双曲线的标准方程1公开课
1双曲线及其标准方程 精品课件 公开课一等奖课件
18
3．方程 mx2＋ny2＝1(mn<0)表示的曲线为双曲线，它包 2 2 x y 含焦点在 x 轴和在 y 轴上两种情形，方程变为 ＋ ＝1. 1 1 m n x 2 y2 当 m>0，n<0 时，方程为 － ＝1 表示焦点在 x 轴上 1 1 － m n 1 1 的双曲线，此时 a＝ ，b＝ － ； m n
13
解：若以线段 F1F2 所在的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂 直平分线为 y 轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形 式．由题意得 2a＝24,2c＝26. 2 2 2 ∴a＝12，c＝13，b ＝13 －12 ＝25. 当双曲线的焦点在 x 轴上时， 2 2 x y 双曲线的方程为 － ＝1. 144 25 若以线段 F1F2 所在直线为 y 轴，线段 F1F2 的垂直平分 线为 x 轴，建立直角坐标系． y2 x 2 则双曲线的方程为 － ＝1. 144 25
8
x2 y2 解析：由于方程 － ＝ 1 只需满足 (k－ 5)与 (|k| k－5 |k|－2 －2)同号，方程即能表示双曲线．∵方程的图形是双曲线， k－5>0， k－5<0， ∴ (k－ 5)(|k|－ 2)>0，即 或 解得 k>5 |k|－2>0 |k|－2<0， 或－2<k<2.
解析：(－5,0)和(5,0)都是双曲线的焦点， ||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝15＋8 或 15－8.
答案：D
7
x2 y2 2．已知方程 － ＝1 表示的图形是双曲线，那 k－5 |k|－2 么 k 的取值范围是( ) A．k>5 B．k>5 或－2<k<2 C．k>2 或 k<－2 D．－2<k<2
双曲线及其标准方程市公开课一等奖省赛课获奖课件
变式训练
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点分别为 F1(－10,0)，F2(10,0)，且经过点(3 5，－ 4(2))；经过点(3,0)，(－6，－3)． 解：(1)由题设知双曲线的焦点在 x 轴上，且 c＝10.所以可 设它的标准方程为xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)．从而将双曲线 的标准方程化为100x－2 b2－by22＝1，将点(3 5，－4)代入并 化简整理，得 b4－39b2－1 600＝0，解得 b2＝64 或 b2＝－ 25(舍去)，故所求双曲线的标准方程为3x62－6y42 ＝1.
第20页
变式训练
2.设双曲线x2－y2＝ 49
1，
F1、
F2
是其两个焦点，点
M
在双
曲线上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2 的面积； (2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2 的面积是多少？
第21页
解：(1)由双曲线方程知 a＝2，b＝3，c＝ 13， 设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)． 由双曲线定义得 r1－r2＝2a＝4， 两边平方得 r21＋r22－2r1·r2＝16， 即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16， 即 4S△F1MF2＝52－16， ∴S△F1MF2＝9. (2)若∠F1MF2＝60°，在△F1MF2 中， 由余弦定理得|F1F2|2＝r21＋r22－2r1r2cos 60°， |F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2， ∴r1r2＝36， 则 S△F1MF2＝12r1r2sin 60°＝9 3.
第24页
第18页
(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)， ∴9m＋0＝1，
§2.3.1 双曲线及其标准方程(第一课时)【公开课教学PPT课件】
实验探究
[1]取一条拉链；
[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；
[3] 拉动拉链（M）。
多么美丽对称 的曲线
2019年8月14日8时31分
实验探究
探究双曲线的定义:
①如图 ������ , ������������1 − ������������2 = ������������2 =2a
②如图 ������ , ������������2 − ������������1 = ������������1 =2a
������2 ������2 9 − 16 = 1.
2019年8月14日8时31分
应用探究
例 1 双曲线的两个焦点坐标分别是������1 −5,0 , ������2 5,0 ,双曲线上的点到
两个焦点的距离之差的绝对值是 6，求双曲线的标准方程. 解: 所求双曲线的标准方程是: ������2 − ������2 = 1
普通高中课程标准实验教科书北师大版 选修1-1
§2.3.1 双曲线及其标准方程 （第一课时）
2019年8月14日8时31分
学习目标
1.了解双曲线的定义、几何图形及标准方程 的推导过程; 2.掌握双曲线的标准方程及其求法; 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单 的问题.
2019年8月14日8时31分
双曲线定义的符号表述：
M
| |MF1| - |MF2| | = 2a ( 0<2a< 2c) ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
F1 o F2
2019年8月14日8时31分
生活中的双曲线
2019年8月14日8时31分
生活中的双曲线
双曲线的标准方程市公开课金奖市赛课一等奖课件
围是
。 2m
m 1 m (1, ) (, 2)
2.求 a 4,b 3,焦点在x轴上双曲线原则方程。 x2 y2 1 16 9
3.求 a 2 5,通过点（2，-5），焦点在y轴上双曲线 原则方程 。
y2 x2 1 20 16
第11页
4、设双曲线
x2 y2 1 16 9
上点P到点 （F52，0）距离为
（第3步, 列式） 由定义可知: MF1 MF2 2a （第4步, 化简） 即：MF1 MF2 2a
MF1 (x c)2 y2 , MF2 (x c)2 y2
( x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
第5页
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2 (x c)2 y2 4a2
设 c2 a2 b2 , (b 0)
(c2 a2 )x2 a2 y2 (c2 a2 )a2
即： b2 x2 a2 y2 a2b2
两边同时除以 a2b2
x2 y2 1, (a 0, b 0, c2 a2 b2 ) a2 b2
这个方程叫做双曲线原则方程, 它所表示双曲线焦点在x轴 上, 焦点是F1 (－c,0) 、F2(c,0) , 这里c2=a2+b2
15，则点P到 F（1 -5，0）距离是
。
7或者23
思考:上题中距离改为： 17
2
第12页
定义 图象
| MF1-MF2 | =2a（０ < 2a<F1F2=2c）
y
M
F1
o
F2
x
y
M F2
x
F1
方程
焦点
❖ a.b.c ❖ 关系
《双曲线的标准方程》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】
《双曲线的标准方程》教学设计第一课时◆教学目标1. 掌握双曲线的定义，提升学生的数学抽象素养．2.掌握双曲线的标准方程的推导过程，提高学生的数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：双曲线的定义及其标准方程．教学难点：双曲线标准方程的推导过程．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习双曲线的标准方程第一课时．（2）学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高．如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章．所以说本节课的作用就是纵向承接双曲线定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1、探究新知问题2：如图所示，某中心O 接到其正西、正东、正北方向三个观测点A ，B ，C 的报告： A ，C 两个观测点同时听到一声巨响，B 观测点听到的时间比A 观测点晚4s ，已知各观测点到该中心的距离都是1020m ，假定当时声音传播的速度为340m /s ，且A ，B ，C ，O 均在同一平面内.你能确定该巨响发生的点的位置吗？师生活动：学生充分思考，并鼓励学生尝试给出答案．设计意图：通过实际问题，引导思考，引出双曲线的定义．发展学生数学抽象，直观想象的核心素养．上述情境中，因为观测点A 与C 同时听到响声，说明P 一定在AC 的垂直平分线上;因为观测点B 听到的时间比观测点A 晚4s ，这说明P 距离B 更远，而且13603404||||=⨯=-PA PB ，那么，满足上式的点P 可能的位置有哪些呢?这与本小节我们要讨论的双曲线有关．一般地:如果21,F F 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且||221F F a >，则平面内满足a PF PF 2||||||21=-的动点P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点21,F F 称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离||21F F 称为双曲线的焦距.另外，可以看出，双曲线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．问题3：你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗？师生活动：教师提示，学生自己尝试画出双曲线．预设的答案:画法：如图①所示，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换，如图②所示，类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.设计意图：通过具体的操作，让学生更加清楚双曲线的形成过程．问题3：这种作双曲线的方法，请问双曲线上的点到两定点21,F F 的距离有何特点? 师生活动：通过实践操作，学生自己总结答案．预设的答案:可以看出拉链M 到21,F F 的距离的差的是一个常数．设计意图：通过观察实践．让学生自己总结结论，发展学生直观想象，数学抽象的核心素养．问题4：怎样从数学上证明满足双曲线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？师生活动：学生充分思考，并由学生在练习本上写出过程，展台展示．预设的答案：以21,F F 所在直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，设双曲线的焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -．设P 的坐标为),(y x ，因为a PF PF 2||||||21=-，而且221)(||y c x PF ++=，222)(||y c x PF +-=，所以+++22)(y c x a y c x 2)(22±=+-， ①由①得a y c x y c x y c x y c x 2)()(])[()(22222222±=+-++++--++整理得x a c y c x y c x 2)()(2222±=+-+++，②①+ ②整理得)()(22x ac a y c x +±=++，③ 将③式平方再整理得2222222)(a c y ax a c -=-- ④因为0>>a c ，所以22a c >，设222b a c =-，且0>b ，则④式可化为的双曲线的标准方程．设计意图：类比双曲线的标准方程推导，运用双曲线定义推导其标准方程．发展学生数学抽象，数学运算，直观想象的核心素养．三、初步应用例1 求满足下列条件的双曲线的标准方程．两个焦点分别是)0,5(),0,5(21F F -，双曲线上的点P 到两焦点的距离之差的绝对值为8；师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：由已知得82=a ，因此4=a ，又因为5=c ，所以9222=-=a c b ，因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求的双曲线的标准方程为191622=-y x 设计意图：通过典例解析，，帮助学生形成求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法．发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养．四、归纳小结，布置作业问题5：（1）什么是双曲线？焦点？焦距？（2）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）如果21,F F 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且||221F F a >，则平面内满足a PF PF 2||||||21=-的动点P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点21,F F 称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离||21F F 称为双曲线的焦距.（2设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生理解双曲线的标准方程的有关知识． 布置作业：教科书上的练习题五、目标检测设计1．“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件设计意图：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的定义是解决本题的关键．2．若方程221625x y k k+=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．(5,10)B ．(3,5)C ．(6,)+∞D ．,35),()(∞⋃+∞-设计意图：考查学生双曲线的定义的认识． 3．过点(1，1)，且b a=x 轴上的双曲线的标准方程是（ ） A ．22112x y -=B ．22112y x -=C ．22112y x -= D ．22112x y -=或22112y x -= 设计意图：考查学生对双曲线的标准方程的求法．参考答案：1．【答案】A 若方程22112x y m m +=+-表示双曲线， 则(1)(2)0m m +-<，得12m -<<，则11m -<<能推出12m -<<，12m -<<不能推出11m -<<，“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A ．2．【答案】B 方程221625x y k k+=--表示焦点在y 轴上的双曲线 所以50620k k ->⎧⎨-<⎩，即35k << 故选：B3．【答案】D由b a=，知：222b a =. 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为222212x y a a-=，将点(1，1)代入可得212a =，则双曲线方程为22112x y -=. 故选：A。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线的标准方程教案省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
5/56
思考感悟
1．双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|? 提示：①如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时 动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端 点)． ②如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线． ③如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨 迹不存在．
A．双曲线
B．双曲线一支
C．两条射线 D．一条射线
答案：C
11/56
2．双曲线x32－y22＝1 的焦点坐标是(
)
A．(± 5，0) B．(0，± 5)
C．(±1,0)
D．(0，±1)
答案：A
12/56
3．以 F1(－4,0)、F2(4,0)为焦点，且经过点 M(3， 15)的双曲线的标准方程为________．
9/56
提醒：在x2，y2系数异号前提下，假如x2项系 数是正，那么焦点在x轴上，假如y2项系数是 正，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定 大于b，所以，不能像椭圆那样用比较分母大 小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
10/56
尝试应用
1．动点P到点M(1,0)，N(－1,0)距离之差绝对 值为2，则点P轨迹是( )
16/56
解：(1)若设所求双曲线方程为xa22－yb22＝1(a>0， b>0)，则将 a＝4 代入，得1x62－yb22＝1.
又∵点 A(1，4 310)在双曲线上， ∴116－196b02 ＝1. 由此得 b2<0，∴不合题意，舍去．
17/56
若设所求双曲线方程为ya22－xb22＝1(a>0，b>0)， 则将 a＝4 代入得1y62 －xb22＝1，代入点 A(1，4 310)， 得 b2＝9，
双曲线及其标准方程 第1课时(上课课件)
(2)经过点(3,0)，(－6，－3)，求双曲线的标准方程；
(3)已知方程2＋x2m－m＋y2 1＝1 表示双曲线，求 m 的取值范围．
分析：(1)(2)先设出双曲线的标准方程，再构造关于 a，b 的方程组求
解．(3)只需 x2 项与 y2 项的系数异号．
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(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种情
况都有可能．
(2)设方程：根据焦点的位置，设其方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)或ay22－bx22 ＝1(a>0，b>0)．焦点位置不定时，可设为 mx2＋ny2＝1(mn<0)．
(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)解方程：解方程组，将a，b(或m，n或点的坐标)代入所设方程即可 得标准方程．
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在双曲线的定义中，注意三个关键点： (1)在平面内； (2)差的绝对值； (3)存在定值且定值小于两定点间距离． 在这三个条件中，缺少任何一个条件，动点轨迹就不是双曲线．
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1.已知平面上定点 F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－ |MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲 线，则甲是乙的( B ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)．（设双曲线的一般方程）
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴
9m＋0＝1， 36m＋9n＝1，
高中数学选修1122双曲线说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件
(4)当 a>4 时,无轨迹.
2.2.1
问题导学
双曲线及其标准方程
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
迁移与应用
2
2
1.已知双曲线的方程是16 − 8 =1,点 P 在双曲线上,且到其中一个焦
点 F1 的距离为 10,点 N 是 PF1 的中点,求|ON|的大小(O 为坐标原点).
解:由题意知 ON 是△PF1 F2 的中位线,
1
2
∴|ON|= |PF2|.
∵||PF1|-|PF2||=8,|PF1|=10,
∴|PF2|=2 或
1
18,|ON|= |PF2|=1
2
或 9.
2.2.1
问题导学
迹是什么?当 2a=0 时,点 M 的轨迹是什么?当 2a>|F1F2|时,点 M 的轨迹
是什么?当|MF1|-|MF2|=2a<|F1F2|时,点 M 的轨迹是什么?
提示:当 2a=|F1F2|时,点 M 的轨迹是以 F1,F2 为端点的两条射线(包
括端点);当 2a=0 时,点 M 的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线;当 2a>|F1F2|
思路分析:(1)利用待定系数法求双曲线的标准方程时,首先应明确
焦点在哪个坐标轴上;
(2)若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点,则可设双曲线为
2
27-
2
+
=1(27<λ<36),再将点
36-
题方法有一定的技巧性.
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4、当||MF1|-|MF2||= 2a=0 时，M点的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线 。
如图建立直角坐标系xOy使x轴经过点
F1、F2且点O与线段F1、F2的中点重合.
设M(x，y)是双曲线上任意一点，
|F1 F2| =2c，F1(-c,0),F2(c,0),又
练习1.根据方程，写出焦点坐标及 a, b的值:
(1) x2 ? y2 ? 1和x2 ? 15 y2 ? 15 25 9
焦点(?4,0),a ? 5,b ? 3 焦点(?4,0),a ? 15,b ? 1
x2 (2)
?
y2
? 1和
y2
?
x2
?1
43
34
焦点(?1,0),a ? 2,b ? 3
焦点(0,? 7),a ? 3,b ? 2
x2 －y2＝ 12 8
1.
方法二 设双曲线方程为 16x－2 k－4＋y2 k＝1 (－4<k<16)，
将点(3 2，2)代入得 k＝4， ∴所求双曲线方程为 1x22 －y82＝1.
小结 (1)双曲线标准方程的求解方法是 “先定型，后计
算”．先看焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴，从而设出
?1
?a ? b ? 0?
y2 a2
?
x2 b2
? 1(a
?
0, b ?
0).
相同点：
1.焦点坐标相同 , 焦距相等；
2.焦a , b, c大小满足勾股定理 .
不同点：
1.椭圆中a最大a 2 ? b2 ? c2 , 在双曲线中 c最大, c2 ? a 2 ? b2；
2.椭圆方程中 ? , 双曲线中 ? ； 3.判断焦点位置方法不同。
由双曲线定义知 2c ? 2a,即c ? a, 因此c2 ? a 2 ? 0 令c 2 ? a 2 ? b2 (b ? 0), 得
y
?M
b2x2 ? a 2 y2 ? a 2b2 ,
x2 a2
?
y2 b2
?
1(a
?
0, b
?
0).
双曲线的标准方程.
F1?
O
? F2 x
说明: 1.焦点在x 轴;
2. 焦点F1(-c,0),F 2(c,0);
F1,F2 ---焦点 |F1F2| ---焦距（设为 2c） 设常数||MF1| - |MF2|| = 2a
注意：对于双曲线定义须抓住三点：
1、平面内的动点到两定点的
M
距离之差的绝对值是一个常数；
2、这个常数要小于 |F1F2|；
F1
F2
3、这个常数要是非零常数。
数学实验：
[1] 取一条拉链；
[2]如图把它固定在板 上的两点F1、F2；
[3] 拉动拉链（M）。
思考：拉链运动的轨迹 是什么？
思考：
1、平面内与两定点的距离的差等于常数 2a（小于|F1F2| ）的轨迹是什么？
双曲线的一支
2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数（等于|F1F2| ）的轨迹是什么？
是在直线 F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线
3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什么？
例 1 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3， －4 2)和???94，5???，求双曲线的标准方程； (2)求与双曲线1x62－y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双
曲线方程． 解 (1)由已知可设所求双曲线方程为 ay22－xb22＝1 (a>0，b>0)，
则???3a22 －b92＝1， ?? 2a52 －1861b2 ＝1，
问题1：椭圆的定义什么？
平面内与两个定点 F1, F2 的距离和的等于常
数（大于 F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。
问题2：如果把上述定义中“距离的和”改为 “距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变 化？
平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等 于常数2a (小于 F点1F2的) 轨迹叫做双曲线。
解得
?? ? ??
a 2＝16， b2＝9，
∴双曲线的方程为 1y62 －x92＝1.
(2)方法一 设双曲线方程为 xa22－yb22＝1.
由题意易求得 c＝2 5. 又双曲线过点 (3 2，2)，∴?3a22?2－b42＝1.
又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线的方程为
不存在
结论：
1、当||MF1|-|MF 2||= 2a<|F 1F2|时，M点轨迹是双曲线 其中当|MF1|-|MF2|= 2a时，M点轨迹是双曲线 中靠近F2的一支； 当|MF2| - |MF1|= 2a时，M点 轨迹是双曲线中靠近 F1的一支.
2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F 1F2|时，M点轨迹是在直 线F1F2上且以 F1和F2为端点向外的两条射线。
相应的标准方程．
(2)在求双曲线的方程时， 若不知道焦点的位置，则进行讨
论，或可直接设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1 (AB<0)．
(3)与双曲线xa22－by22＝1 共焦点的双曲线的标准方程可设为
a
x2 2－
－ λ
b2y＋2 λ＝1(－
b2<λ<a
2)．
根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点 P (3，145)，Q(－136，5)； (2) c＝ 6，经过点 (－5，2)，焦点在 x 轴上．
3.a,b 无大小关系; 4.c 2=a 2+b 2 , c最大.
焦点在X 轴上的双曲线标准方程是:
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
?
0, b
?
0).
焦点在y 轴上的双曲线标准方程是:
y2 a2
?
x2 b2
?
1(a
?
0, b
?
0).
y
F1?
O
x
?M ? F2
定义 图象
? ? MF1 ? MF2 ? 2a，0 ? 2a ? F1F2
F1?
设点M与F1,F2的距离的差的绝对值等 于常数2a.
y
?M
O
?F2 x
由定义知 MF1 ? MF2 ? 2a
? MF1 ? ?x ? c?2 ? y2 , MF2 ? ?x ? c?2 ? y2 ,
? ?x ? c?2 ? y2 ? ?x ? c?2 ? y2 ? ?2a.
化简得：(c2 ? a 2 )x2 ? a 2 y2 ? a 2 (c2 ? a 2 ).
方程
焦点 a.b.c 的关系
x2 a2
?
y2 b2
?1
F ??c,0?
c2 ? a2 ? b2
y2 a2
?
x2 b2
?1
F ?0,?c?
谁正谁对应 a
椭圆的标准方程：
x2 a2
?
y2 b2
?1
?a ? b ? 0?
双曲线的标准方程：
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
?
0, b ?
0).
y2 a2
?
x2 b2