任务二十七单跨超静定梁的内力计算及内力图绘制
《单跨超静定梁》PPT课件
作用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称
为固端剪力。用MAB、MBA、QAB、QBA表示。2Biblioteka 、讨论几种情况 例1:解:
3
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0
4
5
6
7
超静定结构与静定结构的对比:
8
例2: 解:
9
11 X1 12 X 2 1C 0 21 X1 22 X 2 2C 0
1
二、杆端力的表示方法和正负号的规定
1、弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而言，顺 时针为正，逆时针为负；对结点而言，顺时针为负， 逆时针为正。
2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同 “材力”。
A MAB0
P
B MBA0
P A
QAB0
B QBA0
3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载
10
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
12
当 A时 1,
M BA
2
EI l
2i
M AB
4
EI l
4i
i---线刚度.
13
见P111表
例3:
14
见P111表
例4:
15
见P111表
例5:
16
17
例6:
18
例7:
快速准确绘制单跨静定梁内力图
快速准确绘制单跨静定梁内力图摘要:单跨静定梁的内力图是弯曲杆件强度、刚度计算及做超静定结构内力图的基础。
本文作者从四方面阐述,提出快速准确绘制单跨静定梁内力图的方法。
关键词:内力图;校核;截面内力;图线类型;叠加法一、引言弯曲变形是工程中常见的一种基本变形,以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
例如房屋建筑中,梁受到楼面荷载和梁自重的作用,将发生弯曲变形;其它如阳台挑梁、梁式桥的主梁等,都是以弯曲变形为主的构件。
在对梁进行强度和刚度计算时,通常要先画出剪力图和弯矩图,以便清楚地看出梁的各个截面上剪力和弯矩的大小、正负以及最值所在截面的位置。
而单跨静定梁的内力图是弯曲杆件强度、刚度计算及做超静定结构内力图的基础,如果这一部分没有学好,弯曲杆件的强度、刚度就无从计算,超静定结构的内力图也就很难做出。
在多年的教学实践中,根据学生信息反馈,本人探索、研究、试行,提出快速准确绘制单跨静定梁内力图的方法以供学生和同行商榷。
二、支座反力计算一定要校核能否正确画出单跨静定梁的内力图,支座反力的对错是关键。
怎样求支座反力是静力学的主要内容,这里不再赘述。
总的来说,支座反力由静力平衡方程解出,求解过程中,在正确的受力图上,列出独立并包含最少未知量的方程,尽量避免解方程组,求出支座反力后一定要用同解方程校核。
例如图1所示简支梁:反力计算正确。
在这个例子中,大多数学生在第二步计算RB 时就用方程,即RB=10+10×2-RA,如果RA 算错了,则RB 肯定也会跟着出错,所以在教学中建议学生尽量用力矩方程求支座反力,用投影方程校核,保证计算正确。
三、熟练掌握截面法求指定截面内力要做出结构的内力图,还必须能正确计算出控制截面的内力。
所谓控制截面指的是:杆端截面、集中力、集中力偶作用面、分布荷载集度变化处。
用截面法求这些截面的内力是做内力图的基础。
这一部分比较容易掌握,许多教材介绍的也比较少,但大部分学生在做内力图时又算不出特定截面的内力,因此,这一部分应投入比较多的精力。
结构力学课件-单跨静定梁的内力分析
FSK
ql 2
qx
cos
0
x
l
FNK
FAy sin
qx sin 0
FNK
ql 2
qx
sin
0
x
l
③作内力图
MK
ql 2
x
qx2 2
0
x
l
FSK
ql 2
qx
cos
0
x
l
ql sinFNKFra bibliotekql 2
qx
sin
0
x
l
2
ql 2 M图 8
ql cos 2
➢将斜梁与相应水平梁作比较：
q 'l
q 'l
2
2
q 'l tan 2
q 'l2
M图 8cos
FS图
q 'l tan
2
FN图
总结斜梁内力分析的特点：
➢截面内力的计算：截面法 ➢沿水平向布置的竖向荷载作用下，简支斜梁的支座反力和相应水平梁的
支座反力相同，弯矩图相同 ➢沿水平向布置的竖向荷载作用下，斜梁的剪力和轴力是相应水平梁剪力
13.805kN
M max 13.805kN.m
单选题 1分
静定结构在荷载作用下均会产生内力，而且内力大小与杆件截面尺 寸及截面材料均无关。
A 正确 B 错误
提交
四、 简支斜梁的计算 1、斜梁应用：楼梯、屋面斜梁、及具有斜杆的刚架结构中
简支斜梁
2、斜梁所受分布荷载
q q' A
沿水平方向均布荷 载q：活载（人群、 雪载）
Fy 0 FA 10 10 4 33.75 10 2 0 FA 36.25kN ()
单跨静定梁的内力计算
单跨静定梁的内力计算单跨静定梁的内力计算是结构力学中的一个基本问题，通过计算可以得到梁在不同位置处的剪力、弯矩和轴力等内力参数。
这些内力参数是设计和分析梁的性能和安全性的重要依据。
梁的内力计算可以通过多种方法进行，常见的有静力方法、能量方法和受力平衡方法等。
下面将介绍静力方法和能量方法这两种常用的计算方法，并简要说明计算步骤和注意事项。
1. 静力方法：静力方法是一种基于受力平衡的计算方法，通过平衡受力来计算内力。
具体步骤如下：1.1 绘制受力图：根据梁的受力情况，画出受力图，标注各个受力的方向和大小，包括支持力、荷载力、剪力和弯矩等。
1.2 利用受力平衡条件分析：根据受力平衡条件，设置适当的方程组，解方程组得到未知力的大小。
1.3 计算内力：根据受力图和已知力的大小，应用受力平衡和几何关系，计算梁的不同位置处的剪力、弯矩和轴力等内力。
2. 能量方法：能量方法是通过能量原理来计算内力的一种方法，包括弹性势能原理和最小势能原理。
具体步骤如下：2.1 建立适当的变形假设和应变位移关系：对梁的受力状态进行分析，建立适当的变形假设，如小位移假设，然后利用应变位移关系得到各部位的应变和位移。
2.2 建立应变能和位移能的表达式：利用应变能和位移能的定义，建立它们的表达式，一般包括弯曲应变能、剪切应变能和轴向应变能等。
2.3 建立总能量和平衡方程：将总能量表示为应变能和位移能的和，再应用极值原理，建立平衡方程，对系统总能量求导，使其达到极值。
2.4 计算内力：通过求解平衡方程，得到梁在不同位置处的内力。
在进行单跨静定梁的内力计算时，需要注意以下几点：- 细化受力图的绘制，要准确标注各个受力的方向和大小。
- 对于复杂的受力情况，可采用多段剖分的方法，将梁分割为多个小段进行分析，再将结果整合得到整体的内力。
- 静力和能量方法是两种常用的计算方法，其结果应尽可能一致，以确保计算结果的准确性。
- 在应用能量方法计算内力时，应根据实际情况选择适当的应变能和位移能表达式。
《建筑力学与结构》课件——第十章 超静定结构的内力计算
力法计算超静定结构
(2) 建立力法方程
11X 1 12X 2 1F 0 21X 1 22X 2 2F 0
建筑力学与结构
(3) 计算系数和自由项
δ11 4a3 / 3EI
1F 5qa4 / 8EI
2024/11/13
δ22 a3 / 3EI δ12 δ21 a3 / 2EI 2F qa4 / 4EI
M AB
M1X1
MF
l 3 ql 8
1 ql 2 2
1 ql 2 8
取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构，利用
计算静定结构的位移，达到求解超静定结构的方法，称为力
法。
2024/11/13
13
力法计算超静定结构
2.力法的典型方程
建筑力学与结构
1 11 X1 12 X 2 1F 0 2 21 X1 22 X 2 2F 0
2024/11/13
14
力法计算超静定结构
建筑力学与结构 n次超静定结构
δ11 X 1 δ12 X 2 δ1i X i δ1n X n 1F 0 δ21 X1 δ22 X 2 δ2i X i δ2n X n 2F 0
…………………………………………..……
δn1 X1 δn2 X 2 δni X i δnn X n nF 0
2024/11/13
7超静定次数的确定来自建筑力学与结构 3.去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束，用 三个约束反力代替该约束作用。
2024/11/13
8
超静定次数的确定
建筑力学与结构 4.将一刚结点改为单铰联结或将一个固定支座改为固定铰支座，相 当于去掉一个约束，用一个约束反力代替该约束作用。
各杆的杆端弯矩表达式
静定结构的内力计算图文
30 30
4m
4m
4m
4m
12kN
12kN 12kN
M 图（kN·m）
9kN
9kN
2kN/m
7kN
5kN
9kN
4.5kN
7.5kN
39
第40页/共76页
作业
习题3-5、3-6、3-9 习题3-10、3-12
40
第41页/共76页
§3-3 三铰拱
41
第42页/共76页
一、 概述
1、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。
AC段受力图：
q
MC
t
C
FNC
FQC
n
x
FAY
FAYSinα
（2）求内力方程：
MC = 0 Ft = 0 Fn= 0
M = 1 qlx 1 qx2 (0 x l) 22
FN
=
q(1 l 2
x) sin
(0 x l)
FQ
=
q(1 2
l
x) cos
(0 x l)
FAYcosα
FAY
M中 =162 / 8 6.23/ 2 =1.385kN.m(下拉)
弯矩图见下图。
1kN/m
6.23 D
C 1.385
6.23 E
1.385kN A
4.5kN
M 图(kN.m)
B 1.385kN
1. 5kN
38
第39页/共76页
例：主从刚架弯矩图。
12kN
2kN/m
36 36
6m
12 42 30
F
F
曲梁
拱
f / l : 高跨比（1～1/10）
任务二十七单跨超静定梁的内力计算及内力图绘制
… nn X n nP 0 n n1 X 1 n2 X 2 … n3 X 3 根据位移互等定理可知副系数
五、 力法典型方程
该方程称为力法的典型方程 按前面求静定结构位移的方法求得典型方程中的系数和自由 项后，即可解得多余力Xi。
然后可按照静定结构的分析方法求得原结构的全部反力和内力。 …
M 3是反对称图形。
由图形相乘可知：
13 31
23 32
M 1 M 3 ds 0 EI
M 2 M 3 ds 0 EI
七、对称性的利用
故力法典型方程简化为
11 x1 12 x2 1P 0 21 x1 22 x2 2 P 0
图的相应纵标叠加，即可绘出
静定结构无异。它可用来分析任何类型的超静定结构。
四、 超静定次数的确定与基本结构
超静定次数(degree of static indeterminacy )：多余联系的 数目或多余力的数目 确定超静定次数最直接的方法就是在原结构上去掉多余联系， 直至超静定结构变成静定结构，所去掉的多余联系的数目，就是原 结构的超静定次数。
结构力学基本知识
超静定结构的内力计算
项目十
任务二十七 单跨超静定梁的内力计算及内力图绘制
教学内容 一、超静定结构的概念 二、力法的基本原理 三、力法的基本方程 四、超静定次数的确定与基本结构 五、 力法典型方程 六、力法的计算步骤和举例 七、对称性的利用
一、超静定结构的概念
静定结构 （statically determinate structure） 支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定，是没 有多余联系的几何不变体系。 超静定结构 （statically indeterminate structure ）
超静定结构自内力的计算
A
B
l
以上两过程的叠加
B
MBA
A
1 3i
M
AB
1 6i
M BA
l
A B
我们的任务是要由杆端位移求 杆端力，变换上面的式子可得：
B
1 6i
M AB
1 3i
M BA
l
M M
AB BA
4i A 2i A
2i B 4i B
6i 6i
l l
(1)
QAB
QBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
θB
X2
Δ
X1=1
1
M1
1/l
1
M2
X2=1 1/l
X1
4i
A
2i B
6i l
X2
2i
A
4i B
6i l
可以将上式写成矩阵形式
M AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
6i
l 6i
l
A B
QAB
6i l
6i l
12i l 2
1
4
2
3
几种不同远端支座的刚度方程
1
1
X2 1
0
0
X3 1
0 2C a
3C
0
支座移动时,结构中的位移以及 位移条件的校核公式如下:
i
Mi Mds EI
iC
Mi Mds EI
Ri ci
制造误差引起的内力计算: AB杆造长了1cm,如何作弯矩图?
A
10m 10m
X3 X1 X2
五.温度变化时超静定结构的计算
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四、 超静定次数的确定与基本结构
从超静定结构上去掉多余联系的方式有以下几种：
1. 去掉支座处的支杆或切断一根链杆，相当下去掉一个联系，
如图 (a) (b) 所示；
四、 超静定次数的确定与基本结构
2. 撤去一个铰支座或撤去一个单铰，相当于去掉二个联系，如 图 (c) (d) 所示；
四、 超静定次数的确定与基本结构
用来确定X1的条件是：基本结构在原有荷载和多余力共同
作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相 等。 为了唯一确定超静定结构的反力和内力，必须同时考虑静 力平衡条件和变形协调条件
1 11 1P 0
三、 力法的基本方程
若以 11表示X1为单位力（即 成
用点沿X1方向产生的位移，则有 11=
四、 超静定次数的确定与基本结构
图 (a)所示超静定结构属内部超静定结构，因此，只能在结 构内部去掉多余联系得基本结构，如 (b)所示。
四、 超静定次数的确定与基本结构
对于具有多个框格的结构，按框格的数目来确定超静定的次数 是较方便的。一个封闭的无铰框格，其超静定次数等于3，故当一个 结构有n个封闭无铰框格时，其超静定次数等于3n。如图 (a)所示结 构的超静定次数等于3x8=24。当结构的某些结点为铰接时，则一个 单铰减少一个超静定次数。图 (b)所示结构的超静定次数等于 3x8-5=19。
结构力学基本知识
超静定结构的内力计算
项目十
任务二十七
教学内容 一、超静定结构的概念 二、力法的基本原理 三、力法的基本方程
单跨超静定梁的内力计算及内力图绘制
四、超静定次数的确定与基本结构 五、 力法典型方程 六、力法的计算步骤和举例 七、对称性的利用
一、超静定结构的概念
静定结构 （statically determinate structure） 支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定，是没 有多余联系的几何不变体系。 超静定结构 （statically indeterminate structure）
二、
力法的基本原理
现在要设法解出基本结构的多余力X1，一旦求得多余
力X1，就可在基本结构上用静力平衡条件求出原结构的所 有反力和内力。因此多余力是最基本的未知力，又可称为
力法的基本未知量。但是这个基本未知量X1不能用静力平
衡条件求出，而必须根据基本结构的受力和变形与原结构 相同的原则来确定。
三、 力法的基本方程
模块三
结构力学基本知识
超静定结构的内力计算
项目十
任务二十七
教学重点
单跨超静定梁的内力计算及内力图绘制
超静定结构的概念、力法的基本原理、力法的基本方程、超静定 次数的确定与基本结构、力法典型方程、力法的计算步骤
教学难点 力法的基本方程、超静定次数的确定与基本结构、力法典型 方程、力法的计算
模块三
M M 1 X1 M P
X1 M 以 M 倍，再与 P
图如图 (c)所示。 综上所述可知,力法是以多余力作为基本未知量，取去掉多 余联系后的静定结构为基本结构，并根据去掉多余联系处的已知 位移条件建立基本方程，将多余力首先求出，而以后的计算即与 应用上式绘制弯矩图时，可将 M 1 图的纵标乘
M
三、 力法的基本方程
用图乘法计算这些位移
11
1P
M1M1 1 l 2 2l l3 dx EI EI 2 3 3EI
M 1M P 1 1 ql 2 3l ql 4 dx l EI EI 3 2 4 8EI
支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定，是有
多余联系的几何不变体系。
一、超静定结构的概念
静定刚架
超静定刚架
有多余联系是超静定结构区别于静定结构的基本特性
二、力法的基本原理
1. 力法(force method)的基本结构
去掉多余联系用多余未知力来代替后得到的静定结构 称为按力法计算的基本结构。
X 1=1）时，基本结构在X1作
11X1,于是上式可写
11 X 1 1P 0
X1 － 1P
11
式(a)就是根据原结构的变形条件建立的用以确定X1的变 形协调方程，即为力δ11和△
1p，分别绘出基本结构的单
位弯矩图M1和荷载弯矩图Mp（由荷载q产生），分别如图 (a)、 (b) 所示 ：
四、 超静定次数的确定与基本结构
如图 (a)所示刚架，具有一个多余联系。若将横梁某处改为铰 接，即相当于去掉一个联系得到图 (b)所示静定结构；当去掉 B支
座的水平链杆则得到图 (c)所示静定结构，它们都可作为基本结构。
但是，若去掉 A支座的竖向链杆或 B支座的竖向链杆，即成瞬变体 系[图 (d)]所示，显然是不允许的，当然也就不能作为基本结构。
因此可解出多余力X1
X1
1P
11
ql 4 8 EI
l3 3EI
3ql 8
三、 力法的基本方程
多余力X1 求出后，其余所有反力和内力都可用静力平衡条件确定。超 静定结构的最后弯矩图M，可利用已经绘出的 M 1 和 M 图按叠加原理绘出， P 即
3. 切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当于去掉
三个联系，如图 (e) 所示；
四、 超静定次数的确定与基本结构
4. 将一刚结点改为单铰联结成或将一个固定支座改为固定铰支 座，相当于去掉一个联系，如图 (f) 所示。
对于同一个超静定结构，可用各种不同的方式去掉多余联 系而得到不同的静定结构。因此在力法计算中，同一结构的基 本结构可有各种不同的形式。但应注意，去掉多余联系后基本 结构必须是几何不变的。为了保证基本结构的几何不变性，结 构中的某些联系是不能去掉的。
图的相应纵标叠加，即可绘出
静定结构无异。它可用来分析任何类型的超静定结构。
四、 超静定次数的确定与基本结构
超静定次数(degree of static indeterminacy )：多余联系的 数目或多余力的数目 确定超静定次数最直接的方法就是在原结构上去掉多余联系， 直至超静定结构变成静定结构，所去掉的多余联系的数目，就是原 结构的超静定次数。