高一上学期期末知识点总结

高一数学主要知识点清单必修一第一章《集合》１．集合与元素（1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 ∈ 或 ∉ 表示. (３)集合的表示法:列举法、描述法、图示法、自然语言．(４)常用数集：自然数集N;正整数集N *(或N +)；整数集Ｚ;有理数集Q;实数集R ． (5)集合的分类：按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集． 2.集合间的基本关系 (１)子集、真子集及其性质子集：对任意的x ∈Ａ，都有ｘ∈Ｂ，则B A ⊆(或A B ⊇).真子集：若A ⊆B ，且在Ｂ中至少有一个元素x ∈B ,但x ∉A , 性质:φ⊆A ；A ⊆A ;A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ．若A 含有ｎ个元素，则Ａ的子集有2ｎ个，A 的非空子集有 12-n 个．(２）集合相等 若A ⊆B 且B ⊆Ａ,则 A=B . 3.集合的运算及其性质 (１)集合的并、交、补运算并集：A ∪Ｂ＝{ｘ|x ∈Ａ或x ∈B ｝； 交集：A ∩B ={x |x ∈A 且ｘ∈B }；补集：C U A =｛x ｜ｘ∈U 且x ∉A }．U 为全集,C U Ａ表示Ａ相对于全集U 的补集. (2)集合的运算性质①A ∪B ＝A ⇔B ⊆Ａ，Ａ∩B =A ⇔B A ⊆；②A ∩A =A ，A ∩Φ＝ Φ ； ③A ∪A ＝A ，A ∪Φ=Ａ;④A ∩C U Ａ=Φ，A ∪C U A =Ｕ,C U (C U A )=A . （3）研究集合的两个工具：韦恩图和实数轴 ４．函数的基本概念(1)函数的定义:设Ａ、B 是非空 数集 ，如果按照某种确定的对应关系ｆ,使对与集合A 中的 任意一个数x ，在集合B 中都有 唯一 确定的数f (x )和它对应，那么称 f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x ),ｘ∈A .(2）函数的定义域、值域在函数ｙ=f (x )，x ∈Ａ中,ｘ叫自变量，x 的取值范围Ａ叫做 定义域 ,与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (ｘ)|x ∈A }叫值域．值域是集合B 的子集． (3）函数的三要素： 定义域 、值域和对应关系．（4）相等函数:如果两个函数的定义域和 对应关系 完全一致,则这两个函数相等;这是判断两函数相等的依据． 5.函数的三种表示方法（1） 表示函数的常用方法有:解析法、列表法、图象法．(２)关于函数的解析式 ．函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时， 一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域..(3)求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等， 如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数ｆ［g(ｘ)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围; 当已知表达式较简单时,也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出ｆ（x ）(4)两个特殊的函数形式分段函数:在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意： 如: （１）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数；（2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集。

复合函数 ：如果函数y ＝f （ｕ) (u ∈M)，ｕ=g(ｘ） (ｘ∈A)，则函数y=f ［g(x)］=F(x)（定义域为})({M x g A x ∈∈ ） 称为f 、g 的复合函数。

（5）复合函数的单调性 两个函数．．．．复合而成的复合函数f[g(x ）]的单调性与构成它的函数ｕ=g （x ），ｙ=f(u)的单调性之间的关系是：同增异减。

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ，不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.６．映射的概念一般地,设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ,使对于 集合A 中的任意一个元素ｘ,在集合B 中都有 唯一 确定的元素y 与之对应,那么就称对应ｆ：Ａ→B 为从集合A 到集合B 的一个映射.记作“f ：A →Ｂ”． ７．函数的单调性 (１)单调函数的概念设函数ｙ＝f (ｘ)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的 任意 两个自变量ｘ1，ｘ２,当x １＜x ２时，都有())()()()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说ｆ(x )在区间Ｄ上是增函数(减函数).（2)单调区间的概念如果函数ｆ(ｘ)在某个区间D 上是增函数或减函数，就说ｆ(ｘ)在这一区间上具有(严格的）单调性， 区间D 叫f (x )的单调区间． 8．函数的最值设函数y =f (ｘ）的定义域为Ｉ,如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ,都有 ｆ(x ）≤Ｍ（或f （x )≥M )；存在 x ０∈I ，使得f (ｘ0)＝M ．那么,称M 是函数y ＝ｆ（x )的最大值(或最小值)． ９．偶函数、奇函数的概念一般地，如果对于函数f (ｘ)的定义域内任意x ,都有f (－x ）=ｆ（x )，那么函数f （x )就叫做偶函数．偶函数的图象关于 ｙ轴 对称．一般地,如果对于函数ｆ(ｘ)的定义域内任意一个x ,都有ｆ(－x )＝—f (ｘ)，那么函数ｆ（x ）就叫做奇函数．奇函数的图象关于 原点 对称. 10．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是：(1)考查定义域是否关于原点对称，这是函数具有奇(偶）性的必要非充分条件． （２）考查表达式f (－x ）是否等于f (x )或－f (x ):若f (-x )= －f (x ）,则ｆ(ｘ)为奇函数； 若ｆ (－x )= f (x ) ，则f (ｘ)为偶函数； 若ｆ(－ｘ)＝－ｆ(x )且f (－ｘ)＝f (ｘ),则f （x )既是奇函数又是偶函数；若ｆ(－x ）≠－ｆ(ｘ）且f (－ｘ)≠ｆ（x )，则f （x ）既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数． 11．周期性一般地，对于函数f （ｘ)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值都有)()(x f T x f =+,那么函数f (x )就叫做周期函数,非零常数Ｔ叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.必修一第二章 基本初等函数回顾、总结、升华１.根式(１)根式的概念如果一个数的ｎ次方等于a (n ＞1且,n ∈N *),那么这个数叫做a 的n 次方根.也就是，若a xn=,则x 叫做a的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子nａ叫做根式，这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数. （2)根式的性质①当ｎ为奇数时，正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,这时,a 的n 次方根用符号na 表示.②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个,它们互为相反数，这时,正数的正的n 次方根用符号错误!表示,负的n 次方根用符号na-表示．正负两个n 次方根可以合写为±na (a ＞0）.③错误!n ＝a . ④当n 为奇数时，错误!=a ; ⑤负数没有偶次方根. 当n 为偶数时,错误!＝ |a |=⎩⎨⎧<-≥0,0,a a a a .２．有理数指数幂 （1)幂的有关概念 :正分数指数幂=mn a mna 负分数指数幂mnmn a a1=-0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r ａｓ＝sr a+ ②(ａr )ｓ＝rsa ③(ab )ｒ＝r rb a(a >０，ｂ>０，ｒ、s ∈Q ）3.指数函数的图象与性质4．对数的概念(１）对数的定义 如果a ｘ＝Ｎ(a ＞0且a ≠１),那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =,其 中ａ叫做对数的底数，N 叫做真数． (2）几种常见对数5.对数的性质与运算法则（１)对数的性质 ①N a Na =log ；②ｌo ｇa a N = Ｎ（a ＞0且ａ≠１).（2)对数的重要公式 ①换底公式：abb c c alog log log =(a ，ｃ均大于零且不等于1)；②ｌｏg a b =错误!， 推广log a ｂ·ｌｏｇb ｃ·log c d =log a d ． (３）对数的运算法则 如果ａ＞０且ａ≠1,Ｍ>0,Ｎ>0，那么 ①lo ｇa （ＭN )=N Ma a log log +;②l ｏｇa 错误!=N M a a log log -;③l ｏg ａＭn =M n a log ⋅； ④l ｏｇ ａｍM n ＝M mna log ⋅.6.对数函数的图象与性质指数函数y =a ｘ与对数函数ｙ＝log a x 互为反函数,它们的图象关于直线 y=ｘ 对称． 8．幂函数的定义：一般地，形如αx y =(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数ｘ是自变量,α为常数.９．幂函数的图象:在同一平面直角坐标系下，幂函数y =x ,y =x 2，3x y =,y ＝21x,1-=x y 的图象分别如.幂函数的性质函数 y ＝ｘ y ＝定义域 R R 值 域 R [0，奇偶性奇偶第三章 函数的应用回顾、总结、升华 函数图象的作法1.描点法作图 描点步骤:(1)确定函数的定义域；（2)化简函数的解析式；（３）讨论函数的性质： 即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势）；（4)描点连线,画出函数的图象． ２.函数图象的变换法 (1)平移变换①水平平移：y ＝ｆ(ｘ±ａ)(a ＞0)的图象,可由y =f (x ）的图象向 左 （+）或向 右 （－)平移a 单位而得到.②竖直平移:y ＝f (ｘ)±ｂ(ｂ＞0）的图象，可由ｙ=f (x )的图象向 上 (＋)或向下 （－)平移b单位而得到． (2)对称变换①y =ｆ(－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． ②y ＝-f (x )与y ＝f (x )的图象关于 ｘ轴对称． ③y =-ｆ(-x )与ｙ=f (x ）的图象关于 原点 对称. (3）周期变换如果函数y=f(x ）对定义域内的一切x 值，都满足 ①f(x+T)=f （ｘ),则函数周期为T ； ②)()(a x f a x f -=+,其中a 是常数,则函数周期为a 2;(4)翻折变换①作为y =ｆ(x )的图象,将图象位于x 轴下方的部分以ｘ轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变得到ｙ＝|f (x ）|的图象;②作为ｙ=ｆ(x ）在ｙ轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象,即得y =f (｜x |)的图象． （5)伸缩变换①y ＝af (x )（a ＞0）的图象，可将y =ｆ(ｘ)图象上每点的纵坐标伸（a ＞１时）缩(a <1时)到原来的a 倍.②y =f (a ｘ)（a ＞0）的图象,可将y =f (x )的图象上每点的横坐标伸(a <1时)缩(ａ>1时)到原来的１a .3.函数的零点（1)函数零点的定义 对于函数y ＝ｆ(x ),我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数y ＝ｆ(x )的零点．(2)几个等价关系 方程f (x ）=0有实数根⇔函数y ＝ｆ(ｘ)的图象与x 轴有交点⇔函数ｙ=ｆ（x )有零点.（3）函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y =f (x ）在区间[a ，b ]上的图象是 连续 不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ,那么，函数y =f (x ）在区间 (a ,b ) 内有零点，即存在c ∈（ａ，ｂ),使得f （c ）= 0,这个c 也就是方程f （x )=0的根． 5.二分法求方程的近似解（1）二分法的定义: 对于在区间[a ,b ]上连续不断且0)()(<⋅b f a f 的函数y =ｆ(x ）,通过不断地把函数ｆ(x )的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数ｆ(x )零点近似值的步骤如下：①确定区间［a ，b ]，验证f （ａ)·f (b )＜０，给定精确度ε；②求区间（ａ,b )的中点 ｃ;③计算f (c ）； (ⅰ)若f (c )=０，则ｃ就是函数的零点;（ⅱ)若f (a )·ｆ(c )＜0，则令b =c (此时零点x ０∈(a ，c ))； （ⅲ）若ｆ（c )·f (ｂ)＜０，则令ａ＝c (此时零点x 0∈（c ，b )）． ④判断是否达到精确度ε．即:若|ａ-b |<ε,则得到零点近似值a (或b );否则 重复②③④.６.三种增长型函数模型的图象与性质7.三种增长型函数之间增长速度的比较在（0，＋∞）上，总会存在一个x 0，使x >ｘ0时有 log a x ＜ ｘｎ <a . 8．常用的几类函数模型(１)一次函数模型f (x )＝ｋx +b (k 、b 为常数,k ≠0)；（2)反比例函数模型f (x )=＋b (k 、b 为常数,ｋ≠0)；（3）二次函数模型f （x ）＝ax 2+bx +ｃ(ａ、b 、c 为常数,ａ≠0); (4)指数函数模型f (x )＝a ·b x ＋c (a 、b 、c 为常数,a ≠０，b >0,ｂ≠1); (5)对数函数模型f (x )=m lo ｇa x +ｎ(m 、ｎ、ａ为常数，m ≠0，ａ>0,a ≠1)； (6)幂函数模型f (x )=ax n +b (a 、b 、n 为常数，ａ≠0,n ≠1)．必修四第一章《三角函数》⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 如:第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z终边在x轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．５、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是lrα=． ６、弧度制与角度制的换算公式：2360π=,1180π=,180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭．7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r,弧长为l,周长为C，面积为S,则l r α=,2C r l =+，21122S lr r α==.8、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()r r =>，则sin y r α=,cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正， 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线：sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT ．1１.同角三角函数间的关系(结合方程思想) ⑴αααcos sin tan =( 切化弦，通常弦化切应用于齐次式，即分子分母同时除以cos α ）sin２α+ cos ２α＝1 （平方关系，凡涉及到同角三角函数求值问题要想到这个隐含条件！！）（sin ,cos ,tan ααα 知一求二,在实际的计算中往往构造简单的直角三角形来计算,注意符号看象限）（2)平方关系结合2sin cos αα变形有:()212sin cos sin cos +=+αααα ()212sin cos sin cos -=-αααα（sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-即和、差、积知一求二）１２、函数的诱导公式:()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀:函数名称不变,符号看象限．口诀：正弦与余弦互换,符号看象限. 1３、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+()k ∈Z 时,max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时,min 1y =-.当()2x k k π=∈Z 时,max 1y =;当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数函 数 性 质14、将函数sin y x ω=的图象上所有点向左(右)平移ϕω个单位长度,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；15、函数()()sin 0,0y x k ωϕω=A ++A >>的性质:①振幅:A ;②周期:2πωT =;③频率:12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+;⑤初相：ϕ.函数()sin y x k ωϕ=A ++,当1x x =时,取得最小值为min y ;当2x x =时,取得最大值为max y ,则()max min 12y y A =-，()max min 12k y y =+,()21122x x x x T=-<． ②研究函数()sin y x ωϕ=A ++B 的性质方法:把x ωϕ+当成整体借助正余弦函数，或运用五点法1６.sin(),(y A x k ωφω=++>0，A ＞0）的图象：2T πω=五点法作图:快速作图如:１7.解三角方程18.解三角不等式19.sin(),(y A x k ωφω=++>0,A ＞0）的性质:2T πω=①性质： 1 ,x R ∈ [],y A K A K ∈-++ 2T πω=2单调性：令22k ππ-+≤x ωφ+≤22k ππ+,k Z ∈得到增区间；令22k ππ+≤x ωφ+≤322k ππ+,k Z ∈得到减区间。