2021高考数学理科(全国版)一轮复习考点：第十四章 算法初步
【高三】2021届高考数学备考复习：计数原理二项式定理
【高三】2021届高考数学备考复习：计数原理、二项式定理 专题六：概率与统计、推理与证明、算法初步、复数 第一讲 计数原理、二项式定理 【备考策略】 根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时，要注意以下几个方面： 1．复习时要注意控制难度，以中低档题为主； 2．注意各知识点的交汇，如统计与概率，计数原理与概率等； 3．统计部分应重视茎叶图的复习，概率部分应重视条件概率，相互独立事件同时发生的概率和几何概型；程序框图应有所降温。
【最新考纲透析】 1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理 （1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理； （2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。 2．排列与组合 （1）理解排列、组合的概念； （2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式； （3）能解决简单的实际问题。 3．二项式定理 （1）能用计数原理证明二项式定理； （2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。 【核心要点突破】 要点考向1：利用分步加法和分步乘法计数原理计数 考情聚焦：1．两个计数原理是排列、组合的基础，又是古典概率的必要工具，在每年的高考中都直接或间接考查。
2．多在选择、填空题中出现，属中档或较难题目。 考向链接：1．“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步。分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理将种数相乘。
2．对于较复杂的问题，一般要分类讨论，此时要注意分类讨论的对象和分类讨论的标准。
例1：用1，2，3这三个数字组成四位数，要求这三个数字必须都使用， 但相同的数字不能相邻，以这样的方式组成的四位数共有（ ） A．9个B．12个C．18个D．36个 【解析】选C.先选取使用两次的数字有 种，然后将剩余的两个数字全排列有 种，再将使用两次的数字插入到这两个数字之间有 种，故共有 =18种组合方式.
2021届课标版高考数学一轮复习考点考法专练：第十三章 算法初步
2021届课标版高考数学一轮复习考点考法专练
第十三章算法初步
1.[2020江西南昌模拟]阅读如图13 - 1所示的程序框图,该算法的功能是 ( )
A.求数列{2
n - 1
}的前5项和
B.求数列{2n - 1}的第5项
C.求数列{2
n
}的前6项和
D.求数列{2n - 1}的第6项
2.[2019天津,4,5分][文]阅读如图13 - 2所示的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为( )
A.5 B.8 C.24 D.29
3.[2018全国卷Ⅱ,8,5分][文]为计算S=1 - +…+,设计了如图13 - 3所示的程序
2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§1.1 集合(讲解部分)
实践探究
例 (2016北京文,16)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天
售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出
的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店:
①第一天售出但第二天未售出的商品有
种;
②这三天售出的商品最少有
种.
解题导引 “网购”是现代购物的重要方式之一,本题以售出商品的种类 为背景,取材于人A必修113页的“阅读与思考——集合中元素的个数”, 考查了集合运算和Venn图等基本知识,同时也涉及化归与转化、数形结合 的数学思想. ①可以通过集合交、补运算确定元素个数;②中“三天共售出的商品种类 最少”应该是第三天与前二天售出的商品种类完全相同时,总的种类最少. 解析 ①设第一天售出的商品为集合A,则A中有19个元素,第二天售出的 商品为集合B,则B中有13个元素.由于前两天都售出的商品有3种,则A∩B 中有3个元素.如图所示, 所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16(种). ②由①知,前两天售出的商品为19+13-3=29(种),当第三天售出的18种都是 前两天售出的商品时,这三天售出的商品种类最少,售出的商品最少为29种.
由图可知∁U(M∪N)=(∁UM)∩(∁UN)={2,7},故选B. (2)A={x|x2+x-2≤0}={x|-2≤x≤1},U=R,∴∁UA={x|x<-2或x>1},又B={x|x< 0},∴借助数轴可知(∁UA)∩B={x|x<-2}.故选C. 答案 (1)B (2)C
方法总结 集合的基本运算包括集合的交、并、补运算,解决此类运算问 题一般应注意以下几点:一是看集合的表示方法,用列举法表示的集合,易 用Venn图求解,用描述法表示的数集,常借助数轴分析得出结果,二是对集 合进行化简,有些集合是可以化简的,通过化简集合,可使问题变得简单明 了,易于解决.
2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)目录
课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。
全国近年高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第4讲直接证明与间接证明学案(2021年
（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第4讲直接证明与间接证明学案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第4讲直接证明与间接证明学案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第4讲直接证明与间接证明学案的全部内容。
第4讲直接证明与间接证明板块一知识梳理·自主学习［必备知识］考点1 直接证明考点2 间接证明1．反证法的定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾,因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．2．利用反证法证题的步骤（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；(3)由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言．[必会结论]分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．［考点自测］1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”）(1）综合法是直接证明，分析法是间接证明．（)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )（3）用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a＜b”．（)（4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．（)(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( ）答案（1)×（2)×(3）×（4)×(5)√2．要证明3＋错误!<2错误!，可选择的方法有以下几种,其中最合理的是（）A．综合法 B．分析法C．反证法 D．归纳法答案B解析从要证明的结论——比较两个无理数大小出发，证明此类问题通常转化为比较有理数的大小,这正是分析法的证明方法,故选B。
高考数学(理科)大一轮复习课件：第十一章 算法初步、推理证明、复数 第11章-第3节
3分
选取关于 n 的一个多项式，例如 4n(n2－1)，使得它可按 课
核
时
心 考
两种方式分解因式，由于 4n(n2－1)＝(2n－2)(2n2＋2n)＝(2n
限 时
向
＋2)(2n2－2n)
检 测
菜单
因此令abnn＋ －bann＝ ＝22nn2＋－22n ，ccnn＋ －bbnn＝ ＝22nn2－＋22n ，
于 60°”时，应假设( )
A．三个内角都不大于 60°
B．三个内角都大于 60°
课
核 心
C．三个内角至多有一个大于 60°
时 限
考
时
向
D．三个内角至多有两个大于 60°
检 测
【答案】 B
菜单
基 础 知 识 点
2．命题“对于任意角 θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明： 方
法
“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝
误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 课
核
时
心
限
考
时
向
检
测
菜单
基
础
知
识
点
反证法中的“矛盾”所包含的层面：
方 法 技 巧
(1)与已知条件矛盾；
(2)与假设矛盾；
(3)与定义、公理、定理矛盾；
课
核
时
心 考
(4)与事实矛盾．
限 时
向
检
测
菜单
基 础 知 识 点
方 法 技
1．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大 巧
课 时
心
高考绿色通道 算法初步
第九模块 算法初步、框图、推理与证明
答案：3
第九模块 算法初步、框图、推理与证明
数学
高考总复习人教A版 · (文)
4．阅读程序框图，若输入m＝4，n＝6，则输出a＝ __________，i＝__________.(注：框图中的赋值符号“＝” 也可以写成“←”或“：＝”)
第九模块 算法初步、框图、推理与证明
数学
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数学
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在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图， 则输出的S的值是__________．
第九模块 算法初步、框图、推理与证明
数学
高考总复习人教A版 · (文)
解析：由表中数据和程序框图可得 S ＝ 4.5×0.12 ＋ 5.5×0.20 ＋ 6.5×0.40 ＋ 7.5×0.20 ＋ 8.5×0.08＝6.42. 答案：6.42
现有有限个正整数，试设计一个求这有
限个正整数中最大数的算法． 解：第一步，先假定这些正整数中的第一个数为“最 大值”； 第二步，将这些整数中下一个数与“最大值”比较， 如果它大于此“最大值”，这时就假定“最大值”是这个 整数； 第三步，如果还有其他正整数，重复第二步； 第四步，一直到没有可比的数为止，这时假定的“最 大值”就是这有限个正整数中的最大值．
高考总复习人教A版 · (文)
2．给出如右图程序框图，其功能是 A．求a－b的值 B．求b－a的值 C．求|a－b|的值 D．以上都不对 解析：程序框图中主要 是条件结构，从判断框后输 出的结果看是求|a－b|. 答案：C
2021版高考数学文科一轮复习(全国2卷 B版)课件：算法初步
16 32 32 64
S= 1 - 1 = 1 ,m= 1 ,n=6;
32 64 64 128
S= 1 - 1 = 1 ,m= 1,n=7,
64 128 128 256
此时不满足S>t,结束循环,输出n为7,故选C.
2021/6/20
15
10.(2014课标Ⅱ,8,5分,0.641)执行下面的程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S= ( )
A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x
2021/6/20
9
答案 C 执行程序框图:当n=1时,x=0,y=1,
此时02+12≥36不成立;当n=2时,x= 1 ,y=2, 2
此时
1 2
2
+22≥36不成立;当n=3时,x=
3 ,y=6, 2
此时
3 2
2
+62≥36成立,
结束循环,输出x的值为 3 , 2
y的值为6,满足y=4x,故选C.
2021/6/20
10
7.(2016课标全国Ⅲ,8,5分)执行下面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n= ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
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11
答案 B a=2,b=4,a=6,s=6,n=1; a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2; a=2,b=4,a=6,s=16,n=3; a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4. 此时20>16,则输出n的值为4,故选B.
2021/6/20
28
10.(2017江苏,4,5分)下图是一个算法流程图.若输入x的值为 1 ,则输出y的值是
高考数学一轮复习 第十二章 算法初步、推理与证明 12.1 算法初步课件 理
解：因为算法的步骤是有限的，所以②不能设计算法 求解，故选 B.
2021/12/11
第二十二页，共四十八页。
类型二 顺序结构
已知直角三角形两直角边长为 a，b，求斜边长 c
的一个算法分下列三步：
①计算 c＝ a2＋b2；
②输入直角三角形两直角边长 a，b 的值；
②统筹法中“烧水泡茶”的故事；
③测量某棵树的高度，判断其是否为大树；
④已知三角形的两边及夹角，利用三角形的面积公式求出该三
角形的面积．
A．1
B．2
C．3
D．4
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第十九页，共四十八页。
解：①中勾画了从济南到巴黎的行程安排， 完成了任务；②中节约时间，烧水泡茶完成了 任务；③中对“树的大小”没有明确的标准， 无法完成任务，不是有效的算法构造；④是纯 数学问题，利用三角形的面积公式求出三角形 的面积．故选 C.
(2)赋值号的左右两边不能对换．赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋
给赋值号左边的变量．如“A＝B”“B＝A”的含义和运行结果是不同的，如 x
＝5 是对的，5＝x 是错的，A＋B＝C 是错的，C＝A＋B 是对的．
(3)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等)．
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第二十六页，共四十八页。
类型三 条件结构
下面的程序框图能判断任意输入的整数 x 是奇数还是偶 数．其中判断框内的条件是( )
A．m＝0?
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B．m＝1?
C．x＝0?
第二十七页，共四十八页。
D．x＝1?
解：由程序框图所体现的算法可知判断一个整 数是奇数还是偶数，看这个数除以 2 的余数是 1 还 是 0.由图可知应该填 m＝1？.故选 B.
高考数学(理科)一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案
高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案30 等比数列及其前n项和导学目标：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an ＝______________.3．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质通项公式的推广：an＝am•________．若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，则__________________________．若{an}，{bn}是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an•bn}，anbn仍是等比数列．单调性：a1>0，q>1或a1<00<q<1⇔{an}是________数列；a1>0，0<q<1或a1<0q>1⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1qn－1q－1＝a1qnq－1－a1q－1.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．自我检测．“b＝ac”是“a、b、c成等比数列”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是A．3B．1c．0D．－13．设f＝2＋24＋27＋…＋23n＋1，则f等于A.27B.27c.27D.274．已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a ＋8，则an等于A．8•32nB．8•23nc．8•32n－1D．8•23n－15．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.探究点一等比数列的基本量运算例 1 已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.变式迁移1在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2•an－1＝128，Sn＝126，求n和q.探究点二等比数列的判定例2 已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.证明数列{an＋1}是等比数列；求{an}的通项公式以及Sn.变式迁移2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n．求a2，a3的值；求证：数列{Sn＋2}是等比数列．探究点三等比数列性质的应用例3 在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝2，求a3.变式迁移3 已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.分类讨论思想与整体思想的应用例设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项．【答题模板】解设数列{an}的公比为q，若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn.∵S2n＝6560≠2Sn＝160，∴q≠1，[2分]由题意得a11－qn1－q＝80，①a11－q2n1－q＝6560.②[4分]将①整体代入②得80＝6560，∴qn＝81.[6分]将qn＝81代入①得a1＝80，∴a1＝q－1，由a1>0，得q>1，∴数列{an}为递增数列．[8分]∴an＝a1qn－1＝a1q•qn＝81•a1q＝54.∴a1q＝23.[10分]与a1＝q－1联立可得a1＝2，q＝3，∴a2n＝2×32n－1．[12分]【突破思维障碍】分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．函数的思想：等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝a1q•qn常和指数函数相联系．整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，a11－q当成整体求解．本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将qn和a11－qn1－q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．．等比数列的通项公式、前n项公式分别为an＝a1qn －1，Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1.2．等比数列的判定方法：定义法：即证明an＋1an＝q．中项法：证明一个数列满足a2n＋1＝an•an＋2．3．等比数列的性质：an＝am•qn－m；若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，则ak•al＝am•an；设公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q ＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．5．等差数列与等比数列的关系是：若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}构成等差数列．一、选择题．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于A.152B.314c.334D.1722．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2等于A．－11B．－8c．5D．113．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5等于A．33B．72c．84D．1894．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是A．T10B．T13c．T17D．T255．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则S10S5等于A．－3B．5c．－31D．33题号2345答案二、填空题6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．7．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.8．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.三、解答题9．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．求数列{an}的通项；求数列{2an}的前n项和Sn.0．已知数列{log2}为等差数列，且a1＝3，a2＝5.求证：数列{an－1}是等比数列；求1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an的值．1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．求数列{an}与{bn}的通项公式；设数列{cn}对n∈N*均有c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋cXX.答案自主梳理．公比q 2.a1•qn－1 4.qn－m ak•al＝am•an递增递减常摆动 6.qn自我检测．D 2.B 3.B 4.c 5.－9课堂活动区例1 解题导引在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q 的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．解方法一由已知得：a21q4＋2a21q6＋a21q8＝100，a21q4－2a21q6＋a21q8＝36.①②①－②，得4a21q6＝64，∴a21q6＝16.③代入①，得16q2＋2×16＋16q2＝100.解得q2＝4或q2＝14.又数列{an}为正项数列，∴q＝2或12.当q＝2时，可得a1＝12，∴an＝12×2n－1＝2n－2，Sn＝121－2＝2n－1－12；当q＝12时，可得a1＝32.∴an＝32×12n－1＝26－n.Sn＝321－12n1－12＝64－26－n.方法二∵a1a5＝a2a4＝a23，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a25，由a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，可得a23＋2a3a5＋a25＝100，a23－2a3a5＋a25＝36，即2＝100，2＝36.∴a3＋a5＝10，a3－a5＝±6.解得a3＝8，a5＝2，或a3＝2，a5＝8.当a3＝8，a5＝2时，q2＝a5a3＝28＝14.∵q>0，∴q＝12，由a3＝a1q2＝8，得a1＝32，∴an＝32×12n－1＝26－n.Sn＝32－26－n×121－12＝64－26－n.当a3＝2，a5＝8时，q2＝82＝4，且q>0，∴q＝2.由a3＝a1q2，得a1＝24＝12.∴an＝12×2n－1＝2n－2.Sn＝122－1＝2n－1－12.变式迁移1 解由题意得a2•an－1＝a1•an＝128，a1＋an＝66，解得a1＝64，an＝2或a1＝2，an＝64.若a1＝64，an＝2，则Sn＝a1－anq1－q＝64－2q1－q ＝126，解得q＝12，此时，an＝2＝64•12n－1，∴n＝6.若a1＝2，an＝64，则Sn＝2－64q1－q＝126，∴q＝2.∴an＝64＝2•2n－1.∴n＝6.综上n＝6，q＝2或12.例2 解题导引证明数列是等比数列的两个基本方法：①an＋1an＝q．②a2n＋1＝anan＋2．证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法．证明由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减得Sn＋1－Sn＝2＋1，即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2，当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，所以a2＋a1＝2a1＋6，又a1＝5，所以a2＝11，从而a2＋1＝2，故总有an＋1＋1＝2，n∈N*，又a1＝5，a1＋1≠0，从而an＋1＋1an＋1＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．解由得an＋1＝6•2n－1，所以an＝6•2n－1－1，于是Sn＝6•1－2－n＝6•2n－n－6.变式迁移2 解∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2＋6，∴a3＝8.证明∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋an－1＝Sn－1＋2．②①－②得nan＝Sn－Sn－1＋2＝n－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2．∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴Sn＋2Sn－1＋2＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．例3 解题导引在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am•an＝ap•aq”，可以减少运算量，提高解题速度．解由已知得a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝a1＋a5a1a5＋a2＋a4a2a4＋a3a23＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5a23＝8a23＝2，∴a23＝4，∴a3＝±2.若a3＝－2，设数列的公比为q，则－2q2＋－2q－2－2q－2q2＝8，即1q2＋1q＋1＋q＋q2＝1q＋122＋q＋122＋12＝－4.此式显然不成立，经验证，a3＝2符合题意，故a3＝2.变式迁移3 解∵a3a11＝a27＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.a1a2a3a4＝a1•a1q•a1q2•a1q3＝a41q6＝1.①a13a14a15a16＝a1q12•a1q13•a1q14•a1q15＝a41•q54＝8.②②÷①：a41•q54a41•q6＝q48＝8⇒q16＝2，又a41a42a43a44＝a1q40•a1q41•a1q42•a1q43＝a41•q166＝a41•q6•q160＝•10＝1•210＝1024.课后练习区．B [∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{an}的公比为q，则q>0，且a23＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q2－q －1＝0.故q＝12或q＝－13，∴a1＝1q2＝4.∴S5＝41－12＝8＝314.]2．A [由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，则S5S2＝a1a1＝－11.]3．c [由题可设等比数列的公比为q，则31－q＝21⇒1＋q＋q2＝7⇒q2＋q－6＝0 ⇒＝0，根据题意可知q>0，故q＝2.所以a3＋a4＋a5＝q2S3＝4×21＝84.]4．c [a3a6a18＝a31q2＋5＋17＝3＝a39，即a9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T17为定值．] 5．D [因为等比数列{an}中有S3＝2，S6＝18，即S6S3＝a11－qa11－q＝1＋q3＝182＝9，故q＝2，从而S10S5＝a11－qa11－q＝1＋q5＝1＋25＝33.]6．127解析∵公比q4＝a5a1＝16，且q>0，∴q＝2，∴S7＝1－271－2＝127.7.1207解析∵S99＝30，即a1＝30，∵数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝4a11－8＝4a17＝47×30＝1207.8．4n－1解析∵等比数列{an}的前3项之和为21，公比q＝4，不妨设首项为a1，则a1＋a1q＋a1q2＝a1＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1.9．解由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，…………………………………………………………………………解得d＝1或d＝0．故{an}的通项an＝1＋×1＝n.……………………………………………………由知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2＝2n＋1－2.………………………………………………………………………………0．证明设log2－log2＝d，因为a1＝3，a2＝5，所以d＝log2－log2＝log24－log22＝1，…………………………………………………………所以log2＝n，所以an－1＝2n，所以an－1an－1－1＝2，所以{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列．………解由可得an－1＝•2n－1，所以an＝2n＋1，…………………………………………………………………………所以1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an＝122－2＋123－22＋…＋12n＋1－2n＝12＋122＋…＋12n＝1－12n.………………………………………………………………1．解由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，∴2＝．解得d＝2．……………………………………………………………………∴an＝1＋•2＝2n－1.………………………………………………………………又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴数列{bn}的公比为3，∴bn＝3•3n－2＝3n－1.………………………………………………………………………由c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1得当n≥2时，c1b1＋c2b2＋…＋cn－1bn－1＝an.两式相减得：当n≥2时，cnbn＝an＋1－an＝2.……………………………………………∴cn＝2bn＝2•3n－1．又当n＝1时，c1b1＝a2，∴c1＝3.∴cn＝3 2•3n－1.……………………………………………………………∴c1＋c2＋c3＋…＋cXX＝3＋6－2×3XX1－3＝3＋＝3XX.…………………………………………。
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第十四章算法初步
1.[2020合肥市调研检测]执行如图14 - 1所示的程序框图,若输入n=3,x=3,则输出y的值为()
图14 - 1
A.16
B.45
C.48
D.52
2.[2020湖北部分重点中学高三测试]执行如图14 - 2所示的程序框图,则输出的结果是()
图14 – 2
A.7
B.8
C.9
D.10
3.[2020唐山市摸底考试]图14 - 3是判断输入的年份x是否为闰年的程序框图,若先后输入x=1900,x=2400,则输出的结果分别是(注:x MOD y表示x除以y的余数)()
图14 - 3
A.1900年是闰年,2400年是闰年
B.1900年是闰年,2400年是平年
C.1900年是平年,2400年是闰年
D.1900年是平年,2400年是平年
4.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]2018年9月,阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想,这一事件引起了数学界的震动.在1859年,德国数学家黎曼发表了题为《论小于某给定值的素数的个数》的论文并提出了著名的黎曼猜想.在此之前,著名数学家欧拉也曾研究过这个问题,我们用n(x)表示小于数x的素数的个数,则可以得到n(x)≈x
这一结论(素数即质数,lg e≈0.434 29).根据欧拉得出的
lnx
结论,如图14 - 4的程序框图中,若输入n的值为100,则输出k的值应属于区间
()
图14 – 4
A.(15,20]
B.(20,25]
C.(25,30]
D.(30,35]
5.[2019广东百校联考]定义某种运算m⊗n,它的运算原理如图14 - 5所示,则式子(1⊗3)+(log3 4⊗log27
8)=()
图14 - 5
A.4
B.5
C.8
D.31
6.[2019蓉城名校高三第一次联考]已知n等于执行如图14-6所示的程序框图输出的结果S,则(x+1
)n的展开式
x
中常数项是()
图14-6
A.10
B.20
C.35
D.56
7.[2019江西红色七校第一次联考]执行如图14 - 7所示的程序框图,如果输出的s=4,那么判断框内应填入的条件是()
图14 - 7
A.k≤14?
B.k≤15?
C.k≤16?
D.k≤17?
8.[2019福建五校第二次联考]执行如图14 - 8所示的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()
图14 – 8
A.5
B.6
C.7
D.8
9.[2019长春市高三第一次质量监测]我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升(注:一斗为十升).问,米几何?”图14 - 9是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的S=15(单位:升),则输入的k的值为()
图14 – 9
A.45
B.60
C.75
D.100
10.[2020成都市高三摸底测试]执行如图14 - 10所示的程序框图,则输出的m的值为()
图14 - 10
A.5
B.6
C.7
D.8
11.[2019河北六校联考]执行如图14 - 11所示的程序框图,为使输出S的值大于110,则输入正整数N的最小值为()
图14 - 11
A.5
B.4
C.3
D.2
12.[2019四省八校联考]如图14 - 12为程序框图,则输出的结果为()
图14 - 12
A.105
B.315
C.35
D.5
13.[2019唐山市高三摸底考试]已知程序框图如图14 - 13所示,则该程序框图的功能是()
图14 - 13
A.求1+1
3+1
5
+1
7
+…+1
21
的值B.求1+1
3
+1
5
+1
7
+…+1
19
的值
C.求1 - 1
3+1
5
−1
7
+… - 1
19
的值D.求1 - 1
3
+1
5
−1
7
+…+1
21
的值
14.[2019惠州市一调]对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据.
观测次数i12345678
观测数据
a i
4041434344464748
在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图14- 14所示的程序框图(其中
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