毕奥 萨伐尔定律
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毕奥萨伐尔定律内容及公式(一)
毕奥萨伐尔定律内容及公式(一)毕奥萨伐尔定律内容及公式毕奥萨伐尔定律简介毕奥萨伐尔定律（也称作毕奥-斯沃特定律）是电磁学中的一个重要定律，描述了电流所产生的磁场的特性。
由法国物理学家安德烈-玛丽-安普尔毕奥和德国物理学家卡尔-戴维德斯洛特共同发现并命名。
毕奥萨伐尔定律公式在真空中，毕奥萨伐尔定律可以用公式表达为：B = μ0 * I * (l / 2πr)其中， - B 是磁场的磁感应强度，单位为特斯拉（T）； - I 是载流导线的电流，单位为安培（A）； - l 是载流导线的长度，单位为米（m）； - r 是从载流导线测量到的点的距离，单位为米（m）；- μ0（读作mu-null）是磁导率，也称真空磁导率，约等于4π * 10^-7 T·m/A。
毕奥萨伐尔定律的解释与示例毕奥萨伐尔定律表明，电流所产生的磁场的强度与电流强度、导线长度以及距离的关系。
以下是一些示例来解释毕奥萨伐尔定律的应用：•示例一假设一段10米长的电缆中有电流流过，电流强度为5安培。
现在我们想要计算距离电缆1米处的磁场强度。
使用毕奥萨伐尔定律的公式，代入I=5A，l=10m，r=1m，以及μ0≈4π * 10^-7 T·m/A，我们可以计算得到：B = 4π *10^-7 * 5 * (10 / 2π * 1) = * 10^-6 T•示例二假设在一个闭合导线圈中有电流流过，导线圈的半径为米，电流强度为10安培。
现在我们想要计算导线圈中心的磁场强度。
使用毕奥萨伐尔定律的公式，代入I=10A，l=2π * （周长），r=，以及μ0≈4π * 10^-7 T·m/A，我们可以计算得到：B = 4π * 10^-7 * 10 * (2π * / 2π * ) = * 10^-6 T这些示例展示了应用毕奥萨伐尔定律计算不同条件下的磁场强度的过程。
通过理解该定律，我们可以更好地研究和应用电磁学中与磁场相关的现象和设备。
毕奥---萨伐尔定律
毕奥---萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律
两电流元之间的安培定律也可表示成 两电流元之间的安培定律也可表示成
u r r uur u r ˆ I1 I 2 dl2 × (dl1 × r12 ) d F12 = k = I 2 dl2 × dB1 2 r 12
电流元 I1d l1产生的磁场
ˆ ˆ Idl × r µ0 Idl × r dB = k = 2 2 r 4π r
• 求二阶导数
d 2B 在O 令x = 0处的 2 = 0 ⇒ 在O点附近磁场最均匀的条件 dx µ0 d 2B 2a 2 − 2 R 2 = 6π R 2 I = 0 ⇒ a2 = R2 7 2 dx 2 x =0 4π 2 a 2 2 R + 4
a=R
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
大小
µ0 Idl dB = 4π r2
r r 方向 Idl × r0
分析对称性、 分析对称性、写出分量式
r r B⊥ = ∫ dB = 0
⊥
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2
统一积分变量
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2 µ0IR µ0IR dl = π = ⋅2 R 3 ∫ 3 4 r 4 r π π
a
•
•
P T
µ0I 3 BL′A = (cos π − cosπ ) 4πa 4
µ0I π BLA = (cos0 − cos ) 方向 ⊗ 4 a 4 π
方向 ⊗
T点
Bp = BLA + BL′A = 2.94×10−5T 方向 ⊗
r 电流元 Idl
——右手定则 右手定则 r r r µ0 Idl ×r 毕奥-萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律 dB = 4 π r3 r r r r µ0 Idl ×r 对一段载流导线 B = ∫ dB = ∫ 4π L r3
两电流元之间的安培定律也可表示成 两电流元之间的安培定律也可表示成
u r r uur u r ˆ I1 I 2 dl2 × (dl1 × r12 ) d F12 = k = I 2 dl2 × dB1 2 r 12
电流元 I1d l1产生的磁场
ˆ ˆ Idl × r µ0 Idl × r dB = k = 2 2 r 4π r
• 求二阶导数
d 2B 在O 令x = 0处的 2 = 0 ⇒ 在O点附近磁场最均匀的条件 dx µ0 d 2B 2a 2 − 2 R 2 = 6π R 2 I = 0 ⇒ a2 = R2 7 2 dx 2 x =0 4π 2 a 2 2 R + 4
a=R
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
大小
µ0 Idl dB = 4π r2
r r 方向 Idl × r0
分析对称性、 分析对称性、写出分量式
r r B⊥ = ∫ dB = 0
⊥
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2
统一积分变量
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2 µ0IR µ0IR dl = π = ⋅2 R 3 ∫ 3 4 r 4 r π π
a
•
•
P T
µ0I 3 BL′A = (cos π − cosπ ) 4πa 4
µ0I π BLA = (cos0 − cos ) 方向 ⊗ 4 a 4 π
方向 ⊗
T点
Bp = BLA + BL′A = 2.94×10−5T 方向 ⊗
r 电流元 Idl
——右手定则 右手定则 r r r µ0 Idl ×r 毕奥-萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律 dB = 4 π r3 r r r r µ0 Idl ×r 对一段载流导线 B = ∫ dB = ∫ 4π L r3
毕奥-萨伐尔定律
1.若 ，（无限长的 无限长的） 1.若 l >>R ，（无限长的）螺线管的中心处
β1 = π , β2 = 0
2.若 在管端口处： 2.若 l >>R ，在管端口处：
B = µ0nI
1 B = µ0nI 2
µ 0 nI
2
β1 = π/2 , β2 = 0 ; β1 = π, β2 = π/2
B
µ 0 nI
第五章 稳恒电流的磁场
17
v r
P
v dB
v r
v dB
v dB
v Idl
r
v I vdl
磁场为： 对任何一载流导线在某点产生的磁场为：
v B=
v ∫ dB
v v ˆ µ0 Idl × er B=∫ 4π r 2 L
先化为分量式后分别积分。 先化为分量式后分别积分。
3 µ0I 2 π 3µ0I B2 = ⋅ = 2R 2π 8R
I 1 3
方向垂直纸面向外
B3 =
µ0I
4πR
3µ0I µ0I + 8R 4πR
方向垂直纸面向外
B = B1 + B2 + B3 =
方向垂直纸面向外
12
第五章 稳恒电流的磁场
例4：载流螺旋管在其轴上的磁场。 ：载流螺旋管在其轴上的磁场。 求半径为R，总长度 求半径为 ，总长度l ，导线电 流为I，单位长度上的匝数为n 流为 ，单位长度上的匝数为 的 螺线管在其轴线上一点的磁场？ 螺线管在其轴线上一点的磁场？ 解：采用“并排圆电流”模型简化。 采用“并排圆电流”模型简化。
4π r2
P
方向为垂直向里。且所有电流元在 点的磁感应强 方向为垂直向里。且所有电流元在P点的磁感应强 度方向相同（垂直向里）。 度方向相同（垂直向里）。
毕奥萨伐尔定律介绍课件
定律的物理意义
物理意义
毕奥-萨伐尔定律揭示了电流在空间 中产生磁场的基本规律，对于电磁场 理论的发展和应用具有重要意义。
应用举例
在电磁学、电机学、变压器、电磁铁 等领域中，毕奥-萨伐尔定律被广泛应 用于分析和计算磁场分布。
Part
02
毕奥萨伐尔定律的推导
毕奥萨伐尔的生平与贡献
毕奥出生于1774年，是 法国物理学家和数学家。
在物理学中的应用
01
02
03
描述磁场分布
毕奥-萨伐尔定律可以用来 描述磁场在空间中的分布 ，特别是在电流和磁铁附 近产生的磁场。
计算磁场力
根据毕奥-萨伐尔定律，可 以计算磁场对电流和磁铁 的作用力，即洛伦兹力和 安培力。
解决电磁问题
在解决电磁学问题时，毕 奥-萨伐尔定律常与其他电 磁学定律一起使用，以完 整地描述电磁场的行为。
毕奥萨伐尔定律介绍 课件
• 毕奥萨伐尔定律概述 • 毕奥萨伐尔定律的推导 • 毕奥萨伐尔定律的应用 • 毕奥萨伐尔定律的实验验证 • 毕奥萨伐尔定律的扩展与展望
目录
Part
01
毕奥萨伐尔定律概述
定义与公式
定义
毕奥-萨伐尔定律描述了电流在空间中产生的磁场分布，特别是电流元在空间中产生的磁 场。
公式
毕奥和萨伐尔通过实验观 测到电流在空间中产生磁 场的现象。
毕奥萨伐尔定律的数学表达形式
毕奥萨伐尔定律可以用数学公式 表示，描述了电流产生的磁场的
大小和方向。
这个定律在电磁学中非常重要， 是研究电磁场和电磁力的基础。
通过应用毕奥萨伐尔定律，可以 解决许多与电流和磁场相关的问
题。
Part
03
毕奥萨伐尔定律的应用
6-3毕奥—萨伐尔定律
0 I 1 l r1 r2 0 I 2 l d r1 ln ln 2 r1 2 d r1 r2
2.26 10 6 Wb
运动电荷的磁场
三、 运动电荷的磁场
形成
电荷运动
电 流
磁 场
设电流元 Idl ，横截面积S，单位体积内有n 个定向运动的正电荷 , 每个电荷电量为 q ，定向 速度为v。
L
I d l er 2 r
二、毕奥—萨伐尔定律的应用 先将载流导体分割成许多电流元 Idl 写出电流元 Idl 在所求点处的磁感应强度，然后
按照磁感应强度的叠加原理求出所有电流元在该点 磁感应强度的矢量和。 实际计算时要应先建立合适的坐标系，求各电流元的 分量式。即电流元产生的磁场方向不同时，应先求出 各分量 dBx dBy dBz 然后再对各分量积分，
0 I sin B 2R 2 4r
I dl
R
r
d B
dB
IO
2 2
x
2
P
d B//
R R r R x ; sin 2 2 12 r (R x ) 0 IR 2 0 IS B 2 2 32 2 2 32 2 ( R x ) 2( R x )
0 qv sin dB B dN 4 r2
矢量式：
0 qv er B 2 4 r
其方向根 据 右手螺 旋法则， B 垂直 v 、r 组成的平面。 q 为正， B 为 v 的方向；q为 r 负， B 与 v r 的方向 相反。
1.71 105 T
方向
S点
L
0 I 1 1 BLA (sin sin ) 方向 4a 4 2 L 0 I 1 1 BAL (sin sin ) 方向 4a 2 4
10.3 毕奥-萨伐尔定律
毕奥—萨伐尔定律 10.3 毕奥 萨伐尔定律 讨 论
第十章 真空中的稳恒磁场
B=
µ0 nI
2
(cos β 2 − cos β1 )
π β1 = , β 2 = 0 2 1 B = µ 0 nI 2
(1) 无限长的螺线管 无限长的螺线管
（2）半无限长螺线管端点处 ）
β1 = π , β 2 = 0
B = µ 0 nI
v dB
P *
v r
θ
v Idl
I
v r
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
v v v v µ0 I dl × r0 磁感强度叠加原理 B = dB = ∫ ∫ 4 π r2 (多采用分量式计算 多采用分量式计算) 多采用分量式计算
毕奥—萨伐尔定律 10.3 毕奥 萨伐尔定律
*二 运动电荷的磁场 二
R2
*o
B0 =
µ0 I
8R
B0 =
µ0 I
4 R2
−
µ0 I
4 R1
−
µ0 I
4π R1
毕奥—萨伐尔定律 10.3 毕奥 萨伐尔定律
第十章 真空中的稳恒磁场
例3 载流直螺线管轴线上的磁场 如图所示，有一长为 半径为R的载流密绕直螺 如图所示，有一长为l , 半径为 的载流密绕直螺 线管，螺线管单位长度的匝数为n，通有电流I. 线管，螺线管单位长度的匝数为 ，通有电流 设把 螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度. 螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度
v dB 方向均沿
y
D
dl
I
C
z
4π r µ0 Idl sin α B = ∫ dB = ∫ 2 CD α 4π r v sinα = cos β r v r = a sec β l dB β2 l = a tan β dl = a sec2 β dβ β * x o a β1 µ 0 I β2 P B= ∫β1 cosβ dβ 4πa
毕奥萨伐尔定律
• 我们只计算了轴线上的磁场分布,轴线以外磁场分布的计算比 较复杂, 略。为了给同学们一个较全面的印象，下左图显示 了通过圆线圈轴线的平面上磁感应线的分布图。可以看出， 磁感应线是一些套连在圆电流环上的闭合曲线。
• 下右图给出另一个右手定则，用它可以判断载流线 圈的磁感应线方向。这右手定则是：用右手弯曲的 四指代替圆线圈中电流的方向,则伸直的姆指将沿着 轴线上Ｂ的方向。
生的磁感应强度的大小 • 与电流元Idl的大小成正比， • 与电流元和从电流元到Ｐ点的位矢之间的夹
角θ的正弦成正比， • 与位矢r的大小的平方成反比。即：
一、毕奥－－－萨伐尔定律
dB的方向 垂直于dl和r所确定的平面，沿
dl×r的方向，用右手螺旋法 则来判定。
矢量表示为： d B 0 Id l r 4 r 3
• 其中：S=πR2为圆线圈的面积。
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 圆线圈轴线上各点的磁感应强度都沿着轴线方向， 与电流方向组成右手螺旋关系。
• 下面讨论两种特殊的情况： • 1、在圆心Ｏ处，即a=0处的磁感应强度为： •
• 2、在远离线圈处，即 a>>R，轴线上各点的磁感 应强度约为：
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 由图
cos 1
x L 2
R2 (x L )2 2
cos 2
x L 2
R2 (x L)2 2
代入即得螺线管轴线上任一点P的磁感应强度。
B随x变化关系见上图中的曲线，由这曲线可以看出，当 L>>R时，在螺线管内部很大一个范围内磁场近于均匀， 只在端点附近B值才显著下降。
• 其中 40为比例系数， • μ0 称 为 真 空 磁 导 率 ， ：
• 下右图给出另一个右手定则，用它可以判断载流线 圈的磁感应线方向。这右手定则是：用右手弯曲的 四指代替圆线圈中电流的方向,则伸直的姆指将沿着 轴线上Ｂ的方向。
生的磁感应强度的大小 • 与电流元Idl的大小成正比， • 与电流元和从电流元到Ｐ点的位矢之间的夹
角θ的正弦成正比， • 与位矢r的大小的平方成反比。即：
一、毕奥－－－萨伐尔定律
dB的方向 垂直于dl和r所确定的平面，沿
dl×r的方向，用右手螺旋法 则来判定。
矢量表示为： d B 0 Id l r 4 r 3
• 其中：S=πR2为圆线圈的面积。
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 圆线圈轴线上各点的磁感应强度都沿着轴线方向， 与电流方向组成右手螺旋关系。
• 下面讨论两种特殊的情况： • 1、在圆心Ｏ处，即a=0处的磁感应强度为： •
• 2、在远离线圈处，即 a>>R，轴线上各点的磁感 应强度约为：
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 由图
cos 1
x L 2
R2 (x L )2 2
cos 2
x L 2
R2 (x L)2 2
代入即得螺线管轴线上任一点P的磁感应强度。
B随x变化关系见上图中的曲线，由这曲线可以看出，当 L>>R时，在螺线管内部很大一个范围内磁场近于均匀， 只在端点附近B值才显著下降。
• 其中 40为比例系数， • μ0 称 为 真 空 磁 导 率 ， ：
11-3毕奥-萨伐尔定律及应用
真空的磁导率: π×10 真空的磁导率:o=4π× -7 π× 点的距离. (2) r是电流元 到P点的距离. ) 是电流元Idl 点的距离 r是从电流元 指向 点的单位矢量. 是从电流元Idl 指向P点的单位矢量 点的单位矢量. 是从电流元
上页 下页
(3)磁场的大小: )磁场的大小:
o Idl sin θ dB = 2 θ是Idl与r 之间的夹角 与 之间的夹角. 4π r
在薄片中取弧长为dl的窄条, 在薄片中取弧长为 的窄条, 的窄条 其中通过的微元电流为: 其中通过的微元电流为:
I
I I dI = dl = dθ πR π
上页 下页
y
在俯视图上建立如图坐标, 在俯视图上建立如图坐标, 电流元在O点激发的磁感应 电流元在 点激发的磁感应 强度为: 强度为:
o
dB
θ
毕奥-萨伐尔定律及应用 §11-3 毕奥 萨伐尔定律及应用
毕奥-萨伐尔定律 一, 毕奥 萨伐尔定律
d 真空中,电流元 真空中,电流元Idl 在P点产 B 点产 生的磁场为
o Idl ×r dB = 2 4π r
说明
P
r
θ
I
Idl
上式称为毕奥 萨伐尔定律 上式称为毕奥-萨伐尔定律 毕奥
(1)公式中的系数是 制要求的. 制要求的. )公式中的系数是SI制要求的
x R
0 0 I dB = dI = 2 dθ 2πR 2π R
所以: 所以:
π
dθ
方向如图所示. 方向如图所示.
0 I Bx = dBx = 2 ∫0 π R
即:
0 I dBx = dBsinθ = 2 sinθdθ 2π R
By = ∫ dB = 0
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1 0 2
B
I 0
oa
B
+
1
p
2πa
A
I
B
I
X B
太原理工大学大学物理
2）半无限长载流长直导线的磁场
B
0I
4πa
(cos1
cos2
)
I
2
B
1
2
2
B
I 0
4πa
3）载流长I 直导线延长线rr上的＊磁p 场
A
1
a
B=0
B
+P
A
太原理B工大学大学物理
2. 圆形载流导线的磁场
真空中 ,半径为R 的载流导线,通有电流I,称圆电流.
求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.
Idl
R
r
dB
o
x
*p x
解：根据对称性分析
B 0
B Bx
太原理工大学大学物理
Idl sin 900
dB 0
dBx dB sin
4π
r2
Idl
rv0
毕奥—萨伐尔定律
4π r2
思考： 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
1、5 点 ：dB 0
8 7
+2
Idl + 3
3、7点
：dB
0 Idl
4π R2
2、4、6、8 点 ：
R
6
+ 4
5
dB
0 Idl
4π R2
sin
450
太原理工大学大学物理
二、毕——萨定律应用举例
1. 载流长直导线的磁场
太原理工大学大学物理
实验表明:磁感应强度B遵从叠加原理.
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
磁感强度叠加原理
B
dB
0 4
l
Idl r2
r0
电流元的磁场 + 磁场叠加原理
任意载流导 体的磁场
注意
v
B
v dB
与
B
dB
的区别
太原理工大学大学物理
v dB
0
v Idl
故
设1圆弧电阻R1 , 2圆弧电阻R2 因此B0 = 0
太原理工大学大学物理
例3 如图,正三角形导线框的边长为L，电阻均匀 分布. 求线框中心O点处的磁感应强度.
解：以三角形的任意两个顶点为 b I c
电流的输入、输出端,则三角形中 电流在中心产生磁场为零
B线框 0
I
O
Bao 0
a
Bbc
cos 1
B
0nI
2
(cos
2
cos
1)
太原理工大学大学物理
讨论
B
0nI
2
cos2
c os 1
1）无限长的螺线管1 π , 2 0 B 0nI
2）半无限长螺线管
1
π 2
,
2
0
B
1 2
0nI
1 2
0nI
B 0nI
O
x
太原理工大学大学物理
距p点x处取长为dx的元段，其上有ndx匝线
圈，相当于dI=nIdx的圆电流。
太原理工大学大学物理
dI在P点产生的磁感强度大小为
dB
R2dI 0
2（x2 + R） 2 3/2
dI N Idx nIdx L
各个元段在P点产生的磁感强度方向相，整 个螺旋线圈在P点产生的磁感强度为
B
dB 0nI
2
x2 x1
R2dx R2 + x2 3/2
太原理工大学大学物理
1
x1 o p
2
x2
++ + + + +x+ + + + + + + + +
B
0nI
2
x2
+
R2 + x22
x1
R2 + x12
因
x2 R2 + x22
cos 2
x1 R2 + x12
三、运动电荷的磁场
y 直导线AB长度为L，通有电流I，p点到直
B
导线的距离为a。如图建立坐标
dy r
y
oa
电流元的磁场
dB
* p
大小：
x
dB
0 4
Idy s in
r2
AI
方向：垂直于纸面向里
太原理工大学大学物理
y
B
2
dy r
y
oa
A 1
I
B
dB
0 4
B Idysin
A r 2
2( x2 + R )2 3/2
2）圆电流中心的磁场 B 0 I
2R
3）一段圆弧电流圆心处
I
R
o
太原理工大学大学物理
例1 如图所示，求o点的磁感应强度
解：Bab
0I 4R
ab
I
R
Bbc
1 4
0I
2R
oc
d
Bcd 0 方向垂直纸面向里
B
Bab
+ Bbc
0I 4R
+
0I
8R
太原理工大学大学物理
例2 两根导线沿半径方向引到铁环上A、B两点,并
在很远处与电源相连 ,求环心O 的磁感应强度. 解: O点的磁感应强度为 1、 2、 3、4、5段载流导线在O点产生 的磁感应强度的矢量和：
O点在3和4的延长线上, 5离O 点可看作无限远,故:
太原理工大学大学物理
设1圆弧弧长l1 , 2圆弧弧长l2 ,圆的周长为l
sin R
r
R o
r
x
dB
x * p
dB
0
Idl R
x 4π r2 r
r2 R2 + x2
B
IR 0
4πr3
2πR
0
dl
0 IR 2
2(x2 + R )2 3/ 2
太原理工大学大学物理
圆形载流导线的磁场分布
太原理工大学大学物理
讨论: 1）若线圈有N匝
B N 0IR2
y a cot, r a / sin
dB p*
x
dy ad / sin2
B 0I 2 sind 4 π a 1
B
0I
4πa
(cos1
cos2
)
太原理工大学大学物理
B
0I
4πa
(cos1
c os2 )
讨论:
I 2
B
1）无限长载流长直导线的磁场
0I 4 bo
30 I 4 L
bo
3L 2
2 3
太原理工大学大学物理
3.载流直螺线管的磁场
一长为L , 半径为R的载流密绕直螺线管，总 匝数为N，电流I. 求管内轴线上的磁感强度.
Ro p*
dx x
x
+++++++++++++ +
由圆形电流磁场公式
B
0IR 2
（2 x2 + R2）3/ 2
面
太原理工大学大学物理
毕—萨定律的数学表达式
v
v Idl
rv0
dB k
r2
dB
P
k 0 4
v dB
0 4
v Idl
rv0
r2
r
Id l
真空磁导率0 4π 107 N A2
在以Idl为轴线的任一圆周上 的各个点,由于距离r一定,θ也一 定,故dB的大小都相同,方向处处 沿圆周的切线方向.
§11.3 毕奥—萨伐尔定律
一、毕奥—萨伐尔定律
Idl
dB
把闭合电流分成许多 r
小段r,元段dl内电流密度 j
r
dB
I
与 dl同向, 乘积称为电
流元.
P*
r 电流元在空间任一P点产
Idl
生的磁场dB与r、θ有关
dB的大小
Idl sin
dB k r2
dB的方向 r 垂直于 与 组r 成的平