考察典型非线性系统通向混沌的途径
非线性动力学系统的混沌现象研究
非线性动力学系统的混沌现象研究在当代科学领域中，非线性动力学系统的混沌现象一直是比较热门的话题。
这个话题不仅影响了自然科学领域，也对社会科学领域有一定的影响。
本文将探讨非线性动力学系统的混沌现象研究，旨在深入了解这一重要科学问题。
非线性动力学系统是一类包括非线性微分方程、差分方程、递归方程等在内的系统。
这类系统具有多种复杂行为，其中混沌现象是最为突出的表现之一。
混沌是指系统表现出的随机、无规则的运动行为，具有高度的敏感性和极大的不确定性，它在科学、工程、生物学、社会科学等众多领域具有重要应用。
大约在20世纪60年代左右，混沌现象被科学家所发现和研究。
受到混沌这个词本身含义的影响，混沌似乎不是好事情，但是，非线性动力学系统的混沌现象却有着广泛的实际应用。
例如在工程控制中，混沌现象可以为自适应控制、噪声降低、各向异性滤波等提供有效手段。
在社会科学领域，混沌理论也被广泛应用于敌我互动、经济波动、政治变化等方面的研究。
混沌现象的研究不仅扩展了人类对自然、社会的认识，也在一定程度上对人类行为和社会发展提供了重要的理论支持。
非线性动力学系统的混沌现象与线性系统有所不同。
线性系统的稳定性只与系统的本征值有关，而非线性系统的本征值是不确定的，系统的稳定性因此也显得不稳定。
此外，非线性动力学系统还存在着吸引子、周期解等现象，在不同的初始条件下，系统表现出不同的稳定性和动力学特征。
由此引发了混沌现象的相关研究。
针对非线性动力学系统的混沌现象，科学家们提出了一些定量分析方法。
其中最为常见的方法是用分形维数和李雅普诺夫指数来描述混沌现象。
分形维数是描述复杂几何结构的量度，可以用来衡量混沌吸引子的几何质量。
李雅普诺夫指数则是描述混沌轨迹敏感性的指标，它可以反映系统状态随时间演变的速率。
除此之外，还有一些相应的图像处理和非线性数据分析方法，如小波分析、自回归模型和谱分析等，它们在非线性动力学系统的混沌现象研究中也发挥了重要作用。
非线性电路中的混沌现象实验报告doc
非线性电路中的混沌现象实验报告篇一：非线性电路混沌实验报告近代物理实验报告指导教师：得分：实验时间： XX 年 11 月 8 日，第十一周，周一，第 5-8 节实验者：班级材料0705学号 XX67025 姓名童凌炜同组者：班级材料0705学号 XX67007 姓名车宏龙实验地点：综合楼 404实验条件：室内温度℃，相对湿度 %，室内气压实验题目：非线性电路混沌实验仪器：（注明规格和型号） 1. 约结电子模拟器约结电子模拟器的主要电路包括:1.1, 一个压控震荡电路, 根据约瑟夫方程, 用以模拟理想的约结1.2, 一个加法电路器, 更具电路方程9-1-10, 用以模拟结电阻、结电容和理想的约结三者相并联的关系1.3， 100kHz正弦波振荡波作为参考信号2. 低频信号发生器用以输出正弦波信号，提供给约结作为交流信号 3. 数字示波器用以测量结电压、超流、混沌特性和参考信号等各个物理量的波形实验目的：1. 了解混沌的产生和特点2. 掌握吸引子。
倍周期和分岔等概念3. 观察非线性电路的混沌现象实验原理简述：混沌不是具有周期性和对称性的有序，也不是绝对的无序，而是可以用奇怪吸引子等来描述的复杂有序——混沌而呈现非周期性的有序。
混沌的最本质特征是对初始条件极为敏感。
1. 非线性线性和非线性，首先区别于对于函数y=f(x)与其自变量x的依赖关系。
除此之外，非线性关系还具有某些不同于线性关系的共性：1.1 线性关系是简单的比例关系，而非线性是对这种关系的偏移1.3 线性关系保持信号的频率成分不变，而非线性使得频率结构发生变化 1.4 非线性是引起行为突变的原因2. 倍周期，分岔，吸引子，混沌借用T.R.Malthas的人口和虫口理论，以说明非线性关系中的最基本概念。
虫口方程如下：xn?1???xn(1?xn)μ是与虫口增长率有关的控制参数，当1 1?，这个值就叫做周期或者不动点。
在通过迭代法解方程的过程中，最终会得到一个不随时间变化的固定值。
非线性电路中的混沌现象实验报告
非线性电路中的混沌五：数据处理：1.计算电感L在这个实验中使用了相位测量。
根据RLC 谐振定律，当输入激励频率时LCf π21=，RLC 串联电路达到谐振，L 和C 的电压反向，示波器显示一条45度斜线穿过第二象限和第四象限。
实测：f=32.8kHz ；实验仪器标记：C=1.095nF 所以：mH C f L 50.21)108.32(10095.114.34141239222=⨯⨯⨯⨯⨯==-π估计不确定性：估计 u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 但：32222106.7)()(4)(-⨯=+=CC u f f u L L u 这是mH L u 16.0)(=最后结果：mH L u L )2.05.21()(±=+2、有源非线性负电阻元件的测量数据采用一元线性回归法处理： (1) 原始数据：(2) 数据处理：根据RU I RR =流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：RR R R U U I I =-=11对应的1R I 值。
对于非线性负电阻R1，将实验测量的每个（I ，U ）实验点标记在坐标平面上，可以得到：从图中可以看出，两个实验点（ 0.0046336 ，-9.8）和（ 0.0013899 ，-1.8）是折线的拐点。
因此，我们采用线性回归的方法，分别在V U 8.912≤≤-、 、 和8V .1U 9.8-≤<-三个区间得到对应的 IU 曲线。
0V U 1.8≤<-使用 Excel 的 Linest 函数找到这三个段的线性回归方程：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+-≤≤= 0U 1.72- 0.00079U - -1.72U 9.78- 30.000651950.00041U - 9.78U 12-20.02453093-0.002032U I经计算，三段线性回归的相关系数非常接近1（r=0.99997），证明区间IV 内的线性符合较好。
应用相关绘图软件可以得到U<0范围内非线性负电阻的IU 曲线。
非线性电路混沌实验
经计算可以
得出，三段线性回归相关系数均非常接近 1（r 分别 0.99732,0.99979,0.99992），
2.非线性电路---蔡氏电路与非线性动力学 实验电路如图 1 所示,图 1 是非线性电路系统的一种简单而又经典的电路---
蔡氏电路，它只有一个非线性电阻 R，电感器 L 和电容器 C2 组成一个损耗可以 忽略的谐振回路，可调电阻 RV 以及电容器和 C1 串联将振荡器产生的正弦信号移 相输出。其中非线性电阻 R 是一个三段分线性元件，它的伏安特性曲线如图二， 它的电流随电压增高而减小，称之为非线性负阻元件，它是核心元件，是系统产 生混沌的必要条件。
一、引言 混沌实验研究起源于 1963 年美国气象学家洛伦茨（E.lorenz）研究天气预
报时用到的三个动力学方程，后来他在《确定论非周期流》一文中，给出了描述 大气湍流的洛伦茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效应”，从而揭开了对非线性科 学深入研究的序幕。混沌来自非线性，是非线性系统中存在的一种普遍现象。无 论是复杂系统，如气象系统、太阳系、还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆 因存在着内在随机性而出现类似无轨、但实际是非周期有序运动，即混沌现象。 迄今为止，最丰富的混沌现象是非线性震荡电路中观察到的，这是因为电路可以 精密元件控制，因此可以通过精确地改变实验条件得到丰富的实验结果，蔡氏电 路是华裔科学家蔡少棠设计的能产生混沌的最简单的电路，它是熟悉和理解非线 性现象的经典电路。 本实验的目的是学习有源非线性负阻元件的工作原理，借 助蔡氏电路掌握非线性动力学系统运动的一般规律性，了解混沌同步和控制的基 本概念。 二、实验原理 1.名词解释
第三章走向混沌的道路
第三章走向混沌的道路我们知道，一个动力学系统运动的充分发展是进入混沌状态。
进入混沌状态有哪些方式呢？这是非线性动力学研究中的一个重要问题。
本章将讨论通向混沌的倍周期分岔道路、阵发性混沌、同步与混沌、湍流道路、保守系统中的不规则运动、电子电路中的混沌以及控制混沌与同步混沌等内容。
第一节第一节由倍周期分岔走向混沌前面已经见到，在平方映射等的数学模型中，在液氦对流实验等的动力学体系中普遍存在着倍周期分岔现象，说明倍周期分岔是许多非线性动力学过程中的常见的现象，也是进入混沌的一种重要方式。
本节先以平方映射为例，说明一个由单峰映射描述的动力学系统可以通过倍周期分岔，以费根鲍姆常数的收敛速度从周期运动走向混沌，接着以杜芬方程为例说明一个物理系统也可从倍周期分岔进入混沌的道路。
1. 平方映射的倍周期分岔道路上一章对平方映射的计算表明，随着参数μ的增长，平方映射发生一系列的倍周期分岔。
然而倍周期分岔将在一临界点cμ=3.5699…时终止，从cμ开始的大部分区域，每次迭代得到的值是随机地出现的。
图3-1是μ值为3.7时的迭代情况。
由图可见每次迭代计算得到的n x值既不趋向于零或稳定值，也不是重复，而变为随机地出现了，因此迭代计算可以无止境的延续下去，偶然地某个迭代值会出现在先前得到过的某点附近但并没有准确相同，于是在继续迭代计算中又很快地分离开来了。
说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。
实际上上一章对平方映射的计算仅取了少数几个特殊的μ值，因此对平方映射通过倍周期分岔进入混沌还没有一个完整的印象，现在利用计算机编写的程序，可以由小到大逐个对μ值进行计算。
图3-2的上部就是平方映射通过倍周期μ开始计算的，平方映射的分岔现象分岔进入混沌的分岔图。
图3-2是从8.2=μ处开始的，从这里迭代由零值进入到单周期运动即出现了一次霍实际是在1=夫分岔；随后在＝3处开始了倍周期分岔，从这里先由单周期分岔为二周期，然后在＝3.4495处由二周期分岔为四周期，接着在3.5441处从四周期分岔为μ=为止。
非线性电路与混沌实验报告
非线性电路与混沌实验报告非线性电路与混沌实验报告引言非线性电路与混沌是现代电子学与控制理论中的重要研究领域。
混沌现象的出现使得我们对于系统的行为有了更深入的理解，并且在通信、密码学、图像处理等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍我们进行的非线性电路与混沌实验，并对实验结果进行分析和讨论。
实验背景非线性电路是指电流和电压之间的关系不遵循线性规律的电路。
而混沌是指一种看似无序的、无法预测的动态行为。
非线性电路中的混沌现象是由于系统的非线性特性导致的，通过合适的电路设计和参数调节，可以实现混沌现象的产生和控制。
实验目的本实验的目的是通过设计和搭建非线性电路，观察和分析混沌现象的产生和特性。
我们希望通过实验验证混沌现象的存在，并进一步了解混沌现象对于系统的影响和应用。
实验装置我们使用了一块实验板和一些基本的电子元器件，如电阻、电容和二极管等。
通过搭建电路并连接到示波器，我们可以观察到电路的输出波形，并进一步分析和研究电路的行为。
实验过程我们首先设计了一个基于二极管的非线性电路。
通过合理选择电阻和电容的数值，我们成功地实现了混沌现象的产生。
接下来，我们调节了电路的参数，观察到了混沌现象的不同特性。
我们记录了电路输出的波形，并进行了数据分析和处理。
实验结果实验结果表明，我们所设计的非线性电路确实产生了混沌现象。
通过观察示波器上的波形，我们可以看到波形呈现出复杂的、无规律的变化。
通过进一步的分析，我们发现电路的输出呈现出分形特性，即具有自相似的结构。
这一结果与混沌现象的特性相吻合。
讨论与分析通过实验，我们进一步了解了非线性电路与混沌现象之间的关系。
非线性电路的设计和参数调节对于混沌现象的产生和控制起着重要的作用。
混沌现象的存在使得系统的行为变得复杂且难以预测，这对于某些应用来说可能是不利的，但在其他领域中却可以发挥重要作用。
例如，在密码学中，混沌信号可以用于加密和解密，提高信息的安全性。
结论通过本次实验，我们成功地设计和搭建了一个非线性电路，并观察到了混沌现象的产生和特性。
非线性物理3-1(倍周期分岔到混沌、阵发性混沌)
3．杜芬方程的倍周期分岔
杜芬方程的倍周期分岔
杜芬方程：
d2x dt 2
dx dt
x
x3
=
F
cos
t
设γ=0.4,κ=1,ζ=4, F=0.115，从小到大改变驱动频率。
计算表明，在 ≥0.8时，杜芬方程的解是反对称的极限环，极限环呈 椭圆形状；
当 <0.8时，极限环的反对称性虽然仍存在，但椭圆形状已明显变 形。
1. 阵发性混沌现象
阵发现象(洛论兹方程)
洛论兹方程 y 分量 rc 附近的 四个参数:一个 r<rc, 三个 r>rc 计算结果
b＝8/3，s＝10 时
临界值rc＝166.07
x -对流的翻动速率， y -比例于上流与下流液体之 间的温差 z-是垂直方向的温度梯度，
r -相对瑞利数 r = R/RC。
f 3(x)有四个不动点，一个由f (x)带来 的不稳定不动点，另外三个与迭代线 相切。切点处f 3(x)曲线的斜率为+1， 是稳定性条件的最大值。
2. 阵发性混沌机理
周期 3 轨道
μ稍许增大一点， mt m < 0 , f 3(x)将越过切点与迭代线相
交为两个交点，产生出六个交点。相切点斜率为+1，每对相交 的两个交点处斜率一个大于1，另一个小于1。
3
0.9212
4 0.28901376
5 0.821939226
·
·
·
·
51 0.27756908
52 0.80209438
·
·
·
·
X2=0.1000001
0.36000003 0.92160036 0.28901355 0.821938871
非线性电路混沌实验报告
非线性电路混沌实验报告本次实验旨在探究非线性电路中的混沌现象，并通过实验数据分析和理论推导，对混沌现象进行深入研究和分析。
本文将从实验目的、实验原理、实验装置、实验步骤、实验结果和分析、实验结论等方面进行详细介绍。
实验目的。
1. 了解非线性电路中混沌现象的产生原理；2. 掌握混沌电路的基本工作原理；3. 通过实验数据分析，验证混沌电路的混沌特性。
实验原理。
混沌电路是一种非线性系统，其混沌现象来源于系统的非线性特性和反馈作用。
在非线性电路中，由于电压和电流的非线性关系，使得系统的输出信号呈现出复杂的、不可预测的混沌运动。
混沌电路的混沌特性通常表现为系统的输出信号呈现出周期性、随机性和规律性交织的运动状态。
实验装置。
本次实验所需的主要仪器设备有，信号发生器、示波器、混沌电路实验板、电压表等。
实验步骤。
1. 将混沌电路实验板连接至信号发生器和示波器，并进行电路连接和参数设置；2. 调节信号发生器的频率和幅值，观察示波器上的波形变化；3. 记录实验数据，包括电路参数设置、示波器波形图、混沌电路输出信号的特性等。
实验结果和分析。
通过实验数据的记录和分析，我们观察到混沌电路在不同频率和幅值下的输出信号呈现出复杂的、随机的波形变化。
在一定范围内，混沌电路的输出信号表现出周期性、随机性和规律性交织的混沌特性，这与混沌电路的非线性特性和反馈作用密切相关。
实验结论。
通过本次实验，我们深入了解了非线性电路中的混沌现象及其产生原理。
混沌电路的混沌特性表现为系统的输出信号呈现出周期性、随机性和规律性交织的运动状态，这为非线性系统的混沌现象提供了重要的实验验证和理论分析依据。
结语。
通过本次实验，我们对非线性电路中的混沌现象有了更深入的理解，同时也掌握了混沌电路的基本工作原理和实验方法。
混沌现象的研究不仅有助于深化对非线性系统的理解，还对信息处理、通信系统和混沌密码学等领域具有重要的理论和应用价值。
希望本次实验能为相关领域的研究和应用提供一定的参考和借鉴。
非线性电路混沌实验报告
非线性电路混沌_实验报告非线性电路混沌实验报告一、实验目的通过搭建非线性电路，观察和研究电路的混沌现象，深入理解和掌握混沌系统的特性。
二、实验原理混沌系统是一类非线性动力系统，其特点是对初始条件极其敏感，微小的初始条件变化会导致系统演化出完全不同的结果。
混沌系统的行为复杂、难以预测，具有高度的随机性。
在电路中，非线性元件的引入可以引起电路的混沌现象。
三、实验器材和仪器1. 函数生成器2. 示波器3. 混沌电路实验板4. 电源5. 电压表和电流表四、实验步骤1. 搭建混沌电路按照实验指导书上的电路图，搭建混沌电路。
其中，电路中需要包含非线性元件，如二极管、晶体管等。
2. 调节函数生成器将函数生成器连接到电路中，调节函数生成器的频率和幅度，使其能够提供合适的输入信号。
同时，设置函数生成器的触发方式和触发电平。
3. 连接示波器将示波器的输入端连接到电路输出端，调节示波器的触发方式和触发电平，使其能够正常显示电路的输出波形。
4. 开始实验打开电源，调节函数生成器和示波器，观察电路的输出波形。
记录不同参数下的波形变化，并观察混沌现象的特点。
五、实验结果与分析在实验中，我们观察到了电路的混沌现象。
随着参数的变化，电路输出的波形呈现出复杂的、不规则的变化。
即使是微小的参数调节，也会导致电路输出的波形发生明显的变化，呈现出不同的分形结构。
这表明混沌系统对初始条件的敏感性。
通过实验结果的观察和分析，我们深入理解了混沌系统的特性。
混沌系统的不可预测性和随机性使其在信息加密、随机数生成等领域具有广泛的应用价值。
六、实验总结通过本次实验，我们成功搭建了混沌电路，并观察到了电路的混沌现象。
通过实验的操作，我们对混沌系统的特性有了更深入的理解，并掌握了观察和研究混沌现象的方法。
混沌系统具有很高的随机性和不可预测性，这为信息加密、随机数生成等领域提供了新的思路和方法。
在今后的学习和研究中，我们将进一步探索混沌系统的特性，并应用于实际问题中。
非线性动力学系统中的混沌行为
非线性动力学系统中的混沌行为引言混沌是指非线性系统在确定的初始条件下呈现出具有随机性、无规则性和复杂性的行为。
在许多动力学系统中，混沌行为的出现是一个重要的研究课题。
本文将介绍非线性动力学系统中的混沌行为，并探讨混沌现象的产生机理和应用。
一、混沌现象的基本特征混沌是一种混乱的、无规律的运动形式，其具有以下基本特征：1. 灵敏依赖于初始条件：在混沌系统中，微小的初始条件变化可能导致巨大的结果差异。
这种灵敏依赖使得混沌行为难以预测和控制。
2. 迭代和周期性：混沌行为通常通过迭代（即系统的输出作为下一时刻的输入）产生。
在某些情况下，混沌系统可能会出现周期解，即系统在一定时间间隔内重复相同的轨迹。
3. 唯一性：对于给定的动力学规律和初始条件，混沌系统的演化是唯一确定的。
这一特性使得混沌现象有一定的可预测性。
二、混沌行为的产生机理混沌行为主要源于非线性动力学系统的复杂性和敏感性。
在非线性系统中，微小扰动可能导致系统的演化路径发生根本性的改变，从而产生混沌行为。
这种非线性性质使得系统在规律性和随机性之间不断变化，使其行为变得难以预测。
例如，著名的洛伦兹吸引子就是一个非线性动力学系统的典型示例。
洛伦兹吸引子是由三个偏微分方程描述的，该方程描述了流体中的对流现象。
微小的变化可能导致系统演化路径从一个吸引子切换到另一个吸引子，或形成周期解，或产生混沌行为。
三、混沌现象的应用混沌行为不仅仅是一种理论现象，还在许多实际应用中发挥着重要的作用。
以下是几个典型的应用领域：1. 通信加密：混沌序列具有高度随机性和无规则性，可以用于数据通信的加密和解密。
通过混沌序列对数据进行加密，可以有效防止信息的被窃听和破解。
2. 生物医学：混沌行为在生物医学研究中有广泛的应用。
例如，混沌理论可以用来分析心电图和脑电图等生物信号，帮助医生诊断疾病和监测病情。
3. 金融市场：金融市场中的价格变动往往具有一定的混沌特征。
混沌理论可以用于预测股票价格的波动和市场风险的评估，为投资者提供决策依据。
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考察典型非线性系统通向混沌的途径
一混沌简介
混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性－－不可重复、不可预测，这就是混沌现象。
进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。
在非线性科学中，混沌现象指的是一种确定的但不可预测的运动状态。
它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。
但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。
或者说混沌系统对无限小的初值变动和微绕也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。
二通向混沌的途径
可由非线性动力学方程求解通向考察混沌的道路，或者由非线性时间序列相空间重建方法通向考察混沌道路。
具体方法如下：
1 倍周期分岔进入混沌是一种典型的混沌产生途径。
系统运动变化的周期行为是一种有序行为，但在一定的条件下，系统经过周期加倍，会逐步丧失周期行为而进入混沌。
设系统有参数 u，只考虑单参数并不失一般性。
当系统有多个参数时，可以设定其余参数而让其中一个变化。
如果 u= u0时系统的稳态运动有周期T，随着u 变化，到u=u1 时，稳态运动的周期变为2T，这种运动性质的突然改变称为倍周期分叉。
一般的，u = u m时稳态运动的周期为2m ∙T，则u=u m+1时发生倍周期分叉使系统稳定运动变为周期2m+1∙Y 。
由于周期不断加倍，最后变为周期无穷大的运动，也就是非周期运动。
从庞加莱映射可观察到：1个点变为2个点,2个点变为4个点等等，随着倍周期分又的不断进行，最终变为无穷点集，周期运动相应地转化为混沌运动。
值得注意的是，倍周期分叉值u 所构成无穷序列{ui}的差商极限是一个常数，而且多种不同的系统可能有相同的常数，因而被称作普适常数。
普适常数的存在反映了倍周期分叉产生混沌途径的特点。
2阵发性是又一种典型的混沌产生途径。
这里的阵发性是指系统较长时间尺度的规则运动和较短时间尺度的无规则运动的随机交替变化现象。
若振动系统在特定参数下呈现阵发性，
随着参数的变化，阵发性中无规则运动突发得越来越频繁，系统由周期振动转化为混沌振动。
伴随产生混沌的阵发性途径也具有普适特性。
3准周期环面破裂也是一种典型的混沌产生途径。
初始处于平衡状态的系统当参数变化通过某一临界值后可能由平衡转化为周期运动，这种运动性质的突变即为霍普夫分叉。
参数继续变化，系统再经历分叉而出现耦合的极限环而成为环面。
若两个极限环代表的周期运动的频率不可有理通约，则系统做准周期运动。
三典型例子
Lorenz方程：
dx/dt= -a(x-y)
dy/dt= -xz+cx-y
dz/dt=xy-bz
取a=10，c=28，b=8/3,
MATLAB程序编辑：
function dXYZ=lorfun(t,XYZ)
X=XYZ(1)
Y=XYZ(2)
Z=XYZ(3)
dX=10*(Y-X)
dY=28*X-Y-X*Z
dZ=-8/3*Z+X*Y
dXYZ=[dX;dY;dZ]
取初值x=1.0,y=1.0,z=2.0,编程：
XYZ0=[1.0;1.0;2.0]
T=[0 100]
[t,XYZ]=ode45('lorfun',T,XYZ0)
X=XYZ(:,1)
Y=XYZ(:,2)
Z=XYZ(:,3)
plot3(X,Y,Z)
hold on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Strang Attactor') 运行结果：
时间序列：
X-Y二维图像：
X-Y-Z三维图像：
改变初值：x1=1.0,y1=1.0,z1=2.00001 运行结果：
时间序列：
X-Y二维图像:
X-Y-Z三维图像：
两次运行结果对比：红色为Z0=2.0，蓝色为Z1=2.0001
从上述图像可以看出混沌运动对初始条件的强烈敏感性。
反映了“蝴蝶效应”（1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。
他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。
从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。
从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性）。
此外，混沌运动的特征还有极为有限的可预测性和混沌的内部存在着超载的有序。