应用文-外汇期权二项式定价公式推导及经济涵义

外汇期权二项式定价公式推导及经济涵义
'Black─Scholes（1973）假设股票价格的对数变化遵循Wiener-Levy过程，建立一个使用期权、股票的无风险套期保值资产组合，导致一个偏微分方程式，解一个热力学扩散方程，得到期权价格解析解，即著名的不支付红利的欧式股票Call期权定价公式；Garman与Kohlhagen（1983）及Grabbe（1983）等人基于同样思路，建立一个使用期权、国内货币债券和国外货币债券的无风险套期保值资产组合，得到欧式外汇Call期权定价公式，以上计算都要使用较多的随机过程及解偏微分方程的知识。

期权定价的另一思路是Cox、Ross和Rubinst
n（1979）使用二项式分布得出的变动概率代替价格对数变化遵循Wiener-Levy过程的假设，利用代数知识得出一般的欧式和美式期权定价公式，随后Geske和Johnson（1984）推导出美式期权定价精确解析式。

本文目的一是通过二项式定价公式推导过程，进一步解释推导中假设条件的
涵义；二是给出可适用于各类期权计算思路及结论。

首先，利用期权抛补的利率平价关系得到单周期外汇Call期权二项式定价公式；其次，给出一般表达式。

一、期权抛补的利率平价关系
由于国际外汇市场与国际货币市场通过广义利率平价关系
在一起，与远期抛补利率平价（forward-cover IRP）类似，货币期权市场也给出另一种期权抛补利率平价（option-cover IRP）关系，以下就根据无风险资产组合（即套利）过程，不考虑佣金因素影响，
单周期二项式即期价格分布推导Call期权价格计算公式。

设
S＝周期初即期汇率，以每一个外币相当于若干本币来表示
Co＝周期初外币Call期权价格
X＝执行价格，以每一个外币相当于若干本币来表示
t＝单周期Call期权有效期，单位：年
r＝本币无风险利率，单位：％p.a.
f＝外币无风险利率，单位：％p.a. St＝期末的即期汇率
第一步：根据二项式价格分布涵义，设将来（单周期末的）即期汇率只有uS和dS两个值，看一看周期末即期汇率分布和外币Call价值分布：
不失一般性，可假设
u＞d＞0 （1）
当即期汇率从期初S升值到期末St＝uS，则此时外币Call价值
Cu＝max{0，uS－X}≥0 （2）
当即期汇率从期初S贬值到期末St＝dS，则此时外币Call价值
Cd＝max{0，dS－X}≥0 （3）
根据期权性质，Co≥0（4）
以上条件也就是推导期初Call价值计算公式时所依据的边界条件。

从期初到期末汇率分支如图1，外币Call价值分支如图2.
期初即期汇率期末即期汇率期初Call权期末Call权
││价值价值
│↓│↓
↓φuS↓Cu＝max{0,uS－X}
SCo
1－φ dSCd＝max{0,dS－X}
图1单周期即期汇率二项式分支图
图2外币Call价值二项式分支图
第二步：利用Call期权与其它金融工具构造无风险套期保值资产组合（即该期权组合保持δ中性）。

构造该无风险资产组合的关键是推导出该组合中现货市场金融工具（如外币债券）数量与该周期内期权数量的套期比率H（Hedging Ratio）。

假设某投资者周期末持有一单位外币债券多头和H个外币Call期权空头，那么，首先要求出以本币衡量的套期保值组合的期末价值Vt，其结果参见表1.
表1套期保值组合的总期末价值（以本币衡量）
\xa0\xa0\xa0\xa0 ─────┬───────┬───────┬────── │期末一单位外币│ 外币Call期权|套期保值组合
│债券多头的价值│ 空头期末价值│期末总价值Vt
─────┼───────┼───────┼──────
当St＝u×S | 1×u×S│ －H×Cu│ u×S－H×Cu
当St＝d×S \xa0| 1×d×S│ －H×Cd│ d×S－H×Cd
─────┴───────┴───────┴──────
为了使套期保值组合的期末总价值Vt不随St变化而变化，即保持期权组合δ中性，则必须要求
Vt＝uS－H×Cu＝dS－H×Cd
（5）解以上方程即得：
\xa0\xa0 uS－dS u－d
H＝────＝───×S(6)
Cu－CdCu－Cd
dCu－uCd
Vt＝─────×S (7)
Cu－Cd
其次，计算一下该投资者期初总支出Vo.期末一单位外币债券多头贴现回期初，以外币计价的债券期初价格为1×e-ft，投资者当时所支出本币则为1×e-ft×S；投资者期初同时卖出H个外币Call期权，每个Call期权价格为Co（以本币计价），所收取的本币为H×Co，这样就减少了期初的本币支出，则以本币衡量的套期保值组合期初总支出Vo为Vo＝Se-ft－H×Co（8）
再次，通过构造无风险投资组合，求出外币Call期权价值。

显然，只有当以本币衡量的套期保值组合的期末价值Vt与期初价值Vo之比等于本币资金市场上无风险收益率时，这种组合就不存在超额无风险利润（若期末价值与期初价值之比不等于本币无风险收益率，就会有获取超额无风险利润的套利机会），即
\xa0\xa0 Vt (dCu－uCd)/(Cu－Cd)×S
─＝────────────＝ert (9)
VoSe-ft－H×Co
最后解得
Co＝（φ×Cu＋（1－φ）×Cd）e-rt（10）
其中
e(r-f)t－d
φ＝──────(11)
u－d
那么，在（10）式中，φ的经济涵义到底是什么呢？
利用反证法，可以证明：1≥φ≥0 （12）
已知在利率平价状态下，该周期末的远期汇率F＝Se（r-f）t（13）
（13）式代入（11）式得φ＝（F/S－d）/（u－d）（14）
若φ＜0，由（14）式可知F＜dS，则套利者可通过借外币，买本币，投资本币，买入远期外币的抛补套利，获得额外无风险利润；同样，若φ＞1，即F＞uS，则套利者可通过借本币，买外币，投资外币，卖出远期外币的抛补套利，获得额外无风险利润。

由于市场套利的力量，将使φ维持在0和1之间。

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