吉林大学《高等数学》教学大纲

2013版公共基础课程设置一览表大学数学课程模块吉林大学本科生公共数学课程教学大纲课程编号：ac131931001---3课程名称：高等数学AI---AIII课程英文名称：Advanced Mathematics AI---AIII学时/学分：256/12.0(理论讲授192学时，习题课64学时) 课程类别：普通教育课程课程性质：必修课适用专业：计算机、软件、物理、材料、电子等专业开课学期：第Ⅰ---Ⅲ学期考核方式：考试(闭卷)执笔人：白岩编写日期：2013年10月吉林大学本科生公共数学课程教学大纲课程编号：ac13931001---3课程名称：高等数学AI---AIII课程英文名称：Advanced Mathematics AI---AIII学时/学分：256/12.0(理论讲授192学时，习题课64学时)课程类别：普通教育课程课程性质：必修课适用专业：计算机、软件、物理、材料、电子等专业开课学期：第Ⅰ---Ⅲ学期考核方式：考试(闭卷)一、课程的对象和课程性质高等数学A课程我校计算机、软件、物理、材料、电子等专业学生必修的一门重要的基础理论课。

通过本课程的学习，使学生获得微积分(包括无穷级数和微分方程)的基本概念、理论和方法，为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定基础。

通过本课程的教学，培养学生的数学素质和抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

目的在于为培养我国需要的高素质创新人才，满足社会的需要服务。

二、课程的教学内容及学时分配(授课+习题课)1、预备知识(4+0)实数集，函数，常用逻辑符号简介。

2、极限与连续(16+6)数列极限的概念，数列极限的性质，函数极限的定义，函数极限的性质，极限的四则运算法则和复合运算法则，极限存在准则和两个重要极限，无穷小的性质，无穷小比较，无穷大，连续函数的概念，函数的间断点，连续函数的运算与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质,一致连续。

3、导数与微分(12+4)导数的定义，求导举例，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，函数的和、差、积、商的求导法则，反函数的求导法则，复合函数求导法则，初等函数的导数，高阶导数，隐函数及参数方程所确定的函数的导数，微分的定义，微分的几何意义，微分的计算。

4、中值定理与导数的应用(16+6)Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，L’Hospital法则，Taylor公式，函数单调性判别法，函数的极值与最值，函数的凸凹性与拐点，弧微分与平面曲线的曲率。

5、不定积分(12+4)原函数与不定积分，不定积分的性质，基本积分公式，第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法，简单有理函数的积分，三角函数有理式的积分。

6、定积分(16+6)定积分的定义，定积分的性质，积分上限函数与原函数存在定理，Newton-Leibniz公式，定积分的换元积分法，定积分的分部积分法，定积分的元素法，平面图形的面积，旋转体的体积，平面曲线的弧长，无穷区间上的反常积分，无界函数的反常积分。

7、空间解析几何(12+6)空间直角坐标系，向量的概念，向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量积和向量积，平面及其方程，直线及其方程，直线与平面、直线与直线、平面与平面的位置关系。

柱面与旋转曲面，曲面及其方程，曲线及其方程，常见的二次曲面。

8、多元函数的极限和连续性(6+2)平面点集，多元函数，二重极限，极限的运算法则，多元连续函数，有界闭区域上连续函数的性质，多元初等函数的连续性。

9、多元函数微分学(22+6)偏导数，高阶偏导数，全微分，多元复合函数微分法，隐函数的微分法，方向导数与梯度，空间曲线的切线和法平面方程，曲面的切平面和法线方程，多元函数的Tayloy公式，多元函数的件极值问题，条件极值问题。

10、重积分(12+4)二重积分的概念，二重积分的几何意义和性质，直角坐标下计算二重积分，在极坐标系下计算二重积分，二重积分的换元法，三重积分的概念，在直角坐标系下计算三重积分，在柱面坐标和球面坐标下计算三重积分，含参变量的积分，反常重积分，Γ函数和B函数。

11、第一型曲线积分与曲面积分(6+2)第一型曲线积分的概念和性质，第一型曲线积分的计算，第一型曲面积分的概念和性质，曲面面积的计算，第一型曲面积分的计算，几何形体上积分的应用举例。

12、第二型曲线积分与曲面积分(16+4)第二型曲线积分的概念和性质，两种曲线积分之间的关系，第二型曲线积分的计算，Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件，第二型曲面积分的概念和性质，第二型曲面积分的计算，Gauss公式及其应用，散度，Stokes公式，旋度。

13、无穷级数(22+6)数项级数的概念，数项级数的性质，正项级数的比较判别法、比值判别法和根值判别法，Cauchy收敛准则，Leibniz判别法，绝对收敛与条件收敛，函数项级数的概念，幂级数及其收敛性，幂级数的运算，函数展开成幂级数，幂级数的应用，三角函数系的正交性，以 2为周期的函数的Fourier级数，奇、偶函数的展开，函数展开成正弦级数或余弦级数，以l2为周期的函数的Fourier级数。

14、常微分方程与差分方程(20+8)常微分方程的基本概念，可分离变量方程，齐次方程，一阶齐次线性微分方程，一阶非齐次线性微分方程，Bernoulli方程，全微分方程，可降阶的高阶微分方程，高阶齐次线性微分方程的通解的结构，高阶齐次线性微分方程的通解的求法，常系数齐次线性微分方程，高阶非齐次线性微分方程的解的结构和求法，二阶常系数非齐次线性微分方程，Euler方程，应用举例，差分方程。

三、教学内容基本要求1、预备知识(1)理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。

(2)理解复合函数和反函数的概念。

(3)熟悉基本初等函数的性质及其图形。

(4)会建立简单实际问题中的函数关系式。

2、极限与连续(1)理解数列极限的概念,掌握数列极限的性质，掌握数列极限的四则运算法则，掌握数列极限存在的单调有界原理，夹挤定理。

(2)理解函数极限的概念，掌握函数极限的性质，掌握函数极限的四则运算法则，掌握复合函数极限运算法则，理解海涅定理，会用两个重要极限求极限。

(3)理解无穷小及无穷小的阶的概念,掌握无穷小的性质，会用等价无穷小求极限。

理解无穷大的定义，理解无穷大与无穷小的关系，了解无穷大与无界的关系。

(4)理解函数的连续(一点处、区间)的概念；了解一点处左、右连续的概念；了解函数在一点连续和极限存在的关系；会判断函数间断点及其类型。

(5)了解连续函数的运算和初等函数的连续性。

(6)理解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理和介值定理，会在实际问题中应用这些性质。

(7)了解一致连续的概念3、导数与微分(1)理解导数的概念；了解导数的几何意义，会求平面曲线在一点处的切线、法线方程；掌握可导性和连续性的关系；掌握基本初等函数的求导公式。

(2)掌握函数和、差、积、商四则运算求导法则和复合函数的求导法则，会求反函数的导数；了解左、右导数的概念，会求分段函数的导数。

(3)理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数,掌握两个函数相乘高阶导数的Leibniz公式。

(4)掌握隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会对数求导法。

(5)理解微分的概念；掌握微分的运算法则，会求函数的微分；掌握可微与可导的关系；了解一阶微分形式不变性。

4、中值定理与导数的应用(1)理解Rolle(罗尔)定理、Lagrange(拉格朗日)中值定理；了解Cauchy(柯西)中值定理、会用中值定理证明简单的等式或不等式。

(2)掌握用L’Hospital(洛必达)法则求未定式极限的方法。

(3)理解Taylor(泰勒)定理。

(4)掌握用导数判别函数的单调性和求极值和最值的方法。

(5)会用导数判断函数图形的凹凸性和求函数图形的拐点。

(6)会求平面曲线的水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线；会描绘简单函数的图形。

(7)掌握弧微分；理解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

5、不定积分(1)理解原函数和不定积分的概念；掌握不定积分的基本公式。

(2)掌握不定积分的第一换元积分法和第二换元积分法。

(3)掌握不定积分的分部积分法。

(4)会计算简单有理函数的积分，会计算简单三角有理式的积分。

6、定积分(1)理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分的中值定理；理解定积分的几何意义；了解函数可积的充分条件。

(2)理解积分上限函数的性质，会对其求导数；掌握微积分基本定理—Newton-Leibniz公式。

(3)掌握换元积分法和分部积分法。

(4)理解定积分的元素法，会求平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长。

(5)理解无穷区间上的反常积分和无界函数的积分的概念；会计算反常积分，会判断反常积分的收敛性。

7、空间解析几何(1)理解空间直角坐标系。

(2)理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向数、方向余弦和向量在坐标轴上的投影；掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积和混合积)；掌握两个向量垂直、平行的条件。

(3)理解平面方程和直线方程的概念；会求平面方程和直线方程；会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角；会求点到平面、点到直线的距离；会判断平面与平面之间的位置关系(平行、垂直、)；会判断直线与直线之间的位置关系(平行、垂直、相交)；会判断平面与直线之间的位置关系(平行、垂直、直线在平面上)。

(4)理解曲面方程和曲线方程的概念。

(5)了解常用的二次曲面方程及其图形；会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般式方程；了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

8、多元函数的极限和连续性(1)理解n维点集特别是平面点集的概念；理解多元函数的概念；理解二元函数的几何意义。

(2)了解二元函数的极限的概念；了解二元函数极限的运算法则；会求简单二元函数的极限；会证明二元函数极限不存在。

(3)了解二元函数连续性的概念，了解闭区域上连续函数的性质，了解多元初等函数的连续性。

9、多元函数微分学(1)理解多元函数偏导数的概念；掌握偏导数的求法；会求高阶偏导数。

(2)理解全微分的概念；掌握全微分的求法；了解全微分存在的充分条件和必要条件。

(3)掌握多元复合函数一、二阶偏导数的求法。

(4)会求由方程式确定的隐函数的导数或偏导数；会求由方程组确定的隐函数的导数或偏导数。

(5)理解方向导数与梯度的概念；会求方向导数和梯度。

(6)了解空间曲线的切线和法平面及曲面的法线和切平面的概念，会求它们的方程。

(7)了解n 元函数的二阶泰勒公式和二元函数的n 阶泰勒公式；理解多元函数极值和条件极值的概念；掌握多元函数极值存在的必要条件和二元函数极值存在的充分条件；会求二元函数极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求多元函数的最值，并会解决一些应用问题。