人教版高三数学一轮复习优质课件1：2.1 函数及其表示

———————— [1 个对点练] ———————
(2015·安庆模拟)已知函数 f(x)＝lxg＋x3，，x＞x≤00，.
若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值为( )
A．－3
B．－3 或 1
C．1
D．－1 或 3
【解析】 ∵f(1)＝lg 1＝0，∴f(a)＝0.当 a＞0 时，lg a ＝0，a＝1.
(2015·洛阳模拟)已知实数 a≠0，函数 f(x)＝
2x＋a，x＜1， －x－2a，x≥1.
若 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为______．
【解析】 当 a＜0 时，1－a＞1,1＋a＜1，
所以 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
因为 f(1－a)＝f(1＋a)，
映射 设 A、B 是两个
非__空__集__合___
如果按照某种确定的 如果按某一个确定的
对应关系 f，使对于集 对应关系 f，使对于集
对应
合 A 中的任___意_一个 x， 合 A 中的任__意__一个元
关系 f：
在集合 B 中都有
素 x，在集合 B 中
A→B
_唯__一__确__定__的数 f(x)和 都__有___唯__一_的元素 y 与
当 a≤0 时，a＋3＝0，a＝－3.所以 a＝－3 或 1.
【答案】 B
分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求 值问题时应注意以下三点：
(1)明确分段函数的分段区间． (2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立 等量或不等量关系． (3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围) 是否落在相应分段区间内．
—————————— [1 个示范例] ——————
【尝试解答】 (1)令 x＋1＝t，则 x＝t－1， ∴f(t)＝lg(t－1)． ∴f(x)＝lg(x－1)． (2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由 f(0)＝2，得 c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1， 即 2ax＋a＋b＝x－1，
3．相等函数
如果两个函数的定___义__域_相同，并且对__应__关__系__完全一
致，则这两个函数为相等函数．
三、函数的表示方法
表示函数的常用方法有解__析__法__、图___象__法_和列__表___法_ ．
四、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因_对__应__关__系__
不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分 段函数．
)
A．(－1,2)
B．(－1,0)∪(0,2)
C．(－1,0)
D．(0,2)
(2)已知函数 f(2x)的定义域是[－1,1]，则 f(x)的定义域为
________．
【答案】 (1)C (2)12，2
考向二 [011] 求函数的解析式 (1)已知 f(x＋1)＝lg x，求 f(x)； (2)已知 f(x)是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1， 求 f(x)； (3)已知 f(x)＋2f1x＝x(x≠0)，求 f(x)．
1．给出四个命题：
①函数是其定义域到值域的映射；
②f(x)＝ x－3＋ 2－x是一个函数；
③函数 y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；
④f(x)＝lg x2 与 g(x)＝2lg x 是同一函数．
其中正确的有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【1－a＝3a＋2，
所以 a＝－34.当 a＞0 时，1－a＜1,1＋a＞1， 所以 f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；f(1＋a)＝－(1＋a)－2a ＝－3a－1. 因为 f(1－a)＝f(1＋a)， 所以 2－a＝－3a－1，所以 a＝－32(舍去)． 综上，满足条件的 a＝－34. 【答案】 －34
A．(－1,1) B.－1，－12 C．(－1,0) D.12，1 【答案】 (1)C (2)B
规律方法 1 1.本例(1)在求解中，常因遗忘“00 无意义” 而错选 B；本例(2)在求解中；常因不理解 f(x)与 f(2x＋1)的关 系而错选 A 或 C.
2．(1)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，取 交集时可借助数轴，并注意端点值的取舍．
分段函数三要点 (1)分 段 函 数 是 一 个 函数 ， 切 不 可把 它 看 成是 几 个 函 数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函 数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围． (2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域只能写 成一个集合的形式． (3)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量 的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．
方法二：画出函数 f(x)＝－－xx－＋11－0＜1≤x≤x＜1 0 的图象如图所 示．
由图可知 f(x)为奇函数，从而由 f(x)－f(－ x)＞－1，可知 f(x)＞－12，解得－1≤x＜－12或 0＜x≤1.
【答案】 (1)D (2)B
思想方法之二 分段函数求值妙招——分类讨论思想 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究 时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研 究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质 上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解 题策略．
它对应
之对应
称 f：A→B 为从集 称f：A→B为从集合
名称 合 A 到集合 B 的一个 A 到集合 B 的一个映射
函数
二、函数的定义域、值域、相等函数 1．定义域
在函数 y＝f(x)，x∈A 中，自__变_ 量_x__的取值范围(数
集 A)叫做函数的定义域． 2．值域
函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域．
考向一 [010] 求函数的定义域
义域为(
(1)(2014·山东高考)函数 f(x)＝ log21x2－1的定 )
A.0，12
B．(2，＋∞)
C.0，12∪(2，＋∞) D.0，12∪[2，＋∞)
(2)(2013·大纲全国卷)已知函数 f(x)的定义域为(－1,0)，则 函数 f(2x＋1)的定义域为( )
∴f(x)－f(－x)＞－1 化为－2x－2＞－1，
得 x＜－12，则－1≤x＜－12.
②当 0＜x≤1 时，－1≤－x＜0， 此时，f(x)＝－x＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1， ∴f(x)－f(－x)＞－1 化为－x＋1－(x－1)＞－1， 解得 x＜32，则 0＜x≤1. 故所求不等式的解集为－1，－12∪(0,1]．
∴2aa＋＝b1＝，－1， 即ab＝ ＝－12，32.
∴f(x)＝12x2－32x＋2.
(3)∵f(x)＋2f1x＝x，∴f1x＋2f(x)＝1x.
解方程组fx＋2f1x＝x， f1x＋2fx＝1x，
得 f(x)＝32x－3x(x≠0)．
规律方法 2 求函数解析式常用以下解法： (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法， 此时要注意新元的取值范围； (3)构造法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式，可根 据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出 f(x)．
对点训练 (1)已知 f(1－cos x)＝sin2x，求 f(x)的解析式； (2)若函数 F(x)＝f(x)＋g(x)，其中 f(x)是正比例函数，g(x) 是反比例函数，且 F13＝16，F(1)＝8，求 F(x)的解析式． (3)已知 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，x∈(－1,1)，求 f(x)的解 析式．
(2)对抽象函数：①若函数 f(x)的定义域为[a，b]，则函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出．②若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b] 时的值域．
对点训练 (1)函数 f(x)＝ln2|＋x|－x－x x2的定义域为(
【解】 (1) 令 t＝1－cos x，则 cos x＝1－t,0≤t≤2， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，即 f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)．
(2)由题意设 f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝mx (m≠0)，
则 F(x)＝kx＋mx .由 F13＝16，F(1)＝8，
得13k＋3m＝16， k＋m＝8，
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
2.1 函数及其表示
[考情展望] 1.考查给定函数(或抽象函数)的定 义域.2.以分段函数为载体，考查函数的求值、值域 及参数的范围等问题.3.以新定义、新情景为载体， 考查函数的表示方法、最值等问题．
一、函数及映射的概念
函数
两集合 设 A、B 是两个
A、B
_非__空__数__集__
5．(2014·江西高考)函数 f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( ) A．(0,1) B．[0,1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
【答案】 C
6．(2013·浙江高考)已知函数 f(x)＝ x－1.若 f(a)＝3，则 实数 a＝________.
【答案】 10
规律方法 3 应用分段函数时，首先要确定自变量的值 属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注 意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨 论．
对点训练 (1)根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所 用的时间(单位：分钟)为
f(x)＝
cx，x＜A， cA，x≥A
(A，c 为常数)．已知工人组装第 4
(1)(2013·福 建 高 考 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
2x3，x<0， －tan x，0≤x<π2