二次函数复习导学案
二次函数复习课导学案
第二十六章二次函数复习课导学案【中考考点透析】1、熟练掌握二次函数的一般式和顶点式，能确定其三要素并画出草图。
2、熟练掌握函数的平移规律。
3、能将二次函数的一般式转化为顶点式。
4、熟知二次函数的性质（增减性、对称性、最值等）5、理解二次函数与一元二次方程的关系6、能够用待定系数法求二次函数的解析式。
7、能够建立二次函数模型解决实际问题8、体会数形结合、分类讨论、平移变换、建模等数学思想一、知识回顾（做题并反思各考查了本章中的哪些知识？你是如何解决的？）1．下列函数一定是二次函数的是 （ ）A ．232y x =+B ．221y ax x =++C ．22(1)y x x =--D ．212y x =- 2．二次函数2(1)3y x =-+的图像顶点坐标是（ ） A ．（-1,3） B ．（1,3） C ．（-1,-3） D ．（1,-3）3．22y x =-的图像向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新图像的表达式（ ）A ．22(3)2y x =---B ．22(2)3y x =--+C ． 22(3)2y x =-++D ．22(3)2y x =-+-4．抛物线223y x x =-+的顶点坐标是 ，对称轴是 ；当x 时，y 随x 增大而减小，当x 时，y 随x 增大而增大；当x 时，函数有最 值，其最值为 。
5．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的两个交点坐标为（-2,0），（1,0），则关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根为 。
6.抛物线228y x x =--与x 轴有 个交点。
7、函数2y ax bx c =++的图像如图所示，对称轴为直线1x =，根据这个图像，你能得到哪些结论？二、综合应用8、当m为何值时，函数22(2)m y m x-=-是二次函数（A ．2± B ．2 C ．-2 D ．09、抛物线2y x bx c =++上有两点（3,0）和（-5,0），则此抛物线的对称轴是直线（ ） A ．4x = B ．3x = C ．5x =- D ．1x =-变1：抛物线2y x bx c =++上有两点（3,5）和（-5,5），则此抛物线的对称轴是直线（ ） 变2：抛物线2y x bx c =++上有两点（3,7）和（-5,7），则此抛物线的对称轴是直线（ ） 10、如图，抛物线26y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点M 使得23AMO COB S S ∆∆=，若存在求出M 的坐标，若不存在请说明理由。
九年级 二次函数 导学案17个
1NO.1《函数与它的表示法》导学案学习目标：1.熟练掌握函数表示方法，会求自变量取值范围，并能解决生活中的函数问题。
2.体会函数建模思想在实际生活中的应用，3.感受数学在生活中的魅力．预习案出函数图象． （２）．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？【归纳】__________________________________________叫做函数解析式或______________ _________________________叫做解析法___________________________叫做列表法 __________________________________________叫做图像法 【探究点二】2、如图，一辆汽车在行驶中，速度v 随时间t 变化的情况如图所示.（1）在这个问题中，速度v 与时间t 之间的函数关系是 用哪种方法表示的？_______________（2）时间t 的取值范围是什么？______________________。
（3）当时间t =______，汽车行驶的速度最大，最大速度是______； 当时间t =______时，速度为0？当t__________时，汽车的行驶速度逐渐增加？当t__________时，汽车的行驶速度逐渐减少？当t__________时，按匀速运动行驶?【典型例题】3、一根蜡烛长20cm,每小时燃掉4cm.(1)写出蜡烛剩余的长度y （cm ）与燃烧时间x （h ）之间的函数解析式.(2)求自变量x 可以取值的范围;(3)蜡烛点燃2h 后还剩多长?4、求下列函数中自变量x 的取值范围(1) y=3x+2 335x -（2）y =(3)4y （）探究案1、等腰三角形ABC 的周长为10cm,底边BC 长为y (cm), 腰AB 长为x （cm ） (1)写出y 与x 之间的函数解析式; (2)指出自变量x 可以取值的范围.2的正方形ABCD 的一边BC 上，有一动点P 从B 点运动到C 点，设PB=x ，四边形APCD 的面积为y 。
九年级数学二次函数复习导学案
九年级数学二次函数复习导学案一、中考要求：1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3．会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(x-h)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4．会用待定系数法求二次函数的解析式；5.利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
二、知识要点：1.二次函数的图象在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+ )2+ 的形式,先确定顶点( , ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而 ;在对称轴的右侧,y随x的增大而 ;简记左减右增,这时当x= 时,y最小值= ;反之当a<•0时,简记左增右减,当x= 时y最大值= .3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法(1)一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y•的值)•可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;(2)在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k，顶点是（h，k）;(3)在所给条件中已知抛物线与x•轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解.4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即(1)当抛物线与x轴有两个交点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根;(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根;（3）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,•方程ax2+bx+c=0无实根.5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定（1）a的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口当a<0时,•抛物线开口 ;（2）c的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定.当c 0时,抛物线交y轴于正半轴;当c 0时,抛物线交y轴于负半轴;（3）b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y•轴左侧时,b的符号与a的符号相同;当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号相反;•简记左同右异.三、典例剖析：例1（1）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则点M（b，ca）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例2(1)若二次函数y =（m + 1）x 2 + m 2 – 2m – 3的图象经过原点，则m 的值必为 （ ）A ．– 1和3 B.– 1 C.3 D.无法确定(2)已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．例3如图，已知抛物线b ax ax y --=22（0>a ）与x 轴的一个交点为(10)B -，，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标；（2）以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的解析式；②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上， 且以E F A B ，，，四点为顶点的四边形 为平行四边形，求点F 的坐标．四、随堂练习：1.已知函数42)1(22-++-=m x x m y ．当m 时，函数的图象是直线；当m 时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上且经过原点的抛物线．2.对于y = ax 2（a ≠0）的图象，下列叙述正确的是（ ）A.a 越大开口越大，a 越小开口越小B.a 越大开口越小，a 越小开口越大C.| a |越大开口越小，| a |越小开口越大D.| a |越大开口越大，| a |越小开口越小3.抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平 移 个单位而得到．4.若抛物线y=(m-1)x 2+2mx+2m-1的图象的最低点的纵坐标为零，则m=_______.5.已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值–1，则a 与b 之间的大小关系是（ ）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定6.已知方程05322=--x x 的两根是25，-1，则二次函数5322--=x x y 与x 轴的两个交点间的距离为 ．7.抛物线过点A （2，0）、B （6，0）、C （1，3），平行于x轴的 直线CD 交抛物线于点C 、D ，以AB 为直径的圆交直线CD 于点E 、F ，则CE+FD 的值是 （ ）A ．2B ．4C ．5D ．68. 如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线2112y x =-运动，当⊙P 与坐标轴相切时，圆心P 的坐标为9.函数132++-=x ax ax y 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的值及交点坐标．10. （1）将抛物线y 1＝2x 2向右平移2个单位，得到抛物线y 2的图 象,则 y 2= ；（2）如图，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值 。
二次函数知识点归纳(导学案)
函数专题复习 —— 二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如 的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而 可以为零．二次函数的定义域（自变量取值范围）是 ． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是 ，右边是关于自变量x 的 ，x 的最高次数是 ．⑵ a b c ，，是常数，a 是 ，b 是 ，c 是 ． 例：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：例1：抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ）A. 直线3-=xB. 直线3=xC. 直线2-=xD. 直线2=x例2：抛物线322+-=x x y 的对称轴是 例3：二次函数322+-=x x y 的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 3 D .-2三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数基础上“h 值正 移，h 值负 移；k 值正 移，k 值负 移”．概括成八个字“ 加 减， 加 减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移：向上平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成向下平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成⑵c bx ax y ++=2沿X 轴平移：向左平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成向右平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成例1：把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是532+-=x x y ，则有（ ）A. 3=b ，7=cB. 9-=b ，15-=cC. 3=b ，3=cD. 9-=b ，21=c四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中h = ，k = ．例1：将二次函数322+-=x x y 配方成k h x y +-=2)(的形式，则y =______________________五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点： ， ， ， ， . 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而 ；当2b x a >-时，y 随x 的增大而 ；当2bx a =-时，y 有最小值 ． 2. 当0a <时，抛物线开口 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而 ；当2b x a >-时，y 随x 的增大而 ；当2b x a=-时，y 有最大值 ． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式： （a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 交点式： （0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. （也称两根式） 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点 即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a ： 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口 ，a 的值越大，开口 ，反之a 的值越小，开口 ； ⑵ 当0a <时，抛物线开口 ，a 的值越小，开口 ，反之a 的值越大，开口 ．总结起来，a 决定了抛物线开口的 ，a 的 决定开口方向， 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b ： 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下， 当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴 侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是 ； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的 侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴 侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是 ； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的 侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c ： ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴 方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 ；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标 ，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 ； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴 方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 ． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用 ；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用 ；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用 ；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用 ．例1 二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(ac b M 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限例2 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，• 则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b =0；④当y=-2时，x 的值只能取0. 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3请你写出函数2)1(+=x y 与12+=x y 具有的一个共同性质：_____ __________.例4已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.例5已知二次函数c bx ax y ++=2，且0<a ，0>+-c b a ，则一定有（ ）A. 042>-ac bB. 042=-ac bC. 042<-ac bD. ac b 42-≤0例6二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ）A. 0>M ，0>N ，0>PB. 0<M ，0>N ，0>PC. 0>M ，0<N ，0>PD. 0<M ，0>N ，0<P 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达.1. 关于x 轴对称：2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是 ；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是 ；2. 关于y 轴对称：2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是 ；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是 ；3. 关于原点对称：2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是 ； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是 ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是 ；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是 ．5. 关于点()m n ，对称： ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当 时的特殊情况。
九年级数学《二次函数》单元复习(导学案)
九年级数学《二次函数》单元复习（导学案）复习目标:1.体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念.2.会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴,并会确定最值.3.会运用待定系数法求二次函数的解析式.4.能根据图象判断二次函数a、b、c的符号及一些特殊方程或不等式是否成立.5.会将实际问题转化为函数问题,并利用函数的性质进行决策.一、基础知识归类和整理1.二次函数的概念及图象特征:(1)二次函数:如果 ,那么y叫做x的二次函数,图象是线(2)二次函数顶点式:通过配方y=ax²+bx+c可写成 ,它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线。
a值函数的图象及性质a>0 （1）开口向上，并向上无限伸展；（2）当时，函数有最小值当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.a<0 （1）开口向下，并向下无限伸展；（2）当时，函数有最大值当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小.3.二次函数图象的平移规律:y=ax²⟺y=ax²+k ⟺y=a(x+h)²+k,抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)可由抛物线y=ax²(a≠0)平移得到.由于平移时,抛物线上所有的点的移动规律都相同,所以只需研究其顶点移动的情况,因此有关抛物线的平移问题,需要利用二次函数的顶点式来讨论。
4.二次函数解析式的确定:用待定系数法可求出二次函数的解析式,确定二次函数一般需要三个独立的条件,根据不同的条件选择不同的设法:(1)设一般形式: ；(2)设顶点形式: ；(3)设交点式: 。
a 的作用决定开口方向a>0开口 ；a<0开口 决定开口的大小 ︳a| 越大，抛物线的开口b 的作用b 与a 同号ab2-＜0，顶点在y 轴的 侧 b 与a 异号ab2-＞0，顶点在y 轴的 侧 顶点在y 轴上c 的作用 c>0抛物线与y 轴的交点在y 轴的 c<0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的c=0 抛物线过 点 b ²-4ac b ²-4ac>0抛物线与x 轴有 交点 b ²-4ac<0 抛物线与x 轴有 交点 b ²-4ac=0抛物线与x 轴有 交点解决实际应用问题的关键是选准变量,建立好二次函数模型,同时还要注意符合实际情景。
二次函数的复习教案
二次函数的复习教案教案标题：二次函数的复习教案教案目标：1. 复习学生对二次函数的基本概念和性质的理解。
2. 强化学生对二次函数图像、顶点、轴对称性和零点的掌握。
3. 提高学生解决与二次函数相关的实际问题的能力。
教学时长：2个课时教学步骤：第一课时：1. 导入（5分钟）- 通过提问引起学生对二次函数的兴趣，例如：你知道什么是二次函数吗？它有哪些特点？2. 复习基本概念（15分钟）- 提醒学生二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，并解释a、b、c的含义。
- 回顾二次函数的图像特点，如开口方向、顶点位置等。
- 强调二次函数的轴对称性和零点的概念。
3. 图像练习（20分钟）- 展示几个不同形态的二次函数图像，要求学生根据图像特点判断函数的开口方向、顶点和轴对称性。
- 给学生一些简单的二次函数，要求他们画出对应的图像，并标出顶点和轴对称线。
4. 零点练习（15分钟）- 提供一些二次函数的方程，要求学生解方程求出零点。
- 引导学生思考零点与图像的关系，例如：零点在图像上对应什么位置？第二课时：1. 复习顶点和轴对称线（10分钟）- 提醒学生顶点是二次函数图像的最高点或最低点，轴对称线通过顶点并将图像分为两部分。
2. 实际问题解决（20分钟）- 提供一些与实际问题相关的二次函数，要求学生解决问题。
- 引导学生将问题转化为二次函数的方程，并解方程求出答案。
3. 总结（10分钟）- 回顾本节课所学内容，强调二次函数的重要性和应用。
- 鼓励学生通过做更多的练习来巩固所学知识。
教学方法和教学资源：1. 教学方法：- 提问法：通过提问引导学生思考和回忆所学知识。
- 演示法：展示二次函数图像和实际问题，帮助学生理解和解决问题。
2. 教学资源：- PowerPoint幻灯片或白板，用于展示图像和问题。
- 二次函数练习题，包括图像练习和实际问题练习。
评估方法：1. 课堂表现评估：- 观察学生在课堂上的参与度和回答问题的准确性。
人教版九年级数学上册第22章二次函数《复习课》导学案
人教版九年级数学上册第22章二次函数《复习课》导学案第二十二章复课1.知道二次函数的概念、图象和性质,能根据解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数的增减性.2.知道抛物线与对应的一元二次方程的关系,会用待定系数法求二次函数的解析式.3.能够运用二次函数解决一些实际问题,从中体会数学建模思想.4.重点:二次函数解析式的求法,二次函数的图象、性质和应用.◆体系构建◆核心梳理1.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程的关系:(1)当b2-4ac>时,抛物线与x轴有2个交点,对应的一元二次方程有两个不相等的实数解;(2)当b2-4ac=时,抛物线与x轴有1个交点,对应的一元二次方程有两个相等的实数解;(3)当b2-4ac<时,抛物线与x轴无交点,对应的一元二次方程无实数解.3.填表:特征函数启齿偏向对称轴极点坐标(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)最值最小值最大值最小值k最大值k最小值最大值最小值k最大值k最小值y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k a>时启齿向上a<时开口向下a>时开口向上a<时启齿向下a>时启齿向上a<时启齿向下a>时开口向上a<时开口向下a>时启齿向上y轴y轴x=hx=hy=ax2+bx+ca<时开口向下x=-(-,)最大值专题一:二次函数的概念、图象和性质1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个代数式中,值为正数的有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个2.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象可能是(C)3.如图,已知二次函数y 1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于A(-2,4),B(8,2),则能使y1>y2成立的x的取值范围是x<-2或x>8.【方法归纳交流】根据抛物线的开口方向判断a的正负;根据抛物线与y轴的交点判断c的值;若抛物线的对称轴在y 轴左侧,则a与b同号,若抛物线的对称轴在y轴右侧,则a与b异号;根据抛物线与x轴交点的个数判断b2-4ac的符号.专题二:求抛物线的顶点和对称轴4.求抛物线y=x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标.(用两种方法)解:(1)y=(x2-8x+10)=[(x2-8x+16)-16+10]=(x-4)2-3,所以抛物线的开口向上,对称轴是x=4,顶点坐标是(4,-3).(2)对称轴:x=-=4,y最小==-3,顶点坐标为(4,-3).【方法归纳交流】求抛物线的顶点和对称轴一般有两种方法:配方法和公式法.专题三:抛物线的平移5.申明抛物线y=-3x2-6x+8通过如何的平移,可获得抛物线y=-3x2.解:配方:y=-3x2-6x+8=-3(x2+2x-)=-3[(x2+2x+1)-1-]=-3(x+1)2+11,∴抛物线的顶点坐标是(-1,11),∴把抛物线y=-3x2-6x+8先向右平移1个单位长度,再向下平移11个单位长度得到y=-3x2.6.如图,抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A、B,且过点C(5,4).(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标;(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的解析式.解:(1)把C(5,4)代入y=ax2-5ax+4a,得25a-25a+4a=4。
《二次函数》的复习教学设计
《二次函数》的复习教学设计复习教学设计：二次函数一、教学目标：1.理解二次函数的定义及其特点；2.掌握二次函数的图像、顶点、轴、对称轴等性质；3.能够根据二次函数的特点解决实际问题。
二、教学内容：1.二次函数的定义和基本形式；2.二次函数的图像和性质；3.二次函数的最值、零点及其应用。
三、教学步骤：步骤一：导入新知1.导入教学话题：“二次函数”，以回顾前几节课所学内容，引发学生对二次函数的认识和兴趣。
2.提问：“你能简单回忆一下二次函数是什么吗？”让学生简单复述二次函数的定义。
步骤二：概念及定义讲解1. 讲解二次函数的定义和基本形式，即f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数。
2.引导学生理解a、b和c对二次函数图像的影响，如a决定了抛物线的开口方向和宽度，b决定了抛物线的位置偏移，c决定了抛物线与y轴的交点位置。
步骤三：图像及性质讲解1.讲解二次函数图像的性质，包括图像的开口方向、顶点、对称轴等。
2.通过示例分析，引导学生找出二次函数的顶点、对称轴及其它特征，让学生能够根据函数表达式确定图像的形状。
步骤四：实例分析及概念巩固1.给出一些具体的函数表达式，引导学生根据图像的特征进行分析，并求出对应的顶点、对称轴、开口方向等。
2.提问：“当a为正数时，抛物线的开口方向是向上还是向下？当a为负数时又怎样？”让学生总结出结论。
3.给出一些特殊情况的函数表达式，让学生分析并给出对应的图像和性质。
步骤五：最值、零点及应用讲解1.讲解二次函数的最值和零点，包括二次函数最值的判断和求解，以及二次函数零点的判断和求解。
2.引导学生通过实例分析，掌握解二次函数实际问题的方法和步骤。
3.给出一些实际问题，让学生通过建立等式或不等式解决，加深对二次函数的运用和理解。
步骤六：巩固练习1.布置相应的练习题，让学生通过计算和绘图巩固所学内容。
2.引导学生将练习题的解答和图像进行对比，分析解题方法和图像的关系。
二次函数(2)导学案
二次函数（2）导学案一、学习目标1．使学生会用描点法画出二次函数c bx ax y ++=2的图象； 2．使学生能结合图象确定抛物线c bx ax y ++=2的对称轴与顶点坐标； 二、课前准备：（一） 自主学习： 下面通过画二次函数216212+-=x x y 的图像，讨论一般的怎样画二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像。
配方可得：216212+-=x x y ）（）（+=221x y由此可知，抛物线216212+-=x x y 开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是利用对称性画21612+-=x x y 的图像。
（二)交流合作：（1）列表时选值，应以 为中心，函数值y 可由对称性得到． （2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出 ，并用虚线画 ，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索:对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？配方可得：c bx ax y ++=2 ）（）（+=2xa y 由此可知，抛物线c bx ax y ++=2对称轴 ，顶点坐标 ．（三）尝试运用：1．二次函数x x y 22--=的对称轴是 ． 2.二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ， 当x 时，y 随x 的增大而减小．3.抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．4．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a = ．c= ．（四）性质归纳：（1）c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标（2）抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象上： ①当a>0时，抛物线c bx ax y ++=2开口向 ．对称轴左侧（即x ）, 函数值y 随x 的增大而 ．对称轴右侧（即x ）, 函数值y 随x 的增大而 ． 函数有最 值，最 值y= ．②当a<0时，抛物线c bx ax y ++=2开口向 ．对称轴左侧（即x ）, 函数值y 随x 的增大而 ． 对称轴右侧（即x ）, 函数值y 随x 的增大而 ． 函数有最 值，最 值y= ． （五）尝试运用：1.抛物线顶点为（2，3）过（3，1）,求抛物线方程。
二次函数(1)导学案
mm xm y -+=2)1(二次函数——导学案一、学习目标：1、理解并掌握二次函数的概念；2、会用描点法和平移法画出二次函数2ax y =的图象；3、结合图像归纳并记住二次函数2ax y =性质；二、学前准备 （一）梳理知识点1、概念：二次函数：我们把形如 (其中a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。
其中：ax 2叫做 ，a ，bx 叫做 ;b 为 ;c 为2、思考：（1）“一元二次方程”和“二次函数”在形式上有什么异同？ （2）二次函数y=ax²+bx+c(其中a,b,c 是常数，a ≠0)中，为什么要规定a ≠0，b 和c 是否可以为零？（3）二次函数y=ax²+bx+c(其中a,b,c 是常数，a ≠0) 当a,b,c 满足什么条件时(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 3、下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x 3+2x 2; (2)y=2x 2-2x+1; (3)y=x 2-x(1+x); (4)y=x -2+x. (5)y ＝(x ＋2)(2-x) (6) 652++=x x y (7)12312++=x x y 4、说出下列二次函数的二次项系数a ，一次项系数b 和常数项c ． (1)y=x 2中a= ,b= ,c= ; (2)y=5x 2+2x 中a= ,b= ,c= ; (3)y=(2x-1)2中a= ,b= ,c= ;例1: 关于x 的函数是二次函数求m 的值.（一） 自主探究：利用描点法画二次函数2x y =、221x y =和22x y =的图像。
注意：列表时自变量取值要均匀和对称。
练习：画二次函数2x y -=、221x y -=和22x y -=的图像。
… -2 -1 0 1 2 …2x y -=22x y -=221x y -=… -2 -1 0 1 2 … 2x y =22x y =221x y =结合所画图像填空： 1、二次函数图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做 ；这些抛物线都关于 轴对称， 轴是它的对称轴；对称轴与抛物线的交点叫做 。
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y
《二次函数》复习导学案
中考考点透析：
理解二次函数概念。
熟练掌握二次函数的一般式与顶点式（互相转化）,能确定其三要素并画出草
图。
熟练掌握二次函数图象的平移规律。
熟知二次函数图象的性质（开口方向、对称轴、顶点、增
减性）理解二次函数与一元二次方程及不等式的关系。
体会数形结合、分类讨论、平移变换等数学
思想。
学习过程：一、目标自主预习(知识回顾):做题并反思考查哪些知识点？你是怎样解决的？
1、当=
m时，函数()22
2-
+
=m x
m
y为二次函数。
反思总结：二次函数概念：
2、二次函数()1
32+
-
-
=x
y图象的开口，顶点坐标为。
反思总结：二次函数的顶点式：
3、抛物线：y= x2-2x-3 的开口，顶点坐标为对称轴为，当x 时，y随x的增大
而增大，当x 时，y随x的增大而减小。
当x= 时y有最值为。
该图象与x轴交点（填有或无），若有交点，交点的坐标为，与y轴的交点为。
请
画出该图象的草图。
据图象可知方程x2-2x-3=0的根为，不等式x2-2x-3＞0的解集为。
反思总结：
（1）二次函数的一般式：其中 a、b、c对图象的作用：
（2）抛物线与x轴交点情况：（3）二次函数与一元二次方程及不等式的关系（4）用到的数学思想：
变式训练1 ：请写出一个开口向上，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线
的解析式 .
变式训练2：已知二次函数
)0
(
2≠
+
+
=a
c
bx
ax
y的图象如图所示，
（1)abc 0（2)a+b+c 0（3)a-b+c 0（4)2a-b 0（5)
b2-4a c 0
变式训练3：已知点A
()
1
,1y、B()2,2y
-、C()3,2y
-
在函数
()
2
1
1
22-
+
=x
y
的图象上，则1
y、
2
y、3y的大小关系是（）。
A、3
2
1
y
y
y>
>
B、2
3
1
y
y
y>
>
C、2
1
3
y
y
y>
>
D、3
1
2
y
y
y>
>
4、将y=2x2的图象向左平移3个单位，向下平移2个单位，得到的新图象的表达式为。
变式1、将一抛物线向左平移3个单位，向下平移2个单位，得到的新图象的表达式为y=2x2则原
来抛物线的表达式为。
变式2、将二次函数y=2x2图象所在的平面直角坐标的纵、横轴分别向左平移3个单位，向下平移2
个单位，则在新的坐标系中该图象的表达式为。
反思总结：平移规律：
二、目标强化训练(考点训练)（一）函数的图象与性质的考查
1、二次函数4
22-
=x
y图象的开口，顶点坐标为对称轴为。
2、二次函数
c
bx
ax
y+
+
=2与一次函数c
ax
y+
=在同一直角坐标系中图象大致是（）。
3、已知反比例函数x
k
y=
的图象如右图所示，则二次函数
2
2
2k
x
kx
y+
-
=的
图象大致为（）
4a= ，若顶点在a= 。
5、如图所示的抛物线是二次函数
22
31
y ax x a
=-+-的图象，那么a的值是．
6、已知二次函数
)0
(
2≠
+
+
=a
c
bx
ax
y的图象如
图所示：你可以得到哪些结论？
7.已知二次函数
)0
(
2≠
+
+
=a
c
bx
ax
y中，函数y与自变量x的
（二）抛物线的平移规律的考查1．二次函数
3
4
2+
+
=x
x
y的图像可以由二次函数2x
y=的图
像平移而到，下列平移正确的是（）
A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位;
C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位; D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
2. 在平面直角坐标系中，先将抛物线
22
y x x
=+-关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关
于
y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）
A．
22
y x x
=--+B．22
y x x
=-+- C．22
y x x
=-++D．22
y x x
=++
(三) 二次函数与一元二次方程及不等式的关系
1.已知二次函数
22
y x x m
=-++的部分图象如右图所示，则关于x
方程220
x x m
-++=的解为．不等式-x2+2x+m＞0的解集为
2. 如图，直线
m
x
y+
=和抛物线c
bx
x
y+
+
=2都经过点A(1，0)，B(3，
⑴求m的值和抛物线的解析式； (2)求不等式m
x
c
bx
x+
>
+
+
2
的解集．
(直接写出答案)
拓展延伸：
已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个
定点；⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
四、目标感悟延伸：谈谈你有什么收获或疑惑
x
A
O
y
x
B
O
y
x
C
O
y
x
O
y
第5题图
.
.。