球的体积和表面积(比赛稿)共29页文档
球的表面积和体积Microsoft PowerPoint 演示文稿
面 们 运 上 方导 球 体 公 下 我 就 用 述法 出 的 积 式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 即先把半球分割成 部分，再求出每一部分的近似体积， 部分 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑 变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积． 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式． 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．
球的表面积
∆S i
o
o
球的表面积 球面被分割成n个网格，表面积分别为： 球面被分割成n个网格，表面积分别为：
第 一 步： 分 割
, ， ∆S1 ∆S2， S3,L ∆Sn ∆
O 则球的表面积： 则球的表面积：
2
球的体积
R r = R −[ (i −1 2 , i =1 2 L n )] , , , i n R π 3 R i −1 2 2 V ≈π i ⋅ = r [1−( ) ], i =1 2L n , , i n n n
2
V 球 =V +V +L V + n 1 2 半
12 + 22 +L (n−1)2 + [n− ] ≈ 2 n n
1.3.2《球的表面积和体积》
球的体积
高等于底面半径的旋转体体积对比
R α
1 3 V 锥 = πR 圆 3
V半球 = ?
3 3 V 柱 = πR 圆 3
2 3 4 3 R R 猜 :V 球 = π , 从 V = π . 测 半 而 3 3
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来． 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法． 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
人教版数学高一必修二1.3.2 球的体积和表面积 (共29张PPT)
——数学必修2
球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集
合，叫做 球面 。
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。
球表面积公式： S 4 R2
球体积公式：
V 4 R3
A C
P
O B
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
类型二、直棱柱
例2：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形， 且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
类型三、对棱相等
r 6a 12
6 r内 12 a
R棱＝
2a 4
R外＝
6 4
a
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
课后练习：利用直角三角形勾股定理求正四面体 的外接球、内切球半径。
P
R A
R O
M B
C D
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿cm3.
R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
P
V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4
A
C M
D
B
r1h 4
球的表面积和体积
球
生活中常见的球体：
思考：
一
球的概念是什么？
二
三
球有哪些性质？
如何求球的体积
和表面积？
球的概 念和性 质
一
球的概念
如图所示，半圆以它的直 径为旋转轴，旋转所成的曲面 叫做球面. 球面所围成的几何 体叫做球体，简称球. 半圆的 圆心叫球心,图中点O. 连结球 心和球面上任意一点的线段叫 做球的半径，图中线段R. 连结 球面上两点并且经过球心的线 段叫做球的直径，图中线段AB.
直径.求证： （1） 球的表面积等于 圆柱的侧面积； （2） 球的表面积等于 圆柱全面积的2/3. 证明：（1）设球的半径为 R，则圆柱的底面半径 为R，高S球 4 R ， 2 S圆柱面 2 R 2R=4 R .
2
S球 S圆柱面 .
(2)
S圆柱全 4 R 2 R 6 R ,
球的概 念和性 质
二
球的性质
用一个平面（如图中平面 ）去截一个球， 截面是圆面，球的截面有下面的性质： ⑴、球心和截面圆心的连线 垂直于截面（如图直线o1o2 垂直于平面 ）； o ⑵、球心到截面的距离d R d 与球的半径R及截面的半 r o 径r有下面的关系：
1 2
r R d
2
2
例题 讲解 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的 例2、
课堂 小结 熟练掌握球的体积、表面积公式：
4 3 ①V R 3 2 ②S 4 R
A
C RO
B
球的概 念和性 质
一
球的概念
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆（如 图中红色部分），被不经过球心的截面截得的圆叫 做小圆（如图中绿色部分）. Q 球面上两点之间最短连线 的长度，就是经过这两点的 大圆在这两点间的一段劣弧 O 的长度，这个弧长叫做两点 P 的球面距离（如图中 PQ的长 度就是P、Q两点之间的球面 距离 ）.
球的表面积和体积-范本模板
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2（R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝错误!πR3（R为球半径）球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中,若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球,内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（）A.错误!B．1C．2 D．32．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为（）A．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（)A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ）A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ )A ．πa 2B 。
球的体积与表面积
在光学中，光线在真空中传播时是沿直线传播的，但在通过透镜等光学元件时，光线会发 生折射和反射。透镜的形状通常为球体的一部分，因此了解球体的光学性质对于光学设计 和研究非常重要。
数学物理方程
在数学物理方程中，球对称解是指解函数与球坐标系中的角度变量无关的解。在求解某些 偏微分方程时，如果解函数具有球对称性，则可以大大简化求解过程。
球体与多面体的关系
多面体是指具有多于3个面和顶点的几何体。当多面体的所有面都是三角形时，称为正多面体。正多 面体的每个面都是一个等边三角形，且所有面都是全等的。正多面体的每个顶点都是三条边的交点， 且所有顶点都是全等的。
球体在物理学中的应用
地球物理学
地球是一个近似于球体的天体，其表面积和体积的计算对于地球物理学的研究非常重要。 地球的赤道半径约为6378公里，地球的极半径约为6357公里，地球的平均半径约为6371 公里。
05
球的体积与表面积的实例 分析
地球的半径与表面积
总结词
地球是一个近似于球体的天体，其半径约为6371公里， 表面积约为5.1亿平方公里。
详细描述
地球的半径是通过大地测量和卫星轨道测量相结合的方 法得出的，而地球的表面积则是由球体的表面积公式计 算得出。地球的表面积包括了陆地和水域，是地球表面 各种自然和人文地理现象的重要基础数据。
球表面积的应用
总结词
球表面积的应用非常广泛，包括计算球的表面积、设计球形物体、研究球形物体的物理 特性等。
详细描述
在物理学、工程学、天文学等领域，经常需要计算球体的表面积。例如，在研究地球的 表面温度分布、设计球形建筑或容器等方面，都需要用到球表面积的计算公式。此外， 在研究球形物体的物理特性时，如球的滚动摩擦力、空气阻力等，也需要用到球表面积
球的表面积与体积
球的表面积与体积球，在我们的日常生活中随处可见，小到孩子们玩耍的弹珠，大到体育场上的篮球、足球，甚至是宇宙中的行星，都可以看作是球的形态。
而球的表面积和体积，是描述球的两个重要的几何量。
首先，咱们来聊聊球的表面积。
想象一下，一个皮球的表面，如果要给它裹上一层布，那需要多少布呢？这就涉及到球的表面积的计算。
球的表面积公式是4πr²，其中 r 是球的半径，π呢，约等于 314。
为什么会是这个公式呢？咱们可以试着这样理解。
把一个球沿着经线和纬线切成很多小块，就像切西瓜一样。
然后把这些小块展开铺平，就会发现它们近似于一个个小的矩形。
这些小矩形的面积之和就接近球的表面积。
当切的块数越来越多，越来越细，就会越来越接近球的真实表面积。
那这个公式有啥用呢？比如说，我们要给一个球形的建筑物做外表面的装修，知道了球的半径，就能算出需要多少材料来覆盖它的表面。
又或者在化学实验中，要计算一个球形容器的外表面积，以确定某种物质能在其表面发生反应的量。
接下来，再说说球的体积。
球的体积公式是4/3πr³。
这又代表着什么呢？想象一下一个充满水的气球，里面水的总量就是球的体积。
咱们还是来尝试理解一下这个公式。
可以把一个球看作是由无数个很薄的同心球壳组成的。
每个球壳的体积可以近似看作是一个很薄的圆柱体的体积，其底面面积是圆的面积πr²，高度呢就是这个球壳的厚度 dr。
对所有这些球壳的体积进行积分，就能得到球的体积公式。
球的体积公式在实际生活中的应用也非常广泛。
比如，在计算一个球形水箱能装多少水的时候，就用得上这个公式。
在工程领域，要知道一个球形零件所占的空间大小，也需要通过这个公式来计算。
再进一步想想，球的表面积和体积之间有没有什么关系呢？其实是有的。
当球的半径增大时，表面积和体积都会增大，而且体积增大的速度比表面积快。
这也反映了一个有趣的现象，就是随着球的变大，其内部所包含的空间增长得比表面的面积更快。
球的表面积和体积公开课获奖课件
球体积
例4 某街心花园有许多钢球（钢密度是
7.9g/cm3），每个钢球重145kg，并且外径
等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实
心还是空心．假如是实心，请你计算出它内径
（π取3.14，成果精确到1cm）．
解：由于外径为50cm
钢球质3量为 2：
7.9 4 50 517054 (g) 3
提出问题
怎样求球表面积和体积？ 球既没有底面，也无法象柱、锥、台体同样展成平 面图形，怎样求球表面积和体积呢？
第5页
试验措施
m V V m
第6页
试验措施
试验：排液法测小球体积
h
第7页
试验措施
试验：排液法测小球体积
小球体积 等于
它排开液体体积
H h
曹冲称象
第8页
温故知新
回忆圆面积公式推导
第24页
第12页
球体积
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2,, n n
Vi
ri 2
R n
R 3
n
[1 ( i
1)2 ], i n
1,2, n
V半球 V1 V2 Vn
R3 {1 [1 1 ] [1 22 ] [1 (n 1)2 ]}
n
n2
n2
n2
R3
n
[n
12
22
n2
第19页
球表面积
第 二 步： 求 近 似 和
Si
hi
O
O
Vi
Vi
1 3
S
i
hi
由第一步得： V V1 V2 V3 Vn
V
1 3
S1h1
球的体积与表面积
球的体积与表面积球是一种立体几何体，具有很多特点和属性。
其中，体积和表面积是球的两个重要参数，用于描述球的大小和形态。
本文将详细介绍球的体积和表面积的计算方法，并探讨一些与球相关的实际问题。
一、球的体积球的体积表示了球所占据的空间大小。
对于一个给定的球，其体积可以通过以下公式计算得出：V = (4/3)πr³其中V表示球的体积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r表示球的半径。
通过上述公式，我们可以轻松计算出球的体积。
例如，假设球的半径为5cm，那么根据上述公式，可以得到球的体积为：V = (4/3)π(5)³ ≈ 523.6cm³二、球的表面积球的表面积表示了球的外部覆盖面积。
同样，对于一个给定的球，其表面积可以通过以下公式计算得出：A = 4πr²其中A表示球的表面积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r表示球的半径。
通过上述公式，我们可以轻松计算出球的表面积。
例如，假设球的半径为5cm，那么根据上述公式，可以得到球的表面积为：A = 4π(5)² ≈ 314.16cm²三、球体积与表面积的关系从球的体积和表面积的计算公式可以看出，球的体积与半径的立方成正比，而表面积与半径的平方成正比。
这意味着球的体积和表面积都与球的半径密切相关。
当球的半径增大时，其体积和表面积也会增大。
例如，当半径由5cm增加到10cm时，根据上述公式计算可以得到新球的体积为：V = (4/3)π(10)³ ≈ 4188.8cm³同时，新球的表面积为：A = 4π(10)² ≈ 1256.64cm²可以看出，新球的体积和表面积较原来的球都有所增大。
这一点在实际应用中十分重要，例如在建筑设计、物体容器容量计算等方面都会涉及到。
四、实际应用举例球的体积和表面积在现实生活中有着广泛的应用，下面举几个例子说明其重要性：1. 建筑设计：在建筑设计中，对于球形结构（如球形穹顶、球形体育馆等），需要计算球的体积和表面积，以合理规划结构和空间。
球的表面积与体积.doc
§1.3.2 球的表面积与体积
教学目标：
1．掌握球的表面积与体积公式
2．能运用球的表面积与体积公式解决一些简单问题
教学重点：
球的表面积与体积公式
教学难点：
球的表面积与体积公式的应用
教学过程：
1．球的基本概念及性质：
2．球的体积公式343
球V R π=
． 3．球的面积公式24球S R π=． 例题讲解
例1．已知两球的体积之和为12π，两球的大圆周长之和为6π，求此两球的半径．
例2．一个正方体内接于半径为R 的球内，求正方体的体积．
例3．一个正三棱锥的侧棱和底面边长都是1，求它的外接球的表面积、体积。
变式。
一个正三棱锥的侧棱两两垂直且边长都是1，求它的外接球的表面积、体积。
例4．已知球的两个平行截面的面积分别为25cm π和28cm π，且截面位于球心的同一侧，
它们相距1cm ，求该球的球面面积．。
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r2
R2 (R)2 , n
r3
R2 (2R)2, n
A §9.11球的体积和表面积
球的体积
山东省临沂一中
ri
O
R (i 1)
n
R
O
第i层“小圆片”下底面半的径：
ri
R 2[R(i1)2 ],i1,2,n . n
§9.11球的体积和表面积
球的体积
山东省临沂一中
ri
R 2[R(i1)2 ],i1,2,,n n
V ir i2R n R n 3[1 (i n 1 )2 ]i, 1 ,2 ,n
V 半 球 V 1V 2V n
R 3 1222(n1)2
[n n
n2
]
R n3[nn 12(n1)n 6(2n1)]
R 3[1n 1 2(n1)6 2 (n1)]
§9.11球的体积和表面积
球的体积
山东省临沂一中
下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．
1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块, 每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似 看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近 于甚至等于球的表面积.
2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大, 越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力．
能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
§9.11球的体积和表面积
重点难点
教学重点
➢球的体积公式及应用
山东省临沂一中
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它 的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
1
1
(1 )(2 )
V半 球 R3[1
n
n]
6
当 n 时 , 10. n
V 半球
2 R 3
3
从而 V 4 R 3 .
3
定理：R 半 的径 球是 的体 V 积 4R 为 3 ：
3
§9.11球的体积和表面积
球的表面积
山东省临沂一中
球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图 求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法, 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?
§9.11球的体积和表面积
球的表面积
山东省临沂一中
Si
o o
§9.11球的体积和表面积
球的表面积
山东省临沂一中
第 一 步： 分 割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
S 1 ， S 2 ， S 3, ,S n
则球的表面积： O
S S 1 S 2 S 3 S n
设 “ 小 锥 体 ” 的 体 积为 Vi
2x4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
§9.11球的体积和表面积
例题讲解
山东省临沂一中
(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体
侧棱长为5cm S侧65215c0m 2
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
例题讲解
Si
O Vi
则球的体积为：
V V 1V 2V 3 V n
§9.11球的体积和表面积
球的表面积
山东省临沂一中
第 二 步： 求 近 似 和
Si
hi
O
O
Vi
Vi 13Sihi
由第一步得： V V 1V 2V 3 V n
1
1
1
1
V 3S 1h 1 3S 2h 2 3S 3h 3 3S nh n
球的体积
山东省临沂一中
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新
拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 R和R的矩.形
那么圆的面积就近似于等R2 .
§9.11球的体积和表面积
球的体积
山东省临沂一中
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．
§9.11球的体积和表面积
例题讲解
山东省临沂一中
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
7.9[4(5)34x3]142
32 3
x3(5 2)37 1 .9 4 43 21.1 3
由计算器算得: x2.24
分割
求近似和
化为准确和
下面我们就运用上 法述 导方 出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
§9.11球的体积和表面积
A
球的体积
山东省临沂一中
A
O
C2
O
B2
r1 R2 R,
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
球的表面积
第 三 步：
Si
hi
化
Vi
为
准 确
Si
R
和
O Vi
如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥
hi的 值 就 趋 向 于 球 的 半R径
Vi 13SiR
V 1 3S iR 1 3S 2R 1 3S 3R 1 3S n R
1 3R (S iS 2S 3.. .S n)1 3RS
天书才成就功山少是=勤有艰百小分苦路奋不之的、勤一劳守学为的动灵径习纪+感正，、，确学老自百的海分来强方之无、法徒九自崖+十少伤九苦律谈的悲！作空汗话水舟！
教学目标 重点难点 球的体积 球表面积 退出 例题讲解 课堂练习 课堂小结 课堂作业 封底
§9.11球的体积和表面积
教学目标
山东省临沂一中
掌握球的体积、表面积公式．
又球的体积V为 4： R3
3
4R 31R,S 从S 而 4 R 233§9.1来自球的体积和表面积例题讲解
山东省临沂一中
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
V4R 34(5)312 c5m 3
3
32 6
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
➢球的表面积公式及应用
教学难点
➢球的表面积公式的推导
➢球的体积公式的推导
分割 求近似 和化为准确和思想
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
球的体积
高等于底面半径的旋转体体积对比
R
V圆
锥
1 R3
3
V半球 ?
V圆
柱
3 R3
3
猜:V 测 半 球 3 2R 3,从 V 而 4 3R 3.
§9.11球的体积和表面积