数值分析实验三分段线性插值
3 数值分析之分段插值与样条插值
注：I h ( x ) yi Li ( x )在x [xi ,xi 1]时
i 0
n
x xi 1 x xi I h ( x )=yi ( ) yi 1 ( ), xi xi 1 xi 1 xi
分段线性插值多项式
分段插值函数 I1 ( x ) n I 2 ( x) I h ( x ) yi Li ( x ) i 0 I ( x) n x [ x0 , x1 ) x [ x1, x2 ) ...... x [ xn1, xn ]
分段线性插值余项
Rh ( x ) f ( x ) I h ( x ) f ( ) =| ( x xi )( x xi 1 ) | (1 1)!
''
( xi 1 xi ) '' | f ( ) | 8 2 h '' | f ( ) | 8
2
分段线性插值
算法： 1.输入xi , yi (i 0,1,...,n) 2.按k 1,2,...,m做 (1)输入插值点u (2)对于j 1,2,...,n做 如果u x j 则
其中a j , b j , c j .d j为待定常数，插值条件 为： （ 1 ）s ( x j ) f ( x j ) （j 0,1,...,n）； (2) (n 1)内节点处连续及光滑性 条件： s ( x j 0) s ( x j 0) s( x j 0) s( x j 0) j 1,2,...,n 1 s( x j 0) s( x j 0)
二次样条插值
对于待定系数a j , b j , c j 称为边界条件。 j 1,2,...n,即3n个未知系数， 而插值条件为3n 1个，因此须给出一个补充条件，
数值分析分段插值
华长生制作
9
L(2k )( x)
yk 1
(x ( xk 1
xk )( x xk 1 ) xk )( xk 1 xk 1 )
yk
(x ( xk
xk 1 )( x xk 1 ) xk 1 )( xk xk 1 )
yk 1
(x ( xk 1
xk 1 )( x xk ) xk 1 )( xk 1 xk
3 fk t(t 1)(t 2) 3!
华长生制作
0 t 1 k 0,1, ,n 2
17
(7)
N2(xk th)
fk fk t
2 fk t(t 1) 2
Rn(x0 th)
f (3)( )
3!
h3t(t 1)(t 2)
3 fk t(t 1)(t 2) 3!
分段二次Newton
i0
1
2
3
4
5
xi 0.30 0.40 0.55 0.65 0.80 1.05 yi 0.30163 0.41075 0.57815 0.69675 0.87335 1.18885
求f (x)在x 0.36, 0.42, 0.75, 0.98,1.1处的近似值(用分段线性)
解: 分段线性Lagrange插值的公式为
f
(
6
)
(
x
xk
1
)(x
xk
)(
x
xk
1
)
, x [xk 1 , xk 1 ], 且与x有关
|R2 ( x)|
1 max | 6 axb
f
(x) | max xk1 xxk1
| (x
xk1)(x
xk )(x
计算方法 1.3 分段线性插值
x x x x i 1 i ˆ S ( x ) y y , x x x 1 i i 1 i i 1 x x x x i i 1 i 1 i 于是， S1 ( x ) 是在 [ a , b ] 上是连续函数。
x [xj , xj ] 1 x [xj, xj 1] 其他
2）在插值节点 x 0 上，插值基为：
2 ( x x ) l ( x ) x [ x ,x ] 0 0 0 1 B ( x ) 0 0 其他 3）在插值节点 x n 上，插值基为：
2 ( x x ) l ( x ) n n B ( x ) n 0
1
左，右连接起来！
x
j1
xj
x
j1
2 2 H ( x ) 1 2 l ( x ) l ( x ) y 1 2 l ( x ) l ( x ) y 3 j 1 j j j j 1 j 1 2 2 ( x x ) l ( x ) y ( x x ) l ( x ) y j j j j 1j 1 j 1
k axb
提示：类似于前面的误差估计。 几点说明：
1）只要节点间距充分小，插值法总能获得所要求的精度。 2）局部性。如果修改某个数据，则插值曲线仅在某个局部范围内受影响。
插值节点 x 上，取值为 0 .即 k,k j 1 lj (x k ) 0 k j k j
2 ）在每个小区间 [x 上，插值基 lj (x )都是线性函数 . i, x i 1]
基于以上两方面，我们观察
1
右 左
x
j1
分段线性插值法
《数值分析》实验报告实验序号:实验五 实验名称: 分段线性插值法1、 实验目的:随着插值节点的增加,插值多项式的插值多项式的次数也增加,而对于高次的插值容易带来剧烈的震荡,带来数值的不稳定(Runge 现象)。
为了既要增加插值的节点,减小插值的区间,以便更好的逼近插值函数,又要不增加插值多项式的次数以减少误差,可采用分段线性插值。
2、 实验内容:求一个函数ϕ(x )用来近似函数f (x ),用分段线性插值的方法来求解近似函数ϕ(x )并画出近似函数图像及原函数图像。
设在区间[a,b]上,给定n+1个插值节点b x x x x a n =<<<<=...210与相应的函数值n y y y ,...,,10,求一个插值函数)(x ϕ,满足以下条件:（1）),...,2,1,0()(n j y x j j ==ϕ; （2） )(x ϕ在每一个小区间[1,+j j x x ]上就是线性函数。
对于给定函数11-,2511)(2≤≤+=x x x f 。
在区间[]11-，上画出f (x )与分段线性插值函数)(x ϕ的函数图像。
1. 分段线性插值的算法思想:分段线性插值需要在每个插值节点上构造分段线性插值基函数)(x l j ,然后再作它们的线性组合。
分段线性插值基函数的特点就是在对应的插值节点上函数值取 1,其它节点上函数值取0。
插值基函数如下:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它 ,0,)(101010x x x x x x x x l ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<--≤≤--=+++---其它 ,0,,)(111111j j j j j j j j j j j x x x x x x x x x x x x x x x l⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=---其它 ,0,)(111n n n n n n x x x x x x x x l设在节点a≤x0<x1<…≤b=f(xi),(i=0,1,2,…,n)求折线函数L(x)满足:（1）L(x)∈C[a,b]（2）L(x[i]=y[i])（3）L(x)在每个小区间(x[i],x[i+1])上就是线性插值函数￠(x)叫做区间[a,b]上对数据(x[j],y[j])(j=0,1,2,…,n)的分段区间函数。
插值数值实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。
2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。
3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。
4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。
二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。
它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。
三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。
数值分析实验报告(插值法)
武汉理工大学学生实验报告书实验课程名称数值分析开课学院计算机科学与技术学院指导老师姓名学生姓名学生专业班级2010—2010学年第一学期实验课程名称：数值分析第二部分：实验调试与结果分析（可加页）一、调试过程（包括调试方法描述、实验数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）（1）用拉格朗日插值法计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（2）利用二次插值计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（3）用艾尔米特插值法计算时,f(x)的插值多项式H5(x)=(1+4*x)*(x-0.5)*(x-0.5)*(x-2)*(x-2)+(3.90807-6.03838*x)*(x-2)*(x-2)*x*x+(2.34573-4.16674*x)*x*x*(x-0.5)*(x-0.5)（4）各插值算法的精度差异比较经过比较，拉格朗日插值法要比牛顿插值法算法的计算量多一些，拉格朗日插值法后一次计算时用到了前一次计算的结果，提高了运算的效率，但拉格朗日插值法在构造艾尔米特插值法时很方便，将坐标点和对应的导数结合起来的精度比线性插值的精度又要高一些。
但从实验数据来看，在坐标不是很多的情况下，已知的点越多精度也就相对较高。
对于实验要求的第二组数据用拉格朗日插值法（或者牛顿插值法）实验结果如下：一下分别是二阶、三阶、四阶、五阶插值得到的结果以上只是实验结果的一部分，改变插值的位置时，得到的实验结果精度也是有所不同的。
由以上结果分析可知，插值次数并不是越多越好，多了反而会让结果更加偏离真实结果，这充分说明了高次插值存在“病态性质”，在已知点很多的情况下应该采用分段低次插值，将拉格朗日插值法和牛顿插值法运用到分段低次插值法当中，这样得到的结果可能胡更加精确。
分段线性插值法
《数值分析》实验报告实验序号：实验五 实验名称: 分段线性插值法1、 实验目的：随着插值节点的增加，插值多项式的插值多项式的次数也增加，而对于高次的插值容易带来剧烈的震荡，带来数值的不稳定（Runge 现象）。
为了既要增加插值的节点，减小插值的区间，以便更好的逼近插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，可采用分段线性插值。
2、 实验内容：求一个函数ϕ(x )用来近似函数f (x )，用分段线性插值的方法来求解近似函数ϕ(x )并画出近似函数图像及原函数图像。
设在区间[a,b]上，给定n+1个插值节点b x x x x a n =<<<<=...210和相应的函数值n y y y ,...,,10，求一个插值函数)(x ϕ，满足以下条件：（1）),...,2,1,0()(n j y x j j ==ϕ; （2） )(x ϕ在每一个小区间[1,+j j x x ]上是线性函数。
对于给定函数11-,2511)(2≤≤+=x x x f 。
在区间[]11-，上画出f (x )和分段线性插值函数)(x ϕ的函数图像。
1. 分段线性插值的算法思想：分段线性插值需要在每个插值节点上构造分段线性插值基函数)(x l j ，然后再作它们的线性组合。
分段线性插值基函数的特点是在对应的插值节点上函数值取 1，其它节点上函数值取0。
插值基函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它 ,0,)(101010x x x x x x x x l ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<--≤≤--=+++---其它 ,0,,)(111111j j j j j j j j j j j x x x x x x x x x x x x x x x l⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=---其它 ,0,)(111n n n n n n x x x x x x x x l 设在节点a ≤x0<x1<…≤b=f(xi),(i=0,1,2,…,n)求折线函数L （x ）满足：（1） L(x)∈C[a,b]（2） L(x[i]=y[i])（3） L(x)在每个小区间（x[i],x[i+1]）上是线性插值函数￠（x ）叫做区间[a,b]上对数据（x[j],y[j]）(j=0,1,2,…,n)的分段区间函数。
ch2-3分段线性插值
插值法
第三节 分段线性插值法
分段线性插值法的一般理论 分段线性插值多项式的构造 分段线性插值余项和误差估计
简单的分段高次插值多项式
分段线性插值法
一般来说，高次插值多项式是不妥当的，从 数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带 来舍入误差的增大，从而引起计算失真。因此， 实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次 插值多项式。 那么如何提高插值精度呢？ 采用分段插值是一种办法。
h2 R( x ) f ( x ) ( x ) M, 8 其中h max ( xi 1 xi ), M max f ( x )
0 i n 1 a xb
分段线性插值多项式的构造
证明：由Lagrange 余项公式，当x∈[xi, xi+1]时
f ( )( x xi )( x xi 1 ) f ( x ) ( x ) R( x ) 2!
Newton向后插值公式为
t ( t 1) N 3 ( x 4 th) 0.64422 0.07958t 0.00563 2! t ( t 1)( t 2) 0.00083 3!
x x4 0.57891 0.7 t 1.2109 h 0.1
Newton向前插值公式为
等距节点插值公式
t ( t 1) N 3 ( x0 th) 0.38942 0.09001t 0.00480 2 t ( t 1)( t 2) 0.00083 6 x x0 t (0.57891 0.4) / 0.1 1.7891 h
sin 0.57891 N 3 (0.57891) 0.38942 0.09001 1.7891 1.7891 0.7891 0.00480 2 1.7891 0.7891 0.2109 0.00083 0.54711 6
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分段线性插值需要在每个插值节点上构造分段线性插值基函数，然后再作它们的线性组合。分段线性插值基函数的特点是在对应的插值节点上函数值取 1，其它节点上函数值取0。插值基函数如下：
设在节点a≤x0<x1<…≤b=f(xi),(i=0,1,2,…,n)求折线函数L（x）满足：
（1）L(x)∈C[a,b]
}
double yx[]={-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1};
double yy[14];
for(i=0; i<=10; i++)
{
yy[i]=1.0/(1+25*yx[i]*yx[i]);
}
pDC->TextOut(-30,-10,"0");
pDC->TextOut(-30,430,"1");
求一个函数 (x)用来近似函数f(x)，用分段线性插值的方法来求解近似函数 (x)并画出近似函数图像及原函数图像。
设在区间[a,b]上，给定n+1个插值节点 和相应的函数值 ，求一个插值函数 ，满足以下条件：
（1） ;
（2） 在每一个小区间[ ]上是线性函数。
对于给定函数 。在区间 上画出f(x)和分段线性插值函数 的函数图像。
L(x0)=0(x[1]≤x≤x[n])
分段线性方程的表达式：
￠（x）=∑(j=0,..,n)y[j]*L[j](x);
实验源代码
void CMy20141501069View::Onxxcz()
{
// TODO: Add your command handler code here
int x00=300,y00=350,i,j;
（2）L(x[i]=y[i])
（3）L(x)在每个小区间（x[i],x[i+1]）上是线性
插值函数￠（x）叫做区间[a,b]上对数据（x[j],y[j]）(j=0,1,2,…,n)的分段区间函数。
利用一介拉格朗日函数，直接得到线性插值函数为：
L(x0)=（x-x[1]）/x[0]-x[1];(x[0]≤x≤x[1])
oldpen=pDC->SelectObject(&pen);
for(i=0; i<10; i++)
{
pDC->MoveTo(yx[i]*480,yy[i]*400);
pDC->LineTo(yx[i+1]*480,yy[i+1]*400);
}
}
实验结果
结果分析
分段线性插值的方法克服了Lagrange插值法当节点不断加密时，构造的插值多项式的次数不断升高，高次多项式虽然是连续的，但是不一定都收敛到相应的被插函数而产生Runge现象。分段线性插值因为在每一段小区间上都是线性插值而极大地降低了插值多项式的次数，从几何图形上可以看出，当节点取得较多时插值函数的逼近效果还是很好的，但是所求函数是一条以型值点为顶点的折线，这也表现出了它的缺点就是所求得的插值函数的光滑性较差，这就要求一种更好的方法来克服这一缺点了。
pDC->TextOut(490,-10,"1");
pDC->TextOut(-490,-10,"-1");
pDC->MoveTo(-10,680); //x箭头
pDC->LineTo(0,700);
pDC->MoveTo(0,700);
pDC->LineTo(10,680);
pDC->MoveTo(680,10); //y箭头
double x;
CDC *pDC=GetDC();
pDC->SetMapMode(MM_LOMETRIC);
pDC->SetViewportOrg(x00,y00);
//画坐标轴与原函数
for(i=-700; i<=700; i++)
{ห้องสมุดไป่ตู้
pDC->SetPixel(i,0,RGB(0,0,0));
pDC->SetPixel(0,i,RGB(0,0,0));
pDC->LineTo(700,0);
pDC->MoveTo(700,0);
pDC->LineTo(680,-10);
pDC->TextOut(-30,700,"y");
pDC->TextOut(700,-10,"x");
//线性分段差值的图像
CPen pen;
CPen*oldpen;
pen.CreatePen(PS_SOLID,5,RGB(0,0,0));
数值分析实验报告
专业：计算机科学与技术
班级：14汉（2）
学号：***********
姓名：***
指导教师：马季骕老师
实验项目
分段线性插值
算法介绍
随着插值节点的增加，插值多项式的次数也增加，而对于高次的插值容易带来剧烈的震荡，带来数值的不稳定（Runge现象）。为了既要增加插值的节点，减小插值的区间，以便更好的逼近插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，可采用分段线性插值。