4-1,2矩阵级数

π
研究矩阵级数 ∑ A k 的收敛性 提示：由 S = ∑ A = 提示： N k
k =1 N
π
1 1− 9 4 1 1− N +1
N

故有
π 1 S = 9 0 1
收敛矩阵级数的性质： 收敛矩阵级数的性质： （1）若矩阵级数 ∑ A k 收敛，则 lim A k = 0 ; 若矩阵级数 收敛，
n×n
如果有 lim Ak = 0 则称A为收敛矩阵。 则称A为收敛矩阵。 , k →∞
lim k 定理： 定理：设 A ∈ C n×n , 则 k →∞ A = 0 的充分必要条件为 ρ ( A) < 1
证明
由Rordan分解定理，存在可逆矩阵P，使得 Rordan分解定理，存在可逆矩阵P 分解定理
正项级数 ∑ Ak 收敛
k =1
∞
方阵幂级数
∑a A
k =1 k
∞
k
= a0 I + a1 A + a2 A + ⋯ + ak A + ⋯
2 k
A ∈ C n×n , ak ∈ C
矩阵幂级数也有类似于数项幂级数的收敛定理： 矩阵幂级数也有类似于数项幂级数的收敛定理： 定理： 定理：设 A ∈ C
n×n
m×n 定理：设矩阵序列{A 定理：设矩阵序列{Ak}, Ak ∈ C , k = 1,2,⋯ 若 lim
lim 则对于任一范数矩阵有 k →∞ Ak = A
提示：利用矩阵范数的性质 提示：
k→ ∞
Ak = A
Ak − A ≤ Ak − A
及矩阵序列的收敛性即可。 及矩阵序列的收敛性即可。 说明：此定理的逆命题不正确，反例见P97例 说明：此定理的逆命题不正确，反例见P97例2 P97
λi k −n + 2 λi
i
k − ni +1
⋮
1 C k λi k −1
λik
λik
∈ C ni ×ni
则 lim J ik = 0 ⇔ λi < 1 ⇔ ρ ( A) < 1
推论·设 上的相容矩阵范数 相容矩阵范数使 推论 设 A ∈ C n×n , 如果存在 C n×n 上的相容矩阵范数使 A < 1, 则有 lim Ak = 0
, 并且幂级数 k∑ a k z =1
∞ k k =1
∞
k
的收敛半径为R， 的收敛半径为 ，如果
ρ ( A) < R, 则矩阵幂级数 ∑ a k A 绝对收敛；如果 ρ ( A) > R, 绝对收敛；
a k A k 发散。 发散。 则矩阵幂级数 ∑
推论： 推论：设 A ∈ C
k =1 n×n
∞
, 如果 C n×n 上的某种相容矩阵范数 ⋅ 使得
因此， 因此，可构成部分和序列 S1, S 2 , ⋯ , S N , ⋯
矩阵级数的收敛性
lim 如果矩阵级数的部分和序列收敛于A 如果矩阵级数的部分和序列收敛于A，即 N →∞ S N = A
则称矩阵级数收敛于A，记做 则称矩阵级数收敛于A 矩阵级数收敛的等价定义
∑
∞
k =1
Ak = A.
矩阵级数收敛当且仅当相应的mn个数项级数是收敛的。 矩阵级数收敛当且仅当相应的mn个数项级数是收敛的。 mn个数项级数是收敛的 即设 Ak = (a ), A = (aij ) 则
矩阵序列的极限 矩阵序列{A 收敛于A 矩阵序列{Ak}收敛于A当且仅当相应的元素序列是收敛的。
( 即设 Ak = (aijk ) ), A = (aij )
( lim Ak = A ⇔ lim aijk ) = aij k →∞ k →∞
1 1+ 例1、 lim m m →∞ −1
∞ k
定理： A ∈ C n×n ,则矩阵幂级数 ∑ A 收敛的充分必要条件是 定理： 设 即矩阵A为收敛矩阵 即矩阵 ρ ( A) < 1 （即矩阵A为收敛矩阵） 若矩阵幂级数收敛，其和为 (I − A)−1 即 若矩阵幂级数收敛 ，即
k =1 k =1
∑ A = ( I − A ) −1
k
∞
0 .1 0 .7 例2、求 A 的和 ，其中A = 、 ∑ 0 .3 0 .6 k =0 提示：由 A ∞ = 0.9 < 1 知A为收敛矩阵，从而 提示： 为收敛矩阵， 为收敛矩阵
P −1 AP = J = diag ( J 1 , J 2 , ⋯, J s )
λ i Ji = 1
其中
λi
1 ⋯ ⋱ ⋱ ⋮ λi 1 λi n ×n i i ⋯
则
k →∞
k P −1 A k P = J k = diag J 1k , J 2 , ⋯, J sk
1 (k + 1) 2 = 1 , 可知收敛半径R = 1 , 由 lim k →∞ 1 k2 对应的数项级数收敛， 而当 z = ± 1 时， 对应的数项级数收敛，
1 k 因此 幂级数 ∑ 2 z 的收敛域为 [−1 , 1]. k =0 k
再求矩阵A的谱半径，ρ 再求矩阵 的谱半径， ( A) = 1, 的谱半径
m× n 使得对于矩阵A 如果存在矩阵 A ∈ C , 使得对于矩阵A的任一范数有
lim Ak − A = 0
k →∞
则称矩阵序列{Ak}收敛于A，或称矩阵A是矩阵序列{Ak}的 则称矩阵序列{A 收敛于A 或称矩阵A是矩阵序列{A 极限, 极限,记作
lim
k→ ∞
Ak = A
如果矩阵序列{A 不收敛，则称它是发散的。 如果矩阵序列{Ak}不收敛，则称它是发散的。
(
)
而
lim k 因此 Ak = 0 ⇔ lim J k = 0 ⇔ k →∞ J i = 0 (i = 1,2,⋯, s ) lim
k →∞
λik J ik =
k →∞
C λi
1 k
k −1
C λi
2 k 1 k
k −2 k −1
⋯
C
λik
C λi ⋱
⋯ C ⋱
ni −1 k ni − 2 k
k =1 k→∞ ∞ ∞
（2）若矩阵级数 ∑ A k = S 1 , ∑ B k = S 2 , 则 若矩阵级数
k =1 k =1
∞
k =1
∑ ( aA k + bB k ) = aS 1 + bS
m×m∞Leabharlann 2,∀a,b ∈ C
∞
（3）设 P ∈ C 设
∞
,Q ∈ C
∞ k =1
n× n
收敛， , 若矩阵级数 k∑ A k 收敛，则 =1
n→∞
例2、判断矩阵是否为收敛矩阵 判断矩阵是否为收敛矩阵
0.2 0.1 0.2 A = 0.5 0.4 0.4 0.1 0.3 0.2
提示：由 A 1 = 0.8 < 1 知A为收敛矩阵。 为收敛矩阵。 提示： 为收敛矩阵 注意： 是矩阵A为收敛矩阵的充分条件 不是必要条件。 为收敛矩阵的充分条件， 注意： A < 1 是矩阵 为收敛矩阵的充分条件，不是必要条件。 即：矩阵A的范数都大于1，该矩阵也有可能是收敛矩阵。 矩阵A的范数都大于1 该矩阵也有可能是收敛矩阵。 矩阵
k →∞
说明：在性质（3）中Ak与A必须都可逆。反例见P96例 说明：在性质（ 必须都可逆。反例见P96例 P96
在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幂构成的序列。 在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幂构成的序列。关 于这样的矩阵序列有以下的概念和收敛定理。 于这样的矩阵序列有以下的概念和收敛定理。 定义： 定义：设 A ∈ C
k
k =1
∞
∑ A = (I − A)
k
∞
−1
1 0 .4 0 .7 = 0 .3 0 .9 0.15
1 k 例3、讨论矩阵幂级数 ∑ 2 A 、 k =1 k
∞
∞
4 1 的收敛性， 的收敛性，其中 A = − 1 − 3
1 k 提示： 的收敛域。 提示：首先求幂级数 ∑ 2 z 的收敛域。 k =0 k
第四章
矩阵分析
1·矩阵序列与矩阵级数 矩阵序列与矩阵级数 2·矩阵函数 矩阵函数 3·函数矩阵与矩阵值函数的微分及应用 函数矩阵与矩阵值函数的微分及应用
第一节 矩阵序列 第二节 矩阵级数
主要内容 矩阵序列及其收敛性 2·矩阵级数的收敛性 矩阵级数的收敛性 3·矩阵幂级数的收敛性 矩阵幂级数的收敛性
∞
∞ k =1
A
k 2 k ∑ a k z = a 0 + a1 z + a 2 z + ⋯ + a k z + ⋯ 在幂级数
的收敛域内，则矩阵幂级数 绝对收敛。 的收敛域内 则矩阵幂级数 ∑ a k A 绝对收敛。
k k =1
∞
特别地，对于幂级数 特别地，
k =1
∑A ,
k
∞
有下面的收敛定理： 有下面的收敛定理：
(k ) ij
∑
k =1
∞
( Ak = A ⇔ ∑ aijk ) = aij k =1
∞
例1、已知 、
1 k Ak = 2 0
∞ k =1
k 3 × 4 (k = 1,2, ⋯) 1 k (k + 1)
1 N 1 − 2 0
收敛的矩阵序列的性质 设矩阵序列{A 分别收敛于A 设矩阵序列{Ak}, {Bk}分别收敛于A，B；则
(1) lim (λAk + µBk ) = λ lim Ak + µ lim Bk