毕奥_萨伐尔定律的螺旋表达式
10-(3)毕奥—萨伐尔定律
2、 4、 6、 8 点 ：
外 6
dB
0 Id l
4π R
0 sin 45 2
4
二 运动电荷的磁场
S Id l
r
v
P
0 I d l r0 dB 4 r2
dB
n,q dl
dl dl v v
单位时间通过横截面S的电荷量即等于电流。
I
电流元的磁场：
4π
x
l
r2
0 IR 2 π R Bx dl 3 0 4πr
0 IR 2R 4（x R ）2
2 2 3
dB
dB x
0 I cosdl
4π r
2
0 IR 2 2 （x R ）2
2 2 3
13
I
o
R
x
*
B
x
B
0 IR 2
2 （x R ）2
10-3 毕奥—萨伐尔定律
1
一 毕奥─萨伐尔定律 (实验规律 1820)
在真空中，载流导线上任一电流元Idl，在真空中给定点 P所产生的磁感应强度dB的大小与电流元的大小Idl成正比， 与电流元到P点的矢量r之间的夹角的正弦 (sinα)成正比；与 电流元到P点的距离的平方(r2)成反比；dB的方向垂直于dl和 r所组成的平面，其指向由右手螺旋定则确定。 毕奥─萨伐尔定律
电流元中的运动电荷总数均为dN=nSdl
则每个运动电荷产生的电流元在P点产生的磁感应强度为：
dB 0 qv r0 运动电荷的磁场： B dN 4 r 2
适用条件： v <<C
6
运动电荷的磁场
毕奥---萨伐尔定律
两电流元之间的安培定律也可表示成 两电流元之间的安培定律也可表示成
u r r uur u r ˆ I1 I 2 dl2 × (dl1 × r12 ) d F12 = k = I 2 dl2 × dB1 2 r 12
电流元 I1d l1产生的磁场
ˆ ˆ Idl × r µ0 Idl × r dB = k = 2 2 r 4π r
• 求二阶导数
d 2B 在O 令x = 0处的 2 = 0 ⇒ 在O点附近磁场最均匀的条件 dx µ0 d 2B 2a 2 − 2 R 2 = 6π R 2 I = 0 ⇒ a2 = R2 7 2 dx 2 x =0 4π 2 a 2 2 R + 4
a=R
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
大小
µ0 Idl dB = 4π r2
r r 方向 Idl × r0
分析对称性、 分析对称性、写出分量式
r r B⊥ = ∫ dB = 0
⊥
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2
统一积分变量
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2 µ0IR µ0IR dl = π = ⋅2 R 3 ∫ 3 4 r 4 r π π
a
•
•
P T
µ0I 3 BL′A = (cos π − cosπ ) 4πa 4
µ0I π BLA = (cos0 − cos ) 方向 ⊗ 4 a 4 π
方向 ⊗
T点
Bp = BLA + BL′A = 2.94×10−5T 方向 ⊗
r 电流元 Idl
——右手定则 右手定则 r r r µ0 Idl ×r 毕奥-萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律 dB = 4 π r3 r r r r µ0 Idl ×r 对一段载流导线 B = ∫ dB = ∫ 4π L r3
毕奥-萨伐尔定律
1.若 ，（无限长的 无限长的） 1.若 l >>R ，（无限长的）螺线管的中心处
β1 = π , β2 = 0
2.若 在管端口处： 2.若 l >>R ，在管端口处：
B = µ0nI
1 B = µ0nI 2
µ 0 nI
2
β1 = π/2 , β2 = 0 ; β1 = π, β2 = π/2
B
µ 0 nI
第五章 稳恒电流的磁场
17
v r
P
v dB
v r
v dB
v dB
v Idl
r
v I vdl
磁场为： 对任何一载流导线在某点产生的磁场为：
v B=
v ∫ dB
v v ˆ µ0 Idl × er B=∫ 4π r 2 L
先化为分量式后分别积分。 先化为分量式后分别积分。
3 µ0I 2 π 3µ0I B2 = ⋅ = 2R 2π 8R
I 1 3
方向垂直纸面向外
B3 =
µ0I
4πR
3µ0I µ0I + 8R 4πR
方向垂直纸面向外
B = B1 + B2 + B3 =
方向垂直纸面向外
12
第五章 稳恒电流的磁场
例4：载流螺旋管在其轴上的磁场。 ：载流螺旋管在其轴上的磁场。 求半径为R，总长度 求半径为 ，总长度l ，导线电 流为I，单位长度上的匝数为n 流为 ，单位长度上的匝数为 的 螺线管在其轴线上一点的磁场？ 螺线管在其轴线上一点的磁场？ 解：采用“并排圆电流”模型简化。 采用“并排圆电流”模型简化。
4π r2
P
方向为垂直向里。且所有电流元在 点的磁感应强 方向为垂直向里。且所有电流元在P点的磁感应强 度方向相同（垂直向里）。 度方向相同（垂直向里）。
毕奥-萨伐尔定律
将实验结果与毕奥-萨伐尔定律的理论值进行对比，评估定律的准确性。
结果分析
分析实验误差来源，如设备精度、环境干扰等，提高实验的可靠性和准确性。
05
毕奥-萨伐尔定律的扩展与 推广
对三维空间的推广
总结词
毕奥-萨伐尔定律最初是在二维空间中 推导出来的，但通过引入矢量运算， 该定律可以扩展到三维空间中。
Idl
电流元，表示电流的一 部分。
r
观察点到电流元的径矢 ，表示观察点与电流元
之间的距离。
03
毕奥-萨伐尔定律的应用场 景
电场与磁场的关系
磁场是由电流产生的，而电场是由电 荷产生的。毕奥-萨伐尔定律描述了 电流和磁偶极子产生的磁场，以及变 化的电场产生的磁场。
毕奥-萨伐尔定律揭示了电场和磁场之 间的相互关系，表明它们是电磁场的 两个方面，而不是独立存在的。
THANKS
对微观尺度的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述微观尺度的电磁场时，其精确度受 到限制。在量子尺度下，电磁场的涨落和量子效应可能导 致定律的不适用。
未来研究需要进一步探索毕奥-萨伐尔定律在微观尺度下 的适用性和修正，以更好地描述量子电磁场的行为。
对超导态物质的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述超导态物质的 电磁场时，可能存在局限性。超导态 物质的电磁行为与常规物质有所不同， 需要更复杂的理论模型来描述。
电流与磁场的相互作用
根据毕奥-萨伐尔定律，电流产生磁场，而磁场对电流有作用 力。这种作用力被称为洛伦兹力，它描述了电流在磁场中所 受到的力。
毕奥-萨伐尔定律是电动机和发电机等电气设备工作的基础， 它解释了电流如何在磁场中受到作用力，从而产生旋转或线 性运动。
磁力线的描绘
毕奥萨伐尔定律的数学表达式
毕奥萨伐尔定律的数学表达式
毕奥萨伐尔定律是描述一个重要物理现象的重要定律。
1853年，德国物理学家威廉·毕奥萨·伐尔提出了这一定律，他指出，磁体周围存在一种旋转电流，磁体正在试图引导这种旋转电流。
由此，如果磁体不能无限循环这种电流，那么磁场强度就会减弱，直到磁体消失。
毕奥萨·伐尔定律的数学表达式是用来描述磁体的磁场的变化的重要理论，其定律如下：B⃗={μ⃗0 ·(I⃗·r̂)/4πr2}r̂, 其中B⃗是磁场，μ⃗0是真空磁导率，I⃗是电流，r̂是相对于磁片的单位向量。
从这个公式可以看出，磁场强度随着距离的增加而减弱，磁场强度和电流强度之间存在着内在联系。
毕奥萨·伐尔定律非常重要，它不仅在物理上解释了磁场的结构，而且是研究电磁相关问题的基础。
在电工学中广泛应用，例如在线圈的设计中，用伐尔定律可以迅速计算线圈的磁场，确定绕线的线圈，以及测量电压、电流和功率。
总之，毕奥萨·伐尔定律是一个重要及有效的定律，它可以解释磁体所受到的影响，而且它在电磁学中被广泛应用。
它的数学表达式让研究变得简单、快速，也显示出物理系统中物体与环境之间微妙的相互作用。
6.2_毕奥-萨伐尔定律
6.2 毕奥—萨伐尔定律一 毕奥—萨伐尔定律 (电流元在空间产生的磁场)第6章 稳恒磁场v Idlv dB4π r v v v μ0 Idl × r0 dB = 4π r2−7 −2 真空磁导率μ0 = 4π ×10 N ⋅ AdB =μ0 Idl sin θ2v dBP *v rθv IdlIv r任意载流导线在点 P 处的磁感强度 磁感强度叠加原理v v v v μ0 I dl × r0 B = ∫ dB = ∫ 2 4π r6.2 毕奥—萨伐尔定律v v v μ0 Idl × r0 毕奥—萨伐尔定律 dB = 2 4π r1 8第6章 稳恒磁场例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.2dB = 0 1、5 点 ：3、7点 ：dB +3+7v IdlR6 5=μ 0 Id l4π R22、4、6、8 点 ：+4dB =μ 0 Idl4π R0 sin 45 26.2 毕奥—萨伐尔定律二 毕奥---萨伐尔定律应用举例第6章 稳恒磁场θ1、 θ2、 r0 例1 载流长直导线的磁场. 已知：真空中 I、zDθ2解dz θ vIzθ1rv dB* P yxor0dB = 2 4π r v dB 方向均沿r Ì任取电流元 Id z μ 0 Idz sin θ⊗Ì建立坐标系OXYCx 轴的负方向 μ0 Idz sinθ B = ∫ dB = ∫ 2 CD 4π r6.2 毕奥—萨伐尔定律Ì写出分量式第6章 稳恒磁场Idz sinθ B = ∫ dB = ∫ 2 CD 4π rÌ统一积分变量μ0zDθ2z = r0ctg(π −θ ) = −r0ctgθ ,dz θ vIzθ1rv dB* P yr = r0 / sinθxor0Cdz = r0dθ / sin θ μ 0 I sin θ dz B=∫ 2 4π r2=∫μ 0 sin 2 θ r0 d θ I sin θ 2 2 sin θ 4 π r06.2 毕奥—萨伐尔定律第6章 稳恒磁场B=μ0I4 π r0∫θθ21sin θ d θ =v B 的方向沿 x 轴的负方向.B=（cosθ1 − cosθ 2） 4π r0μ0 IzDθ2v B无限长载流长直导线的磁场.（cosθ1 − cosθ 2） 4π r0B=μ0 IIoxCθ1 → 0 θ2 →πμ0I2 π r0θ1P y+6.2 毕奥—萨伐尔定律无限长载流长直导线的磁场 I B第6章 稳恒磁场B=μ0I2π rIXB电流与磁感强度成右螺旋关系 半无限长载流长直导线的磁场π θ1 → 2 θ 2 →πBP =μ0I4π rIor* P6.2 毕奥—萨伐尔定律第6章 稳恒磁场例2 圆形载流导线的磁场. 真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆 电流. 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.v Idlrv Bv dBp *oRϕv BI 解 根据对称性分析4π r B = Bx = ∫ dB sin ϕdB =μ 0 Id l2x6.2 毕奥—萨伐尔定律 v IdlR第6章 稳恒磁场rxoϕr 2 2 2 ϕ r =R +x α μ 0 I cos α dl *p x B= 4 π ∫l r 2v dBcosα = R4π r μ 0 I cos αdl dB x = 2 4π rdB =μ 0 Id l2B=B=μ0 IR4π r 2 μ0 IR2 23 0∫2π Rdl3（ 2 x + R ）26.2 毕奥—萨伐尔定律第6章 稳恒磁场IR ox*v BxB=B=μ0 IR22 2 3讨 论（ 2 x + R ）2 v v 2）x < 0 B 的方向不变( I 和 B 成右螺旋关系） μ 0I B = 3）x = 0 2R 2 IR IS μ μ 0 0 4）x >> R ， B= B= 3 3 2x 2π x2 21）若线圈有 N 匝（ 2 x + R ）2 2 N μ 0 IR36.2 毕奥—萨伐尔定律 例：载流圆弧，已知 I , R , θ r 求： B 0 r r 解： B = ∫ dB r r μ 0 Idl sin( dl , r ) B = ∫ dB = 2 ∫ 4π R μ0 I Rθ μ0 Iθ = dl = 2 ∫ 4πR 0 4πR第6章 稳恒磁场 Iθ⊗ oR6.2 毕奥—萨伐尔定律(1） I （2 ） o+ （3） I R⊗第6章 稳恒磁场 （4）v R B x 0 μ0I o B0 = 2RI RBA =d （5） I *AR1• * oμ0 I4π d⊗B0 =μ0 I4RR2B0 =oμ0 I8RB0 =μ0 I4 R2−μ0 I4 R1−μ0 I4π R16.2 毕奥—萨伐尔定律(6)O•第6章 稳恒磁场B =IRμ0I8R•(7)R•OIμ0I + B = 4R 2π Rμ0I•(8)2π 3• OIRμ0I 3 (1 − B = + ) 6R 2π R 2⊗μ0I。
毕奥-萨伐尔定律及应用
B x = ∫ dB x B y = ∫ dB y Bz = ∫ dBz
}Байду номын сангаас
⇒
v v v v B = Bx i + B y j + Bz k
设有长为L的载流直导 例1 载流长直导线的磁场 设有长为 的载流直导 线，其中电流为I。计算距离直导线为a处的 点的磁 其中电流为 。计算距离直导线为 处的P点的磁 处的 感应强度。 感应强度。 I 解：任取电流元 Idl 据毕奥-萨伐尔定律 萨伐尔定律， r 据毕奥 萨伐尔定律，此电 α Idl 流元在P 流元在P点磁感应强度dB为 r r L r
I dl
R
r
x
d B⊥
θ
θ
r dB
I
O
P
r d B//
µ0 I d l B = ∫ dB// = ∫ dB sin θ = ∫L r 2 sin θ L L 4π µ 0 I sin θ 2πR µ 0 I sin θ = 2 ∫0 d l = 4πr 2 2πR 4πr
µ0 I sin θ B= 2πR 2 4πr
单位矢量
真空中的磁导率
大小： 大小： dB =
4π
µ0 Idl sin θ
r2
Idl vθ
P
v B
方向： 方向：右螺旋法则
v r
r dB
r dB
r Id l
P
r r
α
r dl
I
电流元在给定点所产生的磁感应强度的大小与 I d l 成正比 ， 与到电流元的距离平方成反比 ，与电 r 成正比，与到电流元的距离平方成反比， r 流 元 r 矢 径 夹 角 的 正 弦 成 正 比 。 dB 方 向 垂 直 于 r 和 r r 组成的平面， 与 Idl 组成的平面，指向为由 Idl 经 α 角转向 r 时 右螺旋前进方向。 右螺旋前进方向。 r
毕奥萨伐尔定律公式
毕奥萨伐尔定律公式1埃尔维·毕奥萨伐尔定律埃尔维·毕奥萨伐尔定律（Erwin Bolza's Law）是一个定理，由德国数学家埃尔维·毕奥萨伐尔（Erwin Bolza）在1847年提出，指出把一个复数函数系统化为一个多项式来得到方程的解。
在这里，复数是表示多个自变量聚集在一起形成的函数，而多项式是一组关于自变量的有限阶多项式，当满足相应条件时，就可以将复数函数简化为多项式，从而得出所有的解决方案。
由于埃尔维·毕奥萨伐尔定律是一个常规的、可证明的定理，因此它被广泛应用于各种数学领域，包括几何、计算机科学和物理学等。
对于具有多个变量的函数系统，它可以比较快速地将复数函数简化为多项式，从而更容易求解。
2毕奥萨伐尔定理的原理埃尔维·毕奥萨伐尔定理的核心原理是，在满足一定条件的情况下，可以将一个复数函数简化为多项式，从而得出它的解。
首先，毕奥萨伐尔定理要求复数函数系统有@n@个自变量，其中每个自变量由特定的多项式表示，而这@n@个多项式的系数必须是一定的，唯一的属性是他们的阶数可以不同。
接下来，当@n@个多项式被联合起来时，它们就可以形成一个复数函数，其中也可以得到它们关于每个自变量的解。
但是，由于有许多系数参与到计算当中，这样的计算过程可能很耗时。
这时，埃尔维·毕奥萨伐尔定理的核心原理就起作用了：它可以把复数函数系统改写成一个多项式，这样就更容易求解，而@n@个多项式的系数也可以任意调整，以获得最优的解。
3应用由于埃尔维·毕奥萨伐尔定理对于多项式的变量以及联合变量的计算有重要的应用，因此它在多个领域中都有广泛应用。
例如，它可以用于求解一元二次方程组——一组有两个自变量的方程组——的解。
在这里，一元二次方程组有两个多项式，其中每个多项式有两个系数，这里也就是有两个自变量。
通过把它们简化成一个多项式，就可以求出来它们的解。
此外，埃尔维·毕奥萨伐尔定理还可以用于比较两个物体的动力学性质，因为它可以有效地求出这两个物体的总运动方程，以及这两个物体的动力学特性。