毕奥-萨伐尔定律是怎样建立的

毕奥-萨伐尔定律是怎样建立的

摘要：通过论述小磁针所做的简谐振动，掌握磁针所受的力与小磁针震动周期之间的关系，并通过测量小磁针运动周期的方法来间接测量小磁针的受力情况从而推理出毕奥-萨伐尔定律的内容，通过学习建立毕奥-萨伐尔定律的两个典型实验，揭示并论证建立毕奥-萨伐尔定律的研究方法和物理思想。

关键词：毕奥-萨伐尔定律；电流元；奥斯特实验；电流磁效应

Abstract:Through discussing the harmonic vibration made by the small needle to grasp the relationship between force and vibration cycles of the magnetic needle. Indirectly measuring force of the small magnetic needle by means of measuring the movement cycle of the small needle, and then to reason out the content of the Biot-savart law. Learning to build two typical experiments of Biot-savart law to reveal and demonstrate research methods and physical ideas of Biot-savart law.

Key words:Biot-savart law;Current element; Oersted's experiment;Magnetic effect of electric current.

0引言

很早以前，人们就对电磁现象有了一些初步的认识，并且尝试着通过各种努力，试图了解其中的原理。直达1820年丹麦物理学家奥斯特提出了相关的假设，他猜测：“如果电流能够产生磁效应的话，这种效应就不可能在电流的方向上发生，这种作用很可能是横向的”。正是因为这样的假设，奥斯特做了有关的实验，并于1820年7月21日发现了电流的磁效应。随后实验物理学家毕奥和萨伐尔根据奥斯特的发现提出了自己的想法，并通过两个相关的实验验证了他们有关电流磁效应的假设。拉普拉斯通过毕奥和萨伐尔的结论，将电流载体转换为电流元的情况，并得出了毕奥-萨伐尔定律的数学表达式。这个定律的建立为以后的物理学发展起到了相当大的作用，也在现实生活中起到了很大的作用。

1 毕奥-萨伐尔定律建立的背景

1820年秋，阿拉果带着奥斯特发现电流磁效应的重要新闻回到法国，9月11日，他便在法国科学院报告了奥斯特的重要发现并演示其实验。阿拉果的报告使法国科学家迅速做出强烈反应。对法国科学家而言，他们受库仑的影响太深，此前一直相信电和磁之间没有联系并且对电和磁分别进行研究。阿拉果报告之后，法国科学家立即对电和磁的相互关系进行探索。一周后，安培就取得了重要的研究成果,1820年9月18日、9月25日和10月9日，安培在科学院会议上宣读了3篇论文，并且用实验表演

了两根通电导线相互吸引和排斥的现象，同时还证明了通电螺线管也能像磁铁一样相互吸引[1]。毕奥紧随其后，1820年9月30日，毕奥就向法国科学院报告了他与萨伐尔的重要发现:“载流长直导线施加在磁针磁极(不论是磁南极还是磁北极) 上的力反比于磁极与导线间的距离，这也是人类首次对奥斯特效应的定量研究”[2]。我们知道小磁针的南极和北极始终不能分开，那么他们是如何用实验确定小磁针的磁极受力与导线距离之间的关系呢?毕奥和萨伐尔确定这种关系时，运用磁针周期振荡法进行了实验。当时，周期振荡法在物理实验中已有成功的应用实例。例如1787年库仑就用这种方法测量电吸引力，1804年毕奥与盖-吕萨克还用这种发法乘氢气球测量大气磁场。比奥和萨伐尔这次实验的设计思想很独特，其原理如下：如图1所示，O 代表垂直于水平面的无限长载流直导线，AB 是长度为处于平衡位置的小磁针，其中N 、S 分别为两极，C 是它的中心，O 是导线与水平面的交点。设北极磁分子受力沿NE 方向，南极磁分子受力沿SD 方向。由于导线无限长，磁针的每个极所受合力必然在水平面内。因为在与导线距离相同处，导线对磁分子的作用是相同的，所以∠ENO = ∠DFO 。当磁针处于平衡状态时，由受力分析可知AB ⊥OC ，因而AE 与BD 必须与磁针具有相同的倾角，这就要求∠DSO = ∠HNO = 90°。由此毕奥和萨伐尔得出结论:“一条无限长载流直导线作用在南磁分子或北磁分子的作用力垂直于该分子到导线的距离”[3] 。

图1 无限长载流导线磁场对磁针的作用

对磁针所受力大小的测量，毕奥和萨伐尔用了周期振荡法。如图1所示，设小磁针对垂直于水平面过C 点的转动惯量为I ， 若磁针相对于垂直水平面过C 点的转轴偏离平衡位置很小角度，磁针所受力就会对C 轴产生力矩θsin Fl ，由转动定律得

22sin dt d I Fl θθ=- 因为θ很小，所以θθ≈sin ，于是（1）式变为

22dt

d I Fl θθ=- 由(2) 式可解得磁针振荡的周期Fl I T /2π=，变形可得 2

24lT I F π= （1） 这说明作用在磁针磁极上的力与磁针振荡的周期平方成反比。因此，测量磁针振荡的周期也就间接测量了载流长直导线产生的磁场作用在小磁针磁极上的力。 2 毕奥-萨伐尔定律的内容

毕奥萨伐尔定律的内容简介:电流元Idl 在空间某点P 处产生的磁感应强度dB 的大小与电流元Idl 的大小成正比，与电流元Idl 所在处到P 点的位置矢量和电流元Idl 之间的夹角的正弦成正比，而与电流元Idl 到P 点的距离的平方成反比。

毕奥-萨伐尔定律定律是由H.C.奥斯特实验（见电流磁效应）引起的，这个实验表明，长直载流导线对磁极的作用力是横向力。为了揭示电流对磁极作用力的普遍定量规律，J.B.毕奥和F.萨伐尔认为电流元对磁极的作用力也应垂直于电流元与磁极构成的平面，即也是横向力。他们通过长直和弯折载流导线对磁极作用力的实验，得出了作用力与距离和弯折角的关系。在P.S.M.拉普拉斯的帮助下，经过适当的分析，得到了电流元对磁极作用力的规律。根据近距作用观点，它现在被理解为电流元产生磁场的规律。

毕奥-萨伐尔定律是描述真空中恒定电流所建立的磁场的定律。它是法国物理学家J.B.毕奥(Baptiste Jean Biot )和F.萨伐尔(Savart Felix )根据对载流回路周围的磁场进行实验研究的结果,于1820年提出。后经拉普拉斯等人的工作，将定律表述为目前所见的形式。置于真空中的导线中有恒定电流I ，dl 是导线的长度元，电流Idl 在空间任一点P 建立磁场，其磁感应强度的量值dB 与电流元至P 点的距离r 的平方成反比，与θsin Idl 的绝对值成正比(角度θ为电流元Idl 与矢量r 间的夹角)，即

2

|sin |r Idl K dB θ=. 式中的比例因子K 依赖于所采用的单位制。在国际单位制(SI)中，πμ4/0=K ，m H /10470-?=πμ，是真空磁导率。应用矢量式，毕奥-萨伐尔定律可表示为

.3r r l id K

B d →→→?= 式中，→r 是从电流元指向P 点的位置矢量。整个载流回路在P 点所产生的总磁感

应强度B ，等于该回路的各个电流元所产生的dB 之矢量积分，即

.430??→→→?==l l r r l Id dB B πμ (2)

对于体电流分布，可用dV J →代替上式中的→l Id ，其中，→J 是电流密度矢量，dV 是

体积元。于是，毕奥-萨伐尔定律可写作 dV r r J B V ?→

→→?=30

4πμ. (3) 如果载流回路周围的空间中有媒质存在，媒质的磁化效应将影响空间的磁场，此时，毕奥-萨伐尔定律失效。但从工程观点出发，除铁磁材料以外，其他媒质的磁化效应很弱，常予忽略。因此，只要不存在铁磁材料，仍可应用毕奥-萨伐尔定律计算恒定电流建立的磁场。

3 毕奥-萨伐尔定律的建立过程

毕奥和萨伐尔一共做了两个实验来逐步证明他们关于电流元和电流磁效应之间的假设。

3.1毕奥-萨伐尔定律建立的第一个实验

通过测量磁针振荡的周期也就间接测量了载流长直导线产生的磁场作用在小磁针磁极上的力。毕奥和萨伐尔正是利用这种关系测量电流的磁感应力，完成了他们设计的第一个实验并得出毕奥-萨伐尔定律的。

实验装置是：一条长直载流导线用来产生磁场，磁针用一根丝线悬挂在水平位置上，它与金属丝的距离可以调节，一个条形磁铁放在一定的水平位置上，用来消除地磁场的影响，电流产生的磁场将对磁针产生力的作用。

建立毕奥-萨伐尔定律第一个实验装置如图2所示。图中AB 是一条长直流导线，这个电流产生的磁场对磁针SN 产生了力的作用，磁针SN 用丝线悬挂，它与丝线的位置距离可以调整。条形磁条''N S 放在一定的水平位置，用来消除地磁场的影响。通过这样的实验装置，毕奥和萨伐尔进行了实验测量。

图2 毕奥-萨伐尔的第一个实验装置 毕奥和萨伐尔实验时，首先将磁针置于距导线30mm 处，测量它的振动周期，并将这个距离作为标准距离。改变磁针与导线之间的距离后再次测量周期如表1[4]所示，最后计算出不同距离处磁针受力与标准距离磁针受力的比值，其结果如表2所示。

表1 毕奥和萨伐尔的实验数据 序

号

项 目

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 导线到磁

针中心距

离/mm

30 40 30 20 30 50 30 60 30 120 30 15 10次振动

的时/s 42 48 42 33 41 54 42 56 41 89 42 30

0通过(1)式可以计算得出不同距离处小磁针受到的力与30mm 处小磁针所受力的比值关系如下：

表2 不同位置处小磁针受到的力与30mm 处小磁针所受力的比值

由表1可以看出，磁针振荡周期的平方与距离成正比，结合表2便可得出结论:磁针的北极或南极受到无限长直导线电流所产生磁场的磁感应力与磁极和导线之间的40mm

20mm 50mm 60mm 120mm 15mm 0.76563 1.61983 0.57647 0.56250 0.21222 1.96000

距离成反比[5]。

为了验证上边的假设，毕奥和萨伐尔对表1中的实验数据做了数据处理，得到以下的数据如表3[6]所示

表3 理论值与实验值的比较

序号

2 4 6 8 10 12

项目

导线到磁针中

40 20 50 60 120 15

心距离/mm

10次振动的时

49 34 54 59 85 31

间理论值/s

10次振动的时

48 35 54 56 80 30

间实验值/s

理论值与实验

1 1 0 3 5 1

值的差值△t/s

通过该试验结果，毕奥和萨伐尔得出载流长直导线对磁极作用反比于距离r的结论，毕奥和萨伐尔对此现象作了物理方面的解释，他们认为该现象也许表明作用于磁针的合力并非与导线到磁针中心的距离成反比，而是与它到磁针两极间的距离成反比。也是人们第一次得到电流磁效应的定量结果，并确定了电流对磁极的作用力为横向力。而后，拉普拉斯参与了对实验结果的分析，类比于库仑定律中点电荷的概念，他们引进电流元的概念，并开始探索电流元对磁极的作用力规律。在考虑了各种因素之后，电流元对磁极的作用力大小可以写为Idl

,

=，其中k表示和磁极强度相

(θ

dF)

r

k

关的比例系数。

由毕奥-萨伐尔定律的第一个实验可知，对于无限长直载流导线，d与F成反比，这说明了)

f是符合F与d成反比的任意函数[7]。毕奥认为必须用实验证实这个函数

(θ

确实存在并确定其具体形式。

毕奥和萨伐尔得出无限长直导线对磁针磁极作用的合力反比于它们之间的距离。拉普拉斯遵循将一切物理现象简化为粒子间的引力和斥力的途径，从数学上可以推导出每个电流元施加在磁极上的作用力的规律。如图3 所示，电流元与磁极间的距离为

r ，二者的夹角为θ，通过数学推倒可以得出下列有关磁感应力与作用距离之间的关系：由拉普拉斯的结论Idl r k dF ),(θ= 得到

)(2θf r kidl dF =. （4）

由毕奥-萨伐尔定律的第一个实验可知，对于无限长直载流导线，d 与F 成反比，这说明了)(θf 是符合F 与d 成反比的任意函数，毕奥认为必须用实验证实这个函数确实存在并确定其具体形式。由图3可知θθsin /rd dl =，代入（4）式可得到以下的关系：

由拉普拉斯的结论Idl r k dF ),(θ= 得到

图3 电流元对磁极的作用 由图3可知θθsin /rd dl =，代入（3）式可得到以下的关系

)(sin θθθf r kid dF =. （5）

对于无限长直流导线，θ的变化范围是],0[π。有与对称性可得出磁针所受到的合力为

θθθθθππd f d ki d r f ki F ??==2/02

/0)(2sin )(2 （6）

拉普拉斯对长直导线的分析结果表明如果假设dF 与r 的平方成反比，就可以得到整个直导线对磁极的作用力与距离成反比，但是对角度的依赖关系却无法分析，因此毕奥设计了第二个实验。

3.2毕奥-萨伐尔定律建立的第二个实验

建立毕奥-萨伐尔定律的第二个实验的原理如图4 所示，把长直导线AMB 弯折成

与水平面的夹角都为α的AM 和MB ，该折线与竖直导线'''B M A 和磁针中心都在同一竖直平面内，折线与竖直导线处用一纸片隔开，他们设计出此实验的目的是比较载有相等的电流时，弯折导线产生的作用力与长直导线产生的作用力的比值。

建立毕奥-萨伐尔定律的第二个实验的原理如图4 所示，把长直导线AMB 弯折成与水平面的夹角都为α的AM 和MB ，该折线与竖直导线'''B M A 和磁针中心都在同一竖直平面内，折线与竖直导线处用一纸片隔开，他们设计出此实验的目的是比较载有相等的电流时，弯折导线产生的作用力与长直导线产生的作用力的比值。

图4 弯折导线及长导线对小磁针的作用

建立毕奥-萨伐尔定律的第二个实验的原理如图4 所示，把长直导线AMB 弯折成与水平面的夹角都为α的AM 和MB ，该折线与竖直导线'''B M A 和磁针中心都在同一竖直平面内，折线与竖直导线处用一纸片隔开，他们设计出此实验的目的是比较载有相等的电流时，弯折导线产生的作用力与长直导线产生的作用力的比值。

初步实验之后，毕奥猜测二力的比值可能是?90α，或者是2

tan α，为此他们将不同ɑ用力的比值计算后列于表4[8]。特别是毕奥和萨伐尔讨论了?=45α的情况并进行实验验证。

表4 不同角度弯折导线与长直导线作用力的比值 角度°

关系

10

20 30 40 50 60 70 80 90 tan α/2

0.087 0.176 0.268 0.364 0.466 0.577 0.700 0. 839 1.000 α/90° 0.111 0.222 0.333 0.444 0.556 0.667 0.778 0.889 1.000

弯折导线电流元对P 点产生的作用力为

.sin 2θr kidl dF =

由于对称性可以得到弯折导线对P 点产生作用力大小为

.sin 202?

=αθr dl ki F （7） 因为.sin θθrd dl =所以上式可以变行为 .20?==α

θr d ki F

由正弦定理有

.sin sin αθr d =

得出

.2tan 2αd ki F = （8）

所以就得出了毕奥萨伐尔定律的微分形式

.sin 2θr kidl dF =

写成磁场的形式有

.sin 2θr idl K dB = （9）

其矢量形式为

.3r r

l id K B d →→→?= （10）

因为拉普拉斯根据毕奥和萨伐尔由实验得出的结论，将实验结果代入推理，最后整理得出了毕奥-萨伐尔定律的数学式，所以有时候也将毕奥-萨伐尔定律称作毕奥-萨伐尔-拉普拉斯定律[9]。

4 毕奥-萨伐尔定律的应用

毕奥-萨伐尔定律通常用来解决下面的几种问题：

4.1无限长直流导线产生的磁感应强度

这种情况下导线产生的磁感应强度已经在第一个实验中有所介绍，导线产生的磁场可表示为 dV r r J B V ?→

→?=30

4πμ. 4.2圆电流轴线上P 点处的磁场

图4 圆电流轴线上P 点处的磁场

电流元→l Id 在P 点产生的磁场→

B d 方向如图4所示，大小为3

090sin 4r Idrl dB ??=πμ.所以它在水平方向和竖直方向分值大小为：θcos //dB dB =，θsin dB dB =⊥.根据对称性有： .0==?⊥⊥dB B

.2cos 24cos cos 420202020//r

IR R r I dl r I B B R

θμππθμθπμπ=?===∴? (1)0=x 时（圆环心处）

.0=θ.R r =所以有：

r I

B 20μ=. （11）

(2)R x >>时，.r x ≈.cos 22R x R

+=θ 有：

.2232032

0x

R I r IR B ππμμ== （12） 以上x 表示P 点到圆心的距离。

4.3载流直螺线管内部轴线附近的磁场

图5 载流直螺线管内部轴线附近的磁场

单位长度的螺线dx 产生的磁场方向如图所示，大小为

.)(2)

(2/3222

0x R nIdx R dB +=μ

).

cos (cos 2)(21202/3222021ββμμββ-=+==??nI x R nIdx

R dB B (1) 无限长螺线管 .0,21==βπβ所以有：

nI B 0μ=.

（13） (2) 半无限长螺线管：.0,221==βπ

β

所以在左端点有：

nI B 021

μ=.

（14） 同理，在右端有：

nI B 021

μ=.

当然，毕奥-萨伐尔定律不仅仅用运在理论物理中，在现实生活中也有比较高端的应用，比如磁悬浮列车，磁悬浮列车利用“同性相斥，异性相吸”的原来，让列车具有抗拒地心引力的能力，使车体完全脱离轨道，悬浮在距离轨道1cm处，腾空行驶，减小了列车运行过程中所受到的阻力，从而提高列车的运行速度。

总结

通过对背景的研究，了解毕奥和萨伐尔做出相关研究的出发点和研究目的。从而能够以一个正确的角度研究毕奥-萨伐尔定律的建立过程。从对毕奥和萨伐尔所做的两个是实验的研究能够清晰的理解定律实质性的原理，从而能够更好的应用在解决实际问题中。毕奥-萨伐尔定律的建立不仅是人们能够计算任意形状的稳定电流产生的磁感应强度B，而且揭示了电与磁的定量关系。通过两个典型的实验验证了最初的构想，使我们更加体会到“即物理是从实验中产生的”[10]。

参考文献

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[2] 李艳平，申先甲.物理学史教程[M].北京：科学出版社，2003.193～134.

[3] 向义和.物理学基本概念和基本定律溯源[M].北京:高等教育出版社，1994. 107.

[4] 王较过.毕奥萨伐尔定律的建立过程[R].四川大学学报（自然科学版），2001.11.

[5] 吴百诗，张孝林.大学物理基础下册[M].北京：科学出版社，2006.78～79.

[6] 王较过.毕奥萨伐尔定律的建立过程[R].四川大学学报（自然科学版），2001.11.

[7] Erlichson H.AmJ Phy[M].1998.385～391.

[8] 孙宗杨，孙兴.大学物理[J].1998.17.7.

[9] 宋德生，李国栋.电磁学发展史[M].南宁:广西人民教育出版社，1996. 161.

[10] George D.Freier.UNIVERSITY PHYSICS EXPERIMENT AND THEORY[M].6～7.