数学_2014年甘肃省高考数学一模试卷(文科)(含答案)
数学_2014年甘肃省武威市凉州区高考数学一模试卷(文科)(含答案)
2014年甘肃省武威市凉州区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U =R ，集合M ={x|2x >1}，集合N ={x|log 2x >1}，则下列结论中成立的是（ ）A M ∩N =MB M ∪N =NC M ∩(∁U N)=⌀D (∁U M)∩N =⌀ 2. 已知i 为虚数单位，则z =1+i i在复平面内对应的点位于（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. 已知命题p:∃x ∈R ，x −2>lgx ，命题q:∀x ∈R ，x 2>0，则( )A 命题p ∨q 是假命题B 命题p ∧q 是真命题C 命题p ∧(￢q)是真命题D 命题p ∨(￢q)是假命题 4. 已知sinα+3cosα3cosα−sinα=5，则sin 2α−sinαcosα的值是（ ）A 25B −25C −2D 25. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A 8−2π3B 8−π3C 8−2πD 2π3 6. 执行如图的程序框图，输出的S 等于（ ）A 34 B 45 C 56 D 677. 函数y =log a (x +3)−1(a >0, a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +1=0上，其中mn >0，则1m +2n 的最小值为( )A 6B 8C 10D 128. 已知等比数列{a n }的公比q =2，且2a 4，a 6，48成等差数列，则{a n }的前8项和为( )A 127B 255C 511D 10239. 已知f(x)=14x 2+sin(π2+x)，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(x)的图象是( )A B C D10. 设函数f(x)=cosωx(ω>0)，将y =f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A 13 B 3 C 6 D 911. 点P 在双曲线：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2=90∘，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ） A 2 B 3 C 4 D 512. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x 0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)=2x ，ℎ(x)=lnx ，φ(x)=x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A a >b >c B c >b >a C a >c >b D b >a >c二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在横线上）.13. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x −3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．14. 若向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=√2，且a →⊥(a →+b →)，则a →与b →的夹角为________． 15. 若函数y =log 3x 的图象上存在点(x, y)，满足约束条件{x +y −4≤02x −y +1≥0y ≥m ，则实数m 的最大值为________．16. 在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p →=(4, a 2+b 2−c 2)，q →=(√3,S)满足p → // q →，则∠C =________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共70分）17. 等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5=a 52． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n =n 2+n +1⋅，求数列{b n }的前n 项的和．18. 为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15∼65岁的人群抽样了n 人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．第5组[55, 65]3y(Ⅰ)分别求出a，b，x，y的值；(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．19. 如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=a．（1）求证：AD⊥B1D；（2）求证：A1C // 平面AB1D；（3）求点A1到平面AB1D的距离．20. 已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线y2=4√5x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程．（2）已知经过定点M(2, 0)且斜率不为0的直线l交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得PM始终平分∠APB？若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．21. 已知函数f(x)=(ax−2)e x在x=1处取得极值．（1）求a的值；（2）求函数f(x)在[m, m+1]上的最小值；（3）求证：对任意x1，x2∈[0, 2]，都有|f(x1)−f(x2)|≤e．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】22. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若tan∠CED =12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．【选修4-4：极坐标系与参数方程】23. 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数）．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=2√2（1）求直线l 的直角坐标方程；（2）点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知函数f(x)=|2x −1|+|2x +a|，g(x)=x +3． (1)当a =−2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a >−1，且当x ∈[−a2，12)时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围．2014年甘肃省武威市凉州区高考数学一模试卷（文科）答案1. D2. D3. C4. A5. A6. B7. B8. B9. A 10. C 11. D 12. B13. (x −2)2+(y −1)2=1 14. 3π4 15. 116. π317. 解：（1）设{a n }的公差为d ，(d >0) ∵ a 1，a 3，a 9成等比数列， ∴ (a 1+2d)2=a 1(a 1+8d)， 整理，得d 2=a 1d ，∵ d ≠0，∴ a 1=d ，①∵ S 5=a 52，∴ 5a 1+5×42⋅d =(a 1+4d)2，②由①②，得：a 1=35，d =35， ∴ a n =35+(n −1)×35=35n ．（2）b n =n 2+n +1⋅=n 2+n+135n⋅35(n+1)=259⋅n 2+n+1n(n+1)=259(1+1n−1n+1)，∴ b 1+b 2+...+b n =259[n +(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)] =259(n +1−1n +1) =259⋅n 2+2n n+1．18. 正确的人数共有54人，∴ 利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：1854×6=2人；第3组：2754×6=3人；第4组：954×6=1人 (Ⅲ)设第2组2人为：A 1，A 2；第3组3人为：B 1，B 2，B 3；第4组1人为：C 1．则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A 1, A 2)，(A 1, B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 1, C 1)，(A 2, B 1)，(A 2, B 2)，(A 2, B 3)，(A 2, C 1)，(B 1, B 2)，(B 1, B 3)，(B 1, C 1)，(B 2, B 3)，(B 2, C 1)，(B 3, C 1)共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，∴ 所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：P =315=1519. 解：（1）证明：∵ ABC−A1B1C1是正三棱锥，∴ BB1⊥平面ABC，∴ BB1⊥AD，在正△ABC中，∵ D是BC的中点，∴ AD⊥BD．BB1∩BD=B，∴ AD⊥平面BB1D，∴ AD⊥B1D．（2）连接DE．AA1=AB，四边形A1ABB1是正方向，∴ E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴ DE // A1C，∵ DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴ A1C // 平面AB1D．（3）V A1−AB1D =V B1−A1AD，所以13⋅12⋅√32a⋅√52a⋅d=13⋅12⋅√32a⋅a⋅a2，解得d=√55a．20. 解：（1）设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为2c．由抛物线y2=4√5x方程得焦点(√5，0)，∴ c=√5．又短轴长为4，∴ 2b=4，解得b=2．∴ a2=b2+c2=9．∴ 椭圆C的方程为x29+y24=1．（2）假设在x轴上存在一个定点P(t, 0)(t≠2)使得PM始终平分∠APB．设直线l的方程为my=x−2，A(x1, y1)，B(x2, y2)．联立{my=x−2x29+y24=1，化为(9+4m2)y2+16my−20=0，则y1+y2=−16m9+4m2，y1y2=−209+4m2．(∗)∵ PM平分∠APB，∴ |PA||PB|=|AM||BM|，∴ √(x1−t)2+y12√(x2−t)+y2=|y1||y2|，化为(x1−t)2(x2−t)2=y12y22，把x1=my1+2，x2=my2+2代入上式得(2−t)(y1−y2)[2my1y2+(2−t)(y1+y2)]= 0，∵ 2−t≠0，y1−y2≠0，∴ 2my1y2+(2−t)(y1+y2)=0．把(∗)代入上式得−40m9+4m2+−16(2−t)m9+4m2=0，化为m(9−2t)=0，由于对于任意实数上式都成立，∴ t=92．因此存在点P(92，0)满足PM 始终平分∠APB ．21. 解：（1）f′(x)=ae x +(ax −2)e x =(ax +a −2)e x ， 由已知得f′(1)=0，即(2a −2)e =0， 解得：a =1，验证知，当a =1时，在x =1处函数f(x)=(x −2)e x 取得极小值，所以a =1； （2）f(x)=(x −2)e x ，f′(x)=e x +(x −2)e x =(x −1)e x ．所以函数f(x)在(−∞, 1)上递减，在(1, +∞)上递增． 当m ≥1时，f(x)在[m, m +1]上单调递增， f min (x)=f(m)=(m −2)e m ． 当0<m <1时，m <1<m +1，f(x)在[m, 1]上单调递减，在[1, m +1]上单调递增，f min (x)=f(1)=−e ． 当m ≤0时，m +1≤1，f(x)在[m, m +1]单调递减，f min (x)=f(m +1)=(m −1)e m+1． 综上，f(x)在[m, m +1]上的最小值f min (x)={(m −2)e m ，m ≥1−e,0<m <1(m −1)e m+1，m ≤0 （3）由（1）知f(x)=(x −2)e x ，f′(x)=e x +(x −2)e x =(x −1)e x ． 令f′(x)=0得x =1，因为f(0)=−2，f(1)=−e ，f(2)=0， 所以f max (x)=0，f min (x)=−e ，所以，对任意x 1，x 2∈[0, 2]，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤f max (x)−f min (x)=e ， 22. 如图，连接OC ， ∵ OA ＝OB ，CA ＝CB ， ∴ OC ⊥AB ．∴ AB 是⊙O 的切线；∵ BC 是圆O 切线，且BE 是圆O 割线， ∴ BC 2＝BD ⋅BE ，∵ tan∠CED =12，∴ CDEC =12． ∵ △BCD ∽△BEC ，∴ BDBC =CDEC =12，设BD ＝x ，BC ＝2x ．又BC 2＝BD ⋅BE ，∴ (2x)2＝x ⋅(x +6)，解得x 1＝0，x 2＝2，∵ BD ＝x >0，∴ BD ＝2，∴ OA ＝OB ＝BD +OD ＝3+2＝5．．23. 解：（1）∵ 直线l的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=2√2，即ρcosθ+ρsinθ=4，化为直角坐标方程为x+y−4=0．（2）设点P(2cosα, sinα)，点P到直线l距离d=√2=√5sin(α+β)−4|√2，其中，sinβ=√5，cosβ=√5．故当sin(α+β)=−1时，d取得最大值为√5+4√2=√102+2√2．24. 解：(1)当a=−2时，求不等式f(x)<g(x)化为|2x−1|+|2x−2|−x−3<0．设函数y=|2x−1|+|2x−2|−x−3，则y={−5x,x<12，−x−2,12≤x≤1，3x−6,x>1，它的图象如图所示：结合图象可得，y<0的解集为(0, 2)，故原不等式的解集为(0, 2)．(2)设a>−1，且当x∈[−a2，12)时，f(x)=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a−2对x∈[−a2，12)都成立．故−a2≥a−2，解得a≤43.故a的取值范围为(−1, 43]．。
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．72．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1B．0C．1D．27．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种8．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．649．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=110．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．412．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是．15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为．16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．三、解答题17．（10分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A．2B．3C．5D．7【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．（5分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．【解答】解：由不等式组可得，解得0＜x＜1，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE 与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．【解答】解：∵y=ln（+1），∴+1=e y，即=e y﹣1，∴x=（e y﹣1）3，∴所求反函数为y=（e x﹣1）3，故选：D．【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．【解答】解：由题意可得，=1×1×cos60°=，=1，∴（2﹣）•=2﹣=0，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】5O：排列组合．【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．8．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31B．32C．63D．64【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，即3，12，S6﹣15成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础题．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=1【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．4【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C．【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是﹣160．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r=3，将r=3代入通项，计算可得T4=﹣160x3，即可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2）6的展开式的通项为T r=C6r x6﹣r（﹣2）r=（﹣1）+1r•2r•C6r x6﹣r，令6﹣r=3可得r=3，此时T4=（﹣1）3•23•C63x3=﹣160x3，即x3的系数是﹣160；故答案为﹣160．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）6的展开式的通项．14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题．【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=，结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=又∵﹣1≤sinx≤1当sinx=时，函数有最大值故答案为：【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1的条件．15．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】5B：直线与圆．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．三、解答题17．（10分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（Ⅰ）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）将a n=2a n+1﹣a n+2变形为：a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，再由条件得+2b n+1=b n+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出b n，代入b n=a n+1﹣a n并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{a n}的通项公式a n．=2a n+1﹣a n+2得，【解答】解：（Ⅰ）由a n+2a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，由b n=a n+1﹣a n得，b n+1=b n+2，即b n﹣b n=2，+1又b1=a2﹣a1=1，所以{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由b n=a n+1﹣a n得，a n+1﹣a n=2n﹣1，则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，a n﹣a n﹣1=2（n﹣1）﹣1，所以，a n﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1==（n﹣1）2，又a1=1，所以{a n}的通项公式a n=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31＞0.1，不满足条件．若k=3，则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4=0.06＜0.1，满足条件．故k的最小值为3．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，∴f′（x）=3ax2+6x+3，令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a），①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；②因为a≠0，∴a≤1且a≠0时，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x1=，x2=，当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣，a的取值范围[）∪（0，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。
2014年甘肃省张掖市高台一中高考数学一模试卷(文科)
2014年甘肃省张掖市高台一中高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x||2x+1|＞3}，集合，则A∩（∁R B）=（）A.（1，2）B.（1，2]C.（1，+∞）D.[1，2]【答案】B【解析】解：由A中的不等式变形得：2x+1＞3或2x+1＜-3，解得：x＞1或x＜-2，∴A=（-∞，-2）∪（1，+∞），由B中y=，得到≥0，即＞或＜，解得：x＞2或x≤-1，∴B=（-∞，-1]∪（2，+∞），∵全集为R，∴∁R B=（-1，2]，则A∩（∁R B）=（1，2]．故选：B．求出A中不等式的解集确定出A，求出B中函数的定义域确定出B，根据全集R求出B 的补集，找出A与B补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.若复数z满足（3-4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A.-4B.C.4D.【答案】D【解析】解：∵复数z满足（3-4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3.若=2，=1，且与的夹角为60°，当取得最小值时，实数x的值为（）A.2B.-2C.1D.-1【答案】C【解析】解：∵=2，=1，且与的夹角为60°，∴=2×1×cos60°=1．∵===，故当x=1时，取得最小值为，故选：C．由题意可得=1，再根据==，可得当取得最小值时，实数x的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题．4.直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A.[0，π）B.[0，]∪[，π）C.[0，]D.[0，]∪（，π）【答案】B【解析】解：直线xsinα+y+2=0的斜率为k=-sinα，∵-1≤sinα≤1，∴-1≤k≤1∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）故选B由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．5.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，边长分别为：3，2，1，；高为：1；上部是正方体，也可以看作是三个正方体和半个正方体的组合体，所以几何体的体积为：3×13+=，故选C．三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，上部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积．本题是基础题，考查几何体的三视图的视图能力，计算能力，空间想象能力，转化思想的应用．6.已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，=2，则△APQ的面积为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】解：由题意可知，P为AC的中点，=2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC==2．所以S△APQ===．故选B．画出△ABC，通过足，=2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力．7.执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过x的最大整数），则输出的S值为（）A.7B.6C.5D.4【答案】A【解析】解：由程序框图得：第一次运行n=0，S=0；第二次运行n=1，S=1；第三次运行n=2，S=1+1=2；第四次运行n=3，S=2+1=3；第五次运行n=4，S=3+2=5；第六次运行n=5，S=5+2=7；满足n＞4结束运行，输出S=7．故选A．由程序框图依次计算第一、第二…的运行结果，直到满足条件n＞4时，输出S，即为所求．本题考查了直到型循环结构的程序框图，解答的关键是读懂程序框图．8.函数 ， ， ＞ ，若方程f （x ）=x +a 恰有两个不等的实根，则a 的取值范围为（ ）A.（-∞，0）B.[0，1）C.（-∞，1）D.[0，+∞） 【答案】 C【解析】解：由函数， ， ＞，可得f （x ）的图象和函数y =x +a 有两个不同的交点， 如图所示：故有a ＜1， 故选C ．由题意可得f （x ）的图象和函数y =x +a 有两个不同的交点，结合图象，求出a 的取值范围．本题考查根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想、数形结合的数学思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．9.过双曲线＞ ， ＞ 的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的两条切线，切点分别为A 、B ，双曲线左顶点为M ，若∠AMB=120°，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C.3 D.2 【答案】 D【解析】解：依题意，作图如下：∵OA ⊥FA ，∠AMO=60°，OM=OA ， ∴△AMO 为等边三角形， ∴OA=OM=a ，在直角三角形OAF 中，OF=c ，∴该双曲线的离心率e = = ==2， 故选：D ．依题意，作出图形，易求该双曲线的离心率e = ==2，从而得到答案． 本题考查双曲线的简单性质，考查作图能力与解三角形的能力，属于中档题．10.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若，则=（ ）A.1B.-1C.2D.【答案】 A【解析】解：由题意可得====1故选A由等差数列的求和公式和性质可得=，代入已知可得．本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题．11.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则•+•=（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】解：如图所示：==，∴•+•=（）+（）===4，故选D．不妨作出图象，由向量加法法则得=，代入式子利用数量积运算可求．本题考查平面向量数量积运算、向量加法的三角形法则，属基础题．12.设F为抛物线y2=16x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（）A.36B.24C.16D.12【答案】B【解析】解：由题意可得F（4，0），是抛物线的焦点，也是三角形ABC的重心，故故=4，∴x A+x B+x C=12．再由抛物线的定义可得：=x A+4+x B+4+x C+4=12+12=24，故选B．由题意可得F（4，0），是三角形ABC的重心，故=4，再由抛物线的定义可得=x A+4+x B+4+x C+4=24．本题考查三角形的重心坐标公式，抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求得x A+x B+x C=12，是解题的关键．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知α∈（，π），且sinα=，则tanα的值为______ ．【答案】-【解析】解：∵α∈（，π），且sinα=，∴cosα=-=-，则tanα==-．故答案为：-由α的范围以及sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14.已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为______ ．【答案】【解析】解：∵a＞b＞0，ab=1∴a-b＞0∴=当且仅当a-b=时取等号故答案为本题是基本不等式问题，可以利用a＞b＞0得到a-b＞0（正数），再利用条件ab为定值将a2+b2转化为（a-b）2与ab，化简后，运用基本不等式解决问题．本题主要考查了基本不等式的应用和转化化归的数学思想，注意不等式成立的条件（一正二定三相等）15.已知等比数列{a n}的第5项是二项式展开式的常数项，则a3a7= ______ ．【答案】【解析】解：二项式展开式的通项公式为T r+1=•••x-r=••．令6-3r=0，r=2，故展开式的常数项为T3=•=．由题意可得，等比数列{a n}的第5项为展开式的常数项，即a5=，∴a3a7==，故答案为．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，即得a5的值．再根据等比数列的性质求得a3a7的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．等比数列的性质应用，属于中档题16.已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2-4）＜2，则实数x的取值范围______ ．【答案】（-，-2）∪（2，）【解析】解：解法一：∵函数f（x）=lnx+2x，∴f（x2-4）=ln（x2-4）+，∴不等式即ln（x2-4）+＜2．令t=x2-4＞0，不等式即lnt+2t＜2①．令h（t）=lnt+2t，显然函数h（t）在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=2，∴由不等式①可得t＜1，即x2-4＜1，即x2＜5．由＞＜解得-＜x＜-2，或2＜x＜，故答案为：（-，-2）∪（2，）．解法二：由于函数f（x）=lnx+2x，∴f（1）=2，再根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，∴由f（x2-4）＜2可得x2-4＜1，求得-＜x＜-2，或2＜x＜，故答案为：（-，-2）∪（2，）．解法一：不等式即ln（x2-4）+＜2，令t=x2-4＞0，不等式即lnt+2t＜2①．令h （t）=lnt+2t，由函数h（t）的单调性可得x2-4＜1，从而求得x的范围．解法二：根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上是增函数，f（1）=2，由不等式可得x2-4＜1，从而求得x的范围．本题主要考查函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.设函数f（x）=2cos2x+2sinx•cosx+m（m，x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈[0，]时，求实数m的值，使函数f（x）的值域恰为，，并求此时f（x）在R上的对称中心．【答案】解：（1）∵f（x）=2cos2x+2sinxcosx+m=1+cos2x+sin2x+m=2sin（2x+）+m+1，∴函数f（x）的最小正周期T=π．（2）∵0≤x≤，∴≤2x+≤，∴-≤sin（2x+）≤1，∴m≤f（x）≤m+3，又≤f（x）≤，∴m=，令2x+=kπ（k∈Z），解得x=-（k∈Z），∴函数f（x）在R上的对称中心为（-，）（k∈Z）．【解析】（1）利用二倍角的正弦与余弦及辅助角公式可求得f（x）=2sin（2x+）+m+1，从而可求其最小正周期；（2）利用正弦函数的单调性可求得0≤x≤时，m≤f（x）≤m+3，利用使函数f（x）的值域为[，]可求得m的值，从而可求f（x）在R上的对称中心．本题考查：两角和与差的正弦函数，着重考查二倍角的正弦与余弦及辅助角公式，考查正弦函数的单调性、周期性与对称性，属于中档题．18.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求二面角A-PB-E的大小．【答案】解：（Ⅰ）∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC．∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．…（4分）（Ⅱ）连接PD，∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB．…．（5分）∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB…（6分）又∵PD∩DE=D，PD，DE⊂平面PDE∴AB⊥平面PDE…（8分）∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE…（9分）（Ⅲ）∵AB⊥平面PDE，DE⊥AB…（10分）如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由PA=PB=AB=2，BC=3，则B（1，0，0），P（0，0，），E（0，，0），∴=（1，0，），=（0，，）．设平面PBE的法向量，，，∴令得，，…（11分）∵DE⊥平面PAB，∴平面PAB的法向量为，，．…（12分）设二面角的A-PB-E大小为θ，由图知，＜，＞，所以θ=60°，即二面角的A-PB-E大小为60°…（14分）【解析】（Ⅰ）由三角形中位线定理可得DE∥BC，进而由线面平行的判定定理得到DE∥平面PBC（II）连接PD，由等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由线面垂直的性质得到AB⊥PE；（Ⅲ）以D为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A-PB-E的大小．本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定，性质是解答（I）和（II）的关键，而（III）的关键是建立空间坐标系，将空间角问题转化为向量夹角问题．19.为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【答案】解：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，则．…（6分）（II）ξ的所有可能取值为0，1，2…（7分）则，，∴ξ的分布列为：…（10分）∴…（13分）【解析】（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，根据题设条件，利用排列组合知识能求出这两名队员来自同一学校的概率．（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出其相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-，0）、F2（，0），椭圆上的点P满足∠PF1F2=90°，且△PF1F2的面积为S=．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，过点Q（1，0）的动直线l与椭圆C相交于M、N两点，直线AN与直线x=4的交点为R，证明：点R总在直线BM上．【答案】解：（Ⅰ）由题意知：，…（1分）∵椭圆上的点P满足∠PF1F2=90°，且，∴．∴，．∴2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2…（2分）又∵，∴…（3分）∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意知A（-2，0）、B（2，0），（1）当直线l与x轴垂直时，，、，，则AN的方程是：，BM的方程是：，直线AN与直线x=4的交点为，，∴点R在直线BM上．…（6分）（2）当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），M（x1，y1）、N（x2，y2），R（4，y0）由得（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0∴，…（7分），，，，A，N，R共线，∴…（8分）又，，，，需证明B，M，R共线，需证明2y1-y0（x1-2）=0，只需证明若k=0，显然成立，若k≠0，即证明（x1-1）（x2+2）-3（x2-1）（x1-2）=0∵（x1-1）（x2+2）-3（x2-1）（x1-2）=-2x1x2+5（x1+x2）-8=成立，…（11分）∴B，M，R共线，即点R总在直线BM上．…（12分）【解析】（Ⅰ）通过椭圆的截距以及三角形的面积求出a，b，即可得到椭圆C的方程；（Ⅱ）求出A、B坐标通过（1）当直线l与x轴垂直时，求出AN的方程，BM的方程，然后求出直线AN与直线x=4的交点，判断交点R在直线BM上；（2）当直线l不与x 轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），M（x1，y1）、N（x2，y2），R（4，y0）利用直线与椭圆方程联立结合韦达定理，利用分析法证明A，N，R共线，即点R总在直线BM上即可．本题考查椭圆的定义及其性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线方程以及韦达定理的应用．难度比较大，解题需要一定的运算能力以及分析问题解决问题的能力．21.已知函数，＜，＞，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2-x1的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．【答案】解：（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，∴f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在[-1，0）上单调递增；当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，∴′′，∴（2x1+2）（2x2+2）=-1．∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴=1，当且仅当-（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立．∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2-x1的最小值为1．（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵′′，故不成立，∴x1＜0＜x2．当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为，即．当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为，即．函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是①，由①及x1＜0＜x2可得-1＜x1＜0，由① 得=．∵函数，y=-ln（2x1+2）在区间（-1，0）上单调递减，∴a（x1）=在（-1，0）上单调递减，且x1→-1时，ln（2x1+2）→-∞，即-ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．x1→0，a（x1）→-1-ln2．∴a的取值范围是（-1-ln2，+∞）．【解析】（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得′′，即（2x1+2）（2x2+2）=-1．可得，再利用基本不等式的性质即可得出；（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵′′，故不成立，∴x1＜0＜x2．分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出．．本题主要考查了基本函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、基本不等式的性质、直线的位置关系等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．22.如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，CE=BE，点E在BC上．求证：PE是⊙O的切线．【答案】解：连接BP，OP，∵AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，CE=BE，点E在BC上，∴∠APB=90°，∠ABC=90°，∠BAC=∠PBC，∴∠BPC=180°-∠PBC-∠C=180°-∠BAC-∠C=∠ABC=90°，∴PE=BE=CE，∵OB=OP，∴∠OPE=90°，∴PE是⊙O的切线．【解析】连接BP，OP，由题设条件导出∠BPC=180°-∠PBC-∠C=180°-∠BAC-∠C=∠ABC=90°，故PE=BE=CE，再由OB=OP，能够证明PE是⊙O的切线．本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、切线的判定、圆周角定理等知识点的运用，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，注意证切线的方法：知道过圆上一点，连接圆心和该点证垂直．23.选修4--4；坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：为参数上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．【答案】解：（I）根据题意有：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），∵M为PQ的中点，故M（cosα+cos2α，sin2α+sinα），∴求M的轨迹的参数方程为：（α为参数，0＜α＜2π）．（II）M到坐标原点的距离d==（0＜α＜2π）．当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．【解析】（I）根据题意写出P，Q两点的坐标：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中点坐标公式得PQ的中点M的坐标，从而得出M的轨迹的参数方程；（II）利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离d==，再验证当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，两点间的距离公式的应用，轨迹方程，属于基础题．24.已知a∈R，设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．（Ⅰ）若a=1，求A；（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．【答案】解：（I）若a=1，则|2x-1|+|x+3|≥2x+4当x≤-3时，原不等式可化为-3x-2≥2x+4，可得x≤-3当-3＜x≤时，原不等式可化为4-x≥2x+4，可得3x≤0当x＞时，原不等式可化为3x+2≥2x+4，可得x≥2综上，A={x|x≤0，或x≥2}；（II）当x≤-2时，|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立当x＞-2时，|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4∴x≥a+1或x≤∴a+1≤-2或a+1≤∴a≤-2综上，a的取值范围为a≤-2．【解析】（I）利用绝对值的几何意义，化去绝对值，解不等式，可得结论；（II）当x≤-2时，|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立，当x＞-2时，|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4，从而可求a的取值范围．本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2014年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页） 数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|13}M x x =-<<，{|21}N x x =-<<，则M N = ( ) A .(2,1)- B .(1,1)- C .(1,3) D .(2,3)-2.若tan 0α>，则( )A . sin 0α>B .cos 0α>C . sin20α>D .cos20α> 3.设1i 1iz =++，则|z |=( )A .12B .22 C .32D .24.已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a = ( )A .2B .62C .52D .1 5.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A .()f x ()g x 是偶函数B .|()|f x ()g x 是奇函数C .()f x |()|g x 是奇函数D .|()()|f x g x 是奇函数6.设D ，E ，F 分别为ABC △的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC += ( )A .ADB .12AD C .BCD .12BC 7.在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos(2)6y x =+，④πtan(2)4y x =-中，最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱 9.执行如图的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3.则输出的M =( )A .203B .72C .165D .15810.已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x = ( )A .1B .2C .4D .811.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +⎧⎨--⎩≥≤且z x ay =+的最小值为7，则a =( )A .5-B .3C .5-或3D .5或3-12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是( )A .(2,)+∞B .(1,)+∞C .(,2)-∞-D .(,1)-∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 .14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.设函数113e ,1,(),1,x x f x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩＜≥则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是 .16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=，C 点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=；从C 点测得60MCA ∠=.已知山高100BC = m ，则山高MN = m .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2nn a 的前n 项和.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C .（Ⅰ）证明：1B C AB ⊥；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高.20.（本小题满分12分）已知点(2,2)P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求M 的轨迹方程；（Ⅱ）当||||OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积.21.（本小题满分12分）设函数21()ln (1)2a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0.（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01x ≥，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（Ⅰ）证明：D E ∠=∠；（Ⅱ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE △为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0a >，0b >，且11a b+=（Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得236a b +=？并说明理由.3 / 132014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】根据集合的运算法则可得：{|11}MN x x =-<<，即选B ．【提示】集合的运算用数轴或者Venn 图可直接计算。
2014年全国高考数学卷文科卷1试题及答案解析-精选.pdf
（ II ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间 的中点值作代表） ； （ III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指 标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定？
20．已知点 P ( 2,2) ，圆 C : x2 y2 8y 0 ，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点，线段 AB 的中点为 M ， O 为坐标原点 .
23．已知曲线
x2 C:
y2
x2t
1，直线 l :
（ t 为参数）
49
y 2 2t
写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；
过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A ，求 PA 的最大
值与最小值 .
22．如图，四边形 ABCD 是 交于点 E ，且 CB CE .
(1) 求 M 的轨迹方程； (2) 当 OP OM 时，求 l 的方程及 POM 的面积
试卷第 3 页，总 4 页
21．设函数 f x a ln x
处的切线斜率为 0
1a2 x
2
bx a
1 ，曲线 y
f x 在点 1，f 1
求 b; 若存在 x0 1, 使得 f x0
a
，求 a 的取值范围。
a1
试卷第 4 页，总 4 页
1． B 【解析】
参考答案
试题分析：根据集合的运算法则可得： M N x | 1 x 1 ，即选 B．
[115 ，且12A5O)
8
平面 BB1C1C .
（ I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形， B1C 的中点为 O ，
2014甘肃高考文科数学真题及答案
2014甘肃高考文科数学真题及答案注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛x ∣2x -x -20=﹜，则A B ⋂=( ) A ． ∅ B.{}2 C.{}0 D.{}2- 2.131ii+=-( ) A. 12i + B. 12i -+ C. 1-2i D. 1-2i -3. 函数()f x 在0x=x 处导数存在，若()0p f 0x '=：,0:q x x =是()f x 的极值点，则( ) A.p 是q 的充分必要条件B.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C.p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4. 设向量a ,b 满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a b =( )A. 1B. 2C. 3D. 55. 等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n s =( ) A. ()1n n + B. ()1n n - C.()12n n + D.()12n n -6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.137. 正三棱柱111ABC A B C-的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC终点，则三棱锥111A AB C-的体积为( )A.3B.32C.1D.328. 执行右面的程序框图，如果如果输入的x，t均为2，则输出的S=( )A.4B.5C.6D.79. 设x，y满足的约束条件1010330x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y=+的最大值为( )A. 8B. 7C. 2D. 110. 设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =11.若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是( ) A.(],2-∞- B.(],1-∞- C.[)2,+∞ D. [)1,+∞12.设点0(x ,1)M ，若在圆22:x y =1O +上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是A. []1,1-B.1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C.⎡⎣ D. 22⎡-⎢⎣⎦，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
甘肃省兰州一中2014年高考冲刺模拟考试(一)数学(文)试题
甘肃省兰州一中2014年高考冲刺模拟考试（一）数学（文）试题第Ⅰ 卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|3100M x R x x =∈--<，{|||2}N x Z x =∈<，则M N 为 （ ）A ．)2,2(-B ．)2,1(C ．{-1，0，1}D ．}2,1,0,1,2{--2．若复数3()1x iz x R i+=∈-是实数，则x 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．0D ．33．角α的终边经过点A ()a ，且点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin α=（ ） A ．12- B ．12C． D4．已知变量x ，y 满足125,31x y x y z x y x -≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩则的最大值为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为 （ ） A ．π)3412(+ B ．20πC ．π)3420(+D ．28π 6．给出如下四个命题：①若“p ∨q ”为真命题，则p 、q 均为真命题； ②“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若a b ≤，则221a b -≤”；③“2,1x x x ∀∈+R ≥”的否定是“2000,1x x x ∃∈+R ≤”；④“0x >”是“12x x+≥”的充要条件.其中不正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④7．双曲线12222=-by a x 的离心率为3,则它的渐近线方程是（ ）A ．x y 2±=B ．x y 22±=C ．x y 2±=D ．x y21±=8. 函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭其中的图象如图所示，为了得到()sin 3g x x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向左平移12π个单位9．数列{}n a 的前n 项和21n s n n =++；(1)n n n b a =-（n ∈N*）；则数列{}n b 的前50项和为 （ ）A ．49B ．50C ．99D ．10010．在区间[],ππ-内随机取两个数分别为,a b ，则使得函数()2222f x x ax b π=+-+有零点的概率为( )A ．18π-B ．14π-C ．12π-D ．314π-11. 设函数()f x 的定义域为R ，(),0111,103xx x f x x R x ≤≤⎧⎪=∈⎨⎛⎫--<<⎪⎪⎝⎭⎩，且对任意的都有()()11f x f x +=-，若在区间[]()()1,5g x f x mx m -=--上函数，恰有6个不同零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．11,46⎛⎤⎥⎝⎦B ．11,34⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,6⎛⎤ ⎥⎝⎦12．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数记为()f x '，若对于任意实数x ，有()()f x f x '>，且()1y f x =-为奇函数，则不等式()x f x e <的解集为（ ） A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．4(,)e -∞D ．4(,)e +∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段没有超速的有 辆．14. 执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的___15. 若,αβ为两个不同的平面，m 、n 为不同直线，下列推理:①若,,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥则直线； ②若直线//m n m α⊥平面，直线直线， n α⊥则直线平面；③若直线m//n ，,m n αβ⊥⊂， αβ⊥则平面平面； ④若平面//m αββ⊥平面，直线平面，,n m α⊂⊥则直线直线n ；其中正确说法的序号是________.16. 设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若()3,,16OP OA OB R λμλμλμ=+∈=，则该双曲线的离心率为________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）设函数22()cos()2cos ,32xf x x x π=++∈R .（1）求()f x 的值域；（2）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c，若()1,1,f B b c ===，求a 的值. 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD =DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（I ）求证：//EF 平面PAD ； （II ）求证：EF CD ⊥；（III ）设PD=AD=a , 求三棱锥B-EFC 的体积.19.（本小题满分12分）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：（Ⅰ）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过5.0的概率. 20．（本小题满分12分）已知函数()f x =x x ax ln 232+-，a 为常数. （I ）当a =1时，求()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在区间[1，2]上为单调函数，求a 的取值范围.21. (本小题满分12分) 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:L y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且22OA OBb k k a⋅=-，判断△AOB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答。
2014年甘肃省武威市凉州区高考数学一模试卷(文科)
2014年甘肃省武威市凉州区高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U=R，集合M={x|2x＞1}，集合N={x|log2x＞1}，则下列结论中成立的是（）A.M∩N=MB.M∪N=NC.M∩（∁U N）=∅D.（∁U M）∩N=∅【答案】D【解析】解：由M中的不等式变形得：2x＞1=20，得到x＞0，即M=（0，+∞），由N中的不等式变形得：log2x＞1=log22，得到x＞2，即N=（2，+∞），∴M∩N=（2，+∞）=N，M∪N=（0，+∞）=M，∁U N=（-∞，2]，∁U M=（-∞，0]，则M∩（∁U N）=（0，2]，（∁U M）∩N=∅．故选D求出M与N中不等式的解集，确定出M与N，求出M与N的交集，并集，M与N的补集找出M与N补集的交集，M补集与N的交集，即可做出判断．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.已知i为虚数单位，则z=在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：所以z在复平面内对应的点为（1，-1）位于第四象限故选D将复数的分子、分母同乘以i，利用多项式的乘法分子展开，将i2用-1代替；利用复数对应点的坐标实部为横坐标，虚部为纵坐标，判断出所在的象限．本题考查利用复数的除法法则：分子，分母同乘以分母的共轭复数、考查复数对应点的坐标是以实部为横坐标，虚部为纵坐标．3.已知命题p：∃x∈R，x-2＞lgx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∧（￢q）是真命题D.命题p∨（￢q）是假命题【答案】C【解析】解：由于x=10时，x-2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．故答案为C．先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论．本题考查复合命题的真假，属于基础题．4.已知，则sin2α-sinαcosα的值是（）A. B. C.-2 D.2【答案】A【解析】解：∵，∴，∴tanα=2．∴sin2α-sinαcosα====，故选A．由由已知条件求出tanα值，化简sin2α-sinαcosα=，把tanα值代入运算．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，1的代换，把所求的sin2α-sinαcosα变形为是解题的难点．5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A. B. C.8-2π D.【答案】A【解析】解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：8-=故选A．三视图复原的几何体是正方体，除去一个倒放的圆锥，根据三视图的数据，求出几何体的体积．本题是基础题，考查三视图复原几何体的判定，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．6.执行如图的程序框图，输出的S等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，本程序框图为求和运算第1次循环：S=0+n=2第2次循环：S=+n=3…第4次循环：S═++…+n=5此时，n=5输出S=1-=故选B．首先根据程序框图，理解其意义，然后按照程序顺序进行执行循环，当满足跳出循环的条件时输出结果．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S═++…+的值．本题考查程序框图，通过对程序框图的认识和理解按照程序框图的顺序进行执行．通过按照循环体的执行，考查运算能力．属于基础题7.函数y=log a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为（）A.6B.8C.10D.12【答案】B【解析】解：∵x=-2时，y=log a1-1=-1，∴函数y=log a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（-2，-1）即A（-2，-1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，+=+=2+++2≥4+2•=8，当且仅当m=，n=时取等号．故选B．根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．8.已知等比数列{a n}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则{a n}的前8项和为（）A.127B.255C.511D.1023【答案】B【解析】解：∵2a4、a6、48成等差数列，∴2a6=2a4+48，∴2a1q5=2a1q3+48，又等比数列{a n}的公比q=2，∴解得，a1=1，∴{a n}的前8项和为故选B．根据且a1，a3，a2成等差数列，列出方程2a6=2a4+48，求出首项a1，再根据等比数列的求和公式，即可得答案．本题主要考查等差数列的定义和性质、等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式．属于基础题．9.已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由f（x）=x2+sin=x2+cosx，∴f′（x）=x-sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又f″（x）=-cosx，当-＜x＜时，cosx＞，∴f″（x）＜0，故函数y=f′（x）在区间（-，）上单调递减，故排除C．故选：A．先化简f（x）=x2+sin=x2+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在（-，）上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．10.设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A. B.3 C.6 D.9【答案】C【解析】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选C．函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．11.点P在双曲线：（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】解：因为△F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m-d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m-（m-d）=2a，m+d=2c，（m-d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=，故离心率e===5，故选D．通过|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m-d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=，由此求得离心率的值．本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．12.定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=2x，h（x）=lnx，φ（x）=x3（x≠0）的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.a＞c＞bD.b＞a＞c【答案】B【解析】解：由题意方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，对于函数g（x）=2x，由于g′（x）=2，故得x=1，即a=1对于函数h（x）=lnx，由于h′（x）=，故得lnx=，令r（x）=lnx-，可知r（1）＜0，r（2）＞0，故1＜b＜2对于函数φ（x）=x3，由于φ′（x）=3x2，故得x3=3x2，∵x≠0，∴x=3，故c=3综上c＞b＞a故选B根据所给的定义，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出a，b，c的值或存在的大致范围，再比较出它们的大小，即可选出正确选项本题是一个新定义的题，考查了推理判断的能力，理解定义，分别建立方程解出a，b，c的值或存在范围是解题的关键．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是______ ．【答案】（x-2）2+（y-1）2=1【解析】解：∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，∴半径是1，圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标（a，1），则1=，又a＞0，∴a=2，∴该圆的标准方程是（x-2）2+（y-1）2=1；故答案为（x-2）2+（y-1）2=1．依据条件确定圆心纵坐标为1，又已知半径是1，通过与直线4x-3y=0相切，圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标，写出圆的标准方程．本题考查利用圆的切线方程求参数，圆的标准方程求法．14.若向量，满足||=1，||=，且⊥（+），则与的夹角为______ ．【答案】【解析】解：∵向量，满足||=1，||=，且⊥（+），设与的夹角为θ，则有=0，即，故有1=-1××cosθ，∴cosθ=-．再由0≤θ≤π，可得θ=，故答案为．设与的夹角为θ，则有=0，化简可得1=-1××cosθ，求出cosθ的值，即可求得θ的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．15.若函数y=log3x的图象上存在点（x，y），满足约束条件，则实数m的最大值为______ ．【答案】1【解析】解：作对数函数y=log3x的图象与约束条件对应的可行域如图，由图可知，函数y=log3x的图象与直线x+y-4=0相交于A（3，1），∴只有当m≤1时，函数y=log3x的图象经过可行域三角形ABC边界及其内部的点，∴实数m的最大值为1．故答案为：1作出函数y=log3x的图象与约束条件对应的可行域，求出函数y=log3x的图象与直线x+y-4=0交点A，数形结合可知当m小于等于A点纵坐标时函数y=log3x的图象上存在点（x，y），满足约束条件，则答案可求．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，利用数形结合是解决本题的关键．16.在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量=（4，a2+b2-c2），=（，）满足∥，则∠C= ______ ．【答案】【解析】解：由∥，得4S=（a2+b2-c2），则S=（a2+b2-c2）．由余弦定理得cos C=，所以S=又由三角形的面积公式得S=，所以，所以tan C=．又C∈（0，π），所以C=．故答案为：．通过向量的平行的坐标运算，求出S的表达式，利用余弦定理以及三角形面积，求出C 的正切值，得到C的值即可．本题考查向量的平行，三角形的面积公式以及余弦定理的应用，考查计算能力．三、解答题(本大题共8小题，共90.0分)17.等差数列{a n}是递增数列，前n项和为S n，且a1，a3，a9成等比数列，S5=a52．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项的和．【答案】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，（d＞0）∵a1，a3，a9成等比数列，∴（a1+2d）2=a1（a1+8d），整理，得d2=a1d，∵d≠0，∴a1=d，①∵，∴5a1+=（a1+4d）2，②由①②，得：，d=，∴=．（Ⅱ）b n====，∴b1+b2+…+b n===．【解析】（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式、前n项和公式和等比数列性质，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由已知条件推导出b n=，由此利用裂项求和法能求出数列{b n}的前n项的和．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18.为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．【答案】解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知n=，∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，，；（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1．则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：．【解析】（I）由频率表中第4组数据可知，第4组的频数为25，再结合频率分布直方图求得n，a，b，x，y的值；（II）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，抽取比例为，根据抽取比例计算第2，3，4组每组应抽取的人数；（III）列出从6人中随机抽取2人的所有可能的结果，共15基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，利用古典概型概率公式计算．本题考查了频率分布表与频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是读懂频率分布直方图．19.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=a．（1）求证：AD⊥B1D；（2）求证：A1C∥平面AB1D；（3）求点A1到平面AB1D的距离．【答案】解：（1）证明：∵ABC-A1B1C1是正三棱锥，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD．BB1∩BD=B，∴AD⊥平面BB1D，∴AD⊥B1D．（4分）（2）连接DE．AA1=AB，四边形A1ABB1是正方向，∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A1C，∵DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．（8分）（3），所以，解得．（12分）【解析】（1）根据已知条件，证明出AD⊥平面BB1D，再根据线面垂直的性质，即可得到AD⊥B1D；（2）证明DE∥A1C后，根据线面平行的判定定理，即可得到答案；（3）根据等体积法，即，求出棱锥体积，及底面面积，即可求出点A1到平面AB1D的距离本题考查空间垂直关系、平行关系的证明，根据三棱锥的体积求点到平面的距离，这是文科立体几何试题的一般考查方式．20.已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线的焦点重合．（1）求椭圆C的方程．（2）已知经过定点M（2，0）且斜率不为0的直线l交椭圆C于A、B两点，试问在x 轴上是否另存在一个定点P使得PM始终平分∠APB？若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．【答案】解：（1）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），焦距为2c．由抛物线方程得焦点，，∴c=．又短轴长为4，∴2b=4，解得b=2．∴a2=b2+c2=9．∴椭圆C的方程为．（2）假设在x轴上存在一个定点P（t，0）（t≠2）使得PM始终平分∠APB．设直线l的方程为my=x-2，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（9+4m2）y2+16my-20=0，则，．（*）∵PM平分∠APB，∴，∴，化为，把x1=my1+2，x2=my2+2代入上式得（2-t）（y1-y2）[2my1y2+（2-t）（y1+y2）]=0，∵2-t≠0，y1-y2≠0，∴2my1y2+（2-t）（y1+y2）=0．把（*）代入上式得，化为m（9-2t）=0，由于对于任意实数上式都成立，∴t=．因此存在点P，满足PM始终平分∠APB．【解析】（1）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），焦距为2c．由抛物线方程得焦点，，可得c．又短轴长为4，可得2b=4，解得b．再利用a2=b2+c2即可得到a．（2）假设在x轴上存在一个定点P（t，0）（t≠2）使得PM始终平分∠APB．设直线l 的方程为my=x-2，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆的方程联立化为（9+5m2）y2+20my-25=0，得到根与系数的关系，由于PM平分∠APB，利用角平分线的性质可得，经过化简求出t的值即可．本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、角平分线的性质、两点间的距离公式、恒成立问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．21.已知函数f（x）=（ax-2）e x在x=1处取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e．【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=ae x+（ax-2）e x=（ax+a-2）e x，由已知得f′（1）=0，即（2a-2）e=0，解得：a=1，验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x-2）e x取得极小值，所以a=1；（Ⅱ）f（x）=（x-2）e x，f′（x）=e x+（x-2）e x=（x-1）e x．所以函数f（x）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上单调递增，f min（x）=f（m）=（m-2）e m．当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+1]上单调递增，f min（x）=f（1）=-e．当m≤0时，m+1≤1，f（x）在[m，m+1]单调递减，．综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值，，＜＜，（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=（x-2）e x，f′（x）=e x+（x-2）e x=（x-1）e x．令f′（x）=0得x=1，因为f（0）=-2，f（1）=-e，f（2）=0，所以f max（x）=0，f min（x）=-e，所以，对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤f max（x）-f min（x）=e，【解析】（Ⅰ）求导数f′（x），由题意得f′（1）=0，可得a值，代入检验即可；（Ⅱ）当a=1时可求出f（x）的单调区间及极值点，按极值点在区间[m，m+1]的左侧、内部、右侧三种情况进行即可求得其最小值；（Ⅲ）对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e，等价于|f（x1）-f（x2）|≤f max （x）-f min（x）≤e．问题转化为求函数f（x）的最大值、最小值问题，用导数易求；本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想、转化思想，关于恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．22.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．【答案】解：（1）如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB．∴AB是⊙O的切线；（2）∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，∴BC2=BD•BE，∵tan∠CED=，∴．∵△BCD∽△BEC，∴，设BD=x，BC=2x．又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x•（x+6），解得x1=0，x2=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）．【解析】（1）要想证AB是⊙O的切线，只要连接OC，求证∠ACO=90°即可；（2）先由三角形判定定理可知，△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长．本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质，以及切割线定理的综合运用，属于基础题．23.在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos （θ-）=2（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ-）=2，即ρcosθ+ρsinθ=4，化为直角坐标方程为x+y-4=0．（Ⅱ）设点P（2cosα，sinα），点P到直线l距离d==，其中，sinβ=，cosβ=．故当sin（α+β）=-1时，d取得最大值为=+2．【解析】（Ⅰ）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程．（Ⅱ）设点P（2cosα，sinα），求得点P到直线l距离d=，可得d的最大值．本题主要考查把极坐标化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的值域，属于基础题．24.（选修4-5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞-1，且当，时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．设y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，则y=，＜，，＞，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞-1，且当，时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a-2对，都成立．故-≥a-2，解得a≤，故a的取值范围为（-1，]．【解析】（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x-1|+|2x-2|-x-3＜0．设y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a-2对，都成立．故-≥a-2，由此解得a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于中档题．。
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2014年甘肃省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1. 已知集合A ={x ∈Z||x|<5}，B ={x|x −2≥0}，则A ∩B 等于（ ）A (2, 5)B [2, 5)C {2, 3, 4}D {3, 4, 5}2. 复数1−i 1+i （i 是虚数单位）化简的结果是（ ）A 1B −1C iD −i3. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A 3πB 203πC 73πD π 4. 设a =30.5，b =log 53，c =cos3，则（ ）A c <b <aB c <a <bC a <b <cD b <c <a5. 阅读如图程序框图，输出的结果i 的值为（ ）A 5B 6C 7D 96. 已知数列{a n }为等差数列，且a 1=2，a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于（ ）A 40B 42C 43D 457. 已知两条直线m ，n 和平面α，且m 在α内，n 在α外，则“n // α”是“m // n”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件8. 已知α是第二象限角，且sin(π+α)=−35，则tan2α的值为（ ） A 45 B −237 C −247 D −839. 已知点P(x, y)满足线性约束条件{y ≤2x +y ≥1x −y ≤1，点M(3, 1)，O 为坐标原点，则OM →⋅OP →的最大值为（ ）A 12B 11C 3D −110. 已知抛物线方程为y 2=4x ，直线l 的方程为x −y +4=0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值为( )A 5√22+2B 5√22+1C 5√22−2D 5√22−111. 四棱锥P −ABCD 的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥ABCD ，PA =√2，则该球的表面积为（ ）A πB 2πC 3πD 4π12. 定义在R 上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，f(x +1)=2f(x)(f(x)≠0)，且在区间(2013, 2014)上单调递增，已知α，β是锐角三角形的两个内角，则f(sinα)、f(cosβ)的大小关系是（ ）A f(sinα)<f(cosβ)B f(sinα)>f(cosβ)C f(sinα)=f(cosβ)D 以上情况均有可能二、填空題：本大题共4小题，每小题5分.13. 在边长为3的正方形ABCD 内任取一点P ，则P 到正方形四边的距离均不小于l 的概率为________．14. 已知函数f(x)={x +1,x <0e x ，x ≥0，则f(f(0)−3)=________． 15. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线经过点(1, 2)，则该双曲线的离心率的值为________．16. 已知数列{a n }满足a 1=100，a n+1−a n =2n ，则an n 的最小值________．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．cosC =45，c =2bcosA ． （1）求证：A =B ；（2）若△ABC 的面积S =152，求c 的值．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC =2，E 是PC 的中点．（1）证明：PA // 平面EDB ；（2）求三梭锥A 一BDP 的体积．19. 2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米． 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，其中左焦点F(−2, 0)．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y =x +m 与椭圆C 交于两个不同的两点A ，B ，且线段的中点M 总在圆x 2+y 2=1的内部，求实数m 的取值范围．21. 已知函数f(x)=1x +alnx(a ≠0, a ∈R)． （I ）若a =1，求函数f(x)在x =1处的切线方程；（II ）若在区间(0, e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)<0成立，求实数a 的取值范围．请从22、23、24三个小题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲22. 如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ．(Ⅰ)求证：PM 2＝PA ⋅PC ；(Ⅱ)若⊙O 的半径为2√3，OA =√3OM ，求MN 的长．选修4-4：坐标系与参数方程23. 已知直线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极值为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：{x =m +t y =t ，（t 是参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB|=√14，试求实数m 的值．选修4-5：不等式选讲24. 已知函数f(x)=lg(|x+1|+|x−2|+a)．（1）当a=−5时，求函数f(x)的定义域；（2）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．2014年甘肃省高考数学一模试卷（文科）答案1. C2. D3. C4. A5. C6. B7. B8. C9. B10. D11. D12. A13. 1914. −115. √516. 1917. 解：（1）∵ c=2bcosA，∴ 根据正弦定理得：sinC=2sinB⋅cosA，又sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)，∴ sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2sinB⋅cosA，整理得：sinAcosB−cosAsinB=sin(A−B)=0，在△ABC中，∵ 0<A<π，0<B<π，∴ −π<A−B<π，则A=B；（2）由（1）A=B，可得a=b，∵ cosC=45，且C为三角形的内角，∴ sinC=√1−cos2C=35，又△ABC的面积S=152，∴ S=12absinC=310ab=152，即ab=a2=25，∴ a=b=5，又cosC=45，由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcosC=10，则c=√10．18. 解：（1）证明：连接AC交BD于O，连接OE，∵ ABCD是正方形，∴ O为AC的中点，又E是PC的中点，∴ OE // PA，PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴ PA // 平面BDE；（2）∵ 侧棱PD⊥底面ABCD，∴ PD为三棱锥P−ABD的高，PD=DC=2，∴ V A−BDP=V P−ABD=13×S△ABD×PD=13×12×2×2×2=43．19. 解：（1）设PM2.5的24小时平均浓度在(50, 75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在(75, 100)内的两天记为B1，B2．所以5天任取2天的情况有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共10种．…其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种．…所以所求的概率P=610=35．…（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为：12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40（微克/立方米）．…因为40>35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…20. 解：（1）∵ 椭圆的离心率为√22，其中左焦点F(−2, 0)．∴ {ca=√22 c=2a2=b2+c2，∴ a=2√2，b=2，∴ 椭圆C的方程为x28+y24=1；（2）设点A、B的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，线段AB的中点为M(x0, y0)，由直线代入椭圆方程消y得，3x2+4mx+2m2−8=0，△=96−8m2>0，∴ −2√3<m<2√3．∴ x0=x1+x22=−2m3，y0=x0+m=m3．∵ 点M(x0, y0)在圆x2+y2=1上的内部，∴ (−2m3)2+(m3)2<1，∴ −3√55<m<3√55．21. 解：(I)∵ f(x)=1x+alnx(a≠0, a∈R)．∴ x>0，且f′(x)=−1x2+ax=ax−1x2若a=1，则f′(x)=−1x2+ax=ax−1x2=x−1x2，f′(1)=0，f(1)=1+ln1=1，故函数f(x)在x=1处的切线方程是y=1；（II）∵ f(x)=−1x2+ax=ax−1x2，(a≠0, a∈R)．令f′(x)=0，得到x=1a，若在区间[0, e]上存在一点x0，使得f(x0)<0成立，其充要条件是f(x)在区间(0, e]上的最小值小于0即可．（1）当x=1a<0，即a<0时，f′(x)<0对x∈(0, +∞)成立，∴ f(x)在区间[1, e]上单调递减，故f(x)在区间(0, e]上的最小值为f(e)=1e +alne=1e+a，由1e +a<0，得a<−1e．（2）当x=1a>0，即a>0时，①若e≤1a，则f′(x)≤0对x∈(0, e]成立，∴ f(x)在区间(0, e]上单调递减，∴ f(x)在区间(0, e]上的最小值为f(e)=1e +alne=1e+a>0，显然，f(x)在区间(0, e]上的最小值小于0不成立．②若1<1a <e，即a>1e时，则有∴ f(x)在区间[0, e]上的最小值为f(1a )=a+aln1a，由f(1a )=a+aln1a=a(1−lna)<0，得1−lna<0，解得a>e，即a∈(e, +∞)．综上，由（1）（2）可知：a∈(−∞, −1e)∪(e, +∞)．22. （1）证明：连接ON ，因为PN 切⊙O 于N ，∴ ∠ONP ＝90∘，∴ ∠ONB +∠BNP ＝90∘∵ OB ＝ON ，∴ ∠OBN ＝∠ONB因为OB ⊥AC 于O ，∴ ∠OBN +∠BMO ＝90∘，故∠BNP ＝∠BMO ＝∠PMN ，PM ＝PN∴ PM 2＝PN 2＝PA ⋅PC（2）∵ OM ＝2，BO ＝2√3，BM ＝4∵ BM ⋅MN ＝CM ⋅MA ＝(2√3+2)(2√3−2)(2√3−2)＝8，∴ MN ＝223. 解：（1）∵ ρ=4cosθ，∴ ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程x 2+y 2=4x ．由直线l 的参数方程：{x =m +t y =t ，（t 是参数），消去t 可得x −y −m =0．（2）由圆C 的方程(x −2)2+y 2=4可得圆心C(2, 0)，半径r =2．∴ 圆心C 到直线l 的距离d =√2=√2． ∵ (|AB|2)2+d 2=r 2，|AB|=√14 ∴ (√142)2+(√2)2=22，化为|m −2|=1，解得m =1或3．24. 解：（1）当a =−5时，要使函数有意义，则|x +1|+|x −2|−5>0，即|x +1|+|x −2|>5，在同一坐标系中作出函数y =|x +1|+|x −2|与y =5的图象如图：则由图象可知不等式的解为x <−2或x >3，即函数f(x)的定义域为{x|x <−2或x >3}．（2）∵ 函数f(x)的定义域为R ，|x +1|+|x −2|+a >0恒成立，即|x +1|+|x −2|>−a 恒成立，由图象可知|x +1|+|x −2|≥3，即−a<3，解得a>−3．。