平面的斜线
斜线的使用技巧
斜线的使用技巧
斜线的使用技巧包括以下几个方面：
1. 在文本中使用斜线进行删除：斜线可以用来表示删除文本中的某部分，可以在被删除的文本上方画一条斜线。
这种用法在编辑、校对和修改文本时常见，让读者清楚地了解到哪些内容已经被删除。
2. 用斜线表示分数：斜线可以用来表示分数，例如⅓、⅔、¼等。
在键盘上无法直接输入这些分数时，可以使用斜线来表示。
3. 斜线的使用与指示：在地图或平面设计中，斜线可以用来表示指示或方向，如箭头的方向、行车线路的指引等。
这样可以让用户更加方便地理解和导航。
4. 使用斜线的标题或装饰：在标题、设计文档或海报中，斜线可以用作装饰元素，增加设计的美感和吸引力。
可以将文本、图标等放置在斜线的一侧，以增加内容的层次感和视觉效果。
5. 斜线的数学表示：在数学中，斜线表示除法。
例如，1/2表示1除以2，斜线可以用来区分分子和分母。
在使用斜线时，需要根据具体的情境和需求来确定使用的方式和效果，以确保表达清晰、准确和符合规范。
平面的斜线和平面所成的角
M
O β
6
N'
M'
4
N'
1
M'
1 ' 解： 当M，N在平面同则时有 sin MOM 2 OM 1 OM=2 3 ' OM 6 4 cos MOM . 2
例2:线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米， N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β 所成角 的余弦值。
θ与∠AOD的大小关系如何？
二、最小角定理：
A
l
θ与∠AOD的大小关系如何？ 在Rt△AOB中，
O
C
∵AB＜AC，∴sinθ＜sin∠AOD
AB 斜线和平面所成的角， sin B AO 是这条斜线和平面内任意 D AC 在Rt 的直线所成的一切角中最 △AOC中，sin AOD AO 小的角。
0
练 习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面 成角，B是A在上的射影,OD是内的 直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则 sin =
解: 由最小角定理得
6 3
。
A
cos AOD cos BOD cos
O
C
即cos 60 cos30 cos
0 0
B D
∴θ＜∠AOD
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经 过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
引例:如图，OA是平面的斜线， AB⊥平面 于B，OC是 内不与 OB重合的任意直线，∠AOB= ， ∠BOC= ，∠AOC= ， O 求证：cos =cos cos C 证明: 设|AO|=1则
平面的斜线与平面所成的角
E D
F
∠HCD
BG和EA与平面
ABCD所成的角
C 分别是？
A
B
∠GBC与∠EAB
EG和EC与平面ABCD所成的角分别是？
∠ACE
三、典例分析
例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平
面A1B1CD所成的角.
30
D1
C1
A1 D
B1 O C
1
步骤： 1、作角 2、证明 3、求角
1、理解平面的斜线和平面所成 的角的概念; 2、掌握平面的斜线和平面所成 的角的求法。
一、斜线在平面内的射影:
(一)点的射影:
P
线段PO称为点P到
平面α的垂线段
O
α
点O称为点P到平面 α内的射影
(二)斜线:
l P
直线l称 为平面α 的斜线
O
α
O称为斜
线段PO称 为点P到平 面α的斜线 段
(三)斜线的射影:
坚 韧、顽 强、执 着。他 ，年对 疾病的 一次次 来访， 命运的 一次次 捉弄， 矢志不 渝。 他 ， 丑 陋 的 外表下 有一颗 金子般 的心， 他是音 乐巨人 贝多芬 。 在 遭 遇
斜线与平面所成角范围
斜线与平面所成角范围
以斜线与平面所成角范围为话题，我们需要了解什么是斜线和角度，以及它们在平面上的关系。
斜线是指在平面上连接两点的直线，它可以是水平的、垂直的或者倾斜的。
在几何学中，斜线也常用于描述三维物体的形态和位置。
角度是指两条线之间的夹角，它通常以度数或弧度来表示。
在平面几何中，角度是常见的量度单位，用于描述图形的形状和方向。
斜线与平面所成角范围指的是斜线与平面之间的夹角，这个夹角的范围取决于斜线的倾斜程度和平面的方向。
当斜线与平面垂直时，它们所成的角度为90度，称为直角。
直角是几何学中最基本和重要的角度之一，它在建筑、机械设计、电子工程等领域都有广泛的应用。
当斜线与平面倾斜时，它们所成的角度可以是锐角、钝角或者平角。
锐角是指小于90度的角度，钝角是指大于90度小于180度的角度，平角是指等于180度的角度。
在实际应用中，我们需要根据具体情况来确定斜线与平面所成角的范围。
例如，在建筑设计中，我们需要考虑建筑物的结构和外观，需要确定各个部位的角度和斜线的倾斜程度，以确保建筑物的稳定性和美观性。
在机械设计中，我们需要考虑机器的运作效率和安全性，需要确定机器各个部位的角度和斜线的倾斜程度，以确保机器的正常运转和使用寿命。
斜线与平面所成角范围是一个重要的几何学概念，它在各个领域都有广泛的应用。
我们需要了解其基本原理和应用方法，以提高我们的思维能力和解决实际问题的能力。
射影的有关概念及定理
射影直线和平面所成角
汝城一中数学教研组ห้องสมุดไป่ตู้
1、斜线在平面内的射影 （1）点在平面内的射影 过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个 平面内的射影.
P
Q
（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直 时，这条直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交 点叫斜足.从平面外一点向平面引斜线，这点与斜 足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.
平面的斜线 P 点P到平面的斜线段 Q 斜足
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影.
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足 和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在 这个平面内的射影.
P
P
Q
斜线段在平面内的射影 斜线在平面内的射影
射影定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜 线段中： （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段 也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也 较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短. 注意：是过同一点引线
2、直线和平面所成的角
斜线和平面成角
内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角 进一步：斜线和平面所成的角，是这条斜线和 这个平面内的直线所成的一切角中的最小角
小结 1、斜线在平面内的射影
（1）点在平面内的射影
（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影. （4）射影定理
A
（1） OB=OCAB=AC OB>OCAB>AC 射影的长短斜线段的长短 （2 ）AB=ACOB=OC AB>ACOB>OC
《斜线在平面内的射影》(课件)
3. 射影的有关概念：
这斜线上斜足以外的一点向平面
引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线
在这个平面上的射影. A 垂足和斜足间的线
段叫这点到平面的
BC
斜线段在这个平面
上的摄影.
射影定理
从平面外一点向这个平面所引的 垂线段和斜线段中： (1) 射影相等的 两条斜线段相等，射影较长的斜线段 也较长；(2) 相等的斜线段的射影相 等，较长的斜线段的射影也较长； (3) 垂线段比任何一条斜线段都短.
30°、45°，
C
CD是斜边AB 上的高, 求CD
与 所成的角.
C1 B
A
D
归纳小结
这节课我们学习了有关平面的斜 线、射影和直线与平面成角的几个概 念；射影定理中的三个结论成立的前 提是这些斜线段及垂线段必须是从平 面外同一点向平面所引而得到的，否 则，结论不成立.
布置作业 《步步高》P 29 第9、10题.
例题分析
1. 如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1
中，E、F分别是AA1、A1D1的中点，求:
(1) D1B与面AC 所成角的余弦值；
E D1 A1
B1
C1
(2) EF与面A1C1 所成的角；
F A
D
C B
(3) EF与面AC所成的角.
2. 如图，Rt△ABC的斜边AB在平
面内，AC和BC与 所成的角分别是
斜线在平面内的射影
新课概念教学
1. 点在平面上的射影，点到平面 的垂线段：自一点向平面引垂线，垂 足叫做这点在这个平面上的射影. 这点 与垂足间的线段叫做这点到这个平面 的垂线段.
2. 平面的斜线的有关概念： 一条直线和一个平面相交，但不 和这个平面垂直，这条直线叫这个平 面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足， 斜线上一点和斜足间的线段叫这点到 这个平面的斜线段.
斜线在平面内的射影与平面所成角
1P在ABC所在平面外， P在面ABC内的射影为 O
当PA PB PC时, O是ABC的
射影问题
外心 内心
当P到ABC三边距离相等时 , O是ABC的
当PB与AB, BC与所成角相等时 , O在ABC的
2RtABC中，ACB 90 ，O为AB中点
P
O
PO 平面ABC于O PA, PB, PC大小关系为
RtBMN中, BM MN 则BNM 45 ANM 45 BNA 90 即BN AN
A
N
M
BN 平面ANC AC NB
l1Bຫໍສະໝຸດ l22．如图1-83，Rt△ABC的斜边AB在平面M内， AC和BC与M所成的角分别是30°、45°， CD是斜边AB上的高，求CD与M所成的角．
河北无极中学 赵改从 李军芳
直线和平面所成的角
定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段 中： （ 1 ）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线 段也较长； （ 2 ）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射 影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短。
D
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影 所成的锐角， 叫做这条直线和这个平面所成的角。 斜线和平面所成的角， 是这条斜线和这个平面内 经过斜足的直线所成的一切角中 最小的角。
B
C
A
例 题
, ,均为锐角
异面直线a, b所成的角为 50，P为空间一定点 则过点P且与a, b所成角都是30的直线有 B条
异面直线a, b所成的角为 80，P为空间一定点
条 则过点P且与a, b所成角都是60的直线有D
A,1, B,2, C,3, D,4
三垂线定理
P
o a
α
A
一、三线概念: 平面的斜线、垂线、射影 如图PO是平面α的斜线,
P
A
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; o
α
AO是PO在平面
α内的射影.
已知:如图,PO为平面α 的斜线,PA⊥α ,a在平 面α内且垂直PO 的射影AO. 求证:a⊥PO
P a α
A
o
已知:如图,PO为平面α的斜线, PA⊥α ,a在平面α内且垂直PO 的射影AO.求证:a⊥PO P a 证明: A o PA⊥α 线线垂直 α PA⊥a a α 线面垂直 AO ⊥ a 线面垂直 a⊥平面PAO
1 1
D1
C1
四、小
结
三垂线定理：在平面内的一条直线，如 果和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它也和这条斜线垂直。
1.定理中四条线均针对同一平面而言,
2.定理的主要应用:证明线线垂直, 线面垂直, 3.证明程序分三个步骤:“一垂二射三证”
计算程序分三个步骤:“一作二证三算”
∴ DC为PC在平面的射影,
而△ABC为等腰三角形, D为AB的中点, ∴ AB ⊥ CD
P C
∴ AB ⊥PC A
D
B
例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中， 连结BD1，AC，CB1，B1A， 求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD、 A1B ∵DD1⊥平面ABCD A B ∴BD是斜线D1B在平面ABCD 上的射影 ∵ABCD是正方形 D C ∴AC⊥BD (AC垂直射影BD)， B A ∴AC⊥BD1 同理:BA1是斜线BD1在平面ABB1A1上的射 影 , AB1 ⊥ BD1而AC ∩AB1 =A ∴BD1⊥平面AB1C
高二数学斜线与平面三垂线定理教案人教版
斜线与平面 三垂线定理一、知识要点：1、斜线在平面内的射影 ①点在平面的射影，垂线段：②平面的斜线，斜足，斜线段的定义③斜线在平面内的射影，斜线段在平面的射影。
2、射影定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； ②相等的斜线段的射影也相等，较长的斜线段的射影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短。
3、直线和平面所成的角，范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ①斜线和平面所成的角：平面的斜线和它在这个平面内的射影所处的锐角。
范围为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα②若直线和平面垂直，则线面所成的角为直角。
③若直线和平面平行或在平面内，则线面所成的角为︒0的角。
4、①斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角。
②斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中的最小角。
5、三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：,PO PA 分别是平面α的垂线和斜线，OA 是PA 在平面α内的射影，a α⊂，且a OA ⊥ 求证：a PA ⊥； 说明：定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系。
6、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用7、①如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上②如果经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线二、高考题集1、（2006年全国卷II ）如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6，过A 、B 分别作两平 面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′＝ ( ) （A ）2∶1 （B ）3∶1 （C ）3∶2 （D ）4∶32、（2006年四川卷）在三棱锥0ABC -中，三条棱,,OA OB OC 两两互相垂直，且,OA OB OC M ==是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成角的大小是_______（用反三角函数表示）αβA BA ′B ′3、（2006年重庆理）对于任意直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ）.（A ）平行 （B ）相交 （C ）垂直 （D ）互为异面直线 4、（07湖北•理•4题）平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ；③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.45、（08四川卷９）设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( )（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条 6、已知异面直线a 与b 所成的角为500，P 为空间一点，则过点P 与a 、b 所成的角都是300的直线有且仅有（ ）()A 1条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条7、如图5，正方体1111ABCD A B C D -中，点11M AB N BC ∈∈，，且AM BN =，有以下四个结论：①1AA MN ⊥；②11A C MN ∥；③MN 与面1111A B C D 成0角；④MN 与11A C是异面直线．其中正确结论的序号是 。
线面角的三种求法
长方体ABCD A1B1C1D1 , AB 3，BC 2, A1A 4，求AB与面AB1C1D 所成的角的正弦值
设点B到平面 AB1C1D的距离为 h 1
练 习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面
成角，B是A在上的射影,OD是内的
直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6
解:
3
由最小角原理得ຫໍສະໝຸດ cosAOD cosBODcos
即cos 60 cos30 cos
。
A
O
B
C
D
cos 3
3
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面 的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂 直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
例题
例1 . 如图，在Rt△ ABC中，已知
∠C=90，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且 PA= 2 ，求PB与平面PAC所成的角.
A
B
α
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
VB AB1C1 VABB1C1 3 SBB1C1 • AB 得h 12
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3. 直线和平面平行，或在平面内， 线面所成的角是0 的角。
例1:如图,已知AB为平面α的一条斜线,B 为斜足,AO⊥α, O为垂足,BC为α内的 一条直线∠ABC=60°,∠OBC=45°,求斜 线AB和平面α所成的角.
A
B
O
C
例2:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求（1）BＣ１与平面ABCD所成的角.
（2）Ｄ1B与平面A1B1C１D１所成的角。
D1 A1 B1 C1
总结步骤：
C
D A B
例3:如图,在Rt⊿ABC中，∠C=90°, ∠ABC=30°,BC=24，BC在平面α内，且 AC边和平面α成45°角，求AB与平面α 所成的角.
A
B
C
复 习
1.线线角
-------相交直线所成的角 -------异面直线所成的角
取值范围：， ] (0 2
2、求法三步：找（作）---证---算
平面的斜线，斜足。
O
斜线段。
斜线在这个平面上的射影；
A
B
斜线段在这个平面上的射影。
斜线上任意一点在平面上的 射影，一定在斜线的射影上。
θ1 为斜线AO与AO在α 上的射影AB所成的角 θ2 为射影AB与平面α内直线AC所成的角 θ 为斜线AB 与平面α内直线AC所成的角
O
cos =cos １ cos２
A
1
C
Байду номын сангаас
２
B
最小角定理
平面的斜线和它在平面内的射影所 成的角，是这条斜线和平面内经过斜 足的直线所成的一切角中最小的角。
线面角 的范围是[0，90]。 1.平面的斜线和平面所成的角
(平面的斜线和它在平面上的射影的夹角).
1
2.一条直线垂直平面,线面所成的角是直角.