定积分的概念
《定积分的定义》课件
总结词：定积分具有线性性质、可加性、可减性、可 乘性和可除性。
详细描述：定积分具有一系列的性质，其中最重要的是 线性性质，即两个函数的和或差的积分等于它们各自积 分的和或差；其次，定积分具有可加性和可减性，即函 数在一个区间上的积分等于该区间左端点处的函数值与 区间长度乘积的一半减去右端点处的函数值与区间长度 乘积的一半；此外，定积分还具有可乘性和可除性，即 函数与常数的乘积的积分等于该常数乘以函数的积分， 函数除以常数的积分等于函数乘以该常数的倒数。这些 性质在求解定积分时非常有用。
功的计算
定积分可用于计算力在空间上所做的功，通过将力在空间上进行积 分得到总功。
电磁学中的应用
在电磁学中，电场强度和磁场强度是空间的函数，通过定积分可以 计算电场强度和磁场强度在空间上的分布。
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微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用非常广泛，它 为解决各种实际问题提供了重要的数 学工具。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算 各种函数的定积分，从而解决诸如面 积、体积、长度、平均值、极值等问 题。此外，它也是微分方程求解的重 要基础。
微积分基本定理的证明
总结词
微积分基本定理的证明涉及到了极限理论、实数性质等深奥的数学知识，是数学严谨性的一个典范。
详细描述
证明微积分基本定理需要利用极限的运算性质和实数完备性等数学知识。其证明过程体现了数学的严 谨性和逻辑性，是数学教学中的重要内容。同时，对于理解微积分的本质和深化数学素养具有重要意 义。
03
定积分的计算方法
直接法
总结词
直接计算定积分的基本方法
详细描述
直接法是计算定积分最基本的方法，它基于定积分的定义，通过将被积函数进行微分和 积分，然后进行计算。这种方法适用于一些简单的定积分计算，但对于一些复杂的定积
定积分的概念 课件
a
f(x)dx等于由直线x＝a，x＝b，y＝0与
曲线y＝f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．
b
(2)计算
a
f(x)dx时，先明确积分区间[a，b]，从而确定曲
边梯形的三条直边x＝a，x＝b，y＝0，再明确被积函数f(x)，
从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积
S而得到定积分的值：
c
f(x)dx
(其中a<c<b)．
[点睛] 性质(1)的等式左边是一个定积分，等式右边是常数与 一个定积分的乘积． 性质(2)对于有限个函数(两个以上)也成立． 性质(3)对于把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也 成立．
利用定义求定积分
3
[典例] 利用定义求定积分0x2dx. [解] 令f(x)＝x2，
n
(3)求和：
i＝1Leabharlann f(ξi)·b－n a；
b
(4)取极限：a
n
f(x)＝lim n i＝1
b－a f(ξi)· n .
用定积分的性质求定积分
[典例]
(1)f(x)＝x2＋ x2，1，1≤0≤x≤x<21.，
2
则
f(x)dx＝(
0
)
2
A. (x＋1)dx 0
2
B. 2x2dx 0
1
2
C. (x＋1)dx＋ 2x2dx
(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定 积分的线性性质进行计算，可以简化计算．
(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数， 一般利用积分区间的连续可加性计算．
用定积分的几何意义求定积分
[典例] 根据定积分的几何意义，求下列定积分的值．
定积分的定义及几何意义
精品文档 定 积 分教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）． 教学难点：过程的理解．1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间 [,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a x n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑ 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()ba S f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()b a f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b af x dx ⎰，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）积分的几何意义：曲边图形面积：()ba S f x dx =⎰； 积分的物理意义： 变速运动路程21()t t S v t dt =⎰； 变力做功 ()ba W F r dr =⎰ 2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1a b dx b a -=⎰1 性质2 ⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）精品文档 性质31212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ 性质4 ()()()()bc b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中例题：求曲线2x y =与0,1==y x 所围成的区域的面积 解：（1）分割:将区间[]0,1等分成n 个小区间：11i i t n n n-∆=-= （2）近似代替：2)1(1n i n s i -=∆ （3）求和： 1ni i S S ==∆∑ 从而得到S 的近似值 )12)(11(61n n s --= （4）取极限：1111115lim lim lim 112323n n n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 例1．利用定积分的定义计算dx x )1(210+⎰的值。
1 定积分概念
.1 定积分概念定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n个小区间，设有常数I，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于区间[a,b]的任何分法，不论在中怎样取法，只要，总有成立，则称I是f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作。
接下来的问题是：函数f(x)在[a,b]上满足怎样的条件，f(x)在[a,b]上一定可积？以下给出两个充分条件。
定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。
.2 牛顿－莱步尼兹公式及实例定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则。
(1)证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。
于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节），即。
(2)在上式中令x = a，得。
又由Φ (x)的定义式及上节定积分的补充规定知Φ (a) = 0，因此，C = F(a)。
以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的Φ (x)，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。
由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。
为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。
公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。
例1 计算定积分。
解。
例2计算。
解。
例3计算。
解。
例4计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积。
解释定积分的概念
解释定积分的概念
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
具体来说，定积分定义如下：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子
区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (xₙ-1,xₙ]，其中x₀=a，xₙ=b。
a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x
叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
同时，应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。
掌握定积分概念及基本性质
供需关系研究
通过定积分，可以研究市 场供需关系的变化。
投资回报分析
在金融领域，定积分可以 用来分析投资回报率的变 化。
05
掌握定积分的重要性
在数学中的地位
连接微积分两大核心概念
定积分与微积分息息相关，是微积分理论体系的重要组成部分， 掌握了定积分，就等于掌握了微积分的一半。
深化对极限概念的理解
定积分与极限概念紧密相连，掌握定积分有助于更深入地理解极限 的内涵和应用。
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的核心公式，它表示为∫baf(t)dt=F(b)-F(a)，其中∫baf(t)dt表示函数f(t) 在区间[a, b]上的定积分，F(x)表示f(t)的原函数，即满足F'(x)=f(x)的函数。该公式通过选取合适的分割和 近似方式，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，最后求和得到定积分的值。
为后续课程奠定基础
定积分是学习复变函数、实变函数等后续课程的基础，对于数学专 业的学生来说至关重要。
在其他学科中的应用价值
物理学中的应用
在物理学中，定积分常用于计算 面积分，例如在计算电磁场、引
力场等物理量的分布时。
工程学科中的应用
在工程学科中，定积分常用于解 决与几何形状、物理量分布等有 关的实际问题，如机械工程、土
定积分的几何意义
定积分的几何意义是函数图像与x轴所夹的面积。具体来说，将定积分表示的函 数图像与x轴围成的面积，即为定积分的值。
定积分的几何意义还可以理解为曲线与x轴所夹的“曲边梯形”的面积。这个曲 边梯形的高就是函数值，底就是x轴上的区间。
定积分的物理意义
定积分的物理意义是表示某个物理量在某个时间段或某个 区间内的累积效应。例如，物体的质量分布不均匀，其质 心位置可以通过对质量分布函数进行定积分来求解。
定积分与不定积分定义
定积分与不定积分定义
定积分和不定积分是高数中的重要概念，它们均有其特定的定义。
定积分是指将复杂函数拆分成一系列简单函数，然后将其求和计算出函数在某一区间上的总和。
它可以用来计算曲线下的面积、曲线的位移以及函数的变化等。
定积分是求取函数积分的一种方法，其定义为：若f(x)是定义在区间[a,b]上的连续
函数，则把[a,b]上f(x)的积分称为定积分，记作：∫abf(x)dx不
定积分是指在求取函数的积分时，没有给定区间，即没有给定函数的定义域，而是由求积分的过程中求出区间。
不定积分是求取函数积分的一种方法，其定义为：若f(x)是定义在实数集
上的连续函数，则把f(x)的不定积分称为不定积分，记作：
∫f(x)dx定积分和不定积分的应用十分广泛，它们在数学、物理、经济学等领域都有着重要的作用。
在求解复杂函数的积分问题时，定积分和不定积分可以通过求取函数的定积分和不定积分等方法来解决。
定积分和不定积分是高数中的重要概念，它们的定义和应用都十分广泛，可以用来解决多种复杂函数的积分问题。
在研究高数中，要深入研究定积分和不定积分的定义和应用，以便更好地理解复杂函数的求积分问题。
_定积分的概念A
定积分的概念【要点梳理】要点一、定积分的定义 定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式： 11()()nnn i i i i b aS f x f n x x ==-=D =邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ??）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =ò，定积分的相关名称：⎰——叫做积分号，()f x ——叫做被积函数，()d f x x ——叫做被积表达式，x ——叫做积分变量，a ——叫做积分下限，b ——叫做积分上限，[a ，b]——叫做积分区间。
要点诠释： （1）定积分()baf x dx ò是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n ??时）记为()baf x dxò，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bb baaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如120(1)x dx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同。
（3）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x x -Î；③求和：1()ni ib af n x =-å； ④取极限：()1()l i mnbi naib af x dx f nx =-=åò （4）按定积分的定义，① 由连续曲线()[()0]y f x f x =≥、直线x=a 、x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积为()d baf x x ⎰；② 设物体运动的速度v=v （t ），则此物体在时间区间[a ，b]内运动的距离s 为()d bav t t ⎰。
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4、它们的共同特征是什么？
§1.5 定 积 分 －－§1.5.3定积分的概念
滨海中学 李鹏
n
i1
n
f(i)x
i1
f(i)b na
如果当n∞时，上述和式无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，
记作
b f ( x ) d x ， 即 b f ( x ) d x l n f i ( i ) x i 。 m
a a 0 i 1
即 abf(x)dxlni m i n1b naf(i)
积分上限
[ a , b ] 叫做积分区间结ຫໍສະໝຸດ 的面积。探y
究
一
y x2
O
1x
定积分的几何意义( f (x) 0 )
设阴影部分面积为S
b
a f ( x)dx
表示由直线 x a,
x b (a b), y 0
和曲线 y f (x) 所
b
a f (x)dx S
围成的的曲边梯形 的面积
合作探究
如何用定积分表示图中蓝色部分的面积?
yf (x) y
构
分
b
n
f(x)dxlim
baf()
a
n n i1
i
析
积分下限
被 积
被 积
积 分
函
式
变
数
量
合作探究
（1）定积分的结果是一个 数值
（2）定积分的值只与被积函数和积分区 间有关，而与积分变量用什么字母表 示 无关 ， 即
b f (x)dx ＝
b
f (t)dt
a
a
如何用定积分表示抛物线 y x 2 、 直线 x 1 和 x 轴所围成的曲边梯形
Oa
y gx
b
b
a f(x)dxag(x)dx
bx
用定积分表示下列图中阴影部分的面积
y
y 2x
y
针
y sin x
对
训
01
x
0 1 3
x
4
练
1
0 2 xd x
3
4 sin xdx 1
例⒈利用定积分的定义，计算 1 x 3 d x 的值 0
注： ni31 32333n31n2(n1 )2
i 1
4
小结
1、通过本节课的学习，你学到 了哪些知识？ 2、本节课用到了哪些思想方法？
作业 P 5 0
必做题：习题1.5 A 3,4,5 选做题：习题1.5 B 2