第七章 矩阵函数

第七章 矩阵函数在定义了矩阵范数之后，便可以度量线性空间中矩阵的大小和矩阵间的接近程度，进而引入极限的概念，并基于此建立矩阵分析理论。

本章将介绍矩阵序列和矩阵级数的定义和收敛性判断，并给出矩阵函数的定义和计算方法。

§7.1 矩阵序列与极限本章中数域F 均指R (或C )，所讨论矩阵均为方阵，非方阵的情况按照相应的范数也可类似定义。

我们把n n ⨯阶矩阵序列12k ，，，，A A A ，简记为{}k A ，其中()()()11121()()()21222()()()12=k k k nk k k n k k k k n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，1,2,k = 显然，一个n n ⨯阶矩阵序列{}k A ()n n k ⨯∈A C 中各矩阵的所有对应位置构成n n⨯个数列{}()k ij a ，其中()(,1,2,,)k ij a C i j n ∈= 。

定义1 设矩阵序列{}k A (1,2,...k =)，其中()()C k n n k ij a ⨯=∈A ，若n n ⨯个数列(){}(,1,2,...,)k ij a i j n =都收敛，即存在数ij a ∈C ，使得()lim ,,1,2,...,k ij ij k a a i j n →∞== 则称矩阵序列{}k A 是收敛的，并把矩阵()C n n ij a ⨯=∈A 称为{}k A 的极限，或称矩阵序列{}k A 收敛于A ，简记为lim k k →∞=A A 或()k k →→∞A A若这n n ⨯个数列(){}(,1,2,...,)k ij a i j n =中至少有一个不收敛，则称矩阵序列{}k A 是发散的。

例1 讨论22⨯阶矩阵序列{}k A 和{}k B 的敛散性，其中1sin (1)(1)1k k kk k kk⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，1(0.5)2+1021k k k k k e k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣-⎦B 1,2,k = 。

解 因为1lim(1)k k e k →∞+=，(1)lim =0kk k →∞-，sin lim =0k k k →∞，故有0lim 01k k e →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，即矩阵序列{}k A 是收敛的。

又因为数列ke k⎧⎫⎨⎬⎩⎭的极限不存在，故矩阵序列{}k B 是发散的。

若把向量看做是特殊的矩阵序列，则向量序列收敛的定义类似可得。

由定义1可知，一个矩阵序列的收敛等价于n n ⨯个数列的收敛，但用初等分析的方法来研究未免有些繁琐，因此可以借助矩阵范数将矩阵序列的敛散性与一个数列的敛散问题等价。

定理 1 n n ⨯阶矩阵序列{}k A 收敛于矩阵n n ⨯∈A C 的充要条件是lim 0k k →∞-=A A，其中范数⋅为任一种矩阵范数。

证明 由矩阵范数的等价性可知，必存在实数210k k ≥>，使得对于任意的矩阵n n ⨯∈B C 都有1112m m k k ≤≤BB B故有1112k k k m m k k -≤-≤-A AA A A A即可通过矩阵的1m 范数来进行定理证明。

必要性。

设lim k k →∞=A A ，由定义1可知，对于每一个,i j 都有()lim k ijij k a a →∞=，即 ()lim ||0,,1,2,...,k ij ij k a a i j n →∞-== 于是()11lim ||0nnk ij ij k i j a a →∞==-=∑∑ 即1lim 0k m k →∞-=A A故有对于矩阵的任意范数⋅都有lim 0k k →∞-=A A 充分性。

因为lim 0k k →∞-=A A ，则有1()11lim lim ||0n nk k ij ij m k k i j a a →∞→∞==-=-=∑∑A A。

因此，对于每一个,i j 都有()lim ||0k ij ij k a a →∞-= 此即()lim ,,1,2,...,k ij ij k a a i j n →∞== 于是lim k k →∞=A A根据矩阵范数的等价性可知，定理1对于任何一种矩阵范数都成立。

定理2若矩阵序列{}k A 收敛，则其极限是唯一的。

证明 假设矩阵序列收敛极限不唯一。

不妨设n n ⨯阶矩阵序列{}k A 收敛于矩阵n n ij a ⨯=∈()C A ，同时收敛于矩阵n n ij b ⨯=∈()C B ，且A B ≠。

则至少存在一组,i j ，使得ij ij a b ≠，其中,1,2,...,i j n =。

即对于数列{}()k ij a 来说有()lim =k ij ij k a a →∞且()lim =k ij ij k a b →∞这与收敛数列极限的唯一性相悖，故假设不成立，得证矩阵序列收敛极限唯一。

由于矩阵序列{}k A 收敛的充分必要条件是各元素组成的数列收敛，而数列的极限是唯一的，因此矩阵序列的极限也是唯一的。

定理3若矩阵序列{}k A 收敛，则此矩阵序列有界。

即存在正数M ，使得对一切k都有k M ≤A 。

证明 设序列{}k A 收敛于A ，即k lim ||||0k →∞-=A A ，亦即对00ε∀>，存在0N >，使得k N >时，有0||||k ε-<A A从而0k k k ε=-+≤-+<+A A A A A A AA其中，1k N ≥+。

取120max{,,...,,}N M ε=+A A A A ，即有||||,1,2,...k Mk ≤=A利用数列收敛的概念和定理1，容易得到矩阵序列如下的性质。

(1) 设lim k k →∞=A A ，lim k k →∞=B B ，其中C ,C n n n n k k ⨯⨯∈∈A B ，则k k k αβαβαβ→∞+=+∈A B A Blim(),C(2)设lim k k →∞=A A ，lim k k →∞=B B ，其中C ,C n n n n k k ⨯⨯∈∈A B ，则lim k k k →∞=A B AB(3) 设lim k k →∞=A A ，且n n n n k ⨯⨯∈∈A P Q C ,,C ，则lim k k →∞=PA Q PAQ(4) 设lim k k →∞=A A ，且,k A A 均可逆，则矩阵序列1{}k -A 也收敛，且11lim k k --→∞=A A证明 (1) 因为()()()()||||0()k k k k k k k αβαβαβαβ+-+=-+-≤-+-→→∞A B A B A A B B A A B B故k k k αβαβαβ→∞+=+∈A B A Blim(),C(2) 由于k k k k k k k k k -=-+-≤-+-A B AB A B AB AB ABA AB A B B又由已知条件可知k lim ||||0k →∞-=A A ，k lim ||||0k →∞-=B B ，再由||||k B 有界，故知lim ||||0k k k →∞-=A B AB即lim k k k →∞=A B AB(3) 由(2)，令k =B Q ，则lim k k →∞=B Q ，故有lim()k k →∞=A Q AQ 。

再将P 看成k A ，k A Q 看成k B ，则有lim k k P →∞=PA Q AQ 。

(4) 因为此时det 0k ≠A ，det 0≠A ，(1,2,...k =)，设adj A 为A 的伴随矩阵，则有lim det det k k →∞=A Alim adj adj k k →∞=A A故11adj adj lim limdet det k k k k k--→∞→∞===A AA A A A注：性质(4)中的A 的可逆性是不可少的，因为k A 的可逆不能保证A 一定可逆。

例2 讨论矩阵序列11111k k ⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A 的收敛性及其极限的可逆性。

解答 显然每个k A 都是可逆的，且11kkk k k --⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦A 。

而k A 的极限为11lim 11k k →∞⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A 它是不可逆的。

定理4 设TT n n k k ⨯==∈A A P P ,R ,且1k k +≥≥A A P ，则矩阵序列{}k A 收敛。

证明 先证对角线上元素序列收敛。

由已知条件有，对任意的n ∈x R ，有1T T T k k +≥≥x A x x A x x Px取(0,0,...,0,1,0,...,0)(1,2,...)Ti i ===x e ，即第i 个位置为1，其余位置均为0，代入上式得(设()(),()k k ij ij a p ==A P )，()(1),(1,2,...)k k ii ii ii a a p i +≥≥=故(){}k ii a 的极限存在。

再证一般的元素序列(){}k ij a 收敛(i j ≠)。

将上面的x 换成(1,2,...)i jx e e i =+=，得()()()()()()()(1)(1)(1)222(,1,2,...,,,1,2,...)k k k k ij ii ji jj k k k ii jj ijk k k iijjijii jj ija a a a a a a aaap p p i j n i j k ++++++=++≥++≥++=≠=故()()(){2}k k k ii jj ij a a a ++收敛。

再由(){}k ii a 和(){}k jj a 都收敛知(){}k ija 收敛，因此lim k k →∞A 存在。

现在考虑由矩阵n n ⨯∈A C 的幂所构成的矩阵序列23,,,,,k A A A A 的收敛性。

定理5 设矩阵n n ⨯∈A C ，则lim k n n k ⨯→∞=A O 的充要条件是()1ρ<A 。

证明 设A 的Jordan 标准形为1122diag((),(),,())r r λλλ=J J J J且存在可逆变换T ，使得1-=A TJT 。

其中特征值i λ所对应的Jordan 块()i i λJ 具有如下形式12()()()(1,2,,)()i i ii i i i i i ia i m m i r λλλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J J J且11()(1,2,,;1,2,,)10ij iji i ij i i i d d i r j a λλλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Jr 表示矩阵A 的互异特征值的个数，i m 表示特征值i λ所对应的代数重复度，且有1rii m n ==∑，i a 表示特征值i λ所对应的Jordan 子块的个数，ijd表示特征值i λ所对应的第j 个Jordan 子块的维数。