平衡问题的八种解法
解答共点力平衡问题的常用方法
解答共点力平衡问题的常用方法物体的平衡问题，涉及力的概念、受力分析、力的合成与分解、列方程运算等多方面数学、物理知识和能力的应用，是高考中的热点。
一、共点力平衡问题的数学解法1、相似三角形法:如果在对力利用平行四边形定则运算的过程中,力三角形与几何三角形相似,则可根据相似三角形对应边成比例等性质求解。
2、拉密定理若在共点的三个力作用下,物体处于平衡状态,则各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦成正比。
3、正交分解法:共点力平衡条件F合=0是矢量方程,通常用正交分解法把矢量运算转化为标量运算,给解题带来方便。
4、函数图象法:利用函数图象分析和解答问题,关键是分析图象的物理意义,进行推理判断和计算。
二、共点力平衡问题的物理方法1、离法与整体法通常在分析外力对系统的作用时,用整体法:在分析系统内各物体间的相互作用时,用隔离法。
二者常需交叉运用,从而优化解题思路和方法,使解题简洁明了。
2、动态平衡问题———图解法利用图解法解决此类问题的基本方法是：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化，在同一图中作出物体在平衡状态下的平衡力图（力的平行四边形），再由动态的力的四边形各边长度变化及角度变化，确定力的大小及方向的变化情况,3、临界法:从量变到质变的转变状态,叫临界状态。
分析和解决临界问题,有两种基本方法:一是演绎法———从一般到特殊的推理方法;二是临界法———从特殊到一般的推理方法。
因为临界状态总是比一般状态简单,所以解决临界问题,临界法比演绎法简单。
一般,只要分清物理过程抓住临界状态,确定临界状态,建立临界方程,问题就迎刃而解了。
物体的动态平衡问题解题技巧
物体的动态平衡问题解题技巧动态平衡问题解题技巧一、总论1、动态平衡问题的产生——当三个平衡力中一个力已知恒定，另外两个力的大小或方向不断变化，但物体仍然平衡时，就会产生动态平衡问题。
典型关键词包括缓慢转动、缓慢移动等。
2、动态平衡问题的解法——解析法和图解法。
解析法：画好受力分析图后，进行正交分解或斜交分解，列出平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然后通过角度变化分析判断力的变化规律。
图解法：画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。
3、动态平衡问题的分类——包括动态三角形、相似三角形、圆与三角形（2类）、等腰三角形等。
二、例析1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定——动态三角形。
例1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。
设墙面对球的压力大小为FN1，球对木板的压力大小为FN2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。
不计摩擦，在此过程中，FN1和FN2的变化规律是？解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出FN1和FN2随夹角变化的函数，然后通过函数讨论。
解析】小球受力如图，由平衡条件，有FN2sinθ-mg=0，FN1cosθ=FN2sinθ，联立可解得FN2=mg/θ，FN1=sinθ/tanθ。
木板在顺时针放平过程中，θ角一直在增大，可知FN1和FN2都一直在减小，因此选B。
解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”，不变的是小球重力和FN1的方向，然后按FN2方向变化规律转动FN2，即可看出结果。
解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形，其中重力mg保持不变，FN1的方向始终水平向右，而FN2的方向逐渐变得竖直。
平衡优化问题常见解法
平衡优化问题常见解法概述平衡优化问题是指在给定一组约束条件下，通过选择最佳的决策变量值来优化系统的平衡状态。
这类问题在各个领域中都存在，并且具有广泛的应用。
本文将介绍一些常见的解决平衡优化问题的方法。
1. 线性规划线性规划是一种常见的解决平衡优化问题的方法。
在线性规划中，目标函数和约束条件均为线性函数，决策变量也是连续的。
通过线性规划，我们可以找到系统的最优平衡状态。
2. 整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量为整数。
在某些情况下，系统的平衡状态需要用整数值来表示，因此整数规划方法更适用于这类问题。
3. 网络流问题网络流问题是一类特殊的平衡优化问题。
它模拟了一种物质或信息在网络中的传递过程。
通过建立网络模型，并通过最大流或最小割等方法来求解，可以找到系统的最优平衡状态。
4. 启发式算法除了传统的数学规划方法外，启发式算法也是解决平衡优化问题的一种有效途径。
启发式算法不依赖于求解解析解，而是通过迭代搜索的方式逐步优化系统的平衡状态。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法等。
5. 多目标优化问题有些平衡优化问题需要同时考虑多个目标函数的优化。
对于这类问题，我们可以使用多目标优化方法，如帕累托最优解等，来找到平衡状态下的最优解。
结论平衡优化问题具有广泛的应用，解决这类问题可以提高系统的效率和性能。
本文介绍了一些常见的解决平衡优化问题的方法，包括线性规划、整数规划、网络流问题、启发式算法和多目标优化问题等。
在实际应用中，根据不同问题的特点选择合适的方法可以取得良好的效果。
2014年高考物理重难点透视：平衡问题的二力合成法、正交分解法、动态分析法
2014年高考物理重点难点透视平衡问题的二力合成法、正交分解法、动态分析法【题型攻略】1.求解平衡问题常用方法①正交分解法：处理四力或四力以上的平衡问题用该方法较为方便；②合成与分解法：对于三力平衡，可"任意两个力的合力与第三个力等大反向"，借助几何知识求解；③矢量三角形法：若力的三角形为直角三角形，则运用勾股定理及三角函数求解比较方便； ④相似三角形法：通过力三角形与几何三角形相似求未知力，对解斜三角形的情况更显优越性；2.动态平衡问题：题目出现“缓慢”字眼表示动态平衡；平衡问题中动态分析要善于利用矢量三角形图解，图解时抓住其一个力大小方向不变，另一个力方向变化。
3.共点力平衡中的临界问题和极值问题：①动态图解法（图解时抓住其一个力大小方向不变，另一个力方向变化）；②数学解析法。
4.异面共点力平衡问题：可通过力的合成或分解转化为共面力平衡问题。
【真题佐证】【2013·重庆卷1】如题1图所示，某人静躺在椅子上，椅子的靠背与水平面之间有固定倾斜角θ。
若此人所受重力为G ，则椅子各部分对他的作用力的合力大小为A ．GB ．G sin θC ．G cos θD ．G tan θ【答案】A 【解析】本题主要考查受力分析和平衡条件的应用. 以人为研究对象进行受力分析(如图所示)，他受到竖直向下的重力和椅子对他竖直向上的合力而处于静止状态，由人受力平衡可知：椅子各部分对他的作用力的合力大小与重力大小相等，故选项A 正确． （2012年山东卷）如图所示，两相同轻质硬杆OO 1、OO 2可绕其两端垂直纸面的水平轴O 、O 1、O 2转动，在O 点悬挂一重物M ，将两相同木块m 紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止。
F f 表示木块与挡板间摩擦力的大小，F N 表示木块与挡板间正压力的大小。
若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O 1、O 2始终等高，则题1图A ．F f 变小B ．F f 不变C ．F N 变小D ．F N 变大【答案】BD【解析】对O 点受力分析可知杆中弹力1F =2cos G θ 杆对木块m 的压力可分解为水平分量F 3=21sin sin tan 2G F F θθθ==竖直分量42cos 2G F F θ==;当挡板间距离变大时，θ变大，F 3变大，木块对挡板的弹力F N 变大；F 4为定值，F f 大小不变。
三力平衡的求解方法
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
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力的三角 形法
物体受三个力作用，将这三个力的矢量箭头首尾 相接，构成一个闭合三角形，利用三角形定则， 根据正弦定理、余弦定理或矢量三角形与几何三 角形相似等数学知识可求解。
题型：三力平衡问题
例1.如图所示，在倾角为α的斜面上，
放一质量为m的小球，小球被竖直
的木板挡住，不计摩擦，则球N1 ＝mgtan α，
球对挡板的压力FN1′＝FN1＝mgtan α.所以B正确．
解法三：(按力的作用效果分解)：
将重力G按效果分解图丙中所示的两分力G1和G2 解三角形可得： FN1＝G1＝mgtan α
球对挡板的压力FN1′＝FN1＝mgtan α.
解法四：(三角形法则)： 所受三个力经平移首尾顺次相接，一定能 构成封闭三角形． 由三角形解得： FN1＝mgtan α，
A．mgcos α
B．mgtan α
C. mg
D．mg
cosα
【思路点拨】先对小球进行正确的受力分析，并画出 受力示意图，然后将某些力分解或合成，最后列平衡 方程求解．
解法一：(正交分解法)： 列平衡方程为FN1＝FN2sin α mg＝FN2cos α
可得：球对挡板的压力FN1′＝FN1＝mgtanα，所以B正确．
三力平衡的几种求解方法
．
解决三共点力平衡问题常用的方法
方法 正交分解
法 合成法
分解法
内容
将处于平衡状态的物体所受的力，分解为相互正 交的两组，每一组的力都满足二力平衡条件
物体受三个力的作用，任意两个力的合力与第三 个平衡 ．
将某一个力按力的效果进行分解，则其分力和其 它力在所分解的方向上满足平衡条件．
求解共点力平衡问题的十一种方法(附详细答案)
求解共点力平衡问题的十一种方法(附详细答案)求解共点力平衡问题的方法共点力平衡问题是高考中的热点，涉及多方面的数学和物理知识，对于刚入学的高一新生来说是一大难点。
以下介绍几种解决共点力平衡问题的方法。
1.力的合成法当物体在三个共点力的作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反。
例如，如图所示，质量为m的物体悬挂在轻质支架上，斜梁OB与竖直方向的夹角为θ（A、B点可以自由转动）。
设水平横梁OA和斜梁OB作用于O点的弹力分别为F1和F2，则正确的结果是F1=mgsinθ，F2=mgcosθ。
2.力的分解法在实际问题中，一般根据力产生的实际作用效果分解。
例如，如图所示，在倾角为θ的斜面上，放一质量为m的光滑小球，球被竖直的木板挡住，则球对挡板的压力和球对斜面的压力分别是多少？3.正交分解法解多个共点力作用下物体平衡问题的方法，常用正交分解法列平衡方程求解。
为方便计算，建立坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则。
例如，如图所示，重力为500N的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止。
不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。
4.相似三角形法根据平衡条件并结合力的合成与分解的方法，把三个平衡力转化为三角形的三条边，利用力的三角形与空间的三角形的相似规律求解。
5.其他方法例如，如图所示，固定在水平面上的光滑半球半径为R，球心的正上方C处固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球置于半球面上A点，另一端绕过定滑轮，缓慢地拉向B点，则此过程中小球对半球的压力大小FN、细线的拉力大小FT的变化情况是FN不变、FT变小。
6.长度问题例如，如图所示，两根长度相等的轻绳下端悬挂一质量为m物体，上端分别固定在天花板M、N两点，M、N之间距离为S。
已知两绳所能承受的最大拉力均为T，则每根绳长度不得短于S/√2.五、用图解法处理动态平衡问题三角形法是一种处理物体平衡问题的方法，适用于受三力作用而平衡的物体。
物理动态平衡问题的基本解法五种
物理动态平衡问题的基本解法五种
物理动态平衡问题的基本解法有以下五种：
1. 力的平衡法：根据牛顿第二定律，物体的总受力为零时，物体处于力的平衡状态。
可以通过分析物体受到的各个力的大小和方向来判断物体的平衡状态，并解出未知量。
2. 力矩的平衡法：根据物体的力矩（或力矩矩阵）的平衡条件来判断物体是否处于平衡状态。
物体的力矩等于零时，物体处于力矩平衡状态。
可以根据物体的几何形状和受力情况，建立力矩平衡方程来解决问题。
3. 动力学方法：使用动力学的方法来分析物体的运动状态和平衡条件。
通过分析物体所受到的各个力和力矩，建立动力学方程组，解出未知量。
4. 能量守恒法：利用能量守恒定律来解决物体的平衡问题。
通过分析物体所受到的各个力和物体的势能和动能之间的关系，建立能量守恒方程来解决问题。
5. 作图法：根据物体的几何形状和受力情况，通过作图来解决问题。
可以根据物体的平衡条件和受力分析，将物体的受力情况转换为几何图形，然后通过几何推理和计算，解决问题。
物体平衡问题的求解方法[整理]
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物体平衡问题的求解方法闫俊仁（忻州第一中学 山西 忻州 034000）物体处于静止或匀速运动状态，称之为平衡状态。
平衡状态下的物体是是物理中重要的模型，解平衡问题的基础是对物体进行受力分析。
物体的平衡在物理学中有着广泛的应用，在高考中，直接出现或间接出现的概率非常大。
本文结合近年来的高考试题探讨物体平衡问题的求解策略。
1．整体法和隔离法对于连接体的平衡问题，在不涉及物体间相互作用的内力时，应道德考虑整体法，其次再考虑隔离法。
有时一道题目的求解要整体法、隔离法交叉运用。
[例1] （1998年上海高考题）有一个直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙，OB 竖直向下，表面光滑，AO 上套有小环P ，OB 上套有小环P ，两环质量均为m ，两环间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图1。
现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力N 和细绳上的拉力T 的变化情况是（ ）A ．N 不变，T 变大B ．N 不变，T 变小C ．N 变大，T 变大D ．N 变大，T 变小解析 用整体法分析，支持力mg N 2=不变。
再隔离Q 环，设PQ 与OB 夹角为θ，则不mg T =θcos ，θ角变小，cos θ变大，从上式看出T 将变小。
故本题正确选项为B 。
2．正交分解法物体受到3个或3个以上的力作用时，常用正交分解法列平衡方程，形式为0=合x F ，0=合y F 。
为简化解题步骤，坐标系的建立应达到尽量少分解力的要求。
[例2] （1997年全国高考题）如图2所示，重物的质量为m ，轻细绳AO 与BO 的A 端、B 端是固定的，平衡时AO 是水平的，BO 与水平面夹角为θ，AO 的拉力F 1和BO 的拉力F 2的大小是（ ）A ．θcos 1mg F =B ．θcot 1mg F =C ．θsin 2mg F =D ．θsin /2mg F =解析 选O 点为研究对象，O 点受3个力的作用。
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【答案】 【解析】
D 重新平衡后，绳子形状如图，
平衡后， 物体上升 L， 说明左侧绳子的总长为 2L，因此左侧△OO′A 构成正三角形，由于 绳子之间的夹角为 60°，绳上张力的大小都 为 Mg，由 F＝ F12＋F22＋2F1F2cosθ，解得环两边绳子拉力的 合力为 3Mg， 根据平衡条件， 则钩码的质量为 3M， 故选 D 项．
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二、题型鸟瞰
题型鸟瞰 题型一：合成法 题型二：正交分解法 题型三：图解法 题型四：假设法 题型五：整体与隔离法 题型六：相似三角形法 题型七：函数极值法 题型八：正弦定理法 高考热度 ★★★ ★★★★★ ★★★★ ★★★★ ★★★★★ ★★★ ★★★★★ ★★
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答案
B
解析 由于 A、B 间接触面情况未知，假设 A、B 接触面光 滑，则 A、B 间没有摩擦力 A、B 均能平衡，A 项错误；对 A 受 力分析可知，A 一定受向右的弹力、重力和支持力，因为 A、B 间可能没有摩擦力，所以 A 可能只受三个力，B 项正确，C 项错 误；木块 B 受重力、推力、A 对 B 的垂直于接触面的压力作用， 假设压力向右的分力等于 F，则 B 可能不受摩擦力，D 项错误．
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例3
(2016· 高三百校大联考)如图所示， 将一个表面光滑的
铁球放在两块斜面板 AB 和 CD 之间，两板与水平面的夹角都是 60°.已知重力加速度大小为 g，不计空气阻力，则( )
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A．如果突然撤去 CD 板，则撤去后铁球对 AB 板的压力减 小 B．如果突然撤去 CD 板，则撤去后铁球对 AB 板的压力增 大 C．如果保持 AB 板不动，使 CD 板与水平面的夹角缓慢减 小，则球对 AB 板的压力先减小后增大 D．如果保持 AB 板不动，使 CD 板与水平面的夹角缓慢减 小，则球对 CD 板的压力先减小后增大
Fcosα＋F1sin37°＝F2 Fsinα＋F1cos37°＝G
代入数据解得 F＝5 N，α＝53° 即杆对小球的作用力大小约为 5 N，方向与水平方向成 53° 角斜向右上方．
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(2)弹簧对小球向右推时： 小球受力如图乙所示：由平衡条件，得
Fcosα＋F1sin37°＋F2＝0 Fsinα＋F1cos37°＝G
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题 型 透 析
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合成法 对三力平衡问题，一般用合成法：用平行四边形定则，将任 意两个力合成，其合力与第三个力等大反向，从三个力组成的三 角形中建立关系式．
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例 1
(2014· 海南)如图所示，一不可伸长的
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【答案】
C
【解析】 A、B 相对竖直墙壁静止，运用整体法受力分析， 得 f＝mAg＋mBg. mBg 对圆球 B 受力分析，NA→B＝ ＝2mBg. sin30° 对半球 A 受力分析，得 N 墙→A＝NB→Acos30°＝ 3mBg. 两球恰好不下滑，所受为最大静摩擦力，等于滑动摩擦力．f ＝μN 墙→A 综合上式可得：mA∶mB＝ 1 5
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三角函数极值法 对于求解平衡中的极值问题，可根据平衡条件，建立几个力 的函数关系，用三角函数知识求极值．
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例7
如图所示， 与水平方向成 θ 角的推力 F 作用在物块上，
随着 θ 逐渐减小直到水平的过程中， 物块始终沿水平面做匀速直 线运动．关于物块受到的外力，下列判断正确的是( )
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正弦定理法 如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个 力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比， F1 F2 F3 即 ＝ ＝ . sinα sinβ sinγ
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例8
如图所示的装置中，两根细绳系住一
个小球，两细绳间夹角为 θ，细绳 AC 呈水平状 态，现将整个装置在纸面内顺时针缓缓地转动 90°角， 在转动过程中， 保持两绳夹角 θ 不变． 则 在转动过程中，CA 绳中的拉力 FA 和 CB 绳中的拉力 FB 的大小 发生的变化是( ) B．FA 先增大，后减小 D．FB 最后减到零
代入数据解得 F＝15.5 N，α＝π－arctan 4 . 15
即杆对小球的作用力大小约为 15.5 N，方向与水平方向成 4 arctan 斜向左上方． 15
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图解法 对于动态平衡状态问题，且受三个力作用时，常用图解法分 析．根据平行四边形定则或三角形定则，画出物体初状态力的合 成矢量图，按照力的变化改变原来的矢量图，依据有向线段长度 的变化，判断各个力的变化情况．应用图解法的关键是：明确不 变力，弄清变力的变化趋势．
A．推力 F 先增大后减小 B．推力 F 一直减小 C．物块受到的摩擦力先减小后增大 D．物块受到的摩擦力一直不变
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【答案】 【解析】 示的坐标系．
B 对物块受力分析，建立如图所
由平衡条件得，Fcosθ－Ff＝0， FN－(mg＋Fsinθ)＝0，又 Ff＝μFN， μmg 联立可得 F＝ ， cosθ－μsinθ 可见，当 θ 减小时，F 一直减小，B 项正确； 摩擦力 Ff＝μFN＝μ(mg＋Fsinθ)， 可知，当 θ、F 减小时，Ff 一直减小．
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单元综合专题(二) 求解平衡问题的八种方法
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要 点 综 述
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一、求解平衡问题的思路可归纳为： 一个核心：合力为零 三个环节：选研究对象 ——做受力分析——建立平衡关 系 八种方法：合成法、正交分解法、图解法、假设法、整 体与隔离法、相似三角形法、函数极值法、正弦定理法．
例5
在竖直墙壁间有半圆球 A 和圆球 B，
其中圆球 B 的表面光滑，半圆球 A 与左侧墙壁之 2 间的动摩擦因数为 3.两球心之间连线与水平方 5 向成 30°的夹角，两球恰好不下滑，设最大静摩 擦力等于滑动摩擦力， 则半圆球 A 和圆球 B 的质量之比为( 1 A. 2 1 C. 5 1 B. 4 1 D. 6 )
直方向的夹角为 37°，小球的重力为 12 N，轻绳的拉力为 10 N， 水平轻弹簧的弹力为 9 N，求轻杆对小球的作用力．
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【解析】 弹簧弹力沿弹簧轴线，方向有两种可能．固定轻 杆的弹力方向，具有多种可能性．因此应分两种情况： (1)弹簧对小球向左拉时：设杆的弹力大小 为 F，与水平方向的夹角为 α，小球受力如 图甲所示．由平衡条件知：
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整体法与隔离法 对多个物体平衡问题，首先要确定研究对象，采用的方法是 整体法与隔离法．当分析外力对系统的作用时，宜用整体法；在 分析系统内各物体间的相互作用时，常用隔离法．对复杂问题， 通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法．
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细线相连悬于 O 点，已知 q1>q2，L1>L2，平衡时两球到过 O 点 的竖直线的距离相等，则( )
A．m1>m2 C．m1＝m2
B．m1<m2 D．不能确定
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【答案】
C
【解析】 对两小球 A、B 受力分析如图 所示(OC 距离为 L、Fc 与 F′c 为所受库仑 力)．由力三角形和几何三角形相似，对 m1 有 m1g L m2g L ＝ ，对 m2 有 ＝ ，由于 Fc＝F′c， Fc x1 F′c x2 m1 x2 可得 ＝ ，由于两球到过 O 点的竖直线的距离相等，所以 x1 m2 x1 ＝x2，m1＝m2，正确答案为 C 项．
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1．(2016· 吉林模拟)如图所示，两梯形木块 A、B 叠放在水平 地面上，A、B 之间的接触面倾斜．A 的左侧靠在光滑的竖直墙 面上，关于两木块的受力，下列说法正确的是( )
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A．A、B 之间一定存在摩擦力作用 B．木块 A 可能受三个力作用 C．木块 A 一定受四个力作用 D．木块 B 受到地面的摩擦力作用方向向右
假设法 在受力分析时，当弹力或摩擦力的方向不能确定时，可用假 设法对各种可能情况排除，这是解决多种可能性问题的有效方 法．
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例4
如图所示，竖直放置的轻弹簧的一端固定在地面上，
另一端与斜面体 P 连接， P 与斜放的固定挡板 MN 接触且处于静 止状态，弹簧处于竖直方向，则斜面体 P 此刻受到外力的个数可 能为( )
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CD 挡板的弹力 F1 方向，根据三角形定则，(如图 2 所示)知 AB 挡板的弹力 F2 逐渐减小，CD 挡板的弹力先减小后增大．根据牛 顿第三定律可知，球对 AB 板的压力逐渐减小，球对 CD 板的压 力先减小后增大，故 C 项错误，D 项正确．
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正交分解法 对多力平衡问题，将各力分解到 x、y 两个垂直的方向上， 根据平衡条件 Fx＝0，Fy＝0 建立关系式，值得注意的是：对 x、 y 方向选择时，尽可能使较多的力落在 x、y 轴上．