线性代数基本要求
(完整版)线性代数教案(正式打印版)
特征值与特征向量的求解方法
注意事项
在求解过程中，需要注意特征多项式f(λ)的根可能为重根，此时需要验证 是否满足定义中的条件。
在求解特征向量时，需要注意齐次线性方程组的基础解系的求法。
特征值与特征向量的应用举例
01
应用一
判断矩阵是否可对角化。若矩阵A有n个线性无关的特征向 量，则A可对角化。
02
图像处理
在图像处理中，经常需要对图像进行旋转、缩放等操作，这些操作可以通过矩阵对角化来实现。例如，将一个图像矩 阵与一个旋转矩阵相乘，就可以实现图像的旋转。
数据分析
在数据分析中，经常需要对数据进行降维处理，以提取数据的主要特征。通过对数据的协方差矩阵进行对角化，可以 得到数据的主成分，从而实现数据的降维。
REPORTING
线性代数课程简介
线性代数是数学的一个重要分支，主 要研究向量空间、线性变换及其性质 。
本课程将系统介绍线性代数的基本概 念、理论和方法，包括向量空间、矩 阵、线性方程组、特征值与特征向量 、线性变换等内容。
它是现代数学、物理、工程等领域的 基础课程，对于培养学生的抽象思维 、逻辑推理和问题解决能力具有重要 作用。
工具。
2023
PART 04
线性方程组与高斯消元法
REPORTING
线性方程组概念及解法
线性方程组定义
由n个未知数和m个线性方程组成的方程组，形如Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数 列向量，b为常数列向量。
解的存在性与唯一性
当系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A,b)的秩，且等于未知数个数n时，方程组有唯一解；当 秩小于n时，方程组有无穷多解；当秩大于n时，方程组无解。
要作用。
向量空间与子空间
线性代数复习题3
第三章 向量【基本要求】1.理解n 维向量的概念。
2.理解向量组线性相关与线性无关的定义,并了解有关的重要结论。
3.理解向量组的极大线性无关组与向量组的秩的概念.4.知道矩阵的秩与向量组的秩的关系。
5.知道n 维向量空间、基、维数、坐标、基变换与坐标变换、过渡矩阵等概念。
6.掌握线性无关的向量组正交单位化的方法。
了解正交矩阵的概念与性质。
【主要内容】一、n 维向量的概念与运算：),,,(,),,(2121n n b b b a a a ==βα由加法及数乘运算可引出线性组合、线性相关等概念，由内积可引出单位化、正交化等问题。
二、极大线性无关组与等价：① 等价是向量组之间的一种关系，具有传递性、对称性及反身性； ② 任一向量组和它的极大无关组等价。
③ 同一向量组的任意两个极大无关组等价。
④ 两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。
⑤ 向量组s ααα,,,21 的任意两个极大无关组所含向量的个数相同。
三、极大线性无关组与等价：① n 个n 维向量线性相关⇔以这n 个n 维向量以行或列构成的n 阶行列式等于零；1+n 个n 维向量一定线性相关。
②s ααα,,,21 线性无关⇔向量方程0x x x s s 2211=α++α+α 只有零解⇔向量组的秩s r s =),,,(21ααα ⇔每一个向量i a 都不能用其余1-s 个向量线性表出。
③ 设A 为n 阶矩阵，则⇔≠0A A 的行（列）向量线性无关n )A (R =⇔，⇔=0A A 的行（列）向量相关.四、向量组线性相关性的一系列结论：① 如果向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出，则r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)；特别的，等价的向量 组有相同的秩。
② 秩相同的向量组不一定等价。
如)2,0(),1,0()0,2(),1,0(2121====ββαα与有相同的秩，但是这两个向量组并不等价。
但如果)I (可以由)II (线性表示，且)II (R )I (R =，则)I (与)II (等价。
线性代数期末复习提纲
★ 线性代数基本内容、方法及要求第一部分 行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1）TAA =； （2）AA11=-； （3）A kkA n=；（4）1*-=n AA ； （5）B A AB =； （6）B A BA BA ==**0；（7）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a ni ijij ，，01； （8）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a nj ij ij ，，01（其中B A ,为n 阶方阵，k 为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶； （3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。
2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。
3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。
4、会计算简单的n阶行列式。
5、知道并会用克莱姆法则。
第二部分矩阵【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。
2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。
4、n阶矩阵A可逆⇔0A⇔A为非奇异(非退化)的矩阵。
≠⇔n)(⇔A为满秩矩阵。
R=A⇔0AX只有零解=⇔bAX=有唯一解⇔A的行（列）向量组线性无关⇔A的特征值全不为零。
⇔A可以经过初等变换化为单位矩阵。
⇔A可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。
6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。
7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。
【要求】1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。
2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。
线性代数 第2章习题课
存在一组实数 k 1 , k 2 , L , k m , 使 b = k 1 a1 + k 2 a 2 + L + k m a m , 则向量 b 是向量组 A 的线性组合 , 这时称向量 b能 由向量组 A 线性表示 .
定理 向量 b能由向量组 A线性表示的充分必要条
件是矩阵 A = ( a 1 , a 2 , L , a m )的秩等于矩阵 B = ( a 1 , a 2 , L , a m , b )的秩 .
6 向量组的秩
定义 设有向量组 A, 如果在 A中能选出 r个向量 a 1 ,
a 2 ,L , a r , 满足
(1)向量组 A 0 : a 1 , a 2 , L , a r 线性无关 ; ( 2)向量组 A中任意 r + 1个向量(如果 A中有 r + 1
个向量的话 )都线性相关 , 那么称向量组 A0 是向量组 A的一个最大线性
n 维向量写成列的形式 , 称为列向量 , 即 a1 a2 a= M an
n 维向量写成行的形式 , 称为行向量 , 即
T a = (a 1 , a 2 , L , a n )
向量的相等 设 a T = ( a 1 , a 2 , L , a n ), b T = ( b 1 , b 2 , L , b n ) 则 a T = b T a i = b i ( i = 1, 2 , L , n ) 零向量 分量全为0的向量称为零向量． 分量全为0的向量称为零向量． T a = O a i = 0( i = 1,2,L , n) T a ≠ O a i 中至少有一个不为 0 , ( i = 1, 2 , L , n ) 负向量 向量 a T = (a 1 , a 2 ,L , a n )的负向量记作 a T , 且 a T = ( a 1 , a 2 ,L , a n ). 数乘向量 数 k 与向量 a T 的乘积 , 称为向量的数量乘法
2024版年度《线性代数A》教学大纲
《线性代数A》教学大纲contents •课程目标与要求•教学内容与计划•线性方程组•矩阵及其运算•向量空间与线性变换•特征值与特征向量•二次型与矩阵合同•课程复习与考试指导目录01课程目标与要求010204知识与技能目标掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本方法。
熟练掌握矩阵的运算、行列式的计算以及线性方程组的解法。
理解向量空间、线性变换以及特征值和特征向量的概念。
能够运用所学知识解决一些实际问题，如线性规划、数据分析等。
03培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
提高学生分析问题和解决问题的能力。
培养学生的自主学习能力和团队协作精神。
教授学生如何将线性代数知识应用于其他学科和实际生活中。
01020304过程与方法目标02030401情感态度与价值观目标激发学生对线性代数学习的兴趣和热情。
培养学生的数学素养和严谨的科学态度。
帮助学生认识到线性代数在现代科技和社会发展中的重要作用。
培养学生的创新思维和实践精神。
学生需要按时完成作业和练习，积极参与课堂讨论。
平时成绩主要包括作业完成情况、课堂表现、小组讨论等。
考核方式包括平时成绩、期中考试和期末考试，其中平时成绩占总评的30%，期中考试占总评的30%，期末考试占总评的40%。
期中和期末考试主要考察学生对课程内容的掌握程度和应用能力。
课程要求与考核方式02教学内容与计划教学内容概述向量空间与线性变换特征值与特征向量线性方程组矩阵与行列式介绍向量空间的基本概念、线性变换及其性质，为后续的线性方程组、特征值与特征向量等内容打下基础。
讲解线性方程组的解法，包括高斯消元法、矩阵的秩与线性方程组解的关系等，培养学生解决实际问题的能力。
系统介绍矩阵的基本运算、矩阵的逆、转置以及行列式的定义和性质，为后续的线性代数知识提供必要的数学工具。
深入讲解特征值与特征向量的概念、性质以及计算方法，为理解线性变换的几何意义和应用奠定基础。
教学重点与难点教学重点向量空间的基本概念、线性变换及其性质、线性方程组的解法、矩阵的基本运算以及特征值与特征向量的概念和应用。
《线性代数》教学大纲
《线性代数》教学大纲教学目的和要求：线性代数是数学学科中的一门重要基础课程，也是高等院校大部分专业的主要基础理论课，对于培养面向21世纪人才起着重耍的作用。
目前也是华东师范大学各专业的重要基础课之一本课程主要学习线性代数中行列式，矩阵，n维向量和线性方程组，向量空间，矩阵的特征值和特征向量，二次型，线性变换的基本概念，基本计算及有关的计算方法。
为适应培养面向21世纪人才的需要，要求学生比校系统理解线性代数的基本概念，基本理论，掌握线性代数的基本计算方法。
要求较好地理解线性代数这门课的抽象理论，具有严谨逻辑推理能力，空间想象能力，运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
教学基本内容和学时分配：第一章:行列式教学内容:行列式的定义，行列式的基本性质，行列式按行(列)展开定理，行列式的计算，克莱姆法则。
教学要求:理解行列式的概念，掌握行列式的性质，会用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式，会用克莱姆法则解线性方程组。
第二章:矩阵教学内容:矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵，矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的等价，矩阵的秩，初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法，分块矩阵及其运算。
教学要求:理解矩阵的概念，了解单位矩阵，对角矩阵，数量矩阵，三角矩阵，对称矩阵，正交矩阵，掌握矩阵的加法，数乘，乘法，转置及它们的运算法则，了解方阵的方幂和方阵乘积的行列式。
理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆矩阵，了解矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，理解矩阵秩的概念。
掌握矩阵的初等变换，会用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵，了解分块矩阵掌握分块矩阵的运算法则。
第三章：n维向量与线性方程组教学内容：向量的概念、向量的线性组合和线性表示、向量的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩、向量组的秩和矩阵的秩之间的关系、齐次线性方程组有非零解的充要条件、非齐次线性方程组有解的充要条件、线性方程组解的性质和解的结构、齐次线性方程组及基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解，行初等变换求线性方程组的方法。
线性代数复习提纲答案
第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A||B|；④|kA|=n k|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。
4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝E，称A 可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)1-=(B1-)*(A1-)，(A T)1-=(A1-)T；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）（3）可逆的条件：①|A|≠0；②r(A)=n; ③A等价于E;（4）逆的求解伴随矩阵法A1-=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵~)②初等变换法（A:E）⇒(施行初等变换)（E:A1-）5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A1-）B；XB=A，则X=B(A1-)；AXB=C，则X=(A1-)C(B1-)二、行列式1．行列式的定义用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
《线性代数》行列式的概念
《线性代数》的先修课为高等数学，是高等院校各专业的重 要基础课，同时也是研究生入学考试数学科目的基本内容，因 此学好《线性代数》课程非常重要. 本课程要求各位同学理解 各个定义之间的内在逻辑，掌握相关的运算技能.
希望各位同学能够按时上课，认真并及时完成作业.
平时成绩占期末考试的20%，分为考勤成绩(40分)；
每一项都是三个元素的乘积. 每一项的三个元素都位于不同的行和列. 行列式的6项恰好对应于1, 2, 3的6种排列. 各项符号与对应的列标的排列的奇偶性有关.
写出三阶行列式的一般形式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
j1 j2 j3的逆序数
=
(-1) a a a ( j1 j2 j3 ) 1 j1 2 j2 3 j3
0 … 0 0 b1 0 … 0 b2 * D= … … … … …
0 bn-1 * * * bn * * * *
解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，
第一行只能取b1，第二行只能取b2， ，第n-1行只能
取bn-1，第 n 行只能取bn .这样不为零的乘积项只有
b1b2b3 bn， 所以
类似引入符号， 称D为三阶行列式.
a11 a12 a13
D = a21 a22 a23 = a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
当D
0时，x j
=
Dj D
，j = 1,2,3.
其中D1, D2, D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.
作业成绩(40分，通常每位同学有7次成绩，其中作业成绩5 次，小测试以及提问成绩2次)；附加成绩(20分，包括小论
线性代数知识点总结12178
《线性代数》复习提纲第一部分:基本要求(计算方面)四阶行列式的计算;N阶特殊行列式的计算(如有行与、列与相等);矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算);求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程;含参数的线性方程组解的情况的讨论;齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解);讨论一个向量能否用与向量组线性表示;讨论或证明向量组的相关性;求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;将无关组正交化、单位化;求方阵的特征值与特征向量;讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵;通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分:基本知识一、行列式1.行列式的定义用n^2个元素ａij组成的记号称为ｎ阶行列式。
(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数与;(2)展开式共有n！项,其中符号正负各半;2、行列式的计算一阶｜α｜=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则;N阶(n>＝3)行列式的计算:降阶法定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的与。
方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(２)行列式值为0的几种情况:Ⅰ行列式某行(列)元素全为0;Ⅱ行列式某行(列)的对应元素相同;Ⅲ行列式某行(列)的元素对应成比例;Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二、矩阵1、矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等);2、矩阵的运算(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论:①矩阵乘法一般不满足交换律(若AB＝BA,称A、B就是可交换矩阵);②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;③若Ａ、Ｂ为同阶方阵,则｜AＢ|＝|A|*|B|;④|ｋA|=ｋ^ｎ|A|３、矩阵的秩(1)定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2)秩的求法一般不用定义求,而用下面结论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。
线性代数教学大纲
线性代数教学大纲一、引言线性代数是现代数学的重要分支之一，也是许多学科领域中不可或缺的基础知识。
本教学大纲的目的是为学生提供一个系统而全面的线性代数学习框架，使他们能够掌握线性代数的基本概念、方法和应用。
二、教学目标1. 了解和理解线性代数的基本概念，包括向量、矩阵、线性方程组等。
2. 掌握线性代数的基本运算方法，包括矩阵的加减乘除、向量的加减、内积和外积等。
3. 理解线性代数的算法和定理，包括行列式、矩阵的特征值与特征向量、线性变换等。
4. 能够应用线性代数的知识解决实际问题，包括线性方程组的求解、矩阵的对角化、最小二乘法等。
5. 培养学生的抽象思维、逻辑推理和问题解决能力，为进一步学习高等数学、计算机科学等学科奠定基础。
三、教学内容与进度安排1. 向量空间- 向量的定义与基本运算- 向量空间的性质与例子2. 线性方程组- 高斯消元法与矩阵的行列式- 行阶梯形和最简形矩阵- 向量组的线性相关与线性无关- 线性方程组的解集和解的结构3. 矩阵与线性变换- 矩阵的基本运算与性质- 矩阵的特征值与特征向量- 线性变换的定义与性质4. 矩阵的分解与应用- 矩阵的相似与对角化- 最小二乘法与正交投影- 特征值问题的应用五、教学方法与手段1. 授课：采用讲授的方式，结合具体例子、图表等辅助材料，清晰地讲解线性代数的概念和定理，引导学生理解并记忆重要内容。
2. 讨论：通过学生提问、小组讨论等形式，引导学生主动思考和解决问题，加深对线性代数概念和应用的理解。
3. 练习：布置大量的练习题，帮助学生熟练掌握线性代数的基本运算方法和解题技巧。
4. 实践：引导学生应用线性代数知识解决实际问题，例如数据处理、图像处理等，增强学生的实际应用能力。
六、评价方式1. 平时表现：包括课堂参与度、课后作业完成情况等。
2. 考试：定期进行笔试或机试，考查学生对线性代数知识的理解和运用能力。
3. 实践项目：要求学生参与线性代数相关实验或项目，评估其综合能力和创新能力。
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《线性代数》基本要求
行列式
一、基本概念
行列式地定义与表示方法
行列式地转置
余子式ij M 与代数余子式ij A
二、基本计算
会利用行列式地性质计算四、五阶行列式及简单地n 阶行列式.
矩阵
一、基本概念
.矩阵地定义及表示方法
.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵地定义
.逆矩阵地定义
.矩阵地行初等变换地定义
.矩阵秩地定义
二、基本运算
.矩阵地加法、数乘、乘法，转置及方阵地行列式地运算方法与运算性质
.求逆矩阵及解矩阵方程
.求矩阵地秩
第三章 线性方程组解地结构与向量组地线性相关性
一、基本概念
.向量组线性相关与线性无关地定义
.向量组地最大无关组地定义与向量组地秩
.n 元齐次线性方程组o Ax = 有非零解地条件
.n 元非齐次线性方程组b Ax = 有解地条件
二、基本运算
.判断向量组是线性相关还是线性无关
.求向量组地地秩及其一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示
. 判断n 元齐次线性方程组o Ax = 何时有非零解，并求其有非零解时地一个基础解系与通解
.判断n 元非齐次线性方程组b Ax =何时无解、何时有唯一解、何时有无穷多组解，并求其有无穷多组解时地通解.
第四章 相似矩阵与二次型
一、基本概念
.向量地内积与正交地定义
.方阵地特征值与特征向量地定义
.相似矩阵地地定义与性质
.二次型地定义及其矩阵形式，二次型地秩
.标准二次型、正定二次型
二、基本运算
. 求方阵地特征值与特征向量
. 将实对称阵化为对角阵
. 将二次型化为标准二次型，判断二次型是否为正定二次型.。