2014-2015年沪教版初二数学暑假作业四边形证明题有答案
沪科版八年级数学暑假作业(十二)含答案
初中八年级数学（沪科版）多媒体暑假作业（十二）一. 相信自己.1.设215+=x ,则431x x x ++=_1_. 2．如果 x 2 －2（m ＋1）x ＋m 2＋5 是一个完全平方式,则m ＝ 1；3．若方程 x 2＋mx －15 ＝ 0 的两根之差的绝对值是8,则m ＝2；4．若方程 x 2－x ＋p ＝ 0 的两根之比为3,则 p ＝163.5.将一条长为20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是12.5cm 2．二．择优录用.1．三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程212350x x -+=的根,则该三角形的周长为（ B ）A ．14B ．12C ．12或14D ．以上都不对2.为了改善居民住房条件,我市计划用未来两年的时间,将城镇居民的住房面积由现在的人均约为210m 提高到212.1m ，若每年的年增长率相同,则年增长率为（ B ）A ．9%B ．10%C ．11%D ．12%3. 如图,在平行四边形ABCD 中,AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根,则平行四边形ABCD 的周长为（ A ）A ．422+B ．1262+C ．222+D ．221262++或4. 设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根,则22a a b ++的值为（ C ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20095．若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根,则m +n 的值为（ D ）A.1B.2C.-1D.-26．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12x x ，,且2212x x +=24,则k 的值是（ D ）A ．8B ．7-C ．6D ．57．对于任意的实数x ,代数式x 2－5x ＋10的值是一个（ B ）A.非负数B.正数C.整数D.不能确定的数8．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝ 0 （a ≠0） 的两根之比为2：3,那么a 、b 、c 间的关系应当是 （ C ）A.3b 2＝8ac B.a c ab 2325922= C.6b 2＝25ac D.不能确定 9．已知方程3x 2＋2x －6 ＝ 0 ,以它的两根的负倒数为根的新方程应是（ D ）A.6x 2－2x ＋1＝0B.6x 2＋2x ＋3＝0C.6x 2＋2x ＋1＝0D.6x 2＋2x －3＝0三．挑战奥数.A DC EB环境保护表扬建议房产建筑道路交通其他投诉奇闻铁事40%35%30%25%20%15%10%5%01.如图所示,求矩形ABCD 与梯形ABEF 面积的差20E(6,3)F(3,3)C(8,5)D(1,5)B(8,0)A(1,0)y xO2.如图,是某晚报“百姓热线”一周内接到的热线电话的统计图,其中有关环境保护问题最多,共有70个,请回答下列问题：(1)本周“百姓热线”共接到热线电话200个; (2)有关交通问题的电话有40_个．四．趣味数学.1．在直角坐标系中点P(2x-6,x-5)在第四象限,则x 的取值范围是( A )A.3<x<5B.-3<x<5C.-5<x<3D.-5<x<-32．一列数：0,1,2,3,6,7,14,15,30．……这串数是由小明按照一定规则写下来的,他第一次写下“0,1”,第二次按着写“2,3”,第三次接着写“6,7”第四次接着写“14,15”,就这样一直接着往下写,那么这串数的最后三个数应该是下面的（ B ）A．31,32,64; B．31,62,63; C．31,32,33; D．31,45,46五、动动脑筋.本游戏的游戏规则很简单,求三角形的内角和,游戏时,你先要拼出三角形图形,然后再把三个度数相加等于180度的小圆球拖到三角形的三个角上就可以了.游戏共分为三关,每关都有时间限制！不过你有四次机会.专题一 图形平移中的规律探究题1.）在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O 出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．（1）填写下列各点的坐标：A 4（ , ）,A 8（ , ）,A 12（ , ）； （2）写出点A 4n 的坐标（n 是正整数）；（3）指出蚂蚁从点A 100到点A 101的移动方向．2.如图所示,矩形ABCD 的顶点坐标分别为A (1,1),B (2,1),C (2,3),D (1,3).(1)将矩形ABCD 向上平移2个单位,画出相应的图形,并写出各点的坐标；(2)将矩形ABCD 各个顶点的横坐标都减去3,纵坐标不变,画出相应的图形；(3)观察（1）、（2）中的到的矩形,你发现了什么？3.在直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的位置如图所示,现将△ABC 平移使得点A 移至图中的点A ′的位置．(1)在直角坐标系中,画出平移后所得△A′B′C′（其中B ′、C ′分别是B 、C 的对应点）．(2)计算：对应点的横坐标的差：=-A A x x ' ,=-B B x x ' ,=-C C x x '；对应点的纵坐标的差：=-A A y y ' ,=-B B y y ' ,=-C C y y ' .(3)从（2）的计算中,你发现了什么规律？请你把发现的规律用文字表述出来．(4)根据上述规律,若将△ABC 平移使得点A 移至A ″（2,-2）,那么相应的点B ″、C ″（其中B ″、C ″分别是B 、C 的对应点）的坐标分别是 、 ．O 1 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7A 8 A 9 A 10A 11 A 12 xy专题二 图形平移中的规律探究题4.初三年级某班有54名学生,所在教室有6行9列座位,用（m ,n ）表示第m 行第n 列的座位,新学期准备调整座位,设某个学生原来的座位为（m ,n ）,如果调整后的座位为（i ,j ）,则称该生作了平移[a ,b ]=[m - i ,n - j ],并称a +b 为该生的位置数.若某生的位置数为10,则当m +n 取最小值时,m •n 的最大值为 .5.国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种. 国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格,而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图甲是一个4×4的小方格棋盘,图中的“皇后Q ”能控制图中虚线所经过的每一个小方格.(1)在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后Q ”,她所在的位置可用“（2,3）”来表示,请说明“皇后Q ”所在的位置“（2,3）”的意义,并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q ”所控制的四个位置.(2)如图丙也是一个4×4的小方格棋盘,请在这个棋盘中放入四个“皇后Q ”,使这四个“皇后Q ”之间互不受对方控制（在图丙中的某四个小方格中标出字母Q 即可）.【知识要点】1.点的平移变换与坐标的变化规律是：点(x ,y )右（左）移m 个单位,得对应点(x ±m ,y ),点(x ,y )上（下）移n 个单位,得对应点(x ,y ±n ).2.图形的平移变换与坐标的变化规律一般是通过从图形中特殊点,转化为点的平移变换解决.【温馨提示】1.平移只改变物体的位置,不改变的物体的形状和大小,因此,平移前后图形的面积不变.2.一个图形进行平移,这个图形上所有的点的坐标都要发生相应的变化;反之,如果图形上的点的坐标发生变化,那么这个图形进行了平移.【方法技巧】1.点的平移与其坐标的变化规律是解决平移问题的关键,平移的方向决定了坐标是加还是减,平移的距离决定了加(或减)的数值.2.作平移后的图形时,可先作出平移后图形中某些特殊点,然后再连结即可得到所需要1 2 3 4 1 2 3 4 Q 甲 1 2 341 2 3 4 Q 行 列乙 1 2 3 4 1 2 3 4 丙 第5题图的图形.参考答案1.⑴ A 4（2,0）； A 8（4,0）； A 12（6,0）； ⑵ A 4n （2n ,0）；⑶ 向上．2.(1)将矩形向上平移2个单位,画出图形（略）,矩形相应点的坐标为11(1,3),(2,3)A B ,11(2,5),(1,5)C D .(2) 22(2,1),(1,1)A B --,22(1,3),(2,3)C D --.图形略.（3）发现（1）、（2）中的两图形形状、大小完全相同.3.(1)平移后的图形如图; (2)5 5 5 1 1 1(3)对应点的横坐标的差都相等；对应点的纵坐标的差都相等（保持不变）;(4)（4,-3）,（6,0）.4.36 提示:由已知,得a +b =m -i +n -j ,即m -i +n -j =10,所以m +n =10+i +j ,当m +n 取最小值时,i +j 最小为2,所以m +n 的最小值为12,因为m +n =12=3+9=4+8=5+7=6+6=…,m •n 的最大值为6×6=36．5.(1)说明皇后在第2列,第3行的位置,不能被控制的位置有(4,4),(1,1),(3,1),(4,2);(2)放在如(1,2),(2,4),(3,1),(4,3)四个位置.。
沪教版初二数学暑假作业四边形证明题有答案
四边形证明题1、已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，∠BAE =∠DAF ． （1）求证：BE = DF ；（2）联结AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，联结EM 、FM ．求证：四边形AEMF 是菱形．2、如图8，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥， E 、G 分别是AB 、CD 的中点，点F 在边BC 上，且)(21BC AD BF +=． （1）求证：四边形AEFG 是平行四边形； （2）联结AF ,若AG 平分FAD ∠，求证：四边形AEFG 是矩形．3、如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =AB =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE=CF ，AF 、BE 交于点P 。
（1）求证：AF=BE ；（2）请猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论。
4、如图，在矩形ABCD 中，BM ⊥AC ，DN ⊥AC ，M 、N 是垂足.（1）求证：AN =CM ；（2）如果AN =MN =2，求矩形ABCD 的面积.5.如图.在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点A DBEF O CM第1题图B EA D GC F（第2题图）E 为线段BC 延长线上的一点，且BC CE 21=.过点E 作EF ∥CA ，交CD 于点F ，联结OF .（1）求证：OF ∥BC ；（2）如果梯形OBEF 是等腰梯形，判断四边形ABCD 的形状， 并给出证明.6、如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，DE 与CF 相交于G ，DE 、CB 的延长线相交于点H ，点M 是CG 的中点． 求证：（1）BM//GH ； （2）BM ⊥CF ．7．已知：如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAD ，交BF 于点C ，BD 平分∠ABC ，交AE 于点D ，联结CD .求证：四边形ABCD 是菱形．8．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，DE 与CF 相交于G ，DE 、CB 的延长线相交于点H ，点M 是CG 的中点.求证：（1）//BM GH (2)BM CF ⊥（第6题）FO EDC BA第21题图9．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，点E 、F 在边BC 上，BE =CF ，EF =AD ．求证：四边形AEFD 是矩形．10．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边ABCD 的中点，BD 是对角线，过A 点作AG //DB 交CB 的延长线于点G ．（1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G ＝90 ，求证：四边形DEBF 是菱形．11．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =2AD ，AC ⊥AB ，点E 是AC 的中点，DE的延长线与边BC 相交于点F ．求证：四边形AFCD 是菱形．12．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）（1）试判断线段AD 与BC 的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；w W w . （2）现有三个论断：①AD = AB ；②∠B +∠C= 90°；③∠B = 2∠C ．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD 是菱形．四边形证明题答案1．证明：（1）∵正方形ABCD ，∴AB=AD ，∠B =∠D =90°…………………………（2分）∵∠BAE = ∠DAFA E F C D （第9题）（第11题图）F∴△ABE ≌△ADF ……………………………………………………………（1分） ∴BE = DF ……………………………………………………………………（2分） （2）∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠DAC ………………………………………（1分） ∵∠BAE =∠DAF ∴∠EAO =∠FAO ……………………………………（1分）∵△ABE ≌△ADF ∴AE = AF …………………………………………（1分） ∴EO=FO ，AO ⊥EF …………………………………………………………（2分） ∵OM = OA ∴ 四边形AEMF 是平行四边形……………………………（1分） ∵AO ⊥EF ∴四边形AEMF 是菱形……………………………………（1分） 2．（1）证明：联结EG ，∵ 梯形ABCD 中，AD BC ∥，且E 、G 分别是AB 、CD 的中点， ∴ EG //B C ，且)(21BC AD EG +=，…………………………（2分） 又∵)(21BC AD BF +=- 第-一-网 ∴ EG =BF ．……………………………………………………（1分） ∴ 四边形AEFG 是平行四边形．…………………（2分）（2）证明：设AF 与EG 交于点O ， ∵ EG //AD ，∴∠DAG =∠AGE∵AG 平分FAD ∠，∴∠DAG =∠GAO ∴∠GAO =∠AGE∴ AO=GO ．………………………………（2分）∵四边形AEFG 是平行四边形，∴ AF =EG ，四边形AEFG 是矩形…………………………（2分）3．证明：（1）∵梯形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC∴ ∠BAE=∠ADF ………………………………………………（1分）∵AD = DC ∴ AE=DF …………………………………………（1分）∵BA=AD ∴△BAE ≌△ADF ， …………………………………（1分） ∴BE=AF ． …………………………………………………………（1分） （2）猜想∠BPF=120°．……………………………………………………（1分）∵由（1）知△BAE ≌△ADF ，∴∠ABE=∠DAF ．…………………（1分） ∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE ．……………………………………（1分） 而AD ∥BC ，∠C=∠ABC=60°，∴=120°．∴∠BPF=∠BAE =120°．………………………………………………（1分）4、证：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD =BC . ∴∠DAC =∠BCA .又∵DN ⊥AC ，BM ⊥AC ， ∴∠DNA =∠BMC .∴⊿DAN ≌⊿BCM , ---------------------------------------------------（3分）∴AN =CM . ---------------------------------------------------------------（1分）（2）联结BD 交AC 于点O ， ∵AN = NM =2,∴AC = BD =6,又∵四边形ABCD 是矩形， ∴AO =DO =3，在⊿ODN 中，OD =3，ON =1，∠OND =︒90,∴DN =2222=-ON OD ,--------------------------------------（2分） ∴矩形ABCD 的面积=212=⨯DN AC .-----------------------（1分）5.解：（1）方法1：延长EF 交AD 于G （如图1）.……………1分 在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AD =. ∵EF ∥CA ，EG ∥CA ， ∴四边形ACEG 是平行四边形. ∴ CE AG =.……………1分|又∵BC CE 21=，BC AD =，∴ GD AD BC CE AG ====2121.……………1分∵AD ∥BC ，∴ECF ADC ∠=∠. 在CEF △和DGF △中，∵DFG CFE ∠=∠，ECF ADC ∠=∠，DG CE =，∴CEF △≌DGF △（A.A.S ）. ∴DF CE =.…………………1分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD OB =.∴OF ∥BE . ………………1分 方法2：将线段BC 的中点记为G ，联结OG （如图2）. ………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD OB =.∴OG ∥CD . …………1分 ∴FCE OGC ∠=∠.∵EF ∥CA ，∴FEC OCG ∠=∠.∵BC GC 21=，BC CE 21=，∴CE GC =.在OGC △和FCE △中，∵FEC OCG ∠=∠，CE GC =，FCE OGC ∠=∠，AB（第5题图1）DCOEFGAB（第5题图2）DC OEFG∴OGC △≌FCE △（A.S.A ）. …………………1分 ∴FC OG =. 又∵OG ∥CF ，∴四边形OGCF 是平行四边形. …………………1分∴OF ∥GC . …………………1分 其他方法，请参照上述标准酌情评分.（2）如果梯形OBEF 是等腰梯形，那么四边形ABCD 是矩形. ……………1分 ∵OF ∥CE ，EF ∥CO ，∴四边形OCEF 是平行四边形. ∴OC EF =.……………1分又∵梯形OBEF 是等腰梯形，∴EF BO =. ∴OC OB =.（备注：使用方法2的同学也可能由OGC △≌FCE △找到解题方法；使用方法1的同学也可能由四边形ACEG 是平行四边形找到解题方法）. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OC AC 2=，BO BD 2=. ∴BD AC =.……………1分∴平行四边形ABCD 是矩形. ……………1分6．证明：（1）∵在正方形ABCD 中，AD //BC ，∴∠A =∠HBE ，∠ADE =∠H ，…（1分）∵AE =BE ，∴△ADE ≌△BHE ．………………………………………（1分） ∴BH =AD =BC ．…………………………………………………………（1分） ∵CM =GM ，∴BM //GH ．………………………………………………（1分）（2）∵在正方形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠A =∠ADC =90º，又∵DF =21AD ，AE =21AB ，∴AE =DF ．∴△AED ≌△DFC ．………（1分） ∴∠ADE =∠DCF ．………………………………………………………（1分） ∵∠ADE +∠GDC =90º，∴∠DCF +∠GDC =90º．∴∠DGC =90º．…（1分） ∵BM //GH ，∴∠BMG =∠DGC =90º，即BM ⊥CF ．…………………（1分）7、证明：∵AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC=∠CAD .又 ∵AE ∥BF ， ∴∠BCA=∠CAD . --------------------------1分 ∴∠BAC=∠BCA .∴ AB=BC . --------------------1分 同理可证AB=AD .∴ AD=BC . ----------------------1分 又 AD ∥BC ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形. -----1分 又AB=BC ，∴□ABCD 是菱形. -----1分 8. 证明：（1）∵正方形ABCD ∴90A EBH ∠=∠=︒AD BC =…………1′∵E 是AB 的中点 ∴ AB BE =…………1′ ∵AED BEH ∠=∠∴AED BEH ≅…………1′∴AD BH = ∴BC BH =…………1′ ∵M 是CG 的中点 ∴//BM GH …………1′(2)证AED CDF ≅ …………1′ ∴ADE DCF ∠=∠ ∵90DCF CDE ∠+∠=︒ ∴90CGH ∠=︒ ………1′ ∵//BM GH ∴90CMB CGH ∠=∠=︒ ∴BM CF ⊥ …………1′9．证法一： ∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，又∵EF =AD∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………………………（1分） ∴AD //DF ，∴∠AEF =∠DFC ．………………………………………（1分）∵AB =CD ，∴∠B =∠C ．………………………………………………（1分） 又∵BE =CF ，∴△ABE ≌△DCF ．……………………………………（1分） ∴∠AEB =∠DFC ，……………………………………………………（1分） ∴∠AEB =∠AEF ．………………………………………………………（1分） ∵∠AEB +∠AEF =180º，∴∠AEF =90º．……………………………（1分） ∴四边形AEFD 是矩形．………………………………………………（1分）证法二： 联结AF 、DE ．…………………………………………………………（1分）∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，又∵EF =AD ，∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………………………（1分）∵AB =CD ，∴∠B =∠C ．………………………………………………（1分） ∵BE =CF ，∴BE +EF =CF +EF ，即BF =CE ，…………………………（1分） ∴△ABF ≌△DCE ．……………………………………………………（1分） ∴AF =DE ，………………………………………………………………（2分） ∴四边形AEFD 是矩形．………………………………………………（1分）10、证明：（1）∵□ABCD ，∴A B ∥CD ，AB ＝CD -----------------------------------1分 ∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB∴DF ∥BE ，DF ＝BE ---------------------------------------------------------------------1分 ∴四边形DEBF 为平行四边形∴DE ∥BF -----------------------------------------------------------------------------------1分 (2)证明：∵AG ∥BD ，∴∠G ＝∠DBC ＝90°，∴∆DBC 为直角三角形---1分 又∵F 为边CD 的中点．∴BF ＝12DC ＝DF ------------------------------------------1分又∵四边形DEBF 为平行四边形，∴四边形DEBF 是菱形----------------------1分11．证明：∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，∴∠DAE =∠FAE ，∠ADE =∠CFE ．……（1分）又∵AE =EC ，∴△ADE ≌△CFE ．…………………………………………（1分） ∴AD =FC ，…………………………………………………………………（1分） ∴四边形AFCD 是平行四边形．……………………………………………（1分）∵BC =2AD ，∴FC =AD =21BC ．……………………………………………（1分） ∵AC ⊥AB ，∴AF =21BC ．…………………………………………………（1分） ∴AF =FC ，……………………………………………………………………（1分） ∴四边形AFCD 是菱形．……………………………………………………（1分）12．（1）解：线段AD 与BC 的长度之间的数量为：3BC AD =．…………………（1分）证明：∵ AD // BC ，DE // AB ，∴ 四边形ABED 是平行四边形．∴ AD = B E ．………………………………………………………（2分） 同理可证，四边形AFCD 是平行四边形．即得 AD = FC ．……（1分） 又∵ 四边形AEFD 是平行四边形，∴ AD = EF ．……………（1分） ∴ AD = BE = EF = FC ．∴ 3BC AD =．……………………………………………………（1分）（2）解：选择论断②作为条件．…………………………………………………（1分）证明：∵ DE // AB ，∴ ∠B =∠DEC ．…………………………………（1分）∵ ∠B +∠C = 90°，∴ ∠DEC +∠C = 90°．即得 ∠EDC = 90°．………………………………………………（2分） 又∵ EF = FC ，∴ DF = EF ．……………………………………（1分） ∵ 四边形AEFD 是平行四边形，∴ 四边形AEFD 是菱形．…………………………………………（1分）。
沪教版八年级下册数学第二十二章 四边形含答案
沪教版八年级下册数学第二十二章四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列度数不可能是多边形内角和的是（）A.360°B.720°C.810°D.2 160°2、如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF ∶S△AOB的值为( )A.1∶3B.1∶5C.1∶6D.1∶113、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x-3=0的根，则平行四边形ABCD的面积为（）A.4B.3C.2D.14、在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（）A. 长方形B.平行四边形 C.菱形 D.直角梯形5、如图，□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，若添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（）A.∠1＝∠2B.∠3＝∠4C. BE＝DFD. AF＝CE6、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，∠B＝60º，BC＝2cm，则梯形ABCD的面积为（）A. cmB.6 cmC. cmD.12 cm7、已知一个n边形的每个外角都等于，则n的值是A.5B.6C.7D.88、能判断平行四边形是菱形的条件是（）A.一个角是直角B.对角线相等C.一组邻角相等D.对角线互相垂直9、顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形①平行四边形；②菱形；③对角线互相垂直的四边形；④对角线相等的四边形，满足条件的是（）A.①③④B.②③C.①②④D.①②③10、下列说法：①如果一个四边形任意相邻的两个内角都互补，那么这个四边形是平行四边形；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；④如果AC，BD是四边形ABCD的对角线，且AC垂直平分BD，那么四边形ABCD是菱形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定满足（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线相等且相互平分12、如图，若平行四边形ABCD中，AB=6，AD=4，∠B=150°，则平行四边形ABCD的面积为（）A.6B.12C.12D.2413、如图，用等式表示∠1、∠2、∠3与∠4之间的数量关系正确的是（）A.∠1+∠2+∠3+∠4＝360°B.∠1+∠2+∠3＝360°+∠4C.∠1+∠2＝∠3﹣∠4D.∠1+∠2＝∠3+∠414、如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为（）A. B. C. D.15、如图，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，那么△AEG的面积的值（）A.与m、n的大小都有关B.与m、n的大小都无关C.只与m的大小有关D.只与n的大小有关二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在矩形ABCD中，AB=2 ，AD=4，点E是BC边上一个动点，连接AE，作DF⊥AE于点F，当BE的长为________时，△CDF是等腰三角形．17、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，以AB为直径作⊙O，在直线BC上取点P，使得⊙O上的动点E到点P的最小距离为，则DP的长为________.18、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=________°.19、如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处.若∠1＋∠2＝140°，则∠B＋∠C＝________°.20、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，AH⊥CD于H，M为AD的中点，MN∥AB，连接NH，如果∠D=68°，则∠CHN=________．21、把正五边形和正六边形按如图所示方式放置，则∠a=________。
四边形证明题1(已整理)
OEDCBA八年级四边形几何证明题（一）1、已知：如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，，过点A 作BC 的平行线交与BE 的延长线于点F ，且DC AF =,联结CF ． （1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AC AB =，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．2、已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，AC 平分∠DAB ，点E 为AC 的中点． 求证：DE =BC 21．3、如图，在ABC ∆中，,AC AB =点D 与E 分别是边AC 、AB 上的点，且DE ∥BC ，O 是BD 与CE 的交点. （1）求证：ACE ABD ∠=∠；（2）试问：OA 与DE 的位置关系如何？并加以论证.4、已知：如图，△ABC 与△BDE 都是正三角形，且点D 在边AC 上，并与端点A 、C 不重合．求证：（1）△ABE ≌△CBD ；（2）四边形AEBC 是梯形．5、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，O 是斜边AB 上的中点，E为AC 的中点，BF ∥AC.(1)求证：△AOE ≌△BOF ；(2)求证：四边形BCEF 是矩形.6、如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、AD 边上且AE =CG ，AH =CF ．(1) 求证：四边形EFGH 是平行四边形； (2) 如果AB =AD ，且AH =AE ，求证：四边形EFGH 是矩形．AECBFDDABCEABCDEFH E G CD ABFEDCB A FEDCBAN M7、如图(1),在ABC ∆和EDC ∆中，AC CE CB CD ===，90ACB ECD ∠=∠=︒, AB 与CE 交于F ，ED 与AB BC 、分别交于M H 、. (1)求证CF CH =；(2)如图(2)，ABC ∆不动，将EDC ∆绕点C 旋转到45BCE ∠=︒时，试判断四边行ACDM是什么四边形？并证明你的结论.8、如下左图,在菱形ABCD 中，AE BC ⊥，AF CD ⊥，垂足为E F 、. （1）求证：ABE ADF ∆∆≌；（2）若BAE EAF ∠=∠，求证：AE BE =；（3）若对角线BD 与AE AF 、交于点M N 、，且BM MN =（如右图）.求证：2EAF BAE ∠=∠.9、已知：如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，CE 、AF 与对角线BD 分别相交于点G 、H ．（1） 求证：DH =HG =BG ；（2） 如果AD ⊥BD ，求证：四边形EGFH 是菱形．（图1） （图2）DC B E A H M FED C BA FH M ABCDEGFH10、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是BC 的中点，BEA DEA ∠=∠，联结AE 、BD 相交于点F ，BD CD ⊥.（1）求证：AE CD =；（2）求证：四边形ABED 是菱形.11、已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，BC =CD ，BE ⊥CD ，垂足为点E ，点F 在BD 上，联结AF 、EF ．（1）求证：AD =ED ；（2）如果AF ∥CD ，求证：四边形ADEF 是菱形． 12、已知：如图，在△ABC 中，M 是边AB 的中点，D 是边BC 延长线上一点，BC DC 21=，DN ∥CM ，交边AC 于点N ．（1）求证：MN ∥BC ；（2）当∠ACB 为何值时，四边形BDNM 是等腰梯形？并证明你的猜想．13、如图，等腰三角形ABC 中，AB AC =，AH 垂直BC ， 点E 是AH 上一点，延长AH 至点F ，使FH =EH ， （1）求证：四边形EBFC 是菱形；（2）如果BAC ∠=ECF ∠，求证：AC CF ⊥．14、已知：如图，BE 、BF 分别是ABC ∠与它的邻补角ABD ∠的平分线，AE ⊥BE ，垂足为点E ，AF ⊥BF ，垂足为点F ，EF 分别交边AB 、AC 于点M 和N ．求证：（1）四边形AFBE 是矩形；（2）BC MN 21=．A BCDEF A BCD EF ABMNDCH FECBAABCFEM ND15、如图，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，点O 为边AC 的中点，点D 为 边AB 上一点，过点C 作AB 的平行线，交DO 的延长线于点E ． （1）证明：四边形ADCE 为平行四边形； （2）当四边形ADCE 为怎样的四边形时，AD =BD ，并加以证明．16、已知ABC ∆中，点D E F 、、分别是线段AC BC AD 、、的中点，连FE ED BF 、，的延长线交ED 的延长线于点G ，联结GC 。
上海市2015年八年级四边形习题合集(word版有答案,全国通用)
四边形习题合集 知识梳理☆ 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
☆ 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
图形性质定理判定定理平行四边形1.对边相等 1.两组对边相等的四边形是...2.对角相等2.两组对角分别相等的四边形是...3.两条对角线相互平分 3.对角线相互平分的四边形是...4.中心对称，对称中心是两条对角线的交点 4.一组对边平行且相等的四边形是...矩形1.四个角都是直角 1.有三个内角是直角的四边形是...2.两条对角线相等 2.对角线相等的平行四边形是... 菱形1.四条边都相等 1.四条边都相等的四边形是...2.对角线相互垂直，且平分一组对角 2.对角线相互垂直的平行四边形是...正方形1.四个内角都是直角，四条边都相等 1.有一组邻边相等的矩形是...2.两条对角线相等且互相垂直，并平分一组对角2.有一个内角是直角的菱形是... 等腰梯形1.同一个底边上的两个内角相等1.在同一个底边上的两个内角相等的梯形是...2.两条对角线相等2.对角线相等的梯形是...一．基础部分1.如图1-1-1，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 边上的中点，若∠ABE=∠EBC ，AB=2，则平行四边形ABCD 的周长是__________.2.如图1-1-2，在矩形ABCD 中，DC=2BC ，在DC 上取一点E ，使EB=AB ，联结EA ，则∠DAE=_______.3.如图1-1-3，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=45°，则点D 的坐标为_______.图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 4.已知菱形有一个锐角为60°，一条对角线长为6cm ，则它的面积为__________ .5.已知正方形的对角线长为a ，若对角线的长增加a 21，则所得新正方形的面积比原正方形的面积增加了__________ .6.若菱形ABCD 的周长为12cm ，相邻两角的比为5:1，那么菱形对边间的距离为__________ .7.如图1-1-4，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到点E ，使AE=AC ，则∠BCE 的度数是__________ .8.如图1-1-5，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足分别为E ，DE=6cm ，DE:AE=3：4，则菱形ABCD 的面积是__________.9.如图1-1-6，等边△AEF 与菱形ABCD 有一公共顶点A ，且AB=AE ，△AEF 的顶点E 、F 分别在菱形的BC 、CD 边上，则菱形ABCD 相邻的两个内角的度数为__________ ；__________ .图1-1-4 图1-1-5 图1-1-610.已知等腰梯形的一条对角线平分锐角，这条对角线又将中位线分成10cm和18cm两段，则这个梯形的周长为__________ cm.11.已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC⊥BD，垂足为O，AD=5，BC=9，梯形ABCD的面积为__________ .12.如图1-1-7，已知EF是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为4cm²，则梯形ABCD的面积为__________ cm².13.如图1-1-8，在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A+∠B=90°，若AB=10，AD=4，DC=5，则梯形ABCD的面积为__________ .14.如图1-1-9，已知等腰梯形ABCD的上底CD等于一腰长，下底等于对角线AC 的长，则等腰梯形的各个内角为__________ .图1-1-7图1-1-8 图1-1-9 图1-1-1015.如图1-1-10，在梯形ABCD中AD∥BC，AD=4cm，DE∥AB，梯形ABCD的周长为34cm，则△DEC的周长为__________ .16.在梯形ABCD中，下底AB=12，上底CD=4，腰AD=6，BC=x，x的取值范围是__________ .17.如图1-1-11，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD=CD，∠BDC=90°,AD=3，BC=8，则AB的长为_______.18.如图1-1-12，在梯形ABCD中AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB的中点，EF∥DC交BC于F，则EF的长为__________.图1-1-11 图1-1-12 图1-1-13 图1-1-14 19.如图1-1-13，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，∠BCD=45°，将腰CD 以点D 为中心按逆时针方向旋转90°至ED ，连AE 、CE ，则△ADE 的面积为______.20.如图1-1-14，菱形ABCD 的两条对角线分别长为6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是__________. 21.如图1-1-15，在矩形ABCD 中，AB=16，BC=8，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，且CE 与AB 交于点F ，那么AF 的长为__________.22.如图1-1-16，在矩形ABCD 中，AE 平分∠DAB ，∠1=30°，则∠BEO=__________.图1-1-15 图1-1-16如图1-2-1，已知平行四边形ABCD 的对角线BD=4cm ，将平行四边形ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，则点D 所转过的路径长为（ ）A. 4πcmB. 3πcmC. 2πcmD. πcm 2.已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①AB ∥CD ；②AB=CD ；③BC ∥AD ；④BC=AD 。
2015八年级数学暑假作业答案大全
词汇阅读是关键 08年考研暑期英语复习全指南07考研的硝烟还未散去，08考研的战鼓已依稀可闻。
英语作为研究生入学考试的一个必考科目，被一些考生视为是横在自己考研路上的一座大山，艰难但又不得不去攀越。
既然很多前辈已经通过，那对要在2021年攀越这座高峰的考生同学们来说，吸取前人之经验，避免一些冤枉路，应该是一条明智的选择。
海文为了让各位考生少走弯路，在英语的学习路上取得一步一个脚印的进展，我们把多年来积累的经验向大家进行一个综合的阐释，给大家指明一条征服英语高山的捷径。
考研英语爬大山，词汇、阅读是关键第一步：贮备好足量的词汇1.1持久战：长期坚持从07年7月份开始，一直到08年的1月份考试前，在这10个月的时间里，需要考生对英语单词开始进行一个持久攻坚战了。
冰冻三尺，非一日之寒，英语词汇的学习是一个长期积累的过程。
考研大纲规定的五千多的词汇与词组中，各位考生在从中小学到现在基本已经掌握了一千到三千的词汇量了；有些考生的词汇量在之前由于冲刺贮备了一些，已经超过大纲的要求了。
但我在这里要强调的一点是，不论在之前的词汇量有多大，在考前的这几个月内，都不能放松对词汇的学习。
1.2背诵技巧：结合文章，删旧词、背新词做英文试题或者阅读英语文章时候，如果没有主动去对试题或文章中的陌生单词进行单独记忆或背诵的话，这些单词也不能成为自己的。
所以在背诵单词的时候，将单词拿到一个句子当中，甚至结合整篇文章去理解与背诵，就会发现效果会非常的好。
一般来讲，对大纲词汇的记忆，最好达到90%以上，减去自己已有的词汇量，还有两千到三千的新的单词需要去背诵。
在背诵过程中，可以随时将自己词汇表中或手中卡片本中的已记住的旧词汇进行删除，而只留下未记住词汇，以加速记忆。
1.3 阅读与做题中遇到的新词：能记就记需要注意的一点是，背诵单词不是单独进行的。
背诵单词的同时，也会进行英语阅读以及做一些历年真题试卷以及08年模拟考卷，这时候遇到的一些新的单词，也需要大家去记忆，这些地方遇到的单词和词汇书上的单词会重叠一部份，没关系，权当是又加深了一遍记忆。
四边形证明(习题及答案)
四边形证明（习题）➢例题示范例1：如图，在□ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接AE 并延长，交DC 的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE．（2）连接AC，BF，若∠AEC=2∠D，求证：四边形ABFC 为矩形．【思路分析】①读题标注：②梳理思路：（1）在□ABCD 中，AB∥CD，因为E 是BC 边的中点，平行夹中点结构，所以△ABE≌△FCE．（2）由（1）可得，AB=FC，因为AB∥FC，所以四边形ABFC 是平行四边形．要证四边形ABFC 为矩形，根据题目中已有的条件选择判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形．由三角形外角定理和等角对等边得到AE=BE=CE，由定理“如果三角形的一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，得∠BAC=90°，故四边形ABFC 为矩形．【过程书写】证明：如图，（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB∥CD∴∠1=∠2∵E 是BC 边的中点∴BE=CE∵∠3=∠4∴△ABE≌△FCE（ASA）（2）∵△ABE≌△FCE∴AB=FC∵AB∥FC∴四边形ABFC 为平行四边形∴∠D=∠1∵∠AEC=2∠D∴∠AEC=2∠1∵∠AEC 是△ABE 的一个外角∴∠AEC=∠1+∠5∴∠1=∠5∴AE =BE=CE∴∠BAC=90°∴四边形ABFC 为矩形➢巩固练习1.如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，点E，F 在边BC 上，且AB∥DE，AF∥DC，四边形AEFD 是平行四边形．（1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由．（2）当AB=DC 时，求证：平行四边形AEFD 是矩形．2.如图，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC，BD 的交点，过点O的直线分别交AB，CD 的延长线于点E，F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A，E，C，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．3.如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点．E 是CD 的中点，过点C 作CF∥AB，交AE 的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB=CF；（2）若AC=BC，试判断四边形CDBF 的形状，并证明你的结论．4.如图，在矩形ABCD 中，M，N 分别是AD，BC 的中点，P，Q 分别是BM，DN 的中点．（1）求证：△MBA≌△NDC；（2）四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由．5.如图，在△ABC 中，O 是AC 边上的一动点，过点O 作直线MN∥BC，直线MN 与∠ACB 的平分线相交于点E，与∠DCA （△ABC 的外角）的平分线相交于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC 的长；（3）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请证明你的结论．【参考答案】➢巩固练习1.（1）BC=3AD，理由略（2）证明略2.（1）证明略（2）当EF⊥AC 时，以A，E，C，F 为顶点的四边形是菱形证明略3.（1）证明略提示：证明△ADE≌△FCE，则DB=DA=CF（2）四边形CDBF 是矩形，证明略提示：先证四边形CDBF 是平行四边形，因为AC=BC，D 是AB 的中点，所以∠BDC=90°，进而得证4.（1）证明略（2）四边形MPNQ 是菱形，理由略提示：由△MBA≌△NDC 得，BM=DN连接MN，则四边形AMNB，四边形DMNC 均为矩形，可利用直角三角形中斜边中线等于斜边一半进行证明5.（1）证明略提示：由角平分线+平行线，可以得到OE=OC，OF=OC13（2）OC2（3）当点O 运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形，证明略。
最新精品解析沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十二章四边形专项测试试题(含答案及详细解析)
八年级数学第二学期第二十二章四边形专项测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB BC = B ．AD BC = C ．A C ∠=∠ D ．180B C ∠+=︒2、在锐角△ABC 中，∠BAC ＝60°，BN 、CM 为高，P 为BC 的中点，连接MN 、MP 、NP ，则结论：①NP ＝MP ；②AN ：AB ＝AM ：AC ；③BN ＝2AN ；④当∠ABC ＝60°时，MN ∥BC ，一定正确的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①④3、如果一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，那么这个多边形是（ ）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形4、n边形的每个外角都为15°，则边数n为（）A．20 B．22 C．24 D．265、矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程27100-+=的一个根，则矩形ABCD的面积为x x（）B．12 C．D．A．6、下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．1：2：3：4 B．1：4：2：3C．1：2：2：1 D．3：2：3：2∠+∠的度数是（）7、如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中αβA．180°B．220°C．240°D．260°8、一个多边形每个外角都等于36°，则这个多边形是几边形（）A．7 B．8 C．9 D．109、如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD=CDFE的面积是（）A ．B ．C ．D ．5410、如图，点E 是△ABC 内一点，∠AEB ＝90°，D 是边AB 的中点，延长线段DE 交边BC 于点F ，点F 是边BC 的中点．若AB ＝6，EF ＝1，则线段AC 的长为（ ）A ．7B ．152C ．8D ．9第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在ABC 中，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，M ，N 为BC 上的两个动点，且MN =AM AN +的最小值是________．2、如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 翻折至△AFE ，连接CF ，则CF 的长为___．3、已知正方形ABCD 的一条对角线长为______．4、如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，以点B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于1PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，2连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为________．5、正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是_________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在正方形ABCD中，P是直线CD上的一点，连接BP，过点D作DE BP⊥，交直线BP于点E，连接CE．（1）当点P在线段CD上时，如图①，求证：BE DE-；（2）当点P在直线CD上移动时，位置如图②、图③所示，线段BE，DE与CE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．2、如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P．（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；（2）若将ABCD 改为矩形ABCD ，且6,8AB BC ==，其他条件不变，求四边形BPCO 的面积；（3）要得到矩形BPCO ，ABCD 应满足的条件是_________（填上一个即可）．3、如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x +5与反比例函数y k x=（x ＞0）的图象相交于点A （3，a ）和点B （b ，3），点D ，C 分别是x 轴和y 轴的正半轴上的动点，且满足CD ∥AB ．（1）求a ，b 的值及反比例函数的解析式；（2）若OD ＝1，求点C 的坐标，判断四边形ABCD 的形状并说明理由．4、如图，在平行四边形ABCD 中，8cm AB =，16cm BC =．30B ∠=︒．点P 在BC 上由点B 向点C 出发，速度为每秒2cm ；点Q 在边AD 上，同时由点D 向点A 运动，速度为每秒1cm ．当点P 运动到点C 时，点P ，Q 同时停止运动．连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）当t 为何值时，四边形ABPO 为平行四边形？（2）设四边形ABPQ 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．（3）当t 为何值时，四边形ABPQ 的面积是四边形ABCD 的面积的四分之三？求出此时PQD ∠的度数．（4）连接AP ，是否存在某一时刻t ，使ABP △为等腰三角形？若存在，请求出此刻t 的值；若不存在，请说明理由．5、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =2BC ，点E 是AC 的中点，请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）（1）在图1中，画出△ACD 的边AD 上的中线CM ；（2）在图2中，若AC =AD ，画出△ACD 的边CD 上的高AN ．-参考答案-一、单选题1、C【分析】由平行线的性质得180A D +=︒∠∠，再由A C ∠=∠，得180C D ∠+∠=︒，证出//AD BC ，即可得出结论．【详解】解：一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的是A C ∠=∠，理由如下：//AB CD ，180A D ∴∠+∠=︒，A C∠=∠，180C D∴∠+∠=︒，//AD BC∴，又//AB CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定，证明出//AD BC．2、C【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质即可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正确．【详解】∵CM、BN分别是高∴△CMB、△BNC均是直角三角形∵点P是BC的中点∴PM、PN分别是两个直角三角形斜边BC上的中线∴12 PM PN BC==故①正确∵∠BAC=60゜∴∠ABN=∠ACM=90゜−∠BAC=30゜∴AB=2AN，AC=2AM∴AN：AB=AM：AC=1：2即②正确在Rt△ABN中，由勾股定理得：BN=故③错误当∠ABC=60゜时，△ABC是等边三角形∵CM⊥AB，BN⊥AC∴M、N分别是AB、AC的中点∴MN是△ABC的中位线∴MN∥BC故④正确即正确的结论有①②④故选：C【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键．3、A【分析】多边形的外角和是360度，多边形的外角和是内角和的2倍，则多边形的内角和是180度，则这个多边形一定是三角形．【详解】解：多边形的外角和是360度，又多边形的外角和是内角和的2倍，∴多边形的内角和是180度，∴这个多边形是三角形．故选：A ．【点睛】考查了多边形的外角和定理，解题的关键是掌握多边形的外角和定理．4、C【分析】根据多边形的外角和等于360度得到15°•n ＝360°，然后解方程即可．【详解】解：∵n 边形的每个外角都为15°，∴15°•n ＝360°，∴n ＝24．故选C ．【点睛】本题考查了多边形外角和，熟练掌握多边形外角和为360度是解题的关键．5、D【分析】先求27100x x -+=的两个根122,5,x x ==【详解】∵27100x x -+=，∴（x -2）（x -5）=0，∴122,5,x x ==∴矩形的面积为2×故选D ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练解方程，灵活用勾股定理是解题的关键．6、D【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A 和∠C 是对角，∠B 和∠D 是对角，对角的份数应相等．【详解】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D 符合条件． 故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．7、C【分析】根据四边形内角和为360°及等边三角形的性质可直接进行求解．【详解】解：由题意得：等边三角形的三个内角都为60°，四边形内角和为360°，∴3606060240αβ∠+∠=︒-︒-︒=︒；故选C ．【点睛】本题主要考查多边形内角和及等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和及等边三角形的性质是解题的关键．8、D【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【详解】解：∵360°÷36°=10，∴这个多边形的边数是10．故选D ．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，外角和的大小与多边形的边数无关，熟练掌握多边形内角与外角是解题关键．9、C【分析】过点F 作FM AD ⊥，FN BC ⊥分别交于M 、N ，由F 是AE 中点得12FM FN AE ==，根据ABE ADF ABCD CDEF S S S S =--矩形四边形，计算即可得出答案．【详解】如图，过点F 作FM AD ⊥，FN BC ⊥分别交于M 、N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC AD ==90ABE ∠=︒，∵点E 是BC 的中点，∴12BE BC == ∵F 是AE 中点， ∴1922FM FN AB ===，∴119699222ABE ADF ABCD CDEF S S SS =--=-⨯-⨯=矩形四边形 故选：C ．【点睛】 本题考查矩形的性质与三角形的面积公式，掌握ABE ADF ABCD CDEF S S SS =--矩形四边形是解题的关键．10、C【分析】 根据直角三角形的性质求出DE ，由EF =1，得到DF ，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC 的长．【详解】解：∵∠AEB ＝90︒，D 是边AB 的中点，AB ＝6，∴DE ＝12AB ＝3，∵EF ＝1，∴DF ＝DE +EF ＝3+1＝4．∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，∴DF是ABC的中位线，∴AC＝2DF＝8．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出DF的长是解题的关键．二、填空题1【分析】过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，作点A关于BC的对称点A′，连接AA′交BC于点O，连接A′M，三点D、M、A′共线时，AM AN最小为A′D的长，利用勾股定理求A′D的长度即可解决问题．【详解】解：过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，∴MD＝AN，AD＝MN，作点A关于BC的对称点A′，连接A A′交BC于点O，连接A′M，则AM ＝A ′M ，∴AM ＋AN ＝A ′M ＋DM ，∴三点D 、M 、A ′共线时，A ′M ＋DM 最小为A ′D 的长，∵AD //BC ，AO ⊥BC ，∴∠DA A '＝90°，∵2AB AC ==，90BAC ∠=︒，，∴BC＝BO ＝CO ＝AO∴AA '=在Rt△AD A '中，由勾股定理得：A 'D =∴AM AN +【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，构造平行四边形将AN 转化为DM 是解题的关键．2、3.6【分析】连接BF ，根据三角形的面积公式求出BH ，得到BF ，根据直角三角形的判定得到∠BFC =90°，根据勾股定理求出答案．【详解】解：连接BF ，∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE5==，∴BH＝3412 55⨯=，则BF＝245，∵点E为BC的中点，∴BE＝EC，∵△ABE沿AE翻折至△AFE，∴FE＝BE，∴FE＝BE= EC，∴∠CBF=∠EFB，∠BCF=∠EFC，∴2∠EFB+2∠EFC=180°，∴∠EFB+∠EFC=90°∴∠BFC＝90°，∴CF 3.6==．故答案为：3.6．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．3、6【分析】正方形的面积：边长的平方或两条对角线之积的一半，根据公式直接计算即可.【详解】解：正方形ABCD的一条对角线长为1S23236,2故答案为：6.【点睛】本题考查的是正方形的性质，掌握“正方形的面积等于两条对角线之积的一半”是解题的关键.4、2【分析】先根据题意得到BE为∠ABC的平分线，再根据平行四边形的定义和性质得到AD∥BC，AD=BC=6，进而得到AB=AE=4，即可求出DE=2．【详解】解：由尺规作图得，BE为∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=6，∴∠AEB=∠CBE，∴∠ABE =∠AEB ，∴AB =AE =4，∴DE =AD -AE =2．故答案为：2【点睛】本题考查了尺规作图-作已知角的角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟知作已知角的角平分线做法和平行四边形、等腰三角形性质并灵活应用是解题关键．5、8【分析】正方形边长相等设为a ，对角线长已知，利用勾股定理求解边长的平方，即为正方形的面积．【详解】解：设边长为a ，对角线为4 24a =+28a ∴=故答案为：8．【点睛】本题考察了正方形的性质以及勾股定理．解题的关键在于求解正方形的边长．三、解答题1、（1）见解析；（2）图②中BE DE +=，图③中DE BE -=【分析】（1）在BE 上截取BF DE =，连接CF ，可先证得BCF DCE ∆∆≌，则CF CE =，BCF DCE ∠=∠，进而可证得△AED 为等腰直角三角形，即可得证；（2）仿照（1）的证明思路，作出相应的辅助线，即可证得对应的BE ，DE 与CE 之间的数量关系．【详解】解：（1）证明：如图，在BE 上截取BF DE =，连接CF ． ∵四边形ABCD 是正方形，BC DC ∴=，90BCD ︒∠=，DE BP ⊥，90BCD ︒∠=，90PBC BPC PDE DPE ︒∠∠∴∠+∠=+=，BPC DPE ∠=∠，PBC PDE ∴∠=∠，BF DE =，BC DC =，(SAS)BCF DCE ∴∆∆≌，CF CE ∴=，BCF DCE ∠=∠，90FCE FCD DCE FCD BCF BCD ︒∴∠=∠+∠=+==∠∠∠， ∴△ECF 是等腰直角三角形，在Rt FCE ∆中，22222FE CF CE CE =+=，EF ∴=，BE DE BE BF EF ∴-=-==；（2）图②：BE DE +=，理由如下：如下图，在EB 延长线上截取BF DE =，连接CF ．∵四边形ABCD 是正方形，BC DC ∴=，90BCD ︒∠=，DE BP ⊥，90BCD ︒∠=，90PBC BPC PDE DPE ︒∠∠∴∠+∠=+=，BPC DPE ∠=∠，FBC EDC ∴∠=∠BF DE =，BC DC =，(SAS)BCF DCE ∴∆∆≌，CF CE ∴=，BCF DCE ∠=∠，90FCE FCD DCE FCD BCF BCD ︒∴∠=∠-∠=∠-∠=∠=， ∴△ECF 是等腰直角三角形，在Rt FCE ∆中，22222FE CF CE CE =+=，EF ∴=，BE DE BE BF EF ∴+=+==；图③：DE BE -=如图，在DE 上截取DF =BE ，连接CF ．∵四边形ABCD 是正方形，BC DC ∴=，90BCD ︒∠=，DE BP ⊥，90BCD ︒∠=，90PBC BPC PDE DPE ︒∠∠∴∠+∠=+=，BPC DPE ∠=∠，EBC FDC ∴∠=∠BE DF =，BC DC =，(SAS)BCE DCF ∴∆∆≌，CE CF ∴=，BCE DCF ∠=∠，90FCE FCB BCE FCB DCF BCD ︒∴∠=∠+∠=+==∠∠∠， ∴△ECF 是等腰直角三角形，在Rt FCE ∆中，22222FE CF CE CE =+=，EF ∴=，DE BE DE DF EF∴-=-==．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形、勾股定理等相关知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．2、（1）平行四边形，理由见解析；（2）四边形BPCO的面积为24；（3）AB=BC或AC⊥BD等（答案不唯一）【分析】（1）利用平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可证明．（2）利用矩形的性质，得到对角线互相平分，进而证明四边形BPCO是菱形，分别求出菱形的对角线长度，利用对角线乘积的一半，求解面积即可．（3）添加的条件只要可以证明AC BD⊥即可得到矩形BPCO．【详解】解：（1）四边形BPCO是平行四边形，∵BP∥AC，CP∥BD，∴四边形BPCO是平行四边形．（2）连接OP．∵四边形ABCD是矩形，∴OB=12BD，OC=12AC，AC=BD，∠ABC=90°，∴OB=OC．又四边形BPCO是平行四边形，∴□BPCO是菱形．∴OP⊥BC.又∵AB⊥BC，∴OP∥AB.又∵AC∥BP，∴四边形ABPO是平行四边形，∴OP=AB=6.∴S菱形BPCO=118624 22BC OP⨯=⨯⨯=．（3）AB=BC或AC⊥BD等（答案不唯一）．当AB=BC时，ABCD为菱形，此时有：AC BD⊥，利用含有90︒的平行四边形为矩形，即可得到矩形BPCO，当AC⊥BD时，利用含有90︒的平行四边形为矩形，即可得到矩形BPCO．【点睛】本题主要是考查了平行四边形、矩形和菱形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质，是求解该类问题的关键．3、（1）2,2a b ==，6y x=；（2）(0,1)C ,四边形ABCD 是矩形 【分析】（1）分别将点A （3，a ）和点B （b ，3），代入直线y ＝﹣x +5即可求得,a b ，进而待定系数法求反比例函数解析式；（2）求得CD 的解析式，进而求得D 点的坐标，再求得,AB CD 的长，即可证明ABCD 是平行四边形，连接AC ，证明ACD △是直角三角形，即可证明四边形ABCD 是矩形【详解】解：（1）分别将点A （3，a ）和点B （b ，3），代入直线y ＝﹣x +5即3535a b =-+⎧⎨=-+⎩ 解得22a b =⎧⎨=⎩ 2,2a b ∴==∴()3,2A ,()2,3B将点()3,2A 代入k y x=，则326k =⨯= ∴反比例函数解析式为6y x =（2）ABCD 是矩形，理由如下，如图，连接AC ，∵()3,2A ,()2,3BAB ∴==//CD AB设直线CD 的解析式为y x t =-+1OD =(1,0)D ∴则01t =-+解得1t =∴直线CD 的解析式为1y x =-+令0x =则1y =(0,1)C ∴1OC ∴=CD ∴AB CD ∴=∴四边形ABCD 是平行四边形(0,1),(0,1),(3,2)C D AAD ∴==222810CD AD ∴+=+=()22232110AC =+-=222AC CD AD ∴=+ ACD ∴是直角三角形，且90ADC ∠=︒∴四边形ABCD 是矩形【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与一次函数综合，勾股定理与勾股定理的逆定理，掌握反比例函数的性质，矩形的判定是解题的关键．4、（1）163；（2）y ＝S 四边形ABPQ ＝2t ＋32（0＜t ≤8）；（3）t ＝8，75PQD ∠=；（4）当t ＝4或或ABP △为等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）利用平行四边形的对边相等AQ ＝BP 建立方程求解即可；（2）先构造直角三角形，求出AE ，再用梯形的面积公式即可得出结论；（3）利用面积关系求出t ，即可求出DQ ，进而判断出DQ ＝PQ ，即可得出结论；（4）分三种情况，利用等腰三角形的性质，两腰相等建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）∵在平行四边形ABCD 中，8cm AB =，16cm BC =，由运动知，AQ ＝16−t ，BP ＝2t ，∵四边形ABPQ 为平行四边形，∴AQ ＝BP ，∴16−t ＝2t∴t＝163，即：t＝163s时，四边形ABPQ是平行四边形；（2）过点A作AE⊥BC于E，如图，在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝8，∴AE＝4，由运动知，BP＝2t，DQ＝t，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝16，∴AQ＝16−t，∴y＝S四边形ABPQ＝12（BP＋AQ）•AE＝12（2t＋16−t）×4＝2t＋32（0＜t≤8）；（3）由（2）知，AE＝4，∵BC＝16，∴S四边形ABCD＝16×4＝64，由（2）知，y＝S四边形ABPQ＝2t＋32（0＜t≤8），∵四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三∴2t＋32＝34×64，∴t＝8；如图，当t＝8时，点P和点C重合，DQ＝8，∵CD＝AB＝8，∴DP＝DQ，∴∠DQC＝∠DPQ，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠DQP＝75°；（4）①当AB＝BP时，BP＝8，即2t＝8，t＝4；②当AP＝BP时，如图，∵∠B＝30°，过P作PM垂直于AB，垂足为点M，∴BM＝4，22242BPBP⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得：BP，∴2t，∴t③当AB＝A P时，同（2）的方法得，BP＝∴2t＝∴t＝所以，当t＝4或ABP为等腰三角形．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解（1）的关键是利用AQ＝BP建立方程，解（2）的关键是求出梯形的高，解（3）的关键是求出t，解（4）的关键是分类讨论的思想思考问题．5、（1）见解析（2）见解析【分析】（1）连接BE并延长交AD于M，易得四边形BCDM为平行四边形，再根据三角形中位线判断M点为AD 的中点，然后连接CM即可；（2）连接BE并延长交AD于M，M点为AD的中点，再连接CM、DE，它们相交于F，连接AF并延长交CD于N，则AN⊥CD．（1）如图，CM即为所求（2）如图，AN即为所求【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．。
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四边形证明题1、已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，∠BAE =∠DAF ． （1）求证：BE = DF ；（2）联结AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，联结EM 、FM ．求证：四边形AEMF 是菱形．2、如图8，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥， E 、G 分别是AB 、CD 的中点，点F 在边BC 上，且)(21BC AD BF +=． （1）求证：四边形AEFG 是平行四边形； （2）联结AF ,若AG 平分FAD ∠，求证：四边形AEFG 是矩形．3、如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =AB =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE=CF ，AF 、BE 交于点P 。
（1）求证：AF=BE ；（2）请猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论。
4、如图，在矩形ABCD 中，BM ⊥AC ，DN ⊥AC ，M 、N 是垂足.（1）求证：AN =CM ；（2）如果AN =MN =2，求矩形ABCD 的面积.5.如图.在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点A DB E F O CM 第1题图 B EA D GC F（第2题图）E 为线段BC 延长线上的一点，且BC CE 21=.过点E 作EF ∥CA ，交CD 于点F ，联结OF .（1）求证：OF ∥BC ；（2）如果梯形OBEF 是等腰梯形，判断四边形ABCD 的形状， 并给出证明.6、如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，DE 与CF 相交于G ，DE 、CB 的延长线相交于点H ，点M 是CG 的中点． 求证：（1）BM//GH ； （2）BM ⊥CF ．7．已知：如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAD ，交BF 于点C ，BD 平分∠ABC ，交AE 于点D ，联结CD .求证：四边形ABCD 是菱形．8．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，DE 与CF 相交于G ，DE 、CB 的延长线相交于点H ，点M 是CG 的中点.求证：（1）//BM GH (2)BM CF ⊥（第6题）FO EDC BA第21题图9．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，点E 、F 在边BC 上，BE =CF ，EF =AD ．求证：四边形AEFD 是矩形．10．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边ABCD 的中点，BD 是对角线，过A 点作AG //DB 交CB 的延长线于点G ．（1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G ＝90 ，求证：四边形DEBF 是菱形．11．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =2AD ，AC ⊥AB ，点E 是AC 的中点，DE的延长线与边BC 相交于点F ．求证：四边形AFCD 是菱形．12．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，点E 、F 在边BC 上，DE // AB ，A F // CD ，且四边形AEFD 是平行四边形．（1）试判断线段AD 与BC 的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）现有三个论断：①AD = AB ；②∠B +∠C = 90°；③∠B = 2∠C ．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD 是菱形．A E F C D （第9题）（第11题图）A BDCE F（第12题图）四边形证明题答案1．证明：（1）∵正方形ABCD ，∴AB=AD ，∠B =∠D =90°…………………………（2分）∵∠BAE = ∠DAF∴△ABE ≌△ADF ……………………………………………………………（1分） ∴BE = DF ……………………………………………………………………（2分） （2）∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠DAC ………………………………………（1分） ∵∠BAE =∠DAF ∴∠EAO =∠FAO ……………………………………（1分）∵△ABE ≌△ADF ∴AE = AF …………………………………………（1分） ∴EO=FO ，AO ⊥EF …………………………………………………………（2分） ∵OM = OA ∴ 四边形AEMF 是平行四边形……………………………（1分） ∵AO ⊥EF ∴四边形AEMF 是菱形……………………………………（1分） 2．（1）证明：联结EG ，∵ 梯形ABCD 中，AD BC ∥，且E 、G 分别是AB 、CD 的中点， ∴ EG //B C ，且)(21BC AD EG +=，…………………………（2分） 又∵)(21BC AD BF +=∴ EG =BF ．……………………………………………………（1分） ∴ 四边形AEFG 是平行四边形．…………………（2分）（2）证明：设AF 与EG 交于点O ， ∵ EG //AD ，∴∠DAG =∠AGE∵AG 平分FAD ∠，∴∠DAG =∠GAO ∴∠GAO =∠AGE∴ AO=GO ．………………………………（2分）∵四边形AEFG 是平行四边形，∴ AF =EG ，四边形AEFG 是矩形…………………………（2分）3．证明：（1）∵梯形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC∴ ∠BAE=∠ADF ………………………………………………（1分）∵AD = DC ∴ AE=DF …………………………………………（1分）∵BA=AD ∴△BAE ≌△ADF ， …………………………………（1分） ∴BE=AF ． …………………………………………………………（1分）（2）猜想∠BPF=120°．……………………………………………………（1分）∵由（1）知△BAE ≌△ADF ，∴∠ABE=∠DAF ．…………………（1分） ∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE ．……………………………………（1分） 而AD ∥BC ，∠C=∠ABC=60°，∴=120°．∴∠BPF=∠BAE =120°．………………………………………………（1分）4、证：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD =BC . ∴∠DAC =∠BCA .又∵DN ⊥AC ，BM ⊥AC ，∴∠DNA =∠BMC .∴⊿DAN ≌⊿BCM , ---------------------------------------------------（3分）∴AN =CM . ---------------------------------------------------------------（1分） （2）联结BD 交AC 于点O ， ∵AN = NM =2,∴AC = BD =6,又∵四边形ABCD 是矩形， ∴AO =DO =3，在⊿ODN 中，OD =3，ON =1，∠OND =︒90,∴DN =2222=-ON OD ,--------------------------------------（2分） ∴矩形ABCD 的面积=212=⨯DN AC .-----------------------（1分）5.解：（1）方法1：延长EF 交AD 于G （如图1）.……………1分 在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AD =. ∵EF ∥CA ，EG ∥CA ，∴四边形ACEG 是平行四边形. ∴ CE AG =.……………1分又∵BC CE 21=，BC AD =，∴ GD AD BC CE AG ====2121.……………1分∵AD ∥BC ，∴ECF ADC ∠=∠. 在CEF △和DGF △中，∵DFG CFE ∠=∠，ECF ADC ∠=∠，DG CE =，∴CEF △≌DGF △（A.A.S ）. ∴DF CE =.…………………1分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD OB =.∴OF ∥BE . ………………1分 方法2：将线段BC 的中点记为G ，联结OG （如图2）. ………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD OB =.∴OG ∥CD . …………1分 ∴FCE OGC ∠=∠.∵EF ∥CA ，∴FEC OCG ∠=∠.∵BC GC 21=，BC CE 21=，∴CE GC =.AB（第5题图1）DCOEFGAB（第5题图2）DC OEFG在OGC △和FCE △中，∵FEC OCG ∠=∠，CE GC =，FCE OGC ∠=∠， ∴OGC △≌FCE △（A.S.A ）. …………………1分 ∴FC OG =. 又∵OG ∥CF ，∴四边形OGCF 是平行四边形. …………………1分∴OF ∥GC . …………………1分 其他方法，请参照上述标准酌情评分.（2）如果梯形OBEF 是等腰梯形，那么四边形ABCD 是矩形. ……………1分 ∵OF ∥CE ，EF ∥CO ，∴四边形OCEF 是平行四边形. ∴OC EF =.……………1分又∵梯形OBEF 是等腰梯形，∴EF BO =. ∴OC OB =.（备注：使用方法2的同学也可能由OGC △≌FCE △找到解题方法；使用方法1的同学也可能由四边形ACEG 是平行四边形找到解题方法）. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OC AC 2=，BO BD 2=. ∴BD AC =.……………1分∴平行四边形ABCD 是矩形. ……………1分6．证明：（1）∵在正方形ABCD 中，AD //BC ，∴∠A =∠HBE ，∠ADE =∠H ，…（1分）∵AE =BE ，∴△ADE ≌△BHE ．………………………………………（1分） ∴BH =AD =BC ．…………………………………………………………（1分） ∵CM =GM ，∴BM //GH ．………………………………………………（1分）（2）∵在正方形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠A =∠ADC =90º，又∵DF =21AD ，AE =21AB ，∴AE =DF ．∴△AED ≌△DFC ．………（1分） ∴∠ADE =∠DCF ．………………………………………………………（1分） ∵∠ADE +∠GDC =90º，∴∠DCF +∠GDC =90º．∴∠DGC =90º．…（1分） ∵BM //GH ，∴∠BMG =∠DGC =90º，即BM ⊥CF ．…………………（1分）7、证明：∵AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC=∠CAD .又 ∵AE ∥BF ， ∴∠BCA=∠CAD . --------------------------1分∴∠BAC=∠BCA .∴ AB=BC . --------------------1分 同理可证AB=AD .∴ AD=BC . ----------------------1分 又 AD ∥BC ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形. -----1分 又AB=BC ，∴□ABCD 是菱形. -----1分 8. 证明：（1）∵正方形ABCD ∴90A EBH ∠=∠=︒AD BC =…………1′∵E 是AB 的中点 ∴ AB BE =…………1′ ∵AED BEH ∠=∠∴AED BEH ≅…………1′∴AD BH = ∴BC BH =…………1′ ∵M 是CG 的中点 ∴//BM GH …………1′(2)证AED CDF ≅ …………1′ ∴ADE DCF ∠=∠ ∵90DCF CDE ∠+∠=︒ ∴90CGH ∠=︒ ………1′ ∵//BM GH ∴90CMB CGH ∠=∠=︒ ∴BM CF ⊥ …………1′9．证法一： ∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，又∵EF =AD∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………………………（1分） ∴AD //DF ，∴∠AEF =∠DFC ．………………………………………（1分）∵AB =CD ，∴∠B =∠C ．………………………………………………（1分） 又∵BE =CF ，∴△ABE ≌△DCF ．……………………………………（1分） ∴∠AEB =∠DFC ，……………………………………………………（1分） ∴∠AEB =∠AEF ．………………………………………………………（1分） ∵∠AEB +∠AEF =180º，∴∠AEF =90º．……………………………（1分） ∴四边形AEFD 是矩形．………………………………………………（1分）证法二： 联结AF 、DE ．…………………………………………………………（1分）∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，又∵EF =AD ，∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………………………（1分）∵AB =CD ，∴∠B =∠C ．………………………………………………（1分） ∵BE =CF ，∴BE +EF =CF +EF ，即BF =CE ，…………………………（1分）∴△ABF ≌△DCE ．……………………………………………………（1分） ∴AF =DE ，………………………………………………………………（2分） ∴四边形AEFD 是矩形．………………………………………………（1分）10、证明：（1）∵□ABCD ，∴A B ∥CD ，AB ＝CD -----------------------------------1分 ∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB∴DF ∥BE ，DF ＝BE ---------------------------------------------------------------------1分 ∴四边形DEBF 为平行四边形∴DE ∥BF -----------------------------------------------------------------------------------1分 (2)证明：∵AG ∥BD ，∴∠G ＝∠DBC ＝90°，∴∆DBC 为直角三角形---1分 又∵F 为边CD 的中点．∴BF ＝12DC ＝DF ------------------------------------------1分又∵四边形DEBF 为平行四边形，∴四边形DEBF 是菱形----------------------1分 11．证明：∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，∴∠DAE =∠FAE ，∠ADE =∠CFE ．……（1分）又∵AE =EC ，∴△ADE ≌△CFE ．…………………………………………（1分） ∴AD =FC ，…………………………………………………………………（1分） ∴四边形AFCD 是平行四边形．……………………………………………（1分）∵BC =2AD ，∴FC =AD =21BC ．……………………………………………（1分） ∵AC ⊥AB ，∴AF =21BC ．…………………………………………………（1分） ∴AF =FC ，……………………………………………………………………（1分） ∴四边形AFCD 是菱形．……………………………………………………（1分）12．（1）解：线段AD 与BC 的长度之间的数量为：3BC AD =．…………………（1分）证明：∵ AD // BC ，DE // AB ，∴ 四边形ABED 是平行四边形．∴ AD = B E ．………………………………………………………（2分） 同理可证，四边形AFCD 是平行四边形．即得 AD = FC ．……（1分） 又∵ 四边形AEFD 是平行四边形，∴ AD = EF ．……………（1分） ∴ AD = BE = EF = FC ．∴ 3B C A D =．……………………………………………………（1分）（2）解：选择论断②作为条件．…………………………………………………（1分）证明：∵ DE // AB ，∴ ∠B =∠DEC ．…………………………………（1分）∵ ∠B +∠C = 90°，∴ ∠DEC +∠C = 90°．即得 ∠EDC = 90°．………………………………………………（2分） 又∵ EF = FC ，∴ DF = EF ．……………………………………（1分） ∵ 四边形AEFD 是平行四边形，∴ 四边形AEFD 是菱形．…………………………………………（1分）。