《平方差公式》教案、导学案、同步练习

14.2 乘法公式《14.2.1 平方差公式》教学设计教学目标1．知识与技能会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算．2．过程与方法经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．3．情感、态度与价值观通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．重、难点与关键1．重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．2．难点：平方差公式的应用．3．关键：对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、•总结、猜想，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计算的关键．教学方法采用“情境──探究”的教学方法，让学生在观察、猜想中总结出平方差公式．教学过程一、创设情境，故事引入【情境设置】教师请一位学生讲一讲《狗熊掰棒子》的故事【学生活动】1位学生有声有色地讲述着《狗熊掰棒子》的故事，•其他学生认真听着，不时补充．【教师归纳】听了这则故事之后，同学们应该懂得这么一个道理，学习千万不能像狗熊掰棒子一样，前面学，后面忘，那么，上节课我们学习了什么呢？还记得吗？【学生回答】多项式乘以多项式．【教师激发】大家是不是已经掌握呢？还是早扔掉了呢？和小狗熊犯了同样的错误呢？下面我们就来做这几道题，看看你是否掌握了以前的知识．【问题牵引】计算：（1）（x+2）（x－2）；（2）（1+3a）（1－3a）；（3）（x+5y）（x－5y）；（4）（y+3z）（y－3z）．做完之后，观察以上算式及运算结果，你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现．【学生活动】分四人小组，合作学习，获得以下结果：（1）（x+2）（x－2）=x2－4；（2）（1+3a）（1－3a）=1－9a2；（3）（x+5y）（x－5y）=x2－25y2；（4）（y+3z）（y－3z）=y2－9z2．【教师活动】请一位学生上台演示，然后引导学生仔细观察以上算式及其运算结果，寻找规律．【学生活动】讨论【教师引导】刚才同学们从上述算式中找到了这一组整式乘法的结果的规律，这些是一类特殊的多项式相乘，那么如何用字母来表现刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢？【学生回答】可以用（a+b）（a－b）表示左边，那么右边就可以表示成a2－b2了，即（a+b）（a－b）=a2－b2．用语言描述就是：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．【教师活动】表扬学生的探索精神，引出课题──平方差，并说明这是一个平方差公式和公式中的字母含义．二、范例学习，应用所学【教师讲述】平方差公式的运用，关键是正确寻找公式中的a和b，只有正确找到a和b，•一切就变得容易了．现在大家来看看下面几个例子，从中得到启发．【例1】运用平方差公式计算：（1）（2x+3）（2x－3）；（2）（b+3a）（3a－b）；（3）（－m+n）（－m－n）．填表：【例2】计算：（1）103×97（2）（3x－y）（3y－x）－（x－y）（x+y）通过做题，应该总结出：在两个因式中，符号相同的一项作a，符号不同的一项作b．三、随堂练习，巩固新知课本练习四、课堂总结，发展潜能本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a，•第二个数b；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．五、布置作业，专题突破课本习题．板书设计乘法公式《14.2.1 平方差公式》教案教学目标：经历探索平方差公式的过程；会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算，培养学生观察、归纳、概括的能力．教学重点与难点：平方差公式的推导和应用；理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教学过程：一、学生动手，得到公式1．计算下列多项式的积：①(x+1)(x−1)；②(m+2)(m−2)；③(2x+1)(2x−1)①(x+1)(x−1) = x2−x+x−1 = x2−1②(m+2)(m−2) = m2− 2m+ 2m−4 = m2−4③(2x+1)(2x−1) = 4x2−2x+2x−1 = 4x2−12．提出问题：观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？3．特点：等号的一边：两个数的和与差的积，等号的另一边：是这两个数的平方差4．得到结论：(a+b)(a−b) = a2−ab+ab−b2 = a2−b2．即(a+b)(a−b) = a2−b2，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做(乘法的)平方差公式．二、熟悉公式下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？①( 2a+3b)( 2a−3b)；②(−2a+3b)( 2a−3b)；③(−2a+3b)(−2a+3b)；④(−2a−3b)( 2a−3b)；⑤(a+b+c)(a−b+c)；⑥(a−b−c)(a+b−c)学生讨论并回答，教师总结，其中①④⑤⑥可以用平方差公式认清公式：在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的部分是a，变号的部分是b三、公式的几何关系思考：你能根据右图中的面积说明平方差公式吗？学生讨论并回答，教师总结：(a+b)(a−b)为长方形①与③的面积和a2−b2则是长方形①与②的面积和而长方形②与③的是形状大小完全一样的两个长方形，面积相等所以(a+b)(a−b) = a2−b2四、运用公式直接运用例：①(3x+2)(3x−2)；②(b+ 2a)( 2a−b)；③(−x+2y)(−x−2y)解答：①(3x+2)(3x−2) = 9x2−4②(b+ 2a)( 2a−b) = 4a2−b③(−x+2y)(−x−2y) = (−x)2−(2y)2 = x2−4y2简便计算例：①102×98；②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1解答：①102×98 = (100+2)(100−2) = 10000−4 = 9996②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1= (2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1= (22−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1= (24−1)(24+1)(28+1)(216+1)+1= (28−1)(28+1)(216+1)+1= (216−1)(216+1)+1= 232−1+1 = 232．五、小结：平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即(a+b)(a−b) = a2−b2．《14.2.1 平方差公式》教学设计教学过程设计即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：平方差公式中的a 和b 可以是数、字母，也可以是式；只要是相同两个式的和乘以差，都等于平方差. 例1．运用平方差公式计算：(1) ()()2323-+x x ； (2)()b a a b -+2)2( (2) ()224)2)(2(2)2(b a b a b a b a a b -=-+=-+【解析】⑴中，要把x 3和2分别看成公式中的a 和b ， 即：(2) ()224)2)(2(2)2(b a b a b a b a a b -=-+=-+第(2)题表面上看不符合公式特征，但实质上是符合公式特征的.【点拨】在运用平方差公式时注意：⑴判断是否符合平方差公式的结构特点，只有符公式结构的乘法才能运用公式简化运算，否则仍按多项式乘法法则进行.⑵能用公式的式子要先变形为()()b a b a -+的形式，再利用公式进行计算.例2．下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）（1）（x +1）（1+x ）； （2）（21a +b ）（b －21a ）；（3）（－a +b ）（a －b ）； （4）（x 2－y ）（x +y 2）； （5）（－a －b ）（a －b ）； （6）（c 2－d 2）（d 2+c 2）．只有（2）、（5）、（6）能用平方差公式．因为（2）（21板书设计《14.2.1 平方差公式》教案理解平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式。

一、激趣导入1.多项式乘法法则及符号表达式时怎样的？2.在符号表达式中，如果把m,n都用x表示，写出变形后的符号表达式。

3.如果变形后的符号表达式中的a,b有着某种特殊关系比如a=b或a=-b又将会得到什么特殊结果呢？学生活动：1.思考，个别生回答2.写，个别生板演3.思考二.探究归纳规律：平方差公式1.计算下面各题：(1)(x+3)(x-3)……(2)(1+2a)(1-2a)(3)(x+4y)(x-4y)2.观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？3.把规律用一句话概括出来。

4.出示乘法的平方差公式的符号表达式及文字表达式：(a+b)(a-b)=a2-b2即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

5.你能用多项式的乘法法则推导平方差公式吗？学生活动：1.独立完成，个别生回答2.独立观察，找规律后组内讨论交流，最后汇报3.组内交流，代表汇报4.读，记5.尝试推导，个别生板演三.尝试运用平方差公式下面几个算式中，哪些可以用平方差公式进行计算，可以用的找出公式中的a,b.(1)(3m+1)(3m-1)(2)(2-3x)(2+3x)(3)(2+5x)(2-5y)(4)(-2x+1)(-2x-1)(5)(3ab-c)(3ab+c)(6)(-3-5b)(3-5b)(7)(100+2)(100-2)(8) [ (m+n)-2 ] [ (m+n)+2 ]学生活动：尝试找，个别生回答。

四.公式的结构特征及注意事项1.引导学生观察公式的左边，右边的特点2.总结归纳公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数（或式）；右边是乘式中相同项的平方减去相反项的平方。

3.注意事项：（1）找公式中的a与b时，要把乘式中的两个二项式都看成是省略了加号的和的形式即两个二项式中出现的符号都看成性质符号，完全相同的项看成公式中的a,互为相反数的项除去性质符号外剩下的看成公式中的b；(2)公式中的a、b可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等式子；(3)只有符合公式的结构特征的才能运用此公式。

(4)有些多项式与多项式相乘表面上不能运用公式，但通过适当变形实质上能运用公式学生活动：1.观察，交流，个别生汇报2.读，记3.读，理解五.运用平方差公式例1 运用平方差公式计算：（1）(3x+2)(3x-2)(2) (b+2a)(b-2a)师：订正练习：1.见课件2.运用平方差公式计算：（1）(x+y)(x-y)(2)(a+5)(a-5)(3)(xy+z)(xy-z)(4)(c-a)a+c)(5)(x-3)(-3-x)例2.计算(1) ( 102×98;(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . 师：讲评练习：计算：（1）(a+3b)(a-3b)(2)(3+2a)(-3+2a)(3)51×49(4)(-2x2-y)(-2x2+y)(5)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)拓展：1.计算：20122-2011×20132.运用公式计算:(a-2)(a+2)(a2-4)师：讲评检测：（1）498×502（2）4992-4982（3）98×102-992（4）1.03×0.97（5）（-2x2+5）(-2x2-5)(6)a(a-5)-(a+6)(a-6)六.回顾本节课所学知识本节课你有什么收获？七.作业108页练习及112页复习巩固第1题独立完成，个别生板演独立完成，同桌互相纠错[第十四章整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式《14.2.1 平方差公式》导学案学习目标：1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.重点：掌握平方差公式的结构特征.难点：应用平方差公式进行计算和解决实际问题.一、知识链接1.多项式乘以多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项_________另一个多项式的每一项，再把所得的积_______．2．计算：(1)(x＋1)(x＋3)＝_________________；(2)(x＋3)(x－3)＝________________；(3)(m＋n)(m－n)＝________________．二、新知预习算一算：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？①（x ＋ 1)( x－1）=_______________；②（m ＋ 2)( m－2）=_______________；③（2m＋ 1)(2m－1）=_______________；④（5y ＋ z)(5y－z）=_______________.想一想：这些计算结果有什么特点？要点归纳：(a+b)(a−b)=_________,即两数和与这两数差的积,等于这两数的__________.试一试：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？剩余部分的面积为：____________ 新长方形的面积为：____________三、自学自测1.填一填：(a-b)(a+b) a b a2-b2(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(1+a)(-1+a)(0.3x-1)(1+0.3x)2.下列各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？(1)(x＋3)(x－3)＝x2－3；(2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4.四、我的疑惑_________________________________________________________________ ___________________________________________________________一、要点探究探究点1：平方差公式例1：利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．方法总结:应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．例2：计算:(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .方法总结:(1)中应根据平方差公式的特征，合理变形后，利用平方差公式，简化运算.(2)中不符合平方差公式条件的乘法运算，应按照多项式乘以多项式的乘法法则进行计算.例3：先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y ＝2.例4：对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？方法总结:对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．例5：王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？方法总结:解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．1.在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式进行计算的是( )A．(x＋1)(1＋x) B．(12a＋b)(b－12a)C．(－a＋b)(a－b) D．(x2－y)(x＋y2)2.对于任意正整数n，能整除式子(m＋3)(m－3)－(m＋2)(m－2)的整数是( )A．2 B．3 C．4 D．53.计算：(l)(-a+b)(a+b)=_________. (2)(a-b)(b+a)= __________.(3)(-a-b)(-a+b)= ________. (4)(a-b)(-a-b)= _________.4.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是________________________．图1图25.计算：(1)(14a－1)(14a＋1)；(2)(2m＋3n)( 2m－3n)．6.先化简，再求值：(1＋3x)(1－3x)＋x(9x＋2)－1，其中x＝1 2 .1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)2.计算（2x+1）（2x-1）等于（）A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+13.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．4.利用平方差公式计算：（1）(a+3b)(a- 3b)；（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y).5.计算： 20152－ 2014×2016.6.利用平方差公式计算:（1)(a-2)(a+2)(a2 + 4); (2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.拓展提升8.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋x n)＝________；(n为正整数)(2)根据你的猜想计算：①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；(3)通过以上规律请你进行下面的探索：①(a－b)(a＋b)＝________；②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．14.2 乘法公式《14.2.1 平方差公式》导学案一、温故知新：（我最棒！）1．多项式乘以多项式的法则是什么？请用公式表示出来 .2．请利用多项式乘以多项式的法则计算下列各题：； ；； ；； .二、探究新知：（我能行！）观察上面2题中（3）~（6）题的特征和计算结果，你有什么发现？ 大胆猜测：＝即：两个数的 与这两个数的 的积，等于这两个数的 . 这个公式叫做（乘法的） .三、思考讨论:图1中长方形的面积与图2空白部分的面积有什么关系，通过对两个图形面积的计算能验证平方差公式吗?四、拓展延伸：下列各式能利用平方差公式计算吗？若能，请说出哪一项相当于公式中的和？若不能，请说明理由.（1）； （2） ； （3）.()()(1)12x x +-()()(2)22x y x y -+()()(3)11x x -+()()(4)33x y x y -+()()(5)33c d c d +-()()(6)55x y x y +-()()a b a b +-a b ()()3232a a +-+()()3232a a ---()()3232a a +--总结规律：能利用平方差公式计算的式子：符号相同的部分相当于公式中的 ，符号不同的部分相当于公式中的 .五、尝试应用：1.下面各式的计算对不对?如果不对,请改正.2．计算：（1）； （2）；（3）； （4）.六、拓展提升：1．下列能利用平方差公式计算的是（ ）．A. B.C. D.2．利用平方差公式计算：(1)；；(3)3．计算： 七、达标测试：（每小题20分，共120分）1.计算（2a+5）（2a-5）的结果是（ ）A ．4a 2-25B ．4a 2-5C ．2a 2-25D ．2a 2-52.下列计算正确的是（ ） A ．（x +5）（x-5）=x 2-10B ．（x+6）（x-5）=x 2-30()()2(1)222x x x +-=-()()2(2)323234a a a +-=-()()33a b a b +-(23)(23)x y x y -+()()10041004+-10298⨯(2)(2)m n m n --(3)(2)x x +-(2)(2)m n n m --+(2)(2)m n m n ---()()3434m m +-+()()(2)2323x x ---()()(1)(2)x y x y y y -+---+-2201120102012-⨯C ．（3x+2）（3x-2）=3x 2-4D ．（-5xy-2）（-5xy+2）=25x 2y 2-43.计算（1-m ）（-m-1）＝ .4.（原创题）观察图3中图形的变化过程，计算其中空白图形的面积能验证的公式是 .5.计算： .6.先化简，再求值：，其中.14.2 乘法公式《14.2.1 平方差公式》导学案学习目标：1．能说出平方差公式的特点，并会用式子表示.2．能正确地利用平方差公式进行多项式的乘法运算.3．通过平方差公式得出的过程，体会数形结合的思想.学习重点：掌握两数和乘以它们的差的结构特征.学习难点：正确理解两数和乘以它们的差的公式的意义.学习过程：一、联系生活,设境激趣问题一：王林到小卖部去买饼干, 售货员告诉他: 共4.2千克，每千克3.8元.正当售货员还在用计算器计算时，王林马上说出了共15.96元，售货员很惊奇地问：“你怎么比计算器算的还快呢？”王林很得意的告诉她：这是一个秘密.(43)(34)a b b a -+(2)(2)(4)x x x x +-+-2x =同学们,你能帮售货员揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘密吗?二.观察概括,探索验证问题二：1．经过本节课的学习,我们就能揭开这一秘密了.请同学们计算下面三道题:(1)(x ＋3)(x －3)； (2) (m ＋5n)(m －5n)； (3) (4＋y)(4－y) .2．请你观察思考:以上几个多项式与多项式相乘的式子有什么特点?积有什么特点?你能用字母表示吗？观察发现：两数和乘以这两数的 等于这两数的用一个数学等式表示为:（a ＋b ）（a －b ）＝ ……平方差公式.3.这个等式正确吗?你怎样验证其正确性呢?⑴利用多项式乘以多项式计算:⑵ 你能再用以下的图形验证平方差公式吗？试一试.图13.3.1先观察图13.3.1，再用等式表示下图中图形面积的运算：＝ － ．具有简洁美的乘法公式:（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2．三、理解运用，巩固提高问题三：1. 填一填:①2x+）（2x-）=（ ）2-（ ）2 = ②(3x+6y)(3x -6y)=( )2-（ ）2=2121③(m3+5)(m3-5)=( )2-（）2=2. 辨一辨:① (2x＋3)(2x－3) =2x2－9②(x＋y2)(x－y2) = x2－y2③(a＋b)(a－2b) = a2－b23.说一说：下列各式都能用平方差公式计算吗?①(2a－3b)(3b－2a)②(－2a+3b) (2a+3b)③(－2a－3b)(2a－3b)④(2a－3b)(2a+3b)⑤(2a+3b)(－2a－3b)⑥(2a－3b)(－3b+2a)4．做一做：（1）(a＋3)( a－3) （2）(2a＋3b)( 2a－3b) （3）(1＋2c)( 1－2c)（4）变式拓展:①（－2x－y）（2x－y）②(-m+n)(-m-n)③ (-2x-5y)(5y-2x)5．生活实践⑴计算：1998×2002⑵现在你能揭开小林快速口算出4.2×3.8的秘密吗?⑶街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米.问改造后的长方形草坪的面积是多少?四、实践应用，提高技能问题四： (用4分钟独立完成，看谁又快又准.)1.下列可以用两数和乘以这两数差公式计算的是（）A.（x-y）（x+y）B.（x-y）（y-x）C.（x-y）（-y+x）D.（x-y）（-x+y）2.比一比：①（5+6x）(5-6x）②（3m-2n）(3m+2n）③（ab+8）(ab-8）④（2x＋y）(－2x＋y) ⑤（－4a－0.1）(4a＋0.1）⑥(m+n)(m-n)+3n2⑦（-x +2）( -x－2) ⑧（－a+b）（a+b）练习，在经历训练中熟练运用公式运算．3.请你独立完成课本P30五、总结反思________________________________________________________________.《14.2.1 平方差公式》导学案【学习目标】1、掌握平方差公式及其应用。