2011_秋方差分析

实验2
方差分析
ANalysis of Variance (ANOVA)
方差分析（Analysis of Variance）
• 方差分析的实例和基本概念 • 单因素方差分析 • 双因素方差分析
方差分析（Analysis of Variance）
• 方差分析通常用于多个总体的均值检验。 • 试验数据除了受随机因素的影响之外，还 受某些其他因素的影响（效应）。 • 方差分析就是要检验哪几个因素所起的作 用是显著的，并且如何估计这些效应。 • 按因素个数的多少，方差分析分单因素方 差分析、双因素方差分析和多因素方差分 析。
当 H 0不成立时，这个值将远远大于1
统计分析
且当 H 0 成立时，有
SA F r 1 F ( r 1, r ( n 1)) SE r (n 1)
统计分析
• 检验规则：
当F F1 (r 1, r (n 1)) 时，
接受原假设，否则，拒绝。
单因素方差分析表
方差来源 因素A 平方和 自由度 平方均 值 F值
进行方差分析的三个假设
对于检验的每一个总体，都服从正态分布
每一个总体均有相同的方差 从各总体抽取的是独立样本
单因素方差分析的实例1 ——劳动生产率
为考查5名工人的劳动生产率是否相同，记 录了他们每人4天的劳动生产率，试从这个 表格来判断这5人的劳动生产率有无显著差 别？
劳动生产率表格
Worker Day A1 A2 A3 A4 A5
概率(p值)
(r )
SA SE S
r 1
SA SA r 1 SE r (n 1)
F
SA SE
Pr
误差 总和
r (n 1) S E rn 1
Pr P{F (r 1, r(n 1)） F ( r ) }
单因素方差分析表
Pr P{F (r 1, r(n 1)） F ( r ) }
A1
A2
Ar
• n
p=anova1(x)
每一列对应一个水平的样 本值
• 各组样本容量不全相同（非均衡数据）的 单因素方差分析
p=anova1(x,group) X为行向量，r个水平 样本值顺序排放
单因素方差分析的MATLAB实现
• 各组样本容量不全相同(非均衡数据)的单因 素方差分析
p=anova1(x,group) x=[ … ] group=[ … ] group给出x中的数据属于哪 一个水平，长度与x相同。
• 用4种工艺生产灯泡，从各种灯泡中抽取了 若干个，测量其寿命，得到如下表格，试 推断用这几种工艺制成的灯泡寿命是否有 显著差异？
灯泡寿命试验数据
工艺 序号
返回
A1
A2
A3
A4
1 2
1620 1670
1580 1600
1460 1540
1500 1550
3
4 5 平均
1700
1750 1800 1708
A 1 1 2 x11 x12
A2 x21 x22 x2 n
Ar xr1 xr 2 xrn
对总偏差平方和S进行分解，得： S S A S E , 其中 n x1n
r i 1 r
SA n( xi - x)2 组间平方和：各组均值对总均值的偏差平方
和。也称因素A的效应平方和。
双因素试验数据表
B1
(MATLAB 中anova2所需格式)
A 1 x111 x112 x11t x121 x122 x12 t x1s1 x1s 2 x1st A2 x211 x212 x21t x221 x222 x22 t x2 s1 x2 s 2 x2 st Ar xr11 xr12 xr1n xr 21 xr 22 xr 2 t xrs1 xrs 2 xrst
1
2 3 4 平均
256
242 280 298 269
254
330 290 295 292.25
250
277 230 302 264.75
248
280 305 289 280.5
返回
236
252 220 252 240
数据间差异
的原因：
随机误差 个人的劳动生 产率不同
单因素方差分析实例2 ——灯泡寿命
单因素 方差分析实例1 指标 劳动生产率 单因素 方差分析实例2 灯泡寿命 双因素 方差分析实例1 火箭射程 火箭的推进器 燃料 双因素方差分析 实例2 小麦产量 小麦品种 化肥种类
因素
水平
工人
工人5水平
生产灯泡的工艺
灯泡工艺4水平
小麦品种3水平 火箭推进器3水平、 燃料4水平 化肥种类4水平
单因素方差分析
59.1 54.1 41.6 51.7
68.1 70.9 39.2 59.3
75.8 58.2 40.7 58.3
66.6 59.9 45.5 57.3
双因素方差分析实例2 ——小麦产量
• 为分析4种化肥和3个小麦品种对小麦产量的影响， 把一块试验田等分成24块，对种子和化肥的每一 组合得到数据如下表，试分析不同品种的化肥和 小麦品种，对小麦产量是否有显著影响？二者的 交互作用对小麦产量是否有显著影响？
F ( r ) F1 (r 1, r (n 1)) P r
1 2
单因素方差分析的MATLAB实现
x11 x12 x21 x22 xr1 xr 2 各组样本容量相同的单因素方差分析 x1n x2 n xrn X为n行r列的矩阵，n 为
样本容量,r为水平数
小麦产量试验数据
化肥 小麦
返回
双因素方差分析
A1
A1
A2
A2
A3
A3
A4
A4
B1
173
172
174
176
177
179
172
173
B2
175
173
176
177
174
175
170
171
B3
177
175
174
174
174
173
169
169
方差分析的基本概念
• 指标：在试验中关心的某种试验结果。 • 因素：试验中要考察的可控制的条件。 水平：因素所处的状态。

1 n xi xij , xi是第i组数据的平均值 n j 1 1 r 1 r n x xi xij , 样本总均值 r i 1 rn i 1 j 1
统计分析
• 于是，全体数据对总均值 x 的偏差平方和为：
S ( xij x )2
i 1 j 1 r n
单因素方差分析
双因素方差分析
双因素方差分析
实例1:劳动生产率
实例2:灯泡寿命
实例1:火箭射程
实例2:小麦产量
单因素方差分析
• • • • 单因素方差分析的实例 数学模型 统计分析 单因素方差分析表
单因素方差分析的数学模型
设第i个总体X i ~ N (i , ) i 1,, r
2
则xij ~ N (i , 2 ) i 1,, r, j 1,, n
记：
Ar xr1 xr 2 xrn
单因素方差分析的数学模型
• 模型为：
xij i＋ ij r i 0, i 1 2 ij N (0, ), i 1,..., r, j 1,...，n
单因素方差分析的数学模型
• 假设检验可改写为： H 0:1 2 ... r 0 H1:1， 2， r 不全等于0
α＝0.01，拒绝H0－－－影响非常显著
α ＝0.01，接受H0，但α ＝0.05拒绝H0－－－影
响显著
α ＝0.05，接受H0－－－无显著影响
单因素方差分析的统计分析 1 x x
11 21
A 1
A2
Ar xr1 xr 2 xrn
• 统计分析： • 记：
2 n
x12 x1n
x22 x2 n
对指标的效应
对指标的交互效应
双因素方差分析的数学模型
• 模型为：
xijk i j ij ijk r s r s i 0, j 0, ij ij 0, j 1 i 1 j 1 i 1 N (0, 2 ), i 1,..., r , j 1,...s, k 1,..., t ij
双因素方差分析
• • • • • • 双因素方差分析的实例 数学模型 统计分析 双因素方差分析表 无交互作用的双因素方差分析 MATLAB实现
双因素方差分析的数学模型
X ij ~ N (ij , 2 ) i 1,r, j 1,, s, k 1,, t xijk ~ N (ij , 2 ) i 1,r, j 1,, s, k 1, , t
B2
Bs

A 1
A2

Ar xr11 xr12 xr1n xr 21 xr 22 xr 2 t xrs1 xrs 2 xrst
双因素方差分析的数学模型
• 作分解：
xijk ij ijk , i 1,, r , 其中， ijk N (0, )
2
相互独立。记：
设第i个总体X i ~ N (i , 2 ) i 1,, r 单因素方差分析的数学模型
• 作分解： xij i ij , i 1,..., r , j 1,...,n
其中： ij N (0, 2 ) 相互独立