2015年广东高考数学试卷文科

绝密★启用前 试卷类型：B

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的

市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置

上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答

案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1.若集合{1,1}M =-，{2,1,0}N =-,则M N ?=（ ）

A.{0,1}-

B.{1}

C.{0}

D.{1,1}-

2.

已知i 是虚数单位，则复数2(1)i +=（ ） A.2i B.2i - C.2 D.2-

3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）

A.sin2y x x =+ 2

B.cos y x x =- 1

C.22x x y =+

2D.sin y x x =+ 4.若变量,x y 满足约束条件2204x y x y x +≤??+≥??≤?

，则23z x y =+的最大值为（ ）

A.2

B.5

C.8

D.10 5.设ABC ?的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若3a=2,c=23,cos A 2=且b c <，则b =（ ）

A.3

B.22

C.2

D.3

6.若直线1l 与2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确

的是（ ）

12A.,l l l 与都不相交 12B.,l l l 与都相交

12C.,l l l 至多与中的一条相交 12D.,l l l 至少与中的一条相交

7.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）

A.0.4

B.0.6

C.0.8

D.1 8.已知椭圆22

21025x y m m +=>（

）的左焦点为1-F （4,0），则=m （ ） A.2 B.3 C.4

D.9 9.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，(1,2),(2,1)AB AD =-=则AD AC =（ ）

A.5

B.4

C.3

D.2 10.若集合{}(,,,)|04,04,04,,,E p q r s p s q s r s p q r s N =≤<≤≤<≤≤<≤∈且，

{}(,,,)|04,04,,,,F t u v w t u v w t u v w N =≤<≤≤<≤∈且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card E card F +=（ ）

A.200

B.150

C.100

D.50

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

（一）必做题（11-13题）

11. 不等式2340x x --+>的解集为 .（用区间表示）

12. 已知样本数据12,,,n x x x 的均值5x =，则样本1221,21,,21n x x x +++的均值为 .

13. 若三个正数a,b,c 成等比例，其中526,526a c =+=-，则b = .

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极

坐标系，曲线1C 的极坐标方程(cos sin )2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x t y t

?=??=??（t 为参数）. 则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．

15. (几何证明选讲选做题)如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 延长线上一点，过点E 作圆O 的切线，切点为C 过点A 作直线EC 的垂线，垂足为D ，若4,23AB CE ==，则AD = .

图1

三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

16.（本小题满分12分）

已知tan 2a =.

（1）求)4tan(πα+

的值； （2）求

2sin2sin sin cos cos21

a a a a a +--的值.

17.（本小题满分12分）

某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2，

（1）求直方图中x 的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？

18.（本小题满分14分）

如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.

（1）证明：BC ∥平面PDA ；

（2）证明：BC ⊥PD ；

（3）求点C 到平面PDA 的距离.

19.（本小题满分14分） 设数列{}n a 的前n 项和为*,n S n ?N ，已知123351,,,24

a a a ===且当2n 3时，211458n n n n S S S S ++-+=+. （1）求4a 的值；

（2）证明：?

?????-+n n a a 211为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式.

20．（本小题满分14分）

已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B.

（1）求圆1C 的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；

（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.

21.（本小题满分14分）

设a 为实数，函数2()()(1)f x x a x a a a =-+---.

（1）若1)0(≤f ，求a 的取值范围；

（2）讨论()f x 的单调性；

（3）当2≥a 时，讨论4()f x x +

在区间),0(+∞内的零点个数.