山东省菏泽市学年高二数学下学期期中试卷文(含解析)
山东省菏泽市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(附答案及解析)
山东省菏泽市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题 本大题共12道小题。
1.设偶函数()()f x x R ∈的导函数()f x '，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x <成立的取值范围是（ ） A. (－1,0)∪(0,1) B. (－1,0)∪(1,+∞) C. (－∞,－1)∪(1,+∞) D. (0,1)∪(1,+∞)2.设随机变量ξ的分布列为P (ξ=i )=a 13i⎛⎫ ⎪⎝⎭,i=1,2,3,则a 的值为A. 1B.913 C. 2713D. 11133.（多选题）下面是关于复数1z i =+（i 为虚数单位）的四个命题，其中正确命题的是（ ）A.z = B. z 对应的点在第一象限 C. z 的虚部为i D. z 的共轭复数为1i -+4.（多选题）下列判断正确的是（ ）A. 线性回归直线ˆˆy bx a =+必经过点()11,x y ，()22,x y ，…(),n n x y 中心点(),x yB. 从独立性检验可知有99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果某人吃地沟油，那么他有99%可能患胃肠癌C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1D. 将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后，其方差也要加上或减去这个常数 5.（多选题）对于函数()2ln xf x x =，下列说法正确的是（ ） A. f (x )在x e =处取得极大值12eB. f (x )有两个不同的零点C. ()()()23ff f π<<D. 若()21f x k x <-在(0,+ ∞)恒成立，则2e k > 6.设X 为随机变量，且()~,X B n p ，若随机变量X 的数学期望()1E X =，()23D X =，则()1P X ==（ ） A. 827B.49C.29D.237.若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 2C. 1或2D. -18.将344x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开后，常数项是（ ） A. 30 B. －30C. －64D. －1609.（多选题）设()211~,X N μσ，()222~,Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中不正确的是（ ）A. ()()21P Y P Y μμ≥≥≥B. ()()21P X P X σσ≤≤≤C. 对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D. 对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 10.已知函数f (x )的导函数为()f x '，且满足()()312ln f x xf x '=+，则()1f '=（ ） A. e - B. －1 C. 1D. e11.在复平面内，复数21i+的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限12.若()62601261+=+++⋅⋅⋅+mx a a x a x a x ，且012664a a a a ++++=…，则实数m 的值为（ ） A. 1或－3 B. －3C. 1D. 1或3一、填空题 本大题共4道小题。
2021-2022学年山东省菏泽市高二下学期期中考试数学试题(A)(解析版)
2021-2022学年山东省菏泽市高二下学期期中考试数学试题（A ）一、单选题1．已知函数2()f x ax b =+，若0()()lim 4x f a x f a x∆→+∆-=∆，则=a （ ）A ．2B ．2C ．2-D ．2±【答案】D【分析】分别利用导数定义和求导公式可得2()24f a a '==，即可得解. 【详解】根据导数定义可得0()()li (m )4x f a x f a f a x∆→'+-=∆=∆，又根据求导公式可得()2f x ax '=， 所以2()24f a a '==， 所以2a =±. 故选：D2．如图，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村不经过乙村到丙村有2条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为（ ）A ．3B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】根据已知条件及分步乘法计数原理，再结合分类加法计数原理即可求解. 【详解】由图可知，从甲村直接到到丙村的走法有2种， 从甲村到乙村再到丙村的走法有326⨯=种， 所以从甲村到丙村的走法共有628+=种. 故选: D.3．若R a ∈，“1a >”是“函数()()e x f x x a =-⋅在(1,)+∞上有极值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据已知条件及函数有极值，再利用充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意可知，()(1)e x f x x a '=-+⋅令()0f x '=，即(1)e 0x x a -+⋅=，解得1x a =-， 当1x a >-时，()0f x '>； 当1x a <-时，()0f x '<；所以函数()f x 在1x a =-处取得极小值， 因为函数()()e x f x x a =-⋅在(1,)+∞上有极值， 所以11a ->，解得2a >.所以“1a >”是“函数()()e x f x x a =-⋅在(1,)+∞上有极值”的必要不充分条件. 故选：B.4．函数()y f x =导函数()'f x 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的单调递增区间为(1,0)-B ．(3,)+∞为函数()y f x =的单调递减区间C ．函数()y f x =在5x =处取得极小值D ．函数()y f x =在1x =处切线的斜率小于零 【答案】C【分析】利用导函数研究出()y f x =的单调区间，极值，即可判断. 【详解】由函数()y f x =导函数()'f x 的图象可知： x (,1)-∞--1 (1,3)-3 (3,5)5 (5,)+∞()'f x- 0 + 0 - 0 + ()f x单减极小值单增极大值单减极小值单增函数()y f x =的单调递增区间为(1,3)-，(5,)+∞.故A 错误，B 错误，C 正确.因为()y f x =在(1,3)-上单调递增，在1x =处导函数的值大于0，即切线的斜率大于零.所以D 错误. 故选： C5．已知函数321()223=-++f x x x x ，若存在满足003≤≤x 的实数0x ，使得曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线与直线100--=x my 平行，则实数m 的取值范围是（ ） A ．11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[2,6]C ．(,2]-∞D ．11,,62⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【分析】求导，根据某点处的切线斜率与导函数在该点处的函数值之间的关系，可得2000()42f x x x '=-++，根据两直线平行，斜率相等即可解m 的取值范围.【详解】由321()223=-++f x x x x 得2()42f x x x '=-++，则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率为2000()42f x x x '=-++，且()0f x '在002x ≤≤上单调递增，在02<3x ≤上单调递减，()()()0=2,2=6,3=5f f f '''，故()[]02,6f x '∈ 由题意得[]12,6m ∈，所以11,62m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故选:A6．定义：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()1()()f b f a f x b a -'=-，()2()()f b f a f x b a-'=-，则称函数()y f x =是在区间[,]a b 上的一个双中值函数．已知函数328()5=-f x x x 是区间[0,]m 上的双中值函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．48,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．88,155⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．80,5⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由3228()(0)8505m m f m f m m m m --==--，2()1635f x x x '=-， 即221605583x x m m --+=在[0,]m 有两解，解不等式8()015g(0)0g()0815g m m ⎧<⎪⎪>⎪⎨>⎪⎪>⎪⎩即可得解.【详解】求导可得2()1635f x x x '=-，由3228()(0)8505m m f m f m mm m --==--， 所以22381556m x x m --=有两解，即221605583x x m m --+=在[0,]m 有两解， 令221685()35g x x x m m -+=-所以8()015g(0)0g()0815g m m ⎧<⎪⎪>⎪⎨>⎪⎪>⎪⎩解得：4855m <<. 故选：B7．祖冲之是我国古代的数学家，他是世界上第一个将“圆周率π”精算到小数点后第七位，即3.1415926和3.1415927之间，它提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献．某教师为了帮助同学们了解π，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3的位置不变，那么可以得到大于3.15的不同数的个数为（ ） A ．328 B ．360 C ．2160 D ．2260【答案】C【分析】整体上用间接法求解，先算出1，4，1，5，9，2，6的这7位数字的随机排列的种数，注意里面有两个1，多了22A 倍，要除去，再减去不大于3.15的种数，不大于3.15的数只有小数点前两位为11，12或14，其他全排列.【详解】由于数字1，4，1，5，9，2，6中有两个相同的数字1，则进行随机排列可以得到的不同个数有7722A A ，而只有小数点前两位为11，12或14时，排列后得到的数字不大于3.15，故不大于3.15的不同个数有553A 种，所以得到的数字大于3.15的不同个数有：75752232160A A A -=种； 故选：C.8．设函数()2ln(1)1,()=+-'f x x f x 是()f x 导函数，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 有三个零点 B．ln 41< C ．()f x 的最大值是2ln32- D ．(0,2),()0∀∈>'x f x【答案】D【分析】首先求出函数的定义域，进而利用导数研究函数的图象与性质，结合选项逐项分析即可求出结果.【详解】因为()2ln(1)141f x x x =+-++，10140x x +>⎧⎨+≥⎩，即14x ≥-，所以定义域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 则2()114f x x x'=-++ ()()21421114x x x x+-+=++()()114114x x xx=+++++，令()0f x '=，则0x =或2x =，当1,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭和()2,+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,2x ∈时，()0f x '>，故D 正确； 当()0,2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；且(0)0f =，()(6)2ln7512ln742ln72f =-+=-=-，因为2e 7>，所以2ln 7ln e <，即ln72<，故(6)0f <， 则()f x 的图象如图：由图象可知：()f x 有2个零点，故A 错误；因为(1)2ln 2510f =>，所以2ln 251>，即ln 451，故B 错误； 13()2ln 144f -=+，(2)2ln32f =-且()13()22ln 12ln 3244f f --=+-+ln163=-+因为316e <，所以ln1630-+>，即()1()24f f ->，所以()2f 不是最大值，故C 错误；故选：D.【点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 二、多选题9．下列求导过程正确的是（ ）A ．222'⎛⎫=- ⎪⎝⎭x x B ．'=C ．ln 1ln ln x a x a '⎛⎫=⎪⎝⎭ D ．33cos 33sin 322x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ【答案】ABC【分析】AC 选项结合导数的乘法运算法则即可判断；B 选项根据基本初等函数的求导公式即可判断；D 选项结合复合函数的求导法则即可判断.【详解】A 选项：因为()12212x x x x --'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭，所以222'⎛⎫=- ⎪⎝⎭x x ，故A 正确；B 选项：因为11221()2x x -''===B 正确；C 选项：因为()1ln x x '=，所以ln 1ln ln x a x a'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故C 正确； D 选项：因为()333cos 3sin 333sin 3222x x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππ，故D 错误；故选：ABC.10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e (1)x f x x -=⋅-，则（ ） A ．当0x <时，()e (1)x f x x =⋅+ B ．函数()f x 有2个零点C ．()0f x >的解集为(1,0)(1,)-⋃+∞D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -< 【答案】ACD【分析】根据奇函数关于原点对称，结合函数的单调性，通过图象，即可求解.【详解】②当0x <时，则->0x ，()()e 1xf x x -=⋅--,因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()()()e 1=e 1x xf x f x x x ⎡⎤=--=-⋅--⋅+⎣⎦，故A 对.②0x >时，令()()e 1=0xf x x -=⋅-,解得1x =，由()f x 是定义在R 上的奇函数，所以-1x =时()=0f x ，又(0)=0f ；故函数()f x 有3个零点，故B 不对.③0x >时，令()()e 1>0xf x x -=⋅-,解得1x >；0x <时，令()e (1)>0x f x x =⋅+，解得-1<0x <，故()0f x >的解集为(1,0)(1,)-⋃+∞，所以C 对.④当0x <时，()e (1)x f x x =⋅+，()e (2)x f x x '=⋅+，当-2<0x <时，0()>f x '，此时单调递增，当2x <-时，0()<f x '，此时单调递减，且当-x →∞时，()0f x →，-0x →时，()1f x →所以())2e ,1f x -⎡∈-⎣由()f x 是定义在R 上的奇函数，故当0x >时，()(21,e f x -⎤∈-⎦，因此对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，故D 对. 故选:ACD11．为提升学生劳动意识和社会实践能力，新华中学高二年级利用周末进行社区义务劳动．该校决定从高二年级共6个班中抽取20人组成社区服务队参加活动，其中6班有2个“劳动之星”，“劳动之星”必须参加且不占名额，每个班都必须有人参加，则（ ） A ．若6班不再抽取学生，则共有419C 种分配方法B ．若6班有除“劳动之星”外的学生参加，则共有519C 种分配方法 C ．若每个班至少有3人参加，则共有90种分配方法D ．若根据需要6班有4人参加，其余至少三人参加，则共有75种分配方案 【答案】AB【分析】AB 利用插空法求解判断；CD 利用分类计数原理求解判断.【详解】A.若6班不再抽取学生，则20个名额分配到5个班，且每个班至少1个，由插空法，将其分成5组，共有419C 种分配方法，故正确；B.若6班有除“劳动之星”外的学生参加，则20个名额分配到6个班，且每个班至少1个，由插空法，将其分成6组，则共有519C 种分配方法，故正确；C.若每个班至少有3人参加，相当于16个名额被占用，还有4个名额需要分配到6个班，分5类，第一类4个名额分到一个班，有6种，第二类一个班3个，一个班1个有26A 30= 种，第三类2个班都是2个名额则有2615C = 种,第四类2个班各1个名额，另一个班2个名额，则有1265C C 60= 种, 第五类4个班都是1个名额则有46C 15= 种,共有126种分配方法，故错误；D. 若根据需要6班有4人参加，其余至少三人参加，相当于17个名额被占用，还有3个名额需要分配到5个班，第一类3个名额分到一个班，有5种，第二类一个班2个，一个班1个有25A 20= 种，第三类3个班都是1个名额则有35C 10= 种,则共有35种分配方案，故错误； 故选：AB12．对于函数()ln f x x x =，下列判断正确的是（ ） A ．()1f x x ≤- B ．()()224f f '>'C ．当120x x >>时，()()()2212122m x x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则1mD ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】利用导数求出函数()()1g x f x x =-+的最小值，可判断A 选项；计算出()2f '、()4f '的值，可判断B 选项；分析可知函数()()22h x f x mx =-在()0,∞+上为减函数，可知ln 1+≥x m x对任意的0x >恒成立，利用导数法可判断C 选项的正误；分析可知直线2y a =与函数()ln 1x p x x+=在()0,∞+上的图象有两个交点（非切点），数形结合求出实数a 的取值范围，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，令()()1ln 1g x f x x x x x =-+=-+，其中0x >，()ln g x x '=，当01x <<时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增， 所以，()()10g x g ≥=，即()1f x x ≥-，A 错；对于B 选项，()ln 1f x x '=+，则()()222ln 22ln 42ln 414f f ''=+=+>+=，B 对；对于C 选项，由已知可得()()22112222f x mx f x mx -<-，构造函数()()2222ln h x f x mx x x mx =-=-，则()()12h x h x <，所以，函数()h x 在()0,∞+上为减函数，则()22ln 20h x x mx '=+-≤对任意的0x >恒成立，即ln 1+≥x m x对任意的0x >恒成立，令()ln 1x p x x +=，其中0x >，则()2ln x p x x'=-，令()0p x '=，可得1x =，列表如下：x()0,11()1,+∞()p x '+-()p x增 极大值 减所以，函数()p x 在1x =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 11p x p ==，则m 1≥，C 错；对于D 选项，()()22ln F x f x ax x ax x ==--，则()ln 12F x x ax '=+-，令()0F x '=，可得ln 12x a x+=， 则直线2y a =与函数()ln 1x p x x+=在()0,∞+上的图象有两个交点（非切点），如下图所示：当021a <<时，即当102a <<时，直线2y a =与函数()ln 1x p x x+=在()0,∞+上的图象有两个交点（非切点），D 对. 故选：BD. 三、填空题13．已知车轮旋转的角度θ（单位：rad ）与时间t （单位：s ）之间的关系为225()8t t πθ=，则车轮转动开始后第3.2s 时的瞬时角速度为_________rad/s ． 【答案】20π【分析】求导，然后将3.2代入导函数计算即可求出结果. 【详解】因为225()8t t πθ=，则25()4t t '=πθ，则25(3,2) 3.2204'=⨯=πθπ， 故答案为：20π.14．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2()sin '=+f x xf x π，则()f π'=________． 【答案】1【分析】求导以后令x π=，即可求出结果.【详解】因为()2()sin '=+f x xf x π，则()2()cos f x f x '+'=π， 令x π=，则()2()cos f f '=+'πππ，即()1f '=π， 故答案为：1.15．已知函数()e (1)ln(1)(1)x f x ax ax a x =---++，（e 为自然常数），若()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为_________． 【答案】(e,e 1]+【分析】由()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有意义，求得e a >，根据题意转化为()0f x '≥在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即e ln(1)10xa ax --+≥在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，设()e ln(1)1x g x a ax =--+，利用导数求得函数的单调性与最小值()1e ln(1)1g a a =--+，转化为e ln(1)10a a --+≥成立，设()e ln(1)1h a a a =--+，利用导数得到()h a 在(e,)+∞上单调递减，根据()e 10h +=，得到1a e ≤+，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有意义，则10ax ->在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，可得e a >，又由函数()e (1)ln(1)(1)x f x ax ax a x =---++，可得()e ln(1)1x f x a ax '=--+，因为函数()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即()0f x '≥在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即e ln(1)10x a ax --+≥在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，设()e ln(1)1xg x a ax =--+，可得()2e 1xa g x ax '=--，根据初等函数的性质，可得()g x '在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()()21e 01a g x g a '≤=-<-，所以()e ln(1)1xg x a ax =--+在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 且最小值为()1e ln(1)1g a a =--+，只需()10g ≥成立，即e ln(1)10a a --+≥成立，设()e ln(1)1h a a a =--+，其中e a >， 可得()01ah a a '=-<-，所以()e ln(1)1h a a a =--+在(e,)+∞上单调递减， 又由()e 10h +=，所以1a e ≤+， 综上可得，实数a 的取值范围是(e,e 1]+. 故答案为：(e,e 1]+. 四、双空题16．甲、乙、丙三位教师指导五名学生a 、b 、c 、d 、e 参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生．若每位教师至多指导两名学生，则共有________种分配方案；若教师甲只指导一名学生，则共有_______种分配方案． 【答案】 90 70【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分成3组，人数分别为(2，2，1)，②将分好的三组，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析：①从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，②剩下4名学生分成2组，安排其余两位教师辅导，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分成3组，人数分别为(2，2，1)，有225322C C15A =种分组方法，②将分好的三组全排列，安排给三位教师，有33A 6=种情况，则有15690⨯=种分配方案； （2）根据题意，分2步进行分析：①从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，有5种情况，②剩下4名学生分成2组，安排其余两位教师辅导，有2232424222(C 4C C )A 1A +⨯=种情况， 则有51470⨯=种分配方案． 故答案为：90；70 五、解答题17．已知2x =是函数32()81=--+f x x ax x 的一个极值点． (1)求实数a 的值；(2)求函数()f x 在区间[4,3]-上的最大值和最小值． 【答案】(1)1a =(2)max min 203(),()4727f x f x ==- 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意(2)0f '=，即可得到方程，解得即可，再检验即可；（2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的极值，再计算出区间端点值，即可得到函数在闭区间上的最值；【详解】(1)解：因为32()81=--+f x x ax x ，所以2()328f x x ax =--' 因为2x =是()f x 的一个极值点． 所以(2)0f '=，所以(2)12480='=--f a ，∴1a =，经检验，1a =符合题意． (2)解：由（1）可知32()81=--+f x x x x ，∴()(2)(34)=-'+f x x x令()0f x '>，解得43x <-或2x >，令()0f x '<，解得423x -<<，因为[4,3]x ∈-，所以()f x 在44,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，423,⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，(2,3)上单调递增，所以()f x 在43x =-处取得极大值，在2x =处取得极小值，又因为(4)47f -=-，4203327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，(2)11f =-，(3)5f =-，所以max 203()27f x =，min ()47f x =-．18．已知函数()2ln f x x x =-． (1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)设()()(2),0g x f x a x a =+->，若(0,]x e ∈时，()g x 的最小值是2，求实数a 的值（e 是自然对数的底数）．【答案】(1)单调增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.当12x =时，()f x 取得极小值且为1()1ln 22f =+，无极大值．(2)实数a 的值是e .【分析】（1）求出()f x 的定义域，令导函数大于0，小于0，即可得函数()f x 的单调区间，再由极值的定义即可求得极值.（2）求出()g x 的导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用()g x 的最小值是2，即可求出a 的值.【详解】(1)()f x 定义域是121(0,),()2'-+∞=-=x f x x x，当()0f x '>时，12x >，当()0f x '<时，102x <<， 所以()f x 的单调增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.当12x =时，()f x 取得极小值且为1()1ln 22f =+，无极大值．(2)因为()()(2)ln =+-=-g x f x a x ax x ，所以11()ax g x a x x'-=-=， 当1e a≥，即10e a <≤时，()0g x '≤，所以()g x 在(0,e]上递减，所以()min ()1e 2e g x g a ==-=，解得3ea =（舍去），当10e a <<，即1e >a 时，当10x a<<时，()0g x '<，当1e x a <<时，()0g x '>，所以()min 11ln 2g x g a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得e a =．满足条件，综上，实数a 的值是e ．19．（1）计算：3477747842+-A A A A ．（2）已知56711710m m m C C C -=，求1236678++++++m m m m C C C C 的值． 【答案】（1）34；（2）126.【分析】（1）根据排列数的计算公式即可得解； （2）根据组合数的计算公式即可得解.【详解】（1）347774784247652765476543218765+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯A A A A 76543123765(43218)164⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯-．（2）由56711710m m m C C C -=可得!(5)!!(6)!7(7)!5!6!107!--⨯⨯--=⨯m m m m m m 即!(5)!(6)(5)!7(7)(6)(5)!5!65!10765!-⨯-⨯-⨯⨯----=⨯⨯⨯⨯m m m m m m m m m ， 可得(6)(7)(6)16106----=⨯m m m ，整理可得：223420m m -+=， 解得2m =或21m =，因为05m ≤≤，可得2m =，所以23453454556678778889126+++=++=+==C C C C C C C C C C ．20．已知函数()cos sin f x x x x =-． (1)当(0,2]x π∈时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若01b ≤≤，证明：当(0,]x π∈时，()cos sin ≤-f bx bx bx b x ．【答案】(1)函数()f x 在(0,]π上单调递减，函数()f x 在(,2]ππ上单调递增 (2)证明见解析【分析】（1）对函数()f x 求导后，；易得0x -<；又()0,x π∈时，sin 0x >，(),2x ∈ππ时，sin 0x <；结合判断()f x '在(]0,2π的符号情况，得到单调性；（2）欲证()cos sin ≤-f bx bx bx b x 即证sin sin 0-≥bx b x ；先讨论当0b =，1b =，显然式子成立；再讨论01b <<，则0bx x π<<≤，所以sin sin 0->bx b x 等价于sin sin 0bx b x bx bx ->，即证明sin sin bx xbx x >，构造函数sin (),(0,]=∈x g x x xπ，利用导数讨论()g x 的单调性，得出sin sin x bxx bx<即可. 【详解】(1)()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-，当(0,]x π∈时，()0f x '≤，所以函数()f x 在(0,]π上单调递减； 当(,2]x ππ∈时，()0f x '≥，所以函数()f x 在(,2]ππ上单调递增． (2)()cos sin =-f bx bx bx bx ，所以不等式化为cos sin cos sin -≤-bx bx bx bx bx b x ， 即证sin sin 0-≥bx b x ，当0b =，1b =时上述不等式显然成立． 当01b <<时，令sin (),(0,]=∈x g x x x π，则2cos sin ()x x xg x x -'=， 由（1）知函数()cos sin f x x x x =-在(0,]π上单调递减，而(0)0f =， 所以()cos sin (0)0=-<=f x x x x f ，所以()0g x '<，所以函数()g x 在(0,]π上单调递减， 又0bx x π<<≤，所以sin sin x bx x bx<，所以sin sin bx b x >，即sin sin 0->bx b x ． 综上，当(0,]x π∈时，()cos sin ≤-f bx bx bx b x ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不不等式，等价转化的数学思想、同构的数学思想等知识，属于中等题，常用方法有如下几种：方法一:等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略；方法二:比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明；方法三:利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立，本题欲证sin sin 0-≥bx b x 的关键在于对不等式作等价转换；因为0bx >，同时除以bx ，转换为：sin sinx bxx bx<不等式的证明. 21．自动着陆系统是引导航空器着陆的自动控制系统，是自动化飞行的重要标志，对飞行器的安全性起着重要的作用．在研制自动着陆系统时，技术人员需要分析研究飞行器的降落曲线．如图一飞行器水平飞行的着陆点为原点O ，已知航空器开始降落时的飞行高度为4.5km ，水平飞行速度为360km/h ，且在整个降落过程中水平速度保持不变．出于安全考虑，飞行器垂直加速度的绝对值不得超过110g （此处210m/s g ≈是重力加速度）．若飞行器在与着陆点的水平距离是0x 时开始下降，飞行器的降落曲线是某三次多项式函数的一部分，飞行器整个降落过程始终在同一个平面内飞行，且飞行器开始降落和落地时降落曲线均与水平方向的直线相切．(1)求飞行器降落曲线的函数关系式；(2)求开始下降点0x 30 5.4761≈）． 【答案】(1)[]3203200900013500(),0,=-+∈f x x x x x x x (2)开始下降点0x 所能允许的最小值为16428m【分析】(1)根据题意列方程，求出函数()f x 的解析式；(2)根据相应的物理知识以及题目所给的限定条件即可求出0x 的最小值. 【详解】(1)由于飞行器的若陆点为原点O ，故可设飞行器的降落曲线为32()f x ax bx cx =++，根据题意得()()()004500000f x f f x ⎧=⎪=⎨⎪='⎩' 所以3200020045000320ax bx cx c ax bx c ⎧++=⎪=⎨⎪++=⎩， 解得30209000013500a x c b x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，飞行器降落曲线的函数关系式为[]3203200900013500(),0,=-+∈f x x x x x x x ； (2)设飞行器经过降落时间t 后与若陆点的水平距离为00=-x x v t （0v 为水平速度， 且0360km /h 100m /s ==v ）， 则()()320000032000900013500,0,⎡⎤=--+-∈⎢⎥⎣⎦x y x v t x v t t x x v ， 所以垂直下降速度()22000327000()==-'v v t y v t x t x ， 所以垂直下路加速度()()2220000000320002700027000()2,0,'⎡⎤⎡⎤=-=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣'⎦v v x v t v t x t v t x t x x v ， 所以飞行器的垂直加速度绝对值的最大值为2002max0027000()⎛⎫== ⎪⎝''⎭x v v t v v x ， 所以()22002027000100m /s,10m /s 10≤=≈v gv g x，解得016428m ≥≈x ， 所以飞行器开始下降点0x 所能允许的最小值为16428m ； 综上，[]3203200900013500(),0,=-+∈f x x x x x x x ，0x 所能允许的最小值为16428m . 22．已知函数()()2e 2e x xf x k k x =+--．(1)若函数()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线与y 轴垂直，求实数k 的值和()f x 的极值； (2)当0k >时，若函数()f x 有两个零点，求实数k 取值得范围． 【答案】(1)1k =，()0f x =极小，无极大值； (2)(0,1)【分析】（1）首先利用切线与y 垂直得出斜率为0，利用导数的几何意义得出方程式，求出k ，再根据导函数的正负得出原函数的增减以及极值情况.（2）根据函数的单调性求出最小值，再判断最小值与0的大小关系，可确定函数与x 轴的交点情况，即是函数的零点，找出有两个零点的k 的取值范围.【详解】(1)函数()f x 的定义域为R ，()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x xf x k k k =+--=-+'，由题意知(0)0f '=，得10k -=，所以1k =．所以()()()e 12e 1x xf x =-+'，当0x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当0x <时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当0x =时，函数()f x 取得极小值，()0f x =极小，无极大值．(2)由（1）知()()()e 12e 1x xf x k =-+'，由题设知0k >，当ln x k >-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当ln x k <-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当ln x k =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln -=-+f k k k． ①当1k =时，由于(ln )0-=f k ，故()f x 只有一个零点； ②当1k >时，由于11ln 0-+>k k，即(ln )0->f k ，故()f x 没有零点； ③当01k <<时，11ln 0-+<k k，即(ln )0-<f k ， 又()()4222e 2e 22e 20f k k ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )-∞-k 有一个零点．设正整数0n 满足03ln 1⎛⎫>- ⎪⎝⎭n k ，则()()00000000e e 2e 20n n n nf n k k n n n =+-->->->，由于3ln 1ln ⎛⎫->- ⎪⎝⎭k k ，所以()f x 在(ln ,)-+∞k 有一个零点．综上，k 的取值范围为(0,1)．。
2020-2021学年菏泽市十校高二下学期期中数学试卷(B卷)(附答案详解)
2020-2021学年菏泽市十校高二下学期期中数学试卷(B卷)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.从6名同学中选出2名参加某一项活动，有()种不同的选法．A. 30B. 36C. 15D. 402.若离散型随机变量X的分布列如下表，则a=()．X01P2a0.6A. 110B. 15C. 13D. 123.下列说法中正确的是()A. 设随机变量X～N(10,0.01)，则P(X>10)=12B. 线性回归直线不一定过样本中心点(x,y)C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D. 先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150，……的学生，这样的抽样方法是分层抽样4.若(1−x)2019=a0+a1(x+1)+⋯+a2019(x+1)2019，x∈R，则a1⋅3+⋯+a2019⋅32019的值为()A. −1−22019B. −1+22019C. 1−22019D. 1+220195.一慈善机构为筹集善款决定组织一场咅乐会．为筹备这场音乐会，必须完成A，B，C，D，E，F，G七项任务，每项任务所需时间及其关系(例如：E任务必须在A任务完成后才能进行)如表所示：任务A B C D E F G所需时间/周2143212前期任务无要求无要求无要求A，B，C A A，B，C，D，E A，B，C，D，E 则完成这场音乐会的筹备工作需要的最短时间为()A. 8周B. 9周C. 10周D. 12周6. 已知，，则()A.B.C.D.7. 在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中，含x 4项的系数是等差数列a n =3n −5的( )A. 第2项B. 第11项C. 第20项D. 第24项8. 甲盒子装有3个红球，1个黄球，乙盒中装有1个红球，3个黄球，同时从甲乙两盒中取出i(i =1,2,3)个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为E 1(i)，E 2(i)则以下结论错误的是( )A. E 1(1)>E 2(1)B. E 1(2)=E 2(2)C. E 1(1)+E 2(1)=4D. E 1(3)<E 2(1)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果( )A. 4只鞋子没有成双的种数为3360B. 4只鞋子恰有两双的种数为45C. 4只鞋子有2只成双，另2只不成双的种数为1440D. 4只鞋子来自于2双的概率为2310. 某位同学10次考试的物理成绩y 与数学成绩x 如表所示：数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 物理成绩y 80 87 75 a 100 79 93 68 85 77 参考数据：∑x i 10i=1=800．已知y 与x 线性相关，且y 关于x 的回归直线方程为y ̂=1.1x −5，则下列说法正确的是( )A. a =86B. y 与x 正相关C. y 与x 的相关系数为负数D. 若数学成绩每提高5分，则物理成绩估计能提高5.5分11. 已知随机变量X 的取值为不大于n(n ∈N ∗)的非负整数，它的概率分布列为：X 0 1 2 3 … n p p 0 p 1 p 2 p 3 … p n其中p i (i =0,1,2,3,…,n)满足p i ∈[0,1]，且p 0+p 1+p 2+⋯+p n =1．定义由X生成的函数f(x)=p0+p1x+p2x2+p3x3+⋯+p i x i+⋯+p n x n，g(x)为函数f(x)的导函数，E(X)为随机变量X的期望.现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为f1(x)，则()A. E(X)=g(2)B. f1(2)=152C. E(X)=g(1) D. f1(2)=225412. 若(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8且a1+a2+⋯+a8=255，则实数m的值可以为()A. −3B. −1C. 0D. 1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 一种汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，且2个英文字母不能相同，不同牌照号码的个数是______．14. 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有______种．15. 已知x、y取值如下表：x01456y 1.3m3m 5.67.4画散点图可知：y与x线性相关，且求得回归方程为=+1，则m的值为________(精确到0.1)．16. 已知(1+x)(2−x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a3=______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知的展开式的二项式系数和比的展开式的系数和大992，求的展开式中：①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项。
2022-2023学年山东省菏泽市高二(下)期中数学试卷(A卷)【答案版】
2022-2023学年山东省菏泽市高二（下）期中数学试卷（A 卷）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 1．已知函数f （x ）在x ＝﹣1处可导，且f '（﹣1）＝﹣3，则lim x→0(f(−1)−f(−1+△x)3△x)=（ ） A ．﹣3 B ．﹣1C ．1D ．32．正弦型曲线y ＝sin （x +π6）在点（π6，√32）处的切线斜率是（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√323．下列求导运算正确的是（ ） A ．（1x ）′=1x 2B ．（ln 2）′=12C ．（xe x ）′＝（1﹣x ）e xD ．（x 2﹣cos x ）′＝2x +sin x4．为提升学生的数学素养，某中学特开设了“数学史”、“数学建模”、“古今数学思想”、“数学探究”、“中国大学先修课程微积分学习指导”五门选修课程，要求每位同学每学年至多选四门，高一到高二两学年必须将五门选修课程选完，则每位同学不同的选修方式为（ ） A ．30B ．20C ．15D ．105．已知函数f （x ）=(x+1)2+sinxx 2+1，其导函数记为f '（x ），则f '（2023）﹣f '（﹣2023）＝（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．26．已知f （x ）在R 上是可导函数，f （x ）的图像如图所示，则不等式（x 2﹣x ﹣6）f '（x ）＜0的解集为（ ）A ．（﹣2，0）∪（2，3）B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）∪（3，+∞）C ．（﹣2，﹣1）∪（1，3）D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）∪（2，+∞）7．如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ．F 六个点涂色，求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）A ．360种B ．264种C ．192种D ．144种8．已知函数f （x ）＝xe x ﹣x ﹣lnx ﹣3m 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∝，13）B ．（﹣∝，23）C ．（13，+∝）D ．（13−，+∝）二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分 9．已知函数f （x ）=xe x ，则下列说法正确的是（ ） A ．f ’（0）＝1B ．f （x ）的最大值是eC ．f （x ）=1e 2有两个不等实根D ．3e 4＜4e 310．在1，2，3，…，10中随机选出两个不同的数字a ，b ，则（ ） A ．a +b 被3整除的概率为13B ．a +b 被3整除的概率为29C ．a 2+b 被3整除的概率为415D ．a 2+b 被3整除的概率为31011．已知函数f （x ）＝﹣x 3+mx 2+nx +p 在（﹣∞，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，则下列说法正确的是（ ） A ．n ＝0B ．若f （1）＝1，则f （2）≥−52C ．若函数f （x ）的图象关于点（1，f （1））中心对称，则m ＝﹣3D ．当p ＝0时，曲线y ＝f （x ）过原点的切线有且仅有两条 12．现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（ ）A ．若6个相同的小球放入编号为1234的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法B ．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种C ．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种D ．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有384种 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线f （x ）＝﹣x 2+2x 在点（0，0）处的切线方程为 ．14．若f （x ）是函数f （x ）的导函数，且（f ′（x ））2+（f （x ））2＝1，那么f （x ）＝ .（写出一个即可）15．函数y ＝x 2（x ＞0）的图像在点（a n ，a 2n ）处的切线与x 轴交点的横坐标为a n +1，n ∈N *，且a 1＝32，则a 2+a 4+a 6＝ ．16．全民运动会开幕式上，25名运动员需要排列成5×5方队入场，现从中选三人，要求这三人既不在同一行也不在同一列，则不同的选法有 种．（用数字作答）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）（1）解不等式：2A x+13≤3A x+22+6A x+12，x ∈N *；（2）已知1C 5m −1C 6m =710C 7m ，求m 的值．18．（12分）已知函数f （x ）的导数为f ′（x ），而且f （x ）＝x 2+2xf ′（12）． （1）求f ′（12）；（2）若l 是曲线y ＝f （x ）的切线，且经过点（2，﹣1），求l 的方程．19．（12分）某活动主办方要从七名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作． （1）若七名志愿者站成一排合影，甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有多少种？（2）若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余五人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有多少种？20．（12分）已知函数f （x ）＝x 3﹣3ax 2+3． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）是否存在正实数a ，使得函数f （x ）在区间[0，1]上的最小值为﹣1？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．21．（12分）经过市场调查，某小微企业计划生产一款小型电子产品已知生产该产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本P （x ）万元当年产量小于9万件时，P （x ）=14x 2+2x （万元）；当年产量不小于9万件时，P （x ）＝6x +lnx +e 3x−22（万元）每件产品售价为6元，假若该企业生产的电子产品当年能全部售完．（1）写出年利润Q （x ）（万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该企业的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（参考数据：e 3＝20）22．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +2x+1−1． （1）当a =38时，求函数f （x ）的极值；（2）若g （x ）＝a （x 2﹣1）lnx ﹣（x ﹣1）2（a ≠0）有三个零点x 1，x 2，x 3，其中x 1＜x 2＜x 3． （i ）求实数a 的取值范围；（ii ）求证：（1﹣3a ）（x 1+x 3）＞﹣1．2022-2023学年山东省菏泽市高二（下）期中数学试卷（A 卷）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 1．已知函数f （x ）在x ＝﹣1处可导，且f '（﹣1）＝﹣3，则lim x→0(f(−1)−f(−1+△x)3△x)=（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．1 D ．3解：函数f （x ）在x ＝﹣1处可导，且f '（﹣1）＝﹣3， lim x→0(f(−1)−f(−1+△x)3△x )=−13x →0lim f(−1+△x)−f(−1)△x =−13f′(−1)=1． 故选：C ．2．正弦型曲线y ＝sin （x +π6）在点（π6，√32）处的切线斜率是（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√32解：由y ＝sin （x +π6），得y ′＝cos （x +π6），∴y ′|x=π6=cos π3=12．故选：B ．3．下列求导运算正确的是（ ） A ．（1x ）′=1x 2B ．（ln 2）′=12C ．（xe x ）′＝（1﹣x ）e xD ．（x 2﹣cos x ）′＝2x +sin x解：A 对于A ，(1x)′=−1x 2，故A 错误； 对于B ，（ln 2）'＝0，故B 错误； 对于C ，（xe x ）'＝x +xe x ，故C 错误， 对于D ，x 2﹣cos x ）′＝2x +sin x ，故D 正确． 故选：D ．4．为提升学生的数学素养，某中学特开设了“数学史”、“数学建模”、“古今数学思想”、“数学探究”、“中国大学先修课程微积分学习指导”五门选修课程，要求每位同学每学年至多选四门，高一到高二两学年必须将五门选修课程选完，则每位同学不同的选修方式为（ ） A ．30B ．20C ．15D ．10解：将五门课程分为两组，每组的数量分别为1、4或2、3， 然后将这两组课程分配给高一、高二两个学年，所以，每位同学不同的选修方式种数为（C 51+C 52）A 22=30．故选：A ．5．已知函数f （x ）=(x+1)2+sinxx 2+1，其导函数记为f '（x ），则f '（2023）﹣f '（﹣2023）＝（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2解：f （x ）=(x+1)2+sinx x 2+1=1+2x+sinxx 2+1，设g （x ）=2x+sinxx 2+1，显然g （x ）为奇函数，则g '（x ）为偶函数，即f '（x ）为偶函数， 故f '（2023）﹣f '（﹣2023）＝f '（2023）﹣f '（2023）＝0． 故选：B ．6．已知f （x ）在R 上是可导函数，f （x ）的图像如图所示，则不等式（x 2﹣x ﹣6）f '（x ）＜0的解集为（ ）A ．（﹣2，0）∪（2，3）B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）∪（3，+∞）C ．（﹣2，﹣1）∪（1，3）D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）∪（2，+∞）解：观察函数f （x ）的图象知，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），递减区间为（﹣1，1），因此不等式f ′（x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），f ′（x ）＜0的解集为（﹣1，1）， 不等式 （x 2﹣x ﹣6）f ′（x ）＜0， {f ′(x)＜0x 2−x −6＞0，无解， {f ′(x)＞0x 2−x −6＜0，解得x ∈（﹣2，﹣1）∪（1，3）． 故选：C ．7．如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ．F 六个点涂色，求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（ ）A ．360种B ．264种C ．192种D ．144种解：若4种颜色都用到，先给A 、B 、C 三点涂色，有A 43=24种涂法，再给D 、E 、F 涂色，因为D 、E 、F 中必有一点用到第4种颜色，有C 31=3种涂法，另外两点用到A 、B 、C 三点所用颜色中的两种，有C 32=3种涂法，由乘法原理得24×3×3＝216种；若只用3种颜色，先给A 、B 、C 三点涂色，有A 43=24种涂法， 再给D 、E 、F 涂色，因为D 点与A 点不同色，有2种涂法，若D 点与B 点同色，则F 与C 、D 不同色，有1种涂法，此时E 有1种涂法； 若D 点与C 点同色，则E 与B 、D 不同色，有1种涂法，此时F 有1种涂法． 由乘法原理得24×（1×1+1×1）＝48种； 所以，不同的涂色方法共有216+48＝264种． 故选：B ．8．已知函数f （x ）＝xe x ﹣x ﹣lnx ﹣3m 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∝，13）B ．（﹣∝，23）C ．（13，+∝）D ．（13−，+∝）解：已知f （x ）＝xe x ﹣x ﹣lnx ﹣3m ，令f （x ）＝0，可得xe x ﹣x ﹣lnx ﹣3m ＝0，所以xe x ﹣x ﹣lnx ＝3m ， 不妨设h （x ）＝xe x ﹣x ﹣lnx ＝e x +lnx ﹣（x +lnx ），函数定义域为（0，+∞）， 不妨设t ＝x +lnx ，函数定义域为（0，+∞）， 可得t '＝1+1x＞0，函数t 单调递增， 当x →0时，t →﹣∞；当x →+∞时，t →+∞， 所以t ∈（﹣∞，+∞），不妨设y ＝e t ﹣t ，可得y '＝e t ﹣1， 当t ＜0时，y '＜0；当t ＞0时，y '＞0，即y ＝e t ﹣t 在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间 （0，+∞） 上单调递增， 所以y ＝e t ﹣t ≥e 0﹣0＝1，且当t →﹣∞时，y →+∞；当t →+∞时，y →+∞， 又函数f （x ）＝xe x ﹣x ﹣lnx ﹣3m 有两个不同的零点， 所以3m ＞1，即m ＞13． 故选：C ．二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分 9．已知函数f （x ）=xe x ，则下列说法正确的是（ ）A ．f ’（0）＝1B ．f （x ）的最大值是eC ．f （x ）=1e 2有两个不等实根D ．3e 4＜4e 3解：对于选项A ，已知f(x)=xe x ，函数定义域为R ， 可得f ′(x)=e x −xe x (e x )2=1−xe x ，所以f ′（0）＝1，故选项A 正确；对于选项B ，因为f ′(x)=1−xe x， 当x ＜1时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ＞1时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （x ）在x ＝1处有最大值f(1)=1e ，故选项B 错误； 对于选项C ，当f(x)=1e 2时，可得x e x =1e2，此时x ＞0，整理得e 2x ＝e x ，即ln （e 2x ）＝ln （e x ）， 所以ln （e 2）+lnx ＝ln （e x ），即2+lnx ＝x ，整理得2+lnx ﹣x ＝0， 不妨设g （x ）＝2+lnx ﹣x ，函数定义域为（0，+∞）， 可得g ′(x)=1x −1=1−xx， 当0＜x ＜1时，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增； 当x ＞1时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减， 所以g （x ）在x ＝1处有最大值g （1）＝1＞0， 则存在x 1∈（1，+∞），使得g （x 1）＝0， 又g （1e2）＝2+ln 1e 2−1e 2=2+ln （e ﹣2）−1e 2=2+（﹣2）−1e 2=−1e 2＜0， 则存在x 2∈（1e 2，1），使得g （x 2）＝0，所以方程f （x ）=1e 2有两个不等实根x 1，x 2，故选项C 正确； 对于选项D ，因为f （x ）在（1，+∞）单调递减，所以f （3）＞f （4），即3e3＞4e 4，则3e 4＞4e 3，故选项D 错误． 故选：AC ．10．在1，2，3，…，10中随机选出两个不同的数字a ，b ，则（ ） A ．a +b 被3整除的概率为13B ．a +b 被3整除的概率为29C ．a 2+b 被3整除的概率为415D ．a 2+b 被3整除的概率为310解：在1，2，3，…，10中，被3整除的有3个，被3除余1的有4个，被3除余2的有3个，在1，2，3，…，10中随机选出两个不同的数字 a ， b ，基本事件总数n =A 102=90种， a +b 被3整除，则a ，b 都能被3整除或一个被3除余1，一个被3除余2，共A 32+C 41C 31A 22=30种选法，a +b 被3整除的概率为3090=13，故A 选项正确，B 选项错误；在1，2，3，…，10中选出数字 a ，当 a 被3整除，有a 2被3整除，其余情况a 2被3除余1，则a 2被3整除的3个，被3除余1的有7个，a 2+b 被3整除，则a 2，b 都能被3整除或a 2被3除余1且b 被3除余2，共A 32+C 41C 31+C 31C 21=24种选法，a 2+b 被3整除的概率为2490=415，故C 选项正确，D 选项错误．故选：AC ．11．已知函数f （x ）＝﹣x 3+mx 2+nx +p 在（﹣∞，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，则下列说法正确的是（ ） A ．n ＝0B ．若f （1）＝1，则f （2）≥−52C ．若函数f （x ）的图象关于点（1，f （1））中心对称，则m ＝﹣3D ．当p ＝0时，曲线y ＝f （x ）过原点的切线有且仅有两条解：对于A 选项，因为函数f （x ）＝﹣x 3+mx 2+nx +p 在（﹣∞，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数， 则x ＝0为函数f （x ）的极小值点，且f '（x ）＝﹣3x 2+2mx +n ， 所以，f ′（0）＝n ＝0，则f '（x ）＝﹣3x 2+2mx ， 由f ′（x ）＝0可得x ＝0或x =2m 3， 由题意可知，f ′（x ）≥0在[0，1]上恒成立， 所以，2m 3＞1，则m ≥32，A 对；对于B 选项，因为f （x ）＝﹣x 3+mx 2+p ，则f （1）＝m +p ﹣1＝1，可得p ＝2﹣m ， 所以，f(2)=4m +p −8=4m +2−m −8=3m −6≥92−6=−32≥−52，B 对； 对于C 选项，若函数f （x ）的图象关于点（1，f （1））对称， 则f （1﹣x ）+f （1+x ）＝2f （1），且 f （1﹣x ）+f （1+x ）＝﹣（1﹣x ）3+m （1﹣x ）2+p ﹣（1+x ）3+m （1+x ）2+p ＝（2m ﹣6）x 2+2m +2p ﹣2，又因为f （1）＝m +p ﹣1，所以（2m ﹣6）x 2+2m +2p ﹣2＝2m +2p ﹣2，解得m ＝3，C 错；对于D 选项，当p ＝0时，f （x ）＝﹣x 3+mx 2，若m ＝0，则f （x ）＝﹣x 3，在R 上单调递减，不符合题意，故m ≠0， 则f '（x ）＝﹣3x 2+2mx ，（m ≠0）， 设切点坐标为 （t ，﹣t 3+mt 2），（m ≠0），故切线方程为y +t 3﹣mt 2＝（2mt ﹣3t 2）（x ﹣t ），（m ≠0）， 将原点坐标代入切线方程可得t 3﹣mt 2＝3t 2﹣2mt 2，（m ≠0）， 即2t 3﹣mt 2＝0，（m ≠0），解得t ＝0或m2，故当p ＝0时，曲线y ＝f （x ）过原点的切线有且仅有两条，D 对． 故选：ABD ．12．现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是（ ）A ．若6个相同的小球放入编号为1234的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法B ．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种C ．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种D ．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有384种 解：对于A 选项，若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空， 只需在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入3块板即可，所以，不同的放法种数为C 53=10种，A 错；对于B 选项，若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，先要指定空盒的编号，有4种情况，然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可，所以，不同的放法种数为4C 52=40种，B 对；对于C 选项，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有4种情况， 然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为1、2、3或4、1、1或2、2、2，然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子中， 所以，不同的放法种数为4（C 61C 52C 33+C 64+C 62C 42C 22A 33）A 33=2160种，C 对；对于D 选项，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，先要指定空盒的编号，有C 42=6种情况，然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为1、5或2、4或3、3， 然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中，所以，不同的放法种数为C 42（C 61+C 62+C 63C 33A 22）A 22=372种，D 错．故选：BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线f （x ）＝﹣x 2+2x 在点（0，0）处的切线方程为 y ＝2x ． 解：∵f （x ）＝﹣x 2+2x ，∴f '（x ）＝﹣2x +2，∴f '（0）＝2，∴y ＝f （x ）在点（0，0）处的切线方程为：y ﹣0＝2×（x ﹣0），即y ＝2x ． 故答案为：y ＝2x ．14．若f （x ）是函数f （x ）的导函数，且（f ′（x ））2+（f （x ））2＝1，那么f （x ）＝ sin x .（写出一个即可）解：当f （x ）＝sin x 时，f ′（x ）＝cos x ，而（f ′（x ））2+（f （x ））2＝sin 2x +cos 2x ＝1，满足题意． 故答案为：sin x （答案不唯一）．15．函数y ＝x 2（x ＞0）的图像在点（a n ，a 2n ）处的切线与x 轴交点的横坐标为a n +1，n ∈N *，且a 1＝32，则a 2+a 4+a 6＝ 21 ．解：y ′＝2x ，点（a n ，a 2n ）的切线方程为y ﹣a 2n ＝2a n （x ﹣a n ）， 所以有﹣a 2n ＝2a n （a n +1﹣a n ），即a n +1=12a n ，所以{a n }是以12为公比的等比数列，a 2＝16，a 4＝4，a 6＝1，a 2+a 4+a 6＝21，故答案为：21．16．全民运动会开幕式上，25名运动员需要排列成5×5方队入场，现从中选三人，要求这三人既不在同一行也不在同一列，则不同的选法有 600 种．（用数字作答）解：从5列中选择3列的选法种数为C 53=10种，从某一列中任选一个人甲有5种结果，从另一列中选一个与甲不同行的人乙有4种结果， 从剩下一列中选一个与甲、乙都不同行的丙有3种结果， 根据分步乘法计数原理可知，共有10×5×4×3＝600种． 故答案为：600．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）（1）解不等式：2A x+13≤3A x+22+6A x+12，x ∈N *；（2）已知1C 5m −1C 6m =710C 7m ，求m 的值．解：（1）2A x+13≤3A x+22+6A x+12，x ∈N *，则2x （x +1）（x ﹣1）≤3（x +2）（x +1）+6x （x +1），化简整理可得，2x 2﹣11x ﹣6≤0，解得−12≤x ≤6，又∵{x +1≥3x +2≥2x +1≥2，解得x ≥2，∴2≤x ≤6，∵x ∈N *，∴原不等式的解集为{2，3，4，5，6}；（2）∵1C 5m −1C 6m =110C 7m ， ∴m!(5−m)!5!−m!(6−m)!6!=710m!(7−m)!7!，化简整理可得，m 2﹣23m +42＝0，解得m ＝2或m ＝21（舍去），故m ＝2．18．（12分）已知函数f （x ）的导数为f ′（x ），而且f （x ）＝x 2+2xf ′（12）． （1）求f ′（12）； （2）若l 是曲线y ＝f （x ）的切线，且经过点（2，﹣1），求l 的方程．解：（1）∵函数f （x ）的导数为f ′（x ），而且f （x ）＝x 2+2xf ′（12）． ∴f ′（x ）＝2x +2f ′（12）， ∴f ′（12）＝2×12+2f ′（12），可得f ′（12）＝﹣1； （2）由（1）可得：f （x ）＝x 2﹣2x ，f ′（x ）＝2x ﹣2，设切点坐标为（x 0，y 0），由已知得f '（x 0）＝k 切＝2x 0﹣2，且y 0=x 02−2x 0，切线方程为：y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），即y ﹣（x 02−2x 0）＝（2x 0﹣2）（x ﹣x 0），将（2，﹣1）代入得x 02−4x 0+3＝0，解得x 0＝1或x 0＝3，因此切点为（1，﹣1）或（3，3），求得切线方程为：y +1＝0或y ﹣3＝4（x ﹣3），即直线l 的方程为：y +1＝0或4x ﹣y ﹣9＝0．19．（12分）某活动主办方要从七名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作．（1）若七名志愿者站成一排合影，甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有多少种？（2）若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余五人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有多少种？解：（1）合影的7个位置先安排除甲乙丙之外的4人，然后再安排甲乙丙3人，丙在中间，甲乙在两边，共有A 74A 22=1680 种不同的排法．（2）根据题意，分三种情况讨论：1°若选派的四人中既有甲又有乙，分为甲从事导游和不从事导游两类，此时的选派方法共有C52(A33+C21C21_A22)=140，2°若选派的四人中恰有甲乙中的1人，此时的选派方法有2C31A53=360，3°若选派的四人中既没有甲又没有乙，此时的选派方法有A54=120．综上，不同的选派方法共有140+360+120＝620种．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+3．（1）讨论f（x）的单调性；（2）是否存在正实数a，使得函数f（x）在区间[0，1]上的最小值为﹣1？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可得f'（x）＝3x2﹣6ax，当a＝0时，f'（x）＝3x2≥0恒成立，所以f（x）在R上单调递增；当a＜0时，2a＜0，令f′（x）＝3x（x﹣2a）＞0，解得x＞0或x＜2a，令f′（x）＜0，解得2a＜x＜0，所以f（x）在（﹣∞，2a），（0，+∞）上单调递增，在（2a，0）上单调递减；当a＞0时，2a＞0，令f′（x）＞0，解得x＞2a或x＜0，令f′（x）＜0解得0＜x＜2a，所以f（x）在（﹣∞，0），（2a，+∞）上单调递增，在（0，2a）上单调递减．（2）存在正实数a，使得函数f（x）在区间[0，1]上的最小值为﹣1．由（1）知，当a＞0时，函数f（x）在（2a，+∞）上单调递增，在（0，2a）上单调递减，①当2a≥1，即a≥12时，f（x）在区间[0，1]上单调递减，所以f（x）min＝f（1）＝1﹣3a+3＝﹣1，解得a=53，②当0＜2a＜1，即0＜a＜12时，f（x）在[0，2a）上单调递减，在[2a，1]上单调递增，所以f（x）min＝f（2a）＝8a3﹣12a3+3＝﹣1，解得a＝1，与0＜a＜12矛盾，舍去，综上可知，存在正实数a=53，使得函数f（x）在区间[0，1]上的最小值为﹣1．21．（12分）经过市场调查，某小微企业计划生产一款小型电子产品已知生产该产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本P（x）万元当年产量小于9万件时，P（x）=14x2+2x（万元）；当年产量不小于9万件时，P （x ）＝6x +lnx +e 3x −22（万元）每件产品售价为6元，假若该企业生产的电子产品当年能全部售完．（1）写出年利润Q （x ）（万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该企业的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（参考数据：e 3＝20）解：（1）∵每件产品售价为6元，则x 万件商品销售收入为6x 万元，由题意可得，当0＜x ＜9时， Q （x ）＝6x ﹣2﹣P （x ）＝6x ﹣2﹣（14x 2+2x ）=−14x 2+4x ﹣2， 当x ≥9时，Q （x ）＝6x ﹣2﹣P （x ）＝6x ﹣2﹣（6x +lnx +e 3x −22）＝20﹣lnx −e 3x ， 所以Q （x ）={−14x 2+4x −2，0＜x ＜920−lnx −e 3x ，x ≥9． （2）由（1）可知，当0＜x ＜9时，Q （x ）=−14x 2+4x ﹣2＝）=−14（x ﹣8）2+14≤14，当且仅当x ＝8时，等号成立．当x ≥9时，Q （x ）＝20﹣lnx −e 3x ， Q ′（x ）=−1x +e 3x 2=e 3−x x 2，当9≤x ＜e 3时，Q ′（x ）＞0，此时函数单调递增； 当x ＞e 3时，Q ′（x ）＜0，函数单调递减；所以当x ＝e 3时，Q （x ）取得最大值Q （e 3）＝20﹣lne 3−e 3e 3=20﹣3﹣1＝16， 综上，当x ＝e 3≈20时，Q （x ）取得最大值16万元，即当年产量约为20万件时，该小微企业的这一产品所获年利润最大，最大年利润是16万元．22．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +2x+1−1．（1）当a =38时，求函数f （x ）的极值；（2）若g （x ）＝a （x 2﹣1）lnx ﹣（x ﹣1）2（a ≠0）有三个零点x 1，x 2，x 3，其中x 1＜x 2＜x 3． （i ）求实数a 的取值范围；（ii ）求证：（1﹣3a ）（x 1+x 3）＞﹣1．解：（1）已知f （x ）＝alnx +2x+1−1，函数定义域为 （0，+∞），当a =38 时，f(x)=38lnx +2x+1−1，可得f ′(x)=38x −2(x+1)2=3x 2−10x+38x(x+1)2=(x−3)(3x−1)8x(x+1)2，当0＜x＜13时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当13＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x=13时，f（x）有极大值，极大值f（13）=12−38ln3，当x＝3时，f（x）有极小值，极小值f（3）=38ln3−12；（2）（i）已知g(x)=a(x2−1)lnx−(x−1)2=(x2−1)(alnx+2x+1−1)=(x2−1)f(x)，因为g（1）＝0，f（1）＝0，又g（x）有3个零点，所以f（x）除1外还有两个零点，易知f′(x)=ax−2(x+1)2=ax2+(2a−2)x+ax(x+1)2，不妨设h（x）＝ax2+（2a﹣2）x+a，函数定义域为（0，+∞），当a＜0时，h（x）＜0在（0，+∞）恒成立，所以f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）单调递减，不满足条件，舍去；当a＞0时，f（x）除1外还有两个零点，则f（x）不单调，所以h（x）存在两个零点，此时Δ＝（2a﹣2）2﹣4a2＞0，解得0＜a＜1 2，当0＜a＜12时，不妨设h（x）的两个零点分别为m，n（m＜n），可得m+n=2a−2＞0mn＝1，所以0＜m＜1＜n，当0＜x＜m时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当m＜x＜n时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）＜0单调递减；当x＞n时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，又f（1）＝0，所以f（m）＞0，f（n）＜0，又f(e−1a)=−1−e−1a−1e−1a+1=−2e−1ae−1a+1＜0，且e−1a＜1，f(e 1a )=1−e 1a −1e 1a +1=2e 1a +1＞0，且e 1a ＞1，所以存在x 1∈(e −1a ，m)，x 3∈(n ，e 1a )， 使得f （x 1）＝f （x 3）＝0，即g （x ）＝a （x 2﹣1）lnx ﹣（x ﹣1）2（a ≠0）有3个零点x 1，x 2＝1，x 3， 综上，实数a 的取值范围为(0，12)；（ii ）证明：因为f(1x )=−alnx −1x −11x +1=−alnx −1−x 1+x =−alnx +x−1x+1=−f （x ）， 若f （x ）＝0，则f(1x )=0，所以x 1=1x 3，x 1x 3＝1， 又0＜a ＜12，所以1﹣a ＞12， x 1+x 3＞2√x 1x 3=2，当且仅当x 1＝x 3时等号成立，所以（1﹣a ）（x 1+x 3）＞1．。
山东省菏泽市2021-2022学年高二下学期期中考试数学(文)试题(B) Word版含答案
2021—2022学年度其次学期期中考试高二数学（文科）试题（B ） 2022.4第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数21y x =+在()1,2内的平均变化率为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2.下列函数求导运算正确的个数为（ ）①()333log ;xxe '=②()21log ;ln 2x x '=③()x x e e '=；④()1x x xe e '=+ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.下列四个命题中，是真命题的是（ ）①从匀速转动的产品生产流水线上，质检员每15分钟抽取一件产品进行某项指标加测，这样的抽样是分层抽样②两个随机变量相关性越强，则相关系数的确定值越接近于1③在回归直线方程ˆ0.412yx =+中，当解释变量x 的每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位 ④对分类变量X 和Y 的随机变量的观测值2K 来说，K 越小，与X 与Y 有关系的把握程度越大 A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ②③4.若函数()33f x x x a =--在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为M,N ，则M-N 的值为（ ）A. 20B. 18C. 4D. 2 5.在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（ ） A. ()0,0 B. ()2,4 C. 11,416⎛⎫⎪⎝⎭D.11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭6.在争辩打鼾与患心脏病之间关系时，在收集数据、整理分析数据后得“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的.下列说法中正确的是（ ） A.在100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有 B. 1个人患心脏病，那么这个人有99%的概率打鼾 C. 在100个心脏病患者中肯定有打鼾的人 D. 100个心脏病患者中至少有99人打鼾7.函数()y f x =的图象如图所示，则导函数()f x '的图象大致是（ ）8.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为30cm ，要使其体积最大，则其高应为（ ） A. 123cm B. 103cm C. 83cm D. 53cm9.依据如下样本数据，得到回归直线方程ˆybx a =+，则A. 0,0a b >>B. 0,0a b ><C. 0,0a b <>D. 0,0a b << 10.已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有 A. ()()()()2016201620160,20160ef f f e f -<> B. ()()()()2016201620160,20160ef f f e f -<< C. ()()()()2016201620160,20160e f f f e f -><D. ()()()()2016201620160,20160e f f f e f ->>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必需作答，第2224题为选考题，考生依据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.11.已知函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是132y =+，则()()11f f '+= . 12.曲线sin xy x=在点()2,0M π处的切线方程为 . 13.函数()()3230f x x ax a a =-+>的极大值为正数，微小值为负数，则a 的取值范围为 . 14.对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过点()2,3，则这条回归直线的方程为 .15.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，导函数为()f x '，当(],0x ∈-∞时，()f x 有唯一的零点3-，且恒有()()xf x f x '<-，则满足不等式()0f x x≤的实数x 的取值范围是 （结果用区间表示）.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数()3223125f x x x x =+-+（1）求曲线()y f x =在点()0,5处的切线方程； （2）求函数()y f x =的极值.17.(本小题满分12分)为了调查某地区老年人是否需要志愿者供应挂念，用简洁随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：（1）完成以上22⨯列联表，并估量该地区老年人中需要志愿者供应挂念的老年人的比例； （2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者供应挂念与性别有关.18.(本小题满分12分)设函数()33f x x ax b =-+，曲线()y f x =在点()()2,2f 处与直线8y =相切.（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 的极值点与极值.19.(本小题满分12分) 已知函数()()0.xx f x e a a=-> （1）求函数()f x 的单调区间； （2）求函数()f x 在[]1,2上的最大值.20.(本小题满分13分) 已知函数()321.2f x x x bx c =-++ （1）若()f x 在(),-∞+∞上是增函数，求b 的取值范围；（2）若()f x 在1x =处取得极值，且[]1,2x ∈-时，()2f x c >恒成立，求c 的取值范围.21.(本小题满分14分) 已知函数()()2ln 20.f x a x a x=+-> （1）若曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间； （2）若对于()0,x ∀∈+∞都有()()21f x a >-成立，试求a 的取值范围；（3）记()()()g x f x x b b R =+-∈，当1a =时，函数()g x 在区间1,e e -⎡⎤⎣⎦上有两个零点，求实数b 的取值范围.2021--2022学年度其次学期期中考试高二数学(文科)参考答案（B ）2022.4一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
山东省菏泽市2019-2020学年高二数学下学期期中试题(含解析)
【解析】
【分析】
由已知当 x 0 时总有 xf (x)
f (x) 0 成立，可判断函数 g(x)
f (x) x 在 (0, ) 上为减函
数，由已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，可证明 g(x) 在 (, 0) 上为减函数，不等式
f (x) 0 等价于 xg(x) 0 ，分类讨论即可得到答案．
9.下面是关于复数 z 1 i （ i 为虚数单位）的四个命题，其中正确命题的是（ ）
z 2
A.
C. z 的虚部为 i
B. z 对应的点在第一象限 D. z 的共轭复数为 1 i
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据复数的定义和几何意义以及共轭复数的概念依次判断选项即可.
【详解】因为 z 1 i ，
11.设
1,
2 1
Y~N
，
2
,
2 2
，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论
中不正确的是（ ）
A. P Y 2 P Y 1 B. P X 2 P X 1 C. 对任意正数 t ， P X t P Y t D. 对任意正数 t ， P X t P Y t
【答案】ABD
A.
线性回归直线
$y
$bx
$a
必经过点
x1,
y1
，
x2
,
y2
，…
xn
,
yn
中心点
x, y
B. 从独立性检验可知有 99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果某人
吃地沟油，那么他有 99%可能患胃肠癌
C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的绝对值越接近于 1
D. 将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后，其方差也要加上或减去这个常数 【答案】AC
2021-2022学年山东省菏泽市高二下学期期中考试数学试题(B)(解析版)
2021-2022学年山东省菏泽市高二下学期期中考试数学试题（B ）一、单选题1．已知()2f x x =，则()1f '=（ ）A ．2B ．1C ．12D ．0【答案】A【分析】由基本初等函数求导公式求出()f x '即可求解.【详解】解：因为()2f x x =，所以()2f x x '=，所以()12f '=， 故选：A.2．若A 230n =，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【分析】根据排列数的计算公式，列出方程，即可求解.【详解】由排列数的计算公式，可得22(1)n n n n n A =-=-，且2,N n n ≥∈，因为230n A =，即2300n n --=，解得6n =或5n =-（舍去）.故选：C.3．若函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞- C ．[)2,-+∞ D ．[)1,-+∞【答案】D【分析】根据函数单调性与导数的关系进行求解即可. 【详解】由ln 1ay x a x y x'=+⇒=+，因为函数ln y x a x =+在区间[)1,+∞内单调递增，所以有0y '≥在[)1,+∞上恒成立，即10ax+≥在[)1,+∞上恒成立，因为[)1,x ∞∈+，所以由100a x a a x x+≥⇒+≥⇒≥-，因为[)1,x ∞∈+，所以(,1]x -∈-∞-，于是有1a ≥-， 故选：D4．将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是（ ） A ．240 B ．120 C ．60 D ．40【答案】B【分析】由排列的定义即可求解.【详解】解：因为将3张不同的奥运会门票分给6名同学中的3人，每人1张，所以不同分法的种数为36A 654120=⨯⨯=，故选：B.5．把一个周长为12的长方形围成一个圆柱，当该圆柱的体积最大时圆柱高为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】设出底面半径，表示高，得出体积，利用导数求出体积最大值即可得出. 【详解】设圆柱的底面半径为r ，则高为62r π-，可得30r π<<，则该圆柱的体积()22326226V r r r r ππππ=⋅-=-+，则()2261262V r r r r ππππ'=-+=--，令0V '>，解得20r π<<，令0V '<，解得23r ππ<<，所以当2r π=时，圆柱体积取得最大，此时圆柱的高为2622ππ-⨯=.故选：B.6．若()()1011011131x x a a x a x -+=++⋅⋅⋅+，x ∈R ，则2111211333a a a ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅的值为（ ）A ．3-B ．3C ．93D ．931-【答案】A【分析】根据已知条件，令3x =和0x =即可求解.【详解】解：因为()()1011011131x x a a x a x -+=++⋅⋅⋅+，x ∈R ，所以令3x =，可得211012113330a a a a +⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=，又令0x =，可得()()10030103a =-+=，所以211102113333a a a a ⋅+⋅+⋅⋅⋅+=-=-⋅，故选：A. 7．已知21()cos 4f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出导函数，利用导函数的解析式，判断导函数的奇偶性，及特殊点的函数值，如()2f π'即可得出答案.【详解】解：由题意得，1()sin 2f x x x '=-，∴11()()sin()[sin ]()22f x x x x x f x -=---=--='-'，∴函数()'f x 为奇函数，即函数的图像关于原点对称， 当2x π=时，1()1024f ππ'=-<，当2x >时，()0f x '>恒成立. 故选：A ．8．如图所示，一个地区分为5个行政区域，现要给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的着色方案种数为（ ）A ．36B ．48C ．72D ．144【答案】C【分析】分使用了3种颜色和使用了4种颜色求解. 【详解】按使用颜色的种类分类，第一类：使用了3种颜色，则1,3同色且2,5同色，则共3424A =种，第二类：使用了4种颜色，则1,3同色2,5不同色或1,3不同色2,5同色，则共142448C A =种，所以不同的着色方案种数为244872+=种. 故选：C. 二、多选题9．如图是()y f x =的导函数()'f x 的图象，则下列判断正确的是（ ）A ．()f x 在区间[2,1]--上是增函数B ．1x =-是()f x 的极小值点C ．()f x 在区间[1,2]-上是增函数，在区间[2,4]上是减函数D ．1x =是()f x 的极大值点 【答案】BC【分析】根据导函数与函数的单调性、函数的极值的关系判断．【详解】在(2,1)--上()0f x '<，()f x 递减，A 错；(1)0f '-=，且当21x -<<-时，()0f x '<，12x -<<时，()0f x '>，所以1x =-是()f x 的极小值点，B 正确；在(1,2)-上，()0f x '>，()f x 递增，在(2,4)上()0f x '<，()f x 递减，C 正确；()f x 在区间[1,2]-上是增函数，1x =不是()f x 的极大值点，D 错． 故选：BC ．【点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数的极值的关系，掌握用导数判断单调性的方法是解题关键．10．若函数f （x ）的导函数在定义域内单调递增，则f （x ）的解析式可以是（ ）A ．()2sin f x x x =+B ．()2f x x =C ．()1cos f x x =+D ．()2ln f x x x =+【答案】AB【分析】利用导数的运算性质，结合导数的性质逐一判断即可.【详解】A ：由()()2sin 2cos f x x x f x x x '=+⇒=-，令()()2cos g x f x x x '==-，因为()2sin 0g x x '=+>，所以函数()f x '是实数集上的增函数，符合题意；B ：由()()22f x x f x x '=⇒=，因为一次函数()2f x x '=是实数集上的增函数，所以符合题意；C ：由()()1cos sin f x x f x x '=+⇒=-，因为函数()sin f x x '=-是周期函数，所以函数()sin f x x '=-不是实数集上的增函数，因此不符合题意；D ：由()()21ln 2f x x x f x x x '=+⇒=+，令()()12g x f x x x'==+，则()2221212x g x x x -'=-=，当x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，因此不符合题意， 故选：AB11．设()52501252x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则（ ） A ．024122a a a ++= B ．50243i i a ==∑C ．24131a a a a +=-+ D ．51i i a ==∑【答案】ABD【分析】利用赋值法得出等式，利用这些等式逐一判断即可. 【详解】在()52501252x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+中，令1x =，有()50125211(1)a a a a -=+++⋅⋅⋅+=，所以选项D 正确； 令1x =-，有()5501245213243(2)a a a a a +=-++⋅⋅⋅+-==， 二项式()52x -的通项公式为：515C 2()rrr r T x -+=-，所以50123450i i a a a a a a a ==-+-+-∑，因此选项B 正确；(1)(2)+得，02412431222a a a ++==+，因此选项A 正确； 因为234155241413231355C 2+C 234C 2(1)C 2(1)a a a a +==-+-+-，所以选项C 不正确， 故选：ABD12．已知函数()1xf x xe ax =--，则（ ）A ．当1a =时，f （x ）的极小值为f （0）B ．当1a =-时，函数f （x ）有一个极值点C ．当0a ≤时，零点个数为1个D ．当0a >时，零点个数为2个 【答案】ACD【分析】求得导数()(1)xf x x e a '=+-，分别令1a =和1a =-，结合函数的单调性和极值，可判定A 正确；B 不正确，令()0f x =，转化为函数y a =与()1xh x e x=-的交点横坐标，画出函数y a =与()1xh x e x=-的图象，结合图象可判断C 、D 正确.【详解】由题意，函数()1x f x xe ax =--，可得()(1)xf x x e a '=+- 当1a =时，()(1)1xf x x e '=+-，且()00f '=，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以当0x =时，函数()f x 取得极小值()0f ，所以A 正确；当1a =-时，()(1)1xf x x e '=++，令()(1)1x g x x e =++，可得()(2)xg x x e '=+，当2x <-时，()0g x '<，()f x 单调递减； 当2x >-时，()0g x '>，()f x 单调递增，又由()2210g e --=-+>，所以()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 单调递增，所以()f x 没有极值点，所以B 错误；由函数()1xf x xe ax =--，则()01f =-，所以0不是()f x 的零点，令()0f x =，即10x xe ax --=，所以1xa e x=-，所以函数()f x 的零点，即为函数y a =与()1xh x e x=-的交点横坐标，又由()210xh x e x =+>'，可得函数()h x 单调递增， 当0x <时，()0h x >；当0x →时，()h x →-∞；当x →+∞时，()h x →+∞；在直角坐标系中画出函数y a =与()1xh x e x=-的图象，结合图象得：当0a ≤时，函数()f x 有一个零点，这个零点为正数； 当0a >时，函数()f x 有两个零点，其中一个是正数一个负数. 故选：ACD.三、填空题13．0191010101010C C C C ++⋅⋅⋅++=___________.【答案】1024102【分析】利用二项式系数和公式进行求解即可.【详解】由二项式系数和公式知：019101010101010C C C C 21024++⋅⋅⋅++==，故答案为：102414．函数43()2f x x x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为________. 【答案】210x y +-=【解析】利用导数求出切线的斜率，求出切点，即得解. 【详解】由题得32()46f x x x '=-， 所以切线的斜率为(1)462k f '==-=-， 因为(1)1f =-，所以切点为(1.1)-，所以切线方程为12(1)y x +=--，即210x y +-=. 故答案为：210x y +-=【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．9899被100整除所得余数为___________. 【答案】1【分析】利用二项式定理，将()9898991001=-展开即可求解.【详解】解：因为()()()()981298098197296989898991001C 1001C 1001C 1001=-=⨯-+⨯-+⨯-+()()9798979809898C 1001C 1001+⨯-+⨯-，又()009898C 1001⨯-，()119798C 1001⨯-，()229698C 1001⨯-，，()979798C 1001⨯-都能被100整除，所以9899被100整除所得余数为()9898098C 10011⨯-=， 故答案为：1.16．已知函数()sin x x x f -=，则满足不等式()()1ln 2ln 10f x f x +-≥的x 的取值范围是___________. 【答案】10,e ⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由奇偶性的定义可得()f x 为奇函数，求出导函数()f x '可判断()f x 在R 上单调递增，从而根据奇偶性和单调性即可求解不等式. 【详解】解：由题意，函数()sin x x x f -=的定义域为R ， 因为()()()sin sin f x x x x x f x -=---=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数，又()1cos 0f x x '=-≥，所以函数()f x 在R 上单调递增，所以不等式()()1ln 2ln 10f x f x +-≥，即()()()ln 2ln 12ln 1f x f x f x ≥---=+，所以ln 2ln 1x x ≥+，即ln 1x ≤-，解得10ex <≤，所以满足不等式()()1ln 2ln 10f x f x +-≥的x 的取值范围是10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，故答案为：10,e ⎛⎤⎥⎝⎦.四、解答题17．已知函数()e xf x x =-.(1)求曲线y =f （x ）在x =1处的切线方程； (2)证明：f （x ）≥1. 【答案】(1)()e 1y x =- (2)证明见解析【分析】（1）求出函数在1x =处导数，即切线斜率，求出()1f ，即可得出切线方程； （2）求出函数的单调性，求出最小值即可得出.【详解】(1)因为()e 1xf x '=-，所以切线斜率为()1e 1f '=-，又()1e 1f =-，所以切线方程为()()()e 1e 11y x --=--，即()e 1y x =-； (2)由()0f x '>解得0x >，由()0f x '<解得0x <， 所以()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增， 所以()()01f x f ≥=.18．在12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第三项系数与第二项的系数的比值为74-.(1)求n 的值；(2)该展开式中是否有常数项，若有，请求出；若没有，请说明理由. 【答案】(1)8n =； (2)358. 【分析】利用二项式的通项公式结合已知对（1）（2）进行求解即可.【详解】(1)二项式12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为：2111C ()C ()22r n rr r n rr r n n T x x x --+=-=-， 因为第三项系数与第二项的系数的比值为74-，所以有22111(1)1C ()7722481144C ()()22n n n n n n --⋅=-⇒=-⇒=-⋅-，或0n =舍去， 即8n =；(2)由（1）可知：该二项式的通项公式为：82181C ()2r rr r T x -+=-， 令8204r r -=⇒=，所以存在常数项，为448135C ()28-=. 19．设函数()3221f x x ax bx =+++的导函数为()f x '，若函数()f x '的图象关于直线1x =-对称，且()10f '=.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数()f x 的单调区间.【答案】(1)6a =,18b =-.(2)函数()f x 的单调增区间为(),3∞--和()1,+∞，单调减区间为()3,1-.【分析】（1）利用导数的运算求得函数()f x 的导函数()262'=++f x x ax b ，利用对称性得到a 的值，利用特殊值得到b 的值；（2）根据（1）的结论，得到()6(1)(1)f x x x '=+-，分析导数的正负区间，进而得到函数的单调区间.【详解】(1)∵()3221f x x ax bx =+++，∴()262'=++f x x ax b ，∵函数()f x '的图象关于直线1x =-对称，则6a =, ∵()10f '=,∴6120b ++=，∴18b =-.(2)()()()261218631f x x x x x =+-=+-',令()0f x '=，解得123,1x x =-=, 列表如下：∴函数()f x 的单调增区间为(),3∞--和()1,+∞，单调减区间为()3,1-. 20．已知函数()1e 1x x f x x +=--. (1)求曲线y =f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； (2)判断函数f （x ）的零点的个数，并说明理由. 【答案】(1)320x y -+=； (2)2个零点，理由见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可； （2）根据导数的性质，结合函数零点存在原理进行求解即可.【详解】(1)由()()()212e e 031(1)x x xf x f x f x x +''=-⇒=+⇒=--， 而()02f =，所以该函数在点（0，f （0））处的切线方程为：23(0)320y x x y -=-⇒-+=；(2)函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，由（1）可知：()22e (1)x f x x '=+-， 当(,1)x ∞∈-时，()0,()f x f x '>单调递增， 因为22111(2)(0)(e )22()03e 3f f --=-⋅=-<，所以函数在(,1)x ∞∈-时有唯一零点； 当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增， 因为5245(2)()(e 3)(e 9)04f f =-⋅-<，所以函数在(,1)x ∞∈-时有唯一零点， 所以函数f （x ）有2个零点.21．某厂家对该厂生产的一款产品进行市场调研，发现该产品每日的销售量f （x ）（单位：千克）与销售价格x （元/千克）近似满足关系式()()21085a f x x x =+--，其中5<x <8，a 为常数.已知销售价格为7元/千克时，每日可售出该产品15千克.(1)求函数f （x ）的解析式；(2)若该产品的成本为5元/千克，试确定销售价格x 的值，使该商场每日销售该产品所获得的利润最大.【答案】(1)()()210108(58)5f x x x x =+-<<-； (2)当6x =时，该商场每日销售该产品所获得的利润最大.【分析】（1）运用代入法进行求解即可；（2）结合（1）的结论，利用导数的性质进行求解即可.【详解】(1)因为销售价格为7元/千克时，每日可售出该产品15千克，所以有()()27151078151075a f a =⇒+-=⇒=-， 因此函数f （x ）的解析式为()()210108(58)5f x x x x =+-<<-； (2)由（1）可知：()()210108(58)5f x x x x =+-<<-， 设该商场每日销售该产品所获得的利润关于销售价格x 的函数为()g x ，则有 ()2210()(5)()(5)[108]1010(5)(8)5g x x f x x x x x x =-=-+-=+---，所以可得：2()10[(8)2(8)(5)]10(8)(8210)30(6)(8)g x x x x x x x x x '=-+--=--+-=--，当56x <<时，()0,()'>g x g x 单调递增，当68x <<时，()0,()g x g x '<单调递减， 所以当6x =时，函数()g x 有最大值，最大值为2(6)10101(2)50g =+⨯⨯-=， 即当6x =时，该商场每日销售该产品所获得的利润最大.22．设函数()ln f x x =.(1)证明不等式：()()()2111x f x x x ->>+； (2)()()3232,g x f x x ax ax a =-++-∈R ，若12,x x 为函数g （x ）的两个不等于1的极值点，设()()11,P x g x ，()()22,Q x g x ，记直线PQ 的斜率为k ，求证：122k x x +<+.【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析.【分析】（1）根据函数的定义域对所证明的不等式进行变形，通过构造函数，利用导数的性质，结合二次求导法进行证明即可；（2）对函数g （x ）进行求导，根据导数的性质和极值点的定义，结合一元二次方程根与系数关系，通过构造新函数，结合导数的性质进行证明即可.【详解】(1)因为1x >，所以要证明()()211x f x x ->+成立， 只需要证明()(1)ln 21x x x +>-成立，即证明()(1)ln 210x x x +-->成立.设()()(1)ln 21(1)h x x x x x =+-->，1()ln 1h x x x'=+-， 设1()()ln 1t x h x x x '==+-，22111()x t x x x x-'=-=， 因为1x >， 所以()0,()t x t x '>单调递增，所以有()(1)0t x t >=，即()0,()h x h x '>单调递增，所以有()(1)0h x h >=，即()(1)ln 210x x x +-->， 所以有()()()2121(1)ln 21ln ()11x x x x x x f x x x --+>-⇒>⇒>++； (2)()()3232323ln 2g x f x x ax ax x x ax ax =-++-=-++-，223(1)[3(23)3]()322x x a x g x x ax a x x-+++'=-++-=， 令()0g x '=，因为12,x x 为函数g （x ）的两个不等于1的极值点，所以为1212,(,1)x x x x ≠是方程23(23)30x a x +++=不相等的两个正实根， 所以有：21212Δ(23)433023903210a a x x a x x ⎧=+-⨯⨯>⎪+⎪+=->⇒<-⎨⎪=>⎪⎩， 不妨设11t x =>，则21x t=，1223123(1)3a x x a t t ++=-⇒=-++， 由直线斜率公式可得：323211112222123ln 23ln 2x x ax ax x x ax ax k x x -++-+--+=- 221212112212123(ln ln )()[()2]x x x x x x x x a x x a k x x --+-++++-⇒=- 2212112212123(ln ln )()2x x k x x x x a x x a x x --⇒=+++++--， 211316ln ()()2122t k t t t t t t⇒=-++++--， 所以12323317736ln 222222)1(k x x t t t t t t t t-++-+-=+-+-， 设3223317713()6ln (1)222222n t t t t t t t t t=-++--+->， 321111()[9()2()16()10]2n t t t t t t t t'=-+++++-，设12m t t =+>， 设32()921610s m m m m =-++-，2()27416s m m m '=-++，函数()s m '对称轴为：227m =，当2m >时，函数()s m '单调递减， 故有()(2)84()0s m s s m '''<=-⇒<，所以函数()s m 单调递减，有()(2)42()0()0s m s s m n t '<=-⇒<⇒<，所以函数()n t 是减函数，故()(1)0n t n <=，而10t t-> 所以1202)(k x x +-+<，所以122k x x +<+.【点睛】关键点睛：利用换元法，通过构造新函数，结合导数的性质是解题的关键.。
2017-2018学年山东省菏泽市高二下学期期中考试(A版)数学(文)试题扫描版含答案
高二文科数学试题（A ）参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1--5 CDDBA 6--10 BCADC 11--12 BA二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分.13.10 14.-2 15.②③ 16.（-2,2）三、解答题：共6小题，满分70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）（1）当2k －5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数．……………………………3分（2）当2k －5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数． ……………………………………6分（3）当{22430560,k k k k -+=--≠即k ＝1或3时，z 是纯虚数． ……………………………10分18.（本小题满分12分）（I ）22220(20704090)559.16710.828601*********K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯, ………………………4分 所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为“成绩优秀与“3+x ”学习法”有关. …………………………………5分 （II ）在这5名学生中，记“普通班”的两名学生分别为21,A A ,“实验班”的3名学生分别为321,,B B B ，则所有抽样情况如下：{}121,,B A A ,{}221,,B A A ,{}321,,B A A ， {}211,,B B A ,{}311,,B B A ,{}321,,B B A ,{}212,,B B A ,{}312,,B B A ，{}322,,B B A , {}321,,B B B 共 10 种. ………………………8分 其中恰好抽到两名“实验班”学生都的情况有6种， ………………………10分 记事件A 为恰好抽到两名“实验班”学生，则.53106)(==A P ………………12分 19.（本小题满分12分） 解：性质如下：若M ，N 是椭圆12222=+by a x 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆12222=+b y a x 上任意一点，当直线PN PM ,的斜率都存在时，记为PN PM k k ,，则PN PM k k 与之积是与 点P 的位置无关的定值. ………………………………4分证明：M （m ，n ），N （﹣m ，﹣n ），P （x 0，y 0）． 则2202200000m x n y m x n y m x n y k k PN PM --=--⋅++=⋅， ………………………………8分。
山东省菏泽市高二下学期期中数学试卷(文科)
山东省菏泽市高二下学期期中数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复数z1=2+i，z2=1﹣i，则z1•z2在复平面内的对应点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）在极坐标系中，圆与方程（）所表示的图形的交点的极坐标是（）．A . (1,1)B .C .D .3. （2分）演绎推理“因为指数函数y=ax（a＞0，a≠1）是增函数，而函数y=0.5x是指数函数，所以y=0.5x 是增函数”，所得结论错误的原因是（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 大前提与小前提均错误4. （2分）用反证法证明命题：“若（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＞0，则a，b，c中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是（）A . 假设a，b，c都大于1B . 假设a，b，c中至多有一个大于1C . 假设a，b，c都不大于1D . 假设a，b，c中至多有两个大于15. （2分）确定结论“X与Y有关系”的可信度为99.5%时，则随机变量的观测值K必须（）A . 小于10.828B . 大于7.879C . 小于6.635D . 大于3.8416. （2分） (2017高二下·蚌埠期中) 函数y=lnx（x＞0）的图象与直线相切，则a等于（）A . ln2﹣1B . ln2+1C . ln2D . 2ln27. （2分）下面四个图象中，有一个是函数f（x）= x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R）的导函数y=f′（x）的图象，则f（﹣1）=（）A . 或B . 或C . 或D . 或8. （2分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 下表是某工厂月份电量(单位:万度)的一组数据:月份用电量由散点图可知,用电量与月份间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是 ,则等于（）A . 10.5B . 5.25C . 5.2D . 14.59. （2分） (2017高三上·韶关期末) 已知函数y=f（x=2）是偶函数，且当x≠2时其导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，若2＜a＜3，则下列不等式式成立的是（）A . f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B . f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C . f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D . f（log2a）＜f（2a）＜f（3）10. （2分）在极坐标系下，点到直线l：ρcos（θ﹣）= 的距离为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高三上·河北月考) 函数与它的导函数的图象如图所示，则函数的单调递减区间为（）．A .B . ，C .D . ，12. （2分）(2017·揭阳模拟) 已知正数a，b满足a+b=4，则曲线f（x）=lnx+ 在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为（）A . [ ，+∞）B . [ ，）C . [ ，）D . [ ，）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是________14. （1分）为了响应国家号召，某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：x3456y 2.534 4.5若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.7x+a，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为________吨．15. （1分） (2017高二下·中原期末) 知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率是________．16. （1分）已知数列{an}满足a1=1，an+1﹣2an=2n ，则an=________三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2018高二下·聊城期中) 设复数的共轭复数为，且，，复数对应复平面的向量，求的值和的取值范围.18. （5分）(2017·广西模拟) 某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销量y（单位：万件）之间的关系如表：x1234y12284256（Ⅰ）在图中画出表中数据的散点图；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的散点图拟合y与x的回归模型，并用相关系数加以说明；（Ⅲ）建立y关于x的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？．附注：参考数据：，，．参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．19. （5分） (2015高二下·霍邱期中) 已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣成立．20. （15分） (2017高三下·新县开学考) 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050附表及公式P（k2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2= ．（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX．21. （10分）(2017·大新模拟) 设f（x）= ﹣ax﹣b（a、b∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y+4=0，求a、b的值；（2）当b=1时，若总存在负实数m，使得当x∈（m，0）时，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．22. （10分） (2015高三上·苏州期末) 己知函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a（a∈R），e为自然对数的底数．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）①若存在实数x，满足f（x）＜0，求实数a的取值范围：②若有且只有唯一整数x0，满足f（x0）＜0，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
山东省菏泽市高二数学下学期期中试卷 文(含解析)
2014-2015学年山东省菏泽市高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2013春•红岗区校级期末）复数的值是（）A． 2i B．﹣2i C． 2 D．﹣2考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：先由完全平方和公式把等价转化为1+﹣1，由此能求出其结果．解答：解：=1+﹣1==﹣2i．故选B．点评：本题考查复数的代数形式，解题时要认真审题，仔细解答，注意完全平方和公式的合理运用．2．（5分）（2013秋•任城区校级期末）若f（x）=2cosα﹣sinx，则f′（α）等于（） A．﹣sinα B．﹣cosα C．﹣2sinα﹣cosα D．﹣3cosα考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：根据函数的导数公式，直接即可得到结论．解答：解：∵f（x）=2cosα﹣sinx，∴f'（x）=﹣cosx，即f′（α）=﹣cosα，故选：B．点评：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，注意2cosα是常数，不是余弦函数．3．（5分）（2014春•和县校级期末）按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（）A． 6 B． 21 C． 156 D． 231考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据程序可知，输入x，计算出的值，若≤100，然后再把作为x，输入，再计算的值，直到＞100，再输出．解答：解：∵x=3，∴=6，∵6＜100，∴当x=6时，=21＜100，∴当x=21时，=231＞100，停止循环则最后输出的结果是 231，故选D．点评：此题考查的知识点是代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．4．（5分）（2014•奎文区校级模拟）在独立性检验中，统计量Χ2有两个临界值：3.841和6.635．当Χ2＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当Χ2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当Χ2≤3.841时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算Χ2=20.87．根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（） A．有95%的把握认为两者有关 B．约有95%的打鼾者患心脏病C．有99%的把握认为两者有关 D．约有99%的打鼾者患心脏病考点：独立性检验的应用．专题：阅读型．分析：这是一个独立性检验理论分析题，根据K2的值，同所给的临界值表中进行比较，可以得到有99%的把握认为打鼾与心脏病有关．解答：解：∵计算Χ2=20.87．有20.87＞6.635，∵当Χ2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，故选C．点评：考查独立性检验的应用，是一个典型的问题，注意解题时数字运算要认真，不要出错，本题不需要运算直接考查临界值对应的概率的意义．5．（5分）（2015春•菏泽期中）如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A． B． C． D．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象．专题：导数的综合应用．分析：解：由图象知f（﹣1）=f（0）=f（2）=0，解出 b、c、d的值，由x1和x2是f′（x）=0的根，使用根与系数的关系得到x1+x2=，x1•x2=﹣，则由x12+x22 =（x1+x2）2﹣2x1•x2代入可求得结果．解答：解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，由图象知，﹣1+b﹣c+d=0，0+0+0+d=0，8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x）=3x2+2bx+c=3x2﹣2x﹣2．由题意有x1和x2是函数f（x）的极值，故有x1和x2是f′（x）=0的根，∴x1+x2=，x1•x2=﹣．则x12+x22 =（x1+x2）2﹣2x1•x2=+=故选：A．点评：本题考查一元二次方程根的分布，根与系数的关系，函数在某点取的极值的条件，以及求函数的导数，属中档题．6．（5分）（2015春•菏泽期中）有下列关系：①正方体的体积与棱长；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是（）A．①②③ B．①② C．②③ D．③④考点：两个变量的线性相关．专题：概率与统计．分析：相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，①②是一种函数关系，③④中的两个变量具有相关性．解答：解：∵相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，①②是一种函数关系，③④中的两个变量具有相关性，∴具有相关关系的有：③④．故选：D．点评：判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定的则是函数关系；若不确定，则是相关关系．7．（5分）（2014•奎文区校级模拟）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°．正确顺序的序号为（）A．①②③ B．③①② C．①③② D．②③①考点：反证法与放缩法．专题：推理和证明．分析：根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°，正确．第二步得出矛盾：A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角．从而得出正确选项．解答：解：根据反证法的证法步骤知：假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°正确，A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；所以一个三角形中不能有两个直角．故顺序的序号为③①②．故选：B．点评：反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．8．（5分）（2013•山东模拟）设函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围（）A． B． C． D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：先求导函数f'（x），函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数转化成f'（x）≤0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．解答：解：f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，∵函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，∴f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x≤0在区间（0，4）上恒成立当k=0时，成立k＞0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，即0＜k≤k＜0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0故k的取值范围是k≤故选D．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．9．（5分）（2015春•菏泽期中）如图所示是y=f（x）的导数图象，则正确的判断是（）①f（x）在（﹣3，1）上是增函数；②x=﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数；④x=2是f（x）的极小值点．A．①②③ B．②③ C．③④ D．①③④考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：根据图象求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，进而得到答案．解答：解：由图象得：f（x）在（﹣3，﹣1）递减，在（﹣1，2）递增，在（2，4）递减，（4，+∞）递增，∴x=﹣1是f（x）的极小值点，x=2是f（x）的极大值点，故②③正确，故选：B．点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，本题是一道基础题．10．（5分）（2014•陕西一模）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，则r=（）A． B．C． D．考点：类比推理．专题：探究型．分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．解答：解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选C．点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中横线上）11．（5分）（2012•伊宁县校级模拟）垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2﹣5相切的直线方程是3x+y+6=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；压轴题．分析：欲求切线方程，只须求出切点坐标即可，设切点为P（a，b），先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率列出等式求出a，b值．从而问题解决．解答：解：设切点为P（a，b），函数y=x3+3x2﹣5的导数为y′=3x2+6x切线的斜率k=y′|x=a=3a2+6a=﹣3，得a=﹣1，代入到y=x3+3x2﹣5，得b=﹣3，即P（﹣1，﹣3），y+3=﹣3（x+1），3x+y+6=0．故答案为：3x+y+6=0．点评：本小题主要考查互相垂直的直线的斜率间的关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．12．（5分）（2015春•菏泽期中）已知x，y∈R，x+y＜2则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为x y都大于1 ．考点：数学归纳法．专题：推理和证明．分析： x，y中至多有一个大于1的反面为：x，y都大于1，即可得出．解答：解：已知x，y∈R，x+y＜2则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为 x，y都大于1．故答案为：x，y都大于1．点评：本题考查了反证法的应用，考查了推理能力，属于中档题．13．（5分）（2015•南昌校级模拟）若函数在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是﹣1＜m≤0．考点：函数单调性的性质．分析：若函数变形为，只要考查函数就行了．解答：解：∵函数变形为，设，只要g（x）是单调减函数即可．画出g（x）的图象：∵解得﹣1＜m≤0故填﹣1＜m≤0．点评：研究函数的性质是解决问题的关键，此函数的性质为解决许多问题提供了帮助．14．（5分）（2008•江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．考点：归纳推理；等比数列的前n项和．专题：压轴题；规律型．分析：观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为前n项数据的个数，故我们要判断第n行（n≥3）从左向右的第3个数，可先判断第n﹣1行的最后一个数，然后递推出最后一个数据．解答：解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，即为．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．15．（5分）（2014•碑林区校级模拟）已知f（x）=（2x﹣x2）e x，给出以下四个结论：①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f（﹣）是极小值，f（）是极大值；③f（x）没有最小值，也没有最大值；④f（x）有最大值，没有最小值．其中判断正确的是①②④．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：令f（x）＞0可解x的范围；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确．根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③不正确，④正确．从而得到答案．解答：解：由f（x）＞0可得（2x﹣x2）e x＞0∵e x＞0，∴2x﹣x2＞0，∴0＜x＜2，故①正确；f′（x）=e x（2﹣x2），由f′（x）=0得x=±，由f′（x）＜0得x＞或x＜﹣，由f′（x）＞0得﹣＜x＜，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；单调增区间为（﹣，）．∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（﹣），故②正确．∵x＜﹣时，f（x）＜0恒成立．∴f（x）无最小值，但有最大值f（）∴③不正确，④正确．故答案为：①②④．点评：本题的考点是利用导数研究函数的极值，主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于0，但导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点．三、解答题（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）（2015春•菏泽期中）已知复数z=，若z2+az+b=1﹣i，（1）求z；（2）求实数a，b的值．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：（1）对已知z化简解得；（2）利用复数相等，得到关于a，b 的方程解之．解答：解：（1）z===1+i；（2）因为z2+az+b=1﹣i，所以（1+i）2+a（1+i）+b=1﹣i，即（a+b）+（2+a）i=1﹣i，解得．点评：本题考查了复数的运算以及复数相等求参数，属于基础题．17．（12分）（2015春•菏泽期中）某人酷爱买彩票，一次他购买了1000注的彩票，共有50注中奖，于是他回到家对彩票的号码进行了分析，分析后又去买了1500注的彩票，有75注中奖．请分析他对号码的研究是否对中奖产生了大的影响．考点：独立性检验的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：列出对应的2×2列联表，计算观测值，与临界值比较，即可得出结论．解答：解：根据题意可知购买1000注的彩票，中奖50注，未中奖的有950注；购买1500注彩票，中奖75注，未中奖的有1425注．列出对应的2×2列联表如下：中奖注数未中奖注数总计未分析 50 950 1000分析后 75 1425 1500总计 125 2375 2500假设H0：对彩票号码的研究与中奖无关．由表中数据，得K2的观测值为=0．因为0＜2.706，所以没有足够的证据说明对彩票号码的分析与中奖有关．点评：本题考查独立性检验，考查学生利用数学知识解决实际问题，利用公式计算观测值是关键．18．（12分）（2015春•菏泽期中）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）试预测广告支出为10百万元时，销售额多大？（注：b=，a=．考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图．（2）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．（3）将x=10代入回归直线方程求出y的值即为当广告费支出10（百万元）时的销售额的估计值．解答：解：（1）根据表中所列数据可得散点图如图：（2）=5，=50，=145，=13500，x i y i=1380，∴b==6.5，a=50﹣6.5×5=17.5，∴y=6.5x+17.5；（3）x=10时，y=6.5×10+17.5=82.5（百万元）．点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节．19．（12分）（2015春•菏泽期中）已知正数a，b，c，d满足a+b=c+d，且a＜c≤d＜b，求证：．考点：综合法与分析法(选修）．专题：证明题．分析：只需证明，只需证明ab＜cd，只需证明 b（a﹣c）＜c（d﹣b），只需证明（a﹣c）（b﹣c）＜0．由于 a﹣c＜0，故只需证明b﹣c＞0，而b﹣c ＞0显然成立．解答：证明：要证明，只需证明，需证明．∵a+b=c+d，故只需证明ab＜cd，需证明ab﹣bc＜cd﹣bc，只需证明 b（a﹣c）＜c（d﹣b）．∵a+b=c+d，即（a﹣c）=（d﹣b），只需证明（a﹣c）（b﹣c）＜0．∵a﹣c＜0，需证明b﹣c＞0，而b﹣c＞0显然成立，∴．证毕．点评：本题考查用分析法证明不等式，寻找使不等式成立的充分条件，是解题的关键．20．（13分）（2014秋•鲤城区校级期末）已知函数f（x）=2x3﹣3x2+3．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（2）若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）将x=2分别代入原函数解析式和导函数解析式，求出切点坐标和切线斜率，由点斜式可得曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，则﹣m值在函数两个极值之间，利用导数法求出函数的两个极值，可得答案．解答：解：（1）当x=2时，f（2）=7故切点坐标为（2，7）又∵f′（x）=6x2﹣6x．∴f′（2）=12即切线的斜率k=12故曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣7=12（x﹣2）即12x﹣y﹣17=0（2）令f′（x）=6x2﹣6x=0，解得x=0或x=1当x＜0，或x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，故当x=0时，函数f（x）取极大值3，当x=1时，函数f（x）取极小值2，若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，则2＜﹣m＜3，即﹣3＜m＜﹣2故实数m的取值范围为（﹣3，﹣2）点评：本题考查的知识点是利用导数求曲线上过某点的切线方程，函数的极值，函数的零点，熟练掌握利用导数求切点斜率及极值是解答的关键．21．（14分）（2015春•胶州市期中）已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：（1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a＞0，可得，再检验即可；（2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．结合当x∈[1，e]时及可知[g（x）]max=g（e）=e+1．利用，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三种情况讨论即可．解答：解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．点评：本题是一道关于导数的综合题，考查极值、最值等基本知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
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2014-2015学年山东省菏泽市高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2013春•红岗区校级期末）复数的值是（）A． 2i B．﹣2i C． 2 D．﹣2考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：先由完全平方和公式把等价转化为1+﹣1，由此能求出其结果．解答：解：=1+﹣1==﹣2i．故选B．点评：本题考查复数的代数形式，解题时要认真审题，仔细解答，注意完全平方和公式的合理运用．2．（5分）（2013秋•任城区校级期末）若f（x）=2cosα﹣sinx，则f′（α）等于（） A．﹣sinα B．﹣cosα C．﹣2sinα﹣cosα D．﹣3cosα考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：根据函数的导数公式，直接即可得到结论．解答：解：∵f（x）=2cosα﹣sinx，∴f'（x）=﹣cosx，即f′（α）=﹣cosα，故选：B．点评：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，注意2cosα是常数，不是余弦函数．3．（5分）（2014春•和县校级期末）按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（）A． 6 B． 21 C． 156 D． 231考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据程序可知，输入x，计算出的值，若≤100，然后再把作为x，输入，再计算的值，直到＞100，再输出．解答：解：∵x=3，∴=6，∵6＜100，∴当x=6时，=21＜100，∴当x=21时，=231＞100，停止循环则最后输出的结果是 231，故选D．点评：此题考查的知识点是代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．（5分）（2014•奎文区校级模拟）在独立性检验中，统计量Χ2有两个临界值：3.841和6.635．当4．Χ2＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当Χ2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当Χ2≤3.841时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算Χ2=20.87．根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（） A．有95%的把握认为两者有关 B．约有95%的打鼾者患心脏病C．有99%的把握认为两者有关 D．约有99%的打鼾者患心脏病考点：独立性检验的应用．专题：阅读型．分析：这是一个独立性检验理论分析题，根据K2的值，同所给的临界值表中进行比较，可以得到有99%的把握认为打鼾与心脏病有关．解答：解：∵计算Χ2=20.87．有20.87＞6.635，∵当Χ2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，故选C．点评：考查独立性检验的应用，是一个典型的问题，注意解题时数字运算要认真，不要出错，本题不需要运算直接考查临界值对应的概率的意义．5．（5分）（2015春•菏泽期中）如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A． B． C． D．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象．专题：导数的综合应用．分析：解：由图象知f（﹣1）=f（0）=f（2）=0，解出 b、c、d的值，由x1和x2是f′（x）=0的根，使用根与系数的关系得到x1+x2=，x1•x2=﹣，则由x12+x22 =（x1+x2）2﹣2x1•x2代入可求得结果．解答：解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，由图象知，﹣1+b﹣c+d=0，0+0+0+d=0，8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x）=3x2+2bx+c=3x2﹣2x﹣2．由题意有x1和x2是函数f（x）的极值，故有x1和x2是f′（x）=0的根，∴x1+x2=，x1•x2=﹣．则x12+x22 =（x1+x2）2﹣2x1•x2=+=故选：A．点评：本题考查一元二次方程根的分布，根与系数的关系，函数在某点取的极值的条件，以及求函数的导数，属中档题．6．（5分）（2015春•菏泽期中）有下列关系：①正方体的体积与棱长；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是（）A．①②③ B．①② C．②③ D．③④考点：两个变量的线性相关．专题：概率与统计．分析：相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，①②是一种函数关系，③④中的两个变量具有相关性．解答：解：∵相关关系是一种不确定的关系，是非随机变量与随机变量之间的关系，①②是一种函数关系，③④中的两个变量具有相关性，∴具有相关关系的有：③④．故选：D．点评：判断两个变量间的关系是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定的则是函数关系；若不确定，则是相关关系．7．（5分）（2014•奎文区校级模拟）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°．正确顺序的序号为（）A．①②③ B．③①② C．①③② D．②③①考点：反证法与放缩法．专题：推理和证明．分析：根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°，正确．第二步得出矛盾：A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角．从而得出正确选项．解答：解：根据反证法的证法步骤知：假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°正确，A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；所以一个三角形中不能有两个直角．故顺序的序号为③①②．故选：B．点评：反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．8．（5分）（2013•山东模拟）设函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围（）A． B． C． D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：先求导函数f'（x），函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数转化成f'（x）≤0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．解答：解：f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，∵函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，∴f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x≤0在区间（0，4）上恒成立当k=0时，成立k＞0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，即0＜k≤k＜0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0故k的取值范围是k≤故选D．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．9．（5分）（2015春•菏泽期中）如图所示是y=f（x）的导数图象，则正确的判断是（）①f（x）在（﹣3，1）上是增函数；②x=﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数；④x=2是f（x）的极小值点．A．①②③ B．②③ C．③④ D．①③④考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：根据图象求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，进而得到答案．解答：解：由图象得：f（x）在（﹣3，﹣1）递减，在（﹣1，2）递增，在（2，4）递减，（4，+∞）递增，∴x=﹣1是f（x）的极小值点，x=2是f（x）的极大值点，故②③正确，故选：B．点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，本题是一道基础题．10．（5分）（2014•陕西一模）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，则r=（）A． B．C． D．考点：类比推理．专题：探究型．分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．解答：解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选C．点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中横线上）11．（5分）（2012•伊宁县校级模拟）垂直于直线2x﹣6y+1=0并且与曲线y=x3+3x2﹣5相切的直线方程是3x+y+6=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；压轴题．分析：欲求切线方程，只须求出切点坐标即可，设切点为P（a，b），先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率列出等式求出a，b值．从而问题解决．解答：解：设切点为P（a，b），函数y=x3+3x2﹣5的导数为y′=3x2+6x切线的斜率k=y′|x=a=3a2+6a=﹣3，得a=﹣1，代入到y=x3+3x2﹣5，得b=﹣3，即P（﹣1，﹣3），y+3=﹣3（x+1），3x+y+6=0．故答案为：3x+y+6=0．点评：本小题主要考查互相垂直的直线的斜率间的关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．12．（5分）（2015春•菏泽期中）已知x，y∈R，x+y＜2则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为x y都大于1 ．考点：数学归纳法．专题：推理和证明．分析： x，y中至多有一个大于1的反面为：x，y都大于1，即可得出．解答：解：已知x，y∈R，x+y＜2则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为 x，y都大于1．故答案为：x，y都大于1．点评：本题考查了反证法的应用，考查了推理能力，属于中档题．13．（5分）（2015•南昌校级模拟）若函数在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是﹣1＜m≤0．考点：函数单调性的性质．分析：若函数变形为，只要考查函数就行了．解答：解：∵函数变形为，设，只要g（x）是单调减函数即可．画出g（x）的图象：∵解得﹣1＜m≤0故填﹣1＜m≤0．点评：研究函数的性质是解决问题的关键，此函数的性质为解决许多问题提供了帮助．14．（5分）（2008•江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．考点：归纳推理；等比数列的前n项和．专题：压轴题；规律型．分析：观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为前n项数据的个数，故我们要判断第n行（n≥3）从左向右的第3个数，可先判断第n﹣1行的最后一个数，然后递推出最后一个数据．解答：解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，即为．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．15．（5分）（2014•碑林区校级模拟）已知f（x）=（2x﹣x2）e x，给出以下四个结论：①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f（﹣）是极小值，f（）是极大值；③f（x）没有最小值，也没有最大值；④f（x）有最大值，没有最小值．其中判断正确的是①②④．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：令f（x）＞0可解x的范围；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确．根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③不正确，④正确．从而得到答案．解答：解：由f（x）＞0可得（2x﹣x2）e x＞0∵e x＞0，∴2x﹣x2＞0，∴0＜x＜2，故①正确；f′（x）=e x（2﹣x2），由f′（x）=0得x=±，由f′（x）＜0得x＞或x＜﹣，由f′（x）＞0得﹣＜x＜，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；单调增区间为（﹣，）．∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（﹣），故②正确．∵x＜﹣时，f（x）＜0恒成立．∴f（x）无最小值，但有最大值f（）∴③不正确，④正确．故答案为：①②④．点评：本题的考点是利用导数研究函数的极值，主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于0，但导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点．三、解答题（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）（2015春•菏泽期中）已知复数z=，若z2+az+b=1﹣i，（1）求z；（2）求实数a，b的值．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：（1）对已知z化简解得；（2）利用复数相等，得到关于a，b 的方程解之．解答：解：（1）z===1+i；（2）因为z2+az+b=1﹣i，所以（1+i）2+a（1+i）+b=1﹣i，即（a+b）+（2+a）i=1﹣i，解得．点评：本题考查了复数的运算以及复数相等求参数，属于基础题．17．（12分）（2015春•菏泽期中）某人酷爱买彩票，一次他购买了1000注的彩票，共有50注中奖，于是他回到家对彩票的号码进行了分析，分析后又去买了1500注的彩票，有75注中奖．请分析他对号码的研究是否对中奖产生了大的影响．考点：独立性检验的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：列出对应的2×2列联表，计算观测值，与临界值比较，即可得出结论．解答：解：根据题意可知购买1000注的彩票，中奖50注，未中奖的有950注；购买1500注彩票，中奖75注，未中奖的有1425注．列出对应的2×2列联表如下：中奖注数未中奖注数总计未分析 50 950 1000分析后 75 1425 1500总计 125 2375 2500假设H0：对彩票号码的研究与中奖无关．由表中数据，得K2的观测值为=0．因为0＜2.706，所以没有足够的证据说明对彩票号码的分析与中奖有关．点评：本题考查独立性检验，考查学生利用数学知识解决实际问题，利用公式计算观测值是关键．18．（12分）（2015春•菏泽期中）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间（2）求回归直线方程；（3）试预测广告支出为10百万元时，销售额多大？（注：b=，a=．考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图．（2）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．（3）将x=10代入回归直线方程求出y的值即为当广告费支出10（百万元）时的销售额的估计值．解答：解：（1）根据表中所列数据可得散点图如图：（2）=5，=50，=145，=13500，x i y i=1380，∴b==6.5，a=50﹣6.5×5=17.5，∴y=6.5x+17.5；（3）x=10时，y=6.5×10+17.5=82.5（百万元）．点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节．19．（12分）（2015春•菏泽期中）已知正数a，b，c，d满足a+b=c+d，且a＜c≤d＜b，求证：．考点：综合法与分析法(选修）．专题：证明题．分析：只需证明，只需证明ab＜cd，只需证明 b（a﹣c）＜c（d﹣b），只需证明（a﹣c）（b﹣c）＜0．由于 a﹣c＜0，故只需证明b﹣c＞0，而b﹣c ＞0显然成立．解答：证明：要证明，只需证明，需证明．∵a+b=c+d，故只需证明ab＜cd，需证明ab﹣bc＜cd﹣bc，只需证明 b（a﹣c）＜c（d﹣b）．∵a+b=c+d，即（a﹣c）=（d﹣b），只需证明（a﹣c）（b﹣c）＜0．∵a﹣c＜0，需证明b﹣c＞0，而b﹣c＞0显然成立，∴．证毕．点评：本题考查用分析法证明不等式，寻找使不等式成立的充分条件，是解题的关键．20．（13分）（2014秋•鲤城区校级期末）已知函数f（x）=2x3﹣3x2+3．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（2）若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）将x=2分别代入原函数解析式和导函数解析式，求出切点坐标和切线斜率，由点斜式可得曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，则﹣m值在函数两个极值之间，利用导数法求出函数的两个极值，可得答案．解答：解：（1）当x=2时，f（2）=7故切点坐标为（2，7）又∵f′（x）=6x2﹣6x．∴f′（2）=12即切线的斜率k=12故曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣7=12（x﹣2）即12x﹣y﹣17=0（2）令f′（x）=6x2﹣6x=0，解得x=0或x=1当x＜0，或x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，故当x=0时，函数f（x）取极大值3，当x=1时，函数f（x）取极小值2，若关于x的方程f（x）+m=0有三个不同的实根，则2＜﹣m＜3，即﹣3＜m＜﹣2故实数m的取值范围为（﹣3，﹣2）点评：本题考查的知识点是利用导数求曲线上过某点的切线方程，函数的极值，函数的零点，熟练掌握利用导数求切点斜率及极值是解答的关键．21．（14分）（2015春•胶州市期中）已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：（1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a＞0，可得，再检验即可；（2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．结合当x∈[1，e]时及可知[g（x）]max=g（e）=e+1．利用，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三种情况讨论即可．解答：解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．点评：本题是一道关于导数的综合题，考查极值、最值等基本知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。