毕奥-萨伐尔定律

1
P y
+
无限长载流长直导线的磁场
B
0 I
2π r
I B
I
X
B
电流与磁感强度成右螺旋关系
半无限长载流长直导线的磁场
π 1 2 2 π
BP
0 I
4π r
I
o
r
* P
例2 圆形载流导线的磁场. 真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆 电流. 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.
4π r
2
dq 2π rdr

v r
dr
dB B
0
2
R
dr
0
2

0
dr
0 R
2
小 • 磁场
电 流 运动电荷 磁 铁
结
磁 场
电
流
运动电荷 磁 铁
0 Idl r • 毕奥－萨伐尔定律 dB 4 r 3 o I o qv r B (cos 1 cos 2 ) B 4ro 3
R o r
解法一
圆电流的磁场
dI

0, B 0, B

dr
向外 向内
2π 0 dI 0 dB dr 2r 2
2π rdr rdr
B
0
2

R
0
dr
0 R
2
解法二
运动电荷的磁场
R o r
dB0
0 dqv
0 I B sin d 4π r0（cos1 cos 2） 4π r0 z B 的方向沿 x 轴的负方向. D 2
0 I
2
1
无限长载流长直导线的磁场.
B
（cos1 cos 2） 4π r0
B
0 I
I
o
x
C
B
1 0 2 π
0 I
2π r0
4
r
o nI B (cos 2 cos 1 ) 2
Bx
o R I
2
2( R x )
2 2
3
2
l
2
R
2
0 nI
2
l
2
/4 R
2 1/ 2

l R
B 0nI
(2) 无限长的螺线管
（3）半无限长螺线管
B 0nI
或由 1 π , 2 0 代入
π 1 , 2 0 2
1 B 0 nI 2
0 nI
x
0 nI cos 2 cos 1 B 2
（3） I
R
o
B0
0 I
8R
*o
B0
0 I
4 R2

0 I
4 R1

0 I
4π R1
三 磁偶极矩
Pm ISen
0 IR
2x
3 2
I S
例2中圆电流磁感强度公 式也可写成
en
P m
B
0 Pm B e 3 n 2π x
0 Pm B 3 2π x
14-2毕奥-萨伐尔定律
一 毕奥－萨伐尔定律 二 毕奥－萨伐尔定律应用举例 三 磁偶极矩 四 运动电荷的磁场
一、毕奥－萨伐尔定律
1、引入 dq→dE→E Idl→dB→B
毕奥－萨伐尔根据电流磁作用的实验 结果分析得出，电流元产生磁场的规 律称为毕奥－萨伐尔定律。
Idl r P
I dB
2 2
1）若线圈有 N 匝
（x R ）2 2 2 N 0 IR
3
(5) 一段圆弧在圆心处产生的磁场
B
0 I

2 R 2

0 I
4R

I
（1） R
B0
x
B0
I
o
0 I
2R
（2 ） R o
I
（4）
B0
0 I
4R
（5） I d
0 I BA 4π d
*A
R1 R2
•电流元Idl 的方向即为电流的方向；
•dB的方向由Idl 确定，即用右手螺旋法则确定； •毕奥－萨伐尔定律是求解电流磁场的基本公式，利用该定律， 原则上可以求解任何稳恒载流导线产生的磁感应强度。
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1 8 2
+
7
Idl
R
6 5
d 1、5 点 ： B 0
+3 3、7点 ：dB
Idl
r
B
dB
p *
o
R
I

B
dB
0 Id l
4π r
2
x
解 根据对称性分析
B Bx dB sin
Idl
R
r
x

*p
dB

cos R
o

x B
r 2 2 2 r R x 0 I cos dl
4π

l
r
2
4π r 0 I cos dl dB x 2 4π r
0 Idl r 毕— 萨定律 dB 4π r 3
j
S
dl
实用条件
q
+
r
v c v
+B
dN nS dl d B 0 qv r B d N 4π r 3
q
r

v
B
例4 半径 为 R 的带电薄圆盘的电荷面密度 为 , 并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转 动 ，求圆盘中心的磁感强度.
例1 载流长直导线的磁场.
dB 方向均沿
z
D
2
dz

r
r0
I
z
1
dB
* y P
r2 0 Idz sin B dB CD r 2 4π
解 dB
x 轴的负方向 0 Idz sin
4π
x
C
o
z r0 cot , r r0 / sin 2 dz r0d / sin 0 I 2 B 1 sin d 4π r0
r
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
3、 叠加原理 任一电流产生的磁场
4、说明
0 Idl r B dB 3 4 r
Idl
dB
P
r
•该定律是在实验的基础上抽象出来的，不能由实验直接证明， 但是由该定律出发得出的一些结果，却能很好地与实验符合。
1 0 nI 2
B
O
四 运动电荷的磁场
0 nSdlqv r dB 3 4π r
运动电荷的磁场
Idl jSdl nSqvdl 在载流导体中取一电流元，它的
截面积为S，单位体积内有n个带 电粒子，每个粒子带有电荷量为 q，以平均速率v沿电流流向运动， 则单位时间内通过截面S的电荷 量为nqvS，即I=nqvS，代入毕 —沙定律可得：
Pm
en
I S
说明：只有当圆形电流的面积S很小，或场点距 圆电流很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子.
例3 载流直螺线管的磁场 如图所示，有一长为l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
R
o * p
dx
0 Idl
4π R
2
+
4
2、4、6、8 点 ：
dB
0 Idl
4π R
sin 45 0 2
二、毕奥－萨伐尔定律应用举例
解题步骤
1.选取合适的电流元——根据已知电流的分布与待求场点的位置； 2.选取合适的坐标系——要根据电流的分布与磁场分布的的特点来
选取坐标系，其目的是要使数学运算简单；
3.写出电流元产生的磁感应强度——根据毕奥－萨伐尔定律； 4.计算磁感应强度的分布——叠加原理； 5.一般说来，需要将磁感应强度的矢量积分变为标量积分，并选取 合适的积分变量，来统一积分变量。
x
x
++ ++++ ++ +++ ++ +
解 由圆形电流磁场公式
wk.baidu.com
B
0 IR
2
2 2 3/ 2
（x R ） 2
1

x1
o p
2
x2
++ + + + + + + + + + + + + +
x
2 2 R x dx R csc d 2 x2 0 nI R dx B dB x1 R 2 x 2 3/ 2 R2 x2 R2 csc2 2 3 2 2 R csc d 0 nI 2 0 nI B 1 R3 csc3 d 2 1 sin d 2
2
dB
0 Id l
B
0 IR 2π R B dl 3 0 4π r 2 0 IR
（x R ）2 2
2 2 3
I
o
R
x
*
B
x
B
B
0 IR
2
2 2 3
讨 论
（x R ）2 2 2）x 0 B 的方向不变( I 和 B 成右螺旋关系） 0 I B 3）x 0 2R 2 0 IR 0 IS 4）x R B ， B 3 3 2x 2π x
2
dB
0

R 2 Indx
2 3/ 2

x Rcot


讨 论
0 nI cos 2 cos 1 B 2
（1）P点位于管内轴线中点
1 π 2
l/2
cos 1 cos 2
B 0 nI cos 2
若
cos 2
l / 2
Idl
dB

2、内容 电流元Idl在空间P点产生的磁场B：
r
(电流元在空间产生的磁场)
Idl
dB
4π r 0 Idl r dB 4π r 3
2
dB
0 Idl sin
dB
P *
r

Idl
I
0 4π 107 N A2 真空磁导率