毕奥-萨伐尔定律

r
x
o
v B *p x
x （3） >>R ）
B=
µ 0 IR
3
2
I
2x µ 0 IS B= 2 π x3
，
恒定磁场
10
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律 (1)
推 广 组 合
(2)
I
v R B0 x o
I R o×
B0 =
B0 =
µ0 I
2R
µ0 I
4R
(3)
I R
× o
恒定磁场
B0 =
µ0 I
8R
11
物理学
解法二
运动电荷的磁场
d B0 =
µ 0 dqv
4 π r2
σ R
o
r
dq = σ 2 π rdr
ω
v = ωr
dr
B=
dB =
µ 0σω
2
dr
µ 0σω
2
恒定磁场
∫
R
0
dr =
µ 0σω R
2
24
q+
v v vθ v r ×B
−q
恒定磁场
v r
θ
v v
v B
21
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
σ R
o
ω
例4 半径为 R 的带电薄圆盘的电荷 面密度为σ , 并以角速 度ω 绕通过盘心垂直 于盘面的轴转动 ，求 圆盘中心的磁感强度. 中心的磁感强度 圆盘中心的磁感强度
恒定磁场
22
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
恒定磁场
3
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
毕奥－ 二 毕奥－萨伐尔定律应用举例
载流长直导线的磁场. 例1 载流长直导线的磁场 µ0 Idz sin θ z 解 dB = 2 θ2 D 4π r
dz
I
θ
v r
*
z
θ1
v dB
v dB 方向均沿
x 轴的负方向
Idz sinθ B = ∫ dB = ∫ 2 CD 4π r
R
r
x
o
ϕ
ϕ
*p
v dB
α
B=
µ0 IR
4πr
3 0
∫
2π R
dl
x B=
µ0 IR
2
2 2 3
（x + R ） 2 2
恒定磁场
9
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
讨 （1）若线圈有 N 匝 B = ） 3 2 2 （x + R ） 2 2 论
N µ 0 IR
பைடு நூலகம்
2
x （2） = 0 B = ）
R
µ0 I
2R
v Id l
R
r 2 2 2 r =R +x
r
x
o
ϕ
ϕ
*p
v dB
α
dB =
dB x =
µ 0 Id l
4 π r2
x
µ 0 I cos α dl
4π r
2
恒定磁场
8
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
dBx =
µ0 I cos αdl
4π r2
cos α d l B= ∫l r 2 4π
µ0 I
v Id l
1 8
×
2
×3
1、5点 ：d B = 0 、 点 3、7点 ：dB = 、 点
µ 0 Id l
7
v Id Idl
R
6 5
×
4
v v v µ 0 Id l × r dB = 3 4π r
4 π R2 2、4、6、8 点 ： 、 、 、 µ 0 Idl dB = sin 450 4 π R2
毕奥－ 毕奥－萨伐尔定律
毕奥毕奥-萨伐尔定律 (4)
BA =
d (5) I *A
R2
µ0 I
4πd
R1
B0 =
µ0 I
4 R2 −
−
µ0 I
4 R1
* o
µ0 I
4 π R1
恒定磁场
12
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
三 磁偶极矩
v v m = IS e n v 2 v µ 0 IR µ0m B= B= 3 2 π x3 2x v µ0m v B= e 3 n 2π x
I
v B
y
半无限长载流长直导线 半无限长载流长直导线
π θ1 → 2 θ2 → π
恒定磁场
x
C
o
θ1
P
BP =
µ0I
4πr
6
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
无限长载流长直导线的磁场
B=
µ0I
2πr
I B
I
X
B
电流与磁感强度成右螺旋关系 电流与磁感强度成右螺旋关系
恒定磁场
7
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
圆形载流导线轴线上的磁场. 轴线上的磁场 例2 圆形载流导线轴线上的磁场 解 B = Bx = ∫ dB sin ϕ cos α = R
I S
en
I
v m v
v m
S 说明： 说明：只有当圆形电流的 面积S很小 或场点距圆电流 很小， 面积 很小，或场点距圆电流 很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子 磁偶极子. 很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子.
恒定磁场
13
v en
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
载流直螺线管内部的磁场. 例3 载流直螺线管内部的磁场 如图所示，有一长为l 半径为R的载流 如图所示，有一长为 , 半径为 的载流 密绕直螺线管，螺线管的总匝数为N， 密绕直螺线管，螺线管的总匝数为 ，通 有电流I. 设把螺线管放在真空中， 有电流 设把螺线管放在真空中，求管内 轴线上一点处的磁感强度. 轴线上一点处的磁感强度
I
z
θ1
x
C
o r0
P
y
=
µ0 I
4 π r0
(cosθ1 − cosθ 2 )
v B 的方向沿 x 轴的负方向
恒定磁场
5
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
B=
µ0 I
4 π r0 z
θ2
(cos θ1 − cos θ 2 )
无限长载流长直导线 无限长载流长直导线
θ1 → 0 θ2 → π
×
D
B=
µ0I
2 π r0
毕奥毕奥-萨伐尔定律
（2）无限长的螺线管（3）半无限长螺线管 ）无限长的螺线管 ）半无限长螺线管
β1 = π, β 2 = 0
B = µ 0 nI
β1 = 0.5π, β 2 = 0
B = µ 0 nI / 2
B
1 µ 0 nI 2
µ0nI
x
O
恒定磁场
19
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
四 运动电荷的磁场
R
P
*
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
x
恒定磁场
14
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
解
由圆形电流磁场公式 µ 0 IR 2 B= 2 2 3/ 2 2( x + R )
dB =
µ0
2
(R
x
R 2 In d x
2
+ x
2 3/2
)
R
P
O*
x
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
恒定磁场
15
恒定磁场
4
x
C
o r0
P
y
µ0
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
Idz sinθ B = ∫ dB = ∫ 4 π CD r 2 z
D
θ2
µ0
z = −r0 cotθ , r = r0 / sin θ
dz = r0dθ / sin2 θ
dz θ v
B=
v dB
*
µ0I
4 π r0
r
∫θ
θ2
1
sin θ d θ
圆电流的磁场 ω dI = σ 2 π rdr = σω rdr 2π σ R µ0dI µ0σω dB = = dr o 2r 2 r µ 0σω R µ 0σω R dr B= ∫0 dr = 2 2 ω v v σ > 0, B 向外 σ < 0, B 向内
恒定磁场
23
解法一
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
B=−
µ 0 nI
2
∫β
β2
1
R 3 csc 2 β d β R 3 csc 3 β d β
=−
µ0 nI
2
∫β
β2
1
sin β d β
R
β1
β
β
2
x 1 O*
x2 x
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
恒定磁场
17
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
讨 论
B=
µ0 nI
2
(cos β 2 − cos β1 )
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
x = R cot β
B = ∫ dB =
dx = − R csc βdβ
2
µ 0 nI
2
∫ (R
x1
x2
R dx
2
2
+x
2 3/ 2
)
R2 + x2 = R2 csc2 β
R
β1
β
β
2
x 1 O*
x2 x
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
恒定磁场
16
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
v v v µ0 Idl × r dB = 3 4π r v v v Id l = j S d l = nS d lq v v v v µ 0 nSdlqv × r dB = 4π r3
d N = nS d l
v j
S
dl
恒定磁场
20
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
运动电荷的磁场 v v v v d B µ0 qv × r B= = d N 4 π r3 适用条件 v << c
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
毕奥－ 一 毕奥－萨伐尔定律
(电流元在空间产生的磁场 电流元在空间产生的磁场) 电流元在空间产生的磁场
dB =
µ0 Idl sin θ
4π
v dB
P* v
v Id l
v dB
r2 v v v µ0 Idl × r dB = 3 4π r
v r
I
真空磁导率 µ0 = 4 π×10−7 N ⋅ A−2
β1 = π − β 2
l/2
点位于管内轴线中点 （1）P点位于管内轴线中点 ） 点位于管内
cos β1 = − cos β 2
cos β2 =
B = µ0 nI cos β 2 =
若 l >> R
µ0 nI
2
(l / 2)
l
2
+R
2
(l
2
/4+ R
2 1/ 2
)
B = µ 0 nI
恒定磁场
18
物理学
r
θ
v Id l
恒定磁场
1
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
任意载流导线在点 P 处的磁感强度 磁感强度 叠加原理 v v B = ∫ dB
=
v Id l
v dB
v r
∫
v v µ 0 I dl × r 4π r3
v dB
P* v
I
r
θ
v Id l
恒定磁场
2
物理学
毕奥毕奥-萨伐尔定律
判断下列各点磁感强度的方向和大小. 例 判断下列各点磁感强度的方向和大小