线性代数重点难点
线性代数各章节内容重点难点(大一第一学期)
线性代数各章节内容重点难点(大一第一
学期)
教学难点：向量空间、子空间、基、维数等概念的理解和应用，向量的内积和正交矩阵的性质的证明。
第一章：行列式
本章主要介绍了行列式的定义、性质和运算，以及克莱姆法则的应用。
学生需要了解行列式的基本概念和性质，掌握二、三、四阶行列式的计算方法，以及简单的n阶行列式的计算方法。
此外，学生还需要理解克莱姆法则的结论，并会应用于实际问题中。
本章教学难点在于行列式性质的证明。
第二章：矩阵
本章主要介绍了矩阵的概念和各种运算及其规律，包括单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵等的性质，矩阵的线性运算、乘法、转置等，以及逆矩阵、伴随矩阵、初等变换、矩阵等价、矩阵秩等概念和方法。
学生需要掌握这些概念和方法，并能够灵活运用于实际问题中。
本章教学难点在于矩阵可
逆的充分必要条件的证明，初等矩阵及其性质，以及分块矩阵及其运算。
第三章：向量
本章主要介绍了向量的概念和相关性质，包括向量组的线性相关与线性无关的概念和性质，向量组的极大线性无关组的概念，向量组的等价和向量组的秩的概念，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，以及向量空间、子空间、基、维数等概念和向量的内积、正交矩阵等性质。
学生需要掌握这些概念和方法，并能够灵活运用于实际问题中。
本章教学难点在于向量空间、子空间、基、维数等概念的理解和应用，以及向量的内积和正交矩阵的性质的证明。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、引言1. 课程目标：使学生理解线性代数的基本概念，掌握线性方程组的求解方法，了解矩阵和行列式的基本性质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
2. 教学内容：本章主要介绍线性代数的基本概念、线性方程组的求解方法、矩阵和行列式的基本性质。
3. 教学方法：采用讲授法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
二、线性方程组1. 教学目标：使学生理解线性方程组的含义，掌握线性方程组的求解方法，能够运用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容：（1）线性方程组的概念及其解的含义；（2）线性方程组的求解方法（高斯消元法、矩阵法等）；（3）线性方程组在实际问题中的应用。
3. 教学方法：通过具体案例分析，引导学生理解线性方程组的概念，运用高斯消元法和矩阵法求解线性方程组，并讨论线性方程组在实际问题中的应用。
三、矩阵及其运算1. 教学目标：使学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法，了解矩阵在数学和实际中的应用。
2. 教学内容：（1）矩阵的概念及其表示方法；（2）矩阵的运算（加法、数乘、乘法）；（3）矩阵的其他相关概念（逆矩阵、转置矩阵等）；（4）矩阵在数学和实际中的应用。
3. 教学方法：通过具体的例子，引导学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法，探讨矩阵在其他相关概念中的应用，并了解矩阵在数学和实际中的重要作用。
四、行列式1. 教学目标：使学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，了解行列式在线性方程组求解中的应用。
2. 教学内容：（1）行列式的概念及其表示方法；（2）行列式的计算方法（按行（列）展开、性质的应用等）；（3）行列式在线性方程组求解中的应用。
3. 教学方法：通过具体的例子，引导学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，并了解行列式在线性方程组求解中的应用。
五、线性空间与线性变换1. 教学目标：使学生了解线性空间的概念，掌握线性变换的定义和性质，了解线性变换在数学和实际中的应用。
线性代数教案全(同济大学第六版)
线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解线性代数的基本概念，如向量、矩阵、行列式等；（2）掌握线性方程组的求解方法，如高斯消元法、矩阵的逆等；（3）熟悉线性代数在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过实例讲解，培养学生的空间想象能力；（2）运用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；（3）引导学生运用线性代数的知识，分析、解决身边的数学问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识；（3）引导学生树立正确的数学观念，克服对数学的恐惧心理。
二、教学内容1. 第一章：向量（1）向量的概念及几何表示；（2）向量的线性运算；（3）向量的数量积与向量垂直；（4）向量的坐标表示与运算。
2. 第二章：矩阵（1）矩阵的概念与运算；（2）矩阵的行列式；（3）矩阵的逆；（4）矩阵的应用。
3. 第三章：线性方程组（1）线性方程组的解法；（2）高斯消元法；（3）矩阵的逆与线性方程组的解；（4）线性方程组的应用。
4. 第四章：矩阵的特征值与特征向量（1）特征值与特征向量的概念；（2）矩阵的特征值与特征向量的求解；（3）矩阵的对角化；（4）矩阵的特征值与特征向量的应用。
5. 第五章：二次型（1）二次型的概念；（2）二次型的标准形；（3）二次型的判定；（4）二次型的应用。
三、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探索、思考；2. 结合实例讲解，培养学生的空间想象能力；3. 利用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；4. 组织课堂讨论，促进学生交流与合作；5. 注重练习与反馈，巩固所学知识。
四、教学评价1. 平时成绩：课堂表现、作业、小测验等；2. 期中考试：检测学生对线性代数知识的掌握程度；3. 期末考试：全面考察学生的线性代数知识、技能及应用能力。
五、教学资源1. 教材：《线性代数》；2. 辅助教材：《线性代数学习指导》；3. 数学软件：如MATLAB、Mathematica等；4. 网络资源：相关在线课程、教学视频、练习题等。
大学数学说课稿线性代数基础教学
大学数学说课稿线性代数基础教学大学数学说课稿：线性代数基础教学一、引言数学作为一门基础学科，对于大学生的综合素质培养具有重要作用。
而线性代数作为数学的重要分支之一，是理工科专业以及计算机科学等领域的基础课程，对学生培养抽象思维、逻辑思维和问题解决能力有着重要意义。
本次说课将结合大学线性代数教学的特点，着重介绍线性代数基础教学的流程和方法。
二、教学目标1. 知识目标：使学生掌握线性代数基础知识，包括向量、矩阵、行列式等内容；2. 能力目标：培养学生抽象思维、逻辑思维和问题解决能力；3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维能力。
三、教学重点与难点1. 教学重点：向量空间的定义与性质、线性方程组的求解方法；2. 教学难点：线性空间的概念理解、线性变换的理解与应用。
四、教学内容与教学方法1. 教学内容：(1) 向量空间的定义与性质：向量的线性组合、线性相关性与线性无关性等；(2) 线性方程组的求解方法：高斯消元法、矩阵的初等变换等；2. 教学方法：(1) 讲授法：结合具体例子和图示，介绍向量空间的定义与性质；(2) 实例演练法：通过解决一些实际问题，巩固学生对线性方程组求解方法的理解与应用能力。
五、教学流程1. 导入：通过提问或引用实例，引发学生对线性代数的兴趣，了解线性代数在现实生活中的应用；2. 知识点讲解：(1) 向量空间的定义与性质：通过讲解向量的线性组合、线性相关性与线性无关性等概念，引导学生理解向量空间的概念；(2) 线性方程组的求解方法：通过讲解高斯消元法、初等变换等方法，指导学生掌握线性方程组的求解过程；3. 实例演练：(1) 向量空间实例：通过具体的向量空间实例，引导学生应用向量空间的定义与性质，进行相关练习；(2) 线性方程组实例：选择一些简单的线性方程组实例，与学生一起进行高斯消元法和初等变换的演练；4. 总结与拓展：(1) 总结本节课的教学内容，强调学生应掌握的重要概念和解题技巧；(2) 拓展教学内容，提出一些相关的数学问题，激发学生的思考和求解能力。
No.1 线性代数重点难点考点 矩阵与行列式
A 可逆的充要条件 A ≠ 0 凡
5
求逆矩
的方法 矩 ,且 A ≠ 0 ,则 A
−1
伴随矩
法 设 A是n
=
1 * A , A
中伴随矩
A* 定
A11 A * A = 12 ⋮ A1n
6 克拉默法则
A21 ⋯ A22 ⋮ A2 n
An1 ⋯ An 2 ⋱ ⋮ ⋯ Ann
对 矩
, 则满足
aij = a ji
(i, j = 1, 2,⋯ , n) .
n
方 ,
元素以 对角线 对 轴对应元素 互 相反数, 则
A
反对
a11 a21 矩 ,即若 A = ⋮ an1
若A
⋯ a1n ⋯ a2 n ⋱ ⋮ ⋯ ann ⋯ a1n ⋯ a2n ⋱ ⋮ ⋯ a nn
0
⋯
0
det A =
a21 a22 ⋯ 0 = a11a22 ⋯ ann ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann a11 a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2 n = a11a22 ⋯ ann ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ ann
角形行列式
det A =
0 ⋮ 0
工
行列式的性质
性质 1凡1 行列式 它的转置行列式相等,即 (det A) T = det A 性质 1凡工 n 行列式对任意一行按 式展开, 值相等,即
k =1
矩 记 方
的转置
设矩
A = (aij ) m×n ,把 A 的行 列互换所得到的矩
满足 A = A 的矩 方 ,则 A 的 m 次幂 A
m m −1 m
A 的转置矩 ,
线性代数课程教学总结8篇
线性代数课程教学总结8篇篇1一、引言线性代数是高等教育中非常重要的数学课程，对于培养学生的逻辑思维、空间想象和计算能力具有不可替代的作用。
本学期线性代数课程的教学工作已经圆满结束，为了更好地提高教学质量和效果，现对本学期的教学工作进行全面的总结和反思。
二、教学内容与方法本学期线性代数课程的教学内容包括矩阵与行列式、向量与空间解析几何、线性方程组、特征值与矩阵对角化等章节。
1. 教学内容在教学内容上，我们严格按照教学大纲的要求，注重基础知识的讲解和巩固。
同时，根据学生的学习情况，适度调整教学进度和难度，确保大多数学生能够跟上课程的进度。
2. 教学方法在教学方法上，我们采用了讲授、讨论、练习相结合的方法。
课堂上，老师通过讲解、演示和互动，帮助学生理解和掌握基本概念和方法。
课后，学生通过完成作业和参加讨论，加深对所学知识的理解和运用。
三、教学效果与反思1. 教学效果通过本学期的教学，大多数学生对线性代数的基本概念和方法有了较为深刻的理解，能够熟练掌握矩阵运算、向量运算、线性方程组求解等基本技能。
同时，学生的逻辑思维能力和空间想象力也得到了较好的培养。
2. 反思在教学过程中，我们也发现了一些问题。
首先，部分学生对线性代数的概念和方法的掌握不够扎实，需要加强对基础知识的巩固和练习。
其次，部分学生的学习态度不够积极，需要加强对学生的学习引导和激励。
最后，教师的教学方法和手段还需要不断改进和创新，以适应学生的学习需求和特点。
四、改进措施与建议针对以上问题，我们提出以下改进措施与建议：1. 加强基础知识的巩固和练习。
可以通过增加课堂互动、布置适量的课后作业、组织定期的复习和测试等方式，帮助学生巩固所学知识。
2. 加强对学生的学习引导和激励。
可以通过组织小组讨论、开展课外科技活动、设置奖学金等方式，激发学生的学习兴趣和动力。
3. 改进教学方法和手段。
可以采用线上教学与线下教学相结合的方式，利用现代化的教学手段，提高教学效果和效率。
《线性代数》 线性方程组
A 2
5
3
③+①(-3) 0
1
1
3 8
0 1 6
③+②(-1)
1
0
3 1
2
1
0 0 5
对于齐次线性方程组，要使其有非零解，
则要求： 秩r(A)n 3
故 5 ＝ ， 0 ， ＝ 5 时 当 即 r A 2 ， 3
此时方程组有非零解。 这时系数矩阵变为：
1 3 2
如果常数项 b1,b2,,bm不全为0，则 称为：非齐次线性方程组。
5、方程组的解：
方程组的解是满足方程组的未知量的
一组取值： x 1 c 1 ,x 2 c 2 , ,x n c n .
也可记c1为 ,c2,： ,cn） （
例如：
显然，
5x1 x2 2x3 0 2x1 x2 x3 0 9x1 2x2 5x3 0
经济数学基础
《线性代数》
第三章 线性方程组
本章重点：
•线性方程组的解的判定和求法
本章难点：
•解的判定定理
一、线性方程组的有关概念
1、n元线性方程组为：
a11x1 a12x2 a1nxn b1,
a21x1 a12x2 a1nxn b2,
am1x1 am2x2 amnxn bm.
ai： j 第 i个方,第 程 j个未知 xj的量 系数；
1 1 0 x1 1
1
0
2x2
2
0 3 4 x3 3
由线性方程组可惟一确定增广矩阵；反之 由增广矩阵，也可以惟一确定线性方程组。
【例2】已知方程组的增广矩阵如下，试写出
它的线性方程组
1 1 0 1
A 1 0 2 2
【解】：x1x2 1
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自考《线性代数》重难点解析2011-02-17 11:09:49 | 作者: min | 来源: 考试大 | 查看:第一章行列式一、重点1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。
2、掌握：行列式的基本性质及推论。
3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。
二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。
三、重要公式1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│。
│B│3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-14、若A为n阶方阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi四、题型及解题思路1、有关行列式概念与性质的命题2、行列式的计算（方法）1）利用定义2）按某行（列）展开使行列式降阶3）利用行列式的性质①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。
②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。
③逐次行（列）相加减，化简行列式。
④把行列式拆成几个行列式的和差。
4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式5）数学归纳法，多用于证明3、运用克莱姆法则求解线性方程组若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。
注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。
4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法一、重点1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）2、掌握：1）矩阵的各种运算及运算规律2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法3）矩阵的初等变换方法二、难点1、矩阵的求逆矩阵的初等变换2、初等变换与初等矩阵的关系三、重要公式及难点解析1、线性运算1）交换律一般不成立，即AB≠BA2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵（A+B）2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2（AB）2=（AB）（AB）≠A2B2（AB）k≠AkBk（A+B）（A-B）≠A2-B2以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。
3）由AB=0不能得出A=0或B=04）由AB=AC不能得出B=C5）由A2=A不能得出A=I或A=06）由A2=0不能得出A=07）数乘矩阵与数乘行列式的区别2、逆矩阵1）（A－1）－1＝A2）（kA）－1=（1/k）A－1，（k≠0）3）（AB）－1=B－1A－14）（A－1）T=（AT）－15）│A－1│=│A│－13、矩阵转置1）（AT）T＝A2）（kA）T=kAT，（k为任意实数）3）（AB）T=BTAT4）（A+B）T=AT+BT4、伴随矩阵1）A*A＝A A*=│A│I （AB）*=B*A*2）（A*）*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ，（n≥2）3）（kA）*=kn-1A* （A*）T=（AT）*4）若r（A）=n，则r （A*）=n若r（A）=n-1，则r （A*）=1若r（A）<n-1，则r （A*）=05）若A可逆，则（A*）-1=（1/│A│）A，（A*）-1＝（A-1）*，A*＝│A│A-15、初等变换（三种）1）对调二行（列）2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用②求逆阵，只能用行或列变换③求线性方程组的解，只能用行变换6、初等矩阵1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵E-1ij=Eij，E（-1）i（k）=Ei（1/k），E（-1）ij（k）=Eij（-k）7、矩阵方程1）含有未知矩阵的等式2）矩阵方程有解的充要条件AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量线性表示<==>r（A）=r（A┆B）四、题型及解题思路1、有关矩阵的概念及性质的命题2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）3、矩阵可逆的判定n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B，有AB=BA=I <==>│A│≠0<==>r（A）=n<==>A的列（行）向量组线性无关<==>Ax=0只有零解<==>任意b，使得Ax=b总有唯一解<==>A的特征值全不为零4、矩阵求逆1）定义法：找出B使AB=I或BA=I2）伴随阵法：A-1=（1/│A│）A*注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏（-1）i+j，当n>3时，通常用初等变换法。
3）初等变换法：对（A┆I）只用行变换化为（I┆A-1）4）分块矩阵法5、解矩阵方程AX=B1）若A可逆，则X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X2）若A可逆，可用初等变换法直接求出X（A┆B）初等行变换（I┆X）3）若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列常数项分别求解。
一、重点1、理解：向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出，极大线性无关组的概念，线性相关与线性无关的概念，向量组的秩的概念，矩阵的秩的概念及性质，基础解系的概念。
2、掌握：向量的运算及运算规律，矩阵秩的计算，齐次、非齐次线性方程组解的结构。
3、运用：线性相关、线性无关的判定，线性方程组解的判断，齐次、非齐次线性方程组的解法。
二、难点线性相关、线性无关的判定。
向量组的秩与矩阵的秩的关系。
方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。
三、重点难点解析1、n维向量的概念与运算1）概念2）运算若α＝（a1，a2，…，an）T，β＝（b1，b2，…，bn）T①加法：α＋β＝（a1+b1 ，a2+b2 ，…，an+bn）T②数乘：kα＝（ka1，ka2，…，kan）T③内积：（α。
β）＝a1b1+a2b2+，…，+anbn＝αTβ＝βTα2、线性组合与线性表出3、线性相关与线性无关1）概念2）线性相关与线性无关的充要条件①线性相关α1，α2，…，αs线性相关<==>齐次方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0有非零解<==>向量组的秩r（α1，α2，…，αs）＜s （向量的个数）<==>存在某αi（i=1，2，…，s）可由其余s-1个向量线性表出特别的：n个n维向量线性相关<==>│α1α2…αn│＝0n+1个n维向量一定线性相关②线性无关α1，α2，…，αs线性无关<==>齐次方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0只有零解<==>向量组的秩r（α1，α2，…，αs）＝s （向量的个数）<==>每一个向量αi（i=1，2，…，s）都不能用其余s-1个向量线性表出③重要结论A、阶梯形向量组一定线性无关B、若α1，α2，…，αs线性无关，则它的任一个部分组αi1，αi2，…，αi t必线性无关，它的任一延伸组必线性无关。
C、两两正交，非零的向量组必线性无关。
4、向量组的秩与矩阵的秩1）极大线性无关组的概念2）向量组的秩3）矩阵的秩①r（A）＝r（AT）②r（A+B）≤r（A）＋r（B）③r（kA）＝r（A），k≠0④r（AB）≤min（r（A），r（B））⑤如A可逆，则r（AB）＝r（B）；如B可逆，则r（AB）＝r（A）⑥A是m×n阵，B是n×p阵，如AB＝0，则r（A）＋r（B）≤n4）向量组的秩与矩阵的秩的关系①r（A）＝A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）＝A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变③若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出，则r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）。
特别的，等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。
5、基础解系的概念及求法1）概念2）求法对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元（共有r（A）个主元），那么剩于的其他未知数就是自由变量（共有n- r（A）个），对自由变量按阶梯形赋值后，再带入求解就可得基础解系。
6、齐次方程组有非零解的判定1）设A是m×n矩阵，Ax＝0有非零解的充要条件是r（A）＜n，亦即A的列向量线性相关。
2）若A为n阶矩阵，Ax＝0有非零解的充要条件是│A│＝03）Ax＝0有非零解的充分条件是m＜n，即方程个数＜未知数个数7、非齐次线性方程组有解的判定1）设A是m×n矩阵，Ax＝b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵（A 增）的秩，即r（A）＝r（A增）2）设A是m×n矩阵，方程组Ax＝b①有唯一解<==> r（A）＝r（A增）＝n②有无穷多解<==> r（A）＝r（A增）<n③无解<==> r（A）+1=r（A增）8、非齐次线性方程组解的结构如n元线性方程组Ax＝b有解，设，η2，…，ηt是相应齐次方程组Ax＝0的基础解系，ξ是Ax＝b的一个解，则k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax＝b的通解。
1）若ξ1，ξ2是Ax＝b的解，则ξ1-ξ2是Ax＝0的解2）若ξ是Ax＝b的解，η是Ax＝0的解，则ξ+kη仍是Ax＝b的解3）若Ax＝b有唯一解，则Ax＝0只有零解；反之，当Ax＝0只有零解时，Ax＝b 没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解）四、题型及解题思路1、有关n维向量概念与性质的命题2、向量的加法与数乘运算3、线性相关与线性无关的证明1）定义法设k1α1+k2α2+…+ksαs＝0，然后对上式做恒等变形（要向已知条件靠拢）①由B＝C可得AB＝AC，因此，可按已知条件的信息对上式乘上某个A②展开整理上式，直接用已知条件转化为齐次线性方程组，最后通过分析论证k1，k2，…，ks的取值，得出所需结论。
2）用秩（等于向量个数）3）齐次方程组只有零解4）反证法4、求给定向量组的秩和极大线性无关组多用初等变换法，将向量组化为矩阵，通过初等变换来求解。
5、求矩阵的秩常用初等变换法。
6、求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组。