特殊运动下的外汇期权定价

第37卷　第3期陕西师范大学学报(自然科学版)Vol.37　No.3　2009年5月Journal of Shaanxi Normal University (Nat ural Science Edition )May.2009　文章编号:167224291(2009)0320017203收稿日期:2008208224基金项目:国家自然科学基金资助项目(40271037)作者简介:苗芳,女,硕士研究生,研究方向为金融数学.3通讯作者:刘新平,男,教授.E 2mail :liuxinping @.特殊运动下的外汇期权定价苗　芳,　刘新平3(陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062)摘　要:研究了外汇期权的定价问题.在分形市场下,以Black 2Scholes 模型的假设条件为基础,利用分形布朗运动的性质、微积分和偏微分方法,得出在未定权益有红利支付且红利率和无风险利率为常数时,外汇期权显式定价公式和平价公式.关键词:分形布朗运动;外汇期权;红利中图分类号:O211.6;F22417　文献标识码:APricing of foreign currency options under special movementM IAO Fang ,L IU Xin 2ping 3(College of Mat hematics and Information Science ,Shaanxi Normal University ,Xi ′an 710062,Shaanxi ,China )Abstract :A p ricing of foreign currency option is discussed.Under t he condition of f ractional market ,using t he nat ure of fractional Brownian motion ,calculus and partial differential ,according to t he hypot hesis of Black 2Scholes model ,prices of foreign currency options are given when t he asset has dividend paying and risk 2free interest rate and dividend rate are all constant.K ey w ords :f ractional Brownian motion ;foreign currency option ;dividend MR subject classif ication :91B28;91B30 外汇期权是以货币为标的物的期权,约定持有人在规定的时间内或规定到期日,有权按照约定汇率向持有人购买或出售货币的有价证券[1].欧式看涨(看跌)外汇期权,赋予其持有人在期权到期日,有权以预定汇率用即其本国货币购买(出售)一定单位外国货币的权利.1973年,Black 和Scholes 两位美国金融学家,根据无套利原理,在有效市场和股票价格满足几何Brown 运动的假设条件下推导出著名的Black 2Scholes 期权定价模型[2].在Black 2Scholes 模型下,Garman 和K ohlhagen 假定汇率服从几何布朗运动,给出了相应的外汇期权定价公式[3].但是,经过对金融市场的大量研究及实证检验,表明金融资产并非遵循几何布朗运动,金融资产的对数收益率并非服从正态分布,而是服从一种“尖峰厚尾”的分布,而且存在长期的相关性.Peters 称这种现象为资本市场的分形结构,并由此提出分形市场假说,指出利用分形布朗运动能更好地解释资本市场的这种现象.分形布朗运动是高斯过程的一种,其性质主要是加法不变性、自相似性、厚尾性、不连续性和长期相关性等,这些性质使得分形布朗运动成为刻画金融市场的良好工具.文献[426]研究了分形市场下一些外汇期权的定价;文献[7]证明了在分形市场下欧式外汇期权的定价,但没有考虑支付红利的情况.本文在此前提下,推导出有红利支付的外汇期权的一般定价公式,从而推广了文献[7]的结果.1　分形布朗运动的定义定义1[8]　设(Ω,F H ,P H )为概率空间,常数H ∈(0,1).具有Hurst 参数的H 的分形布朗运动是18　陕西师范大学学报(自然科学版)第37卷一个满足下列条件的Gauss过程{B H(t)}t∈R+:(ⅰ)B H(0)=E PH[B H(t)]=0,对所有t∈R+;(ⅱ)E PH [B H(t)B H(s)]=12{|t|2H+ |s|2H-|t-s|2H},s、t∈R+.其中E PH(・)表示随机变量在概率测度P H下的期望,F H=σ{B H(s),s>0}.2　分形外汇市场的模型假设给定概率空间(Ω,F H,F H t,P H)及其上的分形布朗运动{B H(t)}t∈R+,其中F H t=σ{B H(s),0≤s≤t},且F H T=F H.对本币兑外币的分形外汇市场做如下假设:(ⅰ)分形外汇市场只依赖于汇率S(t)、国内市场无风险利率r和国外市场无风险利率r f;(ⅱ)分形外汇市场无摩擦,即不存在交易费用和税收;(ⅲ)分形外汇期权支付红利率,红利率为ρ;(ⅳ)t时刻的本币兑外币汇率S(t)服从几何分形布朗运动,其微分形式为S(0)=x>0,d S(t)=S(t)(μd t+σd B H(t)), 0≤t≤T.(1)其中,{B H(t)}t∈R+为分形布朗运动,μ、σ≠0为常数,且σ>0.随机方程的解为S(t)=x expσB H(t)+μt-12σ2t2H,0≤t≤T.3　分形外汇市场的未定权益定价及套期保值 考虑一个资产组合θ(t)=(u(t),v(t)),其中u(t)和v(t)分别表示t时刻持有的外币和本币数量,并均为F H t适应过程,则t时刻相应的资产组合用外币表示的价值为V(t)=u(t)+v(t)S(t).(2)定义2　资产组合θ(t)=(u(t),v(t))称为自融资的,如果满足:d V(t)=ru(t)d t+r f v(t)S(t)d t+v(t)d S(t)+ρv(t)s(t)d t,　0≤t≤T.(3)定理1　存在(Ω,F H,F H t,P H)下的分形布朗运动^B H(t),使得d珟V(t)=σv(t)珟S(t)d^B H.(4)其中珟V t=e-rt V t,珟S(t)=e-rt S t,珟P H为(Ω,F H)上的概率测度.证明　由(3)式可知d V(t)=ru(t)d t+r f v(t)S(t)d t+v(t)d S(t)+ρv(t)S(t)d t=ru(t)d t+r f v(t)S(t)d t+v(t)S(t)[μd t+σdB H(t)]+ρv(t)S(t)d t=rv(t)d t+σv(t)S(t)[(u+r f+ρ-rσ)d t+d B H(t)].即　d珟V(t)=σV(t)珟S(t)d珟B H(t),d^B H(t)=u+r f+ρ-rσd t+d B H(t),且存在(Ω,F H)上的测度^P H,使得^B H(t)为^P H下的分形布朗运动.定理2[7]　分形外汇市场(1)是完备的,即对任意未定权益F∈L2(P H),若F是F H T可测的,则F是可贴现的,且未定权益F的价格为g(t)=e-r(T-t)珟E PH[F|F H t],t∈[0,T].(5)其中珟E PH[F|F H t]为F在测度P H下关于F H t的拟条件希望.4　分形布朗运动下的欧式外汇期权定价 下面考虑当未定权益为欧式外汇期权的定价公式.定理3　设到期日为T,执行价格为K的欧式外汇期权的标的为本币兑换外币汇率S(t),且本国汇率为r,外国汇率为r f.记欧式看涨外汇期权在t 时刻的价格为C t,欧式看跌外汇期权在t时刻的价格为P t,则(ⅰ)对于欧式看涨外汇期权f(S T)=(S T-K)+,t时刻的价格为C t=S(t)e-r f(T-t)N(d1)-K e-r(T-t)N(d2),　t∈[0,T].(6)其中N(・)为累积正态分布函数,d1={ln(S(t)/K)+(r-r f-ρ)(T-t)+σ22(T2H-t2H)}/(σT2H-t2H), d2={ln(S(t)/K)+(r-r f-ρ)(T-t)- 第3期苗芳等:特殊运动下的外汇期权定价19σ22(T2H-t2H)}/(σT2H-t2H).(ⅱ)对于欧式看跌外汇期权f(S T)=(K-S T)+,t时刻价格为P t=K e-r(T-t)N(-d2)-S(t)e-r f(T-t)N(-d1).(ⅲ)欧式外汇看涨期权与欧式外汇看跌期权平价公式为C t+K e-r(T-t)=S t e-r f(T-t)+P t.证明　欧式看涨外汇期权在t时刻的价格为C t=e2r(T-t)珟E PH[(S(T)-K)+|F H t]=e-r(T-t)珟E PH[S(T)I{S(T):K}(B H)|P H t]-e-r(T-t)K珟E PH[I{S(T):K}(B H)|F H t].令　^B H(t)=μ+rf+ρ-rσt+B H(t),由定理1知B H(t)为P H下的分形布朗运动的定义知{^B H(t)}t∈R+为Gauss过程,令　d32=ln(K/x)-(r-r f-ρ)(T-t)+σ22T2Hσ.　珟E PH[I{S(T):K}(B H(T))|F H t]=　珟E PH [I{^BH(T):d32}(^B H(T))|F H t]=　∫∞d312π(T2H-t2H)・　exp-(x-^B H(t))22(T2H-t2H)d x=N(d2).其中d2=^B H (t)-d32T2H-t2H={ln(S(t)/K)+(r-r f-ρ)・(T-t)-σ22(T2H-t2H)}/(σT2H-t2H).令B3H(t)=^B H(t)-σt2H,则{B3H(t)}t∈R+为Gauss 过程,且存在(Ω,F H)上的测度P3H使B3H(t)为P3H 下的分形布朗运动.令Z(t)=expσ^B H(t)-12σ2t2H,则　S(t)=x e(r-r f-ρ)t Z(t).令　d31=ln(K/x)-(r-f f-ρ)(T-t)-σ22T2Hσ.珟E PH[I{S(T):K}(B H(T))|F H t]=珟E PH[I{^BH(T):d31}(^B H(T))|F H t]=∫∞d3112π(T2H-t2H)・exp(x-^B H(t))22(T2H-t2H)d x=N(d1).其中d1=^B H(t)-d31T2H-t2H={ln(S(t)/K)+(r-r f-ρ)・(T-t)+σ22(T2H-t2H)}/(σT2H-t2H).故(6)式得证.同理可证明(ⅱ),由(ⅰ)、(ⅱ)可证明(ⅲ).5　结语本文以Black2Scholes模型为基础,根据分形市场的假设,研究了外汇期权的定价问题,给出外汇期权在支付红利的条件下的定价公式.但是,在现实的金融市场中,期权的价格会和波动率、交易成本及时间有关,价格会出现泊松跳等现象,这些复杂的情况有待进一步研究.参考文献:[1]John C Hull.期权、期货和其它衍生产品[M].张陶伟译.北京:华夏出版社,2000:2042222.[2]Black F,Scholes M.The pricing of option and corporateliabilities[J].Journal of Political Economy,1973,81:6372654.[3]姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M].北京:高等教育出版社,2003:80291.[4]张敏,李昶,何穗.几何分形Brown运动的外汇期权定价[J].湖北工业大学学报,2006,21(6):75277.[5]肖艳清,邹捷中.分数布朗运动环境下的期权定价与测度变换[J].数学的实践与认识,2008,38(20):58262.[6]余征,闫理坦.混合分数布朗运动环境下的欧式期权定价[J].苏州科技学院学报,2008,25(4):4210.[7]刘目楼,何春雄.分形布朗运动下的欧式外汇期权定价[J].科学技术与工程,2007,7(8):152121524.[8]Hu Y,Oksendal B.Fractional white noise calculus andapplications to Finance[J].Infinite DimensionalAnalysis,Quantum Probability and Related Topics,2003,6:1232.〔责任编辑　张惠民〕。