初中函数图像及性质

函数的定义

一、自变量与应变量

在数学中,通常我们用y x 来表示的式子描述函数解析式。那么y 随着x 变化而变化,则我们把x 叫做自变量,y 叫做应变量,即y 就是x 函数。

一次函数的图像及性质

一、一次例函数定义

形如()0≠+=k b kx y 这样的函数叫一次函数。 二、正比例函数

当一次函数()()叫正比例函数。时，中000≠==≠+=k kx y b k b kx y 三、正比函数性质

1、正比例函数图像为恒过坐标原点()0,0与点()b ,0的直线。且与y 轴的截距就是

b ,与y 轴的交点坐标为()b ,0。

2、当0>k 时,正比例kx y =的函数图像过一、三象限,

的增大而增大。随x y

3、当0

的增大而减小。随x y

四、一次函数图像及性质

1、的图像时，一次函数，当b kx y b k +=>>00 过一、二、三象限。

2、的图像时，一次函数，当b kx y b k +=<>00 过一、三、四象限。

3、的图像时，一次函数，当b kx y b k +=><00 过一、二、四象限。

4、的图像时，一次函数，当b kx y b k +=<<00 过二、三、四象限。

五、一次函数图像与坐标轴围成的三角形面积公式

设一次函数()0≠+=k b kx y 与坐标轴所围成的三角形为为多少？则AOB AOB ∆∆S

式

k

b b k b y x A B 22121S 2

AOB =

⋅-=⋅=∆

设两个一次函数111b x k y +=与222b x k y +=的交点 为点()00,y x ,如图可知 (1)当o x x >时,21y y >; (2)当o x x =时,21y y =; (3)当o x x <时,21y y <。

反比例函数图像及性质

一、反比例函数定义

形如()0≠=k x k

y 这样的函数叫反比例函数。k 叫比例系数()为常数k 。

二、反比例函数的图像 反比例函数图像为双曲线。 三、反比例函数的性质

2、当0>k 时,反比例函数x k

y =的图像分布在一、三象限。 3、当0

k

y =的图像分布在二、四象限。

四、反比例函数图像上的点。

点()00,y x p 在反比例函数()0≠=k x

k

y 的图像上k y x =⋅⇔00

五、反比例函数图像上图形面积与比例系数k 的关系

二次函数图像及性质形如

这样的函数 叫做二次函数。 二、二次函数的图像

二次函数的图像就是抛物线。如右图所示 三、二次函数的性质

1、二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像恒过点()c ,0,且与y 轴的截距为c ;

2、当0>a 时,二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像抛物线开口向上,且有最小

1

2

2b x k +21k OAB =、在k

y OABC =四边形、在2k ABC

=3OCD OAB S y ∆∆=、在4

值; 3、当0

)y 的图像抛物线开口向上,且有最大

值;

4、二次函数2

++=bx ax y a

b

x 2-=最值为a b ac y 442-=

四、二次函数的形式

1、三点式:已知二次函数图像上三点,求函数解析式如下

已知点()11,y x A 、()22,y x B 、()33,y x C 在一个二次函数图像上,则求该二次函数解析式。

解:设这个二次函数解析式为c bx ax y ++=2,

把题中三点分别代入解析式得

然后把c b a 、、的值分别带入假设的解析式中,此题得解。 2、两点式:已知二次函数图像与x 轴的两个交点, 求函数解析式如下

已知二次函数图像与x 轴的交点分别为点()0,1x A 与点()0,2x B ,求函数解析式如下

解:设这个二次函数解析式为()()21x x x x a y --=,然后利用多项式乘法展开后合并同类项,降幂排列的()21212x ax x x x a ax y ++-=,通常考出两点式的题型,a 的值会很容易求出。

3、顶点式:已知二次函数的对称轴与最值求二次函数解析式如下 已知二次函数的对称轴为直线h x =, 最值(最大值或者最小值)为k 。则它 的解析式为()k h x a y +-=2

,这种题

⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3323

222

2112

1y

c bx ax y c bx ax y c bx ax ⎪⎩

⎪⎨⎧==

=

c b a 解得(A )

2)

33,y x )

型中a 的也很容易求出。

4、顶点式的变形考法,也就就是通常常考内容,利润问题与最值问题。解决这类问题时,一般分为3个步骤: （1） 列出二次函数解析式

（2） 把这个二次函数解析式配方成顶点式的形式 （3） 根据顶点式直接可以写出当h x =时,

○1当0>a 时,k y =min ;○2当0

求两个函数图像的交点

求两个函数图像交点的题型,通常都就是把这两个函数解析式联立成方程组,然后解次方程组,求得的方程组的对应x 的值与相应y 的值,正好就构成两个函数图像的其中一个交点的坐标。

归纳为:方程组的解就就是图像的交点,图像的交点就就是方程组的解。