第10章 热应力问题的有限元法
机械密封温度场及其热应力的有限元计算
机械密封温度场及其热应力的有限元计算机械密封是工业领域中常见的重要部件，用于防止流体或气体在管道中泄漏。
其中，温度是影响机械密封性能的一个关键因素。
通过有限元方法计算机械密封的温度场及其热应力分布，可以进一步理解机械密封的性能，为优化设计和选择材料提供有价值的参考。
一、机械密封热应力分析的重要性首先，机械密封在工作中会受到温度变化的影响。
在高温环境下，机械密封可能会发生膨胀、变形、破裂等现象，从而降低密封性能，甚至出现泄漏等危险。
因此，理解机械密封在不同温度下的热应力分布，有助于优化机械密封的设计和材料选择，提升其性能和稳定性。
其次，机械密封的热应力会影响密封面之间的接触压力分布。
接触面之间的压力分布又会影响机械密封的摩擦、磨损、寿命等方面的性能。
因此，通过对机械密封热应力分布的分析，可以为正确评估机械密封的性能提供依据。
最后，计算机械密封的热应力分布还可以为机械密封改进和优化、开发新型机械密封以及制定更可靠的维护保养计划提供帮助。
二、机械密封温度场及其热应力计算的方法1.基于有限元方法由于机械密封的几何形状和复杂工作环境的影响，直接通过实验方法进行温度场及热应力的测试是昂贵、费时并且可能存在不可避免的误差。
而有限元方法则可以通过数学模型和计算机模拟来模拟机械密封在不同温度下的工作状态，计算出对应的温度场及热应力分布。
有限元方法主要分为数值方法和解析方法两种。
数值方法是通过数学模型和数值计算来获得机械密封的温度场及热应力分布，其中常用的数值方法包括有限差分法、有限体积法和有限元法等。
解析方法则是通过解方程表达式，将机械密封的基本参数带入公式计算来获取温度场及热应力分布，例如Stefan-Boltzmann定律、Fourier定律等。
2.基于ANSYS软件ANSYS软件是目前工业领域中最常用的有限元分析软件之一。
该软件提供了一系列的功能模块和分析工具，如结构分析、流体动力学分析、热分析等，可以用于模拟机械密封在不同工作条件下的温度场及热应力分布，为机械密封的设计、优化和改进提供帮助。
机械结构热应力分析与优化设计
机械结构热应力分析与优化设计引言：在日常生活和工程设计中，我们常常会面临机械结构在热应力下的变形和破坏问题。
热应力是由于温度变化引起的结构内部应力，可能会导致结构失效。
因此，对机械结构的热应力进行分析和优化设计是非常重要的。
一、热应力的形成原因：热应力的形成主要是由于温度的变化所引起的材料膨胀或收缩不一致。
当材料受热时，其分子内部的热运动加剧，分子间的作用力减弱，导致材料膨胀。
相反，当材料被冷却时，分子内部的热运动减弱，分子间的作用力增强，导致材料收缩。
而不同部分的材料在受热或冷却过程中的膨胀或收缩程度可能不一致，从而使机械结构产生内部应力。
二、热应力对机械结构的影响：热应力对机械结构的影响主要表现在以下几个方面：1. 变形和位移：热应力可能导致机械结构发生变形和位移，使得结构失去稳定性和准确性。
2. 结构破坏：高温下的热应力可能会使材料的耐力下降，导致结构局部变形、损坏甚至破坏。
3. 功能受限：热应力的存在可能限制机械结构的工作温度范围和使用寿命，影响其正常运行。
三、热应力分析的方法：为了准确地分析机械结构中的热应力，我们可以借助计算机辅助工程（CAE）技术进行模拟。
以下是常用的热应力分析方法：1. 有限元法：有限元法是一种基于物理模型的数值分析方法，通过将结构离散为有限个小元素，计算每个元素的热应力，进而推导出整个结构的热应力分布。
2. 温度场分析：首先确定结构在热载荷作用下的温度分布，然后通过热弹性理论计算结构在各个温度下的应力和应变，最终得到热应力的分布情况。
3. 材料特性参考：对于已知材料特性的结构，可以通过查询相关的材料手册或实验数据，获得材料的热膨胀系数等参数，进而计算热应力。
四、热应力优化设计的思路：在进行热应力优化设计时，我们可以采取以下几个思路：1. 材料选择：选择具有较小热膨胀系数的材料，以减小由温度变化引起的热应力。
例如，在高温环境下，优先选择具有低热膨胀系数的陶瓷材料。
机械结构的热应力分析
机械结构的热应力分析在机械工程领域中，热应力是一个重要的研究领域。
随着工业的快速发展和机械结构的不断演进，热应力分析对于保证机械结构的可靠性和性能的提升至关重要。
本文将从热应力的概念入手，探讨机械结构热应力分析的意义、方法以及可能的应用。
一、热应力的概念和意义热应力是指由于温度变化引起的内应力。
当机械结构受到温度梯度的作用时，不同部位会因为热胀冷缩而产生应力。
这些应力可能导致机械结构的变形、裂纹、破坏等问题，进而影响机械设备的性能和寿命。
因此，热应力分析对于预测和控制机械结构的破坏具有重要意义。
二、热应力分析方法热应力的分析需要通过有限元分析等数学模型来模拟机械结构在温度变化下的应力分布。
有限元分析是一种模拟和计算机辅助设计中广泛应用的方法，可以帮助工程师和设计师分析和优化结构，从而预测和减小热应力带来的危害。
在进行热应力分析时，首先需要确定机械结构的热边界条件，即机械结构在温度变化下的受限情况。
然后通过有限元分析软件建立模型，考虑材料的热膨胀系数和热导率等参数，进行力学计算，得出应力分布图。
三、机械结构热应力分析的应用机械结构的热应力分析在工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景。
1. 汽车发动机热应力分析：汽车发动机在工作过程中会受到高温和冷却剂的作用，而这些温度的变化会引起发动机部件的热应力。
通过热应力分析，可以优化发动机结构和材料的选择，提高发动机的工作效率和寿命。
2. 电子产品散热设计：随着电子产品的不断发展，其功耗也在不断增加，导致散热成为一个重要的设计考虑因素。
热应力分析可以帮助优化散热结构的设计，改善散热效果，提高电子产品的可靠性和稳定性。
3. 高速列车轨道热应力分析：在高速列车的运行过程中，轨道会因为受到列车的重压和高温的影响而产生热应力。
通过热应力分析，可以帮助设计工程师预测和控制轨道变形和裂纹的情况，确保列车的安全和运行平稳。
总结热应力分析在机械工程领域中具有重要的意义。
换热器热应力耦合有限元讲解
第一章 课题相关知识介绍2.1散热片知识散热片是一种给电器中的易发热电子元件散热的装置，多由铝合金，黄铜或青铜做成板状，片状，多片状等，如电脑中CPU 中央处理器要使用相当大的散热片，电视机中电源管，行管，功放器中的功放管都要使用散热片。
一般散热片在使用中要在电子元件与散热片接触面涂上一层导热硅脂，使元器件发出的热量更有效的传导到散热片上，在经散热片散发到周围空气中去。
2.1.1散热片的材质比较就散热片材质来说，每种材料其导热性能是不同的，按导热性能从高到低排列，分别是银，铜，铝，钢。
不过如果用银来作散热片会太昂贵，故最好的方案为采用铜质。
虽然铝便宜得多，但显然导热性就不如铜好（大约只有铜的50%左右）。
目前常用的散热片材质是铜和铝合金，二者各有其优缺点。
铜的导热性好，但价格较贵，加工难度较高，重量过大（很多纯铜散热器都超过了CPU 对重量的限制），热容量较小，而且容易氧化。
而纯铝太软，不能直接使用，都是使用的铝合金才能提供足够的硬度，铝合金的优点是价格低廉，重量轻，但导热性比铜就要差很多。
有些散热器就各取所长，在铝合金散热器底座上嵌入一片铜板。
对于普通用户而言，用铝材散热片已经足以达到散热需求了。
北方冬季取暖的暖气片也叫散热片。
散热片在散热器的构成中占有重要的角色，除风扇的主动散热以外，评定一个散热器的好坏，很大程度上取决于散热片本身的吸热能力和热传导能力 2.1.2散热片结构的设计 1. 肋片的散热量肋基导入的热量向肋端传递，经肋片传给流体，因此肋片得热平衡方程为： 肋基导入的热量Φ=Φ流体带走的热量λ所以肋片向流体的传热量恒等于肋基截面上导入的热量，根据傅立叶定律得 每片等截面直肋散热量的计算式为：)(1)(0mH th m h m h mH th m A H Hλλθλ++=Φ （2—1）式中：Φ ——散热量，W ；λ ——肋片导热率，W/（m.K ）；A ——肋片的横截面积，2m ；0θ——肋基过余温度，C 0；m —— 肋片组合参数，Az m λα=H h ——肋端处的对流换热系数，W/（2m ·K ）；H ——肋高，m 。
换热器热应力耦合分析有限元分析
第一章 课题相关知识介绍2.1散热片知识散热片是一种给电器中的易发热电子元件散热的装置，多由铝合金，黄铜或青铜做成板状，片状，多片状等，如电脑中CPU 中央处理器要使用相当大的散热片，电视机中电源管，行管，功放器中的功放管都要使用散热片。
一般散热片在使用中要在电子元件与散热片接触面涂上一层导热硅脂，使元器件发出的热量更有效的传导到散热片上，在经散热片散发到周围空气中去。
2.1.1散热片的材质比较就散热片材质来说，每种材料其导热性能是不同的，按导热性能从高到低排列，分别是银，铜，铝，钢。
不过如果用银来作散热片会太昂贵，故最好的方案为采用铜质。
虽然铝便宜得多，但显然导热性就不如铜好（大约只有铜的50%左右）。
目前常用的散热片材质是铜和铝合金，二者各有其优缺点。
铜的导热性好，但价格较贵，加工难度较高，重量过大（很多纯铜散热器都超过了CPU 对重量的限制），热容量较小，而且容易氧化。
而纯铝太软，不能直接使用，都是使用的铝合金才能提供足够的硬度，铝合金的优点是价格低廉，重量轻，但导热性比铜就要差很多。
有些散热器就各取所长，在铝合金散热器底座上嵌入一片铜板。
对于普通用户而言，用铝材散热片已经足以达到散热需求了。
北方冬季取暖的暖气片也叫散热片。
散热片在散热器的构成中占有重要的角色，除风扇的主动散热以外，评定一个散热器的好坏，很大程度上取决于散热片本身的吸热能力和热传导能力 2.1.2散热片结构的设计 1. 肋片的散热量肋基导入的热量向肋端传递，经肋片传给流体，因此肋片得热平衡方程为： 肋基导入的热量Φ=Φ流体带走的热量λ所以肋片向流体的传热量恒等于肋基截面上导入的热量，根据傅立叶定律得 每片等截面直肋散热量的计算式为：)(1)(0mH th m h m h mH th m A H Hλλθλ++=Φ （2—1）式中：Φ ——散热量，W ；λ ——肋片导热率，W/（m.K ）；A ——肋片的横截面积，2m ；0θ——肋基过余温度，C 0；m —— 肋片组合参数，Azm λα=H h ——肋端处的对流换热系数，W/（2m ·K ）；H ——肋高，m 。
工程力学中的热应力如何计算？
工程力学中的热应力如何计算？在工程力学领域，热应力是一个重要的概念。
当物体的温度发生变化时，由于热胀冷缩的特性，物体内部会产生应力，这就是热应力。
热应力的存在可能会导致物体的变形、破坏甚至失效，因此准确计算热应力对于工程设计和结构安全性评估至关重要。
要计算热应力，首先需要了解一些基本的概念和原理。
热胀冷缩是导致热应力产生的根本原因。
大多数材料在温度升高时会膨胀，温度降低时会收缩。
然而，物体的不同部分在温度变化时可能受到不同的约束，从而导致内部应力的产生。
热应力的计算通常基于热弹性理论。
在这个理论中，假设材料是线弹性的，即应力与应变之间存在线性关系。
同时，还需要考虑材料的热膨胀系数、弹性模量等物理参数。
热膨胀系数是描述材料受热膨胀程度的一个重要参数。
不同的材料具有不同的热膨胀系数，它表示单位温度变化下材料长度或体积的相对变化量。
弹性模量则反映了材料抵抗变形的能力。
在简单的情况下，例如一个均匀的长杆，一端固定，另一端自由，当温度均匀变化时，可以通过以下公式计算热应力：热应力＝弹性模量 ×热膨胀系数 ×温度变化但在实际工程中，情况往往要复杂得多。
物体的形状、边界条件、温度分布等都会对热应力的产生和分布产生影响。
对于复杂形状的物体，可能需要使用有限元分析等数值方法来计算热应力。
有限元分析将物体离散成许多小单元，通过求解每个单元的平衡方程和本构方程，最终得到整个物体的应力和应变分布。
在进行热应力计算时，准确确定温度分布是关键的一步。
温度分布可以通过实验测量、理论分析或数值模拟等方法得到。
例如，在热传递问题中，可以使用傅里叶定律来描述热量的传递，从而计算出物体内部的温度分布。
另外，边界条件也对热应力的计算结果有着重要的影响。
边界条件包括物体的支撑方式、与周围环境的热交换条件等。
不同的边界条件会导致不同的应力分布。
在实际工程应用中，热应力的计算还需要考虑材料的非线性特性。
例如，一些材料在高温下可能会发生蠕变，即材料在恒定应力下随时间发生缓慢的变形。
有限元法基础热传导和热应力讲课文档
T 0 t
k 2 ( T ) 2 q T d S 2 Q w T d A 1 2 S 3 h ( T f 1 2 T ) T d A
泛函的变分取驻值，可得控制方程和第二类和第三类边界条件
第一类边界条件应强制满足，称为本质边界条件；
第二、第三类边界条件是自然边界条件。
{T}[]{Z}
将其代入有限元方程，并左乘 [ ]得T 到n个解耦的方程组
Z iiZ i P i, P i []T i{ R T }
积分上述方程组后，得{Z(t)}，由此可得到节点{T(t)}。
11
第十一页，共53页。
11 传热分析与热应力
11.3热辐射
考虑两个无限大的平行平面，由于无限大，不用考虑边界效应。设每 个平面都有均匀温度，平面1的温度为T1，平面2的温度为T2，平面都是理
12
第十二页，共53页。
11 传热分析与热应力
由于辐射面是有限的、非平行的，用视图因子表示
对于两个无限大的平行面为1，对于两个相互看不见的平面是0
13
第十三页，共53页。
11 传热分析与热应力
与面积为A1交换辐射能的表面有多少个，就有多少个式子。如果A1不是
很大，可认为Q1在A1上是个常数，因此
q
Kq = Q 23 第二十三页，共53页。
11 传热分析与热应力
（三）求解热应力的方法
在有限元分析程序中解热应力问题有两种方法，即直接法和间接法。 直接法
直接将传热分析和热应力耦合起来分析的方法。在求解时，直接将传 热边界条件、力学边界条件施加在有限元模型上，以节点温度和位移作 为未知变量求解。
有限元法基础热传导和热应力
第一页，共53页。
11 传热分析与热应力
机械密封温度场及其热应力的有限元计算
机械密封温度场及其热应力的有限元计算机械密封是一种常用于工业设备中的密封装置，用于防止流体或气体泄露。
在使用过程中，由于受到高温环境的影响，机械密封会存在温度场分布不均和热应力产生的问题。
因此，进行机械密封温度场及其热应力的有限元计算对于设计和优化机械密封具有重要意义。
首先，我们需要了解机械密封的工作原理和结构。
机械密封通常由静环、动环、弹簧和密封面组成。
当设备运行时，旋转轴与静环之间形成一个密闭空间，通过压力控制介质不泄漏。
由于介质流动和机械磨擦等原因，机械密封存在一定的热量产生，导致温度升高，进而引起温度场分布和热应力的产生。
有限元计算是一种常用的工程分析方法，适用于求解复杂结构下温度场和热应力分布的问题。
在进行有限元计算之前，需要对机械密封进行几何建模和网格划分。
然后，根据机械密封的物理特性，如热导率、热膨胀系数等参数，建立热力学模型。
通过加热源边界条件加载热载荷，并引入温度和热应力的计算准则，如温度梯度和热应力极限等。
在有限元计算中，通常以微元为基本单元，将机械密封的几何模型划分为许多小单元，编制微元阵和节点力阵。
根据热力学模型，计算每个微元的温度场和热应力分布情况。
通过求解微元阵和节点力阵的问题，可以得到机械密封的整体温度场和热应力分布。
在实际计算中，可以通过有限元软件，如ANSYS、ABAQUS等，利用其强大的计算能力进行机械密封温度场及其热应力的有限元计算。
通过对模型的几何特征、材料特性和边界条件进行合理的设置，可以得到较为准确的计算结果。
机械密封温度场及其热应力的有限元计算在实际应用中具有广泛的意义。
通过计算结果的分析和对比，可以了解机械密封不同部位的温度场分布情况，进而揭示密封间隙的变化和热应力的分布规律。
在优化设计和改进制造过程中，可以通过调整结构、材料和工艺参数等方式，降低温度场和热应力对机械密封的影响，提高设备的可靠性和使用寿命。
综上所述，机械密封温度场及其热应力的有限元计算是一项重要工作，对于设计和优化机械密封具有重要意义。
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e
T ( x, y ) = [N ]T {T }
e
T x x e e T = [N ]T {T } = [F ]{T } y y
e
m
其中: [H ] = ([h ]e +[h ]e ) ∑ 1 2
e =1
m
--结构总"刚度"矩阵 --结构总"载荷"
14
{P} = ∑ {P}e
e =1
m
δU = 0
U =0 {T }
即
[H ]{T } = {P}
已知"载荷",求解方程组. 求解方程组时,边界条件的处理: 对于三类边界条件,按上述分析方法处理,而在 上述分析时没有考虑一类边界条件,可在求解方程组 时考虑,即:使该边界处的节点温度取为给定值. 将整个边界按三类边界处理,而对于一类边界位 置,介质温度 T f 取为给定值,并将放热系数 λ 取为 相当大的值.
27
完全耦合热应力分析:应力,应变场和温度场之间 完全耦合热应力分析:应力,应变场和温度场之间 有耦合作用,需要同时求解. 绝热分析:力学变形产生热,而且整个过程的时间 绝热分析:力学变形产生热,而且整个过程的时间 极短,不发生热扩散. 热电耦合分析:求解电流产生的温度场. 热电耦合分析:求解电流产生的温度场. 工程中常见问题为顺序耦合热应力分析.
结构总的泛函是节点温度的二次齐次式.
δU = 0
U =0 {T }
即
[H ]{T } = 0
结合边界条件,求解方程组.
10
三,第三类边界条件问题
2T 2T + 2 =0 2 x y
等价于
δU = 0
T K = q + λ (T T f ) n
K T 2 T 2 1 2 U = ∫ ( ) + ( ) dxdy + ∫ ( λT λT f T qT )ds 2 x y 2 Γ 边界上的弧坐标
{Q}T = ∑ {Q}T e
--结构总刚度矩阵 --结构总的热载荷
当结构存在其他外载荷时,则将外载荷与热 载荷叠加.
23
二,热应力计算
[K ]{δ } = {Q}T
{δ }e 单元位移
0]
按单元温升,求得单元热应变 {ε }T = [αT αT
{σ } = [D]({ε }{ε }T )
利用有限元方法分析结构的热应力时,应先分 析各单元的温度变化,形成热载荷,与外载荷一起 求解节点位移.按单元温升计算热应变,在总应变 中减去热应变,计算应力. 结构的温度场和位移场应同时加以计算,可 以采用相同的单元和网格划分.
二,第一类边界条件问题
T T + 2 =0 2 x y
等价于
1 T 2 T 2 δU = 0 U = ∫ ( ) + ( ) dxdy 2 x y
2 2
T =T
有限元求解此 变分问题
6
简单三角形单元,单元内温度假定 为线性分布 T ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y 设单元3个顶点的温度分别为 Tl , Tm , Tn 单元节点温度列阵为
T T x T dxdy y y
8
其中:
1 bl [F ] = 2 cl
bm cm
bn cn
--应变矩阵
1 1 e T e eT T e U = ∫ ([F ]{T } ) ([F ]{T } )dxdy = ∫ {T } [F ] [F ]{T } dxdy 2 2 e e
T K = q + λ (T T f ) n
λ =0
T K =q n
确定结构边界处的温度梯度,称为第二类边界条件. 确定结构边界处的温度梯度,称为第二类边界条件 第二类边界条件.
5
T K = q + λ (T T f ) n
λ =q=0
T =0 n
绝热条件:在边界处和周围介质没有热交பைடு நூலகம். 绝热条件:在边界处和周围介质没有热交换.
16
当物体各部分有同样温升时,热膨胀是均匀的, 若物体受外界约束,则处于各方向应变都相同的常 应变状态,不会产生内部应力. 当物体受热,又受外界约束时,或内部受热不均 匀,则内部会产生内应力.总应变应为热应变和弹性 应变之和. 结构由于温度变化引起的内部应力 ,称为热应力. ,称为热应力 热应力. 用位移法分析结构热应力,应按温度场的改变 计算热变形,进而计算热应力.
Γ e --e单元所拥有的边界.
只有靠近边界的单元才具有 这一项.
12
设单元e的m,l节点位于边界上,计算时应以直 线lm代替部分边界.
e单元的温度为
e 2
T = [N ]T {T }
e
1 2 U = ∫ ( λT λT f T qT )ds 2 Γe 1 e 2 e U = ∫ λ ([N ]T {T } ) (λT f + q)[N ]T {T } ds 2 lm 1 e T e e T [N ]T {T } ) [N ]T {T } ds ∫ {T } [N ]T (λT f + q)ds = ∫ λ( T 2 lm lm
1 1 e T e T U = ∫ ([B ]{δ } ) [D ][B ]{δ } dV + ∫ {ε }T [D ]{ε }T dV 2 Ve 2 Ve
e
∫ ([B ]{δ } )T [D ]{ε }T dV
e Ve
1 e = δ 2
{ } [k ] {δ } {δ } {Q}
T e e e T
3
第一类边界条件 平面结构的边界上保持给定的分布温度,即
T =T
第三类边界条件
边界的分布温度
在边界处与周围介质存在热交换,即 放热系数
T K = q + λ (T T f ) n
进入的热流 周围介质的温度
4
上式中包含边界温度和温度梯度,称为第三类边 上式中包含边界温度和温度梯度,称为第三类边 界条件,是一种混合边界. 界条件,是一种混合边界. 当 q ,λ 取不同值时,上式可以转化为不同的 边界条件,因此可以统一地编制有限元程序.同时, 对于平面结构的不同边界部位,通过改变 q ,λ , T f 即可. 第二类边界条件
平面结构只受热而不受外载荷作用,则势能极小 原理为 δU = δ (∑ U e ) = 0
22
U = (∑ U e ) = 0 {δ } {δ }
1 eT e e e e T U = { } [k ] { } { } {Q}T + C δ δ δ 2 [K ]{δ } = {Q}T
e
其中:
[K ] = ∑ [k ]e
bl bn + cl cn bmbn + cm cn 2 bn2 + cn
--单元"刚阵"
9
结构的泛函为
1 e U = ∑U = ∑ T e =1 e =1 2
e
m
m
{ } [h] {T }
T e e
1 T = {T } [H ]{T } 2
其中:
[H ] = ∑ [h]e
e =1
m
--整个结构的"刚阵"
e 2
1 eT = { } h2 T 2
[ ] {T } {T } [P]
e e e T
e
13
其中: [h ] == ∫ λ [N ] [N ] ds
e
2
T T
T
--边界"刚度"矩阵 --边界"载荷"
lm
[P]
e
=
lm
∫ [N ] (λT
T T
f
+ q )ds
结构总泛函为
1 T T U = ∑ U = {T } [H ]{T } {T } {P} 2 e =1
e
1 eT 1 eT e e T e = {T } ( ∫ [F ] [F ]dxdy){T } = {T } [h] {T } 2 2 e
bl2 + cl2 其中: e 1 [h] = bl bm + cl cm 4 bn bl + cn cl
bl bm + cl cm 2 2 bm + cm bnbm + cn cm
T = T ( x, y )
2
在平面求解区域内,有
2T 2T K( 2 + 2 ) + p = 0 x y 热传导系数 热源强度
一般的工程结构,本身不产生热量,热量多是由外 界传入,有 p = 0
2T 2T + 2 =0 2 x y
对应不同的热边界条件,微分方程的解是不同的, 对于平面结构有不同的温度分布.
相等
1 1 T T T U = ∫ {ε } [D ]{ε }dV + ∫ {ε }T [D ]{ε }T dV ∫ {ε } [D ]{ε }T dV 2 Ve 2 Ve Ve
e
20
总应变和节点位移的关系
{ε } = [B]{δ }e
应变矩阵
对于三角形单元,应变矩阵与一般平面问题的三 角形单元一致.
15
第二节
平面热应力
设等截面杆件,原长为l,温度由 T0 变为 T ,则
l = α (T T0 )l
热应变为 l εT = = α (T T0 ) = αT l 各向同性三维单元,由温升引起的热应变为
ε xT = ε yT = ε zT = αT γ xyT = γ yzT = γ zxT = 0
{T }e = [Tl
单元内各点温度为