小波滤波

1， N1(t)= 0,

0 t<1
others
=N m(t) *N1(t) 故 N m+1(t)
一、连续小波滤波
3.Mexico草帽小波 Mexico草帽小波是Gauss函数 et 2 /2 的二次导数， 它由下式给出

(t )
2 3
(1 t ) e
1/4 2
t 2 /2
（7）小波去噪程序
%应用db5作为小波函数进行3层分解 %利用无偏似然估计阈值 %对100.dat from MIT-BIH-DB的单导联数据进行去噪处理 clear;clc load('D:/matlab/matlab7.2/work/M.mat'); E=M(:,2); E=E'; n=size(E); s=E(1:2000); %小波分解 [C L]=wavedec(E,3,'db5'); % 从c中提取尺度3下的近似小波系数 cA3=appcoef(C,L,'db5',3); %从信号c中提取尺度1,2,3下的细节小波系数 cD1=detcoef(C,L,1); cD2=detcoef(C,L,2); cD3=detcoef(C,L,3);

其中的系数是为了满足 (t )的归一化要求
一、连续小波滤波
4.Morlet小波 morlet小波是经常用到的一种复值小波，其定义 如下

(t )
-1/4
(e
j 0t
e
2 0 /2
) e
t 2 /2
一、连续小波滤波

根据内积的定义
1 * x(t),g(t) x ( )g ( )d 2 式②做给出的小波变换便可被写成
（6） 、小波去噪效果评价
式中yi表示标准原始信号, xi 表示经处理后的估计信 号。其中，SNR越大越好, MSE 越小越好。
（7）小波去噪程序
开始
去 噪 程 序 流 程 图
调用心电数据
选取其中一个导联的数据 对被选的心电信号进行小波分解 提取各尺度小波系数 求各层的阈值 根据选取的阈值去噪及重构 去噪效果的评价 输出评价结果及去噪后的心电信号Biblioteka x1(b)

x(t) (t b)dt
一、连续小波滤波
为常数1，故输出信号 x1(t)的频谱与原始信号的频谱 相同，从而输入和输出信号之间没有发生变化。 当式①中的 (t)函数被其他函数 (t)所代替后， 可以给出类似的定义。写成一般化形式后，我们有

② 这里 a ,b R ， b 被称为移位因子； a 被称为尺度因 0 子，显然 a 时尺度变化才有直观的物理意义。此 时，如果函数 (t) 的Fourier变换 (t) 进一步满足 条件 2 ˆ ( ) ③ C d 0
信号去噪：

在小波变换域上进行阀值处理。
多层小波分解
阀值操作
多层小波重构
（4）阈值函数和阈值的选取
１．阈值函数 阈值函数分为软阈值和硬阈值两种。
设w为小波系数， wλ阈值后的小波系数， λ为阈值。
(1).硬阈值(hard threshol ding) 当小波系数的绝对值大于等于给定阈值时， 保持不变，而小于时，令其为０。即：
小波滤波
一、连续小波滤波

与传统的Fourier变换不同，小波变换的最大特点就 是可以用来描述信号中局部区域的频率特性。因此， 人们把它看做是Fourier变换的突破性的进展。在给 出小波变换的定义之前，首先考察由下式所给出的时 域信号 x(t) 经冲激函数 (t) 卷积变换后的含义，即
① 根据 (t)函数的定义 x1(b) x(b) 。因此，式①可被形 象地看成透过 (t) 函数在b点来观察 x(t) 时，由于(t) 很窄，故看到的仍是 x(t)在b点的值。这一结果在频 域中可被解释成原始信号经滤波器过滤后，得到一新 函数 x1(b) 。因为作为滤波器时域函数 (t) 的频谱

W x(a,b )
1
t b x(t ) ( ) dt a a -
*
一、连续小波滤波
由此可推出 (t)具有波动性。又由于在实际应用中所 选择的 (t) 仅在非常小的局部区域内不为零，因此 便被称之为小波或小波函数。对于小波函数，我们 (t) 要求它具有紧支集特性，即能量集中于很小的区间 (t) 内。满足③的函数 被称为允许小波， wx(a,b) 也被称为函数 x(t) 的小波变换。
（4）阈值函数和阈值的选取
进行比较，如果 无偏似然估计。
时采用固定阈值，反之，选择
(4) 极大极小阈值(‘minimaxi’) 它的原理是令估计的最大风险最小化，其阈值选取的 算法是：
（5）小波函数的选择 小波变换不象傅里叶变换是由正弦函数唯一决定的， 小波基可以有很多种，不同的小波适合不同的信号去 噪，对于确定的信号，如果小波选择不当，去噪结果 可能相差很远，还有可能丢失有用的信息。 面对各种小波，到底选择哪一种来处理心电信号才能 满足医疗上的需要，必须经过大量的仿真研究结果来 进行筛选 。 根据大量文献记录B样条函数适合心电去噪： 样条函数是一种非紧支撑正交的对称小波，有较高的 光滑性，频率特性好，分频能力强，频带相干小的特 性。
（7）小波去噪程序
%使用stein的无偏似然估计原理进行选择各层的阈值 %cD1,cD2,cD3为各层小波系数， %'rigrsure’为无偏似然估计阈值类型 thr1=thselect(cD1,'rigrsure'); thr2=thselect(cD2,'rigrsure'); thr3=thselect(cD3,'rigrsure'); %各层的阈值 TR=[thr1,thr2,thr3]; %'s'为软阈值;'h'硬阈值。 SORH='s'; %---------去噪---------------%XC为去噪后信号 %[CXC,LXC]为的小波分解结构 %PERF0和PERF2是恢复和压缩的范数百分比。 %'lvd'为允许设置各层的阈值, %'gbl'为固定阈值。 %3为阈值的长度 [XC,CXC,LXC,PERF0,PERF2]=wdencmp('lvd',E, ...'db5',3,TR,SORH);
（4）阈值函数和阈值的选取
(2).软阈值(soft threshol ding) 当小波系数的绝对值大于等于给定的阈值时，令其值 为减去阈值；而小于时，令其为０．即：
采用这种阈值方法去噪在实际应用中，已取得了较好 的效果，但也存在着一些潜在的缺点，如硬阈值在阈 值点不连续，重构可能产生一些震荡；软阈值连续， 但估计的小波系数和分解的小波系数有恒定的偏差， 直接影响重构信号对真实信号的逼近程度．
* ax() (a )
a
a
一、连续小波滤波

这样由式②给出的小波变换 wx(a,b) ，变可以 看成是原始信号 x(t) 经中心频率和带宽随a变化的带 通滤波器 a *(a 滤波后的结果。 )
一、连续小波滤波
显然当 a 较大时，滤波器的中心频率移向低频端， 且带宽也随之减小，此时的 wx(a,b) 反映了信号的低 频成分； 反之，当 a 较小时，滤波器的中心频率移向高 频端，且带宽也随之增大，此时的 wx(a,b) 反映了信 号的高频成分； 这也就是通常所说的小波变换的变焦特性。 又由于随着频率的不同，所表现信号的细节也不 同，故小波变化也被称为信号的多分解率分析。
（4）阈值函数和阈值的选取
２．阈值的选取 阈值的选择是小波去噪和收缩最关键的一步，在去 噪过程中阈值起着决定性的作用：如果太小，施加阈值 后小波系数包含太多的噪声分量，达不到去噪效果；反 之，则去除了有用部分，使信号失真。 阈值选择方案及对应的MATLAB命令
(1) 固定阈值(’sqtwolog’)
W （ a,b）=<x(t),ab(t)> x

这里，
t b ab(t)= ( ) a a
1
一、连续小波滤波
关于小波变化，一个重要的问题就是能否由 wx(a,b) (t ) ，下面的定理给出了明确的答 来恢复原始信号 x 案。


定理 当小波函数(t ) 满足条件③时，存在反演公
式
1 x(t)= C
选取的算法是：
（4）阈值函数和阈值的选取
(2) Stein无偏似然估计阈值(’rigrsure’) 对于给定一个阈值t，得到它的似然估计，再将非似然 的t最小化，就得到了所选的阈值。 (3) 启发式阈值(‘heursure’) 它是前两种阈值的综合，是最优预测变量阈值选择，如 果信噪比很小时，无偏似然估计的误差交大，此时，采 用固定阈值。令：
（7）小波去噪程序
%---------去噪效果衡量（SNR越大效果越好, %MSE越小越好）-----------------------%选取信号的长度。 N=n(2); x=E; y=XC; F=0; M=0; for ii=1:N m(ii)=(x(ii)-y(ii))^2; t(ii)=y(ii)^2; f(ii)=t(ii)/m(ii); F=F+f(ii); M=M+m(ii); end;
（5）小波函数的选择
在信号处理中小波的作用是带通滤波器，且对称和反 对称性分别等价为线性相位和广义线性相位。我们知 道，当一个带通滤波器不是线性相位或广义线性相位 时，它将使通过的信号产生畸变。 从理论和实际应用的观点出发，具有紧支集的小波是 最富吸引力的。 B样条是一类基本的样条函数，而它的支撑区是最小 的．所以，B样条小波是一种合适的选择。
二、（1）小波分析的去噪原理
有用信号通常表现为低频信号或是相对比较平稳。而噪声信号通 常表现为高频信号。 利用小波对含噪的原始信号分解后，含噪部分主要集中在高频小波 系数中，并且，包含有用信号的小波系数幅值较大，但数目少； 而噪声对应的小波系数幅值小，数目较多。 基于上述特点，可以应用门限阈值法对小波系数进行处理。（即对 较小的小波系数置为０，较大的保留或削弱），然后对信号重构 即可达到消噪的目的。