简论中国古代数学中的“黄金分割率”
中国古建筑中的数理观念
中国古建筑中的数理观念
中国古建筑中的数理观念是指在设计和布局过程中运用数学和几何原理的一种理论体系。
这些观念源于古代中国人对宇宙和自然的观察和理解，通过将宇宙的秩序和规律应用于建筑设计中，创造出和谐、平衡、美观的建筑作品。
在中国古建筑中，数理观念主要体现在以下几个方面：
1. 九宫格：九宫格是一种运用了数学原理的布局方式。
古代建筑师将建筑平面图按照九宫格的形式进行划分，以达到平衡、和谐的效果。
2. 黄金分割：黄金分割是一种比例关系，古代建筑师在设计中常用黄金分割比例来确定柱子的高度、门窗的位置等，以使建筑物具有美感和平衡感。
3. 对称布局：古代建筑中常采用对称布局，以展现建筑物的庄重和谐。
对称布局可以通过水平对称、垂直对称或轴对称等方式来实现。
4. 空间比例：古代建筑注重空间比例的协调和统一。
建筑师通过合理的比例关系，使内外空间相互呼应，达到良好的视觉效果和使用效果。
5. 阴阳五行：古代中国人认为宇宙万物都受到阴阳和五行的影响，这种观念也被运用到建筑设计中。
建筑师会根据建筑的功能和所处环境，选择适宜的阴阳五行元素，以增加建筑物的气场和能量。
总之，中国古建筑中的数理观念是古代建筑师智慧和经验的结晶，
通过运用数学和几何原理，创造出具有和谐、平衡、美感的建筑作品。
这些观念不仅体现了中国古代人对自然规律的认知，也体现了他们对建筑艺术追求完美的态度。
黄金分割的数值序列
黄金分割的数值序列1.引言1.1 概述黄金分割是一个在数学、艺术和自然界中广泛存在的重要概念。
它由一个特殊的比率表示，即1：1.618（约等于1：0.618）。
这个比率在古希腊数学家斐波那契的研究中首次被提出，并且得名于他。
黄金分割在人类社会中的应用非常广泛。
它被广泛运用在建筑设计、绘画、音乐、金融和自然科学等领域。
人们将黄金分割认为是一种理想的、美学上令人愉悦的比例关系。
它被广泛视为一种对称、和谐和美丽的标志。
在自然界中，黄金分割也以奇妙的方式展现出来。
例如，许多植物的枝干和叶子分布呈现出黄金分割的比例。
动物的身体特征，如蜜蜂的身体分段和海螺的螺旋壳，也展现出黄金分割的特征。
黄金分割的数值序列也是一个非常有趣的话题。
数值序列是通过连续地进行黄金分割运算得到的。
它的特征是前后两个数的比值趋近于黄金分割比率。
这个序列以斐波那契数列闻名，它以斐波那契的名字命名，因为他早在13世纪就对这个序列进行了深入研究。
黄金分割的数值序列不仅仅是数学的一个概念，它还具有广泛的应用价值。
在金融领域，许多投资者和交易员使用黄金分割来预测股票、外汇和商品市场的趋势。
在艺术领域，许多画家和设计师运用黄金分割来构图和安排元素。
总之，黄金分割的概念和数值序列的特征对于我们理解数学、艺术和自然界的美妙之处具有重要意义。
在本文中，我们将深入探讨黄金分割的定义、历史背景、数值序列特征以及其在应用领域的意义与前景。
希望通过这篇文章的阐述，读者能够对黄金分割有更深入的理解和欣赏。
1.2文章结构文章结构在本篇文章中，将会对黄金分割的数值序列进行深入的探讨和研究。
文章分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将对黄金分割进行概述，介绍其基本概念和历史背景。
同时，文章的结构也将在这部分得到明确的交代，以便读者能够更好地理解文章的整体思路和框架。
此外，我们还将明确本篇论文的目的，即要探究黄金分割数值序列的特征和其在实际应用中的意义。
接下来是正文部分，正文部分分为两个小节。
黄金分割
黄金分割（黄金比例）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。
这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。
据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。
他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来。
[2]外文名golden section提出者毕达哥拉斯提出时间公元前5世纪应用学科数学建筑绘图记载著作《几何原本》数学定义把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割。
其比值是（√5-1）：2，近似值为0.618，通常用希腊字母Ф表示这个值。
[1]附：黄金分割数前面的32位为：0.6180339887 4989484820 458683436565特殊的数列设一个数列，它的最前面两个数是1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。
例如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144·····这个数列为“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。
经计算发现相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐逼近黄金分割比。
由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，而黄金分割是无理数，所以只是不断逼近黄金分割。
[5]黄金三角形所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值，正是因为其腰与边的比为(√5-1)/2而被称为黄金三角形。
黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。
由五角形的顶角是36度可得出黄金分割的数值为2sin18度（即2*sin(π/10)）。
将一个正五边形的所有对角线连接起来，在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。
华罗庚黄金分割率
华罗庚黄金分割率
华罗庚黄金分割率是指数学家华罗庚提出的一种比例关系，与黄金分割比例有关。
黄金分割比例是指一条线段分成两段的比例，使得整条线段与较短线段之比等于较短线段与较长线段之比。
黄金分割比例约为1.6180339887。
华罗庚进一步提出了一个黄金分割率的概念，即将黄金分割比例应用于几何和数学问题中。
他认为黄金分割率具有美学和和谐的特性，因此可以用于设计、艺术和建筑等领域。
华罗庚黄金分割率在几何学中的应用非常广泛，例如在矩形、正五边形、正六边形等形状中，可以通过黄金分割率来构造具有美学和谐感的比例关系。
此外，黄金分割率还与斐波那契数列（Fibonacci sequence）有关，斐波那契数列的每一项都是前两项之和，近似接近黄金分割比例。
需要注意的是，华罗庚黄金分割率是一种理论概念，其应用范围在艺术、设计和数学等领域。
在实际应用中，具体的比例关系可能会因具体问题和需求而有所变化。
黄金分割比乐乐课堂
黄金分割比乐乐课堂公式比值最早是在公元前五世纪古希腊的毕达哥斯拉学派研究正五边形和正十变形时发现。
更重要的是在黄金比例是中国古代数学家独立创造的，后来传到了印度，由传到了欧洲，但是有最早的准确记载是在欧洲。
黄金分割的比值是：（√5-1）/2，取其小数点后三位的近似值是0.618。
虽然黄金分割比是数学中发现的，但是在后期研究时发现很多有名的雕塑、绘画、设计它们中间都存在这0.618这个黄金比例。
黄金分割构图法科学系统地融入在绘画作品中,使画面精彩绝伦,让观者唏嘘不已。
音乐上的应用在弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。
绘画上的应用再后来画家发现人类的身材按照0.618：1来设计腿长与身高的比例来绘制人物是最美的，但是不幸的是我们现代人类的比例只有0.58:1，所以我们所熟知的古希腊雕塑都是雕塑家主观创作。
建筑上的应用不仅在绘画领域里，在建筑领域里也经常出现1:0.618比例，我们所熟知的金字塔、巴黎圣母院和埃菲尔铁塔都有这个黄金比例。
在植物上的应用很多叶子两片夹角也是黄金比例，在这个角度中通风效果和日晒效果是最优质的，自然界也隐藏着0.618的比例。
作息制度上的应用我们现在的作息制度是一周两天休息，但是根据黄金比例的计算一周最佳工作时间是四天半，这一作息时间联合国已经使用，在全国政协委员张晓梅2009年全国两会期间在其博客里挂出拟提交的提案——采取每周四天半制度。
医学上的应用黄金比例可以解释人为什么在在环境22至24℃时感觉最舒适。
因为人的体温为37℃与0.618的乘积为22.8℃，而且这一温度中机体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。
同时科学家也发现当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服。
人在吃饭时吃六七成饱是最健康的生活方式。
在股市上的应用如果上面的内容让你很吃惊接下来这条会让你更加吃惊0.382和0.618是反映了股市变化的重要转折点，当股价上升时，可按黄金率算出上升的空间价位。
黄金分割率
中外历代雕塑更能说明问题。古希腊雕塑大多把人体比例规范被确定为7个头长,到后期又确定为8个头长。同时,几何学中的黄金分割又被认为是美的比例运用到美术创作中。如希腊雕塑的典范作品《持矛者》塑造了一个体格强壮、动作从容的青年战士的形象，从这个形象上体现了作者对“黄金分割”这一最和谐的人体比例关系的探索和应用。
一、黄金分割法的由来
据说，公元前6世纪，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前580-500年)有一天路过一个铁匠铺，被里面清脆悦耳的打铁声吸引住了，驻足细听，凭直觉认定这声音有“秘密”。他走进铺里，仔细测量了铁砧和铁锤的大小，发现它们之间的比例近乎于1∶0.618，回家后，他拿来一根木棒，让他的学生在这根木棒上刻下一个记号，其位置既要使木棒的两端距离不相等，又要使人看上去觉得满意。经多次实验得到一个非常一致的结果，即用C点分割木棒AB，整段AB与长段CB之比，等于长段CB与短段CA之比，毕达哥拉斯接着又发现，把较短的一段放在较长的一段上面，也产生同样的比例。这个故事说明，“黄金分割”最早的发明似乎就与声音有关。后来音乐家们则是有意识地利用这种比例来“结构锁定“0.618”
成吉思汗的蒙古骑兵横扫欧亚大陆令人惊叹。经过研究发现，蒙古骑兵的战斗队形与西方传统的方阵大不相同，在他的五排制阵型中，重骑兵和轻骑兵为2∶ 3，人盔马甲的重骑兵为2，快捷灵活的轻骑兵为3，两者在编配上恰巧符合黄金分割律。
中国数学 黄金比例
中国数学黄金比例中国数学黄金比例是指黄金分割比例在中国数学中的应用。
黄金比例是指将一条线段分为两部分，使整条线段与较短部分之比等于较短部分与较长部分之比，即(a+b)/a=a/b=φ（φ≈1.618）。
黄金比例在数学、美学和自然界中都有广泛的应用。
黄金比例最早的应用是在古希腊的建筑和艺术中，被认为是最具美学感的比例之一。
在中国，黄金比例同样在建筑、绘画和设计中得到了广泛的应用。
例如，在古代建筑中，建筑师会运用黄金比例来确定建筑物的比例和布局，使建筑物更加和谐和美观。
在绘画和设计中，黄金比例也被用来确定图像的构图和比例，使作品更具艺术感。
除了美学领域，黄金比例在数学中也有重要的地位。
它是一个无理数，可以用一个连分数无限连续分数表示。
黄金比例还有一个重要的性质，即它的平方减去自身等于1，即φ^2-φ=1。
这个性质被广泛应用在数学证明和推导中。
黄金比例还在自然界中得到了广泛的应用。
许多自然界中的事物都呈现出黄金比例的特征。
例如，植物的生长方式和分支结构往往符合黄金比例。
许多花朵的花瓣数目和排列方式也符合黄金比例。
动物的身体比例和体型也常常呈现黄金比例的特征。
这些现象表明，黄金比例不仅仅是数学上的概念，也是自然界中普遍存在的规律。
黄金比例的应用不仅仅局限于数学、美学和自然界，它还有许多实际的应用价值。
在金融学中，黄金比例被用来分析股票价格的波动和趋势，以便做出投资决策。
在计算机图形学中，黄金比例被用来设计用户界面和网页布局，使其更加美观和易于使用。
在市场营销中，黄金比例被用来设计广告和产品包装，吸引消费者的注意力。
在体育竞技中，黄金比例被用来优化运动员的训练计划和技术指导，提高其竞技水平。
中国数学黄金比例是一个在数学、美学和自然界中广泛应用的概念。
它不仅仅是一个数学比例，更是一种美学和自然界的规律。
黄金比例的应用不仅仅局限于理论领域，它还有许多实际的应用价值。
通过运用黄金比例，我们可以创造出更加美观、和谐和优雅的作品，也可以优化我们的生活和工作。
黄金比的历史知识
黄金比的历史知识黄金比，又称黄金分割，是一种被广泛运用于美学和艺术领域的比例关系。
它由一个数学常数表示，约等于 1.618。
这个数被称为黄金比数，也被称为费波那契数。
黄金比的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的作品中。
在他的著作《几何原本》中，他详细介绍了黄金比的性质和应用。
黄金比被广泛运用于建筑、绘画、音乐和设计等领域，被认为是一种具有美感和和谐的比例关系。
在建筑中，黄金比经常被用来决定建筑物的尺寸和比例。
许多古代建筑物，如古希腊的巴特农神庙和埃及的金字塔，都使用了黄金比来创建视觉上的和谐。
黄金比的比例被认为是最令人愉悦和美观的比例，能够给人一种舒适和平衡的感觉。
在绘画和摄影领域，黄金比也被广泛运用。
艺术家经常使用黄金比来决定画布的布局和物体的位置。
通过将关键元素放置在黄金比的位置，可以创造出令人愉悦和吸引人的画面。
许多著名的艺术品，如达·芬奇的《蒙娜丽莎》和毕加索的《基督的受难》，都使用了黄金比来构图。
音乐中也有黄金比的应用。
许多作曲家使用黄金比来决定乐曲的结构和节奏。
黄金比的比例被认为是一种能够引起人们情感共鸣的音乐形式。
著名的作曲家巴赫和贝多芬等人都曾在他们的作品中使用黄金比。
黄金比的应用还可以在设计和广告中看到。
很多设计师使用黄金比来布局网页、海报和广告等。
通过使用黄金比，可以创造出令人愉悦和吸引人的设计作品。
黄金比在美学和艺术领域中起着重要的作用。
它被广泛运用于建筑、绘画、音乐和设计等领域，创造出令人愉悦和和谐的作品。
黄金比的比例关系被认为是一种具有美感和吸引力的比例，能够给人一种舒适和平衡的感觉。
无论是古代还是现代，黄金比都是一个深受人们喜爱和追求的数学概念。
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简论中国古代数学中的“黄金分割率”黄金分割,被誉为数学上的“黄金”与“宝石”。
古代希腊毕达哥拉斯学派以及大几何学家欧几里德等都曾深入研究过黄金分割问题。
中世纪时,这一数学命题又与著名的斐波那契数列联系起来,从而获得许多新的性质。
在西方数学传入中国之前,中国人不曾直接论述黄金分割问题。
但是,中国古代数学中实际上也蕴含着黄金分割问题,只是其表达方式有所不同。
中国古代数学中的黄金分割率不像欧几里德几何那样演绎得清楚明白,需要我们去发现。
我们无法确证中国古代数学家是否明确意识到“黄金分割率”,但仍可以从许多中国古代数学问题中推导和演绎出“黄金分割率”,这有助于充分认识中国古代数学的价值。
1 勾股术与黄金分割率明末清初西方数学传入中国,中国数学家知道了黄金分割率,开始有人试图论证黄金分割率在中国是“古已有之”。
例如,清代数学家梅文鼎(公元1633 - 1721 年) 曾在《几何通解》自序中说:“惟理分中末线(即黄金分割率———引者注) 似与勾股异源,. . . . . . 而仍出于勾股。
信古九章之义包举无方。
”他是这样推导的:假如一直角三角形的股长是其勾长的二倍,则这个直角三角形的勾弦之和等于勾弦之差再加上股,其勾弦之和就被勾弦之差和股分成中末比。
他还说:“《几何原本》理分中末线,但求作之法而莫知所用。
今依法求得十二等面体及二十等面体之体积,因得其各体中棱线及轴心、对角诸线之比例,又两体互相容及两体与立方、立圆诸体相容各比例, 并以理分中末为法, 乃知此线原非徒设。
”〔1〕按照梅文鼎的观点,中西数学虽然形式上有所不同,理论上是可以会通的;西方的几何学,无非是中国的勾股术,中末线也可以从勾股术中导出。
应当说,梅文鼎在中西数学比较中看出了两者的异中之同,以及黄金分割率与勾股术的联系(现在中学教科书通常用代数法解作图题,其中运用勾股定理) ,但中国古代数学毕竟没有明确作出“中末线”,梅文鼎还是夸大了中西数学的异中之同,他没有看到欧几里德给黄金分割率严格而清晰的证明的独特价值。
欧几里德在其《几何原本》卷Ⅱ第11 题中表述: “分已知线段为两部分,使全线段与一小线段构成的矩形的面积等于另一小线段上的正方形的面积。
”这里,欧氏几何学给黄金分割的证明结果上升到定理的高度。
关于这一点,梅文鼎本人也慨叹,中国古代数学家没有从勾股术中看出黄金分割率是非常可惜的。
2 “河图”、“洛书”与黄金分割率从数学上说,河图洛书是一种古老的数字组合方式,也是中国古代数学的源头。
其中也隐含着黄金分割率。
清代著名学者江永(江慎修) (公元1681 - 1762）年) 在《河洛精蕴》中已经指出河图中的黄金分割率(他称之为“神分线”) 。
他将河图中宫十数为股,五数为勾,然后各自自乘,再开方得弦,即:52 (勾) + 102 (股) = 11. 182 (弦)再,5 (勾) + 11. 18 (弦) = 16. 18 (勾弦和)11. 18 (弦) - 5 (勾) = 6. 18 (勾弦较)10 (股) - 6. 18 (勾弦较) = 3. 819这样,以16. 18 (勾弦和) 为长,则,6. 18 (小段) / 10 (大段) = 0. 618其中,16. 18 (勾弦长) ×6. 18 (勾弦较) = 99. 9910 (股) ×10 (股) = 100若,以10 (股) 为长,则3. 819 (小段) / 6. 18 (大段) = 0. 6179其中,10 (股) ×3. 819 = 38. 19如是,江永说:“八线表半径用全数如十,则勾弦较六一八O 三三九,即十边三十六度之通弦。
其列率即《洛书》三率连比例之理。
其所得十边通弦之数,实生于五与十,而五十即《河图》之中宫,至平中有至奇焉。
西人秘惜其法,谓此线为神分线,岂知神奇即在目前哉”〔2〕?这里,我们看到,从河图演算出的黄金分割率是与数“五”与“十”密切相关的。
在河图中,“五”与“十”两数具有特殊的意义。
河图由一、二、三、四、五、六、七、八、九、十共十个数字组成,其中一、二、三、四、五称为生数,六、七、八、九、十称为成数。
十个数相加为55 ,被古人称为“天地之数”。
《周易·系辞传》曰:“天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、地八、天九、地十。
天数五,地数五,五位相得,而各有合,天数二十有五,地数三十,凡天地之数五十有五,此所以成变化而行鬼神也。
”其实,“五十”之为“天地之数”,并非它能行鬼神之变化,这当中反映出上古先民所创造的十进制的计数方法,而十以内的任何数字都可以运用四则运算法加以计算。
也就是说,任何一个数的平方都可以用这种简单的加法求出来,利用它的逆运算,任何一个数的开方也可以用简单的减法求出来。
《周易·系辞传》曰:“大衍之数五十,其用四十有九。
”《周髀算经》解释说:“禹治洪水,始广用勾股弦,故称其为大衍数。
”可见,运用勾股定理对“天地之数”或“大衍之数”“五”与“十”进行简单的运算即可求出其中蕴含的黄金分割率。
这说明,黄金分割率并非什么神秘之物,它可以明白地表现在线段和图形之比例关系当中,也可以表现在非常简单的数字关系中。
至于洛书,它与黄金分割率也有联系。
由洛书演化的“九宫图”,如果将其与斐波那契数列相联系,亦可找到其中的内在联系。
有趣的是,生活在与贾宪年代相差不远的哲学家程颐在其《易程传》中,对64 卦按所含阳爻数目的多少进行分类。
其结果正好是杨辉记录的贾宪三角形的最后一层的数据。
后人将《易程传》原文对64 卦按阳爻的数目进行组合分类的排列进行统计的时候,又发现,这个分布图与贾宪三角形十分相像。
从64 卦的分布可以直接导出一个贾宪三角形〔5〕! 这恐怕不是巧合。
联系到八卦与河图、洛书,河图、洛书与黄金分割和斐波那契数列的内在联系,我们有理由得出64 卦也与黄金分割、斐波那契数列有内在联系的结论,由此还可看出,黄金分割率决不只是单纯的几何学问题,它也广泛地蕴含于以数值化为特征的中国古代数学中。
4 “五运六气”学说与黄金分割率我们知道,正五角星形各线段之比为黄金分割值,而中国传统医学的“五运六气”学说中实际上已经蕴含了正五角星形,因此也蕴涵了黄金分割率。
“五运六气”学说与五行思想有密切关系。
《国语·郑语》曰:“先王以土与金木水火杂,以成百物。
” 《尚书·洪范》曰:“五行:一曰水,二曰火,三曰木,四曰金,五曰土。
”后来“五行”与“五方”联系起来,即中、东、南、西、北五方。
在这种观念中“, 土”居中,起支配作用“, 五方”并不构成五个角。
到了战国时期,五行思想有了进一步的发展,形成了以邹衍为代表的阴阳五行学说。
其相生相克的原理突破了殷人以土居中的“五方”观念,用正五边形和五角星形来形象地表示这一学说是再恰当不过的了。
5 黄赤交角与黄金分割率我国是世界上天文学发达最早的国家之一。
在天文观测实践中,古代数学获得了长足进步。
特别是投影几何学、三角函数学等测量数学在当时世界上取得领先成绩。
这其中,黄道面与赤道面交角数值的确定以及与之相关的36°角、72°角的形成皆与黄金分割率有明显的联系。
关于黄赤交角。
据史料记载,世界上最古老的星表之一———我国的《石氏星经》已经确定了赤道座标体系,而且已经知道了黄道倾角。
成书于公元前一世纪的《周髀算经》有用圭表测影并用勾股定理进行天文计算的记录。
当时用垂直于地面的高八尺表,在中午测日影长,用日影长度来定义每年二十四节气,这是治历各家的重要参数。
关于两至影长的具体数字,东汉的贾逵在注释《周髀算经》时说:“冬至日距极为百一十五度,夏至日距极六十七度。
”(《后汉书》卷十二) 以二除两者之差,得整数二十四度(折合现在的23°39’18 〃) 。
东汉另一位天文学家张衡(公元78 - 139 年) 在《浑仪》一书的残篇中有如下记载:“赤道横带浑天之腹,去极九十一度十九分之五。
黄道斜带其腹,出赤道表里各二十四度。
故夏至去极六十七度而强,冬至去极百一十五度亦强也。
”张衡再次给出了黄赤交角的具体数值。
隋唐以降,黄赤交角的数值计算得越来越精确。
徐昂的宣明历(公元822 年) 所用的黄赤交角值为23°34′55″,仅比理论值小37″。
元代数学家郭守敬等人于《授时历》中多次应用了沈括的“会圆术”,并配合使用相似三角形各线段间的比例关系,从而在推算“赤道积度”、“赤道内外度”方面创立了新的方法。
从数学意义上来讲,新的方法相当于开辟了通往球面三角法的途径。
由于采用了新的方法“, 中国的一整套观测值(以郭守敬极精确的数值为最高峰) ,曾为18 世纪天文学家关于所谓黄道倾角易变性的讨论提供了证据”6 结语以上通过对中国古代数学中蕴涵的“黄金分割率”的分析和论证,我们至少可以得到两点启发:第一,黄金分割率普遍地蕴含于数学的许多分支学科中,中国古代数学作为世界数学发展的一种类型,同样与黄金分割率有着内在的联系。
如前所述,有关黄金分割的数学问题非常广泛,而尤以斐波那契数列所蕴涵的数学问题最为丰富。
例如,在欧几里德算法的计算过程中,为了求出两个给定正整数的最大公因数,数学家G. 拉梅(Lame , 1795 - 1870 年) 提出了下述巧妙的定理:为了求出两个正整数的最大公因数,所需进行的除法的次数决不大于较少整数的位数的五倍。
而这个定理的证明首先要用到斐波那契数列的某些性质〔9〕。
我们知道,欧几里德关于求取两个正整数的最大公因子的算法同我国古代《九章算术》中的“更相减损术”是相同的。
这也就是说,“更相减损术”与斐波那契数列的某些性质也是有联系的。
相关的问题,我们甚至还可以在数论的重要分支丢番图逼近(Diophan2 tine Approximation) 中找到。
我国著名数学家华罗庚在其数论研究中涉及到的丢番图逼近方程与斐波那契数列有关〔10〕。
上个世纪数学界的领军人物大卫·希尔伯特在1900 年巴黎国际数学家代表大会上的演讲中曾提到的第十个问题是丢番图方程可解性的判别。
1970 年,前苏联科学家马蒂雅舍维奇在前人研究的基础上,引入了斐波那契数列,从而解决了希尔伯特第十个问题〔11〕。
这表明,黄金分割率不只是在初等数学有,而且在高等数学甚至数学的前沿学科中也广泛蕴涵着;不只在西方数学体系中广为存在,而且在东方诸国的数学体系中也时隐时现。
因此,在西方以外的数学体系中“发掘”出黄金分割率并不是值得大惊小怪的事情。
第二,黄金分割问题的解决有赖于东西方数学思想和方法的互补。
古代希腊数学家们热衷于对纯粹几何图形的演绎证明,这使他们作出了包括黄金分割线段在内的许多几何证明,但他们往往与无理数概念及离散、无穷、极限等思想失之交臂〔12〕。