2018届辽宁省沈阳市高三教学质量监测(三模)考试数学(理)答案
＞0 x2 4 y 2 联立 得 x 4kx 4m 0 , x1 x2 4k y kx m x x 4m 1 2
由 OM ON 4 得 x1 x2 y1 y2 4 ， x1 x2
------------5 分
42 .........11分 21
所以 2a 13a 18 0 ，解方程得 a 2, a
2
9 (舍) ， DE 2 .………12 分 2
19.（Ⅰ） x 3, y 212 ，
_
_
……………………………………………………2 分
_ 5 x y 3180,5 x 45
∴ 3 sin 2 A cos 2 A 2 ，∴ sin 2 A
1. 6
………8 分
∵ A 0,
2 3
7 ，∴ 2 A , 6 6 6
，∴ 2 A ， A ， 6 2 3
线性回归方程为 yபைடு நூலகம் 19.4 x 153.8
（Ⅱ）由题意可知，2018 年的年份代码为 6，
所以 y 19.4 6 153.8 270.2
由题意，精确到整数，所以 2018 年优良天数大约 270 天.…………………12 分
20.解： （Ⅰ） A 2,1 代入到 C1 : x 2 py p 0 得 4 2 p 1, p 2,
3 2
y B C
………6 分
m A1 E 0 m EC 0
，令 z 3 ，则 m (3 a, a,3)
………8 分
设直线 BD1 与平面 CA1 E 所成角的正弦值为 θ,
则 sin cos BD1 , m
m BD1 m BD1
=
18 6a 2a 2 6a 18 3 3
2018 年沈阳市高三数学质量监测（三） 理科数学参考答案 一、选择题： 1 C 二、填空题： 13． -16 三、解答题 17.（Ⅰ） 由b sin B a sin A (c a)sin C ， 及正弦定理，得 b2 a 2 (c a)c,即a 2 c 2 b2 ac ， 由余弦定理得 cos B ………2 分 2 B 3 A 4 C 5 B 6 B 7 B 8 B 9 B 10 B 11 C 12 B
_ _
2
b
x y
i 1 5 i 2 i 1
5
i
5x y
xi 5 ( x) 2
_ _
3374 3180 19.4 ， ………………………………4 分 55 45
a y b x 212 19.4 3 153.8 ，
………………………………6 分 …………………………………7 分 ……………………………8 分 …………………………10 分
D1
A1
B1
C1 M
E F D
N A
B
C
………..5 分 （虚线实线不对扣一分，没有作图痕迹只画出直线给 2 分，没有点的位置只画平面不给分）
A1 H D1 E FA D C C1 G B
D D1 N E F A B M C C1
B1
A1
B1
A1 D1 E F D A C C1
B1
K B
（Ⅱ）以 A 为坐标原点，分别以 AD、AB、AA1 所在直线为 X、Y、
………10 分 ………11 分 ………12 分
∴A BC
3
，△ ABC 为等边三角形.
又∵ bc 1 ，∴ a b c 1 ，所以三角形 ABC 的周长为 3.
18. 解： （Ⅰ）取线段 AA1 的靠近 A 四等分 点 M,取 AB 中点 N 连接 FM、MN、FN 平面 FMN 即为所求，
x12 x2 2 4 ， 16
∴ 4m m 4 ， m 2 ， 直线 MN 的方程为 y kx 2 ，
2
直线 MN 恒过定点 Q(0, 2)
设 R( x3 , y3 ) S ( x4 , y4 ) ， 将直线 MN : y kx 2 与椭圆 C2 :
------------7 分
A1
z C1
B1
Z 轴建立空间直角坐标系，面积，
D1 E D x F A
， 0， ，C 3, 3, 0 ，C1 3, 3, 3 ， 则A 1 0, 0, 3，E 3
设点 E(3,0, a ) , D1 (3,0,3), B(0,3,0) , 则 AC (3,3, 3), CE (0, 3, a) ， BD1 (3, 3,3) 1 设平面 CA1 E 的一个法向量为 m x, y, z 则由
y 2 x2 1 联立 9 8
消元可得关于 x 的一元二次方程 (8k 2 9) x 2 32kx 40 0 ，
32k x3 x4 2 8k 9 根据根与系数关系得 x x 40 3 4 8k 2 9
14.
3
15.
4 3
16.
16 5 3
a 2 c 2 b2 1 . 2ac 2
因为 B (0, ), 所以B
3
.
………5 分
（Ⅱ）解法二：∵ A C
2 2 ，∴ 4cos A cos A 1， 3 3
∴ 4cos A
1 3 cos A sin A 1 ，∴ 2cos2 A 2 3 sin A cos A 1 ， 2 2
2
C1 : x2 4 y.
…………………………1 分
a3 c 1 ∵ a c 2 ， b 2 2 ， c 1 b 2 c 2 a 2
C2 : y 2 x2 1. 9 8
…………………………3 分
（Ⅱ）①依题意可知，直线 MN 的斜率一定存在 设直线 MN 的方程为 y kx m , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,
辽宁省沈阳市达标名校2018年高考三月质量检测数学试题含解析
辽宁省沈阳市达标名校2018年高考三月质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1B ．1C ．0D ．22．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE=50cm ．EF=40cm ．FC=30cm ，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（ ）A ．2cmB ．2cmC ．50cmD ．6cm3．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．6898B ．6896C ．5268D ．52664．已知函数2()sin 3cos444f x x x x πππ=，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（ ）A ．2018B ．1009C ．1010D ．20205．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 3C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A 5B ．22C ．23D ．336．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77D ．787．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1B ．2C ．3D ．68．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±9．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-10．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ）A ．16-B ．6-C ．274-D ．27411．已知集合{}1A x x =<，{}1xB x e =<，则（ ） A ．{}1A B x x ⋂=< B ．{}A B x x e ⋃=< C ．{}1A B x x ⋃=<D ．{}01A B x x ⋂=<<12．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）A ．2 B ．21- C ．2D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
东北三省四市教研联合体高考2018年数学三模试卷（理科）Word版含解析
东北三省四市教研联合体⾼考2018年数学三模试卷（理科）Word版含解析东北三省四市教研联合体⾼考2018年三模试卷（理科数学）⼀、选择题1．若集合A={1，2}，B={1，3}，则集合A ∪B 的真⼦集的个数为（）A ．7B ．8C ．15D ．162．设复数z 1，z 2在复平⾯内对应的点关于虚轴对称，且z 1=2+i ，则=（）A ．﹣4+3iB ．4﹣3iC ．﹣3﹣4iD ．3﹣4i3．已知函数f （x ）=，则f （a ）的值不可能为（）A ．2016B ．0C ．﹣2D ．4．设等⽐数列{a n }的公⽐q=，前n 项和为S n ，则=（）A ．5B ．7C ．8D ．155．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平⾯，给出下列四个命题：其中正确命题的个数是（）（1）若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β；（2）若n ⊥α，m ⊥β，且n ⊥m ，则α⊥β；（3）若α⊥β，m ?α，m ⊥β，则m ∥α；（4）若m ，n 是异⾯直线，m ?α，m ∥β，n ?β，n ∥α，则α∥β．A ．1B ．2C ．3D ．46．在边长为2的等边三⾓形△ABC 中，点M 在边AB 上，且满⾜=3，则?=（）A ．B ．C ．D ．47．见如图程序框图，若输⼊a=110011，则输出结果是（）A ．51B ．49C ．47D ．458．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，直线y=﹣3与抛物线交于点M ，|MF|=5，则抛物线的标准⽅程是（）A ．y 2=2xB ．y 2=18xC ．y 2=xD ．y 2=2x 或y 2=18x9．已知长⽅体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=BB 1=，在四边形ABC 1D 1内随机取⼀点M ，则满⾜∠AMB ≥135°的概率为（）A ．B ．C ．10．已知双曲线C ：的右焦点为F ，以F 为圆⼼和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的⼀个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离⼼率为（）A ．B ．C ．D ．211．△ABC 中，D 为BC 的中点，满⾜∠BAD+∠C=90°，则△ABC 的形状是（）A ．等腰三⾓形B ．直⾓三⾓形C ．等腰直⾓三⾓形D ．等腰或直⾓三⾓形12．已知函数f （x ）=|ln|x ﹣1||+x 2与g （x ）=2x 有n 个交点，它们的横坐标之和为（）A ．0B ．2C ．4D ．8⼆.填空题13．设a 为⾮零常数，已知（x+）（1﹣ax ）4的展开式中各项系数和为3，展开式中x 2项的系数是______．14．在椭圆=1上有两个动点M ，N ，K （3，0）为定点， ?=0，则?最⼩值为______．15．已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三⾓形，俯视图是边长为的等边三⾓形，侧视图是直⾓三⾓形，16．已知数列{2n ?a n }的前n 项和为，若存在n ∈N *，使得a n ≥m 成⽴，则m 的取值范围是______．三.解答题17．函数f （x ）=Asin （?x+φ）（A ＞0，0＜?＜4，|φ|＜）过点（0，），且当x=时，函数f （x ）取得最⼤值1．（1）将函数f （x ）的图象向右平移个单位得到函数g （x ），求函数g （x ）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h （x ）=f （x ）+g （x ）+2cos 2x ﹣1，如果对于?x 1，x 2∈R ，都有h （x 1）≤h （x ）≤h （x 2），求|x 1﹣x 2|的最⼩值．（2）若从甲、⼄两位同学的数学考试成绩中各随机抽取2次成绩进⾏分析，设抽到的成绩中130分以上的次数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底⾯四边形ABCD是正⽅形，PA=PD，且PA⊥CD．（1）求证：平⾯PAD⊥底⾯ABCD；（2）设=λ，当λ为何值时直线PA与平⾯PBC所成⾓的余弦值为？20．已知A（﹣2a，0），B（2a，0）（a＞0），||=2a，D为线段BP的中点．（1）求点D的轨迹E的⽅程；（2）抛物线C以坐标原点为顶点，以轨迹E与x轴正半轴的交点F为焦点，过点B的直线与抛物线C交于M，N两点，试判断坐标原点与以MN为直径的圆的位置关系．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，x=0是极值点．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=，试⽐较g（4）+g（9）+…+g（n2）与（n∈Z，n≥2）的⼤⼩．[选修4-4坐标系与参数⽅程]22．经过抛物线C：y2=2px（p＞0）外的点A（﹣2，﹣4），且倾斜⾓为的直线l与抛物线C交于M，N两（1）求抛物线C的⽅程；（2）E，F为抛物线C上的两点，且OE⊥OF（O为坐标原点），求△OEF的⾯积的最⼩值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+2|+|x+m|（m＜2），若f（x）的最⼩值为1．（1）试求实数m的值；（2）求证：log（2a+2b）﹣m≥．2东北三省四市教研联合体⾼考2018年三模试卷（理科数学）参考答案与试题解析⼀、选择题1．若集合A={1，2}，B={1，3}，则集合A ∪B 的真⼦集的个数为（）A ．7B ．8C ．15D ．16【考点】⼦集与真⼦集．【分析】由根据集合的定义得到：集合A ∪B={1，2，3}，由此能求出集合A ∪B 的真⼦集个数．【解答】解：∵A={1，2}，B={1，3}，∴集合A ∪B={1，2，3}，∴集合A ∪B 的真⼦集个数为23﹣1=7．故选：A ．2．设复数z 1，z 2在复平⾯内对应的点关于虚轴对称，且z 1=2+i ，则=（）A ．﹣4+3iB ．4﹣3iC ．﹣3﹣4iD ．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利⽤复数的运算法则与共轭复数的定义、⼏何意义即可得出．【解答】解：依题z 2=﹣2+i ，从⽽，于是=﹣3﹣4i ，故选：C ．3．已知函数f （x ）=，则f （a ）的值不可能为（）A ．2016B ．0C ．﹣2D ．【考点】函数的值．【分析】由分段函数分类讨论以确定函数的值域，从⽽确定答案．【解答】解：①当x ＞0时，f （x ）=x （x+4）＞0，②当x ≤0时，f （x ）=x （x ﹣4）≥0，故f （x ）≥0，故f （a ）的值不可能为﹣2，故选C ．4．设等⽐数列{a n }的公⽐q=，前n 项和为S n ，则=（）A ．5B ．7C ．8D ．15【考点】等⽐数列的通项公式．【分析】利⽤等⽐数列的通项公式与前n 项和公式即可得出．【解答】解：S 3==，a 3==，∴=7．故选：B ．5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平⾯，给出下列四个命题：其中正确命题的个数是（）（1）若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β；（2）若n ⊥α，m ⊥β，且n ⊥m ，则α⊥β；（3）若α⊥β，m ?α，m ⊥β，则m ∥α；（4）若m ，n 是异⾯直线，m ?α，m ∥β，n ?β，n ∥α，则α∥β．A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】空间中直线与平⾯之间的位置关系．【分析】根据线⾯位置关系的性质和判定定理进⾏分析或举出反例，属于中档题．【解答】解：对于（1），设α∩β=l ，则当m ∥l ，m ?β时，结论不成⽴，故（1）错误．对于（2），设m ，n 的⽅向向量分别是，则分别为平⾯β，α的法向量，∵m ⊥n ，∴的夹⾓为90°，∴平⾯α与β所成⼆⾯⾓为直⾓，即α⊥β．故（2）正确．对于（3），∵α⊥β，m ⊥β，∴m ∥α，或m ?α．⼜m ?α，∴m ∥α．故（3）正确．对于（4），假设α，β不平⾏，则α，β相交，设交线为l ，∵m ?α，m ∥β，α∩β=l ，∴m ∥l ，同理：n ∥l ，∴m ∥n ，与m ，n 是异⾯直线⽭盾．∴假设错误，即α∥β．故（4）正确．故选：C ．6．在边长为2的等边三⾓形△ABC 中，点M 在边AB 上，且满⾜=3，则?=（）A ．B ．C ．【分析】⽤表⽰出，再计算?．【解答】解：∵=3，∴==，∴==+，∴则?=（+）=+=+=．故选：A ．7．见如图程序框图，若输⼊a=110011，则输出结果是（）A ．51B ．49C ．47D ．45【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利⽤循环结构计算并输出变量b 的值，模拟程序的运⾏过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第⼀次执⾏循环体后，t=1，b=1，i=2，不满⾜退出循环的条件，第⼆次执⾏循环体后，t=1，b=3，i=3，不满⾜退出循环的条件，第三次执⾏循环体后，t=0，b=3，i=4，不满⾜退出循环的条件，第四次执⾏循环体后，t=0，b=3，i=5，不满⾜退出循环的条件，第五次执⾏循环体后，t=1，b=19，i=6，不满⾜退出循环的条件，第六次执⾏循环体后，t=1，b=51，i=7，满⾜退出循环的条件，故输出b 值为51，故选：A ．8．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，直线y=﹣3与抛物线交于点M ，|MF|=5，则抛物线的标准⽅程是（）A ．y 2=2xB ．y 2=18xC ．y 2=xD ．y 2=2x 或y 2=18x【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得|MF|=5=x M +，解得x M =5﹣＞0，把M代⼊抛物线⽅程解出即可得出．【解答】解：由题意可得|MF|=5=x M +，解得x M =5﹣＞0，∴M代⼊抛物线⽅程可得：（﹣3）2=2p，化为：p2﹣10p+9=0，解得p=1或9．∴抛物线的标准⽅程是y2=2x或y2=18x．故选：D．9．已知长⽅体ABCD﹣AB1C1D1中，AB=2，BC=BB1=，在四边形ABC1D1内随机取⼀点M，则满⾜∠AMB≥135°的概率为（）A．B．C．D．【考点】⼏何概型．【分析】由题意通过圆和三⾓形的知识确定满⾜条件的图形，分别找出满⾜条件的点集对应的图形⾯积，及图形的总⾯积，作⽐值即可．【解答】解：长⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=，∴B11=2，∴四边形ABC1D1为正⽅形，其⾯积为2×2=4，以AB为底边，向正⽅形外作顶⾓为90°的等腰三⾓形，以等腰三⾓形的顶点O为圆⼼，OA为半径作圆，根据圆周⾓相关定理，弧AB所对的圆周⾓为135°．即当M取圆O与ABC1D1的公共部分（⼸形），∠AMB必⼤于135°其中AB=2，OA=，S阴影=π（）2﹣××=﹣1，故所求的概率为=，故选：B．10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆⼼和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的⼀个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离⼼率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线⽅程为y=x，运⽤点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF 垂直于x轴，可得a=b，运⽤a，b，c的关系和离⼼率公式，即可得到所求值．【解答】解：设F（c，0），渐近线⽅程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离⼼率e==，故选C．11．△ABC中，D为BC的中点，满⾜∠BAD+∠C=90°，则△ABC的形状是（）A．等腰三⾓形B．直⾓三⾓形C．等腰直⾓三⾓形D．等腰或直⾓三⾓形【考点】三⾓形的形状判断．【分析】由∠BAD+∠C=90°，根据三⾓形的内⾓和定理得到剩下的两⾓相加也为90°，设∠BAD=α，∠B=β，可得∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在三⾓形ABD和三⾓形ADC中，分别根据正弦定理表⽰出BD：AD及CD：AD，由D为BC中点，得到BD=CD，从⽽得到两⽐值相等，列出关于α和β的关系式，利⽤诱导公式及⼆倍⾓的正弦函数公式化简后，得到sin2α=sin2β，由α和β的范围，可得出α=β或α+β=90°，由α=β根据等⾓对等边可得AD=BD=CD，根据三⾓形⼀边上的中线等于这边的⼀半可得三⾓形ABC为直⾓三⾓形；由α+β=90°，可得AD与BC垂直，⼜D为BC中点，故AD垂直平分BC，故AB=AC，此时三⾓形ABC为等腰三⾓形．【解答】解：∵∠BAD+∠C=90°，∴∠CAD+∠B=180°﹣（∠BAD+∠C）=90°，设∠BAD=α，∠B=β，则∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在△ABD和△ACD中，根据正弦定理得：sinα：sinβ=BD：AD，sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=CD：AD，⼜D为BC中点，∴BD=CD，∴sinα：sinβ=sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=cosβ：cosα，∴sinαcosα=sinβcosβ，即sin2α=sin2β，∴2α=2β或2α+2β=180°，∴α=β或α+β=90°，∴BD=AD=CD或AD⊥CD，∴∠BAC=90°或AB=AC，∴△ABC为直⾓三⾓形或等腰三⾓形．。
高考最新-辽宁省沈阳市数学 精品
辽宁省沈阳市2018年高三年级教学质量监测数 学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 3．考试结束，考生将答题卡和答题纸一并交回.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n （k ）=k n k k n P P C --)1(球的表面积公式S=4πR 2，其中R 表示球的半径球的体积公式：334R V π=，其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的. 1．i i i )1)(1(-+等于 （ ）A ．i 2B ．－i 2C ．－2D ．22．直线1l 的方程为y=－2x +1，直线12l l 与直线关于直线y=x 对称，则线2l 经过点（ ）A ．（－1，3）B ．（1，－3）C ．（3，－1）D ．（－3，1）3．已知数列}{n a ，“对任意的+∈N n ，点),(n n a n P 都在直线y=3x +2上”是“}{n a 为等差数列”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知平面α、β、γ，直线l m m l m l =⋂=⋂⊥⊥γβγαγα,,,,,且，给出下列四个结论：①γβ⊥；②α⊥l ；③β⊥m ；④βα⊥.则其中正确的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．设,是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若++=+=2,43,24则的坐标是（ ）A ．（1，－2）B ．（7，6）C ．（5，0）D ．（11，8） 6．函数]),0[)(62sin(3ππ∈--=x x y 为增函数的区间是（ ）A ．]125,0[π B ．]32,6[ππ C ．]1211,6[ππD ．]1211,32[ππ 7．1112除以100的余数是（ ）A ．1B ．10C ．11D ．218．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[a a 2,]上的最大值是最小值的2倍，则a 值为（ ）A ．41B ．81 C ．21 D ．42 9．设A 、B 是非空集合，定义}|{B A x B A x x B A ⋂∉⋃∈=⨯且，已知：}2|{2x x y x A -==，)}0(2|{>==x y y B x，则A ×B 等于（ ）A ．),2(]1,0[+∞⋃B ．),2()1,0[+∞⋃C ．[0，1]D ．[0，2] 10．函数3)2(32+-=x y（ ）A ．在2-=x 处有极值B ．在0=x 处有极值C ．在2=x 处有极值D ．在02=±=x x 及处都有极植11．设c b a ,,都是正实数，且a 、b 满足191=+ba ，则使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是（ ）A ．]8,0(B ．]10,0(C ．]12,0(D ．]16,0(12．椭圆13422=+y x 有n 个不同的点P 1、P 2、…、P n ，椭圆的右焦点为F ，数列|}{|F P n 是公差大于10001的等差数列，则n 的最大值是 （ ）A ．2000B ．2001C ．2018D ．2018第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共2页，用黑色或蓝色笔答在答题纸上，答在试卷上无效. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分..13．若工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3: 4: 7.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中B 型号产品有28件，那么样本的容量n= . 14．在正三棱锥P —ABC 中，若AB=1，PA=2，则侧棱PA 与底面ABC 所成角的余弦值为 .15．直线x y m x ==,将圆面422≤+y x 分成若干块，现在用5种不同的颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有涂法120种，则m 的取值范围是 . 16．下面有四个命题：①若a 、b 为一平面内两非零向量，则a ⊥b 是|a +b |=|a －b |的充要条件；②一平面内两条曲线的方程分别是0),(0),(21==y x f y x f 和，它们的交点是),(00y x P ，则方程0),(),(21=+y x f y x f 的曲线经过点P ； ③空间经过一点且和一条已知直线垂直的所有直线都在同一平面内；④.1,21lim21-==-+→b x bx x 则 其中真命题的序号是 （把符合要求的命题序号都填上）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置. 17．（本小题满分12分）从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数.（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）求“所选3人中男生人数ξ≤1”的概率.18．（本小题满分12分）在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A1AB=60°.（Ⅰ）求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；（Ⅲ）求点C1到平面A1CB的距离.19．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的外接圆半径3=R ，且 满足.sin sin sin 2cos cos BCA B C -= （Ⅰ）求角B 和边b 的大小； （Ⅱ）求△ABC 的面积的最大值.20．（本小题满分12分）设数列}{n a 是等差数列，a 1=1，其前n 项和为S n ，数列}{n b 是等比数列，b 2=4，其前n 项和为T n ，又已知.12,16lim 25+==∞→T S T n n（Ⅰ）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（Ⅱ）若n n n M b b b M 求,lg lg lg 21+++= 的最大值及此时n 的值.21．（本小题满分12分）已知实数集R 上的函数,)(23d cx bx ax x f +++=其中a 、b 、c 、d 是实数.（Ⅰ）若函数)(x f 在区间),3()1,(+∞--∞和上都是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，并且18)0(,7)0(-='-=f f ，求函数)(x f 的表达式；（Ⅱ）若a 、b 、c 满足,032<-ac b 求证：函数)(x f 是单调函数.22．（本小题满分14分）在△ABC 23||21||==BA AB ，又E 点在BC 边上，且满足EC BE 23=，以A 、B 为焦点的双曲线经过C 、E 两点.（Ⅰ）求此双曲线的方程；（Ⅱ）设P 是此双曲线上任意一点，过A 点作∠APB 平分线的垂线，垂足为M ，求M 点的轨迹方程.数学参考答案及评分标准一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6.B 7.D 8.A 9.A 10.B 11.D 12.A 二、填空题 13．98 14．6315．)2,2(- 16．①②③④ 三、解答题：17．（Ⅰ）ξ可能取的值为0、1、2. p （ξ=k ）=)3,2,1(37352=-k C C C k k ，∴ξ的分布列为…………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）ξ的数学期望为767127170=⨯+⨯+⨯=ξE ……8分（Ⅲ）由（Ⅰ）“所选3人中男生人数ξ≤1”的概率为：767472)1()0()1(=+==+==≤ξξξp p p …………12分 18．解：（Ⅰ）∵四边形BCB 1C 1是矩形， ∴BC ⊥BB 1，又∵BC ⊥AB ， ∴BC ⊥平面A 1ABB 1，∴平面CA 1B ⊥平面AA 1BB 1， …………4分 （Ⅱ）过A 1作A 1D ⊥BB 1于D ，连接DC ，∵BC ⊥平面A 1ABB 1，∴BC ⊥A 1D ，∴A 1D ⊥平面C 1B 1BC ， ∠A 1CD 为直线A 1C 与平面C 1B 1BC 所成的角， …………6分∴.133921332tan 11===∠CD D A CD A …………8分 （Ⅲ）由棱柱定义知B 1C 1//BC ，∴B 1C 1//平面A 1BC ，∴C 1到平面A 1BC 的距离即为B 1到平面A 1BC 的距离， ∵四边形A 1ABB 1是菱形，连AB 1交A 1B 于O ，∴B 1O ⊥A 1B ， ∵平面CA 1B ⊥平面A 1ABB 1， ∴B 1O ⊥平面A 1BC ，∴B 1O 即为C 1到平面A 1BC 的距离. …………10分 又已知AB=4，∠A 1AB=60°，∴在菱形A 1ABB 1中， B 1O=32，∴C 1到平面A 1BC 的距离为32. …………12分19．解：（Ⅰ）由已知BC A B C sin sin sin 2cos cos -=，整理得，,cos sin 2sin cos cos sin B A C B C B =+ 即B A C B cos sin 2)sin(=+……2分 ∵A+B+C=180°，∴A C B sin )sin(=+，∴sinA=2sinAcosB ，又∵︒=∴=∴≠60,21cos ,0sin B B A ， ……4分 ∵,360sin 32sin 2,3=︒==∴=B R b R ∴B=60°， b=3 ……………6分 （Ⅱ）由余弦定理，得 ︒-+=-+=60cos 29,cos 222222ac c a B ac c a b 即……8分 ∴)"",(,2922==≥+=+取时当c a ac c a ac ，即a c ≤9，（当a =c=3时，取“=”）， ………………10分 ∴43960sin 921sin 21=︒⨯⨯≤=∆B ac S ABC ， △ABC 的面积的最大值为.439…………12分 20．解：设}{n b 的公比为q ，由已知|q|<1，且q ≠0∴4,16)1(1)1(1lim lim 2211==-=-=--=∞→∞→b q q b q b q q b T n n n n ，4q 2－4q+1=0， ………………2分∴.2)21(8,8,21411n n n b b q --=⋅=∴== …………4分设}{n a 的公差为d ，∵,1225+=T S ∴5+10d=2（8+4）+1，d=2， ∴a n =1+2(n －1)=2n －1. ………………6分（Ⅱ）∵n n n n n g b b b M b --+++=+++=∴=4232142lg 2lg 21lg lg lg ,2 ,2lg )]4()23[(n -+++= ……………………8分当4,04≤≥-n n 时，即n=3或n=4时， …………10分.2lg 62lg )123()(max =++=n M ………………12分21．解：（Ⅰ）∵,7)0(-=f ∴d=－7,18)0(,23)(2-='++='f c bx ax x f ∴c=－18， …………2分∴,1823)(2-+='bx ax x f ∵函数)(x f 在区间),3()1,(+∞--∞和上都是增函数， 在区间（－1，3）上是减函数， ∴－1和3必是0)(='x f 的两个根， ………4分 ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=--62:,01862701823b a b a b a 解得 ∴71862)(23---=x x x x f . ……………6分 （Ⅱ）,23)(2c bx ax x f ++='由条件,0,0,032≠≠<-c a ac b 可知)(x f '为二次三项式，并且0)3(4)3(4)2(22<-=-=∆ac b ac b ……10分 ∴当a >0时，)(x f '>0恒成立，此时函数)(x f 是单调增函数，当a <0时，)(x f '<0恒成立，此时函数)(x f 是单调减函数，∴对任意给定的非零实数a ，函数)(x f 总是单调函数. …………12分22．解：以线段AB 的中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，∴A （－1，0），B （1，0） ………………2分作CD ⊥AB 于D ， 21||,21cos ||,21||==∴=A AB 即， 23||,23||=∴=BA ， …………4分 设双曲线的方程为),(),,21(),0,0(1112222y x E h C b a by a x ->>=-， …………6分 又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∴=5252,2321hx x EC BE ， ………………8分 又E 、C 两点在双曲线上，∴76,71:,112542541412222222222=∴=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=-b a b a b h ab h a解得 ∴双曲线方程为：,167722=-y x …………10分 （Ⅱ）设AM 的延长线交PB 或其延长线于N 点，则△PAN 是等腰三角形，|PA|=|PN|，且M 是AN 的点， ∴a PA PB PN PB NB OM =-=-==||||||21||||||21||21||，…………13分 ∴M 点的轨迹是以O 为圆心，以a 为半径的圆，∴方程为.7122=+y x …………14分。
辽宁省重点高中协作校2018届高三三模数学(理)试卷(附答案)
A．62
B．59
C.53
D．50
9.已知三棱锥 P ABC 中， AB 平面 APC , AB 4 2, PA PC 2 ， AC 2 ，
则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为( )
A． 28
B． 36
C. 48
D． 72
10.某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为 1，则该几何体的体积为( )
8
4
65
.
| n || BD | 13 20 65
20.解：因为抛物线 C2 : y2 8x 的焦点为 2, 0 ，所以 8 b2 4 ，故 b 2 ，
所以椭圆 C : x2 y2 1 84
(1)设 M
x1,
y1
,
N
x2
,
y2
，则
x12 8 x22
(2)解：因为 c 3, a bc ，
所以
a
3b,
cos
C
10b2 6b2
9
.
又
cos C
1 6
10b2 9
，所以
6b2
1 6
，解得 b
1，
所以 a c 3, b 1 ，
所以 AC 边上的高为
9 (1)2
35
.
22
18.解：(1)由题意可知： P ( 3)3 1 27 . 4 4 256
Ak
(k
1,
2, 3,
4)
.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为
3 4
,摔倒的概率
均为 1 .假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行,现在用 X 表示该运动员在滑行 4
辽宁省2018届高三3月高考模拟考试数学(理)试题+Word版含答案
P E D C B
A
19． （本小题满分 12 分） 也称为可入肺颗 PM 2.5 是指大气中空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物， 粒物．我国 PM 2.5 标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即 PM 2.5 日均值在 35 微克/立 方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米～75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微 克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市 市区 2017 年上半年每天的 PM 2.5 监测数据中随机抽 取 18 天的数据作为样本， 将监测值绘制成茎叶图如下 图所示（十位为茎，个位为叶） ． （Ⅰ） 在这 18 个数据中随机抽取 3 个数据， 求其 中恰有 2 个数据为空气质量达到一级的概率； （Ⅱ）在这 18 个数据中随机抽取 3 个数据，用 表示 其中不 超标数据的个数，求 的分布列及数学期望； ． （Ⅲ）以这 18 天的 PM 2.5 日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按 360 天计算） 中约有多少天的空气质量为二级．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10．在三棱锥 D ABC 中，已知 AD 平面ABC ，且 ABC为正三角形， AD AB 则三棱锥 D ABC 的外接球的表面积为 A． 10 B． 9 C． 8 D． 7
3，
11．已知 F1 ， F2 分别是双曲线
x2 y2 1 ( a 0 ， b 0) 的左、右焦点，以线段 F1F2 为斜 a 2 b2
f ( p 1) f (q 1) 1 恒成立，则实数 a 的取值范围是 pq
B．[15， ) C． （ ，6） （非选择题 共 90 分） D． （ ，6 ]
2018年辽宁省实验中学高考数学三模试卷(理科)(解析版)
【解答】
Ⅰ 已知 ， （ ），
函数
，
由于直线 是函数 图象的一条对称轴．
所以 ，
所以 ， ，
所以 ．
由于 ，
所以：当 时，
所以 ．
令： ，
解得： ，
所以函数的单调递增区间为 ，
Ⅱ 由于 ，
所以 ，
解得 ，
由于 ，
则 ．
在 中，由余弦定理： ，
利用数列的递推关系式求出通项公式，化简新数列的通项公式，然后求解数列的和即可．
【解答】
数列 满足 ， ，
可得： ，
所以 是等差数列，首项为： ，公差为： ，
所以 ，
．令 ，…①，
，…②，
①-②可得： ．
．
16.
【答案】
【考点】
抽象函数及其应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意 ，可知函数 的图象关于直线 对称，由函数 在 上为增函数，知该函数在 上是减函数，
A. B. C. D.
4.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A. B. C. D.
5.已知 ，则 ＝（）
A. B. C. D.
6.非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 夹角的大小为（）
A. B. C. D.
7.如图是某几何体的视图，则该几何， 满足 ， ，则函数 存在极值的概率为（）
【解答】
解：取 中点 ， 中点 ，连结 ， ， ， ， ， ，
∵棱长为 的正方体 中， 为棱 中点，
∴ ， ，
又 ， ，
， 平面 ， 、 平面 ，
∴过点 ，且与平面 平行的正方体的截面为四边形 ，
2018年辽宁省沈阳市高三教学质量检测理数试题Word版含答案
2018年辽宁省沈阳市高三教学质量检测理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合(){}03<-=x x x A ，{}32101，，，，-=B ，则=B A （ ） A ．{}1- B ．{}21， C ．{}30， D ．{}3211，，，- 2.已知i 是虚数单位，复数i z i 21-=⋅，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知平面向量()3,4a =，1(,)2b x =，若→→b a //，则实数x 为（ ）A ． 32-B ．32C ．83D ．83- 4.命题”：“21)21(,N ≤∈∀+x x P 的否定为（ ）A ．+∈∀N x ，2121>x ）（B ．+∉∀N x ，2121>x ）（C.+∉∃N x ，2121>x ）（ D ．+∈∃N x ，2121>x ）（5.已知直线)3(:+=x k y l 和圆1)1(:22=-+y x C ，若直线l 与圆C 相切，则=k （ ） A ．0 B ．3 C. 33或0 D ．3或06.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（ ）A ．10636+B ． 10336+ C. 54 D ．277.将D C B A 、、、这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是（ ） A ．21 B ．41 C. 61 D ．818.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为)mod (m n N ≡，例如mod3)211（=.现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于 （ ）A ．21B ．22 C.23 D ．249.将函数0)ω)(4πsin(ω2)(>+=x x f 的图象向右平移ω4π个单位，得到函数)(x g y =的图象，若)(x g y =在]3π6π[，-上为增函数，则ω的最大值为（ ）A ．3B ．2 C. 23 D ．4510.已知C B A S 、、、是球O 表面上的不同点，⊥SA 平面ABC ，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，若球O 的表面积为π4，则=SA （ ）A ．22B ．1 C. 2D ．2311.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21F F 、，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于21F F 、的对称点分别为B A 、，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若12=-BN AN ，则=a（ ）A ．3B ．4 C.5 D ．612.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=1,)1(log 1,222)(2x x x x f x ，则函数()()[]()232--=x f x f f x F 的零点个数是（ ）A ．4B ．5 C. 6 D ．7第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题纸上）13. 二项式6)21xx +（的展开式中的常数项为 ． 14. 若实数y x 、满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥03010y x y x x ，则目标函数y x z -=3的最大值为 ．15. 已知ABC ∆的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，面积为S ，且满足22)(4c b a S --=，8=+c b ，则S 的最大值为 ．16. 设函数2)2()(x xg x f +=，曲线)(x g y =在点))1(1g ，（处的切线方程为019=-+y x ，则曲线)(x f y =在点))2(2f ，（处的切线方程为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11=a ，且421a a a 、、成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足n an n a b 2+=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查，得到如下22⨯列联表：（单位：人）.（Ⅰ）据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？（Ⅱ）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布及数学期望.附：参考数据：（参考公式：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧面⊥C C AA 11底面ABC ，211=====BC AB AC C A AA ，且点O 为AC 中点.（Ⅰ）证明：⊥O A 1平面ABC ； （Ⅱ）求二面角11C B A A --的大小.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左焦点为)0,6(1-F ，22+e .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，设),(00y x R 是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆4)()(2020=-+-y y x x 引两条切线，分别交椭圆于点Q P 、，若直线OQ OP 、的斜率存在，并记为21k k 、，求证：21k k 为定值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问22OQ OP +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.已知函数21)(ax x e x f x ---=. （Ⅰ）当0=a 时，求证：0)(≥x f ；（Ⅱ）当0≥x 时，若不等式()0≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若0>x ，证明2)1n(1)1x x e x >+-（.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线x y l =:，圆⎩⎨⎧+-=+-=ϕϕsin 2y cos 1:x C ，(ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线l 与圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 的交点为N M 、，求CMN ∆的面积.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数x a x x f 21)(--=，)0>a （. （Ⅰ）若3=a ，解关于x 的不等式0)(<x f ；（Ⅱ）若对于任意的实数x ，不等式2)()(2aa a x f x f +<+-恒成立，求实数a 的取值范围.2018年辽宁省沈阳市高三教学质量检测理数试题参考答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1-5: BCCDD 6-10: ABCCB 11、12：AA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.2514. 1 15. 8 16.062=++y x 三、解答题17. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题设，4122a a a =， .................2分即d d 31)1(2+=+，解得01d d ==或 .................4分 又∵0≠d ，∴1d =，可以求得n a n =. .................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n n b 2+=123(12)(22)(32)(2)n n T n =++++++++2=(123222)nn ++++++++）（ .................8分222)1(1-++=+n n n . .................12分 （分别求和每步给2分） 18. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）635.65.12225302020303005030202030)33636(50222>==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯=χ .................2分 ∴有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关. .................4分 （Ⅱ）估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为202505p == .............6分 X 的可能取值为3,2,1,0，由题意，得)52,3(~B X)3,2,1,0(,)53()52()(33===-k C k X P k k k∴随机变量X 的分布列为.................10分 ∴随机变量X 的数学期望56=）（X E . .................12分 19.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）证明:因为C A AA 11=，且O 为AC 的中点，所以AC O A ⊥1， .................2分 又∵侧面11AAC C ⊥底面ABC ,交线为AC ,且⊂O A1平面C C AA 11， ∴⊥O A 1平面ABC . .................4分（Ⅱ）如图,以O 为原点,1,,OA OC OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 由已知可得(0,0,0)O ，(0,1,0)A -，1A ，1(0,C ，B∴(3,1,0)AB =，1(3,0,A B =，11(0,2,0)AC = .................6分 设平面1AA B 的一个法向量为),,(111z y xm =，则有111110000m AB y m A B ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⋅==⎪⎩令11=x ，得1y =，11z =∴)1,3,1(-=m . .................8分 设平面11BC A 的法向量为),,(222z y x =，则有21122120000y m AC m A B ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨=⋅=⎪⎩令12=x ，则20y =，21z =，∴)1,0,1(=n .................10分 ∴510102,cos =>=<n m ∴所求二面角的大小为)510arccos(-. .................12分20. (本小题满分12分) 解:（Ⅰ）由题意得，22,6==e c ，解得32=a ， .................1分 ∴椭圆方程为161222=+y x . (3)分（Ⅱ）由已知，直线OP ：1y k x =，OQ ：2y k x =，且与圆R 相切， ∴2121001=+-k y x k ，化简得()0424201002120=-+--y k y x k x同理()0424202002220=-+--y k y x k x ， .................5分 ∴12,k k 是方程22000240k x y k y -+-=的两个不相等的实数根∴2040x -≠，0∆>，44202021--=x y k k .................7分∵点00(,)R x y 在椭圆C 上，所以16122020=+y x ，即2020216x y -= ∴21421220221-=--=x x k k ． .................8分 （Ⅲ）22OP OQ +是定值18．设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=1612,221y x x k y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=212121212121122112k k y k x ∴()2121212121112k k y x ++=+ 同理，得()2222222221112k k y x ++=+． .................10分 由1212k k =-，∴2222221122OP OQ x y x y +=+++()()222221212111221112k k k k +++++= ()1821361821212111221112212121212121=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=k k k k k k综上：1822=+OQ OP ． .................12分 21. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）0a =时，'()1,()1xxf x e x f x e =--=-. .................1分 当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >. .................2分 故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增，00)(min ==）（f x f ，∴()0f x ≥ .................3分 （Ⅱ）方法一：'()12xf x e ax =--.由（Ⅰ）知1x e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立. 故'()2(12)f x x ax a x ≥-=- 从而当120a -≥，即12a ≤时，在区间[0,)+∞上，()0f x '≥，()f x 单调递增，()(0)f x f ≥，即()0f x ≥，符合题意. .................5分 又由1(0)xe x x >+≠，可得1(0)xe x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)x x x x xf x e a e e e e a --<-+-=--在区间(0,ln 2)a 上，'()0f x <，()f x 单调递减，()(0)f x f <，即()0f x <，不合题意. .................7分 综上得实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. .................8分方法二：()12x f x e ax '=--，令ax e x h x 21)(--=，则a e x h x2)(-='.1）当21a ≤时，在[)+∞,0上，()0h x '≥，)(x h 递增，)0()(h x h ≥，即0)0()(='≥'f x f)(x f ∴在[)+∞,0为增函数，0)0()(=≥∴f x f ，21≤∴a 时满足条件； .................5分 2）当12>a 时，令0)(='x h ，解得a x 2ln =，在当[)0,ln 2a 上，,0)(<'x h )(x h 单调递减，()a x 2ln ,0∈∴时，有0)0()(=<h x h ，即0)0()(='<'f x f ，∴)(x f 在区间)2ln ,0(a 为减函数，∴0)0()(=<f x f ，不合题意. .................7分综上得实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,. .................8分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当21=a 时，0>x ，212x x e x ++>，即212x x e x+>-欲证不等式2)1ln()1(x x e x>+-，只需证22)1ln(+>+x xx ..................10分 设22)1ln()(+-+=x x x x F ，则222)2)(1()2(411)(++=+-+=x x x x x x F ’0>x 时，0)('>x F 恒成立，且0)0(=F ，0)(>∴x F 恒成立.所以原不等式得证. .................12分 22. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为1)2()1(22=+++y x ， .................1分cos ,sin x y ρθρθ==，∴直线l 的极坐标方程为4πθ=（∈ρR ）， .................3分圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. .................5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ+++=，得04232=++ρρ解得1ρ=-，2ρ=，|MN |=1|ρ－2|ρ， .................8分因为圆C 的半径为1，则CMN ∆的面积o 11sin 452⨯=12. .................10分（用直角坐标求解酌情给分）23. (本小题满分10分)解：（Ⅰ）当3=a 时，x x x f 21|3|)(--=，即021|3|<--x x ， .................1分 原不等式等价于x x x 2132<-<-， .................3分 解得62<<x ，不等式的解集为}62|{<<x x . .................5分 （Ⅱ）2||||)()(ax a x a x f x f +--=+-，原问题等价于2||||a x a x <--，.................6分 由三角绝对值不等式的性质，得|||)(|||||a x a x x a x =--≤-- .. (8)分 原问题等价于2||a a <，又0>a ，2a a <∴，解得1>a . .................10分。
2018年沈阳市高三教学质量监测(一)理科数学(含答案)(2018.01)
第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸上.
13.已知随机变量 N (1, 2 ) ，若 P ( 3) 0.2 ，则 P ( 1) ．
14.在推导等差数列前 n 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得
18.如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD ，底面 ABCD 是正方形，且
PA PD ， APD 90 .
（Ⅰ）证明：平面 PAB 平面 PCD ； （Ⅱ）求二面角 A PB C 的余弦值.
第 3 页 共 12 页
19.高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪 里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了 55 人，从美国某城市的高中生中
sin 2 1 sin 2 2 sin 2 89
．
15.已知正三角形 AOB （ O 为坐标原点）的顶点 A、B 在抛物线 y 2 3x 上，则 AOB 的边
第 2 页 共 12 页
长是
．
16.已知 ABC 是直角边为 2 的等腰直角三角形，且 A 为直角顶点， P 为平面 ABC 内一点，
3 3 4 1 C. 2
A．
3 3 2 1 D． 4
B．
6.如图所示，络纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某 简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
第 1 页 共 12 页
A．4 3Fra bibliotekB．8 3
C.
16 3
D．
32 3
2 x 3 y 3 0 1 7.设 x、y 满足约束条件 2 x 3 y 3 0 ，则 z x y 的最大值是（ ） 2 y 3 0
2018年辽宁省沈阳市高三数学模拟试卷(理科)Word版含解析
2018年辽宁省沈阳市高三模拟试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|2x＞1}，B={x|0＜x＜1}，则∁AB=（）A．（0，1）B．（0，1] C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角（）A．B．C．D．4．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，且a11=S13=13，则a9=（）A．9 B．8 C．7 D．65．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（）A．x2+y2﹣2x﹣3=0 B．x2+y2+4x=0 C．x2+y2+2x﹣3=0 D．x2+y2﹣4x=06．在如图的程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（）A．B．C．D．7．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A．B．2 C．3 D．8．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm9．我们知道：在平面内，点（x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离为（ ）A ．3B ．5C ．D ．10．已知，则a 9等于（ ）A ．﹣10B ．10C ．﹣20D ．2011．已知点A 是抛物线M ：y 2=2px （p ＞0）与圆在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离等于a ．若抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，则p 为（ ）A ．B ．2C ．D ．412．函数y=kx+2与函数的图象至少有两个公共点，关于k 不等式（k ﹣2）a ﹣k ＞0有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．a ＜﹣1D ．a ≥1二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设实数x ，y 满足，则2y ﹣x 的最大值为 ．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且=，a 2=5，则S 6= ．15．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是．16．已知四面体ABCD中，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，，AC=3，AD=4，则四面体ABCD的体积V= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知=（sinx，cosx），=（，﹣1）．（Ⅰ）若∥，求sin2x﹣6cos2x的值；（Ⅱ）若f（x）=•，求函数f（2x）的单调减区间．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．19．传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征．教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核．某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A、B、C、D、E五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率．（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A、B的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A的人数X的分布列与数学期望．20．已知椭圆上的动点P与其顶点，不重合．（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN的面积．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当x≥1时，求证：不等式e x﹣1﹣a（x2﹣x）≥xf（x）+1．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy中，直线l1的方程为y=x，曲线C的参数方程为（φ是参数，0≤φ≤π）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别写出直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线=0，直线l1与曲线C的交点为A，直线l1与l2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，（1）若关于x的不等式f（x）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a的取值范围；（2）若关于t的一元二次方程有实根，求实数m的取值范围．2018年辽宁省沈阳市高三数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.B=（）1．已知集合A={x|2x＞1}，B={x|0＜x＜1}，则∁AA．（0，1）B．（0，1] C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】补集及其运算．【分析】分别求出关于A、B的不等式，求出B的补集即可．【解答】解：A={x|2x＞1}={x|x＞0}，B={x|0＜x＜1}，B={x|x≥1}，∁A故选：D．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数==1+i，∴复数对应的点的坐标是（1，1）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．3．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据平面向量的数量积公式与夹角公式，求出cos θ与θ的值．【解答】解：设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]由•（+）=3可得•+=3，代入数据可得2×1×cos θ+22=3，解得cos θ=﹣，∴θ=．故选：C ．4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 11=S 13=13，则a 9=（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 11=S 13=13，∴a 1+10d=13a 1+d=13，解得a 1=﹣17，d=3． 则a 9=﹣17+8×3=7． 故选：C ．5．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．x 2+y 2﹣2x ﹣3=0B ．x 2+y 2+4x=0C ．x 2+y 2+2x ﹣3=0D ．x 2+y 2﹣4x=0 【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆心在x 轴的正半轴上设出圆心的坐标（a ，0）a 大于0，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线3x+4y+4=0的距离，由直线与圆相切得到距离与半径相等列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到a 的值．得到圆心的坐标，然后根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（a ，0）（a ＞0），由题意知圆心到直线3x+4y+4=0的距离d===r=2，解得a=2，所以圆心坐标为（2，0）则圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=4，化简得x2+y2﹣4x=0故选D6．在如图的程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据程序框图转化为几何概型进行计算即可．【解答】解：程序框图对应的区域的面积为1，则“恭喜中奖！满足条件为y≤，平面区域的面积S=dx==，则能输出“恭喜中奖！”的概率为，故选：D．7．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为（ ）A ．B ．2C ．3D ．【考点】类比推理．【分析】根据正弦定理：由a 2sinC=4sinA 得ac=4，则由（a+c ）2=12+b 2得a 2+c 2﹣b 2=4，利用公式可得结论．【解答】解：根据正弦定理：由a 2sinC=4sinA 得ac=4，则由（a+c ）2=12+b 2得a 2+c 2﹣b 2=4，则．故选A ．8．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，则10﹣r+10﹣r=10cm ，∴r=10﹣5≈3cm ．故选：A ．9．我们知道：在平面内，点（x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离为（ ）A ．3B ．5C ．D ．【考点】类比推理．【分析】类比点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，d==5【解答】解：类比点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P （x 0，y 0，z 0）到直线Ax+By+Cz+D=0的距离d=点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离d==5．故选B ．10．已知，则a 9等于（ ）A ．﹣10B ．10C ．﹣20D ．20【考点】二项式定理的应用．【分析】（1+x ）10=[2﹣（1﹣x ）]10=210﹣+…﹣+（1﹣x ）10，即可得出．【解答】解：（1+x ）10=[2﹣（1﹣x ）]10=210﹣+…﹣+（1﹣x ）10，可得a 9=﹣2=﹣20．故选：C ．11．已知点A 是抛物线M ：y 2=2px （p ＞0）与圆在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离等于a ．若抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，则p 为（ ）A ．B ．2C ．D ．4【考点】圆与圆锥曲线的综合；圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得P．【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，2），半径为a，|AC|+|AF|=2a，由抛物线M上一动点M到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，点M在A处取最小值，可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点由D（0，2），F（，0），可得A（，），代入抛物线的方程可得2=2p×，解得p=2．故选：B12．函数y=kx+2与函数的图象至少有两个公共点，关于k不等式（k﹣2）a﹣k＞0有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．a＜﹣1 D．a≥1【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数的图象得出k的范围，分离参数得出a＜，求出右侧函数的最大值即可得出a的范围．【解答】解：作出y=kx+2与y=的函数图象，如图所示：联立方程组，得kx2+2x﹣1=0（x＞0）或﹣kx2﹣2x﹣1=0（x＜0），当x＞0，令△=4+4k=0得k=﹣1，当x＜0时，令△=4﹣4k=0得k=1．∴k=±1时，直线y=kx+2与y=的函数图象相切，∵函数y=kx+2与函数的图象至少有两个公共点，∴﹣1≤k≤1．∵（k﹣2）a﹣k＞0有解，∴a＜有解，设f（k）==1+，∴f（k）在[﹣1，1]上是减函数，（k）=f（﹣1）=．∴fmax∴a．故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设实数x，y满足，则2y﹣x的最大值为 5 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至A时纵截距最大，z最大．【解答】解：画出，的可行域如图：将z=2y ﹣x 变形为y=x+z 作直线y=x 将其平移至A 时，直线的纵截距最大，z 最大，由可得A （﹣1，2），z 的最大值为：5． 故答案为：5．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且=，a 2=5，则S 6= 722 ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】=，可得a n+1+1=3（a n +1），利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵=，∴a n+1+1=3（a n +1），∴5+1=3（a 1+1），解得a 1=1．∴数列{a n +1}是等比数列，公比为3，首项为2． ∴a n +1=2×3n ﹣1，解得a n =2×3n ﹣1﹣1，则S 6=﹣6=722．故答案为：722．15．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是跑步．【考点】进行简单的合情推理．【分析】由（4）可知，乙参加了铅球比赛，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论．【解答】解：由（4）可知，乙参加了铅球比赛，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛．故答案为跑步．16．已知四面体ABCD中，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，，AC=3，AD=4，则四面体ABCD的体积V= ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作∠CAD的平分线AE，交CD于E，作BO⊥平面ACD，交AE于O，作BM⊥AD，交AD 于M，作BF⊥AC，交AC于F，连结OM，OF，由三垂线定理得OM⊥AD，OF⊥AC，由此能求出四面体ABCD的体积．【解答】解：作∠CAD的平分线AE，交CD于E，作BO⊥平面ACD，交AE于O，作BM⊥AD，交AD于M，作BF⊥AC，交AC于F，连结OM，OF，∵四面体ABCD中，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，，AC=3，AD=4，∴CD=5，由三垂线定理得OM⊥AD，OF⊥AC，∴AM=AF==，BM=BF==，OM=OF==，BO==，∴四面体ABCD的体积：V===．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知=（sinx，cosx），=（，﹣1）．（Ⅰ）若∥，求sin2x﹣6cos2x的值；（Ⅱ）若f（x）=•，求函数f（2x）的单调减区间．【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）根据向量的平行和角的三角函数的关系即可求出答案，（Ⅱ）先求出f（x），再得到f（2x）的解析式，根据正弦函数的性质即可得到函数的单调减区间．【解答】解：（Ⅰ）∵=（sinx，cosx），=（，﹣1），∥，∴﹣sinx=cosx，∴tanx=﹣，∴sin2x﹣6cos2x====﹣，（Ⅱ）f（x）=•=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（2x）=2sin（2x﹣），∴+2kπ≤2x﹣≤π+2kπ，k∈Z，∴+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．∴函数f（2x）的单调减区间[+kπ， +kπ]，k∈Z．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z 轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos ＜，＞===， 又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．19．传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征．教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核．某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率．（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A、B的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A的人数X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为，即可得出该校高二年级学生获得成绩为B的人数．（2）由于这80名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）．（3）成绩为A、B的同学分别有9人，12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人，成绩为B的有4人．由题意可得：P（X=k）=，k=0，1，2，3．【解答】解：（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为．…则该校高二年级学生获得成绩为B的人数约有1000×=150．…（2）由于这80名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）=59．…且59＜60，因此该校高二年级此阶段教学未达标…（3）成绩为A、B的同学分别有9人，12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人，成绩为B的有4人…则由题意可得：P（X=k）=，k=0，1，2，3．∴P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=.10分）所以EX=0+1×+2×+3×=.10分）20．已知椭圆上的动点P 与其顶点，不重合．（Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当OM ∥PA ，ON ∥PB 时，求△OMN 的面积． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设点设P （x 0，y 0），从而可得直线PA 与PB 的斜率乘积为（Ⅱ）设方程为y=kx+m ，由两点M ，N 满足OM ∥PA ，ON ∥PB 及（Ⅰ）得直线OM ，ON 的斜率乘积为﹣，可得到m 、k 的关系，再用弦长公式及距离公式，求出△OMN 的底、高，表示：△OMN 的面积即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明：设P （x 0，y 0），则．所以直线PA 与PB 的斜率乘积为．…（Ⅱ）依题直线OM ，ON 的斜率乘积为．①当直线MN 的斜率不存在时，直线OM ，ON 的斜率为，设直线OM 的方程是，由得，y=±1．取，则．所以△OMN 的面积为．②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程是y=kx+m ，由得（3k 2+2）x 2+6kmx+3m 2﹣6=0．因为M ，N 在椭圆C 上，所以△=36k 2m 2﹣4（3k 2+2）（3m 2﹣6）＞0，解得3k 2﹣m 2+2＞0．设M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），则，．=．设点O到直线MN的距离为d，则．所以△OMN的面积为…①．因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以．所以=．由，得3k2+2=2m2…②由①②，得．综上所述，．…21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当x≥1时，求证：不等式e x﹣1﹣a（x2﹣x）≥xf（x）+1．【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出答案（Ⅱ）f（x）﹣=f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，F′（x）=，由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）原不等式等价于e x﹣1≥xlnx+1，设φ（x）=e x﹣1﹣xlnx﹣1，x≥1，利用导数求出函数的最小值大于等于0即可【解答】解：（Ⅰ）∵x＞0，f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a，f（1）=0，∴切点是（1，0），∴切线方程为y=（1﹣a）（x﹣1），（Ⅱ）f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，∴F′（x）=，①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）上递增，g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．②若0＜a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，∴g′（x）在（1，）上递增，从而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，从而f（x）﹣不符合题意．③若a≥，F′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，∴g′（x）在[1，+∞）上递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，从而g（x）在[1，+∞）上递减，∴g（x）≤g（1）=0，f（x）﹣≤0，综上所述，a的取值范围是[，+∞）．（Ⅲ）不等式e x﹣1﹣a（x2﹣x）≥xf（x）+1等价于e x﹣1﹣a（x2﹣x）≥xlnx﹣a（x2﹣x）+1，等价于e x﹣1≥xlnx+1，设φ（x）=e x﹣1﹣xlnx﹣1，x≥1，∴φ′（x）=e x﹣1﹣（1+lnx），x≥1，再设m（x）=e x﹣1﹣（1+lnx），∴m′（x）=e x﹣1﹣≥0恒成立，∴m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴m（x）min=m（1）=1﹣1=0，∴φ′（x）≥0，在[1，+∞）上恒成立，∴φ（x）在[1，+∞）上单调递增，∴φ（x）min=φ（1）=1﹣0﹣1=0，故e x﹣1≥xlnx+1，故当x≥1时，不等式e x﹣1﹣a（x2﹣x）≥xf（x）+1成立请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy中，直线l1的方程为y=x，曲线C的参数方程为（φ是参数，0≤φ≤π）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别写出直线l1与曲线C的极坐标方程；（2）若直线=0，直线l1与曲线C的交点为A，直线l1与l2的交点为B，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据tanθ=可得直线l1极坐标．利用x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得曲线C 的极坐标方程．（2）由题意，设A（ρ1，θ1），联立方程组求解，同理，设利用直线的极坐标的几何意义求解即可．【解答】解：（1）直线l1的方程为y=x，可得：tanθ==，∴直线l1的极坐标方程为．曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=3，又∵x=ρcos θ，y=ρsin θ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ﹣2ρcos θ﹣2=0（0≤θ≤π）（2）由题意，设A （ρ1，θ1），则有，解得：设B （ρ2，θ2），则有，解得： 故得|AB|=|ρ1﹣ρ2|=5．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|，（1）若关于x 的不等式f （x ）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若关于t 的一元二次方程有实根，求实数m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用绝对值的几何意义求出|2x+1|+|2x ﹣3|的最小值，得到a 的不等式求解即可．（2）通过△≥0，得到|2m+1|+|2m ﹣3|≤8，去掉绝对值求解即可．【解答】解：（1）因为f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x ﹣3）|=4，所以|1﹣3a|＜4，即，所以实数a 的取值范围为．…（2）△=32﹣4（|2m+1|+|2m ﹣3|）≥0，即|2m+1|+|2m ﹣3|≤8，所以不等式等价于或或所以，或，或，所以实数m 的取值范围是． …。
2018年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷(理科)
2018年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．(★)若集合A={x∈N|x 2-3x-4＜0}，集合B={x∈N||x|≤2}，则A∩B元素的个数为（）A．1B．2C．3D．42．(★)已知i是虚数单位，复数z= ，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．(★)已知a，b，c表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列命题：①若a∥b，b∥α，则a∥α；②若a⊥b，b⊥α，c⊥α，则a⊥c；③若a⊥b，b⊥α，则a∥α；④若a∥b，b∥α，b⊂β，a∩β=c，则a∥c．其中错误命题的序号是（）A．①③B．②④C．③④D．①②4．(★★★)若执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为（）A．55B．78C．-66D．1765．(★★)有两个硬币各扔一次，假定扔正面和反面是等可能的，已知有一个是正面，则另外一个是背面的概率是（）A．B．C．D．6．(★★)已知非零向量满足| |=| |=2| |，则与的夹角为（）A．B．C．D．7．(★★★)设实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．7B．9C．12D．108．(★★)已知一个几何体的三视图如图所示，主视图是一个直角三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，左视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则此几何体外接球的表面积（）A．10πB．20πC．36πD．32π9．(★★)已知函数f（x）=sin（2x+ ），若存在x 1，x 2∈[0，]，且x 1＜x 2，使得f（x 1）=f（x 2），则f（x 1+x 2）=（）A．B．C．D．10．(★★★)已知双曲线（a＞0，b＞0）上一点P，满足=0，且双曲线的一条渐近线垂直于直线OP，则双曲线的离心率是（）A．2B．C．D．11．(★★★)现有语文、数学、外语、物理、化学、生物各一本，均分给3个人，其中数学和物理不分给同一个人，则不同的分配方法有（）A．36B．54C．72D．8412．(★★)已知定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=1+e．若函数g（x）=f（x）-f′（x）-2的图象与x轴交于点（x 0，0），且x 0∈（a，a+1）（a∈N），则a的值为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。