完全平方公式和平方差公式教学文案

完全平方公式和平方
差公式
乘法公式
1. 平方差公式
(1)平方差公式的推导：
因为(a+ b)(a- b)= a2—ab+ ab—b2= a2—b2,
所以(a+ b)(a —b)= a2—b2.
【例1】利用平方差公式计算.
(1)(2a + 3b)( —2a+ 3b); (2)503 x 497.
2. 完全平方公式
(1)两数和的完全平方公式：(a + b)2= a2+ 2ab+ b2;
两数差的完全平方公式：(a—b)2= a2—2ab+ b2.
析规律完全平方公式的特征完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在
中央.
【例2】计算：
1 1
(1)(4m + n)2; (2)( y—刁2；(3)( —a—b)2; (4)( —2a+ 尹)2
3. 添括号法则
法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括
到括号里的各项都改变符号.
警误区添括号法则的易错点添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符
号，不可只改变部分项的符号，如： a —b+ c = a —(b + c)，这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的.
【例3】填空：(1)(x —y+ z)(x+ y—z)
=[x —( )][x+ ()];
(2)(x+ y+ z)(x—y—z)
=[X + ( )][X- ( )] •
【例4】如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a>b）,把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式________________ .
【例6】观察下列各式的规律：
12+ (1 X 2)2+ 22= (1 X 2+ 1)2；
2 + (2 X 3)2+ 32= (2 X 3+ 1)2;
32+ (3 X 4)2+ 42= (3 X 4+ 1)2;
写出第n行的式子，并证明你的结论.
类型一：巧用乘法公式式混用
计算：4x2—丄4x2
2 2类型二：平方差与完全平方公计算：a b c a b c
类型三：完全平方公式在三角形中的运用
例3、已知△ ABC 勺三边长a,b,c 满足a 2 b 2 c 2 ab be ac 0 ,试判断△ ABC 的形状
类型四：利用乘法公式解方程（组）
类型五：多项式的证明
类型六：灵活运用乘法公式解题
例4:解方程组
2
y 4
x 3y
例5:证明无论a,b 为何值，多项式a 2
b 2 2a 6b 12的值恒为正
例6、计算
1-
右
HI 92
i 102
拓展： 三项完全平方公
式：
a b c 2
a 2
b 2
c 2 2ab 2ac 2bc
x a x+b
a b x ab
立方和公式：a 3 b 3 立方差公式：a 3
-b 3
1、若 x 3 x 4
a b a 2 ab b 2 a b a 2+ab b 2
x 2 px+q,那么p,q 的值分别是
A.4
B.2a+4
C.4a+4
D.4a
4•下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是(
)
A.(a+1)(2a - 2)
B.(2x - 3)(-2x+3)
1 1 C.
(2y — — )(-+2y) D.(3m - 2n)(— 3m - 2n)
3 3
2、若 ax b x 2 4,则 ab
3、 女口 x m 与x 3的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为
4、 已知a 2 a 5 0,则a 3 a+2的值是
5、 已知实数a, b 满足a b 1, a b 25,则a 2 b 2 ab
6、 将代数式x 2 6x 2化成x p $ q 的形式为
7、若x 2+2 ax 16是一个完全平方展开式，则
a 的值是 ________ -
&已知x 2 16x k 是个完全平方式，则常数 k 的值为 ________________
2
9、若 |x y 5 xy 6 0,则x 2 y 2 =
2
1 1 1
10、已知x - 4,求x 2 —2和x - 的值
x x x 11、知实数a,b 满足a
1, a b 2
25,则a 2 b 2 ab
课后练习
1•下列各式中，相等关系一定成立的是（
A. (x - y)2= (y - x)2 C.(x+y)2
=x 2
+y 2
2•下列运算正确的是()
A.(a+3)2= a 2+9 C.(1- m)2= 1 - 2m+m 2
3•将面积为a 2的正方形边长增加
B. (x+6)(x - 6) = x 2- 6
2 2 2 2
D.x +2xy — y = (x+y)
1 2
1 2
2 2
B.( x — y) = x 2- xy+y 2
3
6
3
D.(x 2- /)(x+y)(x - y) = x 4- y 4
2, 则
5.不等式(2x — 1)2 — (1— 3x)2v 5(1 — x)(x+1)的解集是()
A.x > — 2.5
B.x v — 2.5
C.x >2.5
D.x v 2.5
5 5 2 1 6•计算：(1)(1.2x — y)( — y — 1.2x);
(2)15— >(— 14-);
7
7
3
3
⑶[2x 2— (x+y)(x — y) (z — x)(x+z)+(y — z)(y+z) ] ;
(4)(a — 2b+3c)(a+2b —
3c).
7. (1)已知 x+y = 6, xy = 4,求①x 2+y 2，②(x — y)2,③x 2+xy+y 2 的值.
a 2
b 2
⑵已知 a(a-3)— (a 2 — 3b) = 9,求-—-—ab 的值. 2
1•计算:
(2)(2a — b)(2a+b) — (— 3a — b)( — 3a+b);
(4)(3x — 2y)2 — 4(2x — y)(x — y).
2.已知(a+b)2= 7, (a — b)2= 4,求 a 2+b 2和 ab 的值.
(1)(a 2+1)(a 2— 1)— (— a 2)孑;
(3)x 2— (4 — x)2 ;
3. 已知△ ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2—ab—bc—ac= 0,试判断△ ABC的形状.
4•解方程：
(1)9x(4x —7) —(6x+5)(6x —5)+38= 0; (2)(y2—3y+2)(y2+3y —2) = y2(y+3)(y —3).。