毕奥-萨伐尔定律
毕奥萨伐尔定律
1820年，法国物理学家比奥特（Biot）和萨瓦特（Savart）通过实验，测量了一条长直电流线附近的小磁针的力定律，并发表了一篇论文，题为“传递给运动中的金属的电的磁化力”。
后来被称为比奥-萨瓦特定律。
后来，在数学家拉普拉斯（Laplace）的帮助下，该定律以数学公式表示。
毕奥-萨伐尔定律：载流导线上的电流元Idl在真空中某点P的磁感度dB的大小与电流元Idl的大小成正比，与电流元Idl和从电流元到P点的位矢r之间的夹角θ的正弦成正比，与位矢r的大小的平方成反比。
dB的方向垂直于Idl和r所确定的平面，当右手弯曲，四指从方向沿小于π角转向r时，伸直的大拇指所指的方向为dB的方向，即dB、Idl、r三个矢量的方向符合右手螺旋法则。
叠加原理：
与点电荷的场强公式相似，毕奥——萨伐尔定律是求电流周围磁感强度的基本公式．磁感强度B也遵从叠加原理．因此，任一形状的载流导线在空间某一点P的磁感强度B，等于各电流元在该点所产生的磁感应强度dB的矢量和。
特点：
从课程论和物理学课自身特点的角度来分析毕奥-萨伐尔定律，它体现的学科特点有以下几点：（1）是稳恒电流磁场的关键知识点；（2）具有高度的抽象性；（3）使用数学工具的复杂性；（4）掌握“方法”比掌握“内容”更重要；（5）在探索知识的过程中体现“把握本质联
系，揭示事物发展内在规律性”的唯物辩证法观点。
毕奥---萨伐尔定律
两电流元之间的安培定律也可表示成 两电流元之间的安培定律也可表示成
u r r uur u r ˆ I1 I 2 dl2 × (dl1 × r12 ) d F12 = k = I 2 dl2 × dB1 2 r 12
电流元 I1d l1产生的磁场
ˆ ˆ Idl × r µ0 Idl × r dB = k = 2 2 r 4π r
• 求二阶导数
d 2B 在O 令x = 0处的 2 = 0 ⇒ 在O点附近磁场最均匀的条件 dx µ0 d 2B 2a 2 − 2 R 2 = 6π R 2 I = 0 ⇒ a2 = R2 7 2 dx 2 x =0 4π 2 a 2 2 R + 4
a=R
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
大小
µ0 Idl dB = 4π r2
r r 方向 Idl × r0
分析对称性、 分析对称性、写出分量式
r r B⊥ = ∫ dB = 0
⊥
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2
统一积分变量
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2 µ0IR µ0IR dl = π = ⋅2 R 3 ∫ 3 4 r 4 r π π
a
•
•
P T
µ0I 3 BL′A = (cos π − cosπ ) 4πa 4
µ0I π BLA = (cos0 − cos ) 方向 ⊗ 4 a 4 π
方向 ⊗
T点
Bp = BLA + BL′A = 2.94×10−5T 方向 ⊗
r 电流元 Idl
——右手定则 右手定则 r r r µ0 Idl ×r 毕奥-萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律 dB = 4 π r3 r r r r µ0 Idl ×r 对一段载流导线 B = ∫ dB = ∫ 4π L r3
6-3毕奥—萨伐尔定律
0 I 1 l r1 r2 0 I 2 l d r1 ln ln 2 r1 2 d r1 r2
2.26 10 6 Wb
运动电荷的磁场
三、 运动电荷的磁场
形成
电荷运动
电 流
磁 场
设电流元 Idl ，横截面积S，单位体积内有n 个定向运动的正电荷 , 每个电荷电量为 q ，定向 速度为v。
L
I d l er 2 r
二、毕奥—萨伐尔定律的应用 先将载流导体分割成许多电流元 Idl 写出电流元 Idl 在所求点处的磁感应强度，然后
按照磁感应强度的叠加原理求出所有电流元在该点 磁感应强度的矢量和。 实际计算时要应先建立合适的坐标系，求各电流元的 分量式。即电流元产生的磁场方向不同时，应先求出 各分量 dBx dBy dBz 然后再对各分量积分，
0 I sin B 2R 2 4r
I dl
R
r
d B
dB
IO
2 2
x
2
P
d B//
R R r R x ; sin 2 2 12 r (R x ) 0 IR 2 0 IS B 2 2 32 2 2 32 2 ( R x ) 2( R x )
0 qv sin dB B dN 4 r2
矢量式：
0 qv er B 2 4 r
其方向根 据 右手螺 旋法则， B 垂直 v 、r 组成的平面。 q 为正， B 为 v 的方向；q为 r 负， B 与 v r 的方向 相反。
1.71 105 T
方向
S点
L
0 I 1 1 BLA (sin sin ) 方向 4a 4 2 L 0 I 1 1 BAL (sin sin ) 方向 4a 2 4
毕奥-萨戈尔定律
毕奥-萨戈尔定律
毕奥-萨伐尔定律（英文：Biot-Savart Law）在静磁学中是描述电流元在空间任意点P处所激发的磁场。
毕奥-萨伐尔定律是法国科学家毕奥和萨伐尔合作研究发现的，以让-巴蒂斯特·毕奥（Jean-Baptiste Biot）和费利克斯·萨伐尔（Félix Savart）命名，1820年9月30日两人将第一个实验结果发表：载流长直导线到磁极距离与其作用力成反比，这一结果肯定了电和磁的联系。
毕奥-萨伐尔定律在静磁近似中是有效的，并且与安培（Ampère）的电路规律和磁性高斯定律一致。
毕奥-萨伐尔定律文字描述：电流元Idl在空间某点P处产生的磁感应强度dB的大小与电流元Idl的大小成正比，与电流元Idl所在处到P点的位置矢量和电流元Idl之间的夹角的正弦成正比，而与电流元Idl到P点的距离的平方成反比。
毕奥-萨伐尔定律在生产和生活中的应用有磁悬浮列车、根据工件大小来选择充磁电流的大小，从而达到磁粉探伤所需的磁场等。
毕奥萨伐尔定律
• 下右图给出另一个右手定则，用它可以判断载流线 圈的磁感应线方向。这右手定则是：用右手弯曲的 四指代替圆线圈中电流的方向,则伸直的姆指将沿着 轴线上Ｂ的方向。
生的磁感应强度的大小 • 与电流元Idl的大小成正比， • 与电流元和从电流元到Ｐ点的位矢之间的夹
角θ的正弦成正比， • 与位矢r的大小的平方成反比。即：
一、毕奥－－－萨伐尔定律
dB的方向 垂直于dl和r所确定的平面，沿
dl×r的方向，用右手螺旋法 则来判定。
矢量表示为： d B 0 Id l r 4 r 3
• 其中：S=πR2为圆线圈的面积。
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 圆线圈轴线上各点的磁感应强度都沿着轴线方向， 与电流方向组成右手螺旋关系。
• 下面讨论两种特殊的情况： • 1、在圆心Ｏ处，即a=0处的磁感应强度为： •
• 2、在远离线圈处，即 a>>R，轴线上各点的磁感 应强度约为：
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 由图
cos 1
x L 2
R2 (x L )2 2
cos 2
x L 2
R2 (x L)2 2
代入即得螺线管轴线上任一点P的磁感应强度。
B随x变化关系见上图中的曲线，由这曲线可以看出，当 L>>R时，在螺线管内部很大一个范围内磁场近于均匀， 只在端点附近B值才显著下降。
• 其中 40为比例系数， • μ0 称 为 真 空 磁 导 率 ， ：
毕奥-萨伐尔定律
将实验结果与毕奥-萨伐尔定律的理论值进行对比，评估定律的准确性。
结果分析
分析实验误差来源，如设备精度、环境干扰等，提高实验的可靠性和准确性。
05
毕奥-萨伐尔定律的扩展与 推广
对三维空间的推广
总结词
毕奥-萨伐尔定律最初是在二维空间中 推导出来的，但通过引入矢量运算， 该定律可以扩展到三维空间中。
Idl
电流元，表示电流的一 部分。
r
观察点到电流元的径矢 ，表示观察点与电流元
之间的距离。
03
毕奥-萨伐尔定律的应用场 景
电场与磁场的关系
磁场是由电流产生的，而电场是由电 荷产生的。毕奥-萨伐尔定律描述了 电流和磁偶极子产生的磁场，以及变 化的电场产生的磁场。
毕奥-萨伐尔定律揭示了电场和磁场之 间的相互关系，表明它们是电磁场的 两个方面，而不是独立存在的。
THANKS
对微观尺度的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述微观尺度的电磁场时，其精确度受 到限制。在量子尺度下，电磁场的涨落和量子效应可能导 致定律的不适用。
未来研究需要进一步探索毕奥-萨伐尔定律在微观尺度下 的适用性和修正，以更好地描述量子电磁场的行为。
对超导态物质的适用性问题
毕奥-萨伐尔定律在描述超导态物质的 电磁场时，可能存在局限性。超导态 物质的电磁行为与常规物质有所不同， 需要更复杂的理论模型来描述。
电流与磁场的相互作用
根据毕奥-萨伐尔定律，电流产生磁场，而磁场对电流有作用 力。这种作用力被称为洛伦兹力，它描述了电流在磁场中所 受到的力。
毕奥-萨伐尔定律是电动机和发电机等电气设备工作的基础， 它解释了电流如何在磁场中受到作用力，从而产生旋转或线 性运动。
磁力线的描绘
7-4 毕奥-萨伐尔定律
z r0 cot , r r0 / sin
dz r0d / sin 2
z
D
2
dz
B
dB
*
0 I
4 π r0
2
1
sin d
r
I
z
1
x
C
o r0
P
y
B 的方向沿 x 轴负方向
0 I (cos1 cos 2 ) 4 π r0
B
I
R1
B0
0 I
4 R2
0 I
4 R1
* o
0 I
4 π R1
例如 右图中，求O 点的磁感应强度 解 B1 0
B2
4R 2 3 0 I 8R 0 I B3 (cos 1 cos 2 )
4R 0 I θ 2 θ 1 2 4R
0 I 3
dB
0
2
R
1
R 2 Indx
2
x
2 3/ 2
N n l
R
2
x1 O*
x2 x
×× × ×× × ×× × ×× ×× ×
x Rcot
B dB
2
dx R csc d
2
0 nI
2
2 2
R
x1
x2
R dx
2
2
x
2 3/ 2
R x R csc
2 0, B 向右
R
0, B 向左
例3 载流直螺线管内部的磁场. 如图所示，有一长为l ，半径为R的载 流密绕直螺线管，螺线管的总匝数为N， 通有电流I. 设把螺线管放在真空中，求管 内轴线上一点处的磁感强度.
毕奥萨伐尔定律
在静磁学中，毕奥-萨伐尔定律（英文：Biot-Savart Law）描述电流元在空间任意点P处所激发的磁场。
定律文字描述：电流元Idl 在空间某点P处产生的磁感应强度 dB 的大小与电流元Idl 的大小成正比，与电流元Idl 所在处到 P点的位置矢量和电流元Idl 之间的夹角的正弦成正比，而与电流元Idl 到P点的距离的平方成反比。
该定律在静磁近似中是有效的，并且与Ampère的电路规律和磁性高斯定律一致，以Jean-Baptiste Biot和FélixSavart命名。
定义在静磁学中，毕奥-萨伐尔定律（英文：Biot-Savart Law）描述电流元在空间任意点P处所激发的磁场。
定律文字描述：电流元Idl 在空间某点P处产生的磁感应强度dB 的大小与电流元Idl 的大小成正比，与电流元Idl 所在处到 P点的位置矢量和电流元Idl 之间的夹角的正弦成正比，而与电流元Idl 到P点的距离的平方成反比。
该定律在静磁近似中是有效的，并且与Ampère的电路规律和磁性高斯定律一致，以Jean-Baptiste Biot和FélixSavart命名。
电流（沿闭合曲线）毕奥-萨伐尔定律适用于计算一个稳定电流所产生的磁场。
这电流是连续流过一条导线的电荷，电流量不随时间而改变，电荷不会在任意位置累积或消失。
采用国际单位制，用方程表示：电流（整个导体体积）当电流可以近似为穿过无限窄的电线时，上面给出的配方工作良好。
如果导体具有一定厚度，则适用于Biot-Savart定律（再次以SI为单位）：Biot-Savart：毕奥萨伐尔定律定律是实验定律，以一些简单的典型的载流导体产生的磁场为基础，经分析、归纳出的定律，而不是由电流元直接得出的，实际上不可能得到单独的电流元。
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7
物理学
毕奥-萨伐尔定律
例2 圆形载流导线轴线上的磁场.
解 B Bx dBsin
cos R r
Idl
R
r2 R2 x2
r
dB
dB
0
4π
Idl r2
o
x
*p
x
dBx
0
4π
I
cosdl
r2
恒定磁场
8
物理学
dBx
0
4π
I
cosdl
r2
Idl
R
r
o
x
毕奥-萨伐尔定律
B 0I 4π
cosdl
cos 1 cos 2
cos 2
l/2
l / 22 R2
B
0nI
cos2
0nI
2
l l 2 / 4 R2 1/2
若 l R
B 0nI
恒定磁场
18
物理学
毕奥-萨伐尔定律
（2）无限长的螺线管（3）半无限长螺线管
1 π, 2 0
1 0.5π, 2 0
B 0nI
B 0nI / 2
dB
0
4π
CD
Idz sin
r2
z r0 cot , r r0 / sin
z
dz r0d / sin2
D 2
dz
r
z
I
x o r0
C 1
B 0I 2 sin d
4 π r0 1
dB
*
P
y
0I
4 π r0
(cos1
cos2
)
B 的方向沿 x 轴的负方向
恒定磁场
5
物理学
毕奥-萨伐尔定律
R
P
O* x
x
×× ××× × ×× ××× ×× ×
恒定磁场
15
物理学
毕奥-萨伐尔定律
x Rcot
dx R csc2 d
B
dB 0nI
2
x2 R2dx x1 R2 x2 3/ 2
R2 x2 R2 csc2
R
1
x1 O* 2
x2 x
×× ××× × ×× ××× ×× ×
0I
4π
dl r
r3
Idl dB
r
I
dB
P* r Idl
恒定磁场
2
物理学
毕奥-萨伐尔定律
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
8
2
×
7
Idl × 3
R
6
×
4
dB
5
0
4π
Idl r
r3
1、5点 ：dB 0
3、7点
：dB
0 Idl
4π R2
2、4、6、8 点 ：
dB
0 Idl
4π R2
l r2
dB
*p x
B 0IR
2πR
dl
4πr3 0
B
0 IR2 （2 x2 R2）32
恒定磁场
9
物理学
毕奥-萨伐尔定律
讨 论
（1）若线圈有 N 匝
B
N
（2 x2
0 IR2 R2）32
（2）x 0 B 0I
2R
R
o
r
x
*pB
（3）x R
x
B
0 IR 2
2x3
，
I
B 0IS
2 π x3
2r 2
dr
B 0 R dr 0R
20
2
0,
B
向外
0,
B
向内
恒定磁场
23
物理学
毕奥-萨伐尔定律
解法二 运动电荷的磁场
R
or
dr
dB0
0
4π
dqv r2
dq 2 π rdr
dB 0 dr
2
v r
B 0
R
dr
0R
20
2
恒定磁场
24
密绕直螺线管，螺线管的总匝数为N，通 有电流I. 设把螺线管放在真空中，求管内 轴线上一点处的磁感强度.
R
P
*
x
×× ××× × ×× ××× ×× ×
恒定磁场
14
物理学
毕奥-萨伐尔定律
解 由圆形电流磁场公式
B
0IR 2
2(x2 R2 )3/ 2
dB 0 2
R2 Indx R2 x2 3/2
三 磁偶极矩
B
m
0 IR 2
2x3
ISen B
0m
2 π x3
B
0m
2 π x3
en
说明：只有当圆形电流的
面积S很小，或场点距圆电流
I m S en
m
en
I S
很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子.
恒定磁场
13
物理学
毕奥-萨伐尔定律
例3 载流直螺线管内部的磁场. 如图所示，有一长为l , 半径为R的载流
sin
450
毕奥－萨伐尔定律
恒定磁场
3
物理学
毕奥-萨伐尔定律
二 毕奥－萨伐尔定律应用举例
例1 载流长直导线的磁场.
z
D 2
解
dB
0
4π
Idz sin
r2
dz
r
dB 方向均沿
z
dB
x 轴的负方向
I
x o r0
C 1
*
P
y
B
dB
0
4π
CD
Idz sin
r2
恒定磁场
4
物理学
毕奥-萨伐尔定律
B
恒定磁场
10
物理学
毕奥-萨伐尔定律
(1)
R B0 x
推
Io
广 (2)
I
R
组
o×
合 (3) I
R ×o
恒定磁场
B0
0I
2R
B0
0I
4R
B0
0I
8R
11
物理学
毕奥-萨伐尔定律
(4)
(5) I
d *A
R1
R2
*o
BA
0I
4πd
B0
0I
4R2
0I
4R1
0I
4 π R1
恒定磁场
12
物理学
毕奥-萨伐尔定律
物理学
毕奥-萨伐尔定律
一 毕奥－萨伐尔定律
(电流元在空间产生的磁场)
dB
0
4π
Idl sin
r2
dB
0
4π
Idl
r
r3
真空磁导率
Idl dB
r
I
dB
P* r Idl
0 4 π10 7 N A2
恒定磁场
1
物理学
毕奥-萨伐尔定律
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
磁感强度 叠加原理
B dB
B
0I
4 π r0
z
(cos
1
cos 2 )
无限长载流长直导线
D 2
I
xo
C 1
×B
P
y
1 0 2 π
B 0I
2 π r0
半无限长载流长直导线
1
π 2
2 π
BP
0I
4πr
恒定磁场
6
物理学
毕奥-萨伐尔定律
无限长载流长直导线的磁场
B 0I
2πr
I B
I XB
电流与磁感强度成右螺旋关系
恒定磁场
恒定磁场
16
物理学
毕奥-萨伐尔定律
B 0nI 2 R3csc2d
2 1 R3 csc3 d
0nI 2 sin d 2 1
R
1
x1 O* 2
x2 x
×× ××× × ×× ××× ×× ×
恒定磁场
17
物理学
毕奥-萨伐尔定律
讨论
B
0nI
2
cos2
cos1
（1）P点位于管内轴线中点 1 π 2
q + r
v
×B
q
r
v
B
恒定磁场
21
物理学
R
o
毕奥-萨伐尔定律
例4 半径为 R 的带电薄圆盘的电荷
面密度为 , 并以角速 度 绕通过盘心垂直
于盘面的轴转动 ，求 圆盘中心的磁感强度.
恒定磁场
22
物理学
毕奥-萨伐尔定律
解法一 圆电流的磁场
dI 2 π rdr rdr
2π
R
or
dB 0dI 0 dr
1 2
0
nI
B 0nI
O
x
恒定磁场
19
物理学
毕奥-萨伐尔定律
四
dB
运动电荷的 磁场
0 Idl r
4π r3
Idl jSdl nSdlqv
dB
0
4π
nSdlqv r3
r
dN nSdl
j
S
dl
恒定磁场
20
物理学
毕奥-萨伐尔定律
运动电荷的磁场
B
dB dN
0
4π
qv
r
r3
适用条件 v c