一次函数 压轴题 专项练习
与一次函数有关的压轴题
一次函数压轴题综合训练一．解答题〔共30小题〕1．在平面直角坐标系中，△AOC中，∠ACO=90°．把AO绕O点顺时针旋转90°得OB，连接AB，作BD⊥直线CO于D，点A的坐标为〔﹣3，1〕．〔1〕求直线AB的解析式；〔2〕假设AB中点为M，连接CM，动点P、Q分别从C点出发，点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动，当Q点运动到D点时，P、Q同时停止，设△PQO 的面积为S〔S≠0〕，运动时间为T秒，求S与T的函数关系式，并直接写出自变量T的取值围；〔3〕在〔2〕的条件下，动点P在运动过程中，是否存在P点，使四边形以P、O、B、N〔N为平面上一点〕为顶点的矩形？假设存在，求出T的值．2．如图1，直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC 〔1〕求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．〔2〕如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，假设AD=AC，求证：BE=DE．〔3〕如图3，在〔1〕的条件下，直线AC交x轴于M，P〔，k〕是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？假设存在，请求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由．3．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是〔﹣8，0〕，点A的坐标为〔﹣6，0〕〔1〕求k的值．〔2〕假设P〔x，y〕是直线ℓ在第二象限一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值围．〔3〕当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．4．如图，在平面直角坐标系xoy中，点A〔1，0〕，点B〔3，0〕，点，直线l经过点C，〔1〕假设在x轴上方直线l上存在点E使△ABE为等边三角形，求直线l所表达的函数关系式；〔2〕假设在x轴上方直线l上有且只有三个点能和A、B构成直角三角形，求直线l所表达的函数关系式；〔3〕假设在x轴上方直线l上有且只有一个点在函数的图形上，求直线l所表达的函数关系式．5．如图1，直线y=﹣kx+6k〔k＞0〕与x轴、y轴分别相交于点A、B，且△AOB的面积是24．〔1〕求直线AB的解析式；〔2〕如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA﹣OB运动；同时点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，过点E作与x轴平行的直线l，与线段AB 相交于点F，当点P与点F重合时，点P、E均停止运动．连接PE、PF，设△PEF的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值围；〔3〕在〔2〕的条件下，过P作x轴的垂线，与直线l相交于点M，连接AM，当tan∠MAB=时，求t值．6．首先，我们看两个问题的解答：问题1：x＞0，求的最小值．问题2：t＞2，求的最小值．问题1解答：t=x+2，于是．由问题1的解答知，的最小值，所以的最小值是．弄清上述问题与解答方法之后，解答下述问题：在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b 〔k＞0，b＞0〕的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3．〔1〕用b表示k；〔2〕求△AOB面积的最小值．7．如图①，过点〔1，5〕和〔4，2〕两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．〔1〕如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影局部〔不包括边界〕所含格点的个数有_________ 个〔请直接写出结果〕；〔2〕设点C〔4，0〕，点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标_________ ；〔3〕如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N的坐标．8．如图，AOCE，两个动点B同时在D的边上按逆时针方向A运动，开场时点F在点FA位置、点Q在点O 位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．〔1〕在前3秒，求△OPQ的最大面积；〔2〕在前10秒，求x两点之间的最小距离，并求此时点P，Q的坐标．9．假设直线y=mx+8和y=nx+3都经过x轴上一点B，与y轴分别交于A、C〔1〕填空：写出A、C两点的坐标，A _________ ，C _________ ；〔2〕假设∠ABO=2∠CBO，求直线AB和CB的解析式；〔3〕在〔2〕的条件下假设另一条直线过点B，且交y轴于E，假设△ABE为等腰三角形，写出直线BE的解析式〔只写结果〕．10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为〔﹣4，0〕，点B的坐标为〔0，b〕〔b＞0〕． P 是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'〔点 P'不在y轴上〕，连接P P'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a．〔1〕当b=3时，求直线AB的解析式；〔2〕在〔1〕的条件下，假设点P'的坐标是〔﹣1，m〕，求m的值；〔3〕假设点P在第一像限，是否存在a，使△P'CA为等腰直角三角形？假设存在，请求出所有满足要求的a的值；假设不存在，请说明理由．11．如图，四边形OABC为直角梯形，BC∥OA，A〔9，0〕，C〔0，4〕，AB=5．点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．〔1〕求直线AB的解析式；〔2〕t为何值时，直线MN将梯形OABC的面积分成1：2两局部；〔3〕当t=1时，连接AC、MN交于点P，在平面是否存在点Q，使得以点N、P、A、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如下图，在平面直角坐标系中，点A〔0，6〕，点B〔8，0〕，动点P从A开场在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时动点Q从B开场在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设运动的时间为t秒．〔1〕求直线AB的解析式；〔2〕当t为何值时，△APQ与△ABO相似？13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P〔x，y〕，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，C〔a，0〕，点E在y轴上，点D，F在x轴上，AD=OB=2FC，EO是△AEF的中线，AE交PB于点M，﹣x+y=1．〔1〕求点D的坐标；〔2〕用含有a的式子表示点P的坐标；〔3〕图中面积相等的三角形有几对？14．如图，在直角坐标平面中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴的负半轴上，cos∠ABC=，点P在线段OC上，且PO、OC的长是方程x2﹣15x+36=0的两根．〔1〕求P点坐标；〔2〕求AP的长；〔3〕在x轴上是否存在点Q，使四边形AQCP是梯形？假设存在，请求出直线PQ的解析式；假设不存在，请说明理由．15．函数y=〔6+3m〕x+〔n﹣4〕．〔1〕如果函数的图象与y=3x的图象平行，且经过点〔﹣1，1〕，先求该函数图象的解析式，再求该函数的图象与y=mx+n的图象以与y轴围成的三角形面积；〔2〕如果该函数是正比例函数，它与另一个反比例函数的交点P到轴和轴的距离都是1，求出m和n的值，写出这两个函数的解析式；〔3〕点Q是x轴上的一点，O是坐标原点，在〔2〕的条件下，如果△OPQ是等腰直角三角形，写出满足条件的点Q的坐标．16．如图，Rt△OAC是一放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OA和OC是方程的两根〔OA＞OC〕，∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O 与点D重合，折痕为CE．〔1〕求线段OA和OC的长；〔2〕求点D的坐标；〔3〕设点M为直线CE上的一点，过点M作AC的平行线，交y轴于点N，是否存在这样的点M，使得以M、N、D、C为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请求出符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，△AOB为等腰三角形，且OA=OB，过点B作y轴的垂线，垂足为D，直线AB的解析式为y=﹣3x+30，点C在线段BD上，点D关于直线OC的动时，另一点也随之停止运动．设△PQC的面积为S，运动时间为t，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值围；〔3〕在〔2〕的条件下，连接PQ，设PQ与OB所成的锐角为α，当α=90°﹣∠AOB时，求t值．〔参考数据：在〔3〕中，取．〕18．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A〔2，﹣3〕，与x轴交于点B，且与直线平行．〔1〕求：直线l的函数解析式与点B的坐标；〔2〕如直线l上有一点M〔a，﹣6〕，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，在线段MN上求一点P，使△PAB是直角三角形，请求出点P的坐标．19．如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．〔1〕求点P的坐标；〔2〕求S△OPA的值；〔3〕动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动〔E不与点O、A重合〕，过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为〔a，0〕，矩形EBOF与△OPA重叠局部的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．20．如图，在平面直角坐标系中，点A〔2，0〕，C〔0，1〕，以OA、OC为边在第一象限作矩形OABC，点D 〔x，0〕〔x＞0〕，以BD为斜边在BD上方做等腰直角三角形BDM，作直线MA交y轴于点N，连接ND．〔1〕求证：①A、B、M、D四点在同一圆周上；②ON=OA；〔2〕假设0＜x≤4，记△NDM的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求出△NDM面积的最大值；〔3〕再点D运动过程中，是否存在某一位置，使DM⊥DN？假设存在，请求出此时点D的坐标；假设不存在，请说明理由．21．如图〔1〕，直线y=kx+1与y轴正半轴交于A，与x轴正半轴交于B，以AB为边作正方形ABCD．〔1〕假设C〔3，m〕，求m的值；〔2〕如图2，连AC，作BM⊥AC于M，E为AB上一点，CE交BM于F，假设BE=BF，求证：AC+AE=2AB；〔3〕经过B、C两点的⊙O1交AC于S，交AB的延长线于T，当⊙O1的大小发生变化时，的值变吗？假设不变证明并求其值；假设变化，请说明理由．22．如图：直线y=﹣x+18分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=2x分别与AB交于C点，与过点A且平行于y轴的直线交于D点．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠局部〔阴影局部〕的面积为S〔平方单位〕，点E的运动时间为t〔秒〕．〔1〕当0＜t＜12时，求S与t之间的函数关系式；〔2〕求〔1〕中S的最大值；〔3〕当t＞0时，假设点〔10，10〕落在正方形PQMN的部，求t 的取值围．23．直线l：y=﹣x+3分别交x轴、y轴于B、A两点，等腰直角△CDM斜边落在x轴上，且CD=6，如图1所示．假设直线l以每秒3个单位向上作匀速平移运动，同时点C从〔6，0〕开场以每秒2个单位的速度向右作匀速平移运动，如图2所示，设移动后直线l运动后分别交x轴、y轴于Q、P两点，以OP、OQ为边作如图矩形OPRQ．设运动时间为t秒．〔1〕求运动后点M、点Q的坐标〔用含t的代数式表示〕；〔2〕假设设矩形OPRQ与运动后的△CDM的重叠局部面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t相应的取值围；〔3〕假设直线l和△CDM运动后，直线l上存在点T使∠OTC=90°，那么当在线段PQ上符合条件的点T有且只有两个时，求t的取值围．24．如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且A点的坐标是〔1，0〕．〔1〕直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；〔2〕假设直线l经过点E，且将正方形ABCD分成面积相等的两局部，求直线l的解析式；〔3〕假设直线l1经过点F〔〕且与直线y=3x 平行．将〔2〕中直线l沿着y轴向上平移1个单位，交x轴于点M，交直线l1于点N，求△NMF的面积．25．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．〔1〕求直线l2的解析表达式；〔2〕求△ADC的面积；〔3〕在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标；〔4〕假设点H为坐标平面任意一点，在坐标平面是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出点H的坐标；假设不存在，请说明理由．26．如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为〔﹣6，0〕，P〔x，y〕是直线y=x+6上一个动点．〔1〕在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；〔2〕当P运动到什么位置，△OPA的面积为，求出此时点P的坐标；〔3〕过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？假设存在，直接写出此时点P的坐标〔不要求写解答过程〕；假设不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．〔1〕假设直线AB解析式为y=﹣2x+12，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．〔2〕如图，作∠AOC的平分线ON，假设AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ 与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？假设存在，求出这个最小值；假设不存在，说明理由．28．直角梯形OABC在如下图的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO 向O点运动．当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动．〔1〕求B点坐标；〔2〕设运动时间为t秒；①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积；③假设另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动．在②的条件下，PM+PN的长度也刚好最小，求动点P的速度．29．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P〔p，0〕，交y轴于点A〔0，a〕，且a、b满足．〔1〕求直线AP的解析式；〔2〕如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R〔0，2〕，点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；〔3〕如图2，点B〔﹣2，b〕为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，以下结论：①2DP+EF的值不变；②的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．30．如图，直线l1：y=﹣x+2与直线l2：y=2x+8相交于点F，l1、l2分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合．〔1〕求点F的坐标和∠GEF的度数；〔2〕求矩形ABCD的边DC与BC的长；〔3〕假设矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t〔0≤t≤6〕秒，矩形ABCD与△GEF重叠局部的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值围．。
一次函数压轴题(含答案)
一次函数压轴题(含答案)如图，已知直线 $y=2x+2$ 与 $y$ 轴。
$x$ 轴分别交于$A$。
$B$ 两点，以 $B$ 为直角顶点在第二象限作等腰直角三角形 $\triangle ABC$。
1）求点 $C$ 的坐标，并求出直线 $AC$ 的关系式。
2）如图，在直线 $CB$ 上取一点 $D$，连接 $AD$，若$AD=AC$，求证：$BE=DE$。
3）如图，在（1）的条件下，直线 $AC$ 交 $x$ 轴于$M$，$P（，k）$ 是线段 $BC$ 上一点，在线段 $BM$ 上是否存在一点$N$，使直线$PN$ 平分$\triangle BCM$ 的面积？若存在，请求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由。
考点：一次函数综合题。
分析：（1）如图，作 $CQ\perp x$ 轴，垂足为 $Q$，利用等腰直角三角形的性质证明 $\triangle ABO\cong \triangle BCQ$，根据全等三角形的性质求 $OQ$，$CQ$ 的长，确定$C$ 点坐标；2）同（1）的方法证明 $\triangle BCH\cong \triangle BDF$，再根据线段的相等关系证明 $\triangle BOE\cong \triangle DGE$，得出结论；3）依题意确定 $P$ 点坐标，可知 $\triangle BPN$ 中$BN$ 变上的高，再由 $\frac{1}{2}S_{\trianglePBN}=\frac{1}{2}S_{\triangle BCM}$，求 $BN$，进而得出$ON$。
解答：解：（1）如图，作$CQ\perp x$ 轴，垂足为$Q$。
因为 $\angle OBA+\angle OAB=90^\circ$，$\angleOBA+\angle QBC=90^\circ$，所以$\angle OAB=\angle QBC$。
又因为 $AB=BC$，$\angle AOB=\angle Q=90^\circ$，所以 $\triangle ABO\cong \triangle BCQ$。
一次函数压轴题(提高,有答案)
1．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（1，0），点B从点A出发，以每秒1个单位速度沿x轴正方向运动，过点B作y轴的平行线交直线y＝于点C，点D在直线BC上，且BD＝BA．连接AC，AD，记△ACD的面积为S，设运动时间为t秒．（1）填空：①设AB＝t，则BD＝，BC＝（用含t的代数式表示）；②当点D是线段BC的中点时，S＝；（2）当S＝时，求t的值；（3）当点D在线段BC上时，连接OD，直线OD与过点C且与OC垂直的直线交于点E，当△CDE是以DE 为腰的等腰三角形时，直接写出点C的坐标．2．如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（0，﹣3），点E（3，m）在直线y＝2x上，将△AOB沿射线OE方向平移，使点O与点E重合，得到△CED（点A、B分别与点C，D对应），线段CE与y轴交于点F，线段AB，CD分别与直线y＝2x交于点P，Q．（1）求点C的坐标；（2）如图②，连接AC，四边形ACQP的面积为（直接填空）；（3）过点C的直线CN与直线y＝2x交于点N，当∠NCE＝∠POB时，请直接写出点N的坐标．3．如图1，A（﹣4，0）．正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α＝60°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式．（2）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由．4．如图1，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴交于A（6，0），B两点，过点B的另一直线交x轴的负半轴于点C，且OB：OC＝3：1（1）求直线BC的解析式；（2）直线y＝ax﹣a（a≠0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使S△BDE ＝S△BDF？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，求出它的坐标；如果会发生变化，请说明理由．5．在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α＝60°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式．（2）若α＝45°，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，试说明理由．6．如图1，在平画直角坐标系中，直线交x轴于点E，交y轴于点A，将直线y＝﹣2x﹣7沿x轴向右平移2个单位长度交x轴于D，交y轴于B，交直线AE于C．（1）直接写出直线BD的解析式为，S△ABC＝；（2）在直线AE上存在点F，使BA是△BCF的中线，求点F的坐标；（3）如图2，在x轴正半轴上存在点P，使∠PBO＝2∠P AO，求点P的坐标．7．如图1，已知直线l1：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．（1）直接写出k的值为；（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l2：经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；（3）如图3，已知点M（﹣1，0），点N（5m，3m+2）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求点N坐标．8．如图所示，平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，且AB＝2，AO：BO＝2：；（1）求直线AB解析式；（2）点C为射线AB上一点，点D为AC中点，连接DO，设点C的横坐标为t，△BDO的面积为S，求S 与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点C在第一象限时，连接CO，过D作DE⊥CO于E，在DE的延长线上取点F，连接OF、AF，且OF＝OD，当∠DF A＝30°时，求S的值．9．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO 方向向点O匀速运动，点E是点B以Q为对称中心的对称点，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连结PQ，设P，Q两点运动时间为t秒（0＜t≤1.5）．（1）直接写出A，B两点的坐标．（2）当t为何值时，PQ∥OB？（3）四边形PQBO面积能否是△ABO面积的；若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△APQ为直角三角形？（直接写出结果）10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝x+4分别交y轴和x轴于点A、B两点，点C在x轴的正半轴上，AO＝2OC，连接AC．（1）如图1，求直线AC的解析式；（2）如图2，点P在线段AB上，点Q在BC的延长线上，满足：AP＝CQ，连接PQ交AC于点D，过点P 作PE⊥AC于点E，设点P的横坐标为t，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，PQ交y轴于点M，过点A作AN⊥AC交QP的延长线于点N，过点Q作QF∥AC交PE的延长线于点F，若MN＝DQ，求点F的坐标．11．在平面直角坐标系xOy中，对于图形G和图形M，它们关于原点O的“中位形”定义如下，图形G上的任意一点P，图形M上的任意一点Q，作△OPQ平行于PQ的中位线，由所有这样的中位线构成的图形，叫图形G和图形M关于原点O的“中位形”．已知直线y＝x+b分别与x轴，y轴交于A、B，图形S是中心为坐标原点，且边长为2的正方形．（1）如图1，当b＝2时，点A和点B关于原点O的“中位形”的长度是（请直接写出答案）；（2）如图2，若点A和点B关于原点O的“中位形”与图形S有公共点，求b的取值范围；（3）如图3，当b＝﹣6时，图形S沿直线y＝x平移得到图形T，若图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点，请直接写出图形T的中心的横坐标t的取值范围．12．如图1，在平面直角坐标系中，直线AC：y＝﹣3x+3与直线AB：y＝ax+b交于点A，且B（﹣9，0）．（1）若F是第一象限位于直线AB上方的一点，过F作FE⊥AB于E，过F作FD∥y轴交直线AB于D，D 为AB中点，其中△DFF的周长是12+4，若M为线段AC上一动点，连接EM，求EM+MC的最小值，此时y轴上有一个动点G，当|BG﹣MG|最大时，求G点坐标；（2）在（1）的情况下，将△AOC绕O点顺时针旋转60°后得到△A′OC'，如图2，将线段OA′沿着x轴平移，记平移过程中的线段OA′为O′A″，在平面直角坐标系中是否存在点P，使得以点O′，A″，E，P为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是一次函数y＝3x﹣20与y＝﹣x+12的交点，过点A分别作x，y轴的垂线段，垂足分别是B和C，动点P和Q以1个单位/秒的速度，分别从点C和B出发，沿线段CA和BO 方向，向终点A和O运动，设运动时间为t秒．（1）证明：无论运动时间t（0＜t＜8）取何值，四边形OP AQ始终为平行四边形；（2）当四边形OP AQ为菱形时，请求出此时PQ的长及直线PQ的函数解析式；（3）当OP满足2≤OP≤5时，连接PQ，直线PQ与y轴交于点M，取线段AC的中点N，试确定三角形MNP的面积S与运动时间t之间的函数关系，并求出S的取值范围．14．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积；（2）若直线l2上存在点P（不与B重合），满足S△COP＝S△COB，请求出点P的坐标；（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知直线AB与正比例函数y＝kx（k≠0）的图象交于点A（5，5），与x轴交于点B与y轴交于点C （0，）．点P为直线OA上的动点，点P的横坐标为t，以点P为顶点，作长方形PDEF，满足PD∥x轴，且PD＝1，PF＝2．（1）求k值及直线AB的函数表达式；并判定t＝1时，点E是否落在直线AB上，请说明理由；（2）在点P运动的过程中，当点F落在直线AB上时，求t的值；16．对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A逆时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P 关于点A的“垂链点”，图1为点P关于点A的“垂链点”Q的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q；①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为．②若点Q的坐标为（﹣2，1），则点P的坐标为．（2）如图2，已知点C的坐标为（1，0），点D在直线y＝x+1上，若点D关于点C的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D的坐标．（3）如图3，已知图形G是端点为（1，0）和（0，﹣2）的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M为图形G上的动点，点N为图形H上的动点，若存在点T（0，t），使得点M关于点T的“垂链点”恰为点N，请直接写出t的取值范围．17．如图，存平面直角坐标系中，直线AC与x轴交手点C，与y轴交于点A，OA＝，OC＝OA，分别以OA，OC力作矩形OABC，直线OD：y＝x交AB于点D，交直线AC于点H．（1）求直线AC的解析式及点H的坐标；（2）如图2，P为直线OD上一动点，E点，F点为直线AC上两动点（E在上，F在下），满足EF＝，当（3）如图3，将△AHD绕着点O顺时针旋转α（0°≤α≤60°），记旋转后的三角形为△A′H′D′．线段A′H′所在的直线交直线AC于点M（M不与A、C重合），交x轴于点N，在平面内是否存在一点Q，使得以C，M，N，Q四点形成的四边形为菱形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说出理由．18．阅读下列两则材料，回答问题，材料一：定义直线y＝ax+b与直线y＝bx+a互为“互助直线”，例如，直线y＝x+4与直y＝4x+1互为“互助直线”；材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），P1、P2两点间的直角距离d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．如：Q1（﹣3，1）、Q2（2，4）两点间的直角距离为d（Q1，Q2）＝|﹣3﹣2|+|1﹣4|＝8；材料三：设P0（x0，y0）为一个定点，Q（x，y）是直线y＝ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y＝ax+b的直角距离．（1）计算S（﹣1，6），T（﹣2，3）两点间的直角距离d（S，T）＝；（2）直线y＝﹣2x+3上的一点H（a，b）又是它的“互助直线”上的点，求点H的坐标．（3）对于直线y＝ax+b上的任意一点M（m，n），都有点N（3m，2m﹣3n）在它的“互助直线”上，试求点L（5，﹣1）到直线y＝ax+b的直角距离．19．如图，直线y＝x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，点E为线段AB的中点，∠ABO的平分线BD 与y轴相交于点D，A、C两点关于x轴对称．（1）一动点P从点E出发，沿适当的路径运动到直线BC上的点F，再沿适当的路径运动到点D处．当P的运动路径最短时，求此时点F的坐标及点P所走最短路径的长；（2）点E沿直线y＝3水平向右运动得点E'，平面内是否存在点M使得以D、B、M、E'为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E′的坐标；若不存在，请说明理由．20．若两个一次函数与x轴的交点关于y轴对称，则称这两个一次函数为“对心函数”，这两个与x轴的交点为“对心点”．（1）写出一个y＝2x+6的对心函数：，这两个“对心点”为；（2）直线l1，经过点A（﹣1，0）和B（0，﹣3），直线l1的“对心函数”直线l2与y轴的交点D位于点（0，1）的上方，且直线l1与直线l2交于点E，点C为直线l2的“对心点”，点G是动直线l2上不与C重合的一个动点，且BG＝BA，试探究∠ABG与∠ECA之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，直线l3：y＝x+2与其“对心函数”直线l4的交点F位于第一象限，M．N分别为直线l3、l4的“对心点”，点P为线段MF上一点（不含端点），连接NP；一动点H从N出发，沿线段NP以1单位/秒的速度运动到点P，再沿线段PF以单位/秒的速度运动到点F后停止，点H在整个运动过程中所用最短时间为6秒，求直线l4的解析式．21．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC的边分别在y轴、x轴正半轴上，OA＝6，OC＝8，点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，点P不与点O重合，以OP为边在OC上方作正方形OPEF，设正方形OPEF与△AOC的重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）．（1）直线AC所在直线的解析式是；（2）当点E落在线段AC上时，求t的值；（3）在点P运动的过程中，求S与t之间的函数关系式；（4）设边OC的中点为K，点C关于点P的对称点为C′，以KC′为边在OC上方作正方形KC′MN，当正方形KC′MN与△ABC重叠部分图形为三角形时，直接写出t的取值范围．（提示：根据P点的运动，可在草纸上画出正方形KC′MN与△ABC重叠部分图形为不同图形的临界状态去研究）22．在平面直角坐标系中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y＝x上，那么称该菱形为点A，C的“极好菱形“．如图为点A，C的“极好菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3）．（1）点E（2，4），F（3，2），G（4，0）中，能够成为点M，P的“极好菱形“的顶点的是；（2）若点M，P的“极好菱形”为正方形，求这个正方形另外两个顶点的坐标；（3）如果四边形MNPQ是点M，P的“极好菱形”．①当点N的坐标为（3，1）时，求四边形MNPQ的面积；②当四边形MNPQ的面积为12，且与直线y＝x+b有公共点时，请写出b的取值范围．23．在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点A坐标为（3，4），直线AC交y轴于点D，AB边交y轴于点E．（1）如图1，求直线AC解析式；（2）如图2，点F从点C出发沿射线CA运动，点F的横坐标为m，△FOD面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，当∠OFD+∠ABD＝∠FDO时，求点F坐标．24．图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1，l2都经过点A（﹣6，0），它们与y轴的正半轴分别相交于点B，C，且∠BAO＝∠ACO＝30⁰（1）求直线l1，l2的函数表达式；（2）设P是第一象限内直线l1上一点，连接PC，有S△ACP＝24．M，N分别是直线l1，l2上的动点，连接CM，MN，MP，求CM+MN+NP的最小值；（3）如图2，在（2）的条件下，将△ACP沿射线P A方向平移，记平移后的三角形为△A′C′P′，在平移过程中，若以A，C'，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点C′的坐标．25．2018年5月14日川航3U863航班挡风玻璃在高空爆裂，机组临危不乱，果断应对．正确处置，顺利返航，避免了一场灾难的发生，创造了世界航空史上的奇迹!下表给出了距离地面高度与所在位置的温度之间的大致关系．根据下表，请回答以下几个问题：距离地面高度（千米）012345所在位置的温度（℃）201482﹣4（1）上表反映的两个变量中，是自变量，是因变量？（2）若用h表示距离地面的高度，用y表示表示温度，则y与h的之间的关系式是：；当距离地面高度5千米时，所在位置的温度为：℃．如图是当日飞机下降过程中海拔高度与玻璃爆裂后立即返回地面所用时间关系图．根据图象回答以下问题：（3）返回途中飞机再2千米高空水平大约盘旋了几分钟？（4）飞机发生事故时所在高空的温度是多少？26．如图1，已知平行四边形ABCD，BC∥x轴，BC＝6，点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（﹣3，﹣4），点C在第四象限，点P是平行四边形ABCD边上的一个动点．（1）若点P在边CD上，BC＝CP，求点P的坐标；（2）如图2，若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝﹣x+1上，求点P的坐标；（3）若点P在边AB，AD，BC上，点E是AB与y轴的交点，如图3，过点P作y轴的平行线PF，过点E 作x轴的平行线E，它们相交于点F，将△PEF沿直线PE翻折，当点F的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）27．如图，直线y＝﹣2x+b分别于x轴、y轴交于A、B两点，与直线y＝kx交于点C（2，4），平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l分别交直线AB、直线OC于点D、E，以DE为边向左侧作正方形DEFG，当直线l经过点A时停止运动，设直线l的运动时间为t（秒）．（1）b＝，k＝；（2）设线段DE的长度为d（d＞0），求d与t之间的函数关系式；（3）当正方形DEFG的边GF落在y轴上，求出t的值；（4）当0≤t＜2时，若正方形DEFG和△OCB重叠部分面积为4，则t的值为．28．如图，在平面真角坐标系中，点A的坐标是（﹣，0），点B的坐标是（0，1）．点B和点C关于原点对称．点P是直线AB位于y轴右侧部分图象上一点，连接CP，已知S△BPC＝S△ABC，（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，△AOC沿着直线AC平移得△A′O′C′，平移后的点A′与点C重合点F为直线AC上的一动点，当PF+FC′的值最小时，请求出PF+FC′的最小值及此时点F的坐标；（3）如图3，将△PBC沿直线P A翻折得△PBG，点N为平面内任意一动点，在直线P A上是否存在点M，使得以点M、N、P、G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．29．在平面直角坐标系xOy中，中心为点C，正方形的各边分别与两坐标轴平行，点P是与C不重合的点，点P 关于正方形的仿射点Q的定义如下：设射线CP交正方形的边于点M，若射线CP上存在一点Q，满足CP+CQ ＝2CM，则称Q为点P关于正方形的仿射点．图1为点P关于正方形的仿射点Q的示意图．（1）如图2当正方形的中心为原点O，边长为2时．①判断点F（2，0），H（3，3）关于该正方形的仿射点存在的是，对于存在的点，直接写出其仿射点的坐标为；②若点P在直线y＝﹣x+3上，且点P关于该正方形的仿射点Q存在，则点P的横坐标的取值范围是；（2）若正方形的中心C在x轴上，边长为2，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，若线段AB上存在点P，使得点P关于该正方形的仿射点Q存在，并使Q所有仿射点在正方形的内部或边上，直接写出正方形的中心C的横坐标的取值范围是．30．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“伴随点”．例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．（1）点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标为．（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y＝kx+3的解析式．（3）在（2）的条件下，点C在函数y＝kx+3的图象上，点D是点C关于原点的对称点，点D的“伴随点为D'．若点C在第一象限，且CD＝DD'，直接写出此时“伴随点”D′的坐标，31．如图1，已知直线y＝2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，k）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．32．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于C．（1）如图1若直线AB的解析式：y＝﹣2x+12①求点C的坐标；②求△OAC的面积；（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，且OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，是探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．33．已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C 点的横坐标为1．（1）如图1，过点A作x轴的垂线，若点P（x，2）为垂线上的一个点，Q是y轴上一动点，若S△CPQ＝5，求此时点Q的坐标；（2）若P在过A作x轴的垂线上，点Q为y轴上的一个动点，当CP+PQ+QA的值最小时，求此时P的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（﹣2，0），将直线l1绕点C旋转，使旋转后的直线l3刚好过点E，过点C作平行于x轴的直线l4，点M、N分别为直线l3、l4上的两个动点，是否存在点M、N，使得△BMN是以M点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．34．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线AB：y＝mx+8m（m≠0）交x轴负半轴于A，交y 轴正半轴于B，直线BC：y＝nx+2n（n≠0）交x轴负半轴于C，且∠OAB＝2∠OBC．（1）求m、n的值；（2）点P（t，0）是x轴上一动点，过P作y轴的平行线，交AB于Q，交BC于R，设QR＝d，求d与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在线段OA上，且d＝9时，作点Q关于y轴的对称点T，连接CT，过B作BH⊥CT于H，在直线AB上取点M，过M作MN∥OH交直线BC于点N，若以O、H、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．35．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝kx﹣3k与y轴交于点A，与x轴交于点B，OA＝OB．（1）求直线AB的解析式；（2）点C在第二象限，AC∥x轴，连接OC，将线段OC绕着点C逆时针旋转90°得到线段CD，连接OD 交线段AB于点E，设点C的横坐标为t，点E的纵坐标为m，求m与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，连接AD、BD，过点C作CF⊥BD于点F，交AD于点G，若CG＝DE，求点E的坐标．36．【感知】如图①，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，0.5），点A的坐标为（1，0），将线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，过点B作BM⊥y轴，垂足为点M，易知△AOC≌△CMB，得到点B的坐标为（0.5，1.5）．【探究】如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，m）（m＞0），将线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB（1）求点B的坐标．（用含m的代数式表示）（2）直接写出点B所在直线对应的函数表达式．【拓展】如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点C在y轴上，将线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，连结BO、BA，则BO+BA的最小值为．37．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点M的坐标；②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．38．如图1，已知直线l：y＝﹣2x+4交y轴于点A，交x轴于点B，点C（﹣3，0），D是直线l上的一个动点．（1）求点B的坐标，并求当S△BCD＝S△BOA时点D的坐标；（2）如图2，以CD为边在CD上方作正方形CDEF，请画出当正方形CDEF的另一顶点也落在直线上的图形，并求出此时D点的坐标；（3）当D点在l上运动时，点F是否也在某个函数图象上运动？若是请直接写出该函数的解析式：若不在，请说明理由．39．在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．（1）如图2，点B的坐标为（b，0）．①若b＝﹣2，则点A，B的“相关矩形”的面积是；②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为．（2）如图3，点C在直线y＝﹣1上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，求直线AC的表达式；（3）如图4，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2），若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．40．平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”．对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD中，点A（1，0），点C（2，1），①下列四个点P1（0，1），P2（2，2），P3（﹣，0），P4（﹣，﹣）中，与点A是“中心轴对称”的是；②点E在射线OB上，若点E与正方形ABCD是“中心轴对称”的，求点E的横坐标x E的取值范围；（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G（﹣2，2），H（2，2），J（2，﹣2），K（﹣2，﹣2），一次函数y＝x+b图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．1．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（1，0），点B从点A出发，以每秒1个单位速度沿x轴正方向运动，过点B作y轴的平行线交直线y＝于点C，点D在直线BC上，且BD＝BA．连接AC，AD，记△ACD的面积为S，设运动时间为t秒．（1）填空：①设AB＝t，则BD＝t，BC＝t+（用含t的代数式表示）；②当点D是线段BC的中点时，S＝2；（2）当S＝时，求t的值；（3）当点D在线段BC上时，连接OD，直线OD与过点C且与OC垂直的直线交于点E，当△CDE是以DE 为腰的等腰三角形时，直接写出点C的坐标．【解答】解：（1）①AB＝BD＝t，则点B（t+1，0），则点C（t+1，t+），则BC＝t+，故答案为：t，t+；②当点D是线段BC的中点时，则2t＝（t+1），解得：t＝2，S＝CD×AB＝2×2＝2，故答案为：2；（2）点D（t+1，|t|），×（t++|t|）×t＝，解得：t＝﹣2或（不合题意的值已舍去）；（3）C（t+1，t+），点D（t+1，t），∵CE⊥OC，则设直线CE的表达式为：y＝﹣x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝（t+1），即直线CE的表达式为：y＝﹣x+（t+1）…①，同理直线OD的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：x＝，故点E[，]，①当DE＝CD时，tan∠DOB＝＝tanα，则cosα＝，DE＝（x E﹣x D）÷cosα＝，CD＝t+﹣t＝t+＝DE＝，整理得：17t2+10t﹣7＝0，解得：t＝或﹣1（舍去﹣1），故点C（，）；②当DE＝CE时，由等腰三角形“三线合一”知：y E＝（y C+y D），即＝（t++t），化简得：t2+t﹣12＝0，解得：t＝3或﹣4（舍去﹣4），故点C（4，）；综上，点C的坐标为：（，）或（4，）．2．如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（0，﹣3），点E（3，m）在直线y＝2x上，将△AOB沿射线OE方向平移，使点O与点E重合，得到△CED（点A、B分别与点C，D对应），线段CE 与y轴交于点F，线段AB，CD分别与直线y＝2x交于点P，Q．（1）求点C的坐标；（2）如图②，连接AC，四边形ACQP的面积为24（直接填空）；（3）过点C的直线CN与直线y＝2x交于点N，当∠NCE＝∠POB时，请直接写出点N的坐标．【解答】解：（1）点E（3，m）在直线y＝2x上，则m＝6，故点E（3，6），CE＝AO＝4，故点C（﹣1，6）；（2）根据图象的平移知，四边形ACQP的面积等于▱AOEC的面积，即S四边形ACQP＝S▱AOEC＝AO×y C＝4×6＝24，故答案为：24；（3）由直线y＝2x得：tan∠POB＝，当∠NCE＝∠POB时，tan∠NCE＝tan∠POB＝，①当点N在CE上方时，则CN的表达式为：y＝x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝，故直线CN的表达式为：y＝x+，将上式与y＝2x联立并解得：x＝，y＝，故点N（，）；②当点N在CE下方时，直线CN的表达式是：y＝﹣x+，同理可得：点N（，）；综上，点N的坐标为：（，）或（，）．3．如图1，A（﹣4，0）．正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α＝60°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式．（2）若α为锐角，tanα＝，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由．【解答】解：（1）如图1，过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M．∵OE＝OA，α＝60°，∴△AEO为正三角形，则OH＝2，EH＝2，故点E（﹣2，2），∠EOM＝30°，OM＝＝，设EF的函数表达式为：y＝kx+，将点E的坐标代入上式并解得：k＝，故直线EF的表达式为：y＝x+；（2）射线OQ与OA的夹角为α（α为锐角，tanα＝）．无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上，∴当AE⊥OQ时，线段AE的长最小．在Rt△AOE中，设AE＝a，则OE＝3a，则（a）2+（3a）2＝42，解得：a2＝，OE＝3a，正方形OEFG的面积＝（3a）2＝；（3）设正方形边长为m．当点F落在y轴正半轴时．如图3，当P与F重合时，△PEO是等腰直角三角形，有＝或＝．在Rt△AOP中，∠APO＝45°，OP＝OA＝4，。
一次函数与几何压轴(十大题型)(解析版)—2024-2025学年八年级数学上册(浙教版)
一次函数与几何压轴（十大题型）【题型1 一函数中面积问题】【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】【题型3 次函数中直角三角形的存在性问题】【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】【题型 6 一次函数中菱形的存在性问题】【题型7 一次函数中矩形的存在性问题】【题型8 一次函数中正方形的存在性问题】【题型9 一次函数与相等角/2倍角的问题】【题型10 一次函数中45°角问题】【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径：①知底求高、转化线段；②图形割补、面积和差；③平行交轨、等积变换。
【技巧点睛3】处理线段问题（1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）；（2）线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。
【技巧点睛4】角度问题（1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。
（2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点【技巧点睛5】最值问题（1）求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑；（2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型【技巧点睛6】特殊三角形存在问题等腰三角形存在性问题1、找点方法：①以AB 为半径，点A 为圆心做圆，此时，圆上的点（除 D 点外）与A、B构成以 A 为顶点的等腰三角形（原理：圆上半径相等）②以AB 为半径，点B 为圆心做圆，此时，圆上的点（除 E 点外）与A、B构成以 B 为顶点的等腰三角形（原理：圆上半径相等）③做AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除F 点外）与A、B 构成以C 为顶点的等腰三角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）2、求点方法：二、直角三角形存在性问题若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。
一次函数综合压轴题训练
一次函数综合压轴题训练一．解答题（共30小题）1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣3，与x轴交于点A，与y轴交于点B；等腰直角△PQC中，PQ=PC；点P在x轴上，点Q在y轴上，点C在直线AB上，且位于点A的上方．（1）如果点C的坐标为（5，m），求出点Q的坐标；（2）如果点C的坐标为（x，y）（x＞y），求出点Q的坐标；（3）把直线AB向下平移b（b＞0）个单位，请求出点Q的坐标（直接写出结果）．2．如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=x+6上一个动点．（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为，求出此时点P的坐标；（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．3．如图，直线y=x+2交x轴于点A，交y轴于点B，点P（x，y）是线段AB上一动点（与A、B不重合），△PAO的面积为S，求S与x的函数关系式．4．如图1，平面直角坐标系中，四边形OABC是长方形，O为坐标原点，点A（0，4）点C（2，0），将长方形OABC绕点O按顺时针方向旋转30°，得到四边形EFGH，（点E与点O重合）．（1）求点F的坐标，并判断点F是否在线段BC上；（2）如图2，将四边形EFGH沿y轴向下平移m个单位，当四边形OFCE是平行四边形时，求m的值；（3）在（2）的基础上，过点O作直线l将▱OFCE分为面积比为1：3的两部分，求直线l的解析式．5．如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO．（1）点A坐标是_________，点B的坐标_________，BC=_________．（2）当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由．（3）在（2）的条件下，可得点Q的横坐标为，在x轴上是否存在点M，使得MQ+MB的值最小？如果存在求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系xoy中，⊙O1与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，已知A（﹣1，0），O1（1，0）（1）求出C点的坐标．（2）过点C作CD∥AB交⊙O1于D，连接BD，求证：四边形ABDC是等腰梯形．（3）若过点C的直线恰好平分四边形ABCD的面积，求出该直线的解析式．7．如图，直线AD：y1=k1x+b1过点A（0，4），D（4，0），直线BC：y2=k2x+b2过点C（﹣2，0），且与直线AD 交于点B，且点B的横坐标为a．（1）当a=1时，求直线BC的解析式；（2）在（1）的条件下，请直接写出k1x+b1＞k2x+b2时，对应的x的取值范围；（3）设△ABC的面积为S，用含a的代数式表示S，并求出当直线CB把△ACD的面积分为1：2的两部分时，对应a的值．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…．直线l n⊥x轴于点（n，0），函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，…．l n分别交于A1，A2，A3，…．A n；函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，…．l n分别交于B1，B2，B3，…．B n．如果△OA1B1的面积记为S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3 B2的面积记作S3，…．四边形A n﹣1A n B n B n﹣1的面积记作S n，那么S2013=_________．9．已知直线m的解析式为与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，点P（1，a）为坐标系内一动点．（1）画出直线m；（2）求△ABC的面积；（3）若△ABC与△ABP面积相等，求实数a的值．10．如图，直线l1过A（0，2），B（2，0）两点，直线l2：y=mx+b过点（1，0），且把△AOB分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S，求S关于m的函数解析式，及自变量m的取值范围．11．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与分别交x轴于点B和点C，点D是直线与y轴的交点．（1）求点B、C、D的坐标；（2）设M（x，y）是直线y=x+1上一点，△BCM的面积为S，请写出S与x的函数关系式；来探究当点M运动到什么位置时，△BCM的面积为10，并说明理由．（3）线段CD上是否存在点P，使△CBP为等腰三角形，如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．12．已知两条直线和（n为正整数），设它们与x轴围成的图形面积为S n（n=1，2，…，2010），求S1+S2+…+S2010的值．13．如图1，直线y=﹣与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C（m，n）是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F．（1）当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；（2）如图2，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r．14．如图，直线l1的解析表达式为y1=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1，l2交于点C．①求直线l2的解析式；②求直线l1，l2与x轴围成的面积；③在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．15．如图，直线AC：y=与y轴交于点M，y轴垂直平分BC于D，AB=BC=4，∠BAO=60°（1）求C点坐标；（2）动点P从A出发，以2个单位每秒的速度沿AC运动到C点，运动时间为t秒（t＞0），设PM的长为d，求d 与t的函数解析式，直接写出自变量的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在t值，使△PCB为等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．16．如图，在坐标平面中，直线y=2x+12分别交x轴、y轴于A、B，把△AOB绕点O旋转，使点B落在x轴正半轴点C处，A落在y轴上点D处，直线CD于AB相交于点E．（1）求直线CD的解析式；（2）点P为线段CD上一点，过点P坐x轴的平行线交直线BC于F，设P点的横坐标为m，△PDF的面积为S平方单位，求S与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若△PCF与△BCP相似，求P点坐标．17．在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB分别是关于x的方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＜OB）（1）求直线AB的解析式；（2）线段AB上一点C使得S△ACO：S△BCO=1：2，请求出点C的坐标；（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在一点D，使得以点A、C、O、D为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图所示，在直角坐标系中，正方形ABOD的边长为a，O为原点，点B在x轴的负半轴上，点D在y轴的正半轴上，直线OM的解析式为y=2x，直线CN过x轴上的一点C（，0）且与OM平行，交AD于点E，现正方形以每秒为的速度匀速沿x轴正方向右平行移动，设运动时间为t秒，正方形被夹在直线CE和OF间的部分为S，（1）求点A、B、D的坐标；（2）求梯形ECOD的面积；（3）0≤t＜4时，写出S与t的函数关系式．19．一条直线经过两点A（0，4），B（2，0），如图，将这条直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、D，使OB=OC．（1）求证：△DOC≌△AOB；（2）求直线CD的函数解析式．20．如图，四边形OABC中，CB∥OA，∠OCB=90，CB=1，OA=OC，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，直线过A点，且与y轴交于D点．（1）求出A、点B的坐标；（2）求证：AD=BO且AD⊥BO；（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求AB的长；（2）求CD的所在直线的函数关系式；（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动，过P作x轴的垂线交x轴于点E，若S△PBE=，求此时点P的坐标．22．如图，在平面直角坐标系内，直线AB分别与x轴、y轴交于B、A两点，且OB=2OA，S△ABO=16．（1）求直线AB的解析式；（2）若以OA为一边作如图所示的正方形AOCD，CD交AB于点P，问在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q 为顶点的三角形与△ADP相似？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．23．直线l1交y轴的正半轴于A，交x轴的正半轴于B，将l1沿y轴翻折得l2，l2交x轴于C，在△ABC外以AC 为边作等腰直角三角形ACD，∠DAC=90°，AD=AC，连BD分别交y轴、AC于E、G，CE交AB于F．（1）若l1的解析式为y=﹣x+，①求直线GE的解析式；②求的值．（2）若点G恰为线段AC的三等分点，且CD=6，GE=_________（直接写出GE的长）24．如图，在平面坐标系中有一正三角形ABC，A（﹣8，0）、B（8，0），直线l经过原点O及BC的中点D，另一动直线a平行于y轴，从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线a分别交线段BC、直线l 于点E、F，以EF为边向左侧作等边△EFG，设△EFG与△ABC重叠部分的面积为S（平方单位），当点G落在y轴上时，a停止运动，设直线a的运动时间为t（秒）．（1）直接写出：C点坐标_________，直线l的解析式：_________．（2）请用含t的代数式表示线段EF；（3）求出S关于t的函数关系式及t的取值范围．25．如图1直线y=﹣x+3与x轴、y轴交于A、B两点，C点为线段AO上一点，一动点P在x轴上．（1）当P点运动到与原点O重合时，P点关于直线BC的对称点恰好落在直线AB上，求此时PC的长；（2）如图2，若C点为线段AO的中点，问：P点运动到何处，点P关于直线BC的对称点落在直线AB上？26．如图1，点A的坐标为（0，4），正比例函数y=kx（k＞0）．探究1：当k=1时，则点A关于直线y=x对称的对称点坐标为_________；当k=时，则点A关于直线y=x对称的对称点坐标为_________；探究2：当k=2时，求点A关于直线y=2x对称的对称点坐标；应用：如图2，直线OB：y=mx，直线OC：y=x，如y轴上点A关于OB对称的对称点为D，关于OC对称的对称点为G，当m=_________时，四边形AOGD为菱形．27．如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内，顶点A在坐标原点，点B在x轴的正半轴上，E、F分别是AD、BC的中点，点M在DC上．将△ADM沿AM折叠，点D折叠后恰好落在EF上的点P处．（1）求∠EAP的度数；（2）求折痕AM所在直线的函数关系式；（3）设H为直线AM上的点，是否存在这样的点H，使得以H、A、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：交x轴、y轴于A、B两点，点M（m，n）是线段AB上一动点，点C是线段OA的三等分点．（1）求点C的坐标；（2）连接CM，将△ACM绕点M旋转180°，得到△A′C′M．①当BM=AM时，连接A′C、AC′，若过原点O的直线l2将四边形A′CAC′分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；②过点A′作A′H⊥x轴于H，当点M的坐标为何值时，由点A′、H、C、M构成的四边形为梯形？29．如图，已知直线y=﹣2x+2分别与x轴、y轴交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，∠BAC=90°．（1）求点A、B坐标；（2）若AC=AB，求点C的坐标．30．如图，在正方形ABCD中，A（1，1）、B（3，1），点E是DC的中点．（1）求直线AE的解析式；（2）设直线l与y轴交点的坐标为（0，b），当直线l∥AE且与边AB、CD同时有交点时，直接写出b的取值范围．一次函数综合压轴题训练一．解答题（共30小题）1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣3，与x轴交于点A，与y轴交于点B；等腰直角△PQC中，PQ=PC；点P在x轴上，点Q在y轴上，点C在直线AB上，且位于点A的上方．（1）如果点C的坐标为（5，m），求出点Q的坐标；（2）如果点C的坐标为（x，y）（x＞y），求出点Q的坐标；（3）把直线AB向下平移b（b＞0）个单位，请求出点Q的坐标（直接写出结果）．∵2．如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=x+6上一个动点．（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为，求出此时点P的坐标；（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE？若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．y=x+6x+6s=y=x+6x+18OA xs=xs=代入得：x+18或﹣，）或（﹣的坐标是（﹣，，），）或（，）3．如图，直线y=x+2交x轴于点A，交y轴于点B，点P（x，y）是线段AB上一动点（与A、B不重合），△PAO 的面积为S，求S与x的函数关系式．y=x+2x+2∴PC=x+2AO PC=×（4．如图1，平面直角坐标系中，四边形OABC是长方形，O为坐标原点，点A（0，4）点C（2，0），将长方形OABC绕点O按顺时针方向旋转30°，得到四边形EFGH，（点E与点O重合）．（1）求点F的坐标，并判断点F是否在线段BC上；（2）如图2，将四边形EFGH沿y轴向下平移m个单位，当四边形OFCE是平行四边形时，求m的值；（3）在（2）的基础上，过点O作直线l将▱OFCE分为面积比为1：3的两部分，求直线l的解析式．FO==2IO==），FC=m=）））设直线y=5．如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO．（1）点A坐标是（﹣8，0），点B的坐标（0，6），BC=10．（2）当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由．（3）在（2）的条件下，可得点Q的横坐标为，在x轴上是否存在点M，使得MQ+MB的值最小？如果存在求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．y=x+6=10代入直线×），，，解得6．如图，在平面直角坐标系xoy中，⊙O1与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，已知A（﹣1，0），O1（1，0）（1）求出C点的坐标．（2）过点C作CD∥AB交⊙O1于D，连接BD，求证：四边形ABDC是等腰梯形．（3）若过点C的直线恰好平分四边形ABCD的面积，求出该直线的解析式．，，∴，解得7．如图，直线AD：y1=k1x+b1过点A（0，4），D（4，0），直线BC：y2=k2x+b2过点C（﹣2，0），且与直线AD 交于点B，且点B的横坐标为a．（1）当a=1时，求直线BC的解析式；（2）在（1）的条件下，请直接写出k1x+b1＞k2x+b2时，对应的x的取值范围；（3）设△ABC的面积为S，用含a的代数式表示S，并求出当直线CB把△ACD的面积分为1：2的两部分时，对应a的值．∴解得：∴解得：S=×××S=××S=××a=a=123线l n⊥x轴于点（n，0），函数y=x的图象与直线l1，l2，l3，…．l n分别交于A1，A2，A3，…．A n；函数y=2x的图象与直线l1，l2，l3，…．l n分别交于B1，B2，B3，…．B n．如果△OA1B1的面积记为S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3 B2的面积记作S3，…．四边形A n﹣1A n B n B n﹣1的面积记作S n，那么S2013=．（（=故答案为：9．已知直线m的解析式为与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，点P（1，a）为坐标系内一动点．（1）画出直线m；（2）求△ABC的面积；（3）若△ABC与△ABP面积相等，求实数a的值．）令坐标为（坐标为（，a，所以﹣=2，∴+﹣a=10．如图，直线l1过A（0，2），B（2，0）两点，直线l2：y=mx+b过点（1，0），且把△AOB分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S，求S关于m的函数解析式，及自变量m的取值范围．S=，≤11．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与分别交x轴于点B和点C，点D是直线与y轴的交点．（1）求点B、C、D的坐标；（2）设M（x，y）是直线y=x+1上一点，△BCM的面积为S，请写出S与x的函数关系式；来探究当点M运动到什么位置时，△BCM的面积为10，并说明理由．（3）线段CD上是否存在点P，使△CBP为等腰三角形，如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．x+3=0x+3x+3S=BC MN==x+S=BC MN=x；10=x+x得：的函数关系式是CD==5x==﹣y=，x+3，﹣）或（，）12．已知两条直线和（n为正整数），设它们与x轴围成的图形面积为S n（n=1，2，…，2010），求S1+S2+…+S2010的值．，由直线y=，令﹣轴的交点坐标为（﹣，，，由直线，令x=轴的交点坐标为（，）|BC||OA|=××=（﹣+﹣+﹣）．13．如图1，直线y=﹣与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C（m，n）是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F．（1）当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；（2）如图2，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r．x+3﹣，∴=，∴，∴14．如图，直线l1的解析表达式为y1=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1，l2交于点C．①求直线l2的解析式；②求直线l1，l2与x轴围成的面积；③在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．，代入得：，y=解方程组得：，=；15．如图，直线AC：y=与y轴交于点M，y轴垂直平分BC于D，AB=BC=4，∠BAO=60°（1）求C点坐标；（2）动点P从A出发，以2个单位每秒的速度沿AC运动到C点，运动时间为t秒（t＞0），设PM的长为d，求d 与t的函数解析式，直接写出自变量的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在t值，使△PCB为等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．×=2与，AM==）CM=，当时，CP=4﹣﹣﹣t=16．如图，在坐标平面中，直线y=2x+12分别交x 轴、y 轴于A 、B ，把△AOB 绕点O 旋转，使点B 落在x 轴正半轴点C 处，A 落在y 轴上点D 处，直线CD 于AB 相交于点E ． （1）求直线CD 的解析式；（2）点P 为线段CD 上一点，过点P 坐x 轴的平行线交直线BC 于F ，设P 点的横坐标为m ，△PDF 的面积为S 平方单位，求S 与m 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若△PCF 与△BCP 相似，求P 点坐标．的解析式为，﹣）∴∴∴=∴∵∴∴∴∴，）17．在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB分别是关于x的方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＜OB）（1）求直线AB的解析式；（2）线段AB上一点C使得S△ACO：S△BCO=1：2，请求出点C的坐标；（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在一点D，使得以点A、C、O、D为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．）代入得：，解得：y=x+4，∴=∴=，∵））∴，即，∴）或（18．如图所示，在直角坐标系中，正方形ABOD的边长为a，O为原点，点B在x轴的负半轴上，点D在y轴的正半轴上，直线OM的解析式为y=2x，直线CN过x轴上的一点C（，0）且与OM平行，交AD于点E，现正方形以每秒为的速度匀速沿x轴正方向右平行移动，设运动时间为t秒，正方形被夹在直线CE和OF间的部分为S，（1）求点A、B、D的坐标；（2）求梯形ECOD的面积；（3）0≤t＜4时，写出S与t的函数关系式．﹣b=y=2x+a﹣DE=的面积是（×a+a a的面积是a=a÷﹣a=﹣﹣﹣t=a t，∴=，∴IZ=t（﹣t+a t•t t+t+t t+19．一条直线经过两点A（0，4），B（2，0），如图，将这条直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、D，使OB=OC．（1）求证：△DOC≌△AOB；（2）求直线CD的函数解析式．）代入得，故直线轴上，直线过A点，且与y轴交于D点．（1）求出A、点B的坐标；（2）求证：AD=BO且AD⊥BO；（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．时，﹣x+1=0，x+1=2个根，且OA＞OB．（1）求AB的长；（2）求CD的所在直线的函数关系式；（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动，过P作x轴的垂线交x轴于点E，若S△PBE=，求此时点P的坐标．=5，∴，y=相似比为，∴，即：，∴BE=PE=∴的坐标为（22．如图，在平面直角坐标系内，直线AB分别与x轴、y轴交于B、A两点，且OB=2OA，S△ABO=16．（1）求直线AB的解析式；（2）若以OA为一边作如图所示的正方形AOCD，CD交AB于点P，问在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q 为顶点的三角形与△ADP相似？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．，∴，∴代入得：，x+4∵故只有当具备条件或=时，两三角形就相似，=或，解得：23．直线l1交y轴的正半轴于A，交x轴的正半轴于B，将l1沿y轴翻折得l2，l2交x轴于C，在△ABC外以AC 为边作等腰直角三角形ACD，∠DAC=90°，AD=AC，连BD分别交y轴、AC于E、G，CE交AB于F．（1）若l1的解析式为y=﹣x+，①求直线GE的解析式；②求的值．（2）若点G恰为线段AC的三等分点，且CD=6，GE=（直接写出GE的长）x+OA=AN=OA=DM=DN+AO=1+，∴，）（﹣∴，解得；∴=∴，即=CD=6××=4=，CE=∴=24．（2011•湖州三模）如图，在平面坐标系中有一正三角形ABC ，A （﹣8，0）、B （8，0），直线l 经过原点O 及BC 的中点D ，另一动直线a 平行于y 轴，从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，直线a 分别交线段BC 、直线l 于点E 、F ，以EF 为边向左侧作等边△EFG ，设△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为S （平方单位），当点G 落在y 轴上时，a 停止运动，设直线a 的运动时间为t （秒）．（1）直接写出：C 点坐标 （0，8） ，直线l 的解析式： y=x ． （2）请用含t 的代数式表示线段EF ；（3）求出S 关于t 的函数关系式及t 的取值范围．OC===8，OC=8DM=44k=x 8y=PF=EP=FP=）﹣t=8﹣t 23，=3（+24S=325．（2011•崇安区一模）如图1直线y=﹣x+3与x轴、y轴交于A、B两点，C点为线段AO上一点，一动点P在x轴上．（1）当P点运动到与原点O重合时，P点关于直线BC的对称点恰好落在直线AB上，求此时PC的长；（2）如图2，若C点为线段AO的中点，问：P点运动到何处，点P关于直线BC的对称点落在直线AB上？，∴，∴=∴，即：=PC=，的长是，∴=，=，解得：=OP=时，点探究1：当k=1时，则点A关于直线y=x对称的对称点坐标为（4，0）；当k=时，则点A关于直线y=x对称的对称点坐标为（2，2）；探究2：当k=2时，求点A关于直线y=2x对称的对称点坐标；应用：如图2，直线OB：y=mx，直线OC：y=x，如y轴上点A关于OB对称的对称点为D，关于OC对称的对称点为G，当m=或时，四边形AOGD为菱形．x的斜率为﹣y=联立，2．直线﹣联立方程的中点坐标为（，的坐标（，±，的斜率时，联立方程综上所得：的值为．27．（2011•白下区二模）如图，将边长为4的正方形纸片，置于平面直角坐标系内，顶点A在坐标原点，点B在x 轴的正半轴上，E、F分别是AD、BC的中点，点M在DC上．将△ADM沿AM折叠，点D折叠后恰好落在EF上的点P处．（1）求∠EAP的度数；（2）求折痕AM所在直线的函数关系式；（3）设H为直线AM上的点，是否存在这样的点H，使得以H、A、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．EAP==y=2）或（，28．（2010•房山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：交x轴、y轴于A、B两点，点M（m，n）是线段AB上一动点，点C是线段OA的三等分点．（1）求点C的坐标；（2）连接CM，将△ACM绕点M旋转180°，得到△A′C′M．①当BM=AM时，连接A′C、AC′，若过原点O的直线l2将四边形A′CAC′分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；②过点A′作A′H⊥x轴于H，当点M的坐标为何值时，由点A′、H、C、M构成的四边形为梯形？BM=AM BM=BA BO在直线，），，，，29．（2010•淮北模拟）如图，已知直线y=﹣2x+2分别与x轴、y轴交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，∠BAC=90°．（1）求点A、B坐标；（2）若AC=AB，求点C的坐标．AB=∴AB∴=2，）30．（2010•昌平区二模）如图，在正方形ABCD中，A（1，1）、B（3，1），点E是DC的中点．（1）求直线AE的解析式；（2）设直线l与y轴交点的坐标为（0，b），当直线l∥AE且与边AB、CD同时有交点时，直接写出b的取值范围．∴。
一次函数压轴题精选(含详细答案)
一次函数压轴题精选（含详细答案答案）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动．（1）点A的坐标：；点B的坐标：；（2）求△NOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）在y轴右边，当t为何值时，△NOM≌△AOB，求出此时点M的坐标；（4）在（3）的条件下，若点G是线段ON上一点，连结MG，△MGN沿MG 折叠，点N恰好落在x轴上的点H处，求点G的坐标．3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．（1）点C的坐标为，点B的坐标为；（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．①求证：△CMD是等腰三角形；②当CD=5时，求直线l的函数表达式．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB=，BC=，AC=；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，一次函数y=x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB=6，点A的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x﹣1上，求点P的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P 作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM 沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）7．如图1，在直角坐标系中放入一个边长AB长为6，BC长为10的矩形纸片ABCD，B点与坐标原点O重合．将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x轴上，记为F．（1）求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标；（2）求过D，F的直线解析式；（3）将矩形ABCD水平向右移动m个单位，则点B坐标为（m，0），其中m ＞0．如图2所示，连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值．8．阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法．如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，点M为底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2，连接AM，利用S△ABC=S△ABM+S△ACM，可以得出结论：h=h1+h2．类比探究：在图1中，当点M在BC的延长线上时，猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论．拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l1：y=x+3，l2：y=﹣3x+3，若l2上一点M到l1的距离是1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点坐标为（0，2），点P为x轴负半轴上一动点，以AP为直角作等腰直角三角形APD，∠APD=90°（点D落在第四象限）（1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求点D的坐标；（2）点P在移动的过程中，点D是否在直线y=x﹣2上？请说明理由；（3）连接OB交AD于点G，求证：AG=DG．10．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y 轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（Ⅰ）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（Ⅱ）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，在直线BD上寻找点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．11．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线y=x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．12．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，3），点O（0，0）（1）过边OB上的动点D（点D不与点B，O重合）作DE丄OB交AB于点E，沿着DE折叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处．①如图，当D为OB中点时，求E点的坐标；②连接AF，当△AEF为直角三角形时，求E点坐标；（2）P是AB边上的动点（点P不与点B重合），将△AOP沿OP所在的直线折叠，得到△A′OP，连接BA′，当BA′取得最小值时，求P点坐标（直接写出结果即可）．13．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（4，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）点M是坐标轴上的一个点，若AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；（3）如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．14．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B 分别在x轴与y轴上，已知OA=6，OB=10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P 的坐标．（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形，当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．（1）直线AB：y=mx+n与直线OB：y=kx相交于点B，不解关于x，y的方程组，请你求出它的解；（2）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？（3）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．16．在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，直线CD交直线AB于点E，如图1：（1）求：直线CD的函数关系式；（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2，①求证：∠OEF=45°；②求：点F的坐标；（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标．17．已知，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，如图1，A，B 坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，连接AC、BD交于点E．（1）求证：△ABE≌△DCE．（2）M为直线BD上动点，N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标．（3）如图2，过E点作y轴的平行线交x轴于点F，在直线EF上找一点P，使△PAC的周长最小，求P点坐标和周长的最小值．18．平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y=kx+2k与x轴交于点C，与直线l1交于点P．（1）当k=1时，求点P的坐标；（2）如图1，点D为PA的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l2于点F，若DF=2DE，求k的值；（3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的延长线交直线l1于点R，若PR=PC，求点P的坐标．19．如图，直线y=kx+k交x轴，y轴分别于A，C，直线BC过点C交x轴于B，OC=3OA，∠CBA=45°．（1）求直线BC的解析式；（2）动点P从A出发沿射线AB匀速运动，速度为2个单位/秒，连接CP，设△PBC的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在AB的延长线上运动时，过点O作OD⊥PC 于D，交BC于点E，连接AE，当∠EAB=∠CPA时，在坐标轴上有点K，且KC=KP，求点K的坐标．20．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B，过点E（1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，点P从D出发，沿着射线ED的方向向上运动，设PD=n．（1）求直线AB的表达式；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）若以P为直角顶点，PB为直角边在第一象限作等腰直角△BPC，请问随着点P的运动，点C是否也在同一直线上运动？若在同一直线上运动，请求出直线解析式；若不在同一直线上运动，请说明理由．21．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）如图1，若点E是边BC的中点，M是边AB的中点，连接EM，求证：AE=EF．（2）如图2，若点E在射线BC上滑动（不与点B，C重合）．①在点E滑动过程中，AE=EF是否一定成立？请说明理由；②在如图所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在直线y=﹣2x+6上，求此时点F的坐标．22．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l 与OP交于点M，与对角线AC交于Q点（Ⅰ）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标；（Ⅱ）若点P的坐标为（1，t）①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）（Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．23．如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．（1）当t=时，求直线DE的函数表达式：（2）如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当OD2+DE2取最小值时，求点E的坐标．24．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC 上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，直线OA的函数表达式为y=2x，直线AB的函数表达式为y=﹣3x+b，点B的坐标为．点P沿折线OA﹣AB运动，且不与点O和点B重合．设点P的横坐标为m，△OPB的面积为S．（1）请直接写出b的值．（2）求点A的坐标．（3）求S与m之间函数关系，并直接写出对应的自变量m的取值范围．（4）过点P作OB边的高线把△OPB分成两个三角形，当其中一个是等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的m的值．26．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=0．（1）判断△AOB的形状；（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，b）（b＞0），点P是直线AB上位于第二象限内的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，记点P关于y轴的对称点为Q，设点P的横坐标为a．（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若QO=QA，求P点的坐标．（2）是否同时存在a、b，使得△QAC是等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的a、b的值；若不存在，请说明理由．28．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x 上一点P （1，1），C 为y 轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ；直线AB 与直线y=x 交于点A ，连接CD ，直线CD 与直线y=x 交于点Q ．（1）求证：OB=OC ；（2）当点C 坐标为（0，3）时，求点Q 的坐标；（3）当△OPC ≌△ADP 时，直接写出C 点的坐标．29．如图1，直线AB ：y=﹣x ﹣b 分别与x ，y 轴交于A （6，0）、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴与C ，且OB ：OC=3：1．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）直线EF ：y=x ﹣k （k ≠0）交直线AB 于E ，交直线BC 于点F ，交x 轴于D ，是否存在这样的直线EF ，使得S △EBD =S △FBD ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．（3）如图2，P 为x 轴上A 点右侧的一动点，以P 为直角顶点，BP 为一腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ，连接QA 并延长交y 轴于点K ．当P 点运动时，K 点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，n）（n＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为m．（1）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：DC=5：13时，求m的值；（2）若∠ACP′=60°，试用m的代数式表示n；（3）若点P在第一象限，是否同时存在m，n，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的m，n的值；若不存在，请说明理由．31．如图①所示，直线L：y=m（x+10）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）当OA=OB时，试确定直线L的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=8，BN=6，求MN 的长；（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．32．如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°；（1）如果点P（m，）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；（2）如果△QAB是等腰三角形并且点Q在坐标轴上，请求出点Q所有可能的坐标；（3）是否存在实数a，b使一次函数和y=ax+b的图象关于直线y=x 对称？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与y轴交于点A，与x轴交于点B．直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方．已知CO=CD=4．（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）对于y=2x+2，分别令x与y为0求出A与B坐标，根据CO=CD=4，求出D坐标，确定出直线AD解析式即可；（2）存在，如图所示，设出P（﹣4，p），分三种情况考虑：当BD=P1D时；当BP3=BD时；当BP4=DP4，分别求出P坐标即可．【解答】解：（1）对于直线y=2x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=﹣1，∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣1，0），又∵CO=CD=4，∴点D的坐标为（﹣4，4），设直线AD的函数表达式为y=kx+b，则有，解得：，∴直线AD的函数表达式为y=﹣x+2；（2）存在，设P（﹣4，p），分三种情况考虑：当BD=P1D时，可得（﹣1+4）2+（0﹣4）2=（p﹣4）2，解得：p=9或p=﹣1，此时P1（﹣4，9），P2（﹣4，﹣1）；当BP3=BD时，则有（﹣1+4）2+（0﹣p）2=（﹣1+4）2+（0﹣4）2，解得：p=﹣4，此时P3（﹣4，﹣4）；当BP4=DP4时，（﹣1+4）2+（0﹣p）2=（p﹣4）2，解得：p=，此时P4（﹣4，），综上，共有四个点满足要求．分别是P1（﹣4，9），P2（﹣4，﹣4），P3（﹣4，﹣1），P4（﹣4，）．【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键．2．如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左移动．（1）点A的坐标：（4，0）；点B的坐标：（0，2）；（2）求△NOM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）在y轴右边，当t为何值时，△NOM≌△AOB，求出此时点M的坐标；（4）在（3）的条件下，若点G是线段ON上一点，连结MG，△MGN沿MG 折叠，点N恰好落在x轴上的点H处，求点G的坐标．【分析】（1）在y=﹣x+2中，令别令y=0和x=0，则可求得A、B的坐标；（2）利用t可表示出OM，则可表示出S，注意分M在y轴右侧和左侧两种情况；（3）由全等三角形的性质可得OM=OB=2，则可求得M点的坐标；（4）由折叠的性质可知MG平分∠OMN，利用角平分线的性质定理可得到=，则可求得OG的长，可求得G点坐标．【解答】解：（1）在y=﹣x+2中，令y=0可求得x=4，令x=0可求得y=2，∴A（4，0），B（0，2），故答案为：（4，0）；（0，2）；（2）由题题意可知AM=t，①当点M在y轴右边时，OM=OA﹣AM=4﹣t，∵N（0，4），∴ON=4，∴S=OM•ON=×4×（4﹣t）=8﹣2t；②当点M在y轴左边时，则OM=AM﹣OA=t﹣4，∴S=×4×（t﹣4）=2t﹣8；（3）∵△NOM≌△AOB，∴MO=OB=2，∴M（2，0）；（4）∵OM=2，ON=4，∴MN==2，∵△MGN沿MG折叠，∴∠NMG=∠OMG，∴=，且NG=ON﹣OG，∴=，解得OG=﹣1，∴G（0，﹣1）．【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、三角形的面积、全等三角形的性质、角平分线的性质定理及分类讨论思想等知识．在（1）中注意求函数图象与坐标轴交点的方法，在（2）中注意分两种情况，在（3）中注意全等三角形的对应边相等，在（4）中利用角平分线的性质定理求得关于OG的等式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，但难度不大．3．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数y=x+3的图象经过点B、C．（1）点C的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣4，2）；（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．①求证：△CMD是等腰三角形；②当CD=5时，求直线l的函数表达式．【分析】（1）设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=x+3中得y=3，即可求出C点的坐标；设点B的坐标为（﹣4，y），把x=﹣4代入y=x+3中得y=2，即可求出B点的坐标；（2）①根据对称的性质和平行线的性质，推知∠CMD=∠MCD，故MD=CD，所以CMD是等腰三角形；②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．利用勾股定理求得CP的长度，然后结合坐标与图形的性质求得点M的坐标，利用待定系数法求得直线l的解析式即可．【解答】解：（1）如图①，∵A（﹣4，0），AB∥y轴，直线y=x+3经过点B、C，设点C的坐标为（0，y），把x=0代入y=x+3x+3中得y=3，∴C（0，3）；设点B的坐标为（﹣4，y），把x=4代入y=x+3中得y=2，∴B（﹣4，2）；故答案是：（0，3）；（﹣4，2）；（2）①证明：∵AB∥y轴，∴∠OCM=∠CMD．∵∠OCM=∠MCD，∴∠CMD=∠MCD，∴MD=CD，∴CMD是等腰三角形；②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．在直角△DCP中，由勾股定理得到：CP==3，∴OP=AD=CO+CP=3+3=6，∴AB=AD﹣DM=6﹣5=1，∴点M的坐标是（﹣4，1）．设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）．把M（﹣4，1）、C（0，3）分别代入，得，解得，故直线l的解析式为y=x+3．【点评】此题考查了一次函数综合题，需要综合利用勾股定理，等腰三角形的判定与性质，对称的性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识点，难度不是很大，但是需要学生对所学知识有一个系统的掌握．4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．（1）线段AB，BC，AC的长分别为AB=8，BC=4，AC=4；（2）折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择A题．A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先确定出OA=4，OC=8，进而得出AB=8，BC=4，利用勾股定理即可得出AC；（2）A、①利用折叠的性质得出BD=8﹣AD，最后用勾股定理即可得出结论；②分三种情况利用方程的思想即可得出结论；B、①利用折叠的性质得出AE，利用勾股定理即可得出结论；②先判断出∠APC=90°，再分情况讨论计算即可．【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，∴A（4，0），C（0，8），∴OA=4，OC=8，∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形，∴AB=OC=8，BC=OA=4，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC==4，故答案为：8，4，4；（2）A、①由（1）知，BC=4，AB=8，由折叠知，CD=AD，在Rt△BCD中，BD=AB﹣AD=8﹣AD，根据勾股定理得，CD2=BC2+BD2，即：AD2=16+（8﹣AD）2，∴AD=5，②由①知，D（4，5），设P（0，y），∵A（4，0），∴AP2=16+y2，DP2=16+（y﹣5）2，∵△APD为等腰三角形，∴Ⅰ、AP=AD，∴16+y2=25，∴y=±3，∴P（0，3）或（0，﹣3）Ⅱ、AP=DP，∴16+y2=16+（y﹣5）2，∴y=，∴P（0，），Ⅲ、AD=DP，25=16+（y﹣5）2，∴y=2或8，∴P（0，2）或（0，8）．B、①、由A①知，AD=5，由折叠知，AE=AC=2，DE⊥AC于E，在Rt△ADE中，DE==，②、∵以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等，∴△APC≌△ABC，或△CPA≌△ABC，∴∠APC=∠ABC=90°，∵四边形OABC是矩形，∴△ACO≌△CAB，此时，符合条件，点P和点O重合，即：P（0，0），如图3，过点O作ON⊥AC于N，易证，△AON∽△ACO，∴，∴，∴AN=，过点N作NH⊥OA，∴NH∥OA，∴△ANH∽△ACO，∴，∴，∴NH=，AH=，∴OH=，∴N（，），而点P2与点O关于AC对称，∴P2（，），同理：点B关于AC的对称点P1，同上的方法得，P1（﹣，），即：满足条件的点P的坐标为：（0，0），（，），（﹣，）．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，对称的性质，解（1）的关键是求出AC，解（2）的关键是利用分类讨论的思想解决问题．5．如图，一次函数y=x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出AB=10，进而判断出Rt△BCD≌Rt△BCO，和△ACD∽△ABO，确定出点C（﹣3，0），再判断出△EBD≌△ABO，求出OE=BE﹣OB=4，即可得出点E坐标，最后用待定系数法即可；（2）设P（﹣m，﹣m+6），∴PN=m，PM=﹣m+6，根据勾股定理得，MN2=（m﹣）2+，即可得出点P横坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，∴B（0，6），A（﹣8，0），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，∴CD=CO，∵BC=BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO，∴BD=BO=6，∴AD=AB﹣BD=4，∵∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，∴，∴AC=5，∴OC=OA﹣AC=3，∴C（﹣3，0），∵∠EDB=∠AOB=90°，BD=BO，∠EBD=∠ABO，∴△EBD≌△ABO，∴BE=AB=10，∴OE=BE﹣OB=4，∴E（0，﹣4），设直线CE的解析式为y=kx﹣4，∴﹣3k﹣4=0，∴k=﹣，∴直线CE的解析式为y=﹣x﹣4，（2）解：存在，（﹣，），如图，∵点P在直线y=x+6上，∴设P（﹣m，﹣m+6），∴PN=m，PM=﹣m+6，根据勾股定理得，MN2=PN2+PM2=m2+（﹣m+6）2=（m﹣）2+，∴当m=时，MN2有最小值，则MN有最小值，当m=时，y=﹣x+6=﹣×+6=，∴P（﹣，）．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出点C的坐标，解（2）的关键是得出MN2的函数关系式，是一道中等难度的中考常考题．6．如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB=6，点A的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标．（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x﹣1上，求点P的坐标．（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图2，过点P 作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM 沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）【分析】（1）由题意点P与点C重合，可得点P坐标为（3，4）；（2）分两种情形①当点P在边AD上时，②当点P在边AB上时，分别列出方程即可解决问题；（3）分三种情形①如图1中，当点P在线段CD上时．②如图2中，当点P在AB上时．③如图3中，当点P在线段AD上时．分别求解即可；【解答】解：（1）∵CD=6，∴点P与点C重合，∴点P坐标为（3，4）．（2）①当点P在边AD上时，∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2，设P（a，﹣2a﹣2），且﹣3≤a≤1，若点P关于x轴的对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x﹣1上，∴2a+2=a﹣1，解得a=﹣3，此时P（﹣3，4）．若点P关于y轴的对称点Q3（﹣a，﹣2a﹣2）在直线y=x﹣1上时，∴﹣2a﹣2=﹣a﹣1，解得a=﹣1，此时P（﹣1，0）②当点P在边AB上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，若等P关于x轴的对称点Q2（a，4）在直线y=x﹣1上，∴4=a﹣1，解得a=5，此时P（5，﹣4），若点P关于y轴的对称点Q4（﹣a，﹣4）在直线y=x﹣1上，∴﹣4=﹣a﹣1，解得a=3，此时P（3，﹣4），综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．（3）①如图1中，当点P在线段CD上时，设P（m，4）．在Rt△PNM′中，∵PM=PM′=6，PN=4，∴NM′==2，在Rt△OGM′中，∵OG2+OM′2=GM′2，∴22+（2+m）2=m2，解得m=﹣，∴P（﹣，4）根据对称性可知，P（，4）也满足条件．②如图2中，当点P在AB上时，易知四边形PMGM′是正方形，边长为2，此时P（2，﹣4）．③如图3中，当点P在线段AD上时，设AD交x轴于R．易证∠M′RG=∠M′GR，推出M′R=M′G=GM，设M′R=M′G=GM=x．∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2，∴R（﹣1，0），在Rt△OGM′中，有x2=22+（x﹣1）2，解得x=，∴P（﹣，3）．点P坐标为（2，﹣4）或（﹣，3）或（﹣，4）或（，4）．【点评】本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．7．如图1，在直角坐标系中放入一个边长AB长为6，BC长为10的矩形纸片ABCD，B点与坐标原点O重合．将纸片沿着折痕AE翻折后，点D恰好落在x 轴上，记为F．（1）求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标；（2）求过D，F的直线解析式；（3）将矩形ABCD水平向右移动m个单位，则点B坐标为（m，0），其中m ＞0．如图2所示，连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值．【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF=AD=10，EF=DE，进而求出BF的长，即可得出E点的坐标，进而得出AE所在直线与x 轴交点的坐标；（2）由（1）中所求可得出F点坐标，进而得出过D，F的直线解析式；（3）分三种情况讨论：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=CB=10，AB=DC=6，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，由折叠对称性：AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，BF===8，∴CF=2，设EC=x，则EF=6﹣x，在Rt△ECF中，22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，∴E点坐标为：（10，），∴设AE所在直线解析式为：y=ax+b，则，解得：，∴AE所在直线解析式为：y=﹣x+6，当y=0时，x=18，故折痕AE所在直线与x轴交点的坐标为：（18，0）；（2）设D，F所在直线解析式为：y=kx+c，。
一次函数压轴题精选30题专项练习
一次函数压轴题精选30题专项练习1．小明家新房装修时选定了某种品牌同一花色的壁纸，这种壁纸有大卷和小卷两种型号，已知购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元．其中一大卷壁纸可贴10平方米的墙壁，一小卷壁纸可贴5平方米的墙纸．（1）求大卷和小卷壁纸的单价；（2）小明的爸爸共购买了40卷壁纸．若设购买大卷壁纸x卷．①设购买壁纸总费用为y元，写出y与x的函数关系式；②小明的爸爸决定，买壁纸的预算不能超过15000元，求可贴墙壁的最大面积．2．为响应国家扶贫攻坚的号召，A市先后向B市捐赠两批物资，甲车以60km/h的速度从A市匀速开往B 市．甲车出发1h后，乙车以90km/h的速度从A市沿同一条道路匀速开往B市．甲、乙两车距离A市的路程y（km）与甲车的行驶时间x（h）之间的关系如图所示（1）A，B两市相距km，m＝，n＝；（2）求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，直接写出x的值．3．如图，已知直线y＝kx+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，sin∠OAB＝．（1）求k的值；（2）D、E两点同时从坐标原点O出发，其中点D以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B的路线运动，点E以每秒2个单位长度的速度，沿O→B→A的路线运动．当D，E两点相遇时，它们都停止运动设运动时间为t秒．①在D、E两点运动过程中，是否存在DE∥OB？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；②若设△OED的面积为S，求s关于t的函数关系式，并求出t为多少时，s的值最大？4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，与正比例函数y＝x的图象交于点A，点A的横坐标为4．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若动点M在线段OA和射线AC上运动，当三角形OMC的面积是三角形OAC的面积的时，求点M的坐标；（3）若点P（m，1）在三角形AOB的内部（包括边界），则m的取值范围是．5．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB斜边OB在x轴正半轴上，B（6，0），A在第一象限，直线y＝x与AB相交于点C．动点P（m，0）从原点出发，沿线段OB向右运动（0≤m＜6）．过点P 作OB的垂线与直线OC相交于点F，与△AOB的边OA或AB相交于点E．以EF为直角边、点E为直角顶点，在EF的左侧作等腰直角△EFG，连接AP．（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；（2）当以点P、E、A为顶点的三角形为等腰三角形时，求m的值；（3）当△EFG与△AOB的重叠部分的图形是轴对称图形时，直接写出m的取值或取值范围．6．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为射线AO上的一点（点P不与点A 重合），BC是△ABP的中线，点C，C′关于BP对称，设点P的横坐标为m．（1）求点A，B的坐标，若∠APB＝45°，求PB所在直线的解析式；（2）若BC＝BA，求m的值；（3）若点C′在x轴下方，直接写出m的取值范围．7．已知直线AB交x轴于点A（a，o），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（b﹣4）2＝0．（1）求∠ABO的度数；（2）如图1，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由；（3）如图2，若点C在OB上，点F在AB的延长线上，且AC＝CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于点Q，求的值．8．如图，直线y＝﹣3x+12分别交x轴、y轴于点A，B，以AB为斜边向左侧作等腰Rt△ABD，延长BD 交x轴于点C，连接DO，过点D作DE⊥DO交y轴于点E．（1）求证：∠1＝∠2．（2）求OE的长．（3）点P在线段AB上，当PE与∠COD的一边平行时，求出所有符合条件的点P的坐标．9．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，3），C（﹣3，0），D是线段AB上一点，CD交y轴于E，且S△BCE＝2S△AOB．（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；（4）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．10．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OB上，将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，直线DC交AB于点E．（1）求点C的坐标；（2）若点P在直线DC上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当△CPQ和△CBE全等时，直接写出点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）．11．如图，直角坐标系xOy中，过点A（6，0）的直线l1与直线l2：y＝kx﹣1相交于点C（4，2），直线l2与x轴交于点B．（1）k的值为；（2）求l1的函数表达式和S△ABC的值；（3）直线y＝a与直线l1和直线l2分别交于点M，N，（M，N不同）①直接写出M，N都在y轴右侧时a的取值范围；②在①的条件下，以MN为边作正方形MNDE，边DE恰好在x轴上，直接写出此时a的值．12．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点，点A向上平移5个单位长度得到点B．（1）求点B的坐标；（2）在直线y＝﹣x﹣2上是否存在一点C，使得△ABC是直角三角形，若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由；（3）若一次函数y＝kx﹣2图象与线段AB存在公共点D，直接写出k的取值范围．13．如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b分别交x轴，y轴于点A、B，OA＝4，∠OBA的外角平分线交x轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P是线段BD上一点（不与B、D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C，设点P的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E，当PC＝PB时，将射线EP绕点E旋转45°交直线AB于点F，求F点坐标．14．如图，直线l1：y＝kx﹣2k+1经过定点C，分别交x轴，y轴于A，B两点，直线l2经过O，C两点，点Dl2上．（1）①直接写出点C的坐标为；②求直线l2的解析式；（2）如图1，若S△BOC＝2S△BCD，求点D的坐标；（3）如图2，直线l3经过D，E（0，﹣）两点，分别交x轴的正半轴、l1于点P，F，若PE＝PF，∠EDO＝45°，求k的值．15．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于A（6，0）、B（0，2）两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D 作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）求经过A、B两点的一次函数表达式及点D的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标．（不用写过程）16．如图，直线y＝﹣x+4，与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C与点B关于原点对称．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）在线段OA的延长线上任取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q．求证：PQ＝PB；（3）在（2）的条件下，过点P作PM⊥AC于点M，直接写出的值．17．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，OA在x轴负半轴，OC在y轴正半轴，点D在边OC上，连接BD，将△BCD沿BD折叠，得到△BDE，使点E落在矩形OABC内部，过点E作EF⊥AB于F，直线CF交x轴于点M，若点E（﹣3，9），F恰为AB中点．（1）如图1，直线CM的解析式；（2）如图2，点P为x轴上的动点，过P作x轴的垂线，分别交直线CM、BD于点N、Q，若NQ＝2CD，求点P坐标；（3）点H为直线BD上动点，若△AEH以AE为直角边的直角三角形，是否存在点H？如果存在，直接写出点H坐标；不存在，请说明理由！18．如图1，直线y＝x和直线y＝﹣x+5相交于点A，直线y＝﹣x+5与x轴交于点C，点P在线段AC上，PD⊥x轴于点D，交直线y＝x于点Q．（1）点A的坐标为；（2）当QP＝OA时，求Q点的坐标及△APQ的面积；（3）如图2，在（2）的条件下，∠OQP平分线交x轴于点M．①直接写出点M的坐标；②点N在直线y＝x的上方，当△OQN和△OQM全等时直接写出N点坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，与直线y＝﹣x交于点C，点P的坐标是（t，0），过点P作x轴的垂线l，与射线CO，CB分别交于点D，E，以DE为边向右作正方形DEFG．（1）点C的坐标是；（2）当点F在y轴上时，求t的值；（3）设正方形DEFG与△BOC重合部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围．20．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时点P的坐标；若不存在，说明理由．21．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x 轴上，点C在y轴上，OC＝5，点E在边BC上，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为OE．（1）求点G的坐标，并求直线OG的解析式；（2）若直线l：y＝mx+n平行于直线OG，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．（3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与坐标轴交于A，B两点，以AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．点C为直角顶点，连接OC．（1）A点坐标为，B点坐标为．（2）请你过点C作CE⊥y轴于E点，试探究并证明OB+OA与CE的数量关系．（3）如图2，将线段AB绕点B沿顺时针方向旋转至BD，且OD⊥AD，延长DO交直线y＝x+5于点P，求点P的坐标．23．直线AB：y＝﹣x+6分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC ＝3：1．（1）求直线BC的解析式；（2）在直线BC上是否存在点D（点D不与点C重合），使得S△ABD＝S△ABC？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．24．已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．（1）求直线l1的解析式和点A的坐标．（2）直线l1与y轴交于点D，将l1向上平移9个单位得l3，l3与x轴、y轴分别交于点E、F，点P为l3上一动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，求△ABP的周长和点P的坐标．（3）将l1绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线l4过点G（﹣2，0），过点C作l5平行于x轴，点M、N分别为直线l4、l5上两个动点，是否存在点M、点N，使△BMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，直线y＝﹣2x+3与x轴交于点B，与y 轴交于点C，与直线y＝2x+6交于点D．（1）求点D的坐标；（2）将△BOC沿x轴向左平移，平移后点B的对应点为点E．点O的对应点为点F，点C的对应点为点G，当点F到达点A时，停止平移，设平移的距离为t．①当点G在直线y＝2x+6上时，求△DCG的面积；②当△EFG与四边形AOCD重合部分的面积为2时，请直接写出t的值．26．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别交y轴，x轴于A、B两点，点C在线段AB上，连接OC，且OC＝BC．（1）求线段AC的长度；（2）如图2，点D的坐标为（﹣，0），过D作DE⊥BO交直线y＝﹣x+3于点E．动点N在x 轴上从点D向终点O匀速运动，同时动点M在直线y＝﹣x+3上从某一点向终点G（2，1）匀速运动，当点N运动到线段DO中点时，点M恰好与点A重合，且它们同时到达终点．i）当点M在线段EG上时，设EM＝s、DN＝t，求s与t之间满足的一次函数关系式；ii）在i）的基础上，连接MN，过点O作OF⊥AB于点F，当MN与△OFC的一边平行时，求所有满足条件的s的值．28．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点M的坐标；②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．29．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+＝0．（1）求A点的坐标为（，），B点的坐标为（，）；（2）若点M为直线y＝mx在第一象限上一点，且△ABM是以AB为腰的等腰直角三角形，求m的值；（3）如图过点A的直线y＝nx﹣2n交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为﹣1，过N点的直线y＝x+c 交AP于点M（3，n），（i）试用含n的式子表示c；（ii）给出两个结论：①的值是不变；②的值是不变，只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．30．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx过点A（6，m），过点A作x轴的垂线，垂足为点B，过点A作y轴的垂线，垂足为点C．∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发．以每秒个单位长度的速度向点B运动．点P，Q 同时开始运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t（s），且t＞0．（1）求m与k的值；（2）当点P运动到点D时，求t的值；（3）连接DQ，点E为DQ的中点，连接PE，当PE⊥DQ时，请直接写出点P的坐标．参考答案与试题解析1．小明家新房装修时选定了某种品牌同一花色的壁纸，这种壁纸有大卷和小卷两种型号，已知购买1卷大卷壁纸和2卷小卷壁纸共花费900元，购买2卷大卷壁纸和3卷小卷壁纸共花费1550元．其中一大卷壁纸可贴10平方米的墙壁，一小卷壁纸可贴5平方米的墙纸．（1）求大卷和小卷壁纸的单价；（2）小明的爸爸共购买了40卷壁纸．若设购买大卷壁纸x卷．①设购买壁纸总费用为y元，写出y与x的函数关系式；②小明的爸爸决定，买壁纸的预算不能超过15000元，求可贴墙壁的最大面积．【解答】解：（1）设大卷壁纸单价为m元/卷，小卷壁纸单价为n元/卷，由题意得：，解得：，答：大卷壁纸单价为400元/卷，小卷壁纸单价为250元/卷；（2）①购买大卷壁纸x卷，购买小卷壁纸（40﹣x）卷，则y＝400x+250（40﹣x）＝150x+10000，∴y与x的函数关系式为y＝150x+10000；②∵y≤15000，∴150x+10000≤15000，解得：x≤，x为整数，设贴墙壁的面积为S，则S＝10x+5（40﹣x）＝5x+200，∵5＞0，∴S随x的增大而增大，∵x最大值为33，∴S max＝5×33+200＝365，答：可贴墙壁的最大面积为365平方米．2．为响应国家扶贫攻坚的号召，A市先后向B市捐赠两批物资，甲车以60km/h的速度从A市匀速开往B 市．甲车出发1h后，乙车以90km/h的速度从A市沿同一条道路匀速开往B市．甲、乙两车距离A市的路程y（km）与甲车的行驶时间x（h）之间的关系如图所示（1）A，B两市相距360km，m＝5，n＝6；（2）求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，直接写出x的值．【解答】解：（1）由函数图象可知，AB两市相距360km，则m＝+1＝5（h），n＝＝6（h），故答案为：360，5，6；（2）设乙车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝k+b，将点（1，0）和点（5，360）代入得：，解得：，则乙车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝90x﹣90，由（1）可知，m＝5，则1≤x≤5；（3）设甲车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝cx，将点（6，360）代入得：6c＝360，解得：c＝60，则甲车行驶过程中y关于x的函数解析式为y＝60x，联立，解得：，即当甲车行驶3h时，两车相遇，由题意，分以下两种情况：①当甲、乙两车未相遇前，即1≤x＜3时，则60x﹣（90x﹣90）＝30，解得：x＝2，符合题设；②当甲、乙两车相遇后，即3≤x＜5时，则90x﹣90﹣60x＝30，解得：x＝4，符合题设；综上，在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，x的值为2或4．3．如图，已知直线y＝kx+3与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，sin∠OAB＝．（1）求k的值；（2）D、E两点同时从坐标原点O出发，其中点D以每秒1个单位长度的速度，沿O→A→B的路线运动，点E以每秒2个单位长度的速度，沿O→B→A的路线运动．当D，E两点相遇时，它们都停止运动设运动时间为t秒．①在D、E两点运动过程中，是否存在DE∥OB？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；②若设△OED的面积为S，求s关于t的函数关系式，并求出t为多少时，s的值最大？【解答】解：（1）直线y＝kx+3，当x＝0时，y＝3，∴B（0，3），∴OB＝3，∵∠AOB＝90°，且sin∠OAB＝，∴＝，∵AB＝OB＝×3＝5，∴OA＝＝4，∴A（4，0），把A（4，0）代入y＝kx+3得0＝4k+3，解得k＝．（2）①不存在，理由如下：在OA上取一点F（，0），连接BF，当0＜t＜时，如图1，OD＝t，OE＝2t，∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠DOE＝∠FOB，∴△ODE∽△OFB，∴∠ODE＝∠OFB，∴DE∥BF，当t＝时，DE与BF重合，∴当0＜t≤时，不存在DE∥OB；当＜t＜4时，如图2，AF＝4＝，AD＝4﹣t，AE＝8﹣2t，∵＝＝，＝，∴＝，同理可证DE∥BF，∴此时不存在DE∥OB，综上所述，不存在DE∥OB．②当0＜t≤时，如图1，S△OED＝OD•OE＝t×2t＝t2，∴S＝t2，∵a＝1＞0，∴S随t的增大而增大，∴当t＝时，S最大＝（）2＝；当＜t＜4时，如图2，作EG⊥x轴，则EG∥BO，∴△AGE∽△AOB，∴＝，∴GE＝•AE＝（8﹣2t），∴S△OED＝OD•GE＝×t（8﹣2t）＝t2+t，∴S＝t2+t，∵S＝t2+t＝（t﹣2）2+，且＜0，＜2＜4，∴当t＝2时，S最大＝，∵＞，∴当t＝2时，S的最大值为，综上所述，S＝，当t＝2时，S的最大值为．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，与正比例函数y＝x的图象交于点A，点A的横坐标为4．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若动点M在线段OA和射线AC上运动，当三角形OMC的面积是三角形OAC的面积的时，求点M的坐标；（3）若点P（m，1）在三角形AOB的内部（包括边界），则m的取值范围是2＜m＜5．【解答】解：（1）∵点A在正比例函数y＝x的图象上，且点A的横坐标为4．∴点A（4，2），∴2＝﹣4+b，∴b＝6，∴一次函数解析式为y＝﹣x+6，∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，∴点B（6，0），点C（0，6）；（2）由（1）可知：OC＝6，x A＝4，∴S△OAC＝×OC×x A＝×6×4＝12，∵S△OMC＝S△OAC＝4，∴S△OMC＝×OC×|x M|＝4，∴|x M|＝，∴x M＝±，分情况讨论：①当动点M在线段OA上时，x＞0，则当x＝时，y＝，∴此时M点的坐标为（，），②动点M射线AC上运动时：a．若x＞0，则当x＝时，y＝﹣+6＝，故此时M点的坐标为（，），b．若x＜0，则当x＝﹣时，y＝+6＝，故此时M点的坐标为（﹣，），综上，M点的坐标为（，）或（，）或（﹣，）；故答案为：（，）或（，）或（﹣，）；（3）∵点P（m，1）在△AOB的内部（不包括边界），∴当y＝1时，代入正比例函数中得：1＝x，解得：x＝2，当y＝1时，代入一次函数中得：1＝﹣x+6，解得：x＝5，∴2＜m＜5．故答案为：2＜m＜5．5．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB斜边OB在x轴正半轴上，B（6，0），A在第一象限，直线y＝x与AB相交于点C．动点P（m，0）从原点出发，沿线段OB向右运动（0≤m＜6）．过点P 作OB的垂线与直线OC相交于点F，与△AOB的边OA或AB相交于点E．以EF为直角边、点E为直角顶点，在EF的左侧作等腰直角△EFG，连接AP．（1）求直线AB的解析式及点C的坐标；（2）当以点P、E、A为顶点的三角形为等腰三角形时，求m的值；（3）当△EFG与△AOB的重叠部分的图形是轴对称图形时，直接写出m的取值或取值范围．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，如图1，作AH⊥OB于点H，∵AB＝AO，∴OH＝BH＝OB＝×6＝3，∴H（3，0），∵∠OAB＝90°，∴AH＝OB＝3，∴A（3，3），把A（3，3）、B（6，0）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；由得，∴C（5，1）．（2）如图1，点E在OA上，AE＝PE，∵PE⊥OB，∴∠OPE＝90°，∵∠AOB＝∠ABO＝45°，∴∠POE＝∠PEO＝45°，∵P（m，0），∴PE＝OP＝AE＝m，∴OE＝＝＝m，∵AB＝AO＝＝＝3，∴m+m＝3，解得m＝6；如图2，点E在AB上，AE＝PE，∵∠BPE＝90°，∠PBE＝45°，∴∠PEB＝∠PBE＝45°，∴AE＝PE＝PB＝6﹣m，∵BE＝＝＝PB＝（6﹣m），∴6﹣m+（6﹣m）＝3，解得m＝3，综上所述，m的值为6或3．（3）当点E在OA边上，如图1，设FG交OA于点M，∵EF＝EG，∠FEG＝90°，∴∠MFE＝∠G＝45°，∴∠MEF＝∠MFE＝45°，∴ME＝MF，∴△MEF是轴对称图形，此时0＜m≤3；如图3，点E在AC上，EG交OA于点N，FG交OA于点M，EN＝MN，连接FN，∵∠FEG＝∠EPB＝90°，∴EG∥OB，∴∠MNG＝∠AOB＝∠G＝45°，∴∠GMN＝90°，∴FG⊥OA，∵∠FEN＝∠FMN＝90°，FN＝FN，EN＝MN，∴Rt△EFN≌Rt△MFN（HL），∴四边形MFEN是轴对称图形，MF＝EF，作CQ⊥OB于点Q，则Q（5，0），∴BQ＝CQ＝1，∵∠BQC＝90°，∴BC＝＝＝，∴AC＝3﹣＝2，∵P（m，0），∴F（m，m），∵PE＝PB＝6﹣m，∴EF＝6﹣m﹣m＝6﹣m，∵∠GMN＝∠A＝90°，∴MF∥AC，∴△OMF∽△OAC，∴＝，∴＝＝＝，设MF＝2n，则OM＝3n，∴OF＝＝＝n，∴＝＝，∵∠OPF＝90°，OP＝m，PF＝m，∴OF＝＝m，∴MF＝OF＝×m＝m，∴m＝6﹣m，解得m＝；当点G与点M重合时，则MF＝GF＝＝＝EF，∴m＝（6﹣m），解得m＝，如图4，当≤m＜5时，△EFG与△AOB的重叠部分为等腰直角△EFG，是轴对称图形；如图5，点E在BC上，FG交AB于点I，∵∠GEF＝∠OPF＝90°，∴GE∥OB，∴∠IEG＝∠ABO＝45°，∴∠IEG＝∠G＝45°，∴IG＝IE，∴△IGE是轴对称图形，此时5＜m＜6，综上所述，m的取值范围是0＜m≤3或m＝或≤m＜5或5＜m＜6．6．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为射线AO上的一点（点P不与点A 重合），BC是△ABP的中线，点C，C′关于BP对称，设点P的横坐标为m．（1）求点A，B的坐标，若∠APB＝45°，求PB所在直线的解析式；（2）若BC＝BA，求m的值；（3）若点C′在x轴下方，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣2x+4，得到y＝4．把y＝0代人y＝﹣2x+4，得x＝2．∴A（2，0），B（0，4），若∠APB＝45°，则点P在轴的负半轴上，且OP＝OB＝4．∴P（﹣4，0），设PB所在直线的解析式y＝kx+b，∴，解得．∴PB所在直线的解析式为y＝x+4；（2）若BC＝BA，∵BO⊥CA，∴CO＝OA，∵A（2，0），∴C（﹣2，0），∴AC＝4，CO＝OA＝2，∵BC是△ABP的中线，∴PC＝AC＝4，∴OP＝OC+PC＝2+4＝6，∴点P（﹣6，0），∴m＝﹣6；（3）0＜m＜2．理由：当点P在x轴负半轴上时．点C′在x轴上方；点P与原点O重合时．点C′在x轴上，点P 在点O，A之间时，点C在x轴下方．∴0＜m＜2．7．已知直线AB交x轴于点A（a，o），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（b﹣4）2＝0．（1）求∠ABO的度数；（2）如图1，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由；（3）如图2，若点C在OB上，点F在AB的延长线上，且AC＝CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于点Q，求的值．【解答】解：（1）∵|a+b|+（b﹣4）2＝0，∴a＝﹣4，b＝4，∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），∴AO＝BO＝4，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO的度数为45°；（2）△COD是等腰直角三角形．证明：如图1：∵BE⊥AC，OA⊥OB，∴∠EFB+∠EBF＝∠OF A+∠OAF，又∵∠OF A＝∠EFB，∴∠EBF＝∠OAF，在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠DOC，∴∠DOC＝∠AOB＝90°，∴△COD为等腰直角三角形；（3）过点C作CK⊥OB交AB于K，∵∠ACP＝90°，∴∠BCP＝∠OAC，∵OA＝OB，∴∠OAC+∠CAF＝∠OAB＝45°，∴∠OBA＝∠F+∠BCF＝45°，∵AC＝CF，∴∠CAF＝∠F，∴∠BCF＝∠OAC＝∠BCP，即OB平分∠PCF，∵△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，∴CA＝CP，∵AC＝CF，∴CP＝CF，∵CB＝CB，∴△BCF≌△BCP（SAS），∴BF＝BP，∵∠OBA＝45°，CK⊥OB，∴△BCK为等腰直角三角形，∴△ACF和△BCK均为等腰三角形，∵CQ⊥AF，∴FQ＝AQ，BQ＝QK，∴BF＝AK，∵△BCK为等腰直角三角形，∴BQ＝QK＝CQ，∴＝＝＝2．8．如图，直线y＝﹣3x+12分别交x轴、y轴于点A，B，以AB为斜边向左侧作等腰Rt△ABD，延长BD 交x轴于点C，连接DO，过点D作DE⊥DO交y轴于点E．（1）求证：∠1＝∠2．（2）求OE的长．（3）点P在线段AB上，当PE与∠COD的一边平行时，求出所有符合条件的点P的坐标．【解答】（1）证明∵△ABD是以AB为斜边向左侧作等腰直角三角形，∠BDA＝∠CDA＝∠BOC＝90°，∴∠1＝90°﹣∠BCO，∠2＝90°﹣∠BCO，∴∠1＝∠2；（2）解：如图：∵DB⊥DA，DE⊥DO，∴∠3+∠4＝90°，∠5+∠4＝90°，∴∠3＝∠5，∵∠1＝∠2，且DB＝DA，∴△BDE≌△ADO（ASA），∴BE＝OA，又∵直线y＝﹣3x+12分别交x轴、y轴于点A，B，∴OB＝12，OA＝4，∴BE＝OA＝4，∴OE＝OB﹣BE＝12﹣4＝8；（3）解：∵点P在直线y＝﹣3x+12上，∴设点P的坐标为（x，﹣3x+12）．∵直线PE与∠COD的一边平行，∴分两种情况．①若PE∥OC，如图，∴点P的纵坐标等于点E的纵坐标＝8，∴﹣3x+12＝8，解得x＝，∴点P的坐标为（，8）；②若PE∥OD（如图），延长EP交x轴于点Q，由（2）知：△BDE≌△ADO，∴DO＝DE，∵∠ODE＝90°，∴∠DOE＝45°＝∠DOC＝∠EQO，∴OQ＝OE＝8，∴Q（8.0）．设直线EP为：y＝kx+8，则0＝8k+8，解得k＝﹣1，∴直线EP为y＝﹣x+8，联立直线AB，得，解得：，∴点P的坐标为（2.6），综上所述：符合条件的点P的坐标为（，8）或（2，6）．9．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，3），C（﹣3，0），D是线段AB上一点，CD交y轴于E，且S△BCE＝2S△AOB．（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；（4）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．【解答】解：（1）设直线AB的函数解析式为：y＝kx+b，则，∴，∴直线AB的函数解析式为：y＝﹣3x+3；（2）设E（0，t），∵A（1，0），B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，∴S△AOB＝，∵S△BCE＝2S△AOB，∴S△BCE＝3，∴，解得t＝1，∴E（0，1），设直线CE的函数解析式为：y＝mx+n，将C、E的坐标代入得：，∴，∴直线CE的函数解析式为：y＝x+1，当x+1＝﹣3x+3时，∴x＝，则y＝，∴D（），（3）猜想：CE＝AB，CE⊥AB，理由如下：∵OE＝OA＝1，OC＝OB＝3，∠COE＝∠BOA＝90°，∴△COE≌△BOA（SAS），∴CE＝AB，∠OCE＝∠OBA，∵∠OBA+∠BAO＝90°，∴∠OCE+∠BAO＝90°，∴∠CDA＝90°，∴CE⊥AB；（4）在射线CD上存在两个F点，使∠DBF＝45°，如图，当点F在线段CD上时，过点D作GH∥y轴，过点B、F分别作GH的垂线，垂足分别为G、H点，∵CD⊥AB，∠DBF＝45°，∴∠DBF＝∠DFB＝45°，∴BD＝DF，∵∠BDG+∠FDH＝90°，∠BDG+∠DBG＝90°，∴∠FDH＝∠DBG，又∵∠G＝∠H∴△BDG≌△DFH（AAS），∴FH＝DG＝3﹣＝，DH＝BG＝，∴点F（﹣，），当点F在CD的延长线上时，由对称性可知F（，），综上点F的坐标为：（﹣，）或（，），10．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段OB上，将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，直线DC交AB于点E．（1）求点C的坐标；（2）若点P在直线DC上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当△CPQ和△CBE全等时，直接写出点P的坐标（﹣2，0）或（2，3）或（﹣）（不包括这两个三角形重合的情况）．【解答】解：（1）由得，A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∵∠AOB＝90°，由勾股定理得，AB＝5，∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，∴AD＝AB＝5，∴OD＝2，设OD＝x，则BC＝4﹣x，在Rt△OCD中，由勾股定理得：x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∴C（0，）；（2）由（1）得直线CD的解析式为y＝x+，∵将△AOB沿AC翻折，点B恰好落在x轴上的点D处，∴∠ABO＝∠CDO，∵∠BCE＝∠DCO，∴∠BEC＝∠COD＝90°，①当点D与P重合时，OP＝2，OC＝，CP＝，则△CPQ与△CBE全等，∴P（﹣2，0）；②当CQ＝BC＝时，则点Q的纵坐标为﹣1时，点Q与直线CD之间的距离为2，则△CPQ与△CBE全等，∴P（﹣）；③当PC＝BE＝2时，得点P（2，3），综上，点P的坐标为（﹣2，0）或（2，3）或（﹣）．故答案为：（﹣2，0）或（2，3）或（﹣）．11．如图，直角坐标系xOy中，过点A（6，0）的直线l1与直线l2：y＝kx﹣1相交于点C（4，2），直线l2与x轴交于点B．（1）k的值为；（2）求l1的函数表达式和S△ABC的值；（3）直线y＝a与直线l1和直线l2分别交于点M，N，（M，N不同）①直接写出M，N都在y轴右侧时a的取值范围；②在①的条件下，以MN为边作正方形MNDE，边DE恰好在x轴上，直接写出此时a的值．【解答】解：（1）将点C（4，2）代入y＝kx﹣1得，2＝4k﹣1，解得，故答案为：；（2）设直线l1的表达式为y＝k1x+b将点A（6，0），C（4，2）代入得，，解得，∴直线l1的表达式为y＝﹣x+6，当y＝0时，，解得x＝，∴点B的坐标为（，0），∴AB＝6﹣＝，∴S△ABC＝；（3）①当x＝0时，y＝x﹣1＝﹣1，y＝﹣x+6＝6，∴M，N都在y轴右侧时a的取值范围是：﹣1＜a＜6且a≠2．②当y＝a时，x﹣1＝a，则x＝，∴点N的坐标为（，a），当y＝a时，﹣x+6＝a，则x＝6﹣a，∴点M的坐标为（6﹣a，a）∴MN＝|6﹣a﹣|＝||，∵四边形MNDE为正方形，∴||＝|a|，解得：或，∴或．12．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点，点A向上平移5个单位长度得到点B．（1）求点B的坐标；（2）在直线y＝﹣x﹣2上是否存在一点C，使得△ABC是直角三角形，若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由；（3）若一次函数y＝kx﹣2图象与线段AB存在公共点D，直接写出k的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点，∴m＝﹣1﹣2＝﹣3．∴点A的坐标为（1，﹣3），∴点A向上平移5个单位长度得到点B的坐标为（1，2）；（2）存在，①当∠B＝90°时，如图，∵B（1，2），C点在y＝﹣x﹣2上，∴2＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣4，∴C（﹣4，2），∴BC＝5，∵点A向上平移5个单位长度得到点B，∴AB＝BC＝5，∴∠CAB＝45°，②当∠ACB＝90°时，作CG⊥AB于G，∵∠CAB＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴G为AB中点，∵点A的坐标为（1，﹣3），点B的坐标为（1，2），∴G（1，﹣0.5）∵点C在y＝﹣x﹣2上，∴﹣0.5＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣1.5，∴C（﹣1.5，﹣0.5）．综上，存在一点C，使得△ABC是直角三角形，C点坐标为（﹣4，2）或（﹣1.5，﹣0.5）；（3）当直线y＝kx﹣2过点A（1，﹣3）时，得﹣3＝k﹣2，解得k＝﹣1．当直线y＝kx﹣2过点B（1，2）时，得2＝k﹣2，解得k＝4．如图，若一次函数y＝kx﹣2与线段AB有公共点，则k的取值范围是﹣1≤k≤4且k≠0．13．如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+b分别交x轴，y轴于点A、B，OA＝4，∠OBA的外角平分线交x轴于点D．（1）求点D的坐标；（2）点P是线段BD上一点（不与B、D重合），过点P作PC⊥BD交x轴于点C，设点P的横坐标为t，△BCD的面积为S，求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，PC的延长线交y轴于点E，当PC＝PB时，将射线EP绕点E旋转45°交直线AB于点F，求F点坐标．【解答】解：（1 ）∵OA＝4，∴A（4，0），把A（4，0）代入，得：b＝﹣3，过点D作DH⊥AB于点H，则DH＝DO，BH＝BO，∵当x＝0时，y＝3，∴B（0，﹣3），∴OA＝4，BO＝BH＝3，∴，AD＝DO+OA＝DH+4，∵，∴，解得：DH＝6，∴OD＝6，∴点D的坐标为（﹣6，0），（2）过点P作PE⊥OD于点E，则△DPE∽△DBO，∵点P在直线BD上，且点P的横坐标为t，∴DE＝t+6，∵OD＝6，OB＝3，∴，∵△DPE∽△DBO，∴，∴，解得：，∵PC⊥BD，∴△PDC∽△ODB，∴，∴，∴，∴；（3）作PH垂直于x轴于点H，设射线EP绕点E逆时针旋转45°交x轴于点K，顺时针旋转45°交x轴于点G．∵∠BPC＝90°，∠BOC＝90°∴B，P，C，O四点共圆，∴∠POC＝∠PBC＝45°，∴PH＝HO，∴DH＝6﹣HO＝6﹣PH，∴，得PH＝2，∴HC＝CG＝1，∴OE＝2，∵∠KEP＝∠DBC，∠PEB＝∠BDC，∴∠KEP+∠PEB＝∠DBC+∠BDC，即∠KEO＝∠BCO，∴OE：GK＝CO：BO＝1：3，∴GK＝6，∴K（﹣6，0），∴直线KE为：y＝﹣x﹣2，联立方程组：，解得x＝12，y＝﹣6，∴F1（12，﹣6），∵∠KEP+∠PEG＝90°，∴∠DEG＝90°，∴∠OEG＝∠ODE，∴OG：OE＝OE：OD＝1：3，∴OG＝；∴G（，0），∴直线EG的解析式为：y＝3x﹣2，联立方程组：，解得x＝，y＝2，∴F2（，2），综上所述：F的坐标为（12，﹣6）或（，2）．14．如图，直线l1：y＝kx﹣2k+1经过定点C，分别交x轴，y轴于A，B两点，直线l2经过O，C两点，点Dl2上．（1）①直接写出点C的坐标为（2，1）；②求直线l2的解析式；（2）如图1，若S△BOC＝2S△BCD，求点D的坐标；（3）如图2，直线l3经过D，E（0，﹣）两点，分别交x轴的正半轴、l1于点P，F，若PE＝PF，∠EDO＝45°，求k的值．【解答】解（1）①∵y＝kx﹣2k+1经过定点C，∴点C的坐标与k的取值无关，∴x＝2时，y＝1，∴C（2，1），故答案为：（2，1）；②设l2的解析式为：y＝ax，把C（2，1）代入y＝ax得：a＝，∴l2的解析式为y＝，（2）如图，取OB的中点H，连接CH，。
(完整版)一次函数压轴题经典.docx
一次函数压轴题训练典型例题题型一、 A 卷压轴题一、 A 卷中涉及到的面积问题例 1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数 y 12x 2 与 x 轴、 y 轴分别相交于点3A 和点B ，直线 y 2 kx b (k0) 经过点 C （ 1，0）且与线段 AB 交于点 P ，并把△ ABO 分成两部分．（ 1）求△ ABO 的面积；（ 2）若△ ABO 被直线 CP 分成的两部分的面积相等，求点 P 的坐标及直线CP 的函数表达式。
yy 1B PO CAxy 2练习 1、如图，直线 l 1 过点 A （ 0， 4），点 D （ 4， 0），直线 l 2 ： y1x 1与 x 轴交于点 C ，2两直线 l 1 ， l 2 相交于点 B 。
l 1y（1）、求直线 l 1 的解析式和点 AB 的坐标；l 2（2）、求△ ABC 的面积。
BCODx二、 A 卷中涉及到的平移问题例 2、正方形 ABCD的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正半轴上，且 A 点的坐标是（1， 0）。
4 8①直线 y=3x- 3经过点 C，且与 x 轴交与点E，求四边形AECD的面积；②若直线 l 经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分求直线l 的解析式，③若直线 l1经过点F3 .0 且与直线y=3x平行,将②中直线l沿着y轴向上平移2个单位23交 x 轴于点M , 交直线l1于点N , 求NMF 的面积.练习 1、如图，在平面直角坐标系中，直线l1： y4x 与直线 l2： y kx b 相交于3点 A，点 A 的横坐标为 3，直线l2交y轴于点 B，且OA 1OB 。
2（1）试求直线l 2函数表达式。
（6分）（2）若将直线l 1沿着x轴向左平移3个单位，交y 轴y 于点 C，交直线l2于点 D；试求△ BCD的面积。
（4分）。
L 2l 1A1x题型二、 B 卷压轴题一、一次函数与特殊四边形例 1、如图，在平面直角坐标系中，点A、B 分别在 x 轴、y 轴上，线段OA、 OB的长 (0A<OB)2x y2x 与直线是方程组的解，点 C是直线y3x y6AB的交点，点 D 在线段 OC上， OD=25(1)求点 C 的坐标；(2)求直线 AD的解析式；(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以 0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习 1、. 如图 , 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线PA是一次函数y=x+m( m>0)的图象,直线 PB是一次函数y3x n(n > m )的图象,点P是两直线的交点, 点 A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点。
一次函数综合题(解析版)--2024年中考数学压轴题专项训练
一次函数综合题通用的解题思路：(1)一次函数与几何图形的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．(2)一次函数的优化问题通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x 的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．(3)用函数图象解决实际问题从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．1(2024•鼓楼区一模)如图，直线y =-3x +6与⊙O 相切，切点为P ，与x 轴y 轴分别交于A 、B 两点．⊙O 与x 轴负半轴交于点C ．(1)求⊙O 的半径；(2)求图中阴影部分的面积．【分析】(1)由OP =OA ⋅sin60°，即可求解；(2)由图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC ，即可求解．【解答】解：(1)对于直线y =-3x +6，令y =-3x +6=0，则x =23，即OA =23，由一次函数的表达式知，OB =6，则tan ∠BAC =OB AO =623=3，则∠BAC =60°连接OP ，则OP ⊥AB ，则OP =OA ⋅sin60°=23×32=3；(2)过点P 作PH ⊥AC 于点H ，∵∠POH =30°，则∠POC =150°，PH =12OP =32，则图中阴影部分的面积=S 扇形COP -S ΔPOC =150°360°×π×32-12×3×32=15π-94．【点评】本题考查了一次函数和圆的综合运用，涉及到圆切线的和一次函数的性质，解直角三角形，面积的计算等，综合性强，难度适中．2(2023•宿豫区三模)如图①，在平面直角坐标系中，直线l 1:y =x +1与直线l 2:x =-2相交于点D ，点A 是直线l 2上的动点，过点A 作AB ⊥l 1于点B ，点C 的坐标为(0,3)，连接AC ，BC ．设点A 的纵坐标为t ，ΔABC 的面积为s ．(1)当t =2时，求点B 的坐标；(2)s 关于t 的函数解析式为s =14t 2+bt -54t -1或t 5 a t +1 t -5 (-1<t <5)，其图象如图②所示，结合图①、②的信息，求出a 与b 的值；(3)在直线l 2上是否存在点A ，使得∠ACB =90°，若存在，请求出此时点A 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)解法一：先根据t =2可得点A (-2,2)，因为B 在直线l 1上，所以设B (x ,x +1)，利用y =0代入y =x +1可得G 点的坐标，在Rt ΔABG 中，利用勾股定理列方程可得点B 的坐标；解法二：根据可以使用y =x +1与x 轴正半轴夹角为45度来解答；(2)先把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中计算得b 的值，计算在-1<t <5范围内图象上一个点的坐标值：当t =2时，根据(1)中的数据可计算此时s =94，可得坐标2,94，代入s =a (t +1)(t -5)中可得a 的值；(3)存在，设B (x ,x +1)，如图5和图6，分别根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解答．【解答】解：(1)解法一：如图1，连接AG ，当t =2时，A (-2,2)，设B (x ,x +1)，在y =x +1中，当x =0时，y =1，∴G (0,1)，∵AB ⊥l 1，∴∠ABG =90°，∴AB 2+BG 2=AG 2，即(x +2)2+(x +1-2)2+x 2+(x +1-1)2=(-2)2+(2-1)2，解得：x 1=0(舍)，x 2=-12，∴B -12，12；解法二：如图1-1，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，过点A 作AH ⊥BE 于H ，当x =0时，y =1，当y =0时，x +1=0，则x =-1，∴OF =OG =1，∵∠GOF =90°，∴∠OGF =∠OFG =45°，∴BE =EF ，∵∠ABD =90°，∴∠ABH =∠BAH =45°，∴ΔABH 是等腰直角三角形，∴AH =BH ，当t =2时，A (-2,2)，设B (x ,x +1)，∴x +2=2-(x +1)，∴x =-12，∴B -12，12 ；(2)如图2可知：当t =7时，s =4，把(7,4)代入s =14t 2+bt -54中得：494+7b -54=4，解得：b =-1，如图3，过B 作BH ⎳y 轴，交AC 于H ，由(1)知：当t =2时，A (-2,2)，B -12，12 ，∵C (0,3)，设AC 的解析式为：y =kx +n ，则-2k +n =2n =3 ，解得k =12n =3 ，∴AC 的解析式为：y =12x +3，∴H -12，114，∴BH =114-12=94，∴s=12BH⋅|x C-x A|=12×94×2=94，把2,9 4代入s=a(t+1)(t-5)得：a(2+1)(2-5)=94，解得：a=-1 4；(3)存在，设B(x,x+1)，当∠ACB=90°时，如图5，∵∠ABD=90°，∠ADB=45°，∴ΔABD是等腰直角三角形，∴AB=BD，∵A(-2,t)，D(-2,-1)，∴(x+2)2+(x+1-t)2=(x+2)2+(x+1+1)2，(x+1-t)2=(x+2)2，x+1-t=x+2或x+1-t=-x-2，解得：t=-1(舍)或t=2x+3，RtΔACB中，AC2+BC2=AB2，即(-2)2+(t-3)2+x2+(x+1-3)2=(x+2)2+(x+1-t)2，把t=2x+3代入得：x2-3x=0，解得：x=0或3，当x=3时，如图5，则t=2×3+3=9，∴A(-2,9)；当x=0时，如图6，此时，A(-2,3)，综上，点A的坐标为：(-2,9)或(-2,3)．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积、两点间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．3(2023•溧阳市一模)如图1，将矩形AOBC放在平面直角坐标系中，点O是原点，点A坐标为(0,4)，点B坐标为(5,0)，点P是x轴正半轴上的动点，连接AP，ΔAQP是由ΔAOP沿AP翻折所得到的图形．(1)当点Q落在对角线OC上时，OP= 165 ；(2)当直线PQ经过点C时，求PQ所在的直线函数表达式；(3)如图2，点M是BC的中点，连接MP、MQ．①MQ的最小值为；②当ΔPMQ是以PM为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【分析】(1)通过Q 点在OC 上，可以通过∠BOC 的三角函数和∠OAP 的三角函数来导出对应的边的关系，求得结果；(2)通过直角ΔAQC 中，得到QC 的长度，然后通过OP =PQ =x ，可以在Rt ΔBCP 中，得到对应的x 值然后求出结果；(3)通过QA =OA =4，可得出Q 点的运动轨迹，是以A 点为圆心，4为半径长度的圆弧，从而可知，MA 的连线上的Q 点为最短的MQ 长度，通过分类讨论，PM =PQ ，PM =QM ，PQ =QM 来求得对应的P 的坐标．【解答】解：(1)如图1，∵∠OAP +∠AOE =90°，∠BOC +∠AOE =90°，∴∠OAP =∠BOC ，又∵∠AOP =∠OBC =90°，∴ΔOAP ∽ΔBOC ，∴OP BC =OA OB ，即OP 4=45，∴OP =165，故答案为：165；(2)如图，∵AQ ⊥PQ ，∴∠AQC =90°，∴QC =AC 2-AQ 2=52-42=3，∵AQ =AO =4，设OP =PQ =x ，则CP =3+x ，PB =5-x ，∴CP 2=BP 2+BC 2，(3+x )2=(5-x )2+42，x =2，∴P 点的坐标为(2,0)，将P (2,0)和C (5,4)代入y =kx +b 中，0=2k +b 4=5k +b ，解得：k =43b =-83，∴PQ 所在直线的表达式为：y =43x -83；(3)如图，①∵AQ =AO =4，∴Q 点的运动轨迹，是以A 为圆心，4为半径的圆弧，∴MQ 的最小值在AM 的连线上，如图，MQ ′即为所求，∵M 是BC 中点，CM =12BC =2，∴AM =52+22=29，MQ ′=MA -AQ ′=29-4，故答案为：29-4；②如图，设OP =PQ =x ，BP =5-x ，∴PM 2=(5-x )2+22=x 2-10x +29，当PM =PQ 时，PM 2=PQ 2，∴x 2-10x +29=x 2，x =2910，∴P 2910，0，当MP =MQ 时，如图，若点Q 在AC 上，则AQ =OA =4，∵MP =MQ ，MB =MC ，∠PBM =∠QCM ，∴ΔPMB ≅ΔQMC (HL )，∴PB =QC ，QC =AC -AQ =5-4=1，∴PB =1，∴OP =BO -PB =5-1=4，∴P (4,0)；若点Q 在AC 上方时，由对称性可知OM =MQ ，∵MQ =MQ ，∴MO =MP ，∴P (10,0)；当MQ =PQ 时，不符合题意，不成立，故P 点坐标为P 2910，0或P (4,0)或(10,0)．【点评】本题考查一次函数的图象及应用，通过一次函数坐标图象的性质，三角函数的性质，全等三角形的性质和勾股定理，来求得对应的解．4(2022•启东市模拟)我们知道一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象关于y 轴对称，所以我们定义：函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)互为“M ”函数．(1)请直接写出函数y =2x +5的“M ”函数；(2)如果一对“M ”函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象交于点A ，且与x 轴交于B ，C 两点，如图所示，若∠BAC =90°，且ΔABC 的面积是8，求这对“M ”函数的解析式；(3)在(2)的条件下，若点D 是y 轴上的一个动点，当ΔABD 为等腰三角形时，请求出点D 的坐标．【分析】(1)根据互为“M ”函数的定义，直接写出函数y =2x +5的“M ”函数；(2)现根据已知条件判断ΔABC 为等腰直角三角形，再根据互为“M ”函数的图象关于y 轴对称，得出OA =OB =OC ，再根据函数解析式求出点A 、B 、C 的坐标，再根据ΔABC 的面积是8求出m 、n 的值，从而求出函数解析式；(3)ΔABD 为等腰三角形，分以A 为顶点，以B 为顶点，以D 为顶点三种情况讨论即可．【解答】(1)解：根据互为“M ”函数的定义，∴函数y =2x +5的“M ”函数为y =-2x +5；(2)解：根据题意，y =mx +n 和y =-mx +n 为一对“M 函数”．∴AB =AC ，又∵∠BAC =90°，∴ΔABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC =∠ACB =45°，∵OB =OC ，∴∠BAO =∠CAO =45°，∴OA =OB =OC ，又∵S ΔABC =12×BC ×AO =8且BC =2AO ，∴AO =22，∵A 、B 、C 是一次函数y =mx +n 与y =-mx +n (m ≠0)的图象于坐标轴的交点，∴A (0,n )，B -n m ，0 ，C n m ，0，∵OA =OB =n ，∴n m=22，∴m =1，∴y =x +22和y =-x +22；(3)解：根据等腰三角形的性质，分情况，∵AO =BO =22，∴AB =4，由(2)知，A (0，22)，B (-22，0)，C (22，0)，∴①以A 为顶点，则AB =AD ，当点D 在点A 上方时，AD =22+4，当点D 在点A 下方时，AD =22-4，∴D 1(0，22+4)，D 2(0，22-4)，②以B 为顶点，则BA =BD ，此时点D 在y 轴负半轴，∴D 3(0,-22)，③以D 为顶点，则DA =DB ，此时D 为坐标原点，∴D 4(0,0)．∴D 点坐标为D 1(0，22+4)，D 2(0，22-4)，D 3(0,-22)，∴D 4(0,0)．【点评】本题考查一次函数的综合应用，以及新定义、等腰三角形的性质等知识，关键是理解新定义，用新定义解题．5(2024•新北区校级模拟)如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发，以v 2的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ，PQ ，记ΔEPQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②)，已知，ON =4，NH =1，点G 的坐标为(8,0)．(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为 85 ；AB AD的值为；(2)如果OM =15．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②求FG 所在曲线的函数表达式；③是否存在某个时刻t ，使得S ≥154？若存在，求出t 的取值范围：若不存在，请说明理由．【分析】(1)由函数图象可知t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，则Q 的速度v 2=DE 4，P 的速度v 1=AB 4，从而得出答案；(2)①当t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，此时S ΔADE =2，可得AD =BC =DE =15，AB =CD =53AD =10，从而得出点P 与Q 的速度，即可得出点F 的坐标，利用待定系数法可得答案；②设FG 所在的曲线的数解析式为S =a (t -6)2+k (a ≠0)，把F 5,154，G (8,0)代入解析式求得a ，k 值即可求解答；③利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式，当S =154时，可得t 的值，根据图象可得答案．【解答】解：(1)∵ON =4，NH =1，G (8,0)，∴N (4,0)，H (5,0)，由图象可知：t =4时，Q 与E 重合，t =5时，P 与B 重合，t =8时，P 与C 重合，∴Q 的速度v 2=DE 4，P 的速度v 1=AB 5，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵E 为CD 的中点，∴DE =12CD =12AB ，∴v 1v 2=AB5DE 4=AB 5⋅4DE =85，∵P 从A 到B 用了5秒，从B 到C 用了3秒，∴AB =5v 1，BC =3v 1，∴AB =53BC ，∴AB :AD 的值为53，故答案为：85，53；(2)①∵OM =15，∴M (0,15)，由题知，t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =15，∵AB :AD =53，DE =12AB ，∴DE =56AD ，∴12AD ⋅56AD =15，∴AD =BC =6(舍去负值)，∴AB =CD =53AD =10，∴v 2=DE 4=54，当t =5时，DQ =v 2t =54×5=254，∴QE =DQ -DE =254-5=54，此时P 与B重合，∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×54×6=154，∴F 5,154 ，设直线NF 的解析式为S =kt +b (k ≠0)，将N (4,0)与F 5,154 代入得：4k +b =05k +b =154，∴k =154b =-15 ，∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =154t -15(4<t ≤5)；②设FG所在的曲线的数解析式为S=1254t-5(16-2t)=-54t2+15t-40，∴FG所在的曲线的函数解析式为S=-54t2+15t-40(5≤t≤8)；③存在，分情况讨论如下：当Q在DE上，P在AB上时，∵直线MN经过点M(0,15)，N(4,0)，可求得直线MN的解析式为S=-54t+15(0≤t≤4)，当s=154时，-154t+15=154，∴x=3，∵s随x的增大而减小，∴当0≤x≤3时，S≥154，当Q在CE上，P在BC上时，直线NF的解析式为S=154t-15(4<t≤5)；由F5,15 4知：当t=5时，S=154，当S=154时，-54t2+15t-40=154，∴t=7或5，由图象知：当5≤x≤7，x的取值范围为0≤t≤3或5≤t≤7．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．6(2024•梁溪区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =-ax 2+3ax +4a 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴正半轴交于点C ，直线y =12x 交于第一象限内的D 点，且ΔABC 的面积为10．(1)求二次函数的表达式；(2)点E 为x 轴上一点，过点E 作y 轴的平行线交线段OD 于点F ，交抛物线于点G ，当GF =5OF 时，求点G 的坐标；(3)已知点P (n ,0)是x 轴上的点，若点P 关于直线OD 的对称点Q 恰好落在二次函数的图象上，求n 的值．【分析】(1)在y =-ax 2+3ax +4a 中，令y =0得A (-1,0)，B (4,0)，根据ΔABC 的面积为10，即得OC =4，C (0,4)，用待定系数法即得二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4；(2)设E (m ,0)，则F m ,12m ，G (m ,-m 2+3m +4)，由GF =5OF ，可得-m 2+52m +4=5×52m ，即可解得G (2,6)；(3)连接PQ 交直线OD 于K ，过Q 作QT ⊥x 轴于T ，设Q (r ,s )，可得K n +r 2，s 2 ，即得s 2=12×n +r 2，n +r =2s ①，又r 2+s 2=n 2，(n +r )(n -r )=s 2②，可解得r =35n ，s =45n ，故Q 35n ，45n ，代入y =-x 2+3x +4得45n =-35n 2+3×35n +4，解得n =5或n =-209．【解答】解：(1)如图：在y =-ax 2+3ax +4a 中，令y =0得-ax 2+3ax +4a =0，解得x =4或x =-1，∴A (-1,0)，B (4,0)，∴AB =5，∵ΔABC 的面积为10，∴12AB ⋅OC =10，即12×5⋅OC =10，∴OC =4，∴C (0,4)，把C (0,4)代入y =-ax 2+3ax +4a 得：4a =4，∴a =1，∴二次函数的表达式为y =-x 2+3x +4；(2)如图：设E (m ,0)，则F m ,12m ，G (m ,-m 2+3m +4)，∴OF =m 2+12m 2=52m ，GF =-m 2+3m +4-12m =-m 2+52m +4，∵GF =5OF ，∴-m 2+52m +4=5×52m ，解得m =2或m =-2(舍去)，∴G (2,6)；(3)连接PQ 交直线OD 于K ，过Q 作QT ⊥x 轴于T ，如图：∵P (n ,0)关于直线对称点为Q ，∴OQ =OP =|n |，K 是PQ 中点，设Q (r ,s )，∴K n +r 2，s 2，∵K 在直线y =12x 上，∴s 2=12×n +r 2，整理得：n +r =2s ①，∵OT 2+QT 2=OQ 2，∴r 2+s 2=n 2，变形得：(n +r )(n -r )=s 2②，把①代入②得：2s (n -r )=s 2，∵s ≠0，∴n -r =s2③，由①③可得r =35n ，s =45n ，∴Q 35n ，45n ，∵Q 在抛物线y =-x 2+3x +4上，∴45n =-35n 2+3×35n +4，解得n =5或n =-209，答：n 的值为5或-209．【点评】本题考查一次函数、二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，对称变换等知识，解题的关键是用含n 的代数式表示Q 的坐标．7(2023•邗江区校级一模)如图1，在平面直角坐标系中，直线l :y =-33x +43分别与x 轴、y 轴交于点A 点和B 点，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，以OD 为边构造等边ΔEDF (F 点在x 轴的正半轴上)．(1)求A 、B 点的坐标，以及OD 的长；(2)将等边ΔEDF ，从图1的位置沿x 轴的正方向以每秒1个单位的长度平移，移动的时间为t (s )，同时点P 从E 出发，以每秒2个单位的速度沿着折线ED -DF 运动(如图2所示)，当P 点到F 点停止，ΔDEF 也随之停止．①t =3或6(s )时，直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点；②当点P 在线段DE 上运动，若DM =2PM ，求t 的值；③当点P 在线段DF 上运动时，若ΔPMN 的面积为3，求出t 的值．【分析】(1)把x =0，y =0分别代入y =-33x +43，即可求出点A 、B 的坐标，求出∠BAO =30°，根据直角三角形的性质，即可得出OD =12OA =6；(2)①当直线l 分别过DE 、DF 、EF 的中点，分三种情况进行讨论，得出t 的值，并注意点P 运动的最长时间；②分点P 在直线l 的下方和直线l 上方两种情况进行讨论，求出t 的值即可；③分点P 在DN 之间和点P 在NF 之间两种情况进行讨论，求出t 的值即可．【解答】解：(1)令x =0，则y =43，∴点B 的坐标为(0,43)，令y =0，则-33x +43=0，解得x =12，∴点A 的坐标为(12,0)，∵tan ∠BAO =OB OA=4312=33，∴∠BAO =30°，∵OD ⊥AB ，∴∠ODA =90°，∴ΔODA 为直角三角形，∴OD =12OA =6；(2)①当直线l 过DF 的中点G 时，∵ΔDEF 为等边三角形，∴∠DFE =60°，∵∠BAO =30°，∴∠FGA =60°-30°=30°，∴∠FGA =∠BAO ，∴FA =FG =12DF =3，∴OF =OA -FA =9，∴OE =OF -EF =9-6=3，∴t =3；当l 过DE 的中点时，∵DE ⊥l ，DG =EG ，∴直线l 为DE 的垂直平分线，∵ΔDEF 为等边三角形，∴此时点F 与点A 重合，∴t =12-61=6；当直线l 过EF 的中点时，运动时间为t =12-31=9；∵点P 从运动到停止用的时间为：6+62=6，∴此时不符合题意；综上所述，当t =3s 或6s 时，直线l 恰好经过等边ΔEDF 其中一条边的中点，故答案为：3或6；②∵OE =t ，AE =12-t ，∠BAO =30°，∴ME =6-t2，∴DM =DE -EM =t2，∵EP =2t ，∴PD =6-2t ，当P 在直线l 的下方时，∵DM =23DP ，∴t 2=23(6-2t )，解得：t =2411；当P 在直线l 的上方时，∵DM =2DP ，∴t2=2(6-2t )，解得t =83；综上所述：t 的值为2411或83；③当3<t ≤6时，∵∠D =60°，∠DMN =90°，DM =t2，∴∠DNM =90°-60°=30°，∴MN =DM ×tan60°=32t ，DN =2DM =2×t2=t ，∵DP =2t -6，∴PN =DN -DP =t -(2t -6)=6-t ，∵∠DNM =30°，∴边MN 的高h =12PN =3-12t ，∵ΔPMN 的面积为3，∴12×32t 3-12t =3，整理得：t 2-6t +8=0，解得t =2(舍)或t =4当点P 在NF 之间时，∵∠D =60°，∠DMN =90°，DM =t2，∴∠DNM =90°-60°=30°，∴MN =DM ×tan60°=32t ，DN =2DM =2×t2=t ，∵DP =2t -6，∴PN =DP -DN =2t -6-t =t -6，∵∠DNM =30°，∴∠FNA =∠DNM =30°，∴边MN 的高h =12PN =12t -3，∵ΔPMN 的面积为3，∴12×32t 12t -3 =3，解得t =3+17(舍)或t =3-17(舍)，综上所述，t 的值为4s ．【点评】本题主要考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、利用三角函数解直角三角形，熟练掌握含30°的直角三角形的性质并注意进行分类讨论是解题的关键．8(2023•武进区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|；若|x 1-x 2|<|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1-y 2|．例如：点P 1(1,2)，点P 2(3,5)，因为|1-3|<|2-5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 交点)．(1)已知点A -12，0，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；(2)已知C 是直线y =34x +3上的一个动点，①如图2，点D 的坐标是(0,1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 与点C 的坐标．【分析】(1)①根据点B 位于y 轴上，可以设点B 的坐标为(0,y )．由“非常距离”的定义可以确定|0-y |=2，据此可以求得y 的值；②设点B 的坐标为(0,y )．因为-12-0 ≥|0-y |，所以点A 与点B 的“非常距离”最小值为-12-0 =12；(2)①设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ．根据材料“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”知，C 、D 两点的“非常距离”的最小值为-x 0=34x 0+2，据此可以求得点C 的坐标；②根据“非常距离”的定义，点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上，且C 与E 的横纵坐标差相等时，点C 与点E 的“非常距离”取最小值，据此求出C 与E 的坐标及“非常距离”的最小值．【解答】解：(1)①∵B 为y 轴上的一个动点，∴设点B 的坐标为(0,y )．∵-12-0 =12≠2，∴|0-y |=2，解得，y =2或y =-2；∴点B 的坐标是(0,2)或(0,-2)；②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12．(2)①如图2，当点C 与点D 的“非常距离”取最小值时，需要根据运算定义“若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|”解答，此时|x 1-x 2|=|y 1-y 2|．即AC =AD ，∵C 是直线y =34x +3上的一个动点，点D 的坐标是(0,1)，∴设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ，∴-x 0=34x 0+2，此时，x 0=-87，∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为：|x 0|=87，此时C -87，157；②如图3，当点E 在过原点且与直线y =34x +3垂直的直线上，且CF =EF 时，点C 与点E 的“非常距离”最小，设E (x ,y )(点E 位于第二象限)．则y x=-43x 2+y 2=1 ，解得x =-35y =45，故E -35，45．设点C 的坐标为x 0，34x 0+3 ，-35-x 0=34x 0+3-45，解得x0=-8 5，则点C的坐标为-8 5，95，点C与点E的“非常距离”的最小值为1．【点评】本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．9(2023•海安市一模)对于平面直角坐标系xOy中的图形W和点P，给出如下定义：F为图形W上任意一点，将P，F两点间距离的最小值记为m，最大值记为M，称M与m的差为点P到图形W的“差距离”，记作d(P,W)，即d(P,W)=M-m，已知点A(2,1)，B(-2,1)(1)求d(O,AB)；(2)点C为直线y=-1上的一个动点，当d(C,AB)=1时，点C的横坐标是 (2-5)或(5-2，) ；(3)点D为函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点，当d(D,AB)≤2时，直接写出b的取值范围．【分析】(1)画出图形，根据点P到图形W的“差距离”的定义即可解决问题．(2)如图2中，设C(m,-1)．由此构建方程即可解决问题．(3)如图3中，取特殊位置当b=6时，当b=-4时，分别求解即可解决问题．【解答】解：(1)如图1中，∵A(2,1)，B(-2,1)，∴AB⎳x轴，∴点O到线段AB的最小距离为1，最大距离为5，∴d(O,AB)=5-1．(2)如图2中，设C(m,-1)．当点C在y轴的左侧时，由题意AC-2=1，∴AC=3，∴(2-m)2+22=9，∴m=2-5或2+5(舍弃)，∴C(2-5，-1)，当点C在y轴的右侧时，同法可得C(5-2，-1)，综上所述，满足条件的点C的坐标为(2-5，-1)或(5-2，-1)．故答案为：(2-5，-1)或(5-2，-1)．(3)如图3中，当b=6时，线段EF:y=x+6(-2≤x≤2)上任意一点D，满足d(D,AB)≤2，当b=-4时，线段E′F′:y=x-4(-2≤x≤2)上任意一点D′，满足d(D′,AB)≤2，观察图象可知：当b≥6或b≤-4时，函数y=x+b(-2≤x≤2)图象上的任意一点，满足d(D,AB)≤2．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点P到图形W的“差距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考创新题型．10(2022•姑苏区校级模拟)平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M(4,1)，N(-2,3)，点P(m,n)．(1)①若m=2，n=4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为18，面积为；②若m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；(2)若点P在直线y=-2x+5上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；(3)若点P(m,n)在抛物线y=ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，-2≤m≤-1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．【分析】(1)①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；(2)①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，5，点P的坐标为(-1,7)或(4,-3)；(3)利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．【解答】解：(1)①如图，画出点M，N，P的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为6+6+3+3=18，面积为3×6=18；故答案为：18，18．②∵M(4,1)，N(-2,3)，∴|x M-x N|=6，|y M-y N|=2．又∵m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24．∴此矩形的邻边长分别为6，4．∴n=-1或5．(2)如图，①由图象可得，点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；分别将y=3，y=1代入y=-2x+5，可得x分别为1，2；结合图象可知：1≤m≤2；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，4；∴点P的坐标为(-1,7)或(4,-3)；(3)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，经过点(-1,1)，(1,1)，(3,3)，∴a -b +c =1a +b +c =19a +3b +c =3，a =14b =0c =34，∴y =14x 2+34，同理抛物线经过点(-1,3)，(1,3)，(3,1)，可求得抛物线的解析式为y =-14x 2+134，∴抛物线的解析式y =14x 2+34或y =-14x 2+134．【点评】本题主要考查了一次函数的综合题，涉及点的坐标，正方形及矩形的面积及待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是理解运用好“最佳三点矩形”的定义．11(2022•太仓市模拟)如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以v 1的速度沿折线A -B -C 向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发，以v 2的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ，PQ ，记ΔEPQ 的面积为S ，点P 运动的时间为t ，其函数图象为折线MN -NF 和曲线FG (图②)，已知，ON =3，NH =1，点G 的坐标为(6,0)．(1)点P 与点Q 的速度之比v 1v 2的值为 32 ；AB :AD 的值为；(2)如果OM =2．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②是否存在某个时刻t ，使得S ≥23？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由函数图象可知t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，则Q 的速度v 2=DE 3，P 的速度v 1=AB4，从而得出答案；(2)①当t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，此时S ΔADE =2，可得AD =BC =DE =2，AB =CD =2AD =4，从而得出点P 与Q 的速度，即可得出点F 的坐标，利用待定系数法可得答案；②利用待定系数法求出直线MN 的函数解析式，当S =23时，可得t 的值，根据图象可得答案．【解答】解：(1)∵ON =3，NH =1，G (6,0)，∴N (3,0)，H (4,0)，由图象可知：t =3时，Q 与E 重合，t =4时，P 与B 重合，t =6时，P 与C 重合，∴Q 的速度v 2=DE 3，P 的速度v 1=AB4，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵E 为CD 的中点，∴DE =12CD =12AB ，∴v 1v 2=AB4DE 3=AB 4⋅3DE =AB 4⋅312AB =32，∵P 从A 到B 用了4秒，从B 到C 用了2秒，∴AB =4v 1，BC =2v 1，∴AB =2BC ，∴AB :AD 的值为2，故答案为：32,2；(2)①∵OM =2，∴M (0,2)，由题知，t =0时，P 与A 重合，Q 与D 重合，∴S ΔEPQ =12AD ⋅DE =2，∵AB :AD =2，∴AD =DE =12AB ，∴12AD 2=2，∴AD =BC =DE =2，AB =CD =2AD =4，∴v 2=DE 3=23，当t =4时，DQ =v 2t =23×4=83，∴QE =DQ -DE =83-2=23，此时P 与B 重合，∴S ΔEPQ =12EQ ⋅BC =12×23×2=33，∴F 4,23，设直线NF 的解析式为S =kx +b (k ≠0)，将N (3,0)与F 4,23 代入得：3k +b =04k +b =23 ，∴k =23b =-2，∴线段NF 所在直线的函数表达式为S =23x -2(3<x ≤4)；②存在，分情况讨论如下：当Q 在DE 上，P 在AB 上时，∵直线MN 经过点M (0,2)，N (3,0)，同理求得直线MN 的解析式为S =-23x +2(0≤x ≤3)，当s =23时，-23x +2=2，∴x =2，∵s随x的增大而减小，∴当0≤x≤2时，S≥23，当Q在CE上，P在AB上时，直线NF的解析式为S=23x-2(3<x≤4)，由F4,2 3知：当x=4时，S=23，当Q在CE上，P在BC上时，SΔEPQ=12EQ⋅CP，∵DQ=v2t=23t，∴EQ=DQ-DE=23t-2，∵v1=AB4=44=1，∴AB+BP=v1t=t，∵AB+BC=4+2=6，∴CP=6-t，∴S=1223t-2(6-t)=-13t2+3t-6(4<x≤6)，当S=23时，-13t2+3t-6=23，∴t=4或5，由图象知：当4<x≤5时，S≥2 3，综上，S≥23时，x的取值范围为0≤x≤2或4≤x≤5．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．12(2022•邗江区校级一模)在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k=PSST(PS<PT)PTST(PS≥PT) ．(1)已知点A(0,1)，B(1,0)．①点Q(2,0)关于线段AB的线段比k= 22 ；②点C(0,c)关于线段AB的线段比k=2，求c的值．(2)已知点M(m,0)，点N(m+2,0)，直线y=x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤14，直接写出m的取值范围．【分析】(1)①求出QA、QB、AB，根据线段比定义即可得到答案；②方法同①，分c>0和c≤0讨论；(2)分两种情况，画出图象，根据线段比定义，分别在M(N)为“临界点”时列出不等式，即可得到答案．【解答】解：(1)①∵A(0,1)，B(1,0)，Q(2,0)，∴AB=2，QA=5，QB=1，根据线段比定义点Q(2,0)关于线段AB的线段比k=QBAB=22；故答案为：22；②∵A (0,1)，B (1,0)，C (0,c )，∴AB =2，AC =|1-c |，BC =1+c 2，AC 2=1+c 2-2c ，BC 2=1+c 2，当c >0时，AC 2<BC 2，即AC <BC ，由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得：|1-c |2=2，解得c =3或c =-1(舍去)，∴c =3，当c ≤0时，AC 2≥BC 2，即AC ≥BC ，由C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2可得：1+c 22=2，解得c =3(舍去)或c =-3，∴c =-3，综上所述，点C (0,c )关于线段AB 的线段比k =2，c =3或c =-3；(2)∵直线y =x +2与坐标轴分别交于E ，F 两点，∴E (-2,0)，F (0,2)，∵点M (m ,0)，点N (m +2,0)，∴MN =2，N 在M 右边2个单位，当线段EF 上的点到N 距离较小时，分两种情况：①当M 、N 在点E 左侧时，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴NE MN≤14，即-2-(m +2)2≤14，解得：m ≥-92，②当N 在E 右侧，M 在E 左侧时，过M 作MG ⊥EF 于G ，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴GM MN ≤14，即GM 2≤14，∴GM ≤12，而E (-2,0)，F (0,2)，∴∠FEO =45°，∴ΔHEM 时等腰直角三角形，∴GM =22EM ，∴22EM ≤12，即22[(m +2)-(-2)]≤12，解得m ≤-4+22，∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，线段EF 上的点到N 距离较小时，-92≤m ≤-4+22，当线段EF 上的点到M 距离较小时，也分两种情况：①当N 在E 右侧，M 在E 左侧时，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴ME MN≤14，即-2-m 2≤14，解得m ≥-52，②当M 、N 在点E 右侧时，过M 作MH ⊥EF 于H ，如图：线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，∴HM MN ≤14，即HM 2≤14，∴HM ≤12，而E (-2,0)，F (0,2)，∴∠FEO =45°，∴ΔHEM 时等腰直角三角形，∴HM =22EM ，∴22EM ≤12，即22[m -(-2)]≤12，解得：m ≤-2+22，∴线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，线段EF 上的点到M 距离较小时，-52≤m ≤-2+22，综上所述，线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比k ≤14，则-92≤m ≤-4+22或-52≤m ≤-2+22．【点评】本题考查一次函数应用，解题的关键是读懂线段比的定义，找出“临界点”列不等式．13(2022•泰州)定义：对于一次函数y 1=ax +b 、y 2=cx +d ，我们称函数y =m (ax +b )+n (cx +d )(ma +nc ≠0)为函数y 1、y 2的“组合函数”．(1)若m =3，n =1，试判断函数y =5x +2是否为函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”，并说明理由；(2)设函数y 1=x -p -2与y 2=-x +3p 的图像相交于点P ．①若m +n >1，点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图像的上方，求p 的取值范围；②若p ≠1，函数y 1、y 2的“组合函数”图像经过点P ．是否存在大小确定的m 值，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图像与x 轴交点Q 的位置不变？若存在，请求出m 的值及此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由y =5x +2=3(x +1)+(2x -1)，可知函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”；(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得P (2p +1,p -1)，当x =2p +1时，y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p-1)(m +n )，根据点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方，有p -1>(p -1)(m +n )，而m +n >1，可得p <1；②由函数y 1、y 2的“组合函数” y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ，知p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )，即(p -1)(1-m -n )=0，而p ≠1，即得n =1-m ，可得y =(2m -1)x +3p -(4p +2)m ，令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0，即(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0，即可得m =34时，“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)．【解答】解：(1)函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”，理由如下：∵3(x +1)+(2x -1)=3x +3+2x -1=5x +2，∴y =5x +2=3(x +1)+(2x -1)，∴函数y =5x +2是函数y 1=x +1、y 2=2x -1的“组合函数”；(2)①由y =x -p -2y =-x +3p得x =2p +1y =p -1 ，∴P (2p +1,p -1)，∵y 1、y 2的“组合函数”为y =m (x -p -2)+n (-x +3p )，∴x =2p +1时，y =m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )=(p -1)(m +n )，∵点P 在函数y 1、y 2的“组合函数”图象的上方，∴p -1>(p -1)(m +n )，∴(p -1)(1-m -n )>0，∵m +n >1，∴1-m -n <0，∴p -1<0，∴p <1；②存在m =34时，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)，理由如下：由①知，P (2p +1,p -1)，∵函数y 1、y 2的“组合函数”y =m (x -p -2)+n (-x +3p )图象经过点P ，∴p -1=m (2p +1-p -2)+n (-2p -1+3p )，∴(p -1)(1-m -n )=0，∵p ≠1，∴1-m -n =0，有n =1-m ，∴y =m (x -p -2)+n (-x +3p )=m (x -p -2)+(1-m )(-x +3p )=(2m -1)x +3p -(4p +2)m ，令y =0得(2m -1)x +3p -(4p +2)m =0，变形整理得：(3-4m )p +(2m -1)x -2m =0，∴当3-4m =0，即m =34时，12x -32=0，∴x =3，∴m =34时，“组合函数”图象与x 轴交点Q 的位置不变，Q (3,0)．【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．14(2024•钟楼区校级模拟)在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”．(1)下列图形中两个三角形不是“共边全等”是③；AB，点E、F分别在AC、BC边(2)如图1，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AD=13上，满足ΔBDF和ΔEDF为“共边全等”，求CF的长；(3)如图2，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+12分别与直线y=x、x轴相交于A、B两点，点C是OB 的中点，P、Q在ΔAOB的边上，当以P、B、Q为顶点的三角形与ΔPCB“共边全等”时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】(1)由于第③个图不符合共边要求，所以图③即为答案；(2)DF为两个全等三角形的公共边，由于F点在BC边上，E在AC边上，两个三角形的位置可以如图②，在公共边异侧，构成一个轴对称图形，也可以构成一个平行四边形(将图③的两条最长边重合形成)，分两类讨论，画出图形，按照图②构图，会得到一个一线三等角模型，利用相似，列出方程来解决，按照平行四边形构图，直接得到ΔADE为等边三角形，计算边长即可求得；(3)由题目要求，可以知道两个全等三角形的公共边为PB边，由于要构成ΔPCB，所以P点只能在OA和OB边上，当P在OA边上，两个三角形可以在PB同侧，也可以在PB异侧，当在PB异侧构图时，可以得到图3和图4，在图3中，当在PB同侧构图时，可以得到图6，当P在OB边上时，Q只能落在OA上，得到图7，利用已知条件，解三角形，即可求出Q点坐标．【解答】解：(1)①②均符合共边全等的特点，只有③，没有公共边，所以③不符合条件，∴答案是③；(2)①如图1，当ΔBDF≅ΔEFD，且是共边全等时，∠BFD=∠EDF，∴DE⎳BC，∵ΔABC是等边三角形，∴ΔADE是等边三角形，AB=2，∵AD=13∴DE=AE=BF=2，∴CF=BC-BF=4，②如图2，当ΔBDF≅ΔEDF，且是共边全等时，BD=DE=6-AD=4，∠DEF=∠B=60°，EF=BF，∴∠AED+∠FEC=120°，又∠AED+∠EDA=120°，。
第四章 一次函数压轴题考点训练(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)
第四章一次函数压轴题考点训练A ．．．．【答案】A【分析】根据y 1,y 2的图象判断出k+b 的值，然后根据k-1、所求函数图象经过的象限即可．【详解】解：根据y 1,y 2的图象可知，，且当x=1时，y 2=0，即k+b=0.∴对于函数()1y k x b =-+，有b 时，y=k-1+b=0-1=-1＜0.∴符合条件的是选项.故选：A.【点睛】本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关．．．．()A．（-1，0）【答案】B【分析】由题意作A求的P点；首先利用待定系数法即可求得直线∵A（1，-1），∴C的坐标为（1，1连接BC，设直线BC∴123k bk b+-⎧⎨+-⎩＝＝,解得⎧⎨⎩A ．433B ．233【答案】D【分析】根据题意利用相似三角形可以证明线段用o n AB B ∆∽AON ∆求出线段o n B B 的长度，即点【详解】解：由题意可知，2OM =，点则OMN ∆为顶角30度直角三角形，ON如图所示，当点P 运动至ON 上的任一点时，设其对应的点∵o AO AB ⊥，iAP AB ⊥∴o iOAP B AB ∠=∠又∵tan 30o AB AO =∙ ，tan i AB AP =∙∴::o i AB AO AB AP=∴o i AB B ∆∽AOP∆∴o i AB B AOP∠=∠【答案】32b -≤≤【分析】根据矩形的性质求得点D 的坐标，交，则交点在线段BD 之间，代入求解即可．【详解】解：矩形ABCD 中，点A 、根据矩形的性质可得：(1,3)D 根据图像得到直线y x b =+与矩形ABCD 将点(4,1)B 代入得：41b +=，解得b 将点(1,3)D 代入得：13+=b ，解得b 由此可得32b -≤≤【答案】0k <或01k <<【分析】分别利用当直线()430y kx k k =+-≠过点值范围，据此即可求解．【详解】解：当直线y =【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质和两直线交点坐标的求法，加辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形，是解题的关键．评卷人得分三、解答题13．A城有某种农机30台，B城有该农机40台．现要将这些农机全部运往运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从别为150元/台和240元/台（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为系式，并直接写出自变量x的取值范围；值．【答案】（1）W 关于x 的函数关系式为W ＝140x +12540，自变量x 的取值范围为0≤x ≤30；（2）有三种调运方案：①A 城运往C 乡28台，运往D 乡2台；B 城运往C 乡6台，运往D 乡34台；②A 城运往C 乡29台，运往D 乡1台；B 城运往C 乡5台，运往D 乡35台；③A 城运往C 乡30台，运往D 乡0台；B 城运往C 乡4台，运往D 乡36台；（3）a 的值为200元．【分析】（1）设A 城运往C 乡x 台农机，可以表示出运往其它地方的台数，根据调运单价和调运数量可以表示总费用W ；（2）列出不等式组确定自变量x 的取值范围，在x 的正整数解的个数确定调运方案，并分别设计出来；（3）根据A 城运往C 乡的农机降价a 元其它不变，可以得出另一个总费用与x 的关系式，根据函数的增减性，确定当x 为何值时费用最小，从而求出此时的a 的值．【详解】解：（1）设A 城运往C 乡x 台农机，则A 城运往D 乡（30﹣x ）台农机，B 城运往C 乡（34﹣x ）台农机，B 城运往D 乡（6+x ）台农机，由题意得：W ＝250x +200（30﹣x ）+150（34﹣x ）+240（6+x ）＝140x +12540，∵x ≥0且30﹣x ≥0且34﹣x ≥0，∴0≤x ≤30，答：W 关于x 的函数关系式为W ＝140x +12540，自变量x 的取值范围为0≤x ≤30．（2）由题意得：1401254016460030x x +>⎧⎨⎩，解得：28≤x ≤30，∵x 为整数，∴x ＝28或x ＝29或x ＝30，因此有三种调运方案，即：①A 城运往C 乡28台，运往D 乡2台；B 城运往C 乡6台，运往D 乡34台；②A 城运往C 乡29台，运往D 乡1台；B 城运往C 乡5台，运往D 乡35台；③A 城运往C 乡30台，运往D 乡0台；B 城运往C 乡4台，运往D 乡36台；（3）由题意得：W ＝（250﹣a ）x +200（30﹣x ）+150（34﹣x ）+240（6+x ）＝（140﹣a ）x +12540，∵总费用最小值为10740元，∴140﹣a ＜0∴W 随x 的增大而减小，又∵28≤x ≤30，∴当x ＝30时，W 最小，即：（140﹣a ）×30+12540＝10740，【答案】（1）y=2x+4（2）1112-+【分析】（1）根据图像求出B的坐标，然后根据待定系数法求出直线（1）求m 的值；（2）点P 从O 出发，以每秒2个单位的速度，沿射线OA 方向运动.设运动时间为t ()s .①过点P 作PQ OA ⊥交直线AB 于点Q ，若APQ ABO ∆≅∆，求t 的值；②在点P 的运动过程中，是否存在这样的t ，使得POB ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合题意的t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6；（2）①2或8；②2.5或4或6.4.3【点睛】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，形的性质，利用分类讨论的思想方法，是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =-+交于点C ．（1）求点A ，B 的坐标．（3）存在．∵线段AB在第一象限，∴这时点P在x轴负半轴．∵==OA 2,OB 4，∴222224BP OP OB x =+=+，222222420AB OA OB =+=+=，222()(2)AP OA OP x =+=-．∵222BP AB AP +=，∴222420(2)x x ++=-，解得8x =-，∴当点P 的坐标为(8,0)-时，ABP 是直角三角形；③设AB 是直角边，点A 为直角顶点，即90BAP ∠= ．∵点A 在x 轴上，P 是x 轴上的动点，∴90BAP ∠≠ ．综上，当点P 的坐标为(0,0)或(8,0)-时，ABP 是直角三角形．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与及几何变换、一次函数的性质及直角三角形的判定等知识点，掌握分类讨论思想和一次函数图像的性质是解答本题的关键．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019年11月18日150****6985的初中数学组卷一．解答题（共27小题）1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、E在y轴上，点D（4，2），△ABD为等腰三角形，AD＝BD，点A在DE的垂直平分线上，过点E作直线EF交x轴于F，并延长DA交EF于C．（1）若点A的坐标是（0，5），求点B的坐标；（2）若∠ADB＝2∠CEA，且点D到直线EF的距离为8，求直线BC的解析式．2．图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l，l都经过点A（﹣6，0），它们与y轴的正半21轴分别相交于点B，C，且∠BAO＝∠ACO＝30?（1）求直线l，l的函数表达式；2124．M，N上一点，连接PC，有S＝分别是直线（2）设P是第一象限内直线l ACP1△NP+的最小值；MNl上的动点，连接CM，，MP，求CM+MNl，21方向平移，记平移后的三角形为△A2）如图2，在（）的条件下，将△ACP沿射线P3（为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出，CP'，′，在平移过程中，若以′AC′PA′的坐标．所有满足条件的点C＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点，已知函数．如图31yB，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．的面积为，求点M的坐标；①若△PQB②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y ＝x交于点C．（1）若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，OA＝4，P、Q分别为线段OA、OE 上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝kx﹣2k（k＜0）的与y轴交于点A，与x．B 轴交于点．（1）如图1，求点B的坐标；＝﹣x+b上，CD⊥B点的直线yy轴于点D，（2）如图2，第一象限内的点C在经过连接BD，若S＝2k+2，求C点的坐标（用含k的式子表示）；ABD△（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC，交直线AB于点E，若3∠ABD﹣∠BCO＝45°，求点E的坐标．＝﹣x+2交坐标轴于A、B两点．以ABy6．如图①，在平面直角坐标系中，直线为斜边在第一象限作等腰直角三角形ABC，C为直角顶点，连接OC．（1）求线段AB的长度；（2）求直线BC的解析式；（3）如图②，将线段AB绕B点沿顺时针方向旋转至BD，且OD⊥AD，直线DO交直线y＝x+3于P点，求P点坐标．＝为射线P点B和点A轴于点x，分别交Cy7．如图，直线相交于点+6x＝﹣y和+6x BC上的一点．的对应翻折，点，将△是直线）如图（11，点DCB上一动点，连接ODOCD沿ODC+3的面积等于7，连接F′，连接′，BC并取BC′的中点，PF当四边形AOCPC点为时，求PF的最大值；轴和直度（顺时针方向旋转绕点，将直线）如图（22ACOα0x°）≤≤α180，分别与的度数．α是等腰三角形时，直接写出BSR，当△R和点S相交于点BC线，轴正半轴上的一个动点，连结AB），点B是xA8．如图，在平面直角坐标系中，点（0，6B．过点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BCM取AB的中点，将线段MB绕着点．t，0）ACBD⊥x轴交直线于点D．设点B坐标是（作4时，求直线AB的解析式；）当（1t＝①用含t的代数式表示点C的坐标：（2）B坐标．当△ABD是等腰三角形时，求点②为斜AB，B两点，以1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣与坐标轴交于A9．如图ABC，点C 为直角顶点，连接OC边在第一象限内作等腰直角三角形．（1）直接写出S＝；AOB△（2）请你过点C作CE⊥y轴于E点，试探究OB+OA与CE的数量关系，并证明你的结论；（3）若点M为AB的中点，点N为OC的中点，求MN的值；（4）如图2，将线段AB绕点B沿顺时针方向旋转至BD，且OD⊥AD，延长DO交直线的坐标．P，求点P于点+5x＝y，的图象与x轴，y轴分别交于点A①10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+8，两条垂线相C轴，垂足为点CB⊥yC，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作点．交于点B的长分别为：BC，AC（I）线段AB，BC＝AC＝AB＝；（Ⅱ）折叠△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC 于点E连接CD，如图②①求点D的坐标；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图矩形COAB，点B（4，3），点H位于边BC上．直线l：2x﹣y+3＝01直线l2x﹣y﹣3＝02：（1）若点N为l上第一象限的点，△AHN为等腰Rt△，求N坐标．2（2）若把l、l上的点构成的图形称为图形V．已知矩形AJHI的顶点J在图形V上，I21．的范围（写出过程）x，求）y，x（J为平面系上的点，且．两点，BA、x+4分别交y轴和xy12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线轴于点＝AC．x 轴的正半轴上，AO＝2OC，连接在点CAC的解析式；（1）如图1，求直线交PQ的延长线上，满足：在BCAP＝CQ，连接（2）如图2，点P在线段AB上，点QS，求t，△PQE的面积为S于点D，过点P作PE⊥ACE，设点P的横坐标为于点AC的取值范围）与t的函数关系式（不要求写出自变量t；的延长线⊥AC交QPA）的条件下，PQ交y轴于点M，过点作AN2（3）如图3，在（的坐标．，求点F交ACPE的延长线于点F，若MN＝DQ于点N，过点Q作QF∥°后得到点逆时针旋转90A中的点和点P，若将点P绕点A13．对于平面直角坐标系xOy的示Q1为点P关于点A的“垂链点”AQ，则称点Q 为点P关于点的“垂链点”，图意图．A的“垂链点”为点Q；关于点A（1）已知点的坐标为（0，0），点P），则点Q．的坐标为0P①若点的坐标为（2，②若点Q的坐标为（﹣2，1），则点P的坐标为．（2）如图2，已知点C的坐标为（1，0），点D在直线y＝x+1上，若点D关于点C的坐标．D 的“垂链点”在坐标轴上，试求出点．为O0，﹣2）的线段，图形H是以点（3）如图3，已知图形G是端点为（1，0）和（为图NM 为图形G上的动点，点中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点，请直接M关于点T的“垂链点”恰为点N形H上的动点，若存在点T（0，t），使得点写出t的取值范围．C，0），00），A（a，的顶点14．平面直角坐标系中，矩形OABCO，A．C的坐标分别为（20﹣16b；+64+2＝）（0，b，且a、b满足b，（1）矩形的顶点B的坐标是（）（2）若D是OC中点，沿AD折叠矩形OABC使O点落在E处，折痕为DA，连CE并延长交AB 于F，求直线CE的解析式．（3）将（2）中直线CE向左平移一个单位交y轴于M，N为第二象限内的一个动点，∠ONM＝135°，求FN的最大值．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴°．30＝ACB的正半轴上，∠．（1）求直线BC的解析式；）直线经过点C，交直线AB于点H，交y轴于点（2K，点P为线段CH延长线上一点（点P不在射线HC上），设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S关于t的函数关系式；并直接写出t的取值范围．（3）在（2）的条件下，点G为线段AB延长线上一点，连接GP，交y轴于点F，若∠°，，求点P＝60的坐标．AGP16．如图1，正方形ABCD，顶点A在第二象限，顶点B、D分别在x轴和y轴上．（1）若OB＝5，OD＝7，求点A的坐标；（2）如图2，顶点C和原点O重合，y轴上有一动点E，连接AE，将点A绕点E逆时针旋转90°到点F，连接AF、EF．①点E在O、D两点之间，某一时刻，点F刚好落在直线y＝﹣2x﹣6上，求此时F的坐标：，，请直接写出坐标为（D0），点＝，若，连接交于点与直线②BDAFPOFOFm．的式子表示）m 的长（用含BP线段．m的图象沿直线m∥y轴，将函数l017．定义：已知点P（n，）在x轴上，过点P作直线′是函数l关于直线m的“相关”函数．l折叠，得到新的函数l′的图象，我们称函数＝﹣x+1．的“相关”函数为例如：当n＝0时，函数y＝x+1y x﹣1．（1）已知：一次函数y＝当n＝1；时，它的“相关”函数为①②当它的“相关”函数为y＝﹣x+3，则n＝；（2）如图1，直线y＝x与x轴、y轴分别交于点A、C，当n＝0时，它的“相关”函数交x轴于点B；当直线m经过点A时，点C关于直线m的对称点为D，请判断四边形ABCD的形状，并证明；（3）如图2，若n≠0，当n﹣2≤x≤n+4时，函数y＝2x﹣1的“相关”函数图象上的点到x轴距离的最小值为3，求n的值．轴上，y在A轴上，点x在C为原点，点O放在直角坐标系中，OABC．将一矩形纸片18．．，OC＝15OA＝9点处，DO点落在AB边上的OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使（1）如图1，在的解析式；求直线EC点落O沿MN折叠，使边上选取适当的点，OCM，N，将△MON （2）如图2，在OA，判断四边形OT于T点，连接⊥CO于点G，交MN处，过在AB边上的点D'D'作D'G'M的形状，并说明理由；OTD直线上，问坐标轴上是否存P在2）的条件下，若点TMN坐标，点（3）在（坐P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点QD'，Q，在点Q，使以M，标；若不存在，请说明理由．给出如下定义：上），P在M内部或M19．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P（点（﹣A为图形M的和谐点．已知点，使得0≤PQ≤2那么称点PQ如果图形M上存在点，3，）．3），D（4，﹣44，3），B（﹣，﹣3），C（4的和谐点是；（），P3，3）中，矩形ABCD0（﹣1?（1）在点P（﹣2，），P1，32（2）如果直线y＝上存在矩形ABCD的和谐点P，直接写出点P的横坐标t的取值范围；（含上存在矩形上的所有点使得线段，的和谐点ABCDEF，EF＝如果直线3（）y端点）都是矩形ABCD的和谐点，且的取值范围．，直接写出b EF为边的正方形AB，给出如下定义：以线段B，A中，对于两点xOy．在平面直角坐标系20．．A，B的“确定正方形”称为点的“确定正方形”的示意图．为点A，B如图1的“确定正方，那么点M，N），点N的坐标为（3，1）（1）如果点M的坐标为（0，1；形”的面积为的“确定正C上一动点，当点O，C为直线y＝x+b（2）已知点O的坐标为（0，0），点的值．2时，求b方形”的面积最小，且最小面积为的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线E）已知点在以边长为2（3的“确定正方形”的E，Fy＝﹣x﹣2上，若要使所有点交点为P（m，0），点F在直线，直接写出m的取值范围．面积都不小于2），bP（（a，，b）和直线y＝ax+b我们称点定义：21．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a0＝，b）的关联直线．特别地，当a＝ax+b是点P（ay是直线y＝ax+b的关联点，直线．，b）b（b为常数）的关联点为P（0y时，直线＝）．，，C（144（﹣如图，已知点A2，﹣2），B（，﹣2）；A（1）点的关联直线的解析式为；直线AB的关联点的坐标为（2）设直线AC的关联点为点D，直线BC的关联点为点E，点P在y轴上，且S DEP△＝2，求点P的坐标．（3）点M（m，n）是折线段AC→CB（包含端点A，B）上的一个动点．直线l是点M的取值范围．m恰有两个公共点时，直接写出ABC与△l的关联直线，当直线，），C（0，3（0，0），A（6，0）放在平面直角坐标系中，22．如图，将一矩形纸片OABCO秒时，动点个单位长度的速度沿OC向终点C运动，运动动点F从点O出发以每秒1另一当点E、F其中一点到达终点时，E从点A出发以相同的速度沿AO向终点O运动，的运动时间为t：（秒）点也停止运动设点E，OF＝（I）OE（用含t的代数式表示）＝（II）当t＝1时，将△OEF沿EF翻折，点O恰好落在CB边上的点D处①求点D的坐标及直线DE的解析式；②点M是射线DB上的任意一点，过点M作直线DE的平行线，与x轴交于N点，设直线MN的解析式为y＝kx+b，当点M与点B不重合时，S为△MBN的面积，当点M与点B重合时，S＝0．求S与b之间的函数关系式，并求出自变量b的取值范围．23．如图1．在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，D（0，3），点E是OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括O、B），作MN⊥DM，交∠CBE的平分线于．N点．（1）①直接写出点C的坐标：②求证：MD＝MN；（2）如图2，若M（2，0），在OD上找一点P，使四边形MNCP是平行四边形，求直线PN的解析式；（3）如图，连接DN交BC于F，连接FM，下列两个结论：①FM的长为定值：②MN平分∠FMB，其中只有一个正确，选择并证明．24．如图（1），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交y轴于点A，交x轴于点B，点C为OB的中点，作C关于直线AB的对称点F，连接BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．（1）直接写出点F的坐标（用m表示）；（2）求证：OF⊥AC；的坐标为（﹣，0），过G点的直线GP：y＝kx+bm（3）如图（2），若＝2，点G（k≠0）与直线AB始终相交于第一象限；①求k的取值范围；②如图（3），若直线GP经过点M，过点M作GM的垂线交FB的延长线于点D，在平面内是否存在点Q，使四边形DMGQ为正方形？如果存在，请求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由．25．如图1，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝3，OC ＝2，过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P．E轴于点y，交D轴于点x交PD，APB＝∠CPD作∠．APD为等腰直角三角形（Ⅰ）若△；直线AP的解析式为①直接写出此时P．点的坐标：②在x轴上另有一点G的坐标为（2，0），请在直线AP和y轴上分别找一点M、N，使△GMN的周长最小，并求出此时点N的坐标和△GMN周长的最小值；（Ⅱ）如图2，过点E作EF∥AP交x轴于点F，若以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE的解析式．26．（1）阅读理解：我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，如图1，经过：经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN交x轴和y轴于M、N，点M、N 在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，如M表示数2.5，N表示数2，则点P的坐标为（2.5，2），如图ω＝30°，直角三角形的顶点A与坐标原点O重合，点B、C分别在x轴和y轴上，AB＝C、B，则点．在此斜坐标系内的坐标分别为B，C（2）尝试应用：轴上，设直线在x为坐标原点，边长为°，O1的正方形OABC的边OA＝如图3，ω45两点，求k、b的值．，+y＝kxb经过AC）自主探究：（3在坐标轴上且面积为ABABCM），（为坐标原点，°，＝，如图4ω60OM22，矩形的边的坐标．C，求顶点3．27．我们规定：对于已知线段AB，若存在动点C（C点不与A、B重合），始终满足∠ACB＝x°，则称△ABC是“雅动三角形”，其中，点C为“雅动点”，x°为它的“雅动值”．（1）如图1，O为坐标原点，A点坐标是（2，0），△OMA的“雅动值”为90°，当MO＝MA时，请直接写出这个三角形的周长；（2）如图2，已知四边形ODEF是矩形，点D、F的坐标分别是（﹣6，0）、（0，8），直≠﹣）交x、y轴于A、B两点，连接AF、BD并延长交于点且（线y＝﹣x+bb≠8bH，问：△DHF是否为“雅动三角形”如果是，请求出它的“雅动值”；如果不是，请说明理由：（3）如图3，已知AB＝m（m是常数且m＞0），点C是平面内一动点且满足∠ACB＝120°，若∠ABC、∠BAC的平分线交于点D，问：点D的运动轨迹长度是否为定值？如果是，请求出它的轨迹长度；如果不是，请说明理由．2019年11月18日150****6985的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共27小题）1．【解答】解：（1）设点B的坐标为（0，m），＝＝5AD2＝25），得：16+（m﹣2由BD＝AD解得：m＝﹣1（不合题意得值已舍去），点B（0，﹣1）；（2）过点D作GD⊥y轴于点G，＝ADB，，∴∠GDA＝∠GDB∵AD＝BD而∠ADB＝2∠CEA，故：∠GDA＝∠GDB＝∠AEC＝α，∵点A在DE的垂直平分线上，∴AE＝AD，∠GAD＝∠CAE，∴△GAD≌△CAE（AAS），∴GD＝EC＝4，∠ECA＝∠DGA＝90°，∴DC＝8，设：AD＝AE＝a，则AC＝8﹣AD﹣＝8﹣a，22，解得：a＝5）8﹣a，a由勾股定理得：（＝16+AD＝5，DG＝4，则AG＝3，故点A（0，5），；）1，﹣0（B，故点6＝AB则．点E（0，10），＝，α，则EAC sin＝α＝＝tantan∠＝×α＝4|x|＝CE，同理y sin＝，CC，），（﹣故点C则BC的函数表达式为：y＝kx﹣1，＝﹣，坐标代入上式并解得：k将点Cx﹣1的表达式为：y．＝﹣故直线BC）如图1中，2．【解答】解：（1∵A（﹣6，0），∴OA＝6，∵∠AOB＝90°，∠ACO＝∠BAO＝30°，2，＝OA＝＝OA6，OBOC∴＝2，（），0，6O），BC∴（＝yl的解析式为＝x∴直线+2．yx，直线+6l的解析式为21+2），，m（2）设点P（m∵S＝S+S，BCPAPCABC△△△24，）＝﹣x x?∴BC?（AP，24+6×（∴×4m）＝，6＝m解得．4），6，∴P（如图1﹣1中，作点C关于直线AP的对称点C′，点P关于直线AC的对称点P′，连接P′C′交AP于M′，交AC于N′，此时CM′+M′N′+N′P的值最小，最小值是线段P′C′的长．∵∠CAP＝∠PAO＝30°，∴点C′在x轴上，AC′＝AC＝12，∵∠CAP′＝∠PAC＝∠PAO＝30°，8，P′A＝′AC′＝90°，PA＝∴∠P4，P′C＝′＝＝∴的最小值为．4CM∴+MN+NP中，（3）如图2+6）．a′（x的运动轨迹是直线y＝，设+6Ca，C由题意，点222）a+6′＝当①ACAP＝8（时，，）+（＝（8+6a）（舍弃）9+33或﹣，﹣9a解得＝﹣．）﹣3，3﹣9′（﹣C∴．2222）+6当C′A＝C′P时，（a②，a4+6＝（a﹣6）﹣+a+）（+6）（解得a＝﹣3，．5）′（﹣∴C3，222）＝PC′＝（8时，a﹣6③当PA，）＝（（a+6﹣84+）3+33﹣或3（舍弃）解得a＝73，3﹣﹣）∴C′（5，）或﹣﹣3，）或（﹣33综上所述，满足条件的点C′的坐标为（﹣937．，﹣（3﹣）＝xy+3．【解答】解：（1）对于3由x＝0得：y＝3，∴B（0，3）＝x+3，解得x＝﹣6，由y＝0得：y∴A（﹣6，0），∵点C与点A关于y轴对称∴C（6，0），则，＝kx+b设直线BC的函数解析式为y解得．＝﹣x+3y；∴直线BC的函数解析式为（2）设M（m，0），，﹣m+3）Q（m则P（m+3，m）、如图1，过点B作BD⊥PQ于点D，）﹣（m+3）|＝|m|，|（﹣m+3BD＝|m|，＝∴PQ2＝m，BDPQ＝∴S?＝PQB△，＝±m解得．（﹣，0）；M（，0）或M∴（3）如图2，当点M在y轴的左侧时，∵点C与点A关于y轴对称∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA∵∠BMP＝∠BAC，∴∠BMP＝∠BCA∵∠BMP+∠BMC＝90°，∴∠BMC+∠BCA＝90°∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°222＝+BCMC∴BM，x+3x）x，0），则P（（设M22222222222＝45＝x）6，BC＝OC+3+BM∴OB＝OM+OB＝x，+9MC6＝（﹣22，）6﹣x∴x+9+45＝（＝﹣．解得x，）．∴P（﹣当点M在y轴的右侧时，如图3，，），同理可得P（，综上，点）．P的坐标为（﹣，）或（联立方程组得，）①【解答】4．解：（1解得，∴点C的坐标为（4，4）；②在y＝﹣2x+12中，当x＝0时y＝12，当y＝0时，﹣2x+12＝0，解得x＝6，∴点B（0，12），A（6，0），的面积为×6×4则△OAC＝12；，MQ，连结OP＝OM上截取OC）由题意，在2（．∵ON平分∠AOC，∴∠AOQ＝∠COQ，又OQ＝OQ．∴△POQ≌△MOQ（SAS），∴PQ＝MQ，∴AQ+PQ＝AQ+MQ，当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC吋，AQ+MQ最小，即AQ+PQ存在最小值；∵AB⊥ON，∴∠AEO＝∠CEO，..△AEO≌△CEO（ASA），∴OC＝OA＝4，在Rt△OAM中，∵∠AOM＝45°，2．OA＝∴OM＝AM＝2存在最小值，最小值为+PQAQ．∴5．【解答】解：（1）∵直线y＝kx﹣2k中，kx﹣2k＝0时，解得：x＝2∴B（2，0）（2）∵x＝0时，y＝kx﹣2k＝﹣2k∴A（0，﹣2k）上b+x＝﹣y）在直线0，2（B∵点．∴﹣+b＝0+x，直线解析式为y∴b＝﹣＝＝×2（y﹣y?OB）＝2k+2∵S＝AD ADABD△∴y+2k＝2k+2D∵CD⊥y轴于点D∴y＝y＝2DC+上＝﹣x∵点C在直线y+＝2，解得x＝2﹣2x∴﹣∴C（2﹣2k，2）（3）如图，过点C作CH⊥x轴于点H，在CD上取一点J，使得AJ＝CJ，连接AJ，AC．由（2）可知：CH＝OB＝2，∠BOA＝∠CHB＝90°，BH＝OA＝﹣2k，∴△CHB≌△BOA（SAS），∴BC＝BA，∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴A，D，C，B四点共圆，∴∠ABD＝∠ACD，∵3∠ABD﹣∠BCO＝45°，∠BCO＝45°﹣∠ACO，∴3∠ACD﹣（45°﹣∠ACO）＝45°，°，90＝AOC∠+ACD∠3∴．∵∠DOC+∠ACD+∠ACO＝90°，∴∠DOC＝2∠ACD，∵JA＝JC，∴∠JCA＝∠JAC，∵∠AJD＝∠JAC+∠JCA，∴∠AJD＝2∠DCA＝∠COD，222，+DJ△ADJ中，∵AJ＝AD设AJ＝JC＝x，在Rt222，﹣x）（2﹣2∴xk＝（2+2k）+＝，解得x＝2k，﹣∴DJ＝2﹣，AJD＝∠COD∵∠，∠COD∴tan∠AJD＝tan，＝∴＝﹣，解得k（，2），A（0，），C∴＝x，的解析式为y∴直线OC+，＝﹣x直线AB的解析式为y，解得，由，）．∴E（＝﹣x+2，令x＝0，得到y＝2，可得B（1．6【解答】解：（）对于直线y0，2），令y＝0．得到x＝4，可得A（4，0），∴OA＝4，OB＝2，．AB∴＝2＝（2）如图1中，作CE⊥x轴于E，作CF⊥y轴于F．∴∠BFC＝∠AEC＝90°∵∠EOF＝90°，∴四边形OECF是矩形，∴CF＝OE，CE＝OF，∠ECF＝90°，∵∠ACB＝90°∴∠BCF＝∠ACE，∵BC＝AC，∴△CFB≌△CEA，∴CF＝CE，AE＝BF，∴四边形OECF是正方形，∴OE＝OF＝CE＝CF，∴OE＝OA﹣AE＝OA﹣BF＝OA﹣OF+OB＝4﹣OE+2，∴OE＝3，∴OF＝3，∴C（3，3），，则有，+y＝kxb的解析式为设直线BC解得，＝x+2．的解析式为∴直线BCy．Q相交于DP，AB中，延长2）如图3（．由旋转知，BD＝AB，∴∠BAD＝∠BDA，∵AD⊥DP，∴∠ADP＝90°，∴∠BDA+∠BDQ＝90°，∠BAD+∠AQD＝90°，∴∠AQD＝∠BDQ，∴BD＝BQ，∴BQ＝AB，∴点B是AQ的中点，∵A（4，0），B（0，2），∴Q（﹣4，4），∴直线DP的解析式为y＝﹣x①，∵直线DO交直线y＝x+3②于P点，＝，，＝﹣y解得，联立①②x，）．∴P（﹣中，1）如图1（解：【解答】．7．2，，得到x＝﹣y＝6，令y＝0对于直线yx＝+6，令x＝0，得到2（﹣）6，A∴C（0，0），，对于直线y＝﹣x+6，令y＝0，得到x＝6，∴B（6，0），设P（m，﹣m+6），连接OP．7+3，＝S+S＝∵S OCPAOPAOCP△四边形△76＝+×（﹣m+3，×（﹣∴×m2+6））×∴m＝﹣1，∴P（﹣1，7），取OB的中点Q，连接QF，PQ．∵OQ＝QB，FB＝C′F，′＝OC＝3＝OC，∴QF∵P（﹣1，7），Q（3，0），＝，＝∴PQ＝+PQ∵，PF≤FQ+3的最大值为PF∴+3．．M于AC⊥OM时，作RB＝RS中，当1﹣2如图①）2（．＝，OAC tan∠＝∵∴∠OAC＝60°，∵OC＝OB＝6，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠OM′S＝∠BRS＝90°，∴OM′∥BR，∴∠AOM′＝∠OBC＝45°，∵∠AOM＝30°，∴α＝45°﹣30°＝15°．②如图2﹣2中，当BS＝BR时，易知∠BSR＝22.5°，∴∠SOM′＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴α＝∠MOM′＝180°﹣30°﹣67.5°＝82.5°°．150°＝30°﹣180＝α时，SB＝SR中，当3﹣2如图③．④如图2﹣4中，当BR＝BS时，α＝150°+（90°﹣67.5°）＝172.5°．综上所述，满足条件的α的值为15°或82.5°或150°或172.5°．8．【解答】解：（1）当t＝4时，点B的坐标为（4，0）．设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（0，6），B（4，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，＝﹣x+6．AB的解析式为y∴直线（2）①∵点M为线段AB的中点，的坐标为（，3）．∴点M过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，如图1所示．∵∠FBM+∠FMB＝90°，∠FBM+∠EBC＝90°，．EBC＝∠FMB∴∠．中，，BFM和△CEB在△，（AAS）∴△BFM≌△CEBBF＝，MF＝3，CE＝∴BE＝t+3，OE＝OB+BE＝∴，）∴点C的坐标为（t+3．，）故答案为：（t+3．②分三种情况考虑：（i）当AD＝BD时，∠BAD＝∠ABD，如图2所示．∵BD∥y轴，∴∠OAB＝∠ABD，∴∠OAB＝∠BAD．∴tan∠OAB＝tan∠BAD，＝，＝∴＝，即∴t＝3，∴点B的坐标为（3，0）；（ii）当AB＝AD时，BD＝2AO，如图3所示．设直线AC的解析式为y＝mx+n，，）代入y＝mx+（t+3n，得：C，将A（06），，解得：，＝x+6的解析式为y．∴直线AC．+6＝ytx当＝时，＝，），t的坐标为（D∴点．＝．BD∴AO，∵BD＝2＝12，∴2﹣24t﹣36＝0，∴t6（舍去），＝12﹣解得：t＝12+6，t2112+6，0）；∴点B的坐标为（（iii）当0≤t＜12时，∠ADB是钝角，△ADB是钝角三角形，故BD≠AB；当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB．∴当t≥0时，不存在BD＝AB的情况．12+6，0）．3B坐标为（，0）或（ABD综上所述：当△是等腰三角形时，点＝﹣两点，B，y解：9．【解答】（1）∵直线A与坐标轴交于，）2，0（B，）0，4（A∴．∴OA＝4，OB＝2，＝×OA×OB＝∴S4，AOB△故答案为4．（2）结论：OB+OA＝2CE理由：如图①中，作CE⊥x轴于E，作CF⊥y轴于F，∴∠BFC＝∠AEC＝90°∵∠EOF＝90°，∴四边形OECF是矩形，∴CF＝OE，CE＝OF，∠ECF＝90°，∵∠ACB＝90°∴∠BCF＝∠ACE，∵BC＝AC，∴△CFB≌△CEA，∴CF＝CE，AE＝BF，∴四边形OECF是正方形，∴OE＝OF＝CE＝CF＝3∵OA+OB＝2+4＝6，∴OA+OB＝2CE．（3）如图①中，∵M是线段AB的中点，而A（4，0），B（0，2），∴M（2，1），由（2）知：CE＝3，∴C（3，3）∵N是线段OC的中点，，）N∴，（．∴MN＝＝（4）如图②延长AB，DP相交于Q，由旋转知，BD＝AB，∴∠BAD＝∠BDA，∵AD⊥DP，∴∠ADP＝90°，∴∠BDA+∠BDQ＝90°，∠BAD+∠AQD＝90°，∴∠AQD＝∠BDQ，∴BD＝BQ，∴BQ＝AB，∴点B是AQ的中点，∵A（4，0），B（0，2），∴Q（﹣4，4），∴直线DP的解析式为y＝﹣x①，∵直线DO交直线y＝x+5②于P点，联立①②解得，x＝﹣2，y＝2，，）（﹣．∴P10．【解答】解：（Ⅰ）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，，）8，0（C，）0，4（A∴．∴OA＝4，OC＝8，∵AB⊥x轴，CB⊥y轴，∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝8，BC＝OA＝4，，AC4＝＝在Rt△ABC中，根据勾股定理得，；故答案为：8，4，48，4，AB＝（Ⅱ）A、①由（1）知，BC＝AD，由折叠知，CD＝，8﹣ADAB在Rt△BCD中，BD＝﹣AD＝222+根据勾股定理得，CDBD＝BC，22）即：AD，＝16+（8﹣AD5，∴AD＝）．∴D（4，5，由①知，D（4，5）②0设P（，y），∵A（4，0），2222，﹣AP∴5＝16+y），DP＝16+（y为等腰三角形，∵△APD＝AD，AP∴Ⅰ、225，∴16+y＝，3∴y＝±3（0，）或（0，﹣3）P∴Ⅱ、DP，AP＝22），y∴16+y＝16+（﹣5y∴，＝）0P∴（，，2，）5﹣y（16+＝25，DP＝ADⅢ、．∴y＝2或8，∴P（0，2）或（0，8）．，）或（0，2）或（0，0，3）或（0，﹣3）或（0综上所述，满足条件的点P坐标为（8）．11．【解答】解：（1）①若点A为直角顶点时，点N在第一象限，连结AC，如图1，∠AHB＞∠ACB＞45°，∴△AHN不可能是等腰直角三角形，∴点M不存在；②若点H为直角顶点时，点N在第一象限，如图1，过点N作MN⊥CB，交CB的延长线于点M，则Rt△ABH≌Rt△HMN，∴AB＝HM＝4，MN＝HB，设N（x，2x﹣3），则MN＝x﹣4，∴2x﹣3＝4+3﹣（x﹣4），＝，x，N）（；∴③若点N为直角顶点时，点N在第一象限，如图2，设N（x，2x﹣3），1过点N作NG⊥OA，交BC于点P，1111则Rt△ANG≌Rt△HMP，1111∴AG ＝NP＝3﹣（2x﹣3），111∴x+3﹣（2x﹣3）＝4，x＝2∴N（2，1）；1设N（x，2x﹣3），2同理可得x+2x﹣3﹣3＝4，＝，∴xN∴；），（2．，）；（1）；（2，）；综上所述，点N，的坐标为（（上时，在直线l2）当点J2x，∵点J的横坐标为，x﹣3）（∴Nx，2当点H和点B重合时，H（4，3），∴AH的中点G坐标为（2，3），∵四边形AJHI是矩形，∴∠AJB＝90°，＝AP＝2，∴JG22＝4，3x﹣﹣3∴（x﹣2））+（2＝（点J在AB上方的横坐标）或x＝2∴x（点J在AB下方的横坐标），，），'坐标为（24，0），AH的中点G重合时，当点H和点CH（＝，＝AP同理：NG'22＝），2x﹣32∴（x﹣）﹣+（＝xAB上方构成的四边形是矩形的横坐标）或（和（和点x∴J＝在点J在AB下方构成的四边形是矩形的横坐标）或≤x≤2．∴≤x≤≤．x＜0或0＜在当点Jl上时，同理：﹣≤x1或≤2x≤x00xx综上所述，的取值范围为﹣≤＜或＜≤或≤x≤．＝x+4分别交y轴和x轴于点A、．【解答】解：（1）直线yB两点，12则点A、B的坐标为：（0，4）、（﹣3，0），AO＝2OC，则点C（2，0），，解得：，b得：CA、的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+将点①；x的函数表达式为：y＝﹣2+4…故直线AC，2，BC＝AC2（）在△ABC中，AB＝5，＝5＝sinα＝∠HCQ，则α则△ABC为等腰三角形，设∠BAC＝∠BCA＝，＝＝，则，4）AP0）点P（t，，t+4，点A（），2，则点Q（0﹣，CQAP∵＝，H的延长线于点AC交AC⊥QH作Q过点．∠QHC＝∠PEA＝90°，∠PAE＝∠QCH＝α，AP＝CQ，∴△PAE≌△QCH（AAS），则QH＝PE，+DE×QH＝DE?则SEP＝DE×PE，同理：△PED≌△QHD（AAS），，+2）t，PQ是的中点，故点D（1﹣故点D+t+4…＝x②，，点P（tt，+4），则直线PE的函数表达式为：y⊥∵PEAC，+4）（﹣t，联立①②并解得：xt＝﹣，故点E则DE，＝＝＝×αsin APEP×＝×＝；?＝SDEA，点k函数表达式中的ANAC⊥AN3（），则直线值为：（4，0），＝x+4…y③，同理可得：直线AN的函数表达式为：﹣，0）两点的函数表达t+4）过点P（t、，Q（2式为：y＝：同理可得…+④，x，＝联立③④并解得：x N DQ＝DP，∵MN＝，＝＝NPMP，则xx﹣x∴NDP（舍去正值）t，＝±即：1﹣t＝t+，解得：（，3））、点E故t；＝﹣；则点P（﹣，2∵ED⊥FE，QF⊥PE，∴ED∥FQ，而点D是PQ的中点，（，3）是点PF的中点，则点E（，4）．则点F13．【解答】解：（1）A的坐标为（0，0），即点A是原点，根据旋转的性质得：①点Q（0，2），点P（1，2），故答案为：（0，2），（1，2）；（2）①当点D在第一象限时，则点D关于点C的“垂链点”在x轴上，点CD⊥x轴，，）；D故点（1②当点D在第二象限时，如下图：，）n，0′（D，点）+1m，m（D设点．点D的“垂链点”D′在y轴上，过点D作DH⊥x轴于点H，∵∠DCH+∠HDC＝90°，∠OCD′+∠DCH＝90°，∴∠HDC＝∠OCD′，∵∠DHC＝∠COD′＝90°，DC＝D′C，∴△DHC≌△COD′（AAS），，即：m+1＝1，解得：m＝0则DH＝OC，故点D（0，1），，）；）或（，11综上，点D（0（3）图形G所在直线的表达式为：y＝2x﹣2，设点M（m，2m﹣2），其中0≤m≤1，①当点T在y＝﹣3下方时，TN与正方形不相交，故不存在“垂链点”；②点T在y＝﹣3和y＝﹣2时，存在“垂链点”，即：t＝﹣3或﹣2；③当TM与H图形右侧的边相交时，如下图：分别过点M、N作y轴的垂线交于点H、G，同理可证△NGT≌△THM（AAS）TH＝GN，即t﹣（2m﹣2）＝3，，1≤m≤0，而+1m2＝t则1≤t≤3；④当TN与正方形的上面的一条边相交时，同理可得：t＝3﹣m，而0≤m≤1，解得：2≤t≤3，综上，t的取值范围为：1≤t≤3或t＝﹣3或﹣2．2+64+2＝016b，【解答】解：（1）b﹣14．20b﹣8），+2+2＝即（则b﹣8＝0，a﹣b+2＝0，解得：a＝6，b＝8，即点A、C的坐标分别为：（6，0）、（0，8），故答案为：6，8；（2）设：GD＝m，GE＝n，过点E作x轴的平行线交y轴于点G、交AB于点H，∵∠GED+∠HEA＝90°，∠GED+∠GDE＝90°，∴∠GDE＝∠HEA，∴Rt△DGE∽Rt△EHA，∴，＝，，n，解得：m＝即：）（，故点E，将点C、E的坐标代入一次函数表达式并解得：＝﹣x+8；直线CE的表达式为：y，）6，时，y＝，故点F（6y（3）+8＝﹣x，当x＝＝﹣（x+1）+8，向左平移一个单位后的表达式为：直线CEy，）0；M故点（，RO、RM，连接为圆心）R（R作圆M、O、N过点．当F、R、N三点共线时，FN最大，∵∠ONM＝135°，则∠MRO＝90°，则△RMO为等腰直角三角形，°＝＝RN，OM（，），RM＝sin45R则点则FR，＝＝+RN．＝FN的最大值＝PR中，（15．【解答】解：1）如图1∵直线y＝x+1交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（﹣1，0），B（0，1），∴OA＝OB＝1，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝30°，＝，OC∴＝OBC∴0（），，，则有b+＝的解析式为，设直线BCykx，解得．＝﹣x+1．∴直线BC的解析式为y中，（2）如图2，解得，由，，﹣1∴H）（轴于点K，∵直线y交，K∴（0，3）．t+×﹣?2?t＝﹣×﹣时，当0≤t≤﹣1S＝SS＝2PBKBCK△△+t﹣t）＝﹣，（+SS2＝×+×?2?St当＜0时，＝PBKBCK△△）．t综上所述，S＝﹣t+（1≤﹣（3）如图3中，作GJ⊥OF于J，PT⊥OF于T．∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠BAO＝45°，，OA∥GJ∵．∴∠JGB＝∠OAB＝45°，∵∠AGP＝60°，∴∠JGF＝15°，∵PT∥GJ，∴∠TPF＝∠JGF＝15°，如图3﹣1中，在PT上取一点I，使得PI＝FI，连接IF．设TF＝a，则易知IF＝PI＝2a，＝a．IT222，TFPT PFPF∵＝，2+＝22＝8，a∴a（+2a）+﹣1a＝，解得+1∴PT＝，6+，＝对于直线﹣＝﹣1时，y，x．6+，（﹣∴P1﹣）16．【解答】解：（1）如图1中，作AE⊥x轴于E，DF⊥EA交EA的延长线于F．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∵∠F＝∠AEB＝∠DAB＝90°，∴∠DAF+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABE＝90°，，ABE＝∠DAF∴∠．∴△DFA≌△AEB（AAS），∴DF＝AE，AF＝BE，设DF＝AE＝a，AF＝BE＝b，∵OB＝5，OD＝7，∴∴a＝6，b＝1，∴AE＝6，OE＝6，∴A（6，6）．（2）①如图2中，作FH⊥y轴于∵∠ADE＝∠AEF＝∠FHE＝90°，∴∠AED+∠FEH＝90°，∠FEH+∠EFH＝90°，∴∠AED＝∠EFH，∵AE＝EF，∴△ADE≌△EHF（AAS），∴FH＝DE，AD＝EH，∵AD＝OD，∴EH＝OD，∴OH＝DE＝FH，设OH＝FH＝a，∴F（﹣a，﹣a），∵点F在直线y＝﹣2x﹣6上，∴﹣a＝2a﹣6，解得a＝2，．）2，﹣2（﹣F∴．②如图3﹣1中，当点E在线段OD上时，，），（0∵D（﹣，0），，）∴A，（﹣B+xy＝，∴直线BD的解析式为∵OF＝m，，﹣m）（﹣m，1由（）可知，F＝y∴直线AF）+的解析式为+，（x，解得，由，）P．（﹣∴y?＝1﹣．∴BP＝P的延长线上时，DO在E中，当点2﹣3如图。