对线性代数课程教学体系及教学方法思考
对线性代数课程教学体系及教学方法的思考
摘 要：线性代数是一门非常抽象，难于理解的学科，本文通过
对现有线性代数课程教学体系和教学方法思考，使学生对线性代数
学习的兴趣，从而更好地掌握运用到生活中。并且总结了教学方法
及教学过程中应注重的问题。
关键词：线性代数 课程体系 教学方法
中图分类号：g424 文献标识码：a 文章编号：1673-9795（2013）
02（a）-0099-01
线性代数是高等学校理工科各专业以及经济类专业的一门重要
的基础理论课，主要研究变量之间普遍存在的线性关系。可以毫不
夸张地说线性代数是很多专业课的前导课程，如果线性代数学不
好，会直接影响其专业课的学习，由于该学科具有抽象性，严密的
逻辑性和广泛的应用性这三个特性，所以学习起来比较困难，要付
出一定努力，下一定功夫才能掌握，线性问题广泛出现在科学研究
的各个领域，很多技术也应用到线性代数，在当今社会科学技术不
断飞速发展的今天，该课程也就成了重中之重，享有“数学学科之
王”的地位。学生通过对线性代数的理论学习能培养学生良好的运
算能力、逻辑思维能力、抽象分析能力、综合推理能力以及锻炼自
己数学建模的能力，另外通过该门课程的学习可以为其后续的专业
课做铺垫，例如计算机专业的学生等，为了使这类学生能更好的掌
握自己的专业知识，我们一直在努力地从课程体系、教学内容及方
法和教学手段等多个方面，进行探讨摸索如何使学生能更好的理解
和掌握这门重要的基础课，而不只是单纯为了应付考试不挂科。
1 线性代数教学体系
线性代数的主要内容包括：行列式；矩阵；向量；线性方程组；
矩阵的特征值及特征向量；二次型，线性空间等。其中线性空间按
照非理科专业线性代数课程教学大纲的要求是非必修内容，其他章
节均为必修。线性代数自从进入大学课本以来，经过多年的沉淀，
已经成为经典，想从根本上进行大的改动是不可能的，但是可以从
部分内容安排上入手，可以灵活一些，以下是本人对目前线性代数
教材中重点章节不同处理方法理解和认识。
1.1 行列式概念的引入
学过和教过线性代数的人都知道，行列式是多数线性代数教材的
第一章，是贯穿整个线性代数学习过程中的重要的概念之一，应该
说是理解线性代数是从它开始的，因此，要想日后跟好的学习线性
代数，学生对这一概念的理解和掌握是十分重要的。在行列式概念
的引入上，主要有两种方法。这两种方法都是二、三元线性方程组，
通过消元的方式去解，来给出二阶、三阶行列式的定义，从而推出
n阶行列式的定义。两种方法的不同恰恰就是推出n阶行列式的方
式不同，一个是通过对二阶，三阶行列式机构上去分析，找到共同
点及规律，通过逆序数和全排练列的概念，突出n阶行列式，另一
种方式直接用行列式的按行或者按列展开法则来推出n阶行列式的
概念。第一种方法可以让学生对n阶行列式有一个深刻的认识和理
解，而第二种方法更直接，没有用到逆序数和全排列的内容，虽然
这样更有效率但是学生很难理解其本质。两种方式各有所长，但都
需要老师能够对其行列式的概念，进行进一步的阐述。这样学生才
能更容易理解。
1.2 线性方程组部分教学方式
线性方程组是以后学习矩阵做了重要的铺垫的一章，而且应该是
考试中占分比较大的重要章节，那么如何学习更好的传授给学生线
性方程组，才能得到更好地效果呢？其中一种方法就是把整个教材
的主线定位线性方程问题，因为这部分内容在教材的其他章节中也
有出现。在矩阵部分的表现方式是用方程组来表示出矩阵，并使用
消元法来求解线性方程组，来实现矩阵的初等变换，然后通过矩阵
的初等行变换求解线性解方程组。可以在介绍矩阵秩的概念之后，
对矩阵章节做一些铺垫。最后在讨论了向量组的线性相关性之后，
讨论线性方程组解的结构理论。这样做的好处就是，利用解方程组
把整个教材内容里面多个章节串联起来，是内容更连贯，而不零散！
但是这种方法的弊端就是不利于学生掌握。陌生的名词太多，学生
理解起来比较困难。内容讲完之后，给学生做个总结，即把所有关
于线性方程组的内容完整地展现给学生，使学生对线性方程组内容
有一个更为清晰的整体认识，这样效果可能会好很多。另一种方法
就是把线性方程组的内容作为一个整体，放在行列式、矩阵、向量
组的线性相关性之后，再来讲解线性方程组，这种方法的好处就是
学生更容易理解，没有陌生的名词和概念。但也有一些弊端，就是
教学课程显得不那么连贯。
2 线性代数教学方法
2.1 教师理解概念的本质，注重对相近概念的解析
对于学生学习线性代数最大的阻碍就是抽象，学生理解起来特别
困难。所以对一些基本概念的理解和掌握就显得尤为重要。如行列
式和矩阵，学生经常将两者混淆，一定要给学生分析二者本质的区
别，让学生对这些概念的理解会更加深刻。
2.2 对线性代数课程应用背景做一些介绍
让学生充分理解到线性代数的重要性，以及在不同的学科专业领
域的应用，如果课时允许的话，教师应尽可能结合学生专业，来讲
解线性代数。比如对计算机的学生，可以介绍生是计算机矩阵的例
子；对通信专业的学生，可以介绍线性代数在保密通信方面的简单
例子；对经济管理类专业，则可以介绍如何利用矩阵刻画投入产出
表。通过这样一些简单应用的介绍，让学生不在觉得此课程枯燥乏
味，对其产生更浓厚的兴趣和热情。
3 结论
本文讨论了线性代数的教学体系和教学方法，但是最重要的还是
要结合学生的实际情况选择最有效的教学手段，以便能够好的完成
教学任务，达到教学目标，并不断提高线性代数课程的教学质量，
在教学过程中应不断优化教学内容体系，总结并改进教学方法，以
学生为本，努力提高教学质量。为祖国更好的输出更多更好的优秀
人才。
参考文献
[1] 李明远，马文斌，孙鹏哲，等.线性代数教学实践中的体会
[j].内蒙古财经学院学报：综合版，2009，7（2）：139-141.
[2] 黄玉梅，李彦.非数学专业线性代数教学改革探讨[j].重庆
文理学院学报：自然科学版，2009，28（5）：87-89.
[3] 雪剑.《线性代数》教材内容和课程体系改革刍议[j].运城
学院学报，2008，22（5）：39-40.
线性代数课程思政的设计与教学实践
线性代数课程思政的设计与教学实践作者：苏克勤曹殿立姬利娜侯贤敏曹洁来源：《高教学刊》2021年第27期摘要：基于课程思政的基本方式，依据系统理论的基本原则，提出了线性代数课程思政教学设计的基本路线和思政主题。
以此为基础，具体给出了课程思政的教学设计过程并介绍了作者的教学实践。
关键词：线性代数;课程思政;教学设计;教学实践中图分类号：G641 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2021）27-0189-04Abstract： Based on the basic way of ideological and political education and the basic principle of system theory， the basic route and theme of ideological and political teaching design of Linear Algebra course are put forward. On this basis， the teaching design process of ideological and political course is given in detail and the author's teaching practice is introduced.Keywords： Linear Algebra; ideological and political theory of curriculum; teaching design; teaching practice线性代数课程是大学数学的经典课程之一，是高等院校的一门重要的公共基础课，受益学生众多。
线性代数是代数学发展的高级阶段，承载着数千年代数学深厚的积淀和不断创新的成果，蕴含着丰富的马克思辩证唯物主义世界观和方法论，铭刻着古今中外数学家们求实创新、献身事业的科学精神，更是课程思政的沃土。
国防科技大学《线性代数》精品课程建设总结报告
国防科技大学《线性代数》精品课程建设总结报告我校《线性代数》课程始于“哈军工”时期，当时的线性代数课程内容包含在《高等数学》课程中进行讲授，由孙本旺、卢庆骏等知名教授组成的教授会负责该课程的建设。
这门课程对学生影响最为广泛，被誉为“霸王课”。
我校《线性代数》课程2010年评为湖南省精品课程以来，课程组秉承“哈军工”优良传统，同时顺应教育教学改革的发展趋势，按照瞄准“一个目标”，寻求“两个突破”，争创“三个一流”开展课程建设，取得了比较突出的建设成效。
一、建立适合拔尖创新人才培养的分层次教学模式我校《线性代数》精品课程建设以教育部新制定的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”为基本指导原则，以我校人才培养的总目标为指导，根据新形势下我校线性代数教学对象的具体特点，对线性代数的课程体系进行了改革，建立了适合拔尖创新人才培养的、更有效的因材施教教学模式。
（1）钱学森创新拓展班线性代数，46学时。
在全校技术类学员范围内进行全面选拔，注重数学和英语基础，打破专业界限，组成钱学森创新拓展班，实施小班教学，由本课程的资深教授担任主讲任务，在使用自编教材《线性代数》的同时，参考国内外的著名教材，实施与国际知名大学接轨的线性代数教学理念和教学模式，在整个线性代数知识体系的基础上，加深或加强数学理论知识学习、应用能力以及数学方法、数学素质的培养。
（2）线性代数普通班，46学时。
除钱学森创新拓展班外，全校技术类学员和合训类学员按原院系和原专业分班，称为线性代数普通班。
二、突出代数素质培养和实践应用能力提升，深化教育教学研究与改革线性代数教学团队以课程体系优化和教学内容改革为切入点，以教学方法多样化和教学手段现代化为突破口，积极开展教学改革课题研究，探索教育教学规律，不断深化教学改革。
以“素质教育和创新教育”为核心，以培养适应部队信息化建设的懂技术、会指挥的新型复合型军事人才为目标，积极探索和深化线性代数课程的教学改革，并以教学改革为牵引，积极进行教学研究工作。
线上线下混合式教学模式中融入课程思政的探讨——以线性代数课程教学为例
目标；三是符合思政教育系统化的原则，思政教学内容应 系统地贯穿课程始终；四是符合思政内容与线性代数课 程内容和谐化的原则，即思政内容自然和谐地融入课程 之中，既不突兀、又不牵强[4]。
该校教师基于线性代数课程体系构建的四个基本 原则，通过比较国内外线性代数课程教学体系，结合课 程思政教育内容，确定了“三基、一核心、二应用”的线 性代数课程体系，即“以行列式、矩阵及向量组为基本工 具，以线性方程组的求解方法为核心，系统地解决矩阵 的相似对角化与二次型的标准化问题[5]”。在具体的教学 中，将课程内容分为三大部分，第一部分是学习行列式、 矩阵、线性方程组；第二部分是学习线性方程组的求解 及解的结构；第三部分是学习矩阵的相似正交化及对角 化。三部分的课程内容划分是依照教学目标，融合思政教 育，体现数学思想，将线性代数教学与课程思政教育协 调一致进行的，知识由简到繁，由基础到复杂，可以让学 生在无形中理解无论是学习还是做事情，都是要在拥有 一定基础和能力的前提下，才能更好地进入下一阶段，取 得更好的成绩，收获成功，实现自己的理想。 3 在线性代数教学中融合课程思政 3.1 细节之处见成败
线上线下混合式教学是本科阶段的重要教学模式， 也是提高教学质量的重要手段，特别是在线性代数这门 课程中，应用线上线下混合式教学模式，将复杂的运算 步骤通过数字化教学来展示，能使学生更容易理解所学 内容，更牢固地掌握知识点。学生课后可通过在线回放教 学视频来巩固自己薄弱的知识点；想深入探究学习的学 生，可在线回放教学视频，将重点知识梳理；准备考研的 学生，可通过线上视频回放学习，为数学科目的考试提前 做准备。但线上线下混合教学模式也有弊端，如线上教学 时，学生课上的学习状态难以得到教师的监测、学生的学 习积极性无法掌握等。 1.3 如何开展线上线下混合式教学
线性代数数学建模案例教学研究
学术研讨123线性代数数学建模案例教学研究◊宿迁学院文理学院周克元赵士银本文对线性代数融入数学建模进行分析研究，列举相关数学建模案例，使抽象的线性代数具体化、形象化，训练和培养学生数学建模、分析问题、解决问题的能力。
线性代数主要以线性方程组求解为基础，研究线性空间中线性关系和线性映射，具有较强的抽象性，对于普通应用型院校学生来说理解难度比较大。
很多学生认为线性代数没有任何用处，不想学也不愿学，教师往往感觉是在唱独角戏，久而久之，容易造成恶性循环。
造成这样困境的原因是多方面的，数学知识本身严谨性和逻辑性的特点是一个原因，但更重要的原因是长期以来割裂了数学和其他学科的联系，对线性代数进行孤立的教学，使学生很难认识到它的重要应用价值％线性代数难学的主要原因在于线性代数中有许多从天而降许多抽象的概念，抽象的各种概念和知识点有什么意义什么应用基本没有介绍％传统的线性代数教材偏重于理论推导，而轻实践应用，导致教学内容过于抽象，难于理解，且学生感受不到线性代数理论体系存在％学生难以理解学习各种概念的目的意义，学习线性方程组求解、线性空间、线性映射等知识点有什么作用。
目前一个比较好的解决方法是将数学建模融入线性代数中问，线性代数广泛应用在经济、管理、运筹学、社会学、人口学、遗传学、生物学等领域，在教学中补充讲解线性代数知识在生活工程中的各种应用，让学生理解线性代数各个知识的背景来源，理解学习线性代数在生活工程中的巨大应用，激发学生的学习兴趣，培养学生使用线性代数解决实际问题的能力。
本文介绍一些在实际教学过程中使用的一些数学建模案例。
1行列式应用案例各类线性代数教材旳中，对于行列式的介绍主要为，对于二元三元线性方程组，其解用二阶三阶行列式表示更方便，进而给出n阶行列式的概念、行列式性质、求解方法以及Crammer法则，对于行列式其他应用基本没有介绍。
学生在学习过线性代数后面知识后，认为用逆矩阵或初等变换方法求解线性方程组更方便，对于学习行列式有什么作用产生怀疑。
《线性代数》课程教学创新成果报告
《线性代数》课程教学创新成果报告【摘要】线性代数是大学理工类本科生的一门必修课程。
为了让学生更好的学好这门课，实现教书育人的最高目标，在教学中努力尝试“以学生为中心”的教学理念，在教学目标中增加课程思政目标，既关注学生的知识生成，更关注学生数学能力，综合能力及道德品质的培养和提高。
针对课程教学过程的痛点，对这门课程的教学活动和教学内容进行了改革和创新，教学活动的创新主要表现在：教学资源的优化配置，探索更有效的教学方式方法；注重教学难点的突破，学习和答疑途径的多元化，教学内容的创新主要体现在：注重科学素养的培育，充分发掘课程思政元素，实现全方位育人等。
【关键词】线性代数；课程教学创新；诱导启发式。
线性代数是高等学校理工科各专业本科生的一门重要的基础理论课，是理工类学生考研的必考科目，它是以矩阵、行列式等为工具，研究线性问题的求解理论和方法的一门学科.由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定的条件下也可转化为线性问题,因此本课程所介绍的基本理论和方法广泛地应用于自然科学、社会科学等各领域，尤其是计算机得到普及的今天，本课程的作用与地位更显重要。
该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力，空间直观和想象能力具有重要的作用。
在培养学生的科学素养，人文精神和创新能力等方面也起着十分重要的作用。
因此线性代数的教学过程的改革创新，学生的学习过程的优化及学习效果的提高都显得非常重要。
一课程教学的“痛点”1.学生的痛点经调查显示，学生普遍认为，线性代数不同于高等数学，定义定理都是比较抽象，无法与实践和以前的认知联系起来，很多学生普遍反映线性代数学习感到吃力。
复习基本靠死记硬背，大部分学生对考试成绩不满意，更别说数学素养的提升。
1.老师的痛点从老师的角度看，线性代数课程课时少，内容多，想把线性代数的内容在有限的课时内讲懂讲透，是一件富有挑战的事情。
传统的教学方式基本以讲授为主，很难调动学生学习的积极性，强硬的灌输抽象的概念及定理等，使学生感觉课堂是枯燥无味的，这样的状态下很难使学生在线性代数的学习过程中，进一步提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力等数学素养。
应用型本科院校“线性代数”课程教学改革探讨
（ｃｏｌｆＳｉ ｃ ，ｎ ｕ Ｉｓｔｔ ｏ ｃ ｎｅ ｎ ｅｈ ｏ ｇ ， ｅｇ ａｇＡ ｈ ｉ ３ １０ Ｃ ｉａ Ｓｈｏ ｏ ｃ ｎｅＡ ｈ ｉ ｎｔｕｅｆ Ｓｉ ｄＴｃｎｌ ｙ Ｆｎ ｙｎ ｎ ｕ ２ ３ ０ ， ｈｎ ） ｅ ｉ ｅ ａ ｃ ｏ
校 学 生全 面发展 要求 的线 性代 数教 学体 系 。
工科 “ 线性 代 数 ” 程 教学 改革 的 目标 ： 课 知识 方 面 ， 一定 广度 和深度 的理 论 知识 和应 用 知识 ； 有 能力 方面 ， 不仅要 有 较强 的应用 能 力 ， 而且 要 有 较 强 的创 新 能力 ， 知识 和 能力不 仅要 够 用 和实 用 ， 且 还要 有 而 后劲 ， 能为 终 身 发展 提供 动 力 ； 质方 面 ， 养 学 生 素 培 实事 求是 的科学 态度 和 团 队协作 精 神 。社 会 需要 个 体 能 力和 团 队意识兼 备 的人才 ， 为此 ， 线 性代 数 ” “ 课
的运算 能力 、 象 思 维 能 力 和 逻 辑 推 理 能 力 。这 样 抽
才 符合 “ 以应 用 为 目的 ， 以够用 为度 ” 的原 则 ， 而提 从 高 学 生 分 析 和解 决 问题 的能 力 ， 学 习 后 续课 程 及 为 进 一步 扩大 数学 知识 面 奠定 必要 的数 学基 础 。为 了 这 一 目标 ， 我们不 断 努力 ， 力求 完 善 线性 代 数 的课 程 体系 ， 丰富 教材 内容 ， 照不 同层 次 需要 编 写 适合 的 按 教材 ， 同时 进行 了一 系列 的学 科教 学改 革和创 新 。
第２ ７卷 第 ８期 ２１ ０ １年 ８月
吉 林 工 程 技 术 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉ ｎ Ｔ ａ ｈ ｒ ｎ ｔ ｕ ｅ ｏ ｎ ｉ ｅ ｒｎ ｎ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｏ ｒ ａ ｆ ｌ ｅ ｃ ｅ ｓＩ ｓ ｔ ｔ ｆＥ ｇｎ ｅ ｉ ｇ ａ ｄ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ Ｊｉ ｉ
线性代数课程思政的教学实现
［摘要］高校立身之本在于立德树人，大学数学教学不仅仅是让学生获得专业知识和解决数学问题的能力，更应该让学生的价值观得到正确的引领。
深入挖掘线性代数课程本身的思政元素，包括挖掘线性代数课程里的中国智慧、中国贡献，借助特殊数字培养家国情怀，从代数学大师的故事中提炼价值观教育元素，揭示线性代数课程里蕴含的数学美等。
通过提升教师的思政育人能力，综合运用多种线上教育资源和现代教育工具，改革课程的考核方式，实现线性代数的思政育人功能。
［关键词］线性代数；课程思政；价值观；中国智慧［中图分类号］G642［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2022）03-0043-03线性代数课程思政的教学实现①张立华*，王岗伟，王钥（河北经贸大学数学与统计学学院，河北石家庄050061）一、引言新时代中国高等教育必须把立德树人作为教育的根本任务，培养什么人、怎样培养人、为谁培养人，是高校在人才培养过程中必须回答好的根本问题。
习近平总书记继2016年提出“各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应”之后，2019年3月再次指出，“要挖掘其他课程和教学方式中蕴含的思想政治教育资源，实现全员全程全方位育人”。
2020年4月，《教育部等八部门关于加快构建高校思想政治工作体系的意见》明确要求健全立德树人的教育体制机制，加快构建高校思想政治工作体系，详细规划了理论武装体系、学科教学体系、日常教育体系、管理服务体系、安全稳定体系、队伍建设体系、评估督导体系七个子体系。
由此，课程思政作为一种教育理念和新的课程观，已经在教育界形成共识，课程思政的教学实现与探索引起了广泛关注。
大学数学类课程授课对象人数多，涉及面广，而且课程本身非常重要，学生的重视程度高。
充分挖掘大学数学类课程中的思政教育元素，对形成三全育人的教学体系意义重大。
本文以线性代数课程为例，从挖掘课程本身的思政元素和教育措施的改革与创新两个方面讨论线性代数课程思政的教学实现。
《线性代数》教学大纲-华南理工大学思政学院
《×××××》教学大纲（如是双语或全英课程应提供中文和英文教学大纲）总学时：理论课学时：实验课学时：学分：一、课程的性质二、课程的目的与教学基本要求三、课程适用专业四、课程的教学内容、要求与学时分配（一）1.（1）a.1．理论教学部分按各章节列出主要内容，注明课程教学的难点和重点，对学生掌握知识的要求，以及学时的分配。
2．实验教学部分列出实验名称（实验项目）、学时分配，明确具体内容，对学生的要求等。
五、教材和主要参考资料六、课程考核方式备注：（如果有要求先修课程请在此处列出）《×××××》Course DescriptionTotal Hours：Lecture Hours：Experimental Hours：1.Characteristic of the Course“必修课”翻译为：Compulsory Course“选修课”翻译为：Elective Course2.Aim of the Course and the Basic Requirements3.Applicable Speciality4.Course content, Requirements and Hours Allocation（1）a.(1) Lecture按各章节列出主要内容，注明课程教学的难点和重点，对学生掌握知识的要求，以及学时的分配。
(2) Experiment列出实验名称（实验项目）、学时分配，明确具体内容，对学生的要求等。
5.Textbooks and Main Reference6.Evaluation MethodNotes：（如果有要求先修课程请在此处列出）示例：《线性代数》教学大纲总学时：32 学分：2一、课程的性质公共基础必修课程。
二、课程的目的与教学基本要求线性代数是高等学校本科生重要的公共基础课之一，通过这门课的学习，使学生获得比较全面的线性代数的基本知识和必要的基本运算技能；同时培养学生在运用数学理论分析问题和解决问题的能力，增加数学软件的学习，为学习有关专业基础知识和专业课程及扩大数学知识方面提供必要的数学基础。
多层次、多类别教学体系下代数系列课程教学改革的思考
二 、 调 不 同层 次 工 科 代 数 系 列 课 程 教 学 协 内容 及 其深 度 和 难 度
开设多层次 、 多类 别代数 系列 课程 ， 需要 关注 不 同层 次 的工科代数系列课 程之 间 的协调性 。不 同层 次 的工科代 数
系列课程教材 ， 一般 自包含性 较好 ， 但编 写时 往往 不会充 分
材对 两类 学 员 实 施 统 一 教 学 。如 果 使 用 同 一 本 教 材 实 施 教
当代科 学技 术 发展 的一 大特 点 是 ，近代 数学 的 思想 、
方 法 和 理 论 正 在 深 入 地 渗 透 进 自然 科 学 和 社 会 科 学 的 众 多
理论分支。“ 高技术本质 上是一种数学技术 ”的观念 已 日益 为 人 们 所 共 识 ｕ 。 因 此 ，就 高 校 学 生 的 数 学 教 育 而 言 ，必 Ｊ
同 学 科 门类 。本 文 以 国 防科 技 大 学 代 数 系列 课 程 建 设 为 例 ， 探讨 了多 层 次 、多 类 别 教 学 体 系 下 代 数 系 列 课 程 的建 设 与 教 学 改革 。
阵分析 ”使用 统一 教材授课 。但研 究生 的培养 重在创新 能 ，
力的培育 ， 工科 不 同专 业 的研究 生 对 于代 数 的需求 差别 较
考虑到与其它层次课程 的衔 接问题 。因此 ， 教学 中必须协 调 不同层次工科代数 系列课程 教学 内容及其深度 和难 度。
（） 观 协调 不 同层次 工科 代 数 系列课 程教 学 内容 １宏
由于代数课程 的高度 抽象 性 ， 在教学 内容 的安排 中 ， 应 该遵循 由易到难 、 由具 体到抽 象 的教学规 律 ， 宏观 协调不 同
须要求他们 接触 近 代数 学 ，了解 和熟 悉 近代 数学 的思 想 、 方 法 和 理 论 ，使 他 们 具 有 较 高 的 抽 象 能 力 和 建 模 能 力 ｊ 。 代 数 学 理 论 与 方 法 无 论 是 对 整 个 数 学 的 发 展 与 完 善 ，还 是
线性代数培训之收获对克莱姆法则的一个新教
线性代数培训之收获——对“克莱姆法则”的一个新教案有幸参加国家线性代数精品课程的培训，聆听李尚志老师的教诲，真是受益匪浅，感触很多。
李老师对数学的高深领悟，“空间为体，矩阵为用”，独创性的设计了线性代数新的教学内容体系，淋漓尽致的体现了代数与几何的内在联系，使人耳目一新。
李老师的启发式教学方法也是值得我们学习和借鉴，以问题为驱动，引入新概念，使学生对抽象的数学概念（如n 阶行列式、线性相关、线性无关、方程的秩等）有了形象的、感性的、更简洁、更深刻的理解.特别是用几何方法引入二阶行列式和三阶行列式，而且赋于其几何含义：二阶行列式和三阶行列式分别表示平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积，更一般n 阶行列式在几何上表示“n 维体的有向体积”,这样可以发挥学生的想象力，引导学生去发现更多，引导学生去发现数学定理，充分培养学生的创造性思维能力，一切是为了学生的发展，正如李老师所说评价教学的效果主要是看学生懂了没有，体现了以学生为本的教学理念。
对比本人对线性代数的理解以及教学实际，真是差距很大，觉得自己需要努力去奋斗。
这里就结合这次培训的体会和收获联系自己以往的线性代数教学实际，拟写一份教案，谈谈自己对“克莱姆法则”内容新的处理方式。
§7克莱姆法则一、教学内容(1) 克莱姆法则的证明(2) 克莱姆法则的应用二、教学要求（1）理解克莱姆法则的证明（2）理解非齐次线性方程组有唯一解的充分条件是它的系数行列式D ≠0;若D=0，方程组无解或有无穷多解（3）理解齐次线性方程组有非零解的必要条件是它的系数行列式D=0；若D ≠0，方程组只有零解 教学过程一、（定理1）克莱姆法则若n ×n 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,, ⑴ 的系数行列式D=,0212222111211≠nn n n nna a a a a a a a a则方程组⑴有唯一解：x 1=,1D D x 2=,2D D ,x n =DD n . ⑵其中D i (i=1,2, ,n)是把系数行列式D 中的第i 列的元素用方程组⑴右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即D i =nn i n n i n n ni i ni i a a b a a a a b a a a a b a a1,1,121,221,22111,111,111+-+-+-.证：先证明⑵式是方程组⑴的解.要证⑵式是方程组⑴的解，只需把它代入方程组⑴的第i 个方程，如果左端也等于b i ，则说明⑵确是方程组⑴的解.将⑵代入方程组⑴的第i 个方程的左端，并把D i 按照第i 列展开，第i 个方程的左端=a 1i D D 1+a 2i D D 2+ +a in D D n =D 1(a 1i D 1+a 2i D 2+ +a in D n ) =D1[ a 1i (b 1A 11+b 2A 21+ +b i A i1+ +b n A n1)+ a i2 (b 1A 12+b 2A 22+ +b i A i2+ +b n A n2)++a in (b 1A 1n +b 2A 2n + +b i A in + +b n A nn )] =D1[b 1(a i1A 11+a i2A 12+ +a in A 1n )+ b 2(a i1A 21+a i2A 22+ +a in A 2n )++b i (a i1A i1+a i2A i2+ +a in A in )++b n (a i1A n1+a i2A n2+ +a in A nn )] 根据行列式按行展开法则，可以看出，上面最后一式的方括中只有b i 的系数是D ，而其他b k (k ≠i)的系数都是零，从而第i 个方程的左端=a 1i D D 1+a 2i D D 2+ +a in DD n =D 1（b i D ）=b i =第i 个方程的右端, i=1,2, ,n.故⑵确是方程组⑴的解.再证明解的唯一性.若方程组⑴还有一个解：x 1=c 1 , x 2=c 2 , , x n =c n ⑶只要证明⑶与⑵相同即可.将⑶代入方程组⑴，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b c a c a c a b c a c a c a b c a c a c a 22112222212111212111,, ⑷ 现在构造一个新的行列式c 1 D=nn n n nna a c a a a c a a a c a211222*********（即在D 的第1列乘以c 1）给此行列式的第2，3， ，n 列分别乘以c 2，c 3, ,，c n 后都加到第1列，得c 1D= nn n n nn n n nn n nn n a a c a c a c a a a c a c a c a a a c a c a c a2221122222221211121212111+++++++++根据⑷式，得c 1D=nnn n nna ab a a b a a b222221121=D 1, 因为 D ≠0,所以 c 1=D D 1. 同理可证，c 2=D D 2, , c n =D D n . 唯一性得证.（说明：我们学校现使用同济大学数学教研室编《工程数学：线性代数（第三版）》，其中克莱姆法则的证明（现略）,笔者认为，有以下几点值得商榷和改进：一是先证明解的唯一性，后验证解的存在性，是否符合思维逻辑？因为没有解的存在性这个前提，怎么谈解的唯一性？二是在解的唯一性的证明中所用的技巧很强与前面行列式的性质联系不够，教学实践也证明学生难以理解，而且不具备数学中证明很多“唯一性”问题的一般方法.因为一个好的方法应是一般性的、具有“以不变应万变”的功效，而且应充分利用学生已知的知识，化未知为已知，这是非常重要的数学思想方法。