毕奥-萨伐尔定律

(3)
P
a a
P
物 理 系

a
P
(4)载流导线延长线上任一点的磁场 Idl // r , Idl r 0 B 0
南 京 理 工 大 学 应 用
I
10.3 毕奥—萨伐尔定律 例2：一正方形载流线圈边长为 b, 通有电流为 I，求正 方形中心的磁感应强度 B。 解：O 点的 B 是由四条载流边分别 产生的，它们大小、方向相同，
南 京 理 工 大 学
dN nS dl
应 用 物 理 系
d B 0 q r 0 单个运动电荷的磁场 B 2 d N 4π r 对于负电荷，按规定电流 I 沿 方向, 电荷 q 应取为|q|,
10.3
毕奥—萨伐尔定律
故 q q ( ) q. 因此, 上式对负电荷也适用.
(square current loop)
2
B B1 B2 B3 B4 4B1 0 I 根据 B1 （cos 1 cos 2） 4πa b 其中 a , 1 , 2 3 2
4
4
b
1
B o
I
b
0 I 3 2 20 I B4 cos cos 4b / 2 4 4 b
I
o
R
x
*
B
讨论 1) N 匝薄线圈
x
2） x 0, B 的方向不变( I 和 B 成右螺旋关系） I 0 3）x 0 B 磁偶极 2R
4）x R, B
N 0 R I B 2 2 3/ 2 （ 2 x R）
2
0 R 2 I
2 x3
0 m 3 2π x 2 x3
Idl
r
B
dB
p *
o
R
I
x

B
dB
0 Id l
4π r
2
x
解: 根据对称性分析 B Bx dB x dB sin
南 京 理 工 大 学 应 用 物 理 系


10.3
毕奥—萨伐尔定律
Idl
R
r
x
0 Id l
4π r
2
o

*p

dB
R sin r 2 2 2 r R x
2
2、 4、 6、 8 点 ：
+4
学 应
dB
用
0 Idl
4π R
物 理
0 sin 45 2
系
10.3 毕奥—萨伐尔定律 二、运动电荷的磁场 (毕奥-萨伐尔定律的微观解释 ) (Magnetic Field of a Moving Point Charge ) 0 Idl r0 I 毕奥-萨伐尔定律 dB 4 π r2 S 导体的电流 I S nq S nq S (设q>0) dl 电流元 Idl nqSdl nqSdl 0 nqS dl r0 电流元的磁场 dB 2 4π r 毕奥-萨伐尔定律的微观解释: 电流元产生的磁场, 实质上 是电流元内 dN 个运动电荷产生的磁场. 电流元内运动电荷的数目
(Biot-Savart Law )
r
表述:电流元 Idl 在空间 P点产生的磁场 dB 为: (elemental r 0 Idl r0 magnetic dB 单位矢量 r0 2 r 4π r induction)
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r
dB P x
Idl
l o
(b)定量计算
z
1
a

0 Idl sin dB 4 r2
南 京 理 工 大 学
为电流元Idl 与位矢r 间的 夹角 (书上用角, 不方便） .
应 用 物 理 系
10.3
毕奥—萨伐尔定律
0 Idl sin dB 2 4 r l a ctg( ) a ctg
10-3
毕奥—萨伐尔定律
运动电荷的磁场
南
京
理
工
大
学
应
用
物
理
系
10.3
毕奥—萨伐尔定律
Idl
一、毕奥-萨伐尔定律 问题：电流产生磁场，如何计算？ 1. 电流元产生的磁场 (1)电流元：Idl
(differential current element)
dB
dB
r

Idl
I
•大小：Idl P * •方向：线元上电流的方向。 (2) 毕奥—萨伐尔定律：
sin dl B 2 l 4π r
x
0 I
dBx
dB
0 I sin 2 π R dl 2 0 4π r
dBx dB sin
南 京 理
0 I sin dl
4π
工 大
r2
学 应 用
0 R I 2 2 3/ 2 （ 2 x R）
2
物 理 系
10.3
毕奥—萨伐尔定律
a 处 P 点的磁感应强度。
(a finite straight wire)
y
解: (1)建立坐标系 (2)分割电流元 (3)确定电流元的磁场 (a) 根据 Idl r 定性确定 dB 的方向: 对图中x轴上P点沿 -z 方向 (标为 )，且不同电流 元在P点的磁场方向相同。
2
南 京 理 工 大 学 应 用 物 理 系
10.3
毕奥—萨伐尔定律
y
对x轴上P点， B 的方向沿 z 轴负向.
0 I B （cos 1 cos 2） 4πa
I
I
2
r a
dB P x
Idl
B
l o
z
I
X
1
B
电流与磁感应强度成右手螺旋关系.
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0 Idl sin of free space) •大小： dB 4 r2 为 Idl 与 r 之间的夹角.
0 Idl r0 说明： dB 2 4 r r r0 方向的单位矢量. r r . o 4 107 T m / A 真空磁导率 (permeability
理 系
10.3 毕奥—萨伐尔定律
0 Idl r0 d B dB 毕奥-萨伐尔定律 2 4π r
1 8
r
Idl
例: 确定下列各点磁感强度的大小和方向.
2
1、5 点 ：dB 0 3、7点 ：dB +3
+
7
Idl
R
6 5
南 京 理 工 大
0 Idl
4π R
10.3 毕奥—萨伐尔定律 y 0 I 2 讨论： B （cos 1 cos 2） 4πa Idl (1)无限长载流直导线的磁场
I 1 0, 2 ; B 0 2a
(an infinite straight wire )
(1)
dB P x
10.3
毕奥—萨伐尔定律
Idl
dB
dB
r
Idl
I
P*
r
•方向： Idl r的方向。
dB
r
dB 的方向垂直于 Idl 和 r 所形成的平面.
京 理 工 大 学 应 用 物 理 系
Idl
其指向由右手螺旋法则(right-hand rule) 确定.
学 应 用 物 理 系
0 I B 2π x
10.3
毕奥—萨伐尔定律
例4. 求如图所示的三角形的磁通量 m
A I a o
m

南 京
B
0 I B , 2 x dS ( x a)tg60o dx
d m BdS
600
b
a b
a
0 I 3 ( x a )dx x 2 x 30 I 3 0 I a b ( x a)dx ( x a ln x) a 2 x 2
C
30 I ab (b a ln ) 2 a
理 工 大 学 应 用 物 理 系
10.3
毕奥—萨伐尔定律
例5. 圆形电流（圆环）轴线上的磁场. 真空中，半径为R 的载流导线，通有电流I , 称圆 形电流. 求其轴线上一点Байду номын сангаасp 的磁感强度的方向和大小.
(Circular Current Loop)


B的方向：由 q r 确定，因此： 正电荷的 B 方向由 r 确定，负电荷的 B 由 r 确定.
注意：电荷有正负，它们产生的磁场方向相反。
r

理

B
r

理
B
系
南
京
工
大
学
应
用
物
10.3
毕奥—萨伐尔定律
三、 毕奥-萨伐尔定律应用举例 应用毕奥-萨伐尔定律解题的方法 计算一段载流导体的磁场 1. 建立坐标系; 2. 分割电流元; 3. 确定电流元的磁场
南
10.3
电流元的场
毕奥—萨伐尔定律
点电荷的场 0 Idl r0 1 dq 比较： dB dE r 2 0 2 4 0 r 4 r 2. 任意载流导线 L 在P点的磁感应强度: 0 Idl r0 磁场叠加原理 B dB L L 4π (superposition principle r2
for magnetic field)
直角坐标系：
分量式：
磁场矢量：
Bx dB x , B y dB y , Bz dB z L L L B Bx i B y j Bz k
磁场大小： B
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Bx By Bz
应 用 物
2
2
2
0 IS
比较：电偶极子的场 (轴线上一点) EB
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子的场 0 m B 2 x 3
1 2ε
系
0
pe 3 r
例6. 一无限长载流直导线被弯成如图所示的形状，通 以电流I，求圆心处的磁场 B o
(a)
3 2 R O I 2
O
R
dl a d / sin r a / sin 0 Iad / sin dB 4 a 2 / sin 2
2
y
2
r
dB P x
Idl
l o
0 I sin d 4 a
z
1
a
(4) 沿导线积分求总磁场 B 2 I 0 I 0 cos1 cos 2 sin d B dB L 1 4a 4a
o Idl r0 B dB 2 L L 4 r
0 Idl r0 dB 2 4 r
4. 求 B 的分量 Bx 、By 、Bz ; 5.由 2 2 B Bx By Bz2 求总磁场。
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物
理
系
10.3 毕奥—萨伐尔定律 例1(书p14): 一段有限长载流直导线, 通有电流 I , 求距
圆弧在O处的磁场（方向 ）：
(B at center of circular arc)
解：对于图a，B1 B3 0, BO B2
0 Idl 0 IL B2 dB2 2 圆弧 圆弧 4 R 4 R 2 0 IR 0 I BO 2 4 R 2 R 2
l o
r
(2)半无限长载流直导线的磁场
(a semi-infinite straight wire )
z
1
a
1

2
, 2 ; B
0 I 4a
I
(2)
0 I (cos 1) 1 , 2 ; B 4a
(3)半无限长载流直导线的磁场
I
1
(b)
对于图b，
圆环的磁场
I
南
1
京 理 工 大
0 I 0 I Bo B1 B2 2R 2 R
学 应 用 物 理 系
10.3 毕奥—萨伐尔定律 各种形状电流的磁场 （ 1） I （2 ） R
R B x 圆环 0 0 I o B0 2R
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10.3
毕奥—萨伐尔定律
例3.无限长载流直导线的电流为I，试求通过矩形面积 的磁通量. 解 先求 B ，对非均匀磁场 给出 dΦ 后,积分求 Φm
B
I
x
d1 d2
l
o
南 京 理 工
x
大
B // S 0 I dΦm BdS ldx 2 x 0 Il d 2 dx Φm B dS S 2 π d1 x 0 Il d 2 Φm ln 2π d1