6-2 矩阵级数
A
(k ) 1
( aijk) ∑k=0 ∑i=1∑j=1 m n ∞
都收敛 ,由于 由于
m n
= max ∑ a
m j
(k ) i=1 ij
( ≤ ∑i=1 ∑j=1 aijk )
由正项级数的比较判别法， 由正项级数的比较判别法，
Department of Mathematics
可知级数 ∑k=0
∞
S = ∑k=0 A
∞
(k )
( n aijk) = sij i =1,L, m; ∑k=0
∞
j =1,L, n;
π
1 例1. 2k (k ) 已知矩阵序列{A } 的通项为A(k) = 0 ∞ A(k ) 判断矩阵级数 的敛散性 k =0
∑
4k 1 (k +1)(k + 2)
A(0) B(0) + ( A(0) B(1) + A(1) B(0) ) +L+ ( A(0) B(k ) +L+ A(k ) B(0) ) +L
绝对收敛, 绝对收敛 记: S
S
(n) 3 n
(n) 1
= ∑k=0 A
n
(k )
S
(n) 2
= ∑k=0 B(k)
n
( ( 则 S1(n)S2n) − S3n) = A(1) B(n) + A(2) B(n−1) +L+ A(n) B(1) +L+ A(n) B(n)
Department of Mathematics
当 ρ ( <
∞
R 时，幂级数
k k i
∑c λ
k =0
,
∞
∑c c
k =0 k k
∞
1
k k
λi
k −1
, L,
∑c c
k =0
d i −1
λi
k − d i +1
∞
都是绝对收敛的， 都是绝对收敛的，故矩阵幂级数 当ρ ( A) > R 时，幂级数 发散。 所以 ∑ ck A 发散。
Department of Mathematics
三.矩阵级数的绝对收敛
(k ) (k ) n× n 定义2. 设: A = (aij ) n×n ∈ C ,矩阵级数
A( k ) ∑
k =0
∞
若
对某一个矩阵范数满足:
∑
k =0
∞
A( k ) = A( 1 ) + A( 2 ) + L + A( k ) + L
也绝对收敛，且其和为AB 也绝对收敛，且其和为 证明：只证4.及 证明：只证 及5. 4.因 因
∑
∞ k =0
A =A 记 ，
(k )
S
(n)
∞
= ∑k=0 A ，则
n (k )
limS(n) = A
n→∞
在此基础上考察级数
n (k ) n→∞
PA(k)Q的部分和的极限 ∑k=0
n n→∞
lim∑k=0 PA Q = P(lim∑k=0 A(k ) )Q = PAQ
∞
∑
∞
k =0
a k =0
(k ) ij
都收敛,即 绝对收敛. 都收敛 即 ∑ k = 0 aij 绝对收敛
A 1 = max ∑i=1 aij
n j
∞
证明：先给出矩阵范数 证明： 必要性： 必要性： 若正项级数 ∑k=0
( 可知 aijk) ≤ A(k)
∞ (k )
A
收敛， 收敛，由 A 1
(k ) 1
∞ (k )
∞ (k )
∞
与∑k=0 k=
∞
B(k)
= σ1
∑
∞ k =0
B(k) = σ2
的通项的范数
A(0) B(k ) +L+ A(k ) B(0) ≤ A(0) B(k ) +L+ A(k ) B(0)
Department of Mathematics
由正项级数的比较判别法可知， 由正项级数的比较判别法可知，级数
ck Ak = c0 I + c1 A + c2 A2 + L + ck A( k ) + L ∑
k =0 ∞
的矩阵级数为矩阵幂级数。 的矩阵级数为矩阵幂级数。 矩阵幂级数
∞
ck x k 的收敛半径为 R, A 为 n 阶方阵 定理4： 定理 ：设幂级数 ∑
若 ρ ( A) < R
ck Ak ，则矩阵幂级数 ∑
3，绝对收敛的矩阵级数必收敛，并且任意调换其 ，绝对收敛的矩阵级数必收敛， 项的顺序所得的矩阵级数仍收敛，且其和不变. 项的顺序所得的矩阵级数仍收敛，且其和不变
A(k) 收敛（或绝对收敛），则 4，若矩阵级数 ∑k=0 收敛（或绝对收敛）， ），则 ，
∞
矩阵级数 并且有: 并且有
也收敛（或绝对收敛）， PA(k)Q 也收敛（或绝对收敛）， ∑k=0
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
Department of Mathematics, College of Sciences
第 六 章
矩阵分析
Department of Mathematics
§6.2 矩 阵 级 数 一,矩阵级数的定义 矩阵级数的定义 由F n×n中的矩阵序列{A(k)}构成的无穷和 定义1. 定义
A(0) + A(1) +L+ A(k ) +L ∞ (k ) 称为矩阵级数 矩阵级数， 称为矩阵级数，记为 ∑k=0 A ，
不收敛的矩阵 为矩阵级数的部分和。 为矩阵级数的部分和。 部分和 ∀n∈N 称: S = k=0 A 级数称之为发散的 ∞ 二,矩阵级数的收敛和发散 A(k)收敛 矩阵级数的收敛和发散 则称矩阵级数
[解答 考察上述矩阵级数的部分和 解答] 解答
S
(n)
= ∑k=0 A(k)
n
( A( k ) = (a ijk ) ) n×n , S = ( sij ) n×n
Department of Mathematics
πn 1 k (n) 2 a (1− q ) 4k 1 k A(s) = = 1 1 1 1 1 1 0 1− q + + +L =1− (k +1)(k +2⋅ 3 3⋅ 4 1⋅ 2 2) (n +1) ⋅ (n + 2) n+2
L O
∑c c
k =0
∞
di −1 k −di +1 k k i
λ
ck λi k ∑
M
1 ck ck λik −1 ∑ k =0 ∞
O
ck λik ∑
k =0
∞
di ×di
k ( k − 1)L (k − l + 1) c = (当l ≤ k ) l! l ck = 0 (当l > k )
PA Q = P(∑k=0 A(k) )Q ∑k=0
(k ) ∞ ∞
∞
Department of Mathematics
5，若 ∑k=0 A 与 ，
(k )
∞
) B(k均绝对收敛，则它们按项 ∑k=0 均绝对收敛，
∞
相乘所得的矩阵级数
A(0) B(0) + ( A(0) B(1) + A(1) B(0) ) +L+ ( A(0) B(k) +L+ A(k ) B(0) ) +L
收敛， 可见 ∑k=0 PA Q 收敛，且
(k )
∞
PA Q = P(∑k=0 A(k) )Q ∑k=0
(k )
∞
∞
Department of Mathematics
若 ∑k=0 A 绝对收敛
(k )
∞
∑
∞ k =0
A(k) 收敛，由于 收敛，
PA(k )Q ≤ P A(k ) Q = P Q ⋅ A(k )
λi 其中 J i (λi ) =
1
λi
O (i = 1, 2,L , r ) O 1 λi di ×di
k 于是 Ak = Pdiag( J 1k ( λ1 ), J 2 ( λ2 ),L , J rk ( λr )) P −1
d 1 λik ck λik −1 L ck i −1λik −di +1 k O M λi k Ji (λi ) = 1 k −1 O ck λi k λi di ×di
k =0 ∞
k =0
∞
绝对收敛； 绝对收敛；
发散。 若 ρ ( A) > R ，则 ∑ ck Ak 发散。
k =0
证明： 证明： 设 A 的Jordan标准形为 标准形为
Department of Mathematics
J = diag( J 1 ( λ1 ), J 2 ( λ2 ),L , J r ( λr ))
n 再记 σ1n = ∑k=0
n
= ∑k=0 ( A(0) B(k) +L+ A(k) B(0) )
A
(k )
σ = ∑k=0 B(k)
n 2 n
( σ3n) = ∑k=0 ( A(0) B(k) + A(1) B(k−1) +L+ A(k) B(0) )
由矩阵范数的三角不等式及相容性
( 再由 limS1(n)S2n) = AB n→∞
n 1 ∑k=0 2k n S(n) = ∑k=0 A(k) = 0
(k ) 1
( aijk) ∑k=0 ∑i=1∑j=1 m n ∞
都收敛 ,由于 由于
m n
= max ∑ a
m j
(k ) i=1 ij
( ≤ ∑i=1 ∑j=1 aijk )
由正项级数的比较判别法， 由正项级数的比较判别法，
Department of Mathematics
可知级数 ∑k=0
∞
S = ∑k=0 A
∞
(k )
( n aijk) = sij i =1,L, m; ∑k=0
∞
j =1,L, n;
π
1 例1. 2k (k ) 已知矩阵序列{A } 的通项为A(k) = 0 ∞ A(k ) 判断矩阵级数 的敛散性 k =0
∑
4k 1 (k +1)(k + 2)
A(0) B(0) + ( A(0) B(1) + A(1) B(0) ) +L+ ( A(0) B(k ) +L+ A(k ) B(0) ) +L
绝对收敛, 绝对收敛 记: S
S
(n) 3 n
(n) 1
= ∑k=0 A
n
(k )
S
(n) 2
= ∑k=0 B(k)
n
( ( 则 S1(n)S2n) − S3n) = A(1) B(n) + A(2) B(n−1) +L+ A(n) B(1) +L+ A(n) B(n)
Department of Mathematics
当 ρ ( <
∞
R 时，幂级数
k k i
∑c λ
k =0
,
∞
∑c c
k =0 k k
∞
1
k k
λi
k −1
, L,
∑c c
k =0
d i −1
λi
k − d i +1
∞
都是绝对收敛的， 都是绝对收敛的，故矩阵幂级数 当ρ ( A) > R 时，幂级数 发散。 所以 ∑ ck A 发散。
Department of Mathematics
三.矩阵级数的绝对收敛
(k ) (k ) n× n 定义2. 设: A = (aij ) n×n ∈ C ,矩阵级数
A( k ) ∑
k =0
∞
若
对某一个矩阵范数满足:
∑
k =0
∞
A( k ) = A( 1 ) + A( 2 ) + L + A( k ) + L
也绝对收敛，且其和为AB 也绝对收敛，且其和为 证明：只证4.及 证明：只证 及5. 4.因 因
∑
∞ k =0
A =A 记 ，
(k )
S
(n)
∞
= ∑k=0 A ，则
n (k )
limS(n) = A
n→∞
在此基础上考察级数
n (k ) n→∞
PA(k)Q的部分和的极限 ∑k=0
n n→∞
lim∑k=0 PA Q = P(lim∑k=0 A(k ) )Q = PAQ
∞
∑
∞
k =0
a k =0
(k ) ij
都收敛,即 绝对收敛. 都收敛 即 ∑ k = 0 aij 绝对收敛
A 1 = max ∑i=1 aij
n j
∞
证明：先给出矩阵范数 证明： 必要性： 必要性： 若正项级数 ∑k=0
( 可知 aijk) ≤ A(k)
∞ (k )
A
收敛， 收敛，由 A 1
(k ) 1
∞ (k )
∞ (k )
∞
与∑k=0 k=
∞
B(k)
= σ1
∑
∞ k =0
B(k) = σ2
的通项的范数
A(0) B(k ) +L+ A(k ) B(0) ≤ A(0) B(k ) +L+ A(k ) B(0)
Department of Mathematics
由正项级数的比较判别法可知， 由正项级数的比较判别法可知，级数
ck Ak = c0 I + c1 A + c2 A2 + L + ck A( k ) + L ∑
k =0 ∞
的矩阵级数为矩阵幂级数。 的矩阵级数为矩阵幂级数。 矩阵幂级数
∞
ck x k 的收敛半径为 R, A 为 n 阶方阵 定理4： 定理 ：设幂级数 ∑
若 ρ ( A) < R
ck Ak ，则矩阵幂级数 ∑
3，绝对收敛的矩阵级数必收敛，并且任意调换其 ，绝对收敛的矩阵级数必收敛， 项的顺序所得的矩阵级数仍收敛，且其和不变. 项的顺序所得的矩阵级数仍收敛，且其和不变
A(k) 收敛（或绝对收敛），则 4，若矩阵级数 ∑k=0 收敛（或绝对收敛）， ），则 ，
∞
矩阵级数 并且有: 并且有
也收敛（或绝对收敛）， PA(k)Q 也收敛（或绝对收敛）， ∑k=0
矩阵论电子教程
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第 六 章
矩阵分析
Department of Mathematics
§6.2 矩 阵 级 数 一,矩阵级数的定义 矩阵级数的定义 由F n×n中的矩阵序列{A(k)}构成的无穷和 定义1. 定义
A(0) + A(1) +L+ A(k ) +L ∞ (k ) 称为矩阵级数 矩阵级数， 称为矩阵级数，记为 ∑k=0 A ，
不收敛的矩阵 为矩阵级数的部分和。 为矩阵级数的部分和。 部分和 ∀n∈N 称: S = k=0 A 级数称之为发散的 ∞ 二,矩阵级数的收敛和发散 A(k)收敛 矩阵级数的收敛和发散 则称矩阵级数
[解答 考察上述矩阵级数的部分和 解答] 解答
S
(n)
= ∑k=0 A(k)
n
( A( k ) = (a ijk ) ) n×n , S = ( sij ) n×n
Department of Mathematics
πn 1 k (n) 2 a (1− q ) 4k 1 k A(s) = = 1 1 1 1 1 1 0 1− q + + +L =1− (k +1)(k +2⋅ 3 3⋅ 4 1⋅ 2 2) (n +1) ⋅ (n + 2) n+2
L O
∑c c
k =0
∞
di −1 k −di +1 k k i
λ
ck λi k ∑
M
1 ck ck λik −1 ∑ k =0 ∞
O
ck λik ∑
k =0
∞
di ×di
k ( k − 1)L (k − l + 1) c = (当l ≤ k ) l! l ck = 0 (当l > k )
PA Q = P(∑k=0 A(k) )Q ∑k=0
(k ) ∞ ∞
∞
Department of Mathematics
5，若 ∑k=0 A 与 ，
(k )
∞
) B(k均绝对收敛，则它们按项 ∑k=0 均绝对收敛，
∞
相乘所得的矩阵级数
A(0) B(0) + ( A(0) B(1) + A(1) B(0) ) +L+ ( A(0) B(k) +L+ A(k ) B(0) ) +L
收敛， 可见 ∑k=0 PA Q 收敛，且
(k )
∞
PA Q = P(∑k=0 A(k) )Q ∑k=0
(k )
∞
∞
Department of Mathematics
若 ∑k=0 A 绝对收敛
(k )
∞
∑
∞ k =0
A(k) 收敛，由于 收敛，
PA(k )Q ≤ P A(k ) Q = P Q ⋅ A(k )
λi 其中 J i (λi ) =
1
λi
O (i = 1, 2,L , r ) O 1 λi di ×di
k 于是 Ak = Pdiag( J 1k ( λ1 ), J 2 ( λ2 ),L , J rk ( λr )) P −1
d 1 λik ck λik −1 L ck i −1λik −di +1 k O M λi k Ji (λi ) = 1 k −1 O ck λi k λi di ×di
k =0 ∞
k =0
∞
绝对收敛； 绝对收敛；
发散。 若 ρ ( A) > R ，则 ∑ ck Ak 发散。
k =0
证明： 证明： 设 A 的Jordan标准形为 标准形为
Department of Mathematics
J = diag( J 1 ( λ1 ), J 2 ( λ2 ),L , J r ( λr ))
n 再记 σ1n = ∑k=0
n
= ∑k=0 ( A(0) B(k) +L+ A(k) B(0) )
A
(k )
σ = ∑k=0 B(k)
n 2 n
( σ3n) = ∑k=0 ( A(0) B(k) + A(1) B(k−1) +L+ A(k) B(0) )
由矩阵范数的三角不等式及相容性
( 再由 limS1(n)S2n) = AB n→∞
n 1 ∑k=0 2k n S(n) = ∑k=0 A(k) = 0
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工程应用数学基础_12_--矩阵序列
设
A
2
0
0 2
，判断
k 1
1 k
Ak
的敛散性.
3
2)
设
A
1
2
0
1
，判断
k 1
1 k2
Ak
的敛散性.
工程应用数学基础
研究生MOOC课程
第12讲 矩阵级数
三、方阵幂级数
工程应用数学基础
解
1)
因为幂级数
k 1
1 k
zk
的收敛半径为R
第12讲 矩阵级数
二、矩阵级数
1
k (k 1)
Ak
k 1
k 1 0
0
2k 3k
1 0
0
3 2
工程应用数学基础
研究生MOOC课程
第12讲 矩阵级数
三、方阵幂级数
工程应用数学基础
定义3(方阵幂级数) 设 A nn ，称 ck Ak 为方阵幂级数. k 0
求极限
lim
k
Ak
.
sin k
3k
k
2
1
，
(
k
1，2，
)
k2
解
lim
k
2k 2
k k2
1
2
lim
k
sin k
k
0
研究生MOOC课程
第12讲 矩阵级数
一、矩阵序列的极限
lim ek sin k
矩阵级数
Department of Mathematics
c di 1 kdi 1 ki
c1 k1 ki ik
di di
所以
ck Ak ck (PJ k P1)
k 0
k 0
= P( ck J k )P1
k 0
= Pdiag(
，则它们按项
与B(k) k 0
相乘所得的矩阵级数
A(0) B(0) ( A(0) B(1) A(1) B(0) ) ( A(0) B(k)
也绝对收敛，且其和为AB
证明：只证4.及5.
均绝对收敛
A(k) B(0) )
4.因
A(k) A，记 S (n)
Department of Mathematics
其中
i
J
i
(i
)
1
i
(i 1, 2, , r) 1
i di di
于是
Ak
Pdiag( J1k
(1),
J
k 2
(2 ),
,
J
k r
(r
))
P
1
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki ik
sA( k )(
n)
1
2k
a1
(1
q4kn
)
0
1 q11
(k 11)(2k
1 22) 3
1 34
矩阵分析与计算--08-矩阵极限与级数
4.矩阵序列Cauchy收敛准则
设 A1 , A1 , Ak , 0 是矩阵空间V中的元素序列，如果存在x V , 使得
k
lim Ak A0
则称序列{Ak }按 -范数收敛于A0
(k ) (0) 记Ak （aij ） , A （ a l p 0 ij ） l p
由数列Cauchy收敛准则，有
det(uE ( E A)) 0
det((u 1) E A) (1)n det((1 u) E A)
det((1 u) E A) 0
令1 u ,这说明为A的一特征值
0< μ <2 → μ ≠ 0
1 ( E A ) ( E A) 的行列式不为零,
A 称为其部分和, 称矩阵序列
k k=1
S1 , S2 ,
为矩阵级数的部分和序列
, Sk ,
若矩阵部分和序列 Sk 收敛,且有极限 S, 则称该级 数收敛,且有极限 S. 记为
A =S
k k=1
若矩阵级数
A 的所有元素 a
k k=1 k=1
(k ) ij
均
绝对收敛,则称该级数为绝对收敛
0 0 i U =
1 r r C 0 0
r-i-1
(1 i r ),U k 0 (k r )
示例
0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1i n j 1 n
行范数
3）从属于向量的2-范数的算子范数为 A 2 1
—范数
谱范数
1是方阵AH A的最大特征值
E第6章 PWM控制技术
U
d
O
-
wt
U
d
7-60
Basic principles of PWM
等幅PWM波
Ud
O
- Ud
wt
输入电源是恒定直流 第3章的直流斩波电路 6.2节的PWM逆变电路 6.4节的PWM整流电路
U
不等幅PWM波
输入电源是交流或不是恒定 t 的直流 ω 4.1节的斩控式交流调压电路 4.4节的矩阵式变频电路
17-60
19-60
Modulation and Triangular-wave natural sampling Bi-polar PWM in single-phase VSI
u
ur
uc
O
wt
uo Ud O -U d
u of
uo
wt
Bi-polar sampling is used to realize bi-polar PWM.
1-60
Chapter 6 PWM Techniques
PWM (Pulse Width Modulation):通过对一系列脉冲的宽度进行调制，来 等效的获得所需要的波形（含形状和幅值)。 The most widely used control technique in power electronics(第3章 直流斩波电路采用的就PWM技术；第4章的4.1斩控式调压电路和4.4矩阵 式变频电路,第5章逆变电路都涉及到了。)
uc ur ur 正半周，V1 保持通，V2 保持 u 断。 当 ur>uc 时 使 V4 通 ， V3 断 ， O wt uo=Ud 。 当 ur<uc 时 使 V4 断 ， V3 通 ， uo uo=0 。 uo Ud u of 这样就在负载端得到了SPWM 表示uo 波形u0。 的基波O wt ur负半周，请同学们自己分析。 分量 上述PWM波只在单个极性范围 -U d 内变化---- Uni-polar PWM 。 图6-5 单极性PWM控制方式波形
d
O
-
wt
U
d
7-60
Basic principles of PWM
等幅PWM波
Ud
O
- Ud
wt
输入电源是恒定直流 第3章的直流斩波电路 6.2节的PWM逆变电路 6.4节的PWM整流电路
U
不等幅PWM波
输入电源是交流或不是恒定 t 的直流 ω 4.1节的斩控式交流调压电路 4.4节的矩阵式变频电路
17-60
19-60
Modulation and Triangular-wave natural sampling Bi-polar PWM in single-phase VSI
u
ur
uc
O
wt
uo Ud O -U d
u of
uo
wt
Bi-polar sampling is used to realize bi-polar PWM.
1-60
Chapter 6 PWM Techniques
PWM (Pulse Width Modulation):通过对一系列脉冲的宽度进行调制，来 等效的获得所需要的波形（含形状和幅值)。 The most widely used control technique in power electronics(第3章 直流斩波电路采用的就PWM技术；第4章的4.1斩控式调压电路和4.4矩阵 式变频电路,第5章逆变电路都涉及到了。)
uc ur ur 正半周，V1 保持通，V2 保持 u 断。 当 ur>uc 时 使 V4 通 ， V3 断 ， O wt uo=Ud 。 当 ur<uc 时 使 V4 断 ， V3 通 ， uo uo=0 。 uo Ud u of 这样就在负载端得到了SPWM 表示uo 波形u0。 的基波O wt ur负半周，请同学们自己分析。 分量 上述PWM波只在单个极性范围 -U d 内变化---- Uni-polar PWM 。 图6-5 单极性PWM控制方式波形
线代第二章矩阵第一节
(3)
( A + B) + C = A + ( B + C )；
A + O = A；
(4)
A + (− A) = O ．
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结束
2．数乘
定义 4
设 m × n 矩阵
a11 a12 L a1n a a22 L a2 n , A = 21 M M M am1 am 2 L amn k 为一个数，称下列 m × n 矩阵 为一个数，
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相关概念： 相关概念：
元素是实数的矩阵称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵． 元素是实数的矩阵称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵． 实矩阵 复矩阵
方阵． 当 m = n 时， A 称为 n 阶方阵．
称为行矩阵 行矩阵． 只有一行的矩阵 A = ( a1 a2 L an ) 称为行矩阵．
a11b11 + a12b21 + a13b31 C = a21b11 + a22b21 + a23b31
则矩阵C 的 (i, j ) 元素恰好是矩阵 A 的第 i 行各元素与矩阵
B 的第 j 列对应元素乘积之和，称 C 为 A 与 B 的乘积． 列对应元素乘积之和， 的乘积．
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记为 A = B ．
下面介绍矩阵的运算： 下面介绍矩阵的运算： 1．加法 ． 3．乘法 ． 2．数乘 ． 4．转置 ．
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结束
1．加法
定义 3 设有同型矩阵
( A + B) + C = A + ( B + C )；
A + O = A；
(4)
A + (− A) = O ．
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2．数乘
定义 4
设 m × n 矩阵
a11 a12 L a1n a a22 L a2 n , A = 21 M M M am1 am 2 L amn k 为一个数，称下列 m × n 矩阵 为一个数，
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相关概念： 相关概念：
元素是实数的矩阵称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵． 元素是实数的矩阵称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵． 实矩阵 复矩阵
方阵． 当 m = n 时， A 称为 n 阶方阵．
称为行矩阵 行矩阵． 只有一行的矩阵 A = ( a1 a2 L an ) 称为行矩阵．
a11b11 + a12b21 + a13b31 C = a21b11 + a22b21 + a23b31
则矩阵C 的 (i, j ) 元素恰好是矩阵 A 的第 i 行各元素与矩阵
B 的第 j 列对应元素乘积之和，称 C 为 A 与 B 的乘积． 列对应元素乘积之和， 的乘积．
North University of China
记为 A = B ．
下面介绍矩阵的运算： 下面介绍矩阵的运算： 1．加法 ． 3．乘法 ． 2．数乘 ． 4．转置 ．
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结束
1．加法
定义 3 设有同型矩阵
线性代数(第六版)课件：矩阵
30
a b c d
于是得
B
0 0 0
a 0 0
b a 0
c b a
，其中a ,
b,
c,
d
为任意数。
31
从前例
2 3
46
2 1
42
0 0
00 ,
还可看出，矩阵乘法不满足消去律：
AB O A O 或 B O ;
A(B C) O
AB AC , A O B C . 左消去律不成立；
9 3
84 ,
显然， AB BA 。
23
矩阵乘法的运算规律：
(1) ( AB)C A(BC) ; 矩阵乘法满足结合律！ (2) A(B C) AB AC , (B C)A BA CA ; 分配律
(3) k( AB) (kA)B A(kB) (其中k为数);
(4) AO O, OA O ; (5) AE EA A . 注意：交换律不成立。
4
例如 1 0 3 5 是一个 2 4 矩阵, 9 6 4 3
2 3 5 9 是一个 1 4 矩阵,
1 2
是一个 3 1 矩阵。
4
3 4
6 2
2 2
是一个 3 3 矩阵。
5
0
2
5
如果矩阵A=(aij)的行数与列数都等于n，则称A为 n 阶 矩阵 (或称 n 阶方阵 ) 。
.
kam1 kam2 kamn
14
数乘矩阵的运算规律： （设A、B 为 m n矩阵，k, l 为数）
(1) k( A B) kA kB ; (2) (k l)A kA lA ; (3) k(lA) (kl)A ; (4) 1A A，0A O . 加法和数乘合称为矩阵的线性运算。
矩阵分析课件-第六章
cos A B＝cosA cos B sin A sin B
dt
dt
d cos At＝A sin At＝－sin At A
dt
6 det eA＝etrA，其中trA是A 的迹
7 cos A＝ 1 eiA＋e－iA ，sinA＝ 1 eiA－e－iA
2
2i
8 sin2 A＋cos2 A＝E，sin －A＝－sin A，cos －A ＝cosA
9当AB＝BA时，有sin A B＝sin A cos B cos A sin B
D
i
其中
D
J
i
＝
D/ i Di
1
di－1
！Ddi－1
i
D/ i
Di
dixdi
设D ＝ E－A ＝－1 p1 －2 p2 －s ps
i
j， i
j
, pi是i的代数重复度；
pi
d
，
i
D i ＝D i ＝ ＝Ddi－1 i ＝0, D Ji ＝0,
故：D A＝0.
f (k) j ＝p(k) j ，j＝1，2， ，s；k＝0，1， ，dj－1
即f x与p 在A的影谱上有相同的值， 则矩阵函数f A定义为：
f A＝pA 称p 为f A的定义多项式。
定理6.2.1：设A
Cnn，J为A的若当标准形，P
Cnn n
且A＝PJP－1，函数 f x 在A的影谱上有定义，
ln E＋A的幂级数展开式见p201
＆6.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数
由定理5.5.3知：对任意n阶方阵A
e
At＝
k＝0
Aktk， k！
sin At＝ k＝0
《矩阵论》 ppt课件
1
2
p
ppt课件
4
引理6.1.1 如果实数p 1, q 1且 1 1 1,则对 pq
任意非负实数a, b, 有
a p bq ab
pq
定理6.1.1（Hölder不等式）
设x ( x1 ,, xn )T , y ( y1 ,, yn )T C n , 则
1
1
(2) 齐次性：对任意k P, V ,有 k k ；
(3) 三角不等式：对任意 , V ,有 ,
则称||α||为向量α的范数，并称定义了范数的线性空 间为赋范线性空间。
ppt课件
2
对赋范线性空间V中任意向量 与， 有
| |
6.2.1 基本概念 6.2.2 相容矩阵范数 6.2.3 算子范数
ppt课件
11
6.2.1 基本概念
定义6.2.1 设||A||是以Cm×n中的矩阵A为自变量的 非负实值函数，如果它满足以下三个条件：
(1) 非负性 :当A 0时, A 0;当A 0时, A 0; (2) 齐次性 : 对任意k C , A C mn ,有 kA k A ; (3) 三角不等式: 对任意A, B C mn ,有 A B A B , 则称 A 为m n矩阵A的范数.
k
(1) lim(ax(k) by(k) ) ax by ; k
(2) lim Ax(k) Ax . k
定理6.1.8 C n中向量序列{ x(k) }收敛于向量x的充分
必要条件是对任一向量范数 , 数列 x(k) x
收 敛 于0.
ppt课件
10
6.2 矩阵范数
矩阵论-矩阵级数
例：判断矩阵序列Ak的敛散性.
1 0 0
(1)
A
1 0
11,
(2)
A
0.9
0
01.9,
(3)
A
0 0
0.9 0
1 , 0.9
0.3 0.8 (4)A 0.6 0.1
1 0
0
1 0 0
解：(3)Ak 0
0.9k
k
0.9k
1
,
故
limA k
k
0
0 0.
0 0 0.9k
0 0 0
(4) A 0.9 1,故Ak收敛，且lim Ak 0.
Ck2i k2 kik1
i
ik
例：判断矩阵序列Ak的敛散性.
1 0 0
(1)
A
1 0
11,
(2)
A
0.9
0
01.9,
(3)
A
0 0
0.9 0
1 , 0.9
0.3 0.8 (4)A 0.6 0.1
解：(1)Ak
1 0
k 1
,
故
limA k
k
发散.
(2)(A) 0.9 1,故limA k 0. k
yH ( cmAm ) y cm yH Am y cm yH km y cmkm yH y
m0
m0
m0
m0
cmkm也收敛. 与Able定理矛盾. m0
故当(A) R时， cmAm发散. m0
注：定理1实际上定义了一种映射f(z)= cmzm , z R(收敛半径)， m0
A Cnn满足(A) R, f (A)= cmAm收敛，所以对应一个矩阵， m0
二阶矩阵与平面图形的变换矩阵的运算法则及其性质二阶矩阵的特征值怎么求
一、二阶矩阵与平面图形的变换
（1）二阶矩阵的定义：由4个数a，b，c，d排成的正方形数表
称为二阶矩阵；
（2）几种特殊线性变换：主要有旋转变换、反射变换、伸压变换、投影变换、切变变换这几种。
求经矩阵变换后的解析式常采用数形结合的方法，先观察是属于哪一种变换，然后利用解析几何中的相关点法（转移代入法）来解。
二、矩阵的定义：
由m×n个数排成的m行n列的表
称为m行n列矩阵（matrix），简称m×n矩阵。
特殊形式矩阵：
（1）n阶方阵：在矩阵中，当m=n时，A称为n阶方阵；
（2）行矩阵：只有一行的矩阵叫做行矩阵；
列矩阵：只有一列的矩阵，叫做列矩阵；
（3）零矩阵：元素都是零的矩阵称作零矩阵。
三、矩阵的运算律：
（1）矩阵的和（差）：当两个矩阵A、B的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A、B的和（差），记作：。
运算律：加法运算律：；
加法结合律：。
（2）数乘矩阵：矩阵与实数的积：设为任意实数，把矩阵A的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数的乘积矩阵，记作：A。
运算律：（）
分配律：；
结合律：。
（3）矩阵的乘积：一般地，设A是m×k阶矩阵，B是k×n阶矩阵，设C为m×n矩阵，如果矩阵C中第i行第j列元素是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么矩阵C叫做A与B的乘积，记作：C=AB。
运算律：
分配律：；；
结合律：；。
注：（1）交换律不成立，即：AB≠BA；（2）只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时，矩阵之积才有意义。