2016届高三数学综合练习
2016级高三理科数学综合训练试题(25)含答案
2016级高三理科数学综合训练试题（25）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1．设全集,U R =集合},12161|{Z x x A x ∈<≤=-，},0)1)(3(|{Z x x x x B ∈≥+-=，则()U C B A = ( ) A ．}4,32,10{，， B ．}32,1{， C ．}2,10{， D ． }2,1{ 2． 复数z 为纯虚数，若(3)i z a i -=+(i 为虚数单位)，则实数a 的值为( )A ． 13-B ． 13C ． 3-D ． 33． 已知双曲线12222=-a x y 过点)2,1(-，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x y 225±= B ．x y ±= C ．x y 2±= D ．x y 22±= 4． 执行如图所示的算法，则输出的结果是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 5． 把函数)2|(|)2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象，若)(x g 的图象关于)0,3(π-对称，则=-)2(πf ( )A ．21-B ．21C ．23- D ．236． 从4名男生和6名女生中各选2人参加跳绳比赛，则男生甲和女生乙至少有一个被选中的概率是( )A ．61B ．21C ．32D ．657． 在三棱锥ABC S -中，ABC ∆是边长为1的正三角形，⊥SC 面ABC ,2=SC ,则三棱锥ABC S -外接球的表面积为( )A ．π6B ．316πC ．940πD ．38π8． 已知)4,0(),0,2(πβπα∈-∈，ββα22tan 1tan 2sin 21+=-，则有( ) A ．22παβ=- B ．22παβ=+C ．22παβ-=- D ．22παβ-=+9．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中 长度最长的是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．2210． 设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21F F 、，点221),(PF F F b a P =满足，设直线2PF 与椭圆交于M 、N 两点，若MN =16，则椭圆的方程为( )A ．110814422=+y xB ．17510022=+y xC ．1273622=+y xD ．1121622=+y x 11． 已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)2(2)(+=x f x f ，当)2,0[∈x 时， x x x f 42)(2+-=，设)(x f 在)2,22[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈,且}{n a 的前n 项和为n S ，则n S =( ) A ．1212--n B ．2214--n C ．n 212-D ．1214--n12． 设函数x ex x g x x x f ==)(,ln )(2，若存在],[21e e x ∈,]2,1[2∈x ,使得)()()2(1223x kf x g k e ≥-成立（其中e 为自然对数的底数），则正实数k 的取值范围是( )A ．20≤<kB ．2≥kC ．28063++≤<e e kD ．2863++≥e e k二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)13．()6211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 的展开式中4x 的系数是 ．14． 已知实数x ，y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥+-≥+-0003042y x y x y x ，则目标函数x y z 23-=的最大值为 ． 15．已知，43,0===⋅M 为线段BC 上一点，且),||||R AC AB AM ∈+=μλμλ, 则λμ的最大值为 ．16． 在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，)cos 724(B a -)5cos 72(-=A b ， 则C cos 的最小值为 ．三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17．（本题满分12分）已知等差数列}{n a 的公差⎰-=22cos ππxdx d ，562224=-a a ；等比数列}{n b 满足：11=b ，512642=b b b ，*N n ∈（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）设}{n a 的前n 项和为n S ，令⎪⎩⎪⎨⎧=为偶数为奇数n b n S c n n n ,,2，求n c c c c 2321++++ ．18．（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠= ，且1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点 （1）求证：1B F ⊥平面AEF ；（2）求锐二面角1B AE F --的余弦值．19．（本题满分12分）某工厂生产某种零件，每天生产成本为1000元，此零件每天的批发价和产量均具有随机性，且互不影响．其具体情况如下表：（1）设随机变量X 表示生产这种零件的日利润，求X 的分布列及期望；（2）若该厂连续3天按此情况生产和销售，设随机变量Y 表示这3天中利润不少于3000的天数，求Y 的数学期望和方差，并求至少有2天利润不少于3000的概率． (注：以上计算所得概率值用小数表示)20． (本题满分12分)已知抛物线 )0(2:2>=p px y C ，过焦点且斜率为1的直线m 交抛物线C 于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆在y 轴上截得的弦长为72． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点）（2,0P 的直线l 交抛物线C 于F 、G 两点，交x 轴于点D ，设,,21GD PG FD PF λλ==试问21λλ+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．21． (本题满分12分)已知函数11ln )(+-+-=xaax x x f （1）当41=a 时，求函数()y f x =的极值； （2）当)1,31（∈a 时，若对∀[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，求a 的取值范围．请考生在（22）．（23）．（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22． (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，已知P A 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B,C ，APC ∠的平分线分别交AB ,AC 于点D,E ．（1）证明：ADE AED ∠=∠．（2）若AC=AP ,求PCPA的值． 23． (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲C 的参数方程为)(sin cos 2为参数ααα⎩⎨⎧==y x ，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==)(54453为参数t ty t x ．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（2）若),(y x P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离d 的最大值和最小值． 24． (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式|2|1m x --≥的解集是[0,4] （1）求m 的值；（2）若,a b 均为正实数，且a b m +=，求22a b +的最小值．FE C 1B 1A 1CBAPB2016级高三理科数学综合训练试题（25）参考答案一、选择题1-5: DBCDC 6-10: CBADB 11-12: BB二、填空题:13．-20 14．9 15．41516．21-17．解：（1）公差2cos22==⎰-ππxdxd，5622))((324242224=⋅=-+=-daaaaaaa73=a………2分∴721=+da∴31=a∴12)1(23+=-+=nnan………4分设等比数列}{nb的公比为q∵51234642==bbbb∴84=b即1b83=q∴2=q即1112--==nnnqbb………6分（2）由12,31+==naan得：)2(+=nnSn∴⎪⎩⎪⎨⎧+=-为偶数，为奇数n2,)2(21nnnnnc即⎪⎩⎪⎨⎧+-=-为偶数，为奇数n2,21n11nnnnc………8分∴ncccc2321+++=)()(2421231nncccccc+++++-………10分=)222()]1212()5131()311[(123-++++--++-+-nnn=)14(3212241)41(21211-++=--++-nnnnn………12分18．（1）连结AF，∵F是等腰直角三角形ABC∆斜边BC的中点，∴AF BC⊥．又 三棱柱111ABC A B C-为直三棱柱，∴面ABC⊥面11BB C C，∴AF⊥面11BB C C，1AF B F⊥．……… 2分设11AB AA==，则1132B F EF B E===．1(,)222AE=--，1(,1)22AB=．………8分由（Ⅰ）知，1B F⊥平面AEF，∴可取平面AEF的法向量1m FB==．设平面1B AE的法向量为(,,)n x y z=，由110,0,0,222020,22x y zn AE zn AB zx y z⎧--+=⎪⎧=-=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩-++=⎪⎩∴可取(3,1n=-．………10分设锐二面角1B AE F--的大小为θ，则03(1)1cos|cos,|||||m nm nm nθ⨯+-+⨯=<>===∴所求锐二面角1B AE F--的余弦值为6………12分19．解：（1）∵500×10-1000=4000,400×10-1000=500×8-1000=3000，400×8-1000=2200随机变量X可以取：4000,3000．，2200 ………1分P(X=4000)=0．6×0．5=0．3 P(X=2200)=0．4×0．5=0．2P(X=3000)=0．6×0．5+0．4×0．5=0．5 ………4分∴X的分布列为:EX=4000×0．3+3000×0．5+2200×0．2=3140 ………6分(2) 由（1）知：该厂生产1天利润不少于3000的概率为：P=0．8∴Y～)8.0,3(B………8分∴EY=3=2．4 DY=3×0．8×0．2=0．48 ………10分至少有2天利润不少于3000的概率为：896.02.08.08.0223333=⋅⋅+⋅=CCP………12分20.解：（1）由已知:直线m的方程为1-=xy，代入pxy22=04)1(422=+-+x k x k由0>∆得21>k ,设),(),,(4433y x G y x F则24322434,4-4k x x k k x x ==+ ………8分 );,2()2,();,2()2,(442442331331y x ky x y x ky x FD PF ---=-⇒=---=-⇒=λλλλ所以2,2244233331+-=+-=--=kx kx kx kx x kx λλ ………10分则4(2)(22224343243432443321+++++-=+-+-=+）x x k x x k x x k x x k kx kx kx kx λλ 将24322434,4-4kx x k k x x ==+代入上式得.121-=+λλ 即21λλ+为定值1- ………12分21．解：（1）由已知14341ln )(++-=xx x x f ， 则224)3)(1(43411)('x x x x x x f ---=--= ………1分所以当)1,0(∈x 和),3(+∞∈x 时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当），,10(∈x 时，)(,0)('x f x f >单调递增； ………2分 所以当1=x 时，)(x f 有极小值为23，当3=x 时，)(x f 有极大值为213ln +． ………4分（2）由已知22)1)(1(11)('xa ax x a x a a x x f ----=---=． ①当)21,31（∈a 时，11210a a a a ---=> ，于是(0,1)x ∈和1(,)ax a -∈+∞时，'()0,()f x f x <单调递减；1(1,)ax a-∈时，'()0,()f x f x >单调递增；又因为21<-a a ，要对任意实数[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，只需要(2)(1)f f ≤，即1ln 22122aa a --++≤-，解得2ln 21a ≥-，因为12ln 212≥-所以12ln 21;2a -≤< ………7分 ②当12a =时，11aa-=，221(1)2'()x f x x --=，在(0,)x ∈+∞上，恒有'()0f x ≤，且仅有'(1)0f =，故()f x 在(0,)+∞上单调递减．显然成立． ………8分③当112a <<时，11120,10a a a a a a --->-=< ，于是1(0,)ax a-∈和(1,)x ∈+∞时，'()0,()f x f x <单调递减；1(,1)ax a-∈时，'()0,()f x f x >单调递增； 要对任意实数[2,3]b ∈，当(0,]x b ∈时，函数()f x 的最小值为()f b ，只需要1(2)()af f a-≤，即11ln(1)12ln 420;a aa a a a a a----+-≤-⇔+-≤ ……10分 令11()ln 42,(,1)2a g a a a a -=+-∈，21(21)'()40(1)(1)a g a a a a a -=+=<--，所以()g a 在1(,1)2上单调递减，1()()02g a g <=，所以此时1(,1)2a ∈综上所述：)1,12ln 2[-∈a ………12分 22．解：(1)∵ PA 是切线，AB 是弦，∴ ∠BAP=∠C ， ………2分 又 ∵ ∠APD=∠CPE, ∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE, ∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE,∴ ∠ADE=∠AED ． ………5分 (2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA, ∴ △APC ∽△BPA, ∴PC CAPA AB=, ………7分 ∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,∵ BC 是圆O 的直径，∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°, ∴ ∠C=∠APC=∠BAP=13×90°=30°．在Rt △ABC 中，CA AB∴ PC CAPA AB=………10分23．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为1422=+y x ………2分直线l 的直角坐标方程为4x-3y+12=0则其极坐标方程为012sin 3cos 4=+-θρθρ ………5分 (2)01234),sin ,cos 2(=+-y x l P 为直线设αα 则512)cos(73512sin 3cos 8++=+-=ϑαααd所以最大值为57312+，最小值为57312-。
2016年高三文科数学综合训练题及答案
2016年高三文科数学综合训练题及答案姓名_______ 班别_______ 学号______一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）若全集U=R ，集合{}02A x x =<<，{}10B x x =->，则UAB ＝（A ）{}01x x <≤ （B ）{}12x x << （C ）{}01x x << （D ）{}12x x ≤< （2）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2i =a b + （A ）54i - （B ）5+4i （C ）34i - （D ）3+4i （3）已知1=a ，(0,2)=b ，且1=a b ，则向量a 与b 夹角的大小为 （A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π（4）已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ， H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则（A ）c a b << （B ）b c a << （C ）a b c << （D ）b a c <<（6）已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =，则()7f =（A ） 2 （B ）2- （C ）98- （D ）98（7）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（A ）312π （B ）36π （C ）34π （D ）33π （8）在数列{}n a 中，已知1221n n a a a ++⋅⋅⋅+=-，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+等于（A ）2(21)n- （B ）2(21)3n - （C ）41n- （D ）413n -（9）已知3sin 5ϕ=，且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 （A ）35- （B ）45-（C ）35 （D ）45（10）执行如图所示的程序框图，输出的结果为 （A ）()22-，（B ）()40-，（C ）()44--，（D ）()08-，（11）已知双曲线)0, 0( 12222>>=-b a by a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 （A ）02=±y x （B ）02=±y x（C ）034=±y x （D ）043=±y x（12）已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则 函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）无数个二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）函数y =_____________．（14）设,x y 满足约束条件0,0,1,3,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩ 则2z x y =-的最大值为 ． （15）设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*n ∈N ，都有242n n n S a a =+，其中n S 为数列{}n a 的前n项和,则数列{}n a 的通项公式为n a = ．（16）已知以F 为焦点的抛物线2=4y x 上的两点A ，B 满足AF ＝2FB ，则弦AB 中点到抛物线准线的距离为_________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知,.a b c 是△ABC 中角,,A B C 的对边，且3cos cos 2B C +=23sin sin 2cos B C A + （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积53S =，5b =，求sin sin B C 的值．（18）（本小题满分12分）“冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．（Ⅰ）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下22⨯列联表：根据表中数据，能否有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？接受挑战 不接受挑战合计 男性 45 15 60 女性 25 15 40 合计 70 30 100（19）（本小题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA ===，2BC =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点． （Ⅰ）当2CF =时，证明：1B F ⊥平面ADF ； （Ⅱ）若D B FD 1⊥，求三棱锥1B ADF -的体积．ABCDF A 1B 1C 1（20）(本小题满分12分)定圆M :(2216x y ++=，动圆N 过点F)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ．（Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC CB =，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．（21）（本小题满分12分）已知函数()2mxf x x n=+ (),m n ∈R 在1x =处取到极值2. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()ln ag x x x=+，若对任意的[]11,1x ∈-，总存在[]21,e x ∈（e 为自然对数的底数），使得()()2172g x f x ≤+，求实数a 的取值范围.（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的O 与BC 交于点E ． （Ⅰ）求证：BC CE AD DB ⋅=⋅；（Ⅱ）若4BE =，点N 在线段BE 上移动，90ONF ∠=,NF 与O 相交于点F ，求NF 的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2C ：cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数，0a >)．（Ⅰ）若曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在x 轴上，求a 的值；（Ⅱ）当3a =时, 曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离．2016年高三文科数学综合训练题参考答案及评分参考一．选择题（1）A （2）D （3）C （4）B （5）D （6）B （7）A （8）D （9）B （10）B （11）C （12）A 二．填空题（13）(1,)-+∞ （14）3 （15）2n （16）94三．解答题（17）解：（Ⅰ）由23cos cos 23sin sin 2cos B C B C A +=+，得()23cos 22cos B C A ++=．即22cos 3cos 20A A +-=．即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=．解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）． 因为0A <<π，所以A π=3．（Ⅱ）由1sin 2S bc A ===20bc =． 因为5b =，所以4c =．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得212516220=212a =+-⨯⨯，故a =． 根据正弦定理2sin sin sin abc R A B C ===，得5sin sin sin sin 7b c B C A A a a =⨯=．（18）解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为,,A B C ，则,,A B C 分别表示这3个人不接受挑战．……1分这3个人参与该项活动的可能结果为：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ．共有8种． 其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，{},,A B C ，共有4种．根据古典概型的概率公式，所求的概率为4182P ==． （Ⅱ）根据22⨯列联表，得到2K 的观测值为：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++=()21004515251560407030⨯-⨯⨯⨯⨯ 25 1.7914=≈．因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”． 广东数学教师QQ 群：179818939。
山东省2016届高三下学期综合测试(2)数学(理)Word版含答案
侧（左）视图俯视图正（主）视（第3题图）数学理本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页．满分150分．考试用时120分钟．答题前，请务必将班级、姓名和考试号填写（或填涂）在答题卡的规定位置．注意事项：１. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案写在试卷上的无效．２. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．1、已知集合{|21}xA x =>,{|1}B x x =<,则A B = ( )A ．{|01}x x <<B ．{|0}x x >C ．{|1}x x >D ．{|1}x x <2. 复数=-+i i123 （ ） A ．i 2521+ B ．i 2521-C ．i 2521+-D ．i 2521--3. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径 组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．20π3B ．6πC ．10π3D ．16π3 4.设函数()sin(2)3f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）①()f x 的图象关于直线3x π=对称； ②()f x 的图象关于点(,0)4π对称；③()f x 的图象向左平移12π个单位，得到一个偶函数的图象； ④()f x 的最小正周期为π，且在[0,]6π上为增函数．A. ①③ B . ②④ C. ①③④ D . ③5. 甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ） A ．1212,x x s s >< B ． 1212,x x s s == C ．1212,x x s s =< D ．1212,x x s s <>6.函数cos ln xy x=的图象是（ ） 3275538712455698210乙甲7.若在231(3)2nx x -的展开式中含有常数项，则正整数n 取得最小值时的常数项为（ ） A ．1352- B ． 135- C ．1352D ．1358．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正12MF F ∆，若边1MF 的中点在双曲线上，则此双曲线的离心率是 ( )A．4+1C.D. 1 9. 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y ，则11+-=x y z 的取值范围是（ ）A ． ]31,1[- B. )1,21[-C. ]31,21[-D. ),21[+∞- 10. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()()0.30.333a f =⋅，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ． a b c >>B ．c b a >>C ． c a b >>D ．a c b >>第II 卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．若等比数列}{n a 的首项是32，且dx x a )21(414+⎰=，则公比等于 ．12．执行右边的程序框图，输出的结果是 ． 13．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，点E 为线段CD 上的任意一点，则AE BD ⋅的最大值为 ． 14. 已知函数)0( log )(2>=x x x f 的反函数为)(1x f-,且有，8)()(11=⋅--b fa f若0>a 且0>b ，则ba 41+的最小值为 ．15. 给出下列四个命题：① 命题“2,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；② “2m =-”是“直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的必要不充分条件；③ 设圆22220(40)x y D x E yF D E F ++++=+->与坐标轴有4个交点，分别为1212(,0),(,0),(0,),(0,)A x B x C y D y ，则12120x x y y -=；④ 关于x 的不等式13x x m ++-≥的解集为R ，则4m ≤. 其中所有真命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16（本题满分12分）已知函数n m x f ⋅=)(,且(sin cos )m x x x ωωω=+,(cos sin ,2sin )n x x x ωωω=-,其中0>ω,若函数)(x f 相邻两对称轴的距离大于等于2π. （1）求ω的取值范围；（2）在锐角三角形ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，当ω最大时，1)(=A f ，且3=a ，求b +c 的取值范围．17（本题满分12分）为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:[)[)[)[)[]45,40,40,35,35,30,30,25,25,20. (I)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)40,35岁的人数; (II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ,求X 的分布列及数学期望. 18（本题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面A B C D 是菱形，60=∠ABC ，2==PC AB ,2==PD PA ．（I ）求证：ABCD PAD 平面平面⊥； （II ）求二面角A PC B --的余弦值． 19. （本题满分12分）岁0．0．0．0．数列{}n a 的通项n a 是关于x 的不等式2x x nx -<的解集中正整数的个数，111()12n n n f n a a a n=++++++…． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）求证：对2n ≥且*n N ∈恒有7()112f n ≤<． 20（本题满分13分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，长轴12A A ,短轴12B B ,四边形1122A B A B 的面积为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆于P Q 、,直线12,A P A Q M 与交于 12AQ A P N 与交于．(i) 证明：MN x ⊥轴，并求直线MN 的方程； （ii ）证明：以MN 为直径的圆过右焦点F ．21（本题满分14分） 已知函数()()ln 1x f x x +=．（1）当0x >时，求证： ()22f x x >+；（2）当10x x >-≠且时，()11kxf x x+<+恒成立，求实数k 的值．三、解答题16、详细分析：（1）x x x x x f ωωωωcos sin 32sin cos )(22+-=⋅= )62sin(22sin 32cos πωωω+=+=x x x ……………………2分22π≥Tπ≥∴T 10≤<∴ω…………………………4分 （2）当ω最大时，即1=ω，此时)62sin(2)(π+=x x f ……………………5分1)(=A f 1)62s i n (2=+∴πA 3π=∴A …………………………7分由正弦定理得23sin 3sin sin sin ====πC c B b A aB b sin 2=∴,C c sin 2= B C b c sin 2sin 2+=+∴B C B B sin 3cos 3sin 2)32sin(2+=+-=π)6sin(32π+=B …………………………9分在锐角三角形ABC ∆中,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<2020ππC B 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<<<232020πππB B 得26ππ<<B …………10分3263πππ<+<∴B 1)6s i n (23≤+<∴πB 32)6s i n (323≤+<∴πB c b +∴的取值范围为]32,3(…………………………12分17、解:(I)∵小矩形的面积等于频率,∴除[)40,35外的频率和为0.70,06.0570.01=-=∴x ………………2分 500名志愿者中,年龄在[)40,35岁的人数为150500506.0=⨯⨯(人). …………4分(II)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名, “年龄不低于35岁”的人有8名. ……………………6分 故X 的可能取值为0,1,2,3,B()28514032038===C C X P ,()9528132028112===C C C X P , ()9544232018212===C C C X P ,()57113320312===C C X P , ………………10分 故X所以5739529512850⨯+⨯+⨯+⨯=EX 18、解：（1）取AD 的中点O ，连接,PO CO0,60PA PD ABCD ABC =∠=为菱形，,ABC ACD ∆∆都是正三角形 ,PO AD CO AD ⊥⊥------------2分POC ∠是二面角P AD C --的平面角21,PA PD AD AC CD PO CO =====∴==222PC PO OC PO OC =+∴⊥，090AOD ∠=所以 ，PAD ABCD ⊥面平面-------------------5分 （2）建系{,,}OC OD OP ,所以 ()())()0,1,0,0,1,0,,0,0,1AD CP -()()(3,0,1),0,2,0,3,1,0CP BC AD CA =-===--设平面APC 的法向量为()1,,n x y z=(101,0z n y ⎧+=⎪⇒=⎨-=⎪⎩ (8)分 设平面BPC 的法向量为()2,,n x y z =(2020z n y ⎧+=⎪⇒=⎨=⎪⎩,-------------------------------------------10分 设二面角A PC B --的大小为θ，12cos |cos ,|7n n θ=<>==-----12分（3）111111()1212n n n f n a a a n n n n n=+++=+++++++++ (111)1n n n n<+++=项………………………………9分 由111111()1212n n n f n a a a n n n n n=+++=+++++++++…… 知11111(+1)++2322122f n n n n n n =+++++++… 于是111111(1)()021********f n f n n n n n n n +-=+->+-=++++++故(1)()f n f n +>()f n ∴当2n ≥且*n N ∈时为增函数7()(2)12f n f ∴≥=……………………………………11分 综上可知7()112f n ≤<……………………12分 20、解（1）2213,24bb e a a=∴==即1122A B A B S ab ==------------------------------------2分 2,a b ==，椭圆方程为22143x y +=----------------------3分同理可得:4N x =, MN x ⊥轴，直线MN 的方程为4x =………………10分 (ii)1212664,,4,22y y M N x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()121212123636992233y y y y FM FN x x my my ⋅=+=+++++()212221212222229363634999639393434369909182736y y m m m m y y m y y m m m m m m -⨯+=+=+--+++++++⨯=-=--++………………12分 FM FN ⊥,以MN 为直径的圆过定点F . ……………………13分21、解： （1）0x >， ()()22ln 122x f x x x x >⇔+>++--------------1分 ()()()()()()222214ln 1'021212x x g x x g x x x x x x =+-∴=-=>+++++-------3分()g x 递增，所以()()00g x g >=，所以()2ln 12xx x +>+-------------------4分 （2）当10x -<<不等式()()()211ln 11kxf x x x x kx x+<⇔++->+ ()()()21ln 1x x x x kx =++--设h()()()1'ln 12,''2+1h x x kx h x k x =+-=-， 因为110,011,11x x x -<<<+<∴>+ 若1212k k ≤≤即，()''0h x >，()'h x ↑，所以()()'00h x h <= ()h x ↓，()()00h x h >=----------------------------------------------7分若21k >，存在()01,0x ∈-，使得 ()001''20+1h x k x =-= 当()0,0x x ∈，()''0h x <，()'h x ↓，所以()()'00h x h >=()h x ↑，()()00h x h <=这与()()21ln 1x x x kx ++->矛盾-------------9分当0x >不等式()()()211ln 11kxf x x x x kx x+<⇔++-<+ ()()()21ln 1x x x x kx =++--设h()()()1'ln 12,''2+1h x x kx h x k x =+-=-， 10,11,011x x x >+>∴<<+ 若1212k k ≥≥即，()''0h x <，()'h x ↓，所以()()'00h x h >=()h x ↑，()()00h x h <=，所以不等式成立---------------------------12分若21k <，存在()00,x ∈+∞，使得 ()001''20+1h x k x =-= 当()00,x x ∈，()''0h x >，()'h x ↑，所以()()'00h x h >=()h x ↑，()()00h x h >=这与()()21ln 1x x x kx ++-<矛盾综上所述：()()111110,;0,1212kx kx x f x k x f x k x x ++-<<<⇒≥><⇒≤++ 1,0x x ∀<-≠且，()11kx f x x +<+恒成立时 ，12k =----------------------14分。
2016级高三理科数学综合训练试题(24)含答案
（第5题图）2016级高三理科数学综合训练试题（24）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．若复数3()1x iz x R i+=∈-是实数，则x 的值为( ) A ．3- B ．3 C ．0 D2．设集合2{|3100}M x R x x =∈--<，{|||2}N x Z x =∈<，则M N = ( )A ．(2,2)-B ．(1,2)C ．{1,0,1}-D ．{2,1,0,1,2}-- 3．24sin 225α=，02πα<<cos()4πα-的值为( ) A ．15 B ．15- C ．75 D ．15±4．下列判断错误．．的是( ) A ．“22am bm <”是“a < b ”的充分不必要条件B ．命题“x R ∀∈，3210x x --≤”的否定是“0x R ∃∈，3210x x -->”C ．若p ,q 均为假命题，则p q ∧为假命题D ．若~(4,0.25)B ξ，则1D ξ=5．在右图的算法中，如果输入A =138,B =22,则输出的结果是( )A ．2B ．4C ．128D ．0 6．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，则双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为( )A ．x y 2±=B ．x y 21±= C ．x y 4±= D ．x y 41±= 7．已知等差数列{}n a 中，111a =，前7项的和735S =，则前n 项和S n 中( )A ．前6项和最大B ．前7项和最大C ．前6项和最小D ．前7项和最小8．已知二项式2(n x （n N +∈）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为( ) A ．45256 B ．47256 C ．49256 D ．512569．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是( )A ．8 + πB ．283π+C ．12 + πD ．2123π+10．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学（其余三人在其他学校各选一所不同大学）的概率是( ) A ．15 B ．24125 C ．96125 D ．4812511．如图，设平面EF αβ= ，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别为B 、D ，若增加个一条件，就能推出BD ⊥EF 。
山东省2016届高三下学期综合测试(1)数学(文)Word版含答案
数学文一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知全集{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,2,3,2,3,4U A B ===，那么()A B =ðU(A) {}0,1(B) {}2,3 (C) {}0,1,4 (D) {}0,1,2,3,4（2）i 是虚数单位，若11z i =-，则z = (A)12(B) 2(C)(D) 2（3）某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为(A) 5?k ≤ (B) 4?k > (C) 3?k > (D) 4?k ≤ （4）若“﹁p ∨q ”是假命题，则 (A) p 是假命题 (B) ﹁q 是假命题 (C) p ∨q 是假命题 (D) p ∧q 是假命题 （5）已知向量2(2,1),(1,1)a a b k =+=-，则“2k =”是“a b ⊥”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 （6）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(A)(B)(C)(D)（7）过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于,A B 两点，若10AB =，则AB 的中点到y 轴的距离等于(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4（8）函数()sin x xy e e x -=-的图象（部分）大致是(A)(B)(C)(D)（9）过双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过,A O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C的方（第3题图）（第6题图）程为8(A) 112422=-y x (B) 19722=-y x(C) 18822=-y x (D) 141222=-y x（10）己知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，()()22f x f x +=-，()41f =，则不等式()x f x e <的解集为(A) ()2,-+∞(B) ()0,+∞(C) ()1,+∞(D) ()4,+∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）在等差数列{}n a 中，1533a =，2566a =，则35a = ________.（12）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若222s i n s i n s i n s i n A C B A C +-=，则角B 等于 .（13）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________. （14）设,x y 满足约束条件210,0,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为1,则14a b+的最小值为_________. （15）给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.对于三次函数()()320=+++≠f x ax bx cx d a ，有如下真命题：任何一个三次函数都有唯一的“拐点”，且该“拐点”就是()f x 的对称中心.给定函数()3211533212f x x x x =-+-，请你根据上面结论，计算12201420152016201620162016f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）某网站针对“2015年春节放假安排”开展网上问卷调查，提出了A ，B 两种放假方案，调查结果（Ⅱ）从参与调查的“老年人”中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人“支持B 方案”的概率.（17）（本小题满分12分）已知函数()f x =22sin cos x x x ωωω+-0ω>）的最小正周期是π.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移3π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x = 的图象，求()y g x =的解+析+式及其在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域.（18）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABED 是矩形，四边形ADGC 是 梯形，AD ⊥平面,DEFG EF //DG ，120EDG ︒∠=， 1AB AC EF ===，2DG =. （Ⅰ）求证：AE //平面BFGC ； （Ⅱ）求证：FG ⊥平面ADF .（19）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，111,()3nn n a a a n a *+==∈+N . （Ⅰ）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设(31)2n n n n nb a =-⋅⋅，记其前n 项和为n T ，若不等式1122n n n T n λ--<+ 对一切n *∈N恒成立，求λ的取值范围.（20）（本小题满分14分）已知函数()ln ,()xf x xg x e ==. （Ⅰ）求函数()y fx x =-的单调区间； （Ⅱ）若不等式()g x <在()0,+∞ 上有解，求实数m 的取值菹围； （Ⅲ）证明：函数()y f x =和()y g x =在公共定义域内， .（21）（本小题满分13分）设12,F F 是椭圆C ：2222+1x y a b =（0a b >>）的左右焦点,过2F 作倾斜角为π3的直线与椭圆交于,A B 两点,1F 到直线AB 的距离为3,连接椭圆的四个顶点得到菱形面积为4 . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点P 作直线1l 交椭圆C 于另一点Q .(1) 若点(0,t)N 是线段PQ 的垂直平分线上的一点，且满足4NP NQ ⋅= ，求实数t 的值.（第18题图） ()()2g x f x ->(2) 过P 作垂直于1l 的直线2l 交椭圆于另一点G ，当直线1l 的斜率变化时，直线GQ 是否过x轴上一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.（Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移3π个单位，再向上平移1个单位，得到 2sin(2)13y x π=++的图象，所以2sin(2)13y x π=++………………………8分因为02x π≤≤，所以42333x πππ≤+≤ ………………………10分所以当232x ππ+=即12x π=时()y g x =上有最大值3 所以当4233x ππ+=即2x π=时()y g x =上有最小值1所以()02y g x π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在，上的值域为ABC DE GFM]1⎡-⎣…………………………………12分18证明：（Ⅰ）连接CF.因为AC//DG,EF//DG所以AC//EF……………………………2分又=AC EF所以四边形AEFC是平行四边形所以AE//FC………………… 4分又AE⊄平面BFGC，FC⊂平面BFGC所以AE//平面BFGC．………… 6分（Ⅱ）取DG的中点M,连接FM,则EF DM=.又EF//DG，故四边形DEFM是平行四边形.所以112MF DE DG===所以DFG∆是直角三角形，所以FG⊥DF…………8分又,AD DEFG⊥面所以FG⊥AD………………………11分又AD ADF⊂面,DF ADF⊂面,AD DF D=所以FG ADF⊥面………12分19.解：（Ⅰ）由111,()3nnnaa a n Na*+==∈+知，11111322n na a+⎛⎫+=+⎪⎝⎭…………… 3分又111322a+=，所以112na⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列…… 4分所以111333222nnna-+=⨯=故231n na=-…… 6分（Ⅱ）1(31)22nn nn nn nb a-=-⋅⋅=……………………………… 7分所以0122111111123(1)22222n n nT n n--=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯1231111111123(1)222222n n nT n n-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯……………… 8分两式相减得0121111111222222222n n n nnT n-+=++++-⨯=-所以1242n nnT-+=-…………………………………………………… 9分由1122n nnT nλ--<+对一切n N*∈恒成立，即12n nnTλ-<+对一切n N*∈恒成立，所以2142nλ-<-对一切n N*∈恒成立……………………………… 10分设21()42ng n-=-，易知()g n是递增函数………………………………11分所以(1)2gλ<=，即2λ<. ………………………………12 分设()h x x e -=，()11x x h x ee '=-=-………………6分1≥=>，且(0,)x ∈+∞时，1x e >，所以10xe -<，即()0h x '<，故()h x 在区间[0,)+∞上单调递减，所以()(0)0h x h <=， …………………………………………8分 因此0m <﹒ …………………………………………9分 （Ⅲ）方法一：()f x 与()g x 的公共定义域为(0,)+∞，()()ln (ln )x x g x f x e x e x x x -=-=---，……………………………………10分设()x m x e x =-，(0,)x ∈+∞，因为()10xm x e '=->，()m x 在区间(0,)+∞上单调递增，()(0)1m x m >=， ………………………12分又设()ln n x x x =-，(0,)x ∈+∞，由（Ⅰ）知1x =是()n x 的极大值点， 即()(1)1n x n <=-，所以()()m()()1(1)2g x f x x n x -=->--=，在函数()y f x =和()y g x =公共定义域内， ()()2g x f x ->﹒ …………………13分方法二：()f x 与()g x 的公共定义域为(0,)+∞，令()()()ln xG x g x f x e x =-=-，则1()x G x e x'=- ……………………10分 设1()0x G x e x'=-=的解为00(0)x x >，则当0(0,)x x ∈时，()0G x '<， ()G x 单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0G x '>， ()G x 单调递增； 所以()G x 在0x 处取得最小值000001()ln x G x e x x x =-=+，………………12分 显然00x >且01x ≠，所以0012x x +>，所以0()()2G x G x ≥>， 故在函数()y f x =和()y g x =公共定义域内，()()2g x f x ->﹒…………………13分21.解: （Ⅰ）设焦距为2c ,过右焦点倾斜角为π30y --= ,由题意得222324ab a b c ⎧==⎨⎪=+⎪⎪⎩……….1分解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ …………2分 椭圆的方程为2214x y += …………………………….3分 （Ⅱ）(1)设11(,)Q x y (i)当1l 斜率不存在时，(2,0),(2,0),(2,t),(2,t)P Q NP NQ -=--=- 244NP NQ t ⋅=-=，t =±……………………………4分 （ii ）当1l 斜率存在时,设1l 的方程为(2)y k x =+ ，则22(2) 440y k x x y =+⎧⎨+-=⎩消去 y 得2222(14)161640k x k x k +++-= ,则212212016214164214k x k k x k ⎧⎪∆>⎪⎪-+=-⎨+⎪⎪--=⎪+⎩,……5分 所以2128214k x k -+=+,1124(2)14ky k x k=+=+ 故222824(,)1414k k Q k k -+++ ………6分. PQ 的中点22282(,)1414k kM k k -++ ……………7分 令0x = ,得2614k t k -=+ , 所以26(0,)14kN k -+………………8分 222268210(2,),(,)141414k k k NP NQ k k k -+=-=+++ 22224166041414k k NP NQ k k-+⋅=+=++ ,解得7k =± ,符合0∆>故5t =±…………………………………9分综上所述t =±5t =±………………………10分(2)设GQ 的方程为y kx m =+ ,设2233(,),(,)G x y Q x y22440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩ 消去x 得222(14)8440k x kmx m +++-= 则23222328144414km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩2223232322222222222222()4484414141414y y k x x kb x x b k b k k b k b b b k k k k k =+++-+-=-+=++++ ……12分 因为12l l ⊥ ,所以0PG PQ ⋅=22332323232222222222(2,)(2,)2()44416412165(2)(65)401414141414PG PQ x y x y x x x x y y m km m k k km m k m k m k k k k k⋅=+⋅+=++++----+--=+++===+++++ 解得2m k =(舍) 或65km =所以GQ 的方程为65k y kx =+ ,即6()5y k x =+ ,过定点6(,0)5- ……13分当GQ 的斜率不存在时,经计算知也过6(,0)5-,故过定点6(,0)5-.……14分。
2016级高三理科数学综合训练试题(6)含答案
2016级高三理科数学综合训练试题（6）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U R =，集合2{23}A x x x =>+，3{log 1}B x x =>，则下列关系正确的是（ ）A ． A C U B=RB ． BC U A=R C ．A B R =D ．A B A =2．已知(5nx 的展开式中二项式系数之和是64，则它的展开式中常数项是（ ）A ．15B ．15-C ．375-D ．3753．已知命题:p “若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”，命题q ：“1122a b >”的充要条件为“ln ln a b >”，则下列复合命题中假命题是（ ） A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．()p q ∧⌝4．若向量,a b 的夹角为3π，a =，2a b += b = （ ）A.B. 1C. 4D. 35．执行如图所示的程序框图，则输出的i =( )A ．4B ．5C ．6D ．76．已知随机变量X 服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数2)2(221)(--=x ex f π的图象，若21()3f x dx =⎰，则(4)P X >=（ ）A ．16 B ．14 C ．13 D ．127．已知函数2()()f x x ax b a b R =++∈、的两个零点为12,x x 、并且12012,x x <<<<则226a b b +-的取值范围是（ ）A ．[1,4)-B ． [4,1)-C ．(1,4)D ．(1,4)- 8．已知数列{}n a中，114,1n n a a a +==+=（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．已知(0,),(0,)2παβπ∈∈，且cos tan 1sin βαβ=-，则（ ）A ．22παβ+=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．32παβ-=10．若函数()()f x x R ∈对任意12x x ≠，都有1122()()x f x x f x +>1221()()x f x x f x +，则函数()f x 是（ ）A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数11．已知点(,0)F c (0)c >是椭圆22221x y a b +=的右焦点，F关于直线3y x =的对称点A 也在椭圆上，则该椭圆的离心率是（ ） A2B1CD．212．已知求形如函数()()()g x y f x =的导数的方法如下：先两边同取自然对数得：ln ()ln ()y g x f x =，再两边同时求导数得到：11()ln ()()()()y g x f x g x f x y f x '''=+ ，于是得到()()1()()ln ()()()()g x y f x g x f x g x f x f x ⎛⎫'''=+ ⎪⎝⎭.运用此方法求得函数1(0)xy x x =>的极值情况是（ ）A ．极大值点为1,e e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．极小值点为1,e e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．极大值点为eD ．极小值点为e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知点),2(t P 在不等式组40,30x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点),2(t P 到直线34100x y ++=距离的最大值与最小值的和为 14．复数22z =+，i 是虚数单位，则2015z = . 15．已知几何体由两个直棱柱组合而成，其三视图和直观图如图所示.设两异面直线1,AQ PD 所成的角为θ，则cos θ的值为 .16．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴交于点R ，过焦点F 作倾斜角为23π的直线l 与抛物线C 交于,A B 两 点，过,A B 两点分别作准线的垂线，垂足分别为,P Q ，则:PAR QBR S S ∆∆的值等于 .CAB C1三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）设向量)sin ,(cos ),2cos ,2(sin ϕϕωω==x x ，其中2πϕ<，0ω>，函数x f ⋅=)(的图象在y 轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为(,1)6P π，在原点右侧与x轴的第一个交点为5(,0)12Q π. （1）求函数()f x 的表达式；（2）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，若23,1)(-=⋅-=C f ，且a b +=边长c ．18．（本小题满分12分）某校对数学、物理两科进行学业水平考前辅导，辅导后进行测试，按照成绩（满分均为100分）划分为合格（成绩大于或等于70分）和不合格（成绩小于70分）.现随机抽取两科各100名学生的成绩统计如下：（1（2）设数学合格一人可以赢得4小时机器人操作时间，不合格一人则减少1小时机器人操作时间；物理合格一人可以赢得5小时机器人操作时间，不合格一人则减少2小时机器人操作时间.在（1）的前提下， （i ）记X 为数学一人和物理一人共同赢得的机器人操作时间（单位：小时）总和，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ii ）随机抽取4名学生，求这四名学生物理考前辅导后进行测试所赢得的机器人操作时间不少于13小时的概率.19．（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，112AB AC AA BC ====，1160AAC ∠=，BC =，1AC 与1AC 相交于点D . （1）求证：BD ⊥平面11AAC C ； （2）求二面角11A AB C --的正弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =12F F 、，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线:20l x y -+=相切.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，过点2F 作OP 的平行线交椭圆与M N 、两个不同的点，记2212,PF M OF N S S S S ∆∆==，令12S S S =+，求S 的最大值.21．（本小题满分12分）设函数4()ln 1()f x x a x a R x=--+∈. （1）若曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴垂直，求()f x 的极值；（2）当4a ≤时，若不等式()2f x ≥在区间[1,4]上有解，求实数a 的取值范围.四、选做题：请考生在22, 23, 24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，在⊙O 直径AB 的延长线上任取一点C ，过点C 做直线CE 与⊙O 交于点D 、E ，在⊙O 上取一点F ，使 AE AF =，连接DF ，交AB 于G . （1）求证：E 、D 、G 、O 四点共圆；（2）若CB OB =，求CB CG的值.23．（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程是4cos (0)2πρθθ=≤≤，直线l 的参数方程是3cos 6()sin6x t t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程； （2）求曲线C 上的动点M 到直线l 的距离的范围.24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲已知函数(),()f x x a a R =-∈.（1）若当04x ≤≤时，()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值； （2）当03a ≤≤时，求证：()()()().f x a f x a f ax af x ++-≥-2016级高三理科数学综合训练试题（6）参考答案ADBBC ，ADCCA ，BC 13、4 14、22i - 1516、19 17. 解：（I ）因为()f x m n ==sin(2)x ωϕ+， -----------------------------1分由题意514126T T πππω=-∴=∴=， -----------------------------3分 将点(,1)6P π代入sin(2)y x ϕ=+，得sin(2)16πϕ⨯+=，所以2,()6k k πϕπ=+∈Z ，又因为||,26ππϕϕ<∴=-------------------5分即函数的表达式为()sin(2),()6f x x x R π=+∈． ---------------------6分（II ）由()1f C =-，即sin(2)16C π+=-又20,3C C ππ<<∴= -----------8分由32CA CB =-，知3cos 2ab C =-，所以3ab = ------10分 由余弦定理知22222cos ()22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--212323()92=-⨯-⨯⨯-= 所以 3c = --------12分18. 解：（1）数学合格率14032841005P ++== 物理合格率24029631004P ++== ……2 （2）（i ）随机事件X 的取值为9,4,2,3-433(9)545P X ==⨯= 433(4)(1)5420P X ==-⨯= 431(2)(1)P X ==⨯-= 431(3)(1)(1)5420P X =-=-⨯-= (6)125942(3)5205204EX =⨯+⨯+⨯+-⨯= (8)（ii ）设这4名学生物理辅导后测试合格人数为(0,1,2,3,4)n n =，则由题意得52(4)13n n --≥，解得3,34n n ≥=所以或 (10)所求概率343444333189C 1C 444256P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ …………………12 19. 解：（1）由题意，菱形11ACC A 中，1112,60AC AA AAC ==∠=111,DA DC DC DA ∴===又11,2BAC BABC ∆== 中1(),BD AC BD ∴⊥=三线合一且222BCD BC DB DC ∴∆=+中，BD DC∴⊥又111,DC AAC C DC AC D ⊂= 面且11BD AAC C ∴⊥面 （2）由（1）知1,,DA DADB 两两垂直，建立如图空间直角坐标系11(0,1,0),(0,1,0)A A B C -易得11DA ABC ⊥面，故1DA =是平面1ABC 的一个法向量设(,,)n x y z = 是平面1ABA 的一个法向量10n AB y n AA y ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩令y =1,(1x z n===故设二面角11A AB C --为θ，则0180θ<<1cos ,n DA ==sin θ==20. 解：（1）b ==222,c e a b c a ==+且解得：2a =C 的方程为：22142xy += （2）2F ，设1111(,),(,)M x y N x y 2OP FM 22PF M OF M S S ∆∆∴=2221212OF M OF N OMN S S S S OF y y ∆∆∆∴=+==-=设直线:MN x ky =x ky =22142x y +=得22(2)20k y ++-= 1212222y y y y k -∴+==+S∴====2(0)k≥=等号成立当且仅当max0,k S∴==当时21. 解：（1）24()1af xx x'=+-由题意，切线斜率(1)140k f a'==+-=5a∴=4()5ln1f x x xx∴=--+，2224554()1(0)x xf x xx x x-+'=+-=>()014f x x x'===，则或()f x∴的极小值为(4)415ln41410ln2f=--+=-;()f x的极大值为(1)14012f=--+=-（2）由题意，当4a≤时，()f x在[1,4]上的最大值2M≥,224()(14)x axf x xx-+'=≤≤（i）当44a-≤≤时，222424()0a axf xx⎛⎫-+-⎪⎝⎭'=≥故()f x在[1,4]上单调递增，(4)M f=（ii）当4a<-时，设221240(160),x ax a x x-+=∆=->的两根为12124x x ax x+=<⎧⎨=⎩故12,0x x<∴在[1,4]上224()0x axf xx-+'=>故()f x在[1,4]上单调递增，(4)M f=综上所述，当4a≤时，()f x在[1,4]上的最大值(4)41ln412M f a==--+≥解得1ln2a≤,所以a的取值范围是1(,]ln2-∞22.23.解：（1）直线:3l x+=，即：30x+=由24cosρρθ=得：224x y x+=，即：22(2)4x y-+=0,sin02yπθρθ≤≤∴=≥故C的参数方程为：22cos(0)2sinxyααπα=+⎧≤≤⎨=⎩（2）设点(22cos,2sin)Mαα+到直线30x+=的距离为dd==54sin()1654sin()(0)226παπααπ--⎛⎫==--≤≤⎪⎝⎭51sin()166626ππππαα-≤-≤-≤-≤时,min max117sin()1,,sin(),62622d dππαα∴-==-=-=时时点M到直线l的距离的范围是17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦24.解(1)解()2x a f x-=≤得，22a x a-≤≤+由题意得2042aa-≤⎧⎨≤+⎩，故22a≤≤所以2a=。
2016级高三文科数学综合训练试题(7)含答案
2016级高三文科数学综合训练试题（7）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1．（2015·东北三省四城市联考暨沈阳市二模·1）已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则A B = （ ）．A ．[1,0]-B ．]2,1[C ．[0,1]D ．(,1][2,)-∞⋃+∞2．（2015·广东深圳二模·1）i 是虚数单位，复数i11+在复平面内对应的点位于（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2015·乌鲁木齐第二次诊断·5）向以（0,0），（1，0），（1,1），（0,1）为顶点的正方形区域内随机投一个点，则该点落在0021x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩内的概率为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．344．（2015届·安徽省安庆市高三第二次模拟考试·3）设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3,0,2201620152014==-=S S S ，则d 等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15．（2015·商丘市高三第二次模拟考试·5）函数()cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(∈x R ,0>ω)的最小正周期为π，为了得到()f x 的图象，只需将函数()sin 3g x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ）． A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度6．（2015·湖南十三校二模·5）已知23=+y x ，则y x 273+的最小值为（ ） A ．22B ．4C ．33D ．67．（2015·湖南怀化二模·2） 下列说法正确的是（ ）．A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”；B ．命题“01,02<-+≥∀x x x ”的否定是“01,02<-+<∃x x x ”；C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；D ．“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件．8．（2015·黑龙江大庆第一中学模拟）函数xe xf x-=-22)(的图象大致是()9．（2015·杭州第二次教学质检·3）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ） A ．314 B ．4 C ．310D ．2 10．（2015·广西南宁二次适应性测试·8）设椭圆22221(0,0)x y m n m n+=>>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，椭圆的离心率为12，此椭圆的方程为（ ）．A ．1161222=+y x B ．1121622=+y x C ．1464822=+y x D ．1485422=+y x 11．（2015·河南郑州第二次质量预测·6）已知圆C ：224x y ＋＝，若点P （0x ，0y ）在圆C 外，则直线l :004x x y y ＋＝与圆C 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定12．（2015·长春市普通高中高三质量监测（三）·4）已知△ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为,,a b c ,222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．1CD ．2本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2015·安徽合肥二模·12)如图所示的程序框图，若输入的x 的值是1，则输出的结果为 ． 14．（2015·长春市质量监测·14）将高一9班参加社会实践编号为：1，2，3,…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 ．15．（2015·北京市西城区高三一模试卷·9）已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____．16．（2015·山西忻州一中、康杰一中、长治二中、临汾一中联考）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-)0()0(3)(x x x x f x，若函数b x x f x g --=21)()(有且仅有两个零点，则实数b 的取值范围是 ．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（2015·安徽省合肥市高三第二次教学质量检测·18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足221110,2,2n n n n n a a a a a a ++>==+且． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1,n n n n n b a c a b =-= ，求数列{}n c 的前n 项和Sn ．18．（2015·东北三省四市联考二·19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝45°，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点E 为AB 上一点，且k AB AE=，点F 为PD 中点． （1）若21=k ，求证：直线AF //平面PEC ； （2）是否存在一个常数k ，使得平面PED ⊥平面P AB ． 若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．19．（2015·北京海淀区期中练习·16）（本小题满分12分）某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布．．．．表．和频率分布直方图：（1）写出频率分布直方图中的a 的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；（2）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小；（只需写出结论）（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售总量．20．（2015·东北三省四城市联考·20）（本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为(0,2)，且离心率为2， （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：过圆222x y r+=上一点00(,)Q x y 的切线方程为200x x y y r +=；（3）从椭圆C 上一点P 向圆221x y +=上引两条切线，切点为,A B ． 当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于,M N 两点时，求MN 的最小值．21．（2015·河南郑州二模·21）（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln 1)(+-=，其中a 为常数． （1）当)1,(ea --∞∈时，若)(x f 在区间),0(e 上的最大值为4-，求a 的值；（2）当ea 1-=时，若函数2ln |)(|)(b x x x f x g --=存在零点，求实数b 的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（2015·河南郑州第二次质量预测·22）如图，已知圆O 是ABC ∆的外接圆，BC AB =,AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． （1）求证：AE AD BC AC ⋅=⋅； （2）若2=AF ,22=CF ,求AE 的长．B23．（2015·南京、盐城二模·21）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：2x sy s =⎧⎨=⎩）s 为参数(，直线l：2()4x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数．设曲线C 与直线l 交于B A ,两点，求线段AB 的长度．24．（2015·江西省八所重点中学4月联考·24）已知函数a a x x f +-=2)(（其中a 为实常数）．（1）若集合{}43x x -≤≤是关于x 的不等式6)(≤x f 的解集的子集，求实数a 的值范围；（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．2016级高三文科数学综合训练试题（7）解析1．C 2．D 3． B 4．D 5．C 6．D 7．C【命题立意】本题旨在考查简易逻辑问题，设计否命题，逆否命题，命题的非，充要条件。
2016级高三文科数学综合训练试题(4)含答案
2016级高三文科数学综合训练试题（3）含答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合 {}{}(2)|ln(2),|21,x x A x N y x B x A B -=∈=-=≤= （ ） A ．{}|1x x ≥ B ．{}|12x x ≤< C ．{}1 D ．{}0,12．已知复数z 满足方程z ii z+=（i 为虚数单位），则 z =（ ） A ． 1122i + B ． 1122i - C ． 1122i -- D ． 1122i -+3．一个四棱锥的三视图如右图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A ． lB ．2C 3．D ．44．已知正数组成的等比数列 {}n a ，若 120100a a ⋅=，那么 318a a + 的最小值为（ ） A ．20 B ．25 C ． 50 D ．不存在5．若实数y x ,满足约束条 330,240,220.x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则y x z +=的最大值为（ ）A ．1B ．2C ． 3D ．56．已知抛物线的焦点F 到准线的距离为4，若抛物线上一点P 到y 轴的距离是1，则等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．命题p :已知αβ⊥，则l α∀⊂，都有l β⊥命题q :已知//l α，则m α∃⊂，使得l 不平行于m （其中αβ、是平面，m l 、是直线），则下列命题中真命题的是（ ）A ． ()q ⌝∧⌝(p)B ． ()p q ∨⌝C ． ()p q ∧⌝D ． q ⌝∧(p) 8．在ABC ∆中,A =60，若c b a ,,成等比数列，则sin b Bc=（ ） A ．12 B ．2 C ．2 D ．49．一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz -中的坐标分别是(1，0，1)，(1，l ，0)， (0，1,0)， (1，1，1)，则该四面体的外接球的体积为（ ） A ．B ．πC ．D ． 2π10．设函数 1()cos 2f x x ω=对任意的 x R ∈，都有 ()()66f x f x ππ-=+，若函数 ()23sin g x x ω=-+，则 ()6g π的值是（ ）A ．1B ．5-或3C ．2-D ．1210．点 (,)M x y 在直线010=-+y x 上，且y x ,满足 55x y -≤-≤，则（ ）A ．0,2⎡⎢⎣⎦ B．⎡⎣ C．2⎡⎢⎣⎦ D．5,2⎡⎢⎣⎦ 11．过双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点 (,0)(0)F c c ->，作圆 2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若 2OF OE OP =-，则双曲线的离心率为（ ）ABCD12．直线m y =分别与曲线32+=x y ， ln y x x =+交于B A ,，则 AB 的最小值为（ ）A ．32 BC ．2D ．3 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在 ABC ∆中，若 31,32AB AC AB AC ==⋅= ,则 ABC S ∆为_________。
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2016届高三数学（理科）综合练习（95）班级 学号 姓名一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()UA B = ▲ ．2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm ），得到的数据为160，162， 159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为 ▲ ．5．若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ．6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等于 ▲ ．8．若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-=▲ ． 9．若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V ，则12S S 的值为 ▲ ．11．已知函数3()2f x x x =+，若1(1)(log 3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．13．已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ． （1）求cos C 的值；（2）若c =，△ABC的面积S ，求a b ，的值．16．（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA =，D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =，求证：AP ⊥平面1ACD ． （第7x ← 2x n ← nC B 1A 1PDCBA17．（本小题满分14分）某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x （单位：元，0x >）时，销售量()q x （单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过20，则1260()1q x x =+；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a =-a ，b 为实常数）． （1）求函数()q x 的表达式；（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab ﹒（1）若椭圆CC 的方程；（2）若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线2PF 交y 轴于点Q ﹒试判断以PQ 为直径的圆与点1F 的位置关系，并说明理由﹒19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3nn n a b = ()n *∈N ﹒（1）若3λ=，求数列{}n b 的通项公式；（2）若1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列；（3）若对任意的正整数n ，都有3n b ≤，求实数λ的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828=是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； （2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立证明你的结论．综合练习（95）附加题21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 —1：几何证明选讲已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高． 求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换 已知变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值．D ．选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．（1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．23．（本小题满分10分）设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)n n a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n +++-≤(*)n ∈N ．（第21-A 题）综合练习（95）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{125}，， 2．1- 3．65 4．12 5．4 6．()()0,11,2 7．1 8．17-9． [010]， 103211．()()0,13,+∞ 12．312n - 13．(1,5)- 14．1 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：（1）∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-， …………2分 由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒ …………4分 ∵A B C ++=，∴sin sin()A B C =+﹒又∵()0,A ∈，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． …………6分（2）∵()0,C ∈， 1cos 4C =，∴sin C ==．∵1sin 2S ab C ==2ab =﹒① …………9分∵c 22132a b ab =+-，∴224a b +=，② …………12分由①②，得42440a a -+=，从而22a =，a =，所以b =，∴a b ==． …………14分 16．证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ． ∵四边形11AA C C 是矩形，∴O 是1AC 的中点． …………2分 在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥． …………4分 又∵OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， ∴1BC ∥平面1ACD ． …………6分 （2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ …………8分 ∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分∵1BB =，11BB AA = ，114BP BB =，∴1BP ADBA AA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ， 从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D ⊥． …………12分又∵1CDA D D =，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD ∴AP ⊥平面1ACD ． …………14分 17．解：（1）当20180x ≤≤时，由600a b a b ⎧-⎪⎨-⎪⎩，，得90a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， (2)分故1260,020,1()90180,0,180x x q x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤ …………4分（2）设总利润()()f x x q x =⋅，由（1）得126000020,1()9000201800180xx x f x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，， …………6分 当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增， 所以当20x =时，()f x 有最大值120000． …………8分当20180x <≤时，()9000f x x -＝()9000f x '-＝令()0f x '＝，得80x =． …………10分 当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分 当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x ya b+=，即0ax by ab +-=﹒ab =，化简，得221a b +=﹒① …………2分 （1）∵c e a ==22223a b a -=，即223a b =﹒② 由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ …………5分所以，椭圆C 的方程为224413x y +=﹒ …………6分 （2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，（*） …………8分 则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a-== ，∵点P 在第二象限，∴1k =﹒ …………10分 把1k =代入方程（*） ，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--， 令0x =，得22b c y a c =+，所以点22(0,)+b cQ a c﹒ …………12分从而221=(,)F P a c b -+，212=(,)+b cFQ c a c， …………13分 从而42112()+b cF P FQ c a c a c⋅=-++ 22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==， 又∵221a b +=，222=+a b c ，∴110F P F Q ⋅=﹒ …………15分所以点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒ …………16分 19．解：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ， ∴当2n ≥时，-13n n n S S λ=+， 从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123nn n a a λ+=+⋅， n *∈N ﹒ …………2分 （1）当3λ=时， 1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n n a a ++=+，即123n nb b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列，所以213n n b +=． …………4分（2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯--11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分又163(1)3033c -=+=≠--λλλ， 所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列， 13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒…………8分（3）在（2）中，若1λ=，则0n c =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-．从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n nn a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，． …………9分 当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---． 若3λ>时， 103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去． …………11分若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >．所以只须11133ab ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ，因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可．于是713λ<≤． …………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分20．解：（1）当1a =-时，2()e x f x x bx =-+-，∴()e 2x f x x b '=-+-， 由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R 恒成立﹒ …………1分 由e 20x x b -+-≤，得e 2x b x +≥-，令()e 2x F x x =+-，则()e 2x F x '=+-，令()0F x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减， 从而当ln2x =时，()F x 有最大值2ln22-，所以2ln22b -≥． …………3分 （2）当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()e x x G x =，则(2)()e xx x G x -'=，令()0G x '=，得0x =或2x =． …………5分当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，，当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24e a <-，所以当0a =或24ea <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分（3）2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-，假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+，即000()()()2f x f m x m f x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-，00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )ex m x m a a x m+-=-﹒……（*）﹒ …………10分∵0a ≠，∴0020e e ex m x m x m +-=-，不妨设00t x m =->，则2e e e t t m m m t ++-=﹒ 两边同除以e m，得2e 1e t t t-=，即2e e 1tt t =-， …………12分令2()e e 1t t g t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t ttt t g t '=-+=--，令2()e 12t t h t =--，则22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增， 又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分 即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =， ∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即（*）式不成立， …………15分∴不存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ．∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒． …………2分 ∴BAE ADC ∠=∠． …………4分 又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． …………7分∴BE ACBA AD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． …………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分 ∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，， …………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. …………9分即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ． …………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程为112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，为参数)， …………2分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +-=， …………6分 设该方程两根为1t ，2t ，则121t t ⋅=-﹒ …………8分 ∴12==1MA MB t t ⋅⋅． …………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为 右—左=432222x x x --+ …………2分 =3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++ …………4分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥， …………8分所以，原不等式成立． …………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=． …………4分 （2）由题意，得=0123，，，X ，044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ， 22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， …………8分 ∴X 的分布列为…………10分 2=时，12a a =-，∴23．证明：（1）当11|2a ≤，1122||||||1a a a =+≤，即∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分 （2）假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立， 即当120k a a a +++=，且12||||||1k a a a +++≤时，有1211||22k b b b k+++-≤． …………3分则当1n k =+时，由1210k k a a a a +++++=，且121||||||1k a a a ++++≤，∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++≤≤，∴11||2k a +≤， …………5分又∵1211()0k k k a a a a a -++++++=，且1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++≤≤，由假设可得112111||22k k k a a b b b k k+-+++++-≤， …………7分 ∴1121121|||1k k k k k a ab b b b b b b k k ++-++++=++++++1111112111|()(||1221k k k k k k k a a a a a a b b b k k k k k k+++++-+=+++++-+++-)|≤-111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-， 即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分。