解得(31)(1)0x x +-<，即可求解；（3）先变形成102x x -≥+，再等价于(1)(2)0x x -+≥且2x ≠-，即可求解；（4）先利用绝对值不等式的解法，求2113x +<的解，再求22340x x -+>的解，再求交集，即可求解.【小问1详解】由2430x x -+≥，得到(3)(1)0x x --≥，所以1x ≤或3x ≥，故不等式2430x x -+≥的解集为{|1x x ≤或}3x ≥.【小问2详解】由23210x x -++>，即23210x x --<，得到(31)(1)0x x +-<，所以113-<<x ，故不等式23210x x -++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】由2112x x +≥+，得到102x x -≥+，等价于(1)(2)0x x -+≥且2x ≠-，所以2x <-或1x ≥，故不等式2112x x +≥+的解集为{|2x x <-或}1≥x .【小问4详解】由2113x +<，得到3213x -<+<，即2<<1x -，对22340x x -+>，因为9442230∆=-⨯⨯=-<，所以22340x x -+>的解集为R ，故不等式组221132340x x x ⎧+<⎪⎨⎪-+>⎩的解集为{}|21x x -<<.18.已知关于x 的方程220x x m +-=，m ∈R .（1）当1m =时，若方程的两根为1x 与2x ，求下列各式的值：①2212x x +;②12||x x -;③1222x x +;（2）若该方程的两根同号，求实数m 的取值范围.【答案】（1）①6；②；③4；（2）10m -<<.【解析】【分析】（1）把1m =代入，利用韦达定理列式，再逐一变形计算各个式子的值.（2）利用判别式及韦达定理列出不等式组求解.【小问1详解】当1m =时，方程2210x x +-=，224(1)80∆=-⨯-=>，则12122,1x x x x +=-=-，①222121212()26x x x x x x =-++=；②12||x x ==-=；③1212122()224x x x x x x ++==.【小问2详解】由方程的两根同号，得1212Δ440200m x x x x m =+>⎧⎪+=-<⎨⎪=->⎩，解得10m -<<，所以实数m 的取值范围是10m -<<.19.已知函数()21f x m x=+过点()1,2-.（1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（3）令()()1g x f x =-，求()g x 的解析式，并证明()g x 的图像关于1x =对称.【答案】（1）()211f x x=+，定义域为{}|0x x ≠（2）偶函数，证明见解析（3）()211(1)(1)g x x x =+≠-，证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件可得1m =，即可得()211f x x=+，由解析式可直接求出定义域，即可求解；（2）利用奇偶函数的判断方法，即可求解；（3）利用()211f x x=+，即可得()211(1)(1)g x x x =+≠-，再任取一点(,)P x y ，通过证明其关于1x =对称的点也在()g x 的图象上，即可求解.【小问1详解】因为函数()21f x m x =+过点()1,2-，则21m =+，得到1m =，所以()211f x x =+，定义域为{}|0x x ≠.【小问2详解】函数()f x 为偶函数，证明如下，因为()211f x x =+的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，又()221111()()f x f x x x -=+=+=-，所以()f x 为偶函数.【小问3详解】因为()()2111(1)(1)g x f x x x =-=+≠-，设(,)P x y 是()g x 图象上任意一点，(,)P x y 关于1x =的对称点为(2,)P x y '-，因为()211(1)(1)g x x x =+≠-，所以()2221112111()(21)(1)(1)g x g x x x x -=+=+=+=----，即点(2,)P x y '-也在()g x 图象上，所以()g x 的图像关于1x =对称.20.已知函数()223f x x mx =++.（1）当1m =，[]2,2x ∈-时，求函数()f x 的值域；（2）若函数()f x 在[]22-,上是单调函数，求实数m 的取值范围；（3）当2m =时，比较()0f 与()()226f a a a -+-∈R 的次小.【答案】（1）[2,11]（2）(,2][2,)-∞-+∞ （3）()2(0)26f f a a <-+-【解析】【分析】（1）利用二次函数的对称轴可求函数的单调性，求出最大值和最小值即可得到函数的值域.（2）讨论函数的单调性，利用定义域和对称轴的关系可求得参数的取值范围.（3）计算226a a -+-的取值范围，利用二次函数的单调性和对称轴可比较大小.【小问1详解】当1m =时，()223f x x x =++，对称轴为直线1x =-，()f x 在(2,1)--上为减函数，在(1,2)-上为增函数，min max ()(1)1232,()(2)44311f x f f x f =-=-+===++=，故函数()f x 的值域为[2,11].【小问2详解】函数()223f x x mx =++，对称轴为直线x m =-，当函数()f x 在[]22-,上是单调增函数时，2m -≤-，2m ≥，当函数()f x 在[]22-,上是单调减函数时，2m -≥，2m ≤-，综上得，实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞ .【小问3详解】当2m =时，()243f x x x =++，对称轴为直线2x =-，()f x 在(,2)-∞-上为减函数，在(2,)-+∞上为增函数，且()0(4)f f =-，∵2226(1)55a a a -+-=---≤-，∴()226(5)(4)(0)f a a f f f -+-≥->-=，故()2(0)26f f a a <-+-.21.设集合(){}123,,,R,1,2,3k A a a x x x x k ==∈=，对于集合A 中的任意元素()123,,a x x x =和()123,,b y y y =及实数λ，定义：当且仅当()1,2,3i i x y i ==时a b =()112233,,a b x y x y x y +=+++；()123,,a x x x λλλλ=.若A 的子集{}123,,B a a a =满足：当且仅当1230λλλ===时，()1122330,0,0a a a λλλ++=，则称B 为A 的完美子集.（1）集合()()(){}11,0,0,0,2,0,0,0,3B =，()()(){}21,2,3,2,3,4,3,4,5B =，分别判断这两个集合是否为A 的完美子集，并说明理由；（2）集合()()(){}2,,2,,2,2,,2,2B m m m m m m m m m =---，若B 不是A 的完美子集，求m 的值.【答案】（1）1B 是A 的完美子集，2B 不是A 的完美子集，理由见解析；（2）12m =.【解析】【分析】（1）根据完美子集定义去计算验证是否当且仅当1230λλλ===时，()1122330,0,0a a a λλλ++=即可得解；（2）先计算112233a a a λλλ++()()()()1231231232,2,2222m m m m m m m m m λλλλλλλλλ=++++++---，接着由()1122330,0,0a a a λλλ++=得方程()()123042m λλλ+-=+，解该方程得12m =或1230λλλ+=+，再结合元素互异性分类讨论12m =和1230λλλ+=+这两种情况即可得解.【小问1详解】1B 是A 的完美子集，2B 不是A 的完美子集，理由如下：对于()()(){}11,0,0,0,2,0,0,0,3B =，因为()()()1231,0,0,0,2,0,0,0,3a a a ===，所以()()()()112233123123,0,00,2,00,0,3,2,3a a a λλλλλλλλλ++=+=+，所以当且仅当1230λλλ===时，()1122330,0,0a a a λλλ++=，所以1B 是A 的完美子集；对于()()(){}21,2,3,2,3,4,3,4,5B =，因为()()()1231,2,3,2,3,4,3,4,5a a a ===，所以()()()112233*********,2,32,3,43,4,5a a a λλλλλλλλλλλλ=++++()123123123,2323344,5λλλλλλλλλ=++++++，令1231231321232302*********λλλλλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⇒==-⎨⎪++=⎩，所以123,,λλλ存在无数组解使得()1122330,0,0a a a λλλ++=，如当132222λλλ==-=-时，()1122330,0,0a a a λλλ++=，所以2B 不是A 的完美子集.【小问2详解】因为()()(){}2,,2,,2,2,,2,2B m m m m m m m m m =---，所以()()()1232,,2,,2,2,,2,2a m m m a m m m a m m m =-=--=，所以112233a a a λλλ++()()()()1231231232,2,2222m m m m m m m m m λλλλλλλλλ=++++++---，因为B 不是A 的完美子集，所以存在()()123,,0,0,0λλλ≠，使得1122330a a a λλλ+=+，即存在()()123,,0,0,0λλλ≠使得()()()123123123202202220m m m m m m m m m λλλλλλλλλ⎧++=⎪++-=⎨⎪-+-+=⎩，解方程组得()()123042m λλλ+-=+，由集合互异性可得2m m ≠且22m m ≠-，故0m ≠且2m ≠-，所以解()()123042m λλλ+-=+得12m =或1230λλλ+=+，且由12320m m m λλλ++=得12320λλλ++=，若12m =，则有123123123110221302233022λλλλλλλλλ⎧++=⎪⎪⎪+-=⇒⎨⎪⎪--+=⎪⎩1235573λλλ=-=-，所以123,,λλλ存在无数组解使得()1122330,0,0a a a λλλ++=，如当12355573λλλ=--==时，()1122330,0,0a a a λλλ++=，所以B 不是A 的完美子集，符合题意；当1230λλλ+=+且12m ≠时，则由12320λλλ++=得1230,λλλ==-，所以由()123022m m m λλλ+-=+得()320m λ--=，又2m ≠-得30λ=，故20λ=，不符合题意；综上m 的值为12.【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”，归纳“举例”提供的解题方法，归纳“举例”提供的分类情况；（3）类比新定义中的概念、原理、方法去解决题中需要解决的问题.。
北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含解析
2024-2025学年第一学期高一年级数学学科期中考试命题人：（答案在最后）考生须知1.本试卷分为试题、答题卡两部分.满分150分.考试时间120分钟.2.认真填写所在班级、姓名、学号.3.请用2B 铅笔填涂机读卡，用黑色签字笔在二卷上按要求作答.一、单选题（本大题共10小题，共40分）1.已知集合{1,0,1,2,3},{12}A B xx =-=-<≤∣，则A B = （）A.{1,0}-B.{1,0,1}-C.{0,1}D.{0,1,2}【答案】D 【解析】【分析】根据交集的定义即可求解.【详解】由于{1,0,1,2,3},{12}A B xx =-=-<≤∣，故A B = {0,1,2}，故选：D2.已知a b >，则下列关系中正确的是（）A.a c b c ->-B.ac bc> C.a b> D.22a b >【答案】A 【解析】【分析】由不等式的性质可判断A ，由特值法可判断BCD.【详解】由a b >，则a c b c ->-，A 正确；当0c =时，ac bc =，故B 错误；当3,7a b =-=-时，a b >，3,7a b ==，则a b <，故C 错误；229,49a b ==，则22a b <，故D 错误.故选：A.3.命题“R m ∀∈，都有2230m m -+>”的否定是（）A.R m ∀∈，都有2230m m -+≤B.R m ∃∈，使得2230m m -+≤C.R m ∃∈，使得2230m m -+<D.R m ∃∈，使得2230m m -+>【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“R m ∀∈，都有2230m m -+>”的否定是“R m ∃∈，使得2230m m -+≤”.故选：B.4.已知函数2,()3,2x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则((1))f f -等于（）A.4B.2- C.D.2【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数的定义域，先求得(1)f -，再求((1))f f -即可.【详解】因为函数2,()3,2x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，所以()(1)314f -=--=，所以()((1))42f f f -===，故选：D 5.不等式111x >-的解集为（）A.()(),12,-∞+∞ B.(),2-∞ C.()1,2 D.()(),01,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】根据根式不等式等价于()()120x x --<，即可求解.【详解】由111x >-可得1120011x x x x -+->⇒<--，故等价于()()120x x --<，解得12x <<，故选：C6.下列函数中，满足“对任意的1x ，()20,x ∈+∞使得()()12120f x f x x x -<-”成立的是（）．A.()221f x x x =--+ B.()1f x x x=-C.()1f x x =+ D.()2f x x=-【答案】A 【解析】【分析】根据单调性的定义知函数在在(0,)+∞上为减函数，然后逐项分析即可.【详解】根据题意，“对任意的12,(0,)x x ∈+∞，使得()()12120f x f x x x -<-”，则函数()f x 在(0,)+∞上为减函数.对于选项A ，2()21f x x x =--+为二次函数，其开口向下且对称轴为1x =-，所以()f x 在(0,)+∞上递减，符合题意；对于选项B ，1()f x x x=-，因为y x =在(0,)+∞上递增，1y x =-在(0,)+∞上递增，所以由单调性的性质知，()f x 在(0,)+∞上递增，不符合题意；对于选项C ，()1f x x =+为一次函数，所以()f x 在(0,)+∞上递增，不符合题意；对于选项D ，()2f x x=-在(0,)+∞上单调递增，不符合题意.故选：A.7.已知p ：02x <<，那么p 的一个充分不必要条件是（）A.13x <<B.11x -<< C.01x << D.03x <<【答案】C 【解析】【分析】判断出{}02x x <<的真子集，得到答案.【详解】因为{}01x x <<是{}02x x <<的真子集，故{}01x x <<是p 的一个充分不必要条件，C 正确；ABD 选项均不是{}02x x <<的真子集，均不合要求.故选：C8.函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论正确的是（）A.()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由()y f x =在()0,2上是增函数，()2y f x =+为偶函数，可知()2y f x =+在()0,2上是减函数，进而可比较函数值的大小.【详解】∵()y f x =在()0,2上是增函数，∴()2y f x =+在()2,0-上是增函数，由函数()2y f x =+是偶函数，知：()2y f x =+在()0,2上是减函数，而()()()73512,2,121212222f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由1301222<<<<，∴()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B9.已知()2411f x x +=-，则函数()f x 的解析式为（）A.()22f x x x=- B.()()211f x x x =-≥C.()()2221f x x x x =-+≥ D.()()221f x x x x =-≥【答案】D 【解析】【分析】根据换元法，设211x t +=≥，得21x t =-，代入即可求解．【详解】设211x t +=≥，则21x t =-，所以()()22112f t t t t =--=-，所以()()221f x x x x =-≥，故选：D ．10.已知()222,01,0x ax a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为（）A.[]2,0-B.[]0,1C.[] 2,1- D.[]1,2【答案】B 【解析】【分析】由(0)f 是函数()f x 的最小值，结合二次函数的性质知222()2()f x x ax a x a ==-+-在(-∞，0]上单调递减，从而可得0a ≥，再由分段函数的性质知(0)(1)f f ≤，从而求实数a 的取值范围．【详解】解：(0)f 是函数()f x 的最小值，2()()f x x a ∴=-在(-∞，0]上单调递减，0a ∴≥，当0x >时，1()2f x x a a x=+-≥-在1x =处有最小值，即min ()(1)2f x f a ==-，故(0)(1)f f ≤，即22a a ≤-，解得，21a -≤≤，综上所述，01a ≤≤，故实数a 的取值范围是[0，1]，故选：B ．二、填空题（本题共6小题，共30分）11.已知集合{}2|10,A x x x R =-=∈，用列举法表示A =_________.【答案】{}1,1-##{}1,1-【解析】【分析】先求解出方程的实数根，然后用列举法表示集合.【详解】解：解方程210x -=得1x =±，所以列举法表示集合为{}1,1A =-，故答案为：{}1,1-12.函数()11f x x =+-的定义域为______.【答案】[)()2,11,-⋃+∞【解析】【分析】由1020x x -≠⎧⎨+≥⎩即可求出.【详解】由1020x x -≠⎧⎨+≥⎩，解得2x ≥-且1x ≠，所以()f x 的定义域为[)()2,11,-⋃+∞.故答案为：[)()2,11,-⋃+∞.13.若函数2()(1)f x x a x a =+-+在区间[2,)+∞上是增函数，则a 的取值范围__________.【答案】[3,)-+∞【解析】【分析】利用二次函数单调性列出不等式，求解不等式即得.【详解】函数2()(1)f x x a x a =+-+图象开口向上，对称轴为12a x -=-，由函数()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，得122a --≤，解得3a ≥-，所以a 的取值范围是[3,).-+∞故答案为：[3,)-+∞14.已知正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为_____．【答案】9【解析】【分析】把要求的式子变形为()14414x yx y x y y x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式即可得到14x y +的最小值．【详解】因为0,0,1x y x y >>+=,所以()1441459x yx y x y y x ⎛⎫++=+++≥+⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =即12,33x y ==时，取等号．故答案为：915.已知函数3()3(g x ax bx a =++，b 为常数），若(2)1g =，则(2)g -=__．【答案】5【解析】【分析】设3()()3f x g x ax bx =-=+，可得函数()f x 为奇函数，从而可得()()0f x f x +-=，即得()3()30g x g x -+--=，代入条件即可得解.【详解】根据题意，设3()()3f x g x ax bx =-=+，有33()()()()()f x a x b x ax bx f x -=-+-=-+=-，则函数()f x 为奇函数，则()()0f x f x +-=，即()3()30g x g x -+--=，变形可得()()6g x g x +-=，则有(2)(2)6g g +-=，(2)1g =，则(2)5g -=；故答案为：5.【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用，解题的关键是设3()()3f x g x ax bx =-=+，从而与奇偶性建立联系进而得解，属于基础题.16.若关于x 的不等式2210x x m --+≤在区间[]0,3内有解，则实数m 的取值范围______.【答案】(],2-∞【解析】【分析】根据二次函数的性质，结合配方法进行求解即可.【详解】2221021x x m m x x --+≤⇒≤-++，设()[]()2210,3f x x x x =-++∈，()()222112f x x x x =-++=--+，该二次函数的对称轴为1x =，开口向下，当[]0,3x ∈时，()()max 12f x f ==，要想关于x 的不等式2210x x m --+≤在区间[]0,3内有解，只需()max 2m f x m ≤⇒≤，所以实数m 的取值范围为(],2-∞，故答案为：(],2-∞三、解答题；本题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知全集U =R ，集合{}23A x x =-<<，{}32B x x =-≤≤，（1）求A B ，A B ⋂；（2）求()U A B ð，()U A B ⋃ð．【答案】17.{}33A B x x =-≤< ，{}22A B x x ⋂=-<≤18.(){}23U A B x x ⋂=<<ð，(){2U A B x x ⋃=≤ð或}3x ≥．【解析】【分析】根据交集、并集、补集的定义一次计算即可.【小问1详解】利用数轴，分别表示出全集U 及集合A ，B ，如图．则{}33A B x x =-≤< ，{}22A B x x ⋂=-<≤.【小问2详解】依题意：{2U A x x =≤-ð或}3x ≥，{3U B x x =<-ð或}2x >，所以(){}23U A B x x =<< ð，(){2U A B x x =≤ ð或}3x ≥．18.已知函数()22f x x x =-．（1）写出()f x 的分段解析式；（2）画出函数()f x 的图象；（3）结合图象，写出函数()f x 的单调区间和值域．【答案】()1函数()f x 的分段解析式为()222020x xx f x x xx ⎧-≥=⎨+<⎩;()2见详解;()3函数()f x 的单调递增区间为[][)1,0,1,-+∞；单调递减区间为(][],1,0,1-∞-;函数()f x 的值域为[)1,-+∞.【解析】【分析】()1去绝对值得到分段函数()f x 的解析式;()2根据解析式,通过描点作图,画出函数()f x 图象;()3结合图象,通过观察,写出函数()f x 的单调区间和值域;【详解】()1由题意可得,当0x ≥时, ;当0x <时,()22f x x x =+;所以函数()f x 的分段解析式为()222020x xx f x x xx ⎧-≥=⎨+<⎩;()2根据()1中函数()f x 的解析式,通过描点作图,得到函数()f x 的图象如下:()3由函数图象可知,函数()f x 的单调递增区间为[][)1,0,1,-+∞；单调递减区间为(][],1,0,1-∞-;函数()f x 的值域为[)1,-+∞.【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质;函数图象的判定和作法，利用函数图象判断函数的性质;属于中档题,常考题型.19.已知关于x 的不等式()222R x x ax a a +>+∈.（1）若1a =，求不等式的解集；（2）解关于x 的不等式.【答案】（1）112x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将1a =代入解不等式即可；（2）因为对应方程的两个根为1,2a -，分12a =-、12a >-、12a <-三种情况解不等式即可.【小问1详解】由()()()()222,2121,210x x ax a x x a x x a x +>+∴+>+∴-+>，当1a =时，可得解集为112x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或.【小问2详解】对应方程的两个根为1,2a -，当12a =-时，原不等式的解集为12x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，当12a >-时，原不等式的解集为12x x ⎧<-⎨⎩或}x a >，当12a <-时，原不等式的解集为{x x a <或12x ⎫>-⎬⎭，20.定义在R 上的函数()f x 是奇函数，当0x >时，()41f x x x =+-．（1）利用函数单调性的定义，证明：()41f x x x=+-在[)2,+∞上是单调增函数（2）求函数()f x 的解析式．【答案】（1）证明见解析（2）()41,00,041,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪⎪==⎨⎪⎪++<⎩【解析】【分析】（1）任取[)1212,2,,x x x x ∈+∞>，通过判断()()12f x f x -的符号来证明单调性即可；（2）利用()()f x f x =--可得函数解析式.【小问1详解】任取[)1212,2,,x x x x ∈+∞>，则()()()()12121212121244411x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫-=+--+-= ⎪⎝⎭，[)1212,2,,x x x x ∈+∞> ，12120,40x x x x ∴->->，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，∴()41f x x x=+-在[)2,+∞上是单调增函数；【小问2详解】当0x <时，由函数()f x 是奇函数得()()4411f x x x x x f x ⎛⎫-+--==++ ⎪⎝⎭-=--，，又()00f =，()41,00,041,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪⎪∴==⎨⎪⎪++<⎩.21.某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为2900m 的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （单位：m ），三块种植植物的矩形区域的总面积为S （单位：2m ）．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）求S 的最大值，并求出此时x 的值．【答案】（1）72002916=--+S x x，()8,450x ∈（2）当矩形温室的室内长为60m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为2676m ．【解析】【分析】（1）三块种植植物的矩形区域的总面积可看做一个矩形面积:900(8)2S x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭,根据边长为正得其定义域为(8,450)；（2）利用基本不等式求最值即可.【小问1详解】由题设，得()9007200822916S x x x x ⎛⎫=--=--+⎪⎝⎭，()8,450x ∈．【小问2详解】因为8450x <<，所以72002240x x +≥=，当且仅当60x =时等号成立，从而676S ≤．故当矩形温室的室内长为60m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为2676m ．22.已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当0x >时，()1f x >，且()12f =.（1）求()()0,1f f -的值，并判断()f x 的单调性；（2）当[]1,2x ∈时，不等式()()231f ax x f x -+<恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()01f =，()10f -=；()f x 在R 上为增函数；（2）34a <.【解析】【分析】（1）利用赋值法求出()()0,1f f -的值，利用函数的单调性定义判断()f x 的单调性即可；（2）利用已知等式把不等式()()231f ax x f x -+<转化为()()221f ax x f -<-，利用函数的单调性，结合常变量分离法、配方法进行求解即可.【详解】（1）令0x y ==，得()()()00001f f f +=+-，得()01f =，令1,1x y =-=，得()()()0111f f f =-+-，得()10f -=；设12,x x 是任意两个不相等的实数，且12x x <，所以210x x ->，所以()()()()212111f x f x f x x x f x -=-+-()()()()21112111f x x f x f x f x x =-+--=--，因为210x x ->，所以()211f x x ->，所以()2110f x x -->，因此()()()()21210f x f x f x f x ->⇒>即()f x 在R 上为增函数；（2）因为()()231f ax x f x -+<，即()2211f ax x -+<，即()220f ax x -<，又()10f -=，所以()()221f ax x f -<-，又因为()f x 在R 上为增函数，所以221ax x -<-在[]1,2x ∈上恒成立；得2210ax x -+<在[]1,2x ∈上恒成立，即221a x x<-在[]1,2x ∈上恒成立，因为2221111x x x ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，当2x =时，221x x -取最小值34，所以34a <；即34a 时满足题意.。
2023-2024学年北京市首都师大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市首都师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设集合A ＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{x |x 2﹣3x ＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{1，2}C ．{1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2}2．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2B ．f （x ）＝1，g （x ）＝x 0C ．f （x ）={x ，x ≥0−x ，x ＜0，g （x ）＝|x |D ．f （x ）＝x +1，g(x)=x 2−1x−13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤11x−1，x ＞1，则f （f （﹣2））＝（ ）A ．8B ．12C ．−34D ．−1094．“x ＜3”是“|x ﹣1|＜2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．“∃x ∈N ，x ﹣1＜0”的否定为（ ） A ．∃x ∈N ，x ﹣1≥0 B ．∃x ∉N ，x ﹣1≥0 C ．∀x ∉N ，x ﹣1≥0D ．∀x ∈N ，x ﹣1≥06．对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则1a＜1bB ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2C ．若a ＞0＞b ，则ab ＜a 2D ．若c ＞a ＞b ，则ac−a＞b c−b7．已知函数f(x)=1ax 2+bx+c的部分图象如图所示，则a +b +c ＝（ ）A ．﹣6B ．6C ．﹣3D ．38．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，且f （3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集是（ ） A ．（﹣3，0）B ．（﹣3，0）∪（3，+∞）C ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）D ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）9．命题“∀x ∈[1，2]，2ax +11x ≥0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．a ≥﹣1B ．a ≥﹣2C ．a ≥﹣3D ．a ≥﹣410．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，(a −b ≤1)b ，(a −b ＞1)，设函数f （x ）＝（x 2﹣2）◎（x ﹣x 2），x ∈R ．若函数y ＝f （x ）﹣c 的图像与x 轴恰有3个公共点，则实数c 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，﹣1] B ．(−∞，−2]∪(−1，−34) C ．(−34，+∞)D ．（﹣1，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．函数f （x ）=√9−x 2x的定义域为 ．12．已知函数f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数．当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＝x ﹣x 4，则当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＝ ．13．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油(6+x 2360)升，司机的工资是每小时24元．则这次行车的总费用最低为 元．14．若关于x 的不等式ax ﹣b ＞0的解集为{x |x ＜1}，则关于x 的不等式ax+b x−2＞0的解集为 ．15．下列四个命题：①若a ＞b ＞0，a ＞m ＞0，则b−m a−m＜b a＜b+m a+m；②函数f(x)=x +4x+1的最小值是3；③已知x ＞0，y ＞0，且x +y ＝1，则1x+1y 的最小值是4；④已知正实数x ，y 满足xy +2x +y ＝4，则x +y 的最小值为2√6−3． 其中所有正确命题的序号是 ．三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16．（8分）设集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤2m +1}． （1）若m ＝3，求∁R （A ∪B ）； （2）若B ⊆A ，求m 的取值范围．17．（8分）已知函数f （x ）＝x 2﹣（a +b ）x +2a ．（1）若关于x 的不等式f （x ）＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求a ，b 的值； （2）当b ＝2时，解关于x 的不等式f （x ）＞0． 18．（12分）已知函数f(x)=ax+b 4−x 2是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=23．（1）求实数a 和b 的值；（2）判断函数f （x ）在（﹣2，2）上的单调性，并证明你的结论； （3）若f （t 2﹣1）+f （1﹣t ）＜0，求t 的取值范围．19．（10分）已知函数f （x ）的定义域为R ，并且满足下列条件：①f （﹣1）＝1；②对任意x ，y ∈R ，都有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）；③当x ＞0时，f （x ）＜0． （Ⅰ）求f （0），f （2）的值； （Ⅱ）证明：f （x ）为奇函数；（Ⅲ）解关于x 的不等式f （x 2+2x ）﹣f （2﹣x ）＞﹣2．20．（12分）对于函数f （x ），若存在实数x 0，使得f （x 0）＝x 0成立，则称x 0为f （x ）的“不动点”． （Ⅰ）设函数f(x)=3x+2x+2，求f （x ）的不动点；（Ⅱ）设函数f （x ）＝ax 2+（b +1）x +b ﹣2（a ≠0），若对于任意的实数b ，函数f （x ）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设函数f （x ）定义在（﹣∞，+∞）上．证明：若f （f （x ））存在唯一的不动点，则f （x ）也存在唯一的不动点．2023-2024学年北京市首都师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
2023-2024学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |﹣1＜x ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1}B ．{0，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣1，0，1，2}2．设命题p ：∃x ∈Z ，x 2≥2x +1，则p 的否定为（ ） A ．∀x ∉Z ，x 2＜2x +1 B ．∀x ∈Z ，x 2＜2x +1 C ．∃x ∉Z ，x 2＜2x +1D ．∃x ∈Z ，x 2＜2x +13．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A ．f （x ）＝3﹣x B ．f （x ）＝x 2﹣3x C ．f （x ）=−1x+1D ．f （x ）＝﹣|x |4．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则一定有（ ） A ．ac＞bdB ．a d＜bcC ．a c＜bdD ．a d＞bc5．定义在R 上的函数f （x ）在（﹣∞，2）上是单调增函数，且f （x +2）＝f （2﹣x ）对任意x ∈R 恒成立，则（ ）A ．f （﹣1）＜f （3）B ．f （﹣1）＝f （3）C ．f （0）＞f （3）D ．f （0）＝f （3）6．若函数f(x)={3−x 2−1≤x ≤2x −32＜x ≤5，则方程f （x ）＝1的解是（ ）A ．√2或2B ．√2或3C ．√2或4D ．±√2或47．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m +2）x +m4=0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1x 1+1x 2=4m ，则m 的值是（ ） A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在8．已知a ＞0，且关于x 的不等式x 2﹣2x +a ＜0的解集为（m ，n ），则1m+4n的最小值为（ ）A ．92B ．4C ．72D ．29．已知a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，不等式a 1x +b 1＜0与不等式a 2x +b 2＜0的解集分别为集合M 和集合N ，那么“a 1a 2=b 1b 2”是“M ＝N ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．既非充分又非必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件10．已知f （x ）＝x 2﹣2kx +3k 2﹣3k +1（k ∈R ）．以下四个命题： ①对任意实数x ，存在k ，使得f （x ）＞0； ②对任意k ，存在实数x ，使得f （x ）＞0； ③对任意实数k ，x ，均有f （x ）＞0成立； ④对任意实数k ，x ，均有f （x ）＜0成立． 其中所有正确的命题是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。