建筑力学5-轴力

图5.7

根据平面假设可知，任意两横截面间的各纵向线 的伸长（或缩短）均相同。由材料的均匀连续性假设 可知，横截面上的内力是均匀分布的，即各点的应力 相等（图5.8）。
设杆件横截面的面积为A，横截面上的轴力为N， 则该横截面上的正应力为


ζ=N/A ζ的正负号与轴力相同，当N为正时，ζ也为正，称为 拉应力；当N为衡方程
∑Fx=0,N-P=0 N=P

【例5.1】杆件受力如图5.5(a)所示，试分别求出1-1、 2-2、3-3截面上的轴力。 【解】（1） 计算1-1截面的轴力 假想将杆沿1-1截面截开，取左端为研究对象，截 面上的轴力N1按正方向假设，受力图如图5.5(b)所示。 由平衡方程 ∑Fx=0,N1-P=0



由于各纵向线变形相同，故斜截面上各点处应力 pα也相同（图5.10(c)），则m-m斜截面上的应力为 pα=Nα/Aα=N/Acosα=ζcosα pα的方向与轴力方向一致，将pα分解为垂直于斜 截面的正应力ζα和相切于斜截面的剪应力ηα(图5.10(d)) ζα=pαcosα=ζcos2α ηα=pαsinα=ζαcosαsinα=ζ/2sin2α




N1=P(拉力）
（2） 计算2-2截面的轴力 假想将杆沿2-2截面截开，取左端为研究对象，截 面上的轴力N2按正方向假设，受力图如图5.5(c)所示。

由平衡方程

∑Fx=0,N2+2P-P=0 N2=P-2P=-P(压力） （3） 计算3-3截面的轴力 假想将杆沿3-3截面截开，取左端为研究对象，截 面上的轴力N3按正方向假设，受力图如图5.5(d)所示。 由平衡方程 ∑Fx=0,N3-2P+2P-P=0 N3=2P-2P+P=P(拉力)
图5.15
图5.16



(1) ζ-ε图的四个阶段 ① 弹性阶段 与a′点对应的应力，即应力与应变成正比的最高限， 称为材料的比例极限，以ζp表示。由图中几何关系可 知 tanα=ζ/ε=E(常数) 材料受外力后变形，卸去外力后变形全部消失的 这种性质称为弹性。因为Oa阶段材料的变形是弹性变 形，所以Oa阶段称为弹性阶段。与a对应的应力称为弹 性极限，用ζe表示。

材料在拉伸和压缩时的力学性质，又称机械性能， 是指材料在受力过程中在强度和变形方面表现出的特 性，是解决强度、刚度和稳定性问题不可缺少的依据。 材料在拉伸和压缩时的力学性质，是通过试验得 出的。拉伸与压缩试验通常在万能材料试验机上进行。 拉伸与压缩试验的过程：把由不同材料按标准制成的 试件装夹到试验机上，试验机对试件施加荷载，使试 件产生变形甚至破坏。
0.25~0.33 0.24~0.33 0.23~0.27 0.31~0.42 0.33 — 0.16~0.18
5.5.4 虎克定律



实验表明，当杆的应力不超过某一限度时，杆件的 绝对变形与轴向荷载成正比，与杆件的长度成正比，与 杆件横截面面积成反比。这一关系是英国科学家虎克在 1678年发表的，故称为虎克定律，即 Δl∝Pl/A 由于Δl还与材料的性能有关，引入与材料有关的比 例常数E，则有 Δl=Pl/EA 由于杆件只在两端受轴向荷载P，有N=P，则 Δl=Nl/EA 比例常数E称为弹性模量。


在工程实际中，产生轴向拉伸或压缩的杆 件很多。如图5.1所示的三角架中的BC杆是轴 向拉伸的实例；图5.2所示的三角架中的AB杆 是轴向压缩的实例。 由以上实例可见，当杆件受到与轴线重合 的拉力（或压力）作用时，杆件将产生沿轴线 方向的伸长（或缩短），这种变形称为轴向拉 伸或压缩，如图5.3所示。




计算截面的轴力，亦可选取右端为研究对象。根 据以上求解过程，可总结出计算轴力的以下规律： （1） 某一截面的轴力等于该截面左侧（或右侧） 所有外力的代数和。 （2） 与截面外法线方向相反的外力产生正值轴力， 反之产生负值轴力。 （3） 代数和的正负，就是轴力的正负。
图5.4
图5.5
5.2.2 轴力图




材料弹性模量越大，则变形越小，所以E表示了材 料抵抗拉伸或压缩变形的能力，是材料的刚度指标。对 杆件来说，EA值越大，则杆件的绝对变形Δl越小，所 以EA称为杆件的抗拉（压）刚度。 将ζ=N/A，ε=Δl/l代入式（5.6），虎克定律又可表 示为 ζ=Eε 上式表明：当应力未超过某一极限时，应力与应变 成正比。


由于ε无量纲，故E的单位与ζ的单位相同，常用 GPa表示。 利用虎克定律时，需注意公式的适用范围： （1） 杆的应力没有超过某一极限； （2） 单向拉伸（或压缩）的情况； （3） 在l长度内，N、E、A均为常量;否则，需分 段计算。
5.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质
5.6.1 材料的拉伸和压缩试验
图5.1
图5.2
图5.3
5.2 轴向拉伸和压缩时的内力
5.2.1 轴力

图5.4(a)所示的杆件，受一对轴向拉力P的作用。 为了求出横截面m-m上的内力，可运用截面法。将杆 件沿m-m横截面截开，取左端为研究对象，弃去的右 端对左端的作用以内力代替（图5.4(b)）。由于外力与 轴线重合，所以内力也必在轴线上，这种与杆件重合 的内力称为轴力，用N来表示。
图5.9
5.4 轴向拉（压）杆斜截面上的应力
5.4.1 斜截面上的应力





图5.10(a)表示一直杆受轴向拉力P的作用，其横截 面积为A，则横截面上的正应力 ζ=N/A 设与横截面成α角的m-m斜截面的面积为Aα，由几 何关系有 Aα=A/cosα 由截面法（图5.10(b)）可求得m-m斜截面上的轴 力为Nα=N=P。

为了形象而清晰地表示轴力沿轴线变化的情况，
可按一定的比例，用平行于杆轴线的x坐标表示杆件横 截面的位置，以与之垂直的坐标表示横截面上的轴力， 这样的图形称为轴力图。 通常两个坐标轴可省略不画，而将正值轴力画在x 轴的上方，负值轴力画在x轴的下方。



【例5.2】杆件受力如图5.6(a)所示，试作其轴力图。
5.5 轴向拉伸和压缩时的变形虎克定律 5.5.1 纵向变形




设直杆原长为l，直径为d。在轴向拉力（或压力） P作用下，变形后的长度为l1，直径为d1，如图5.11所示。 (1) 绝对变形 轴向拉伸（或压缩）时，杆件长度的伸长（或缩 短）量，称为纵向绝对变形，以Δl表示，即 Δl=l1-l 拉伸时，Δl＞0；压缩时，Δl＜0。



(2) 相对变形 绝对变形与杆件的原始长度有关，不能反映杆件 的变形程度。为了度量杆件的变形程度，需要计算单 位长度内的变形量。单位长度上的变形称为相对变形 或线应变，以ε表示，即 ε=Δl/l 线应变是无量纲的量，其正负号规定与绝对变形 相同。
5.5.2 横向变形





5.6.2 材料在拉伸时的力学性质


拉伸试验时采用标准试件（图5.14），规定圆截面 标准试件的工作长度l（也称标距）与其截面直径d的比 例为： 长试件：l=10d； 短试件：l=5d。
图5.14
5.6.2.1 低碳钢的拉伸试验


以A3钢为例，来讨论低碳钢的机械性质。将A3钢 做成的标准试件装夹在万能试验机的两个夹头上，缓 慢地加载，直到使试件拉断为止。在拉伸的过程中， 自动绘图器将每瞬时荷载与绝对伸长量的关系绘成PΔl 曲线图，如图5.15所示。 试件的拉伸图与试件的几何尺寸有关。为了消除 试件几何尺寸的影响，将拉伸图的纵坐标除以试件的 横截面面积A，横坐标除以标距l，则得到应力应变曲 线，称为应力-应变图或ζ-ε图，如图5.16所示。

表5.1 常用材料的E、G、μ值
材料名称
E(GPa)
G(GPa)
μ
低碳钢 合金钢 灰铸铁 铜及其合金 铅及硬铝 木材（顺纹） 混凝土
196~216 186~216 78.4~147 72.5~127 70.6 9.8~11.8 14.3~34.3
78.5~80 75~82 44.1 39.2~45.1 26~27 0.55~1 —
(1) 绝对变形 杆件轴向拉伸（或压缩）时，横向尺寸的缩小 （或增大）量，称为横向绝对变形，以Δd表示，即 Δd=d1-d 拉伸时，Δd＜0；压缩时，Δd＞0。 (2) 相对变形 单位横向尺寸上的变形称为横向相对变形或横向 线应变，以ε1表示，即 ε1=Δd/d
5.5.3 泊松比


横向线应变与线应变之比的绝对值称为 泊松比或泊松系数，以μ表示，即 μ=|ε1/ε| 由于ε1与ε的符号总是相反，故有 ε1=-με 泊松比无量纲，其值与材料有关。工程 中常用材料的泊松比值见表5.1。



② 屈服阶段 当应力达到b1点的相应值时，应力不再增加而应 变却在急剧地增长，材料暂时失去了抵抗变形的能力， 这种现象一直延续到c点。如果试件是经过抛光的，这 时可以看到试件表面出现许多与试件轴线成45°角的 条纹，称为滑移线。 这种应力几乎不变，应变却不断增加，从而产生 显著变形的现象，称为屈服现象，b1c阶段称为屈服阶 段。在应力波动中，与b1点对应的应力称为上屈服极 限，与b2点对应的应力称为下屈服极限。
第五章 轴向拉伸和压缩
本章主要研究轴向拉伸和压缩的概念、内力计算、 横截面和斜截面上的应力、变形计算、强度计算、材 料在轴向拉伸和压缩时的力学性质、应力集中的概念。
5.1 轴向拉伸和压缩的概念
1，作用在杆件轴线上的两力，为二力杆，这 一二力杆把它叫做拉杆或压杆。 2，当作用在杆件轴线上的两个力离开杆件， 杆件出现轴向拉伸变形，此杆即为轴向拉杆。 3，当作用在杆件轴线上的两个力指向杆件， 杆件出现轴向压缩变形，此杆即为轴向压杆。