空间坐标系和投影
微积分课件第3节空间曲线及其在坐标面上的投影
方程组
所表示的曲线方程称为
空间曲线的一般方程. 特殊地，空间直线方程
三、空间曲线及其在坐标面上的投影
例1
方程组
x2
+
y2
+ z2
=
25,
表示什么曲线?
z= 3;
解 因为 x2 + y2 + z2 = 25是球心在原点, 半径为
5 的球面.
z
z = 3 是平行于 x y
坐标面的平面，
z=3
因而它们的交线是
柱面的概念
准线
母线
平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
复习
几种常用的柱面方程及图形
（1）圆柱面
（2）椭圆柱面
（3）双曲柱面
（4）抛物柱面
统 称 为 二 次 柱 面 圆柱面
椭圆柱面
抛物柱面
三、 旋转曲面
一平面曲线 C 绕同一平面上的一条定直线 L 旋转一周
所形成的曲面称为 旋转曲面. 曲线C 称为旋转曲面的
定直线 L 称为旋转曲面的 旋转轴.
z
1.圆锥面方程
2. 旋转抛物面
O
y
x
第三节 空间曲线及其在 坐标面上的投影
第四节 二次曲面
第三节 空间曲线及其在坐标 面上的投影
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线在坐标面上的投影 三、小结 思考题
第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影
一、空间曲线的概念
1、空间曲线 把空间曲线C看作是两曲面的交线.
二、空间曲线在坐标面上的投影
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空间立体
曲面
二、空间曲线在坐标面上的投影
如何选择适合的坐标系和投影方式
如何选择适合的坐标系和投影方式选择适合的坐标系和投影方式在地理信息系统（GIS）和空间数据处理中至关重要。
坐标系和投影方式的选择直接影响着地图的精度和可视化效果。
本文旨在介绍如何选择适合的坐标系和投影方式，以便更好地应用于GIS和空间数据处理。
一、了解坐标系和投影方式的概念坐标系是一种地理坐标系统，用于描述地球上任意位置的坐标。
常用的坐标系包括经纬度坐标系、平面直角坐标系、地心坐标系等。
而投影方式是地球表面三维坐标映射到二维平面上的一种方法。
常用的投影方式有等面积投影、等角投影、等距投影等。
二、考虑数据来源和应用目的选择适合的坐标系和投影方式首先需要考虑数据来源和应用目的。
不同的数据来源可能使用不同的坐标系和投影方式。
例如，遥感数据常用的坐标系是地心坐标系（WGS84）；而测量数据常使用局部的平面直角坐标系。
根据应用目的，选择坐标系和投影方式能够更好地呈现所需信息。
三、考虑地理范围和形状地理范围和形状也是选择适合的坐标系和投影方式的重要因素。
对于较小的地理范围，可以采用平面直角坐标系，如UTM投影。
而对于全球范围的数据，则需要选择适用于大范围的坐标系和投影方式，如Mercator投影。
此外，根据地球的形状，也需考虑到地球在不同地区的畸变程度，如极地存在极大畸变。
四、考虑数据精度和准确性选择适合的坐标系和投影方式还需要考虑数据的精度和准确性。
对于高精度要求的数据，在选择坐标系和投影方式时需要尽量减小数据的形变和畸变，保证数据的准确性。
同时，要根据实际情况选择合适的投影方式，以符合数据的精度要求。
五、考虑处理软件和技术支持最后，选择适合的坐标系和投影方式还需要考虑处理软件和技术支持。
不同的GIS软件和数据处理工具可能支持不同的坐标系和投影方式。
因此，要确保所选择的坐标系和投影方式能够被处理软件和工具支持，以便进行数据处理和分析。
总结起来，选择适合的坐标系和投影方式需要考虑数据来源和应用目的、地理范围和形状、数据精度和准确性以及处理软件和技术支持等因素。
空间解析几何基本概念
空间解析几何基本概念空间解析几何是数学中一个重要的分支，它研究的对象是三维空间中的几何图形和几何问题。
在进行空间解析几何的学习和研究之前，我们需要先了解一些基本概念。
一、坐标系空间解析几何中常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系两种。
直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，通常用x、y、z表示。
极坐标系则由原点、极径和极角组成，极径表示点到原点的距离，极角表示点与正x轴的夹角。
二、点、直线和平面在空间解析几何中，点是最基本的图形概念，用坐标表示为(x,y,z)。
直线可以通过两点或参数方程表示，例如直线L可以表示为：L: {(x,y,z) | x=x0+at, y=y0+bt, z=z0+ct}，其中a、b、c为实数，(x0,y0,z0)为直线上的一点。
平面可以通过三点或参数方程表示，例如平面P可以表示为：P: { (x,y,z) | Ax+By+Cz+D=0 }，其中A、B、C、D为实数。
三、距离和中点在空间解析几何中，点与点之间的距离可以通过勾股定理计算：d(P_1, P_2) = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)，其中P_1(x_1, y_1, z_1)和P_2(x_2, y_2, z_2)为两点的坐标。
直线上的两点的中点可以通过坐标的平均值计算得到。
四、向量向量是空间解析几何中的重要概念，它可以表示有方向和大小的量。
向量由起点和终点表示，可以用坐标表示为一个有序三元组。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘法。
两个向量的加法等于它们对应坐标的相加，减法等于相减。
数量乘法将向量的大小与一个实数相乘，结果是一个新的向量。
点乘法可以用来判断两个向量是否垂直，它的结果为零表示两个向量垂直。
五、投影在空间解析几何中，投影是指点在坐标轴或平面上的影子。
点在坐标轴上的投影可以通过坐标的部分表示，例如点P的x轴投影为(x, 0,0)。
点在平面上的投影可以通过垂直于平面的直线与平面的交点来表示。
坐标系统、基准、投影
1954年北京坐标系建立后，全国天文大地网尚未布测完毕，因此，在全国分期布设该网的同时，相应地进行了分区的天文大地网局部平差，以满足经济和国防建设的需要。局部平差是按逐级控制的原则，先分区平差一等锁系，然后以一等锁环为起算值，平差环内的二等三角锁，平差时网区的连接部仅作了近似处理，如有的仅取两区的平差值，当某些一等锁环内的二等网太大，在当时的计算条件下无法处理时，也进行了分区平差，连接部仍采用近似处理的方法。
(2-10)
(2-11)
(2-12)
其中：
(2-13)
(2-14)
空间坐标系与平面直角坐标系间的转换采用的是投影变换的方法。在我国一般采用的是高斯投影。关于高斯投影，请参见有关文献。
高斯正算公式如下：
(2-15)
(2-16)
其中：
为子午线弧长；
为卯酉圈半径；
为经差；
为中央子午线经度。
为从赤道到投影点的椭球面弧长，可用下式计算：
WGS-84坐标系统的全称是World Geodical System-84（世界大地坐标系-84），它是一个地心地固坐标系统。WGS-84坐标系统由美国国防部制图局建立，于1987年取代了当时GPS所采用的坐标系统―WGS-72坐标系统而成为GPS的所使用的坐标系统。
WGS-84坐标系的坐标原点位于地球的质心，Z轴指向BIH1984.0定义的协议地球极方向，X轴指向BIH1984.0的启始子午面和赤道的交点，Y轴与X轴和Z轴构成右手系。
空间坐标系怎么看坐标投影
空间坐标系怎么看坐标投影坐标投影是地理信息系统中一个重要的概念，它用于将三维空间中的点投影到一个二维平面上。
在地理定位、地图绘制、导航等领域中，坐标投影起到了至关重要的作用。
本文将介绍空间坐标系的概念，以及如何理解坐标投影。
空间坐标系空间坐标系是用来描述地球表面或其他物体上点的位置的系统。
通常，空间坐标系由坐标轴和坐标原点组成。
常用的空间坐标系有地理坐标系和投影坐标系。
•地理坐标系：地理坐标系使用经度和纬度来表示地球表面上点的位置。
经度表示点相对于本初子午线的东西方向的位置，纬度则表示点相对于赤道的北南方向的位置。
•投影坐标系：为了方便地图绘制和测量，人们发展了各种坐标投影方法，将地球表面上的点投影到一个二维平面上。
不同的投影方法得到的坐标投影方式各有特点，适用于不同的地区和用途。
坐标投影坐标投影是将三维空间中的点通过某种方式映射到二维平面上的方法。
为了能够投影地球表面上的点到平面上，人们发展了多种坐标投影方法，其中最常见的有等角投影、等积投影和等距投影等。
•等角投影：等角投影保持地球表面上的任意两点之间的角度不变，这样可以保证在投影后的平面上保持灵活的角度测量和方向导航。
著名的等角投影包括墨卡托投影和兰伯特投影。
•等积投影：等积投影保持地球表面上区域的面积比例不变，这样可以准确地表示不同区域的地理特征。
常见的等积投影有克里格勒投影和阿尔伯斯投影等。
•等距投影：等距投影保持地球表面上的任意两点之间的距离不变，这样可以保持准确的距离计量特性。
例如，正轴等距圆柱投影就是一种常见的等距投影方法。
在地图中使用坐标投影地图是坐标投影的一个主要应用领域。
使用坐标投影的目的是将地球表面上复杂的三维地理信息转化为容易理解和使用的二维表示，使得我们能够更好地理解地球和进行空间分析。
在地图中使用坐标投影时，我们首先需要选择适合于具体地理区域和使用目的的投影方法。
不同的坐标投影方法适合于不同的地理区域和需要。
我们还需要确定地图的中心点和缩放级别，以便于有效地展示地理信息。
空间直角坐标系怎么看坐标投影法
空间直角坐标系的坐标投影法简介空间直角坐标系是描述物体在三维空间中位置的一种方式，它由三条相互垂直的坐标轴组成：x轴、y轴和z轴。
而坐标投影法是一种常用的方法，用于将三维空间中的点位置通过投影映射到二维平面上，以便更直观地表示和分析对象在三维空间中的位置关系。
坐标投影法的基本原理坐标投影法的基本原理是将三维空间中的点在一个二维平面上进行投影。
这个平面可以是任意的，常用的包括水平平面、垂直平面等。
在空间直角坐标系中，通过选择合适的平面和定义相应的坐标系，可以方便地描述物体在三维空间中的位置。
坐标投影法的具体步骤步骤一：选择投影平面首先，需要选择一个合适的投影平面。
这个平面可以根据具体问题和需要进行选择，常用的有水平平面、垂直平面等。
选择时需要考虑保持坐标系的垂直性和方便计算。
步骤二：确定坐标系在选定投影平面后，需要在该平面上建立一个坐标系。
通常情况下，选择投影平面上的两条互相垂直的线作为坐标轴。
这两条线上的点与原空间中的点有一一对应的关系，可以通过坐标值来表示。
步骤三：求投影点坐标在确定了投影平面和坐标系后，需要将原空间中的点进行投影，得到在投影平面上的点坐标。
投影的方法可以根据具体情况而定，常用的有平行投影和透视投影等。
步骤四：记录投影点坐标最后，将求得的投影点坐标记录下来。
这些坐标可以作为二维平面上点的位置，用于分析和表示原空间中的点的位置关系。
应用示例坐标投影法在实际应用中有广泛的使用。
以下是一个简单的应用示例，以帮助更好理解坐标投影法的实际运用。
假设一个球体位于空间直角坐标系的原点(0, 0, 0)处，球心坐标(x, y, z)分别为(2, 3, 4)，我们想要求球心在水平平面上的投影坐标。
1.选择水平平面作为投影平面；2.在水平平面上建立一个坐标系，其中x轴和y轴分别与空间直角坐标系中的x轴和y轴平行；3.计算球心投影坐标，即将球心的z坐标设为0，得到投影坐标为(2,3)。
通过这个示例，我们可以看到坐标投影法的实际运用过程，从选择投影平面、建立坐标系，到计算投影点坐标，最终得到在二维平面上的投影坐标。
空间坐标系和投影
空间坐标系和投影空间坐标系和投影练习内容和⽬的意义通过同⼀地区、不同投影（包括投影类型不同，同⼀投影中投影参数不同两⽅⾯）数据的操作，体会投影的作⽤于意义。
通过对⽆投影⽂件数据集赋予投影⽂件，通过投影换算，基本掌握数据集投影计算的基本原理和步骤。
1、投影的意义与作⽤练习⽬的和要求：参考实习指导，将各步形成的主要图形、或者主要操作截⾯粘贴与报考中。
数据：E:\Chap02\Proj_Show.1.1地图显⽰1.1.1 启动ArcView单击，添加⽂件boxg,riv1g,cntrs09g,cntrs10g,cntrs13g,cntrs14g后出现下图，给view1显⽰框中每个⽂件打钩，显⽰地图。
1.1.2双击cntrs14g打开Legend Edit对话框，Symbol数量点击添加Symbol数量，并进⾏如下图设置：同样的⽅法操作cntrs09g，cntrs10g，cntrs13g，并保持设置与cntrs14g⼀致，结果如下图⽤Text⼯具按钮为图⾯加图幅名，可以⽤Pointer来调整注记的⼤⼩结果图如下:1.2投影信息显⽰1.2.1打开workstation-Arc1.2.2输⼊⼯作路径w+⽂件路径。
如：1.2.3⽤describe+⽂件名语句来查看投影信息。
如1.2.4输⼊各个⽂件投影信息如下：1.3投影⽐较在ArcV iew 中添加⽂件riv1与riv1a 数据并显⽰观察：造成⽂件riv1、riv1a 显⽰差异的原因：其中蓝⾊部分是riv1,红⾊部分是riv1a,可以看到两张图并没有重合在⼀起，彼此之间有缝隙，在1.2实验中已经知道riv1和riv1a 都是ALBERS 投影，但是riv1的第⼆标准纬线为37 100.000中央⼦午线为109 30 0.00，⽽riv1a 的第⼆标准纬线为37 9 30.000中央⼦午线为109 29 30.00，这样就造成了显⽰的差异。
1.4为Coverage 赋予投影1.4.1：1.4.2：显⽰：1.4.3显⽰：完成为为Coverage 赋予投影。
关于坐标系和投影的相关知识探讨
关于坐标系和投影的相关知识探讨坐标系和投影是地理学和地理信息系统（GIS）中的基础概念。
坐标系是用于定位地球上任意点位置的一种方案，而投影则是将地球的曲面表达在平面上的方法。
本文将探讨坐标系和投影的相关知识，包括定义、分类、应用以及优缺点等。
首先，坐标系是地理空间数据基准的一部分，用于描述地球上一些点的位置。
常见的坐标系包括地心坐标系、大地坐标系和平面坐标系等。
其中，地心坐标系以地球的中心作为起点，以地球的表面为参照进行定位。
大地坐标系则以地球表面上的一个点作为起点，以地球的形状和大小为参照进行定位。
平面坐标系是将地球表面投影到平面上的一种方法，常用于地图制作和空间分析中。
投影是将地球的曲面表达在平面上的一种方法。
由于地球是一个近似于椭球体的三维对象，将其表达在平面上时会出现形变。
根据存储项目，地图投影可以分为正形投影和等面积投影。
正形投影是指将地球上各点间的角度关系保持不变的投影方法，可以保持形状的相对准确。
等面积投影则是指将地球上的面积比例保持不变的投影方法，可以保持面积的相对准确。
常见的投影方法包括墨卡托投影、正轴等积圆柱投影和兰勃托投影等。
在GIS应用中，坐标系和投影的选择是非常重要的。
不同的应用需要不同的坐标系和投影方案来满足精度和准确性的要求。
例如，在地图制作中，通常使用平面坐标系和等面积投影来保持地图上各个地区的相对面积准确。
而在空间分析中，通常使用大地坐标系和正形投影来保持地图上各个地区的角度关系准确。
尽管各个坐标系和投影方法都有自己的优点和局限性，但基于特定的应用需求选择合适的坐标系和投影方法是非常重要的。
此外，随着技术的进步和研究的不断深入，也涌现出了一些新的坐标系和投影方法，以更好地满足各种不同应用的需求。
总之，坐标系和投影是地理学和GIS中的基础概念，对于地球定位和地图制作非常重要。
通过理解和应用合适的坐标系和投影方法，可以更准确地表达地球的空间信息，从而支持各种地理空间应用和决策。
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空间坐标系和投影练习内容和目的意义通过同一地区、不同投影（包括投影类型不同，同一投影中投影参数不同两方面）数据的操作，体会投影的作用于意义。
通过对无投影文件数据集赋予投影文件，通过投影换算，基本掌握数据集投影计算的基本原理和步骤。
1、投影的意义与作用练习目的和要求：参考实习指导，将各步形成的主要图形、或者主要操作截面粘贴与报考中。
数据：E:\Chap02\Proj_Show.1.1地图显示1.1.1 启动ArcView单击，添加文件boxg,riv1g,cntrs09g,cntrs10g,cntrs13g,cntrs14g后出现下图，给view1显示框中每个文件打钩，显示地图。
1.1.2双击cntrs14g打开Legend Edit对话框，Symbol数量点击添加Symbol数量，并进行如下图设置：同样的方法操作cntrs09g，cntrs10g，cntrs13g，并保持设置与cntrs14g一致，结果如下图用Text工具按钮为图面加图幅名，可以用Pointer来调整注记的大小结果图如下:1.2投影信息显示1.2.1打开workstation-Arc1.2.2输入工作路径w+文件路径。
如：1.2.3用describe+文件名语句来查看投影信息。
如1.2.4输入各个文件投影信息如下：1.3投影比较在ArcV iew中添加文件riv1与riv1a数据并显示观察：造成文件riv1、riv1a显示差异的原因：其中蓝色部分是riv1,红色部分是riv1a,可以看到两张图并没有重合在一起，彼此之间有缝隙，在1.2实验中已经知道riv1和riv1a都是ALBERS投影，但是riv1的第二标准纬线为37 10 0.000中央子午线为109 30 0.00，而riv1a的第二标准纬线为37 9 30.000中央子午线为109 29 30.00，这样就造成了显示的差异。
1.4为Coverage赋予投影1.4.1：1.4.2：显示：1.4.3显示：完成为为Coverage赋予投影。
2.为无投影文件的数据集添加投影信息（文件）实习内容：掌握在ArcMap环境下为没有投影文件的coverage赋予投影信息实习要求：根据已知投影的地图，为有投影但无投影文件的coverage添加投影信息实习数据：E:\Chap02\Proj_Cal用于练习的数据为高斯投影，西安80坐标系；但是由于多种原因，在数据集中没有投影文件，同时投影单位为KM。
为此，需要给添加投影文件并将单位换算成M2.1练习1换算投影单位2.1.1打开workstation-Arc并进行如下操作：2.2练习2添加投影文件2.2.1打开ArcMap，在ArcTools box中选择Data Management tools/project and transformations/define projection（如下图所示）2.2.2在出现的Define Projection对话框中进行下图中坐标系统的设置2.2.3打开workstation-Arc进行下图操作2.3练习3换算投影（初步）2.3.1打开workstation-Arc进行下图操作完成投影换算：3.为不知投影信息的扫描图像赋予投影信息3.1加载数据3.1.1在ArcMap中加载文L51g009002a.tif。
3.1.2打开workstation-Arc进行下图操作3.2添加"影像配准"工具栏3.3确定控制点坐标3.3.1首先将Georeferencing工具条的Georeferencing菜单下Auto Adjust不选择。
在Georeferencing工具条上，Add Control Point按钮。
使用该工具在L51g009002_0.tif上精确找到同名地物（控制点），用鼠标点左键定位，再击右键选择“Input X and Y…”，打开Enter Coordinates对话框，同时在workstation的界面读取坐标值，将其复制到Enter Coordinates对话框。
如下图用同样的方法，在影像上增加另外3个控制点，保存它们的实际坐标。
如果必要，须考虑再选择一些控制点。
3.3.2点击V iew Link Table 按钮，打开Link Table对话框，讲对话框底边Auto Adjust选择，在输入4个控制点的情况下，Transformation设定为1st Order Polynmial。
如下图所示3.4矫正并重采样栅格生成新的栅格文件3.4.1在Georeferencing菜单下，点击Rectify,对配准的影响根据设定的变换公式重新采样，另存为一个新的影像文件3.5结果检验：加载投影变换后的图形文件，加载等高线和高程度点图层（cntrs，pnts）；比较其吻合程度。
4.为ArcView Shape 格式的图形文件计算投影4.1将Shape格式的文件转换成Coverage格式打开workstation-Arc进行下图操作，将Shape格式的文件转换成Coverage格式4.2 加载snow.txt，并为其添加坐标系统4.2.1 打开ArcMap ,向其中加载snow.txt。
点击上方的TOOLS ，选择下方的Add XY Data。
4.2.2弹出的Add XY Data 对话框中,选择X Field 为longitude, Y Field 为latitude。
点击Edit按钮，弹出Spatial Reference Properities 对话框。
点击Selected按钮来添加固定的坐标系统。
选择地理坐标系统（Geographic Coordinate Systems）下的北美（North America）下的North American Datum 1983 坐标系。
4.2.3依次点击确定打开ArcMap中的Arc Toolbox工具箱中的Date Management Tools/Projections and Transformations/Define Projection。
如下图所示：4.3 生成snowutm83.shp4.3.1点击Show/Hide ArcToolbox Window使ArcToolbox显示出来。
打开ArcToolbox下的Data Management Tools / Projections and Transformations / Feature / Project .在弹出的Project 对话框中选择snow.txt Events为Input Database，将Output Feature Class重命名为snowutm83.shp。
将输出坐标系统设为投影坐标系统下NAD 1983下面的NAD 1983 UTM Zone 11N。
点击OK，得到snowutm83.shp。
4.4为生成的83cov定义投影在Define Projection对话框中进行如下设置，定义投影5.为grid文件计算投影实习内容：掌握ArcMap环境下、ARC/INFO workstation环境下对DEM进行投影换算的方法。
实习要求：在某地区DEM的制作过程中，作业人员为了简便，给坐标的X值（理论值）减去36000000M，其实就是没有考虑投影带号；Y值（理论值）减去400000M。
这里要求对其予以纠正。
实习数据：E:\Chap02\GTD_Proj。
5.1投影定义5.1.1打开ArcMap，启动ArcToolbox，选择Data Management Tools，然后选择Projections and Transformation/Define Projection，出现以下界面。
5.1.2选择Coordinate System后的键，选择投影select-Projected Coordinate System-GaussKruger-Beijing 1954-Beijing_1954_Degree_GK_CM_108E在Spatial Reference 属性对话框中选择Modify，修改False_Northing(-40000000)，确定后出现以下界面，在确定就可以完成投影的定义。
5.1.3运行workstation-Arc查看投影的描述，具体操作如下图：5.2.1运行workstation-Arc，进行如下操作6.地图数字化过程中的投影计算目的：通过本实习，掌握在地图数字化过程中进行投影计算和地图接边的基本操作方法。
要求：对某地区1:1万标准分幅的河流图进行投影计算，并将其拼接。
数据：提供该地区投影计算的Master Coverage（主控Coverage）。
6.1打开workstation-Arc进行下图操作：按照同样的方法把每一个文件都进行重新编号，得到一组新的数据.6.2然后进行投影转换6.2.1输入create j55 F:\学习\ARCGIS\Chap02\Rivs\Master_Tics\mas_cov，即可创建一个j55的coverage。
6.2.2然后在输入transform F:\学习\ARCGIS\Chap02\Rivs\ed\j55 j55。
同理，将其他各个图幅也做相应处理。
6.2.3完成后，依次输入build j7 line，build j8 line.......build j64 line，再输入append riv_all arc tic。
即创建一个完整的图像，命名为riv_all。
再依次加个各个分幅，j7,j8.....j64。
输入end结束。
6.2.4在arcmap中打开最终的合成图riv_all，即可看到最终效果图。