毕奥萨伐尔定律
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毕奥---萨伐尔定律
毕奥---萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律
两电流元之间的安培定律也可表示成 两电流元之间的安培定律也可表示成
u r r uur u r ˆ I1 I 2 dl2 × (dl1 × r12 ) d F12 = k = I 2 dl2 × dB1 2 r 12
电流元 I1d l1产生的磁场
ˆ ˆ Idl × r µ0 Idl × r dB = k = 2 2 r 4π r
• 求二阶导数
d 2B 在O 令x = 0处的 2 = 0 ⇒ 在O点附近磁场最均匀的条件 dx µ0 d 2B 2a 2 − 2 R 2 = 6π R 2 I = 0 ⇒ a2 = R2 7 2 dx 2 x =0 4π 2 a 2 2 R + 4
a=R
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
大小
µ0 Idl dB = 4π r2
r r 方向 Idl × r0
分析对称性、 分析对称性、写出分量式
r r B⊥ = ∫ dB = 0
⊥
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2
统一积分变量
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2 µ0IR µ0IR dl = π = ⋅2 R 3 ∫ 3 4 r 4 r π π
a
•
•
P T
µ0I 3 BL′A = (cos π − cosπ ) 4πa 4
µ0I π BLA = (cos0 − cos ) 方向 ⊗ 4 a 4 π
方向 ⊗
T点
Bp = BLA + BL′A = 2.94×10−5T 方向 ⊗
r 电流元 Idl
——右手定则 右手定则 r r r µ0 Idl ×r 毕奥-萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律 dB = 4 π r3 r r r r µ0 Idl ×r 对一段载流导线 B = ∫ dB = ∫ 4π L r3
两电流元之间的安培定律也可表示成 两电流元之间的安培定律也可表示成
u r r uur u r ˆ I1 I 2 dl2 × (dl1 × r12 ) d F12 = k = I 2 dl2 × dB1 2 r 12
电流元 I1d l1产生的磁场
ˆ ˆ Idl × r µ0 Idl × r dB = k = 2 2 r 4π r
• 求二阶导数
d 2B 在O 令x = 0处的 2 = 0 ⇒ 在O点附近磁场最均匀的条件 dx µ0 d 2B 2a 2 − 2 R 2 = 6π R 2 I = 0 ⇒ a2 = R2 7 2 dx 2 x =0 4π 2 a 2 2 R + 4
a=R
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
大小
µ0 Idl dB = 4π r2
r r 方向 Idl × r0
分析对称性、 分析对称性、写出分量式
r r B⊥ = ∫ dB = 0
⊥
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2
统一积分变量
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2 µ0IR µ0IR dl = π = ⋅2 R 3 ∫ 3 4 r 4 r π π
a
•
•
P T
µ0I 3 BL′A = (cos π − cosπ ) 4πa 4
µ0I π BLA = (cos0 − cos ) 方向 ⊗ 4 a 4 π
方向 ⊗
T点
Bp = BLA + BL′A = 2.94×10−5T 方向 ⊗
r 电流元 Idl
——右手定则 右手定则 r r r µ0 Idl ×r 毕奥-萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律 dB = 4 π r3 r r r r µ0 Idl ×r 对一段载流导线 B = ∫ dB = ∫ 4π L r3
毕奥-萨伐尔定律
1.若 ，（无限长的 无限长的） 1.若 l >>R ，（无限长的）螺线管的中心处
β1 = π , β2 = 0
2.若 在管端口处： 2.若 l >>R ，在管端口处：
B = µ0nI
1 B = µ0nI 2
µ 0 nI
2
β1 = π/2 , β2 = 0 ; β1 = π, β2 = π/2
B
µ 0 nI
第五章 稳恒电流的磁场
17
v r
P
v dB
v r
v dB
v dB
v Idl
r
v I vdl
磁场为： 对任何一载流导线在某点产生的磁场为：
v B=
v ∫ dB
v v ˆ µ0 Idl × er B=∫ 4π r 2 L
先化为分量式后分别积分。 先化为分量式后分别积分。
3 µ0I 2 π 3µ0I B2 = ⋅ = 2R 2π 8R
I 1 3
方向垂直纸面向外
B3 =
µ0I
4πR
3µ0I µ0I + 8R 4πR
方向垂直纸面向外
B = B1 + B2 + B3 =
方向垂直纸面向外
12
第五章 稳恒电流的磁场
例4：载流螺旋管在其轴上的磁场。 ：载流螺旋管在其轴上的磁场。 求半径为R，总长度 求半径为 ，总长度l ，导线电 流为I，单位长度上的匝数为n 流为 ，单位长度上的匝数为 的 螺线管在其轴线上一点的磁场？ 螺线管在其轴线上一点的磁场？ 解：采用“并排圆电流”模型简化。 采用“并排圆电流”模型简化。
4π r2
P
方向为垂直向里。且所有电流元在 点的磁感应强 方向为垂直向里。且所有电流元在P点的磁感应强 度方向相同（垂直向里）。 度方向相同（垂直向里）。
10.3 毕奥-萨伐尔定律
毕奥—萨伐尔定律 10.3 毕奥 萨伐尔定律 讨 论
第十章 真空中的稳恒磁场
B=
µ0 nI
2
(cos β 2 − cos β1 )
π β1 = , β 2 = 0 2 1 B = µ 0 nI 2
(1) 无限长的螺线管 无限长的螺线管
（2）半无限长螺线管端点处 ）
β1 = π , β 2 = 0
B = µ 0 nI
v dB
P *
v r
θ
v Idl
I
v r
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
v v v v µ0 I dl × r0 磁感强度叠加原理 B = dB = ∫ ∫ 4 π r2 (多采用分量式计算 多采用分量式计算) 多采用分量式计算
毕奥—萨伐尔定律 10.3 毕奥 萨伐尔定律
*二 运动电荷的磁场 二
R2
*o
B0 =
µ0 I
8R
B0 =
µ0 I
4 R2
−
µ0 I
4 R1
−
µ0 I
4π R1
毕奥—萨伐尔定律 10.3 毕奥 萨伐尔定律
第十章 真空中的稳恒磁场
例3 载流直螺线管轴线上的磁场 如图所示，有一长为 半径为R的载流密绕直螺 如图所示，有一长为l , 半径为 的载流密绕直螺 线管，螺线管单位长度的匝数为n，通有电流I. 线管，螺线管单位长度的匝数为 ，通有电流 设把 螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度. 螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度
v dB 方向均沿
y
D
dl
I
C
z
4π r µ0 Idl sin α B = ∫ dB = ∫ 2 CD α 4π r v sinα = cos β r v r = a sec β l dB β2 l = a tan β dl = a sec2 β dβ β * x o a β1 µ 0 I β2 P B= ∫β1 cosβ dβ 4πa
7-4毕奥-萨伐尔定律
r
x
O
dB dB dB
P
， 所有 dB 形成锥面。
Idl
dB
X
§2. 毕奥-萨伐尔定律/二、应用举例/ 例2
§2. 毕奥-萨伐尔定律/二、应用举例/ 例2
若
由对称性分析得 所以有
dB dBII dB
B dB 0
0 m B 2x 3
等效圆电流（具有磁矩）
地球
22 2 大磁偶极子 磁矩为 m 8.0 10 A m
§2. 毕奥-萨伐尔定律/二、应用举例/ 例2
思考题：
1、求半径为 R ，载有电流为I 的细圆环在其圆心
处 O 点所产生的磁感强度。 解：任取电流元，由毕—萨定律，其在 O 点 的磁感强度大小为
Idl
I
B
R
r
x
I
O
dB dB dB
P
Idl
§2. 毕奥-萨伐尔定律/二、应用举例/ 例2
dB
X
讨论：
B
1在圆心处，x 0，则圆心处磁感应强度 为
0 IR2
2 2 3/ 2
2( R x )
B
0 I
2R
2当x R，即P点远离圆电流时，磁感 应强度为
0
§2. 毕奥-萨伐尔定律/二、应用举例/ 例1
3若P点在载流直导线的延长 线上，1 2则B 0。
解题关键在于确定
0 I cos 1 cos 2 B 4a
1 , 2
1与电流的起点相关， 2与电流的终点相关。
其他例子：
a
O
I
毕奥-萨伐尔定律
结果对比
将实验结果与毕奥-萨伐尔定律的理论值进行对比，评估定律的准确性。
结果分析
分析实验误差来源，如设备精度、环境干扰等，提高实验的可靠性和准确性。
05
毕奥-萨伐尔定律的扩展与 推广
对三维空间的推广
总结词
毕奥-萨伐尔定律最初是在二维空间中 推导出来的，但通过引入矢量运算， 该定律可以扩展到三维空间中。
Idl
电流元，表示电流的一 部分。
r
观察点到电流元的径矢 ，表示观察点与电流元
之间的距离。
03
毕奥-萨伐尔定律的应用场 景
电场与磁场的关系
磁场是由电流产生的，而电场是由电 荷产生的。毕奥-萨伐尔定律描述了 电流和磁偶极子产生的磁场，以及变 化的电场产生的磁场。
毕奥-萨伐尔定律揭示了电场和磁场之 间的相互关系，表明它们是电磁场的 两个方面，而不是独立存在的。
THANKS
对微观尺度的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述微观尺度的电磁场时，其精确度受 到限制。在量子尺度下，电磁场的涨落和量子效应可能导 致定律的不适用。
未来研究需要进一步探索毕奥-萨伐尔定律在微观尺度下 的适用性和修正，以更好地描述量子电磁场的行为。
对超导态物质的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述超导态物质的 电磁场时，可能存在局限性。超导态 物质的电磁行为与常规物质有所不同， 需要更复杂的理论模型来描述。
电流与磁场的相互作用
根据毕奥-萨伐尔定律，电流产生磁场，而磁场对电流有作用 力。这种作用力被称为洛伦兹力，它描述了电流在磁场中所 受到的力。
毕奥-萨伐尔定律是电动机和发电机等电气设备工作的基础， 它解释了电流如何在磁场中受到作用力，从而产生旋转或线 性运动。
磁力线的描绘
将实验结果与毕奥-萨伐尔定律的理论值进行对比，评估定律的准确性。
结果分析
分析实验误差来源，如设备精度、环境干扰等，提高实验的可靠性和准确性。
05
毕奥-萨伐尔定律的扩展与 推广
对三维空间的推广
总结词
毕奥-萨伐尔定律最初是在二维空间中 推导出来的，但通过引入矢量运算， 该定律可以扩展到三维空间中。
Idl
电流元，表示电流的一 部分。
r
观察点到电流元的径矢 ，表示观察点与电流元
之间的距离。
03
毕奥-萨伐尔定律的应用场 景
电场与磁场的关系
磁场是由电流产生的，而电场是由电 荷产生的。毕奥-萨伐尔定律描述了 电流和磁偶极子产生的磁场，以及变 化的电场产生的磁场。
毕奥-萨伐尔定律揭示了电场和磁场之 间的相互关系，表明它们是电磁场的 两个方面，而不是独立存在的。
THANKS
对微观尺度的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述微观尺度的电磁场时，其精确度受 到限制。在量子尺度下，电磁场的涨落和量子效应可能导 致定律的不适用。
未来研究需要进一步探索毕奥-萨伐尔定律在微观尺度下 的适用性和修正，以更好地描述量子电磁场的行为。
对超导态物质的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述超导态物质的 电磁场时，可能存在局限性。超导态 物质的电磁行为与常规物质有所不同， 需要更复杂的理论模型来描述。
电流与磁场的相互作用
根据毕奥-萨伐尔定律，电流产生磁场，而磁场对电流有作用 力。这种作用力被称为洛伦兹力，它描述了电流在磁场中所 受到的力。
毕奥-萨伐尔定律是电动机和发电机等电气设备工作的基础， 它解释了电流如何在磁场中受到作用力，从而产生旋转或线 性运动。
磁力线的描绘
7-4 毕奥-萨伐尔定律
z r0 cot , r r0 / sin
dz r0d / sin 2
z
D
2
dz
B
dB
*
0 I
4 π r0
2
1
sin d
r
I
z
1
x
C
o r0
P
y
B 的方向沿 x 轴负方向
0 I (cos1 cos 2 ) 4 π r0
B
I
R1
B0
0 I
4 R2
0 I
4 R1
* o
0 I
4 π R1
例如 右图中，求O 点的磁感应强度 解 B1 0
B2
4R 2 3 0 I 8R 0 I B3 (cos 1 cos 2 )
4R 0 I θ 2 θ 1 2 4R
0 I 3
dB
0
2
R
1
R 2 Indx
2
x
2 3/ 2
N n l
R
2
x1 O*
x2 x
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
x Rcot
B dB
2
dx R csc d
2
0 nI
2
2 2
R
x1
x2
R dx
2
2
x
2 3/ 2
R x R csc
2 0, B 向右
R
0, B 向左
例3 载流直螺线管内部的磁场. 如图所示，有一长为l ，半径为R的载 流密绕直螺线管，螺线管的总匝数为N， 通有电流I. 设把螺线管放在真空中，求管 内轴线上一点处的磁感强度.
毕奥萨伐尔定律
电磁炉具有加热速度快、热效率高、安全可靠等优点，广泛 应用于家庭和餐饮行业。
磁力发电机
磁力发电机是一种利用磁场产生电能的装置。根据毕奥萨 伐尔定律，当导体在磁场中运动时，会在导体中产生感应 电流。磁力发电机通过转子产生的旋转磁场与定子绕组相 对运动，使定子绕组中产生感应电流，实现发电的目的。
磁力发电机广泛应用于风力发电、水力发电、汽车发动机 等领域，为可再生能源的开发和节能减排做出了重要贡献 。
06
毕奥萨伐尔定律的未来研 究与展望
磁场产生的原因与机制
磁场产生的原因
毕奥-萨伐尔定律指出，运动电荷或电流会产生磁场，这是磁场产生的根本原因。
磁场产生的机制
磁场的产生与电荷或电流的运动有关，当电荷或电流运动时，会激发周围的磁场 ，磁场的大小和方向与电荷或电流的运动状态有关。
磁场对物质的作用与影响
核磁共振成像等磁现象在医疗领域具有广泛的应用前景，同时磁 约束核聚变等前沿技术也在积极探索中。
磁现象在太阳能领域的应用
太阳能电池板在吸收太阳能时，利用磁性原理可以提高太阳能利 用率。
感谢您的观看
THANKS
磁场强度的方向与单位
磁场强度的方向
在右手螺旋定则中，拇指指向电流的方向 ，四指环绕的方向就是磁场的方向。
VS
磁场强度的单位
安培/米(A/m)，国际单位制中，磁场强度 的单位是安培/米。
03
毕奥萨伐尔定律的实验验 证
实验设计思路
确定实验目标
验证毕奥萨伐尔定律在特定情况下 的适用性，即通过实验手段测量物 理量以验证理论的准确性。
总结词
描述电磁场基本规律的方程组。
详细描述
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，其 中包括了电场、磁场和电荷密度等物理量的关系。毕 奥萨伐尔定律是麦克斯韦方程组的一个推论，它描述 了磁场与电流之间的关系。此外，麦克斯韦方程组还 预言了电磁波的存在，即光、无线电波等。
磁力发电机
磁力发电机是一种利用磁场产生电能的装置。根据毕奥萨 伐尔定律，当导体在磁场中运动时，会在导体中产生感应 电流。磁力发电机通过转子产生的旋转磁场与定子绕组相 对运动，使定子绕组中产生感应电流，实现发电的目的。
磁力发电机广泛应用于风力发电、水力发电、汽车发动机 等领域，为可再生能源的开发和节能减排做出了重要贡献 。
06
毕奥萨伐尔定律的未来研 究与展望
磁场产生的原因与机制
磁场产生的原因
毕奥-萨伐尔定律指出，运动电荷或电流会产生磁场，这是磁场产生的根本原因。
磁场产生的机制
磁场的产生与电荷或电流的运动有关，当电荷或电流运动时，会激发周围的磁场 ，磁场的大小和方向与电荷或电流的运动状态有关。
磁场对物质的作用与影响
核磁共振成像等磁现象在医疗领域具有广泛的应用前景，同时磁 约束核聚变等前沿技术也在积极探索中。
磁现象在太阳能领域的应用
太阳能电池板在吸收太阳能时，利用磁性原理可以提高太阳能利 用率。
感谢您的观看
THANKS
磁场强度的方向与单位
磁场强度的方向
在右手螺旋定则中，拇指指向电流的方向 ，四指环绕的方向就是磁场的方向。
VS
磁场强度的单位
安培/米(A/m)，国际单位制中，磁场强度 的单位是安培/米。
03
毕奥萨伐尔定律的实验验 证
实验设计思路
确定实验目标
验证毕奥萨伐尔定律在特定情况下 的适用性，即通过实验手段测量物 理量以验证理论的准确性。
总结词
描述电磁场基本规律的方程组。
详细描述
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，其 中包括了电场、磁场和电荷密度等物理量的关系。毕 奥萨伐尔定律是麦克斯韦方程组的一个推论，它描述 了磁场与电流之间的关系。此外，麦克斯韦方程组还 预言了电磁波的存在，即光、无线电波等。
7-3 毕奥-萨伐尔定律
−q
v r
θ
v v
v B
例2 半径 为 R 的带电薄圆盘的电荷面密度为 σ , 并 以角速度 ω 绕通过盘心垂直于盘面的轴转动 ，求 圆盘中心的磁感强度. 圆盘中心的磁感强度 中心的磁感强度
σ R o
r
解法一
圆电流的磁场
dI =
ωv σ > 0, v σ < 0, Bω
dr
向外 向内
2π µ0dI µ0σω dB = = dr 2r 2
r =R +x
2 2 2
dB =
µ 0 Id l
2
sin ϕ dl ∴B = ∫l r 2 4π
B=
µ0 IR
4π r
∴B =
µ0IR
2
3 0
∫
2π R
dl
2 2 3 2
（ +R） 2x
v v v v µ0m m= ISen B = 3 2πr
I
R o x *
v B
x
B=
B=
µ0 IR
2
2 2 3
I v
B
v B
v Idl
r
o
R
ϕ
*
v p α B
v dB
I 根据对称性分析
4π r B = Bx = ∫ dB cos α
dB =
µ 0 Id l
2
x
v Idl
R
r
x
µ0 I
o
ϕ
ϕ
v dB
α
*p dB xx
4π r µ0 I sin ϕdl dBx = 2 4π r cosα = sin ϕ = R r
m的
金属棒 MN 位于两直导线正中间，且在同一平面内， 欲使 MN 处于平衡状态，求 MN 中的电流强度以及 电流流向.
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• 我们只计算了轴线上的磁场分布,轴线以外磁场分布的计算比 较复杂, 略。为了给同学们一个较全面的印象，下左图显示 了通过圆线圈轴线的平面上磁感应线的分布图。可以看出， 磁感应线是一些套连在圆电流环上的闭合曲线。
• 下右图给出另一个右手定则，用它可以判断载流线 圈的磁感应线方向。这右手定则是：用右手弯曲的 四指代替圆线圈中电流的方向,则伸直的姆指将沿着 轴线上Ｂ的方向。
生的磁感应强度的大小 • 与电流元Idl的大小成正比， • 与电流元和从电流元到Ｐ点的位矢之间的夹
角θ的正弦成正比， • 与位矢r的大小的平方成反比。即：
一、毕奥－－－萨伐尔定律
dB的方向 垂直于dl和r所确定的平面，沿
dl×r的方向，用右手螺旋法 则来判定。
矢量表示为： d B 0 Id l r 4 r 3
• 其中：S=πR2为圆线圈的面积。
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 圆线圈轴线上各点的磁感应强度都沿着轴线方向， 与电流方向组成右手螺旋关系。
• 下面讨论两种特殊的情况： • 1、在圆心Ｏ处，即a=0处的磁感应强度为： •
• 2、在远离线圈处，即 a>>R，轴线上各点的磁感 应强度约为：
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 由图
cos 1
x L 2
R2 (x L )2 2
cos 2
x L 2
R2 (x L)2 2
代入即得螺线管轴线上任一点P的磁感应强度。
B随x变化关系见上图中的曲线，由这曲线可以看出，当 L>>R时，在螺线管内部很大一个范围内磁场近于均匀， 只在端点附近B值才显著下降。
• 其中 40为比例系数， • μ0 称 为 真 空 磁 导 率 ， ：
μ0=4π×10-7NA-2
一、毕奥－－萨伐尔定律
• ⑶磁感应强度的叠加原理
• 与点电荷的场强相似，毕奥－萨伐尔定律是求电流周 围磁感应强度的基本公式。磁感应强度Ｂ也遵从叠加 原理：
• 设有若干个电流元，它们中每一个都产生各自的磁场. 当这些电流元同时存在时，在空间某点的总磁感应强 度Ｂ等于所有电流元单独存在时在该点所产生的磁场 的磁感应强度的矢量和，即：
四、载流螺线管中的磁场
四、载流螺线管中的磁场
• 设螺线管的半径为R，总长度为L，单位长度内的匝 数为n。如果螺线管是密绕的，计算轴向磁场时，我 们可以忽略绕线的匝距，把它近似看成是一系列圆线 圈紧密地并排起来组成的。
• 取螺线管的轴线为x 轴，取其中点O为原点,则在长度 dl内有ndl匝,每匝在场点P产生的磁感应强度都沿轴线 方向,ndl匝产生的磁场为：
一样的，即每一半单独贡献是。
1 2
0
nI
四、载流螺线管中的磁场
• 一个螺线管的磁场在空间分布的全貌，整个空间的磁 感应线分布图。
• 除了端点附近，在一个长螺线管外部的空间里，磁感 应线很稀疏，这表示磁场在那里是很弱的。在L→∞ 的极限情况下，整个外部空间的磁感应强度趋于0。
• 无限长的密绕螺线管是这样一种理想的装置它产生一 个均匀磁场,并把它全部限制在自己内部。
二、载流直导线的磁场
• 方向 垂直纸面向里 • 由于直导线上所有电流元在Ｐ点的磁感应强度dB的
方向都相同，所以Ｐ点的磁感应强度Ｂ的大小等于各 电流元在Ｐ点dB的大小之和，即：
二、载流直导线的磁场
• 将上式中各量统一为一个变量， 以便积分，根据右图可有：
二、载流直导线的磁场
• 上式中θ1、θ2分别为直导线两端的电流元与它们到Ｐ 点位矢之间的夹角。
B
0 4
பைடு நூலகம்
L
Idl r r3
• 这个积分是矢量式，实际使用时，要化成标量积分进
行计算。
二、载流直导线的磁场
• 设有长Ｌ的直导线上通有电 流Ｉ，求距离此导线为a处一 点Ｐ的磁感应强度。
• 在直导线上任取一电流元 Idx ，它到Ｐ点位矢为r，Ｐ 点到直线的垂足为Ｏ，电流 元到Ｏ点的距离为x，Idx与r 的夹角为θ，则可得该电流元 在Ｐ点的磁感应强度dB的大 小为
• 若导线为无限长时，即Ｌ>>a，此时θ1≈0、θ2≈π， Ｐ点的磁感应强度为：
二、载流直导线的磁场
• 在实际中遇到的当然不可能真 正是无限长的直导线。然而若 在闭合回路中有一段长度为L的 直导线，在其附近a<<L的范围 内上式近似成立。(相对）
• 长直导线周围的磁感应线是沿 垂直于导线的平面内的同心圆。
sin
x l r cos
• 由此二式得 • 取微分得
x l cot
R
dl d
R sin 2
四、载流螺线管中的磁场
• 则有：
B 0 2 nI 4
2 1
sin
d
0 4
2 nI (cos 1
cos 2 )
• β1、β2分别是β角在螺线管两端即L/2处的数值，
• (2)在半无限长螺线管的一端，β1=0、β2=π/2
• 或β1=π/2、β2=π 无论哪种情况都有
B
1 2
0 nI
• 即在半无限长螺线管端点上的磁感应强度比中间减少 了一半。
• 这结果的理解：可以设想将一个无限长的螺线管从任
何地方截成两半，这两半在这里产生的磁场的方向相
同。根据对称性，它们对总磁感应强度的贡献应该是
毕奥--萨伐尔定律
一、毕奥-------萨伐尔定律
• ⑴电流元 • 把电流看成是无穷多小段
电流的集合，各小段电流 称为电流元，并用矢量 来表示 Idl • dl 在载流导线上沿电流 方向所取的线元，Ｉ为导 线中的电流。
一、毕奥－－－萨伐尔定律
• ⑵毕奥－－－萨伐尔定律 • 载流导线中任一电流元，在真空中某点Ｐ产
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 有一载流圆环导线，半 径为Ｒ，通过的电流强 度Ｉ，在圆环轴线上求 一点距离圆心为a的Ｐ点 的磁感应强度。
• 在环形导线上任取一电 流元，在Ｐ点处磁感应 强度dB为：
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 由于对称性，所有电流元在垂直轴线方向上的磁感 应强度之和为０；所以Ｐ点的磁感应强度为圆形线 圈上所有电流元的磁感应强度在轴线方向上的分量 的代数和，即：
四、载流螺线管中的磁场
• 下面我们考虑两个特殊情形：
• （1）无限长螺线管L→∞、β1=0、β2=π，
•
B大小与场点的坐标x无关。
• 这表明在密绕的无限长螺线管轴线上的磁场是均匀的。 其实这结论不仅适用于轴线上，在整个无限长螺线管
内部的空间里都是均匀的，其磁感应强度的大小为， 方向与轴线平行。
四、载流螺线管中的磁场
dB
0 4
[R2
2 R2I
(x l)2 ]3
2
ndl
四、载流螺线管中的磁场
• 其中x是P点的坐标。 • 整个螺线管在P点产生的总磁场为
B 0
4
L
2 L
2
2 R2Indl
[R2 (x l)2 ]3 2
四、载流螺线管中的磁场
• 令 r R2 (x l)2 R
• 下右图给出另一个右手定则，用它可以判断载流线 圈的磁感应线方向。这右手定则是：用右手弯曲的 四指代替圆线圈中电流的方向,则伸直的姆指将沿着 轴线上Ｂ的方向。
生的磁感应强度的大小 • 与电流元Idl的大小成正比， • 与电流元和从电流元到Ｐ点的位矢之间的夹
角θ的正弦成正比， • 与位矢r的大小的平方成反比。即：
一、毕奥－－－萨伐尔定律
dB的方向 垂直于dl和r所确定的平面，沿
dl×r的方向，用右手螺旋法 则来判定。
矢量表示为： d B 0 Id l r 4 r 3
• 其中：S=πR2为圆线圈的面积。
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 圆线圈轴线上各点的磁感应强度都沿着轴线方向， 与电流方向组成右手螺旋关系。
• 下面讨论两种特殊的情况： • 1、在圆心Ｏ处，即a=0处的磁感应强度为： •
• 2、在远离线圈处，即 a>>R，轴线上各点的磁感 应强度约为：
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 由图
cos 1
x L 2
R2 (x L )2 2
cos 2
x L 2
R2 (x L)2 2
代入即得螺线管轴线上任一点P的磁感应强度。
B随x变化关系见上图中的曲线，由这曲线可以看出，当 L>>R时，在螺线管内部很大一个范围内磁场近于均匀， 只在端点附近B值才显著下降。
• 其中 40为比例系数， • μ0 称 为 真 空 磁 导 率 ， ：
μ0=4π×10-7NA-2
一、毕奥－－萨伐尔定律
• ⑶磁感应强度的叠加原理
• 与点电荷的场强相似，毕奥－萨伐尔定律是求电流周 围磁感应强度的基本公式。磁感应强度Ｂ也遵从叠加 原理：
• 设有若干个电流元，它们中每一个都产生各自的磁场. 当这些电流元同时存在时，在空间某点的总磁感应强 度Ｂ等于所有电流元单独存在时在该点所产生的磁场 的磁感应强度的矢量和，即：
四、载流螺线管中的磁场
四、载流螺线管中的磁场
• 设螺线管的半径为R，总长度为L，单位长度内的匝 数为n。如果螺线管是密绕的，计算轴向磁场时，我 们可以忽略绕线的匝距，把它近似看成是一系列圆线 圈紧密地并排起来组成的。
• 取螺线管的轴线为x 轴，取其中点O为原点,则在长度 dl内有ndl匝,每匝在场点P产生的磁感应强度都沿轴线 方向,ndl匝产生的磁场为：
一样的，即每一半单独贡献是。
1 2
0
nI
四、载流螺线管中的磁场
• 一个螺线管的磁场在空间分布的全貌，整个空间的磁 感应线分布图。
• 除了端点附近，在一个长螺线管外部的空间里，磁感 应线很稀疏，这表示磁场在那里是很弱的。在L→∞ 的极限情况下，整个外部空间的磁感应强度趋于0。
• 无限长的密绕螺线管是这样一种理想的装置它产生一 个均匀磁场,并把它全部限制在自己内部。
二、载流直导线的磁场
• 方向 垂直纸面向里 • 由于直导线上所有电流元在Ｐ点的磁感应强度dB的
方向都相同，所以Ｐ点的磁感应强度Ｂ的大小等于各 电流元在Ｐ点dB的大小之和，即：
二、载流直导线的磁场
• 将上式中各量统一为一个变量， 以便积分，根据右图可有：
二、载流直导线的磁场
• 上式中θ1、θ2分别为直导线两端的电流元与它们到Ｐ 点位矢之间的夹角。
B
0 4
பைடு நூலகம்
L
Idl r r3
• 这个积分是矢量式，实际使用时，要化成标量积分进
行计算。
二、载流直导线的磁场
• 设有长Ｌ的直导线上通有电 流Ｉ，求距离此导线为a处一 点Ｐ的磁感应强度。
• 在直导线上任取一电流元 Idx ，它到Ｐ点位矢为r，Ｐ 点到直线的垂足为Ｏ，电流 元到Ｏ点的距离为x，Idx与r 的夹角为θ，则可得该电流元 在Ｐ点的磁感应强度dB的大 小为
• 若导线为无限长时，即Ｌ>>a，此时θ1≈0、θ2≈π， Ｐ点的磁感应强度为：
二、载流直导线的磁场
• 在实际中遇到的当然不可能真 正是无限长的直导线。然而若 在闭合回路中有一段长度为L的 直导线，在其附近a<<L的范围 内上式近似成立。(相对）
• 长直导线周围的磁感应线是沿 垂直于导线的平面内的同心圆。
sin
x l r cos
• 由此二式得 • 取微分得
x l cot
R
dl d
R sin 2
四、载流螺线管中的磁场
• 则有：
B 0 2 nI 4
2 1
sin
d
0 4
2 nI (cos 1
cos 2 )
• β1、β2分别是β角在螺线管两端即L/2处的数值，
• (2)在半无限长螺线管的一端，β1=0、β2=π/2
• 或β1=π/2、β2=π 无论哪种情况都有
B
1 2
0 nI
• 即在半无限长螺线管端点上的磁感应强度比中间减少 了一半。
• 这结果的理解：可以设想将一个无限长的螺线管从任
何地方截成两半，这两半在这里产生的磁场的方向相
同。根据对称性，它们对总磁感应强度的贡献应该是
毕奥--萨伐尔定律
一、毕奥-------萨伐尔定律
• ⑴电流元 • 把电流看成是无穷多小段
电流的集合，各小段电流 称为电流元，并用矢量 来表示 Idl • dl 在载流导线上沿电流 方向所取的线元，Ｉ为导 线中的电流。
一、毕奥－－－萨伐尔定律
• ⑵毕奥－－－萨伐尔定律 • 载流导线中任一电流元，在真空中某点Ｐ产
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 有一载流圆环导线，半 径为Ｒ，通过的电流强 度Ｉ，在圆环轴线上求 一点距离圆心为a的Ｐ点 的磁感应强度。
• 在环形导线上任取一电 流元，在Ｐ点处磁感应 强度dB为：
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 由于对称性，所有电流元在垂直轴线方向上的磁感 应强度之和为０；所以Ｐ点的磁感应强度为圆形线 圈上所有电流元的磁感应强度在轴线方向上的分量 的代数和，即：
四、载流螺线管中的磁场
• 下面我们考虑两个特殊情形：
• （1）无限长螺线管L→∞、β1=0、β2=π，
•
B大小与场点的坐标x无关。
• 这表明在密绕的无限长螺线管轴线上的磁场是均匀的。 其实这结论不仅适用于轴线上，在整个无限长螺线管
内部的空间里都是均匀的，其磁感应强度的大小为， 方向与轴线平行。
四、载流螺线管中的磁场
dB
0 4
[R2
2 R2I
(x l)2 ]3
2
ndl
四、载流螺线管中的磁场
• 其中x是P点的坐标。 • 整个螺线管在P点产生的总磁场为
B 0
4
L
2 L
2
2 R2Indl
[R2 (x l)2 ]3 2
四、载流螺线管中的磁场
• 令 r R2 (x l)2 R