浙江省宁波市2018-2019学年九年级上期中数学试题卷(含部分答案)
2018-2019 学年第一学期九年级期中测试
数学试题卷
一、选择题（每小题 4 分，共48 分）
1.抛物线y = 2(x - 3)2 +1的顶点坐标是()
A．(3，1)B．(3，－1)C．(－3，1)D．(－3，－1)
2.下列选项中属于必然事件的是()
A.从只装有黑球的袋子摸出一个白球
B.不在同一直线上的三个点确定一个圆
C.抛掷一枚硬币，第一次正面朝上，第二次反面朝上
D.每年10 月1 日是星期五
3.一条水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O 到
水面的距离OC 的的长是()
A．4B．5C．6D．8
第3 题图第5 题图第6 题图
4.将抛物线y =x2 先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位后所得抛物线的解析式为()
A．y = (x - 2)2 +3B．y = (x - 2)2 -3C．y = (x + 2)2 +3D．y = (x + 2)2 - 3 5.如图，点A，B，C 在⊙O 上，若∠BOC=72º，则∠BAC 的度数是()
A．18°B．36°C．54°D．72°
6.甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的
统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是()
A.掷一枚质地均匀的正六面体的骰子，向上的一面点数是1 点的概率
B.抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率
C.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率
D.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率
7.圆内接四边形ABCD 中，若∠A∶∠B∶∠C =1∶2∶3，则∠D 的度数是()
A．45°B．60°C．90°D．135°
8.下列命题正确的个数是()
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧
③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
9.二次函数 y = a (x - m )2 - n 的图象如图，则一次函数 y = mx + n 的图象经过(
)A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限
C ．第二、三、四象限
D ．第一、三、四象限
第 9 题图第 10 题图第 11 题图第 12 题图
10.若干个正方形按如图方式拼接，三角形 M 经过旋转变换能得到三角形 N ，下列四个点能作
为旋转中心的是( )
A ．点 A
B ．点 B
C ．点 C
D ．点 D
11.如图，CD 是⊙O 的弦，O 是圆心，把⊙O 的劣弧沿着 CD 对折，A 是对折后劣弧上的一
点，∠CAD =100°，则∠B 的度数是( )
A ．50°
B ．60°
C ．80°
D ．100°
12.如图，动点 A 在抛物线 y = -x 2 + 2x + 3(0 ≤ x ≤ 3) 上运动，直线l 经过点(0，6)，且与 y
轴垂直，过点 A 作 AC ⊥l 于点 C ，以 AC 为对角线作矩形 ABCD ，则另一对角线 BD 的取值范围正确的是( )
A. 2 ≤ BD ≤ 3
B. 3 ≤ BD ≤ 6
C.1≤ B D ≤ 6
D. 2 ≤ BD ≤ 6
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
13.已知⊙O 的半径为 5，若 P 到圆心 O 的距离是 4，则点 P 与⊙O 的位置关系是 ．
14.盒子里有 3 支红色笔芯，2 支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同．从中任意摸出一支
笔芯，则摸出黑色笔芯的概率是 ．
15．已知点(－1，y 1)，(0，y 2)，(4，y 3)都在抛物线 y = ax 2 - 2ax + 5(a > 0) 上，则 y 1，y 2，y 3
的大小关系 ．（用“<”连接）
16.如图，边长相等的正五边形和正六边形拼接在一起，则∠ABC 的度数为 ．
第 16 题图
第 18 题图17.若抛物线 y = 2x 2 + x + c 与坐标轴有两个交点，则字母c 应满足的条件是 ．
18.如图是小明制作的一副弓箭，点 A ，D 分别是弓臂 BAC 与弓弦 BC 的中点，沿 AD 方向
拉弓的过程中，假设弓臂 BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长；当弓箭从自然状态的点 D 拉到点 D 1 ，使其成为以 D 1 为圆心的扇形 B 1 AC 1 ， B 1C 1 垂直平分 AD 1 ， AD 1 = 30 cm ，则弓臂 BAC 的长度是 ．
三、解答题（第19 题6 分，第20—21 题各8 分，第22—24 题各10 分，第25 题12 分，第
26 题14 分，共78 分）
19.已知二次函数当x=1 时，y 有最大值为5，且它的图象经过点(2，3)，求这个函数的表达
式．
20.如图在Rt△ABC 中，∠C=90°．
(1)请用直尺和圆规在图中画出直角△ABC 的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若AC=5，BC=12，请直接写出该直角三角形的外接圆的面积．
A
C B
21.某市今年中考理、化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容．规定：每位
考生必须在三个物理实验（用纸签A、B、C 表示）和三个化学实验（用纸签D、E、F 表示）中各抽取一个进行考试．小刚在看不到纸签的情况下，分别从中各随机抽取一个．
(1)用“列表法”或“树状图法”表示所有可能出现的结果；
(2)求小刚抽到物理实验B 和化学实验F 的概率．
22.如图，点A，B，C，D 在⊙O 上，连结AB，CD，BD，若AB=CD．
求证：∠ABD=∠CDB．
23.如图，抛物线y =ax2 +c 与直线y = 3 相交于点A，B，与y 相交于点C(0，－1)，其中点
A 的横坐标为－4．
(1)计算a，c 的值；
(2)求出抛物线y =ax2 +c 与x 轴的交点坐标；
24.如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB⊥CD 于点E，OF⊥AC 于点F，BE=OF．
(1)求证：△AFO≌△CEB；
(2)若BE=4，CD 8 3 ，求：
①⊙O 的半径；
②求图中阴影部分的面积．
25.为满足市场需求，某超市购进一种品牌糕点，每盒进价是40 元．超市规定每盒售价不得
少于45 元．根据以往销售经验发现，当售价定为每盒45 元时，每天可以卖出700 盒，每盒售价每提高 1 元，每天要少卖出20 盒．
(1)试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；
(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
(3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种糕点的每盒售价不得高于58 元．如果超市想
要每天获得不低于6000 元的利润，那么超市每天至少销售糕点多少盒？
26.定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
(1)如图1，若四边形ABCD 是圆美四边形，求美角∠A 的度数．
(2)在(1)的条件下，若⊙O 的半径为5．
①求BD 的长．
②如图2，在四边形ABCD 中，若CA 平分∠BCD，则BC+CD 的最大值是．
(3)在(1)的条件下，如图3，若AC 是⊙O 的直径，请用等式表示线段AB，BC，CD 之间的
数量关系，并说明理由．
2018-2019 学年第一学期九年级期中测试部分数学试题卷参考答案
一、选择题（每小题 4 分，共48 分）
题号123456789101112答案A B C D B D C B A C C D
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
2
13．点P 在⊙O 内14．
15．y2<y1<y3
5
16．24°17．c 1
或018．20πcm 8。
人教版2018-2019学年度九年级中考数学试卷含答案
人教版2018-2019学年度九年级中考数学模拟试卷含答案一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．﹣2017的倒数是（）A．B．﹣C．2017 D．﹣20172．已知25x=2000，80y=2000，则等于（）A．2 B．1 C．D．3．光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500 000 000 000km，这个数据用科学记数法表示是（）A．0.95×1013 km B．9.5×1012 km C．95×1011 km D．9.5×1011 km4．下面图中所示几何体的左视图是（）A．B． C． D．5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到荆州观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整）．根据图中信息，下列结论错误的是（）A．本次抽样调查的样本容量是5000B．扇形图中的m为10%C．样本中选择公共交通出行的有2500人D．若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有25万人7．我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）A．8% B．9% C．10% D．11%8．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB=4，AC=6，DF=9，则DE=（）A．5 B．6 C．7 D．89．如图①，在正方形ABCD中，点P从点D出发，沿着D→A方向匀速运动，到达点A后停止运动．点Q从点D出发，沿着D→C→B→A的方向匀速运动，到达点A后停止运动．已知点P的运动速度为a，图②表示P、Q两点同时出发x秒后，△APQ的面积y与x的函数关系，则点Q的运动速度可能是（）A． a B． a C．2a D．3a10．如图，AB为⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是（）A．2B．3 C．3D．3二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值=．12．已知关于x的一元二次方程x2﹣m=2x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．13．有一个三角形纸片ABC，∠C=36°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则∠A的度数可以是．14．如图，在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，1），过点A的直线l垂直于线段AB，点P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处．若以A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标为．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）15．（8分）化简：（1﹣）÷16．（8分）有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如下图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱项距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时，高度为5m的船是否能通过该桥？请说明理由．四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．（8分）在如图所示的网格中，每个小方格的边长都是1．（1）分别作出四边形ABCD关于y轴、原点的对称图形；（2）以原点O为中心，将△ABD顺时针旋转90°，试画出旋转后的图形，并求旋转过程中△ABD扫过图形的面积．18．（8分）学之道在于悟．希望同学们在问题（1）解决过程中有所悟，再继续探索研究问题（2）．（1）如图①，∠B=∠C，BD=CE，AB=DC．①求证：△ADE为等腰三角形．②若∠B=60°，求证：△ADE为等边三角形．（2）如图②，射线AM与BN，MA⊥AB，NB⊥AB，点P是AB上一点，在射线AM 与BN上分别作点C、点 D 满足：△CPD为等腰直角三角形．（要求：利用直尺与圆规，不写作法，保留作图痕迹）五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）19．（10分）随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME 与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF 的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．20．（10分）如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．21．（12分）向阳中学为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，调查者随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表（图）．根据图表信息，解答下列问题：频率分布表（1）填空：a=，b=，m=，n=；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）阅读时间不低于5小时的6人中，有2名男生、4名女生．现从这6名学生中选取两名同学进行读书宣讲，求选取的两名学生恰好是两名女生的概率．七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）22．（12分）已知抛物线的顶点为（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（Ⅰ）求该抛物线的解析式及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；（Ⅱ）点P（m，1）为抛物线上的一个动点，点P关于原点的对称点为P′．①当点P′落在该抛物线上时，求m的值；②当P′落在第二象限内，P′A取得最大值时，求m的值．23．（14分）阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为；（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为；（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．请从下列A、B两题中任选一条作答：我选择题．A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含b的式子表示）；②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=（用含n，b的式子表示）；B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=（用含b的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=（用含m，n，b的式子表示）．参考答案与试题解析1．解：﹣2017的倒数是﹣．故选：B．2．解：∵25x=2000，80y=2000，∴25x=25×80，80y=25×80，∴25x﹣1=80，80y﹣1=25，∴（80y﹣1）x﹣1=80，∴（y﹣1）（x﹣1）=1，∴xy﹣x﹣y+1=1，∴xy=x+y，∵xy≠0，∴=1，∴+=1．故选：B．方法二：25x=2000∴25xy=2000y=（25×80）y=25y•80y=25y•25x=25x+y，∴xy=x+y，∴+=1，故选：B．3．解：9500 000 000 000km用科学记数法表示是9.5×1012 km，故选：B．4．解：图中所示几何体的左视图是．故选：B．5．解：∵解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，在数轴上表示为：，故选：A．6．解：A、本次抽样调查的样本容量是=5000，正确；B、扇形图中的m为10%，正确；C、样本中选择公共交通出行的有5000×50%=2500人，正确；D、若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有50×40%=20万人，错误；故选：D．7．解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得6000（1﹣x）2=4860，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．答：平均每次下调的百分率为10%．故选：C．8．解：∵l1∥l2∥l3，AB=5，AC=8，DF=12，∴，即，可得；DE=6，故选：B．9．解：本题采用筛选法．首先观察图象，可以发现图象由三个阶段构成，即△APQ的顶点Q所在边应有三种可能．当Q的速度低于点P时，当点P到达A时，点Q还在DC 上运动，之后，因A、P重合，△APQ的面积为零，画出图象只能有一个阶段构成，故A、B错误；当Q的速度是点P速度的2倍，当点P到点A时，点Q到点B．之后，点A、P重合，△APQ的面积为0．期间△APQ面积的变化可以看成两个阶段，与图象不符，C错误．故选：D．10．解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC是直径时，最大，如图，∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，∴AD=6，∴MN=AD=3，故选：C．11．解：∵①=1；②=3=1+2；③=6=1+2+3；④=10=1+2+3+4，∴=1+2+3+4+…+28=406．12．解：整理方程得：x2﹣2x﹣m=0∴a=1，b=﹣2，c=﹣m，方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4+4m＞0，∴m＞﹣1．13．解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，①BC=CD，此时∠CDB=∠DBC=（180°﹣∠C）÷2=72°，∴∠BDA=180°﹣∠CDB=180°﹣72°=108°，AB=AD时，∠ABD=108°（舍去）；或AB=BD，∠A=108°（舍去）；或AD=BD，∠A=（180°﹣∠ADB）÷2=36°；②BC=BD，此时∠CDB=∠C=36°，∴∠BDA=180°﹣∠CDB=180°﹣36°=144°，AB=AD时，∠ABD=144°（舍去）；或AB=BD，∠A=144°（舍去）；或AD=BD，∠A=（180°﹣∠ADB）÷2=18°；③CD=BD，此时∠CDB=180°﹣2∠C=108°，∴∠BDA=180°﹣∠CDB=180°﹣108°=72°，AB=AD时，∠A=180°﹣2∠ADB=36°；或AB=BD，∠A=72°（舍去）；或AD=BD，∠A=（180°﹣∠ADB）÷2=54°．综上所述，∠A的度数可以是18°或36°或54°或72°．故答案为：18°或36°或54°或72°．14．解：∵点A（2，0），点B（0，1），∴直线AB的解析式为y=﹣x+1∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB，∴直线L的解析式为；y=2x﹣4，∠BAO+∠PAC=90°，∵PC⊥x轴，∴∠PAC+∠APC=90°，∴∠BAO=∠APC，∵∠AOB=∠ACP，∴△AOB∽△PCA，∴=，∴==，设AC=m，则PC=2m，∵△PCA≌△PDA，∴AC=AD，PC=PD，∴==，如图1：当△PAD∽△PBA时，则=，则==，∵AB==，∴AP=2，∴m2+（2m）2=（2）2，∴m=±2，当m=2时，PC=4，OC=4，P点的坐标为（4，4），当m=﹣2时，如图2，PC=4，OC=0，P点的坐标为（0，﹣4），如图3，若△PAD∽△BPA，则==，PA=AB=，则m2+（2m）2=（）2，∴m=±，当m=时，PC=1，OC=，P点的坐标为（，1），当m=﹣时，如图4，PC=1，OC=，P点的坐标为（，﹣1）；故答案为：P（4，4），p（0，﹣4），P（，﹣1），P（，1）．15．解：原式=•=•=﹣．16．解：不能通过．设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18，R2=302+（R﹣18）2，R2=900+R2﹣36R+324解得R=34m连接OM，在Rt△MOE中，ME=16，OE2=OM2﹣ME2即OE2=342﹣162=900，∴OE=30，∴DE=34﹣30=4，∴不能通过．（12分）17．解：（1）所画图形如下图所示，（2）如上图所示，△A′B′D′即为△ABD顺时针旋转90°后得到的图形，在旋转过程中可知：△ABD扫过图形的面积即是线段AB所扫过的扇环面积（S1）与△ABD的面积（S2）之和（S），则有：S=S1+S2=[π×OA2﹣π×OB2]+×AD×1=[π×（22+42）﹣π×（12+12）]+×2×1=+1．18．解：（1）①证明：∵∠B=∠C，BD=CE，AB=DC，∴△ABD≌DCE，∴AB=DC，∴△ADE为等腰三角形；②∵△ABD≌△DCE，∴∠BAD=∠CDE，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，又∵∠BAD=∠CDE．∴∠ADE=∠B=60°，∴等腰△ADE为等边三角形．（2）有三种结果，如图所示：19．解：∵AC∥ME，∴∠CAB=∠AEM，在Rt△ABC中，∠CAB=28°，AC=9m，∴BC=ACtan28°≈9×0.53=4.77（m），∴BD=BC﹣CD=4.77﹣0.5=4.27（m），在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD=90°，在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC=90°，∴∠BDF=∠CAB=28°，∴DF=BDcos28°≈4.27×0.88=3.7576≈3.8 （m），答：坡道口的限高DF的长是3.8m．20．解：（1）设反比例函数解析式为y=，把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，∴反比例函数解析式为y=；把A（3，m）代入y=，可得3m=6，即m=2，∴A（3，2），设直线AB 的解析式为y=ax+b，把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，解得，∴直线AB 的解析式为y=x﹣1；（2）由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；（3）存在点C．如图所示，延长AO交双曲线于点C1，∵点A与点C1关于原点对称，∴AO=C1O，∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y=x，可设直线C1C2的解析式为y=x+b'，把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2=×（﹣3）+b'，解得b'=，∴直线C1C2的解析式为y=x+，解方程组，可得C2（，）；如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，设直线AC3的解析式为y=x+b“，把A（3，2）代入，可得2=×3+b“，解得b“=﹣，∴直线AC3的解析式为y=x﹣，解方程组，可得C3（﹣，﹣）；综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（，），（﹣，﹣）．21．解：（1）∵本次调查的总人数b=9÷0.15=60，∴a=60﹣（9+18+12+6）=15，则m==0.25、n==0.2，故答案为：15、60、0.25、0.2；（2）补全频数分布直方图如下：（3）用X、Y表示男生、A、B、C、D表示女生，画树状图如下：由树状图知共有30种等可能结果，其中选取的两名学生恰好是两名女生的结果数为12，所以选取的两名学生恰好是两名女生的概率为=．22．解：（Ⅰ）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴0=a（3﹣1）2﹣4，解得a=1，∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3，令y=0可得x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或x=﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，0）；（Ⅱ）①由点P（m，1）在抛物线y=x2﹣2x﹣3上，有l=m2﹣2m﹣3．又点P关于原点的对称点为P′，∴P′（﹣m，﹣1）．∵点P′落在抛物线y=x2﹣2x﹣3上，∴﹣l=（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即l=﹣m2﹣2m+3，∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得m1=，m2=﹣；②∵P′落在第二象限内，∴点P（m，1）在第四象限，即m＞0，l＜0．23．解：（1）∵点H是AD的中点，∴AH=AD，∵正方形AEOH∽正方形ABCD，∴相似比为：==；故答案为：；（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，∴△ACD与△ABC相似的相似比为：=，故答案为：；（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，∴AF：AB=AB：AD，即a：b=b：a，∴a=b；故答案为：②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，则b：a=a：b，∴a=b；故答案为：B、①如图2，由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，∴DN=b，Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∽矩形ABCD，∴FD：DN=AD：AB，即FD：b=a：b，解得FD=a，∴AF=a﹣a=a，∴AG===a，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即a：b=b：a得：a=b；Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，∴FD：DN=AB：AD即FD：b=b：a解得FD=，∴AF=a﹣=，∴AG==，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a=b；故答案为：或；②如图3，由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，∴DN=b，Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，∵矩形FMND∽矩形ABCD，∴FD：DN=AD：AB，即FD：b=a：b，解得FD=a，∴AF=a﹣a，∴AG===a，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即a：b=b：a得：a=b；Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，∵矩形DFMN∽矩形ABCD，∴FD：DN=AB：AD即FD：b=b：a解得FD=，∴AF=a﹣，∴AG==，∵矩形GABH∽矩形ABCD，∴AG：AB=AB：AD即：b=b：a，得：a=b；故答案为：b或b．。
2018-2019学年九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定作业设计 (新版)北师大版
1.2矩形的性质与判定一、选择题（本题包括11个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. BD的长度增大C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AD3. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）A. 17B. 18C. 19D. 204. 如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A. 10cmB. 8cmC. 6cmD. 5cm5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（）A. 4B. 3C. 2D. 16. 一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是212，则该矩形的面积为（）A. 602B. 702C. 1202D. 14027. 如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=，则OE=（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 矩形具有而菱形不具有的性质是（）A. 对角线相等B. 两组对边分别平行C. 对角线互相平分D. 两组对角分别相等9. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两部分，则此矩形的周长为（）A. 16cmB. 22cmC. 26cmD. 22cm或26cm10. 矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）A. 57.5°B. 32.5°C. 57.5°，23.5°D. 57.5°，32.5°11. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（）A. 对角线相等的四边形B. 对角线垂直的四边形C. 对角线互相平分且相等的四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形二、填空题（本题包括3个小题）12. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．13. 平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC 平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________14. 木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为15cm，宽为8cm，对角线为17cm，这个桌面_________（填”合格”或”不合格”）三、解答题（本题包括5个小题）15. 如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形16. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积17. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．求证：四边形ABCD是矩形18. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？19. 如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE答案一、选择题1. 【答案】C【解析】由题意可知，当向右扭动框架时，BD可伸长，故BD的长度变大，四边形ABCD由矩形变为平行四边形，因为四条边的长度不变，所以四边形ABCD的周长不变.原来矩形ABCD的面积等于BC乘以AB，变化后平行四边形ABCD的面积等于底乘以高，即BC乘以BC边上的高，BC边上的高小于AB，所以四边形ABCD 的面积变小了，故A,B,D说法正确，C说法错误.故正确的选项是C.考点：1.四边形面积计算；2.四边形的不稳定性.2. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误考点：矩形的性质3. 【答案】D【解析】∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=OB，OM为△ACD的中位线，∴OM=CD=2.5，AC==13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO=AC=6.5,∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故选D．考点：矩形的性质．4. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=O B=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=5cm，故选D．考点：1．矩形的性质；2．等边三角形的判定与性质．5. 【答案】A【解析】在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．故选A．6. 【答案】A【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%-15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，故矩形的面积=21÷（50%-15%）=21÷35%=60（cm2）．故选A．考点：矩形的性质．7.【答案】A【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=60°，∴△ADO是等边三角形，∴OA=，∠OAD=60°，∴∠OAE= 30°，∵OE⊥AC，∴△OAE是一个含30°的直角三角形，∴OE=1，故选A．8.【答案】A【解析】∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．故选A．9. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，当AE=3cm时，AB=AE=3=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=3cm+8cm+3cm+8cm=22cm；当AE=5cm时，AB=AE=5cm=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+8cm+5cm+8cm=26cm；故选D．考点：矩形的性质．10. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，AB∥CD，AC=BD，AO=OC，OB=OD，∴OB=OA=OC=OD，∠OAB=∠OCD，∠DAO=∠OCB，∴∠OAD=∠ODA，∠OCB=∠OBC，∠ODC=∠OCD，∠OAB=∠OBA=×（180°﹣∠AOB）=×（180°﹣65°）=57.5°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=90°﹣57.5°=32.5°，即∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=32.5°，∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD=57.5°，对角线与各边所成的角度是57.5°和32.5°，故选D．点睛：本题考查了矩形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能正确运用矩形的性质进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等且互相平分．11. 【答案】B【解析】∵四边形EFGH是矩形，∴∠E=90°，∵EF∥AC，EH∥BD，∴∠E+∠EAG=180°，∠E+∠EBO=180°，∴∠EAO=∠EBO=90°，∴四边形AEBO是矩形，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，故选B．二、填空题12. 【答案】AC=BD．答案不唯一【解析】添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．答案不唯一．点睛：本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．13.【答案】①⑤【解析】要使得平行四边形ABCD为矩形添加：①∠ABC=90°；⑤AO=DO2个即可；故答案为：①⑤．14. 【答案】合格【解析】勾股定理的逆定理：若一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，则这个三角形的直角三角形.∵∴这个桌面合格.考点：勾股定理的逆定理点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理的逆定理，即可完成.三、解答题15. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥B D，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由（1）知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．∴EH=GF．在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．∴GH=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设∠A=α，则∠D=180°-α．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．∴∠DHG=∠DGH=．∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．考点：1.矩形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的判定与性质．16. 【答案】12.【解析】利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得CD（或BD）的长度，则矩形的面积=长×宽=AD•BD=AD•CD．解：∵AE∥BC，BE∥AC，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AE=CD．在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∴∠ADB=90°，BD=CD，∴BD=AE，∴平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，CD=BC=3，∴AD==4，∴四边形AEBD的面积为：BD•AD=CD•AD=3×4=12．点睛：本题考查了矩形的判定与性质和勾股定理，根据“等腰三角形的性质和有一内角为直角的平行四边形为矩形”推知平行四边形AEBD是矩形是解题的难点．17. 【答案】证明见解析.【解析】欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠F.∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°，∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．18. 【答案】AD＝140cm．【解析】过C作CM∥AB，交AD于M，推出平行四边形ABCM，推出AM=BC=80cm，AB=CM=60cm，∠B=∠AMC，求出∠D=∠MCD，求出CM=DM=60cm，代入AD=AM+DM求出即可．解：过C作CM∥AB，交AD于M，∵∠A=120°，∠B=60°，∴∠A+∠B=180°，∴AM∥BC，∵AB∥CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴AB=CM=60cm，BC=AM=80cm，∠B=∠AMC=60°，∵AD∥BC，∠C=150°，∴∠D=180°﹣150°=30°，∴∠MCD=60°﹣30°=30°=∠D，∴CM=DM=60cm，∴AD=60cm+80cm=140cm．19. 【答案】证明见解析.【解析】先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论．证明：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=（∠BAC+∠FAB）=90°，∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，∴四边形AEBD为矩形，∴AB=DE．点睛：本题主要考查矩形的判定和性质，由角平分线及等腰三角形的性质证明AE∥BD是解题的关键．。
2018-2019学年度第一学期期中质量检测数学试题(含答案)
2018-2019学年度第一学期期中质量检测七年级数学试题一 选择题：每小题3分，共8小题，共24分。
1.-3的相反数是（ ）A.3B.-3C.31 D.-312.如图所示的花瓶中，（ ）的表面，可以看作由所给的平面图形绕虚线旋转一周形成的。
3.根据国家旅游局数据中心综合测算，2016年国庆期间，全国累计旅游收入达四千八百亿元，四千八百亿元用科学记数法表示是（ ）A.4800×108B.48×1010 D.4.8×103 D.4.8×1011 4.一个六棱柱模型如图所示，底面边长都是5cm ，侧棱长为4cm ，这个六棱柱的所有侧面的面积之和是（ ）A.20cm 2B.60cm 2C.120cm 2D.240cm 25.下列各数：0，2-，-（-2），-32，21-，其中非负数有（ ）个.A.4B.3C.2D.16.一辆汽车a 秒行驶6m 米，则它2分钟行驶（ ）.A.3m 米 B.am 10米 C.am 20米 D.am 120米7.下列说法正确的有（）①-43表示3个-4相乘；②一个有理数和它的相反数的积必为负数；③数轴上表示2和-2的点到原点的距离相等；④若a2=b2，则a=b.A.1个B.2个C.3个D.4个8.两堆棋子，将第一堆的3个棋子移动到第二堆之后，现在第二堆的棋子数是第一堆棋子的3倍，设第一堆原有m个棋子，则第二堆的棋子原有（）个。
A.3mB.3m-3C.33m D.3m-12二填空题：每小题3分，共8小题，共24分。
9.如果收入50元记作+50元，那么支出35元记作.10.将一个长方体截去一角边长一个如图的新几何体，这个新几何体有个面，条棱，个顶点.11.某市2011年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高℃.12.请写出一个只含有字母x、y的三次二项式：.13.图1和图2中所有的正方形都全等。
将图1的正方形放在图2中的（从①②③④⑤中选填）位置，所组成的图形能够围成正方体。
浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)
鄞州区2023学年第一学期九年级期末考试数学试题考生须知：1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时间为120分钟．2．请将姓名、准考证号分别填写在答题卷的规定位置上．3．答题时，把试题卷I 的答案在答题卷I 上对应的选项位置，用2B 铅笔涂黑、涂满。
将试题卷的答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效．4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．试题卷I一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知的半径为4，P 为内一点，则OP 的长度可能是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．92．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．射击运动员射击一次恰好命中靶心B ．从一副完整的扑克牌中任抽一张，出现红桃AC ．抛掷骰子两次，出现数字之和为13D ．观察正常的交通信号灯变化10分钟，看到绿灯3．已知线段，点C 是线段AB 的黄金分割点，且，则线段AC 的长是（ ）ABCD4．四边形ABCD 内接于，，则的度数是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，是的内切圆，AB ，AC 分别与相切于D ，E 两点，已知，，则的周长为（）A ．14B ．C ．16D ．186．已知，，三点都在抛物线上，则、、的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．7．如图，的半径为5，弦，点C 在弦AB 上，延长CO 交于点D ，则CD 的取值范围是（ ）O O 1AB =AC BC >O 100B ∠=︒D ∠60︒80︒100︒120︒O ABC △O 1AD =7BC =ABC△()11,A y -()21,B y ()33,C y 23y x x m =-+1y 2y 3y 123y y y <<231y y y <<213y y y <<321y y y <<O 6AB =OA ．B ．C ．D ．8．如图，点G 是的重心，过点G 作分别交AB ，AC 于点M ，N ，过点N 作交BC 于点D ，则四边形BDNM 与的面积之比是（）A ．B ．C ．D ．9．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点及点M ，N 都是格点，AB 与格线CN 相交于点D ，AC 与MN 相交于点E ，则以下说法错误的是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，正的边长为1，点P 从点B 出发，沿方向运动，于点H ，下面是的面积随着点P 的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（ ）A ．函数图象的横轴表示PB 的长B ．当点P 为BC 中点时，点H 为线段AB 的三等分点C ．两段抛物线的形状不同D．图象上点的横坐标为试题卷Ⅱ二、填空题（每小题4分，共24分）11．在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向是______．12．一个布袋里装有3个红球、3个黄球和4个绿球，除颜色外其它都相同，搅匀后，随机摸出一个球是红球的概率为______．13．的两个锐角和满足，则的度数是______．14．如图，矩形ABCD 被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED 与原矩形ABCD 相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是______．68CD ≤≤810CD ≤≤910CD <<910CD ≤≤ABC △MN BC ∥ND AB ∥ABC △1:22:34:97:953⨯ABC △AB =2CE AE =ADE C ∠=∠45ACB ∠=︒ABC △B C A →→PH AB ⊥PHB △34231y x x =-+-ABC △A ∠B ∠()21sin tan 102A B -+-=C ∠15．如图1是杭州第19届亚运会会徽一“潮涌”，其主体为图2中的扇环．延长CA ，DB 交于点O ，，若，，则图2中扇环的面积为______（结果保留）16．如图，中，，，，CE 是斜边AB 上的中线，在直线AB 上方作，DE ，FE 分别与AC 边交于点M ，N ，当与相似时，线段CN 长度为______．三、解答题（17~19题各6分，20~21题各8分，22~23题各10分，24题12分，共66分）17．（1）计算：；（2）已知，求的值．18．某校团委决定组织部分学生参加主题研学活动，全校每班可推选2名代表参加，901班根据各方面考核，决定从甲、乙、丙、丁四名学生中随机抽取两名参与研学活动．（1）若甲已抽中，求从剩余3名学生中抽中乙参与研学的概率；（2）用画树状图或列表等适当的方法求甲和乙同时参与研学的概率．19．在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，以原点O 为位似中心，将放大到2倍得到．（1）在现有网格图中画出；（2）记线段BC 的中点为M ，求放大后点M 的对应点的坐标．20．如图1，沙滩排球比赛中，裁判垂直站在记录台上．如图2是从正面看到的示意图，记录台底部O 与垂直地面的球网支架底座E ，F 在同一水平线上，记录台与左侧球网距离OE 为0．5m ，裁判观察矩形球网ABCD 上点A 的俯角为42°，已知球网高度AE 为2．4m ．120AOB ∠=︒AB =4AC cm =2cm πRt ABC △90ACB ∠=︒8AC =6BC =DEF ABC △△EMN △BEC △22cos 45tan 602sin 30︒+︒-︒1224a b ++=2a b a b-+ABC △ABC △DEF △DEF △GPA ∠（1）求裁判员眼睛距离地面的高度PO ；（2）某次运动员扣球后，球恰好从球网上边缘AD 的点Q 处穿过，此时裁判员的视线PQ 正好看不到球网边界C 处（即P ，Q ，C 共线），若球网长度，球网下边缘离地面的距离CF 为1．5m ，求排球落点处Q 离球网边界CD 的距离．（结果精确到0．1m ）（本题参考数值，，．）21．如图，AB 为的直径，点P 为BA 延长线上一点，以点P 为圆心，PO 为半径画弧，以点O 为圆心，AB 为半径画弧，两弧相交于点C ，连结OC 交于点D ，连结PD ．（1）求证：PD 与相切；（2）若，，求的半径．22．根据以下材料，探索完成任务：智能浇灌系统使用方案材料如图1是一款智能浇灌系统，水管OP 垂直于地面并可以随意调节高度（OP 最大高度不超过2．4m ），浇灌花木时，喷头P 处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M 与点O 的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O 为圆心，OM 为半径的圆形浇灌区域．当喷头P 位于地面与点O 重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面0．1m ．如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长8m ，宽6m 的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O 处．8AD m =sin 420.67︒≈cos 420.74︒≈tan 420.90︒≈O O O PD =1cos 3POC ∠=O 2OM m =问题解决任务1确定水流形状在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究浇灌最大区域当调节水管OP 的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留）任务3解决具体问题若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管OP 至少需要调节到什么高度？23．已知二次函数的解析式为．（1）求证：该二次函数图象与x 轴一定有2个交点；（2）若，点，都在该二次函数的图象上，且，求n 的取值范围；（3）当时，函数最大值与最小值的差为8，求m 的值．24．如图1，内接于，直径，弦CD 与AB 相交于点E ．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，若，求CD 的长；（3）如图3，过点A 作CD 的平行线交于点M ，连结BD ，MC ，若，求的面积．鄞州区2023学年第一学期九年级期末考试数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共30分）题号12345678910答案ADABCBDCDD二、填空题（每小题4分，共24分）三、解答题（17~19题各6分，20~21题各8分，22~23题各10分，24题12分，共66分）注：1．阅卷时应按步计分，每步只设整分；π2224y x mx m =-+-+2m =()1,M n y ()22,N n y +120y y <35m x -≤≤ABC △O 12AB =BC =AE AC =ACD ∠4AE =O 1tan 3ACM ∠=BCD △2．如有其它解法，只要正确，各步相应给分17．（1）原式（2）∵，∴，∴．18．（1）乙同学参加研学的概率是．（2）画树状图如下∴甲和乙同时参与研学的概率为．19．（1）按要求作如图：21．（1）由题意得，，，∴BC 中点M 的坐标为，∵放大到2倍得到，∴点M 在上对应点的坐标为．（也可以由图像直接获得坐标）（2）∵，，∴，，∵，∴，∴，即，21222=⨯+⨯11==1224a b ++=2b a =2412a b a aa b a a--==-++1316DEF △PC PO =OC AB =()2,1.5ABC △DEF △DEF △()4,38AD m = 1.5CF m =80.58.5DH m =+= 2.4 1.50.9CD m =-=PQH CQD ∠=∠tan tan PQH CQD ∠=∠PH CDQH QD=0.450.98.5QD QD =-∴．（1）由题意得，，，∴，∴．∵点D 在上，PD 与OO 相切．（2）设的半径为r ，由（1）得：，又：，∴，即，∵，，∴，解得（舍去），∴的半径为2．22．（1）如图，以点O 为坐标原点，OM 方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系，此时，，顶点坐标为，设抛物线的函数表达为，将代入得，，∴抛物线的函数表达式为．（其他建系方式均可，按步给分）（2）当时，即将抛物线向上平移2．4个单位，得．令，则，解得：，（舍去），∴浇灌最大圆形区域面积为．（3）连结AC ，由题意知AC 过点O ，，∴，∴要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，浇灌半径至少为5m ．设，此时抛物线函数表达式为，将代入，得，解得，∴OP 至少调节到1．5m ．23．（1）∵，175.73QD m =≈PC PO =OC AB =CD OC OD AB OD OD =-=-=PD OC ⊥O O PD OC ⊥1cos 3POC =13OD PO =33PO OD r ==222PD OD PO +=PD =(()2223r r +=2r =2-O ()0,0O ()2,0M ()1,0.1()2y ax x =-()1,0.1()2y ax x =-110a =-211105y x x =-+2.4OP m =211105y x x =-+2112.4105y x x =-++0y =2110 2.4105x x =-++16x =24x =-236m π10AC m ==5OA m =OP h =211105y x x h =-++()5,0211055105h =-⨯+⨯+ 1.5h =()()()222414160m m =-⨯-⨯-+=>△∴的函数图象与x 轴一定有2个交点．（2）∵，∴．令，则，即，，∴函数图像与x 轴交点为和两点．∵点，都在该二次函数的图象上，且，①，即，②，即．综上所述，或．（3）∵，∴抛物线的对称轴为直线．①若，即，则当时，，当时，，∴，∴，．②若，则当时，，当时，，∵，不符合题意，舍去．③若时，则当时，，当时，，∴，∴，（舍去）．综上所述，或．24．（1）∵AB 是的直径，∴．∵，，∴，∴，∵，∴．（2）连结OC ，BD ，∵，，∴．∵，∴，∴，2224y x mx m =-+-+2m =24y x x =-+0y =240x x -+=10x =24x =()0,0()4, 0()1,M n y ()22,N n y +120y y <020n n <⎧⎨+>⎩20n-<<424n n <⎧⎨+>⎩24n <<20n -<<24n <<()222244y x mx m x m =-+-+=--+x m =352m m -+<2m <x m =max 4y =5x =()2min 54y m =--+()24548m ⎡⎤---+=⎣⎦15m =+25m =-25m ≤≤x m =max 4y =3x m =-min 5y =-()4598--=≠58m <≤5x =()2max 54y m =--+3x m =-min 5y =-()()25458m --+--=16m =24m =5m =-6m =O 90ACB ∠=︒12AB =BC =sin BC A AB ∠==45A ∠=︒AE AC =67.5ACD ∠=︒90ACB ∠=︒45A ∠=︒45ABC ∠=︒OB OC =45BCO ∠=︒90BOC ∠=︒∵，∴，∴．∵，又∵，，∴，∴（3）①当E 在线段OB 上时，连结OC ，连结BM 交CD 于点N ，∵，∴，∵，∴，又∵，，∴，∵，∴，∴，，∴．由（2）得，∴，∴．②当点E 在线段OA 上时，同理，∴，∴，∴．∵，∴，∴．4AE =642OE =-=EC ==1452BDC BOC EBC ∠=∠=︒=∠BCD ECB ∠=∠BCD ECB ~△△BC CD EC BC =2BC CD EC ==CD AM ∥90BNE BMA ∠=∠=︒90BOC ∠=︒BNE BOC ∠=∠BEN CEO ∠=∠ECO ABM ACM ∠=∠=∠1tan tan 3ECO ACM ∠=∠=6OC =·tan 2OE OC ECO ==EC ==624BE =-=1122ECB S BE OC =⋅=△BCD ECB △△295BCD ECB S BC S EC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△910855BCD ECB S S ==△△1tan tan 3ECO ACM ∠=∠=tan 2OE OC ECO =⋅∠=CE ==628BE =+=1242ECB S BE OC =⋅=△BCD ECB △△ 295BCD ECB S BC S EC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△921655BCD ECB S S ==△△。
浙江省宁波市镇海区镇海蛟川书院2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
浙江省宁波市镇海区镇海蛟川书院2022-2023学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．306．如图所示，在△ABC的面积为（）A．4B．67．如图，在正方形网格中，ABC绕某点旋转一定的角度得到心是点（）A．O B．PA．B D∠=∠C．ABADBCDE=9．如图，AB是半圆的直径，∠2BE DE=，4AB=，则AE长为（A ．2B ．21+10．如图，点P 是平行四边形ABCD 行四边形ABCD 的四边于E F ，，边形~FBGP 四边形EPHD ，且四边形项正确的是（）A ．EP PH =B ．AN =二、填空题11．抛物线223y x x =-++的对称轴是12．已知线段4cm =a ，5cm b =16．如图，等腰ABC 内接于O ，AB AC =，120BAC ∠=︒，点D 是 AC 上一点，连接BD ，点E 是BD 上一点，满足ABE ECB ∠=∠．若2CD =，则AEC △的面积是___________．21．二次函数2y ax bx c =++(1)如图1，在ABC 中，D E F ，，分别为AB AC BC ，，上的点，,DE BC AF ∥于点G ，求证：DG BF EG CF =．【尝试应用】(2)如图2，已知D E 、为ABC 的边BC 上的两点，且满足24BD DE CE ==，行于AB 的直线分别交AD AE 、和AC 于点L M 、和N ，求LM MN的值．【拓展提高】(3)如图3，点E 是正方形ABCD 的边CD 上的一个动点，3AB =，延长CD 至点F 2DF DE =，连接CG ，求CG 的最小值．24．如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 平分ABC ∠，过点D 作DE AB ∥，于点E ，连结AE 交BD 于点F ．已知AFD ADB CDE ∠=∠+∠，(1)①假设ABD α∠=，则AFD ∠=___________．②证明：AB AE =；(2)若22AB BF BD AD =⋅=，，求CB 的长；(3)若28CE AB ==，，求DE 的长．。
浙江省宁波市第七中学2019届九年级上学期第一次月考数学试题(解析版)
浙江省宁波市第七中学2019届九年级上学期第一次月考数学试题一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.抛物线y=x2-2x+1的对称轴是（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线2.从一盒写有“水果月饼2枚，巧克力月饼2枚，海苔月饼2枚，蛋黄月饼2枚”的礼饼盒里随机取出一枚，正好是巧克力月饼的概率是（）A. B. C. D.3.下列函数的图象，一定经过原点的是（）A. B. C. D.4.已知x=0是一元二次方程（m-2）x2+m2=4的根，则m的值为（）A. 2B.C.D.5.对于反比例函数y=，下列结论不正确的是（）A. 图象经过第一，三象限B. 图象经过点C. 当时，D. 函数值y随x的增大而减小6.已知在四边形ABCD中，∠ABC=90°，再补充一个条件使得ABCD为矩形，这个条件可以是（）A. B.C. AC与BD互相平分D.7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.8.如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A. 4B. 3C. 2D. 19.函数y=ax2+a与（a≠0），在同一坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.10.如图，在直角坐标系中，直线y=6-x与函数（x＞0）的图象相交于点A、B，设A点的坐标为（x1，y1），那么长为x1，宽为y1的矩形面积和周长分别是（）A. 4，12B. 4，6C. 8，12D. 8，611.如图，平行四边形ABCD的面积为25，E，F，G为对角线AC的四等分点，连接BE并延长交AD于H，连接HF并延长交BC于点M，则△BHM的面积为（）A. B. C. D. 512.已知抛物线y=2x2+bx+c与直线y=-2只有一个公共点，且过点A（m-1，n），B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，则四边形AMNB的周长为（）A. 18B. 20C. 21D. 22二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.已知4a=3b，则=______．14.把抛物线y=3x2-1向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为______．15.已知数a=2，b=5，c是a，b的比例中项，则c的值为______．16.已知点（-4，y1），（-2，y2），（1，y3）在函数y=2x2+8x+m的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（用“＜”连接）______．17.如图，在△ABC中，AC=8，AB=6，点D与点A在直线BC同侧，且∠ACD=∠ABC，CD=3，E是线段BC延长线上的动点，当△DCE与△ABC相似时，则线段CE的长为______．18.如图，点A，B分别在反比例函数y=（k1＜0）与y=（k2＞0）的图象上，线段AB的中点M在y轴上，若△AOB的面积为5，则k2-k1的值为______．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19.解方程：3x2-x-1=0．20.已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）（1）求二次函数解析式；（2）若点E（1，m）在此函数图象上，求m的值．21.学习组织外出参观活动，安排给九年级三辆车，小秋和小凯都可以从这三辆车中任选一辆搭乘．（1）用列表或画树状图法表示所有可能出现的结果．（2）求小秋和小凯同车的概率P．22.如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于M、N两点．（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围．23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-4x+m与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴负半轴交于点C，已知线段AB长为6．（1）求抛物线解析式以及点C坐标．（2）抛物线顶点为D，求四边形ACDB的面积．（3）在抛物线的对称轴上求一点Q，使得QA+QC的值最小，请直接写出点Q的坐标为______．24.已知：在▱ABCD中，过点D作DE BC，垂足为E，连结AE，F为线段AE上一点，且∠DFE=∠C．（1）求证：△ADF∽△EAB；（2）若AB=10，AD=8，DF=5，求DE长．25.在美化校园活动中，某课外兴趣小组准备围建一个小花圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长18米（如图所示），设花圃垂直于墙的一边长为x米．（1）求出花圃面积S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围．（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个花圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，请求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．（3）在（2）的条件下，当花圃的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．26.若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个直角三角形，且这两个直角三角形相似，我们把这条对角线叫做四边形的美好线，这个四边形叫做美好四边形．（1）请举出一个你熟悉的美好四边形．______（2）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，连结BD，BD BC．求证：BD是四边形ABCD的美好线．（3）如图2，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（2，4）．①若点P是x轴正半轴上的动点，且四边形OABP是美好四边形，求点P坐标．②若点Q是反比例函数y=（x＞0，k为常数且k＞0）图象上一点，且四边形OABQ是美好四边形，求k的值．（直接写出答案）答案和解析1.【答案】A【解析】解：抛物线y=x2-2x+1的对称轴为x=-=1，故选：A．由对称轴公式x=-可得对称轴方程．考查二次函数的性质，熟练运用对称轴公式．也可以运用配方法写成顶点式求对称轴．2.【答案】B【解析】解：由题意可得，正好是巧克力月饼的概率是：=，故选：B．根据题意和题目中的数据可以求得正好是巧克力月饼的概率．本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．3.【答案】B【解析】解：A、x≠0，所以不经过原点，故错误；B、若x=0，则y=5×0-3×0=0．所以经过原点．故正确；C、若x=0，则y=-1．所以不经过原点．故错误；D、若x=0，则y=7．所以不经过原点．故错误．故选：B．函数的图象经过原点就是x=0时，y=0．主要考查函数图象上点的坐标特征．4.【答案】B【解析】解：把x=0代入方程（m-2）x2+m2=4得到m2-4=0，解得：m=±2，∵m-2≠0∴m=-2，故选：B．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．本题考查的是一元二次方程解的定义．掌握能使方程成立的未知数的值，就是方程的解是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：A、k=6＞0，图象经过第一，三象限，此选项错误；B、把x=2代入解析式，可得y=3，所以图象经过点（2，3），此选项错误；C、当x＞1时，0＜y＜6，此选项错误；D、当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，此选项正确；故选：D．根据反比例函数的性质和相应的取值得到正确选项即可．本题考查了反比例函数图象的性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．6.【答案】C【解析】解：∵有一个直角的平行四边形是矩形，∴只要四边形ABCD是平行四边形，即可判定四边形ABCD是矩形，∴添加AC与BD互相平分故选：C．由矩形的判定可求解．本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是本题的关键．7.【答案】D【解析】解：（A）由图象可知：a＜0，c＞0，由对称轴可知：＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故A错误；（B）由对称轴可知：=，∴b+a=0，故B错误；（C）由于x=-1，y＞0，c=2，∴a-b+c=a-b+c＞0，∵a=-b，∴-2b+2＞0，∴0＜b＜1，∴b+c＞0，故C错误；（D）当x=-1时，y＞0，∴a-b+c＞0，故D正确；故选：D．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．8.【答案】D【解析】解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE（AAS），∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．故选：D．连接DE并延长交AB于H，由已知条件可判定△DCE≌△HAE，利用全等三角形的性质可得DE=HE，进而得到EF是三角形DHB的中位线，利用中位线性质定理即可求出EF的长．本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线的判定和性质，解题的关键是连接DE和AB相交构造全等三角形，题目设计新颖．9.【答案】D【解析】解：当a＞0时，二次函数y=ax2+a的图象开口向上，且对称轴为x=0，顶点坐标为（0，a），故A、C都可排除；当a＜0时，二次函数y=ax2+a的图象开口向下，且对称轴为x=0，顶点坐标为（0，a），故排除A，C，函数的图象在二、四象限，排除B，则D正确．故选：D．应分a＞0和a＜0两种情况分别讨论，逐一排除．主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质，同学们应该熟记且灵活掌握．10.【答案】A【解析】解：∵两函数图象的交点在第一象限，∴x＞0，y＞0，∴，∴=6-x，∴x2-6x+4=0，解得x=3±，∵A在B的左边，∴x=3-，y=3+，即A（3-，3+），∴矩形的面积=（3-）（3+）=4；矩形的周长=2（3-）+2（3+）=12．故选：A．先根据两函数图象的交点在第一象限可知x＞0，y＞0，再根据两函数有交点可列出关于x、y的方程组，求出x，y的值，再根据矩形的面积及周长公式进行解答即可．本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出关于x、y的方程组是解答此题的关键．11.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴△AHE∽△CBE，△AHF∽△CMF，∴，，∵E，F，G为对角线AC的四等分点，∴，=1，∴BM=2CM，∴BM=BC，∵▱ABCD的面积为25，∴S△ABC=，∴，∴S△BHM=．故选：A．先根据平行线四边形的性质得AD∥BC，再根据三角形相似的判定得到△AHE∽△CBE，△AHF∽△CMF，利用相似比和E，F，G为对角线AC的四等分点，得到，=1，则BM=2CM，所以BM=BC，再由▱ABCD的面积为20得到S△ABC=10，然后根据三角形的面积公式得到，然后利用比例性质进行计算．本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．也考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质．12.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=2x2+bx+c与直线y=-2只有一个公共点，∴抛物线顶点的纵坐标是-2，∴=-2，即8c+16=b2，又∵过点A（m-1，n），B（m+3，n），∴抛物线对称抽为x=2，∴b=-8，∴c=6，∴抛物线解析式为y=2x2-8x+6，将点A与B代入抛物线解析式有：，解得，∴A（0，6），B（4，6），又∵过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，∴四边形AMNB为长方形，∴四边形AMNB的周长为2（4+6）=20．故选：B．由抛物线与直线y=-2只有一个公共点，A（m-1，n），B（m+3，n）两点坐标特点，确定抛物线顶点（2，-2），进而求出函数解析式，A，B两点坐标，即可求解．本题考查二次函数的对称性，待定系数法求二次函数解析式，矩形周长．能够根据条件确定函数的顶点是解题的关键．13.【答案】【解析】解：∵4a=3b，=；故答案为：．根据比例的性质直接求解即可．本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，是一道基础题．14.【答案】y=3x2+1【解析】解：把抛物线y=3x2-1向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为：y=3x2+1．故答案为：y=3x2+1．直接利用二次函数图象的平移规律进而得出答案．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．15.【答案】【解析】解：∵线c是a，b的比例中项，∴c2=ab=2×5，∴c=．故答案为：根据比例中项的定义得到c2=ab，然后利用平方根的定义求c的值．本题考查了比例线段，熟记比例中项的定义是解题的关键．16.【答案】y2＜y1＜y3【解析】解：函数y=2x2+8x+m，∵x=-=-2，抛物线开口向上，∴y2最小，又∵-2-（-4）＜1-（-3），∴y1＜y3故答案是：y2＜y1＜y3．求出二次函数的对称轴后，再比较大小．本题考查了二次函数增减性的知识点，确定二次函数对称轴是解决本题的关键．17.【答案】或4【解析】解：∵∠ACD=∠ABC，∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠A+∠ABC，∴∠A=∠DCE，∵△ABC和△DCE相似，∴或=，即=或，解得，CE=或CE=4，故答案为：或4．先根据三角形外角关系求出∠A=∠DCE，再根据题目中的条件和三角形的相似，得出对应边成比例，可以求得CE的长；注意两种情况．本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是利用三角形的相似得出两个比例式解答．18.【答案】10【解析】解：作AC y轴于C，BD y轴于D，如图，∵M点为AB的中点，∴AM=BM，在△ACM和△BDM中，∴△ACM≌△BDM（AAS），∴S△ACM=S△BDM，∴S△AOB=S△AMO+S△BMO=S△AOC+S△BOD=×|k1|+|k2|=5，∵k1＜0，k2＞0，∴k2-k1=10．故答案为10．作AC y轴于C，BD y轴于D，如图，先证明△ACM≌△BDM得到S△ACM=S△BDM，利用等量代换和k的几何意义得到=S△AOC+S△BOD=×|k1|+|k2|=5，然后利用k1＜0，k2＞0可得到k2-k1的值．本题考查了比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了反比例函数的性质．19.【答案】解：3x2-x-1=0，∵a=3，b=-1，c=-1∴△=b2-4ac=13，则x=，解得x1=，x2=．【解析】利用求根公式x=进行解答即可．本题考查了公式法解一元二次方程．熟记求根公式即可解答该题．20.【答案】解：（1）设y=a（x+1）（x-3），把（0，3）代入得3=-3a，∴a=-1，∴该二次函数的解析式是y=-x2+2x+3；（2）把x=1，y=m代入y=-x2+2x+3，可得：m=-1+2+3=4，即m=4．【解析】（1）运用待定系数法求这个二次函数的解析式；（2）把x=1代入解析式解答即可．考查了利用待定系数法求二次函数的解析式；关键是运用待定系数法求这个二次函数的解析式．21.【答案】解：（1）设三辆车为A车、B车、C长，；（2）由（1）中的树状图可得，小秋和小凯同车的概率P=．【解析】（1）根据题意可以画出相应的树状图；（2）根据（1）中的树状图可以求得相应的概率．本题考查列表法和树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．22.【答案】解：（1）∵点N（4，1）在反比例函数y=上，∴k=4×1=4，∴反比例函数的解析式为：y=；把M（1，m）代入y=中，得m=4，∴M（1，4），把M、N点的坐标代入y=ax+b中，得解得，，∴一次函数的解析式为：y=-x+5；（2）由函数图象可知，反比例函数图象在一次函数图象下方时，x＜0或1＜x＜4．故反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是x＜0或1＜x＜4．【解析】（1）将点N代入反比例函数解析式，求得k，再把M点坐标代入反比例函数解析式，求得m，同时把M、N点坐标代入一次函数解析式求得一次函数；（2）由图直接观察两函数图象的位置关系进行解答．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键．本题应注意，当反比例函数图象在第三象限，一次孙女的图象在第二象限时，反比例函数值也小一次函数值，这一解集易漏掉．23.【答案】（2，-3）【解析】解：（1）令y=0，x 2-4x+m=0，解得：x 1=2-，x 2=2+，∴点A （2-，0），点B （2+，0），∵AB=6，∴2+-（2-）=6，解得：m=-5，∴抛物线的解析式为：y=x 2-4x-5，令x=0，y=-5，∴点C （0，-5）；（2）根据抛物线的顶点公式可得：==2，==-9，∴顶点D （2，-9），∴S 四边形ACDB =S △AOC +S 梯形OCDE +S △BDE=×1×5+×（5+9）×2+×3×9 =2.5+14+13.5=30；（3）点Q （2，-3），连接BC 与DE 交于点Q ，此时QA+QC 的值最小．由（1）可知，点B （5，0），点C （0，-5），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，∴，解得：，∴直线BC 的解析式为：y=x-5，当x=2时，y=2-5=-3，∴点Q （2，-3），故答案为：（2，-3）．（1）令y=0，求出抛物线与x 轴的交点坐标，利用AB 的长度，即可求得m 的值，进而可得抛物线的解析式，令x=0时，即可求得抛物线与y 轴的交点坐标； （2）利用顶点坐标公式，求出顶点坐标，利用S 四边形ACDB =S △AOC +S 梯形OCDE +S △BDE 直接计算即可；（3）连接BC 与DE 交于点Q ，即可得QA+QC 的值最小．本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标、二次函数的性质、待定系数法、最短距离的综合应用，解决此题时，能用含m的式子表示出点A、B的坐标是关键．24.【答案】证明：（1）∵在▱ABCD中，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵在▱ABCD中，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠DFE=∠C，∠AFD+∠DFE=180°，∴∠B=∠AFD，∴△ADF∽△EAB；（2）∵△ADF∽△EAB，∴，∴，解得：AE=16，在Rt△ADE中，由勾股定理可得：DE=．【解析】（1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定解答即可；（2）根据相似三角形的性质和勾股定理解答即可．此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定解答．25.【答案】解：（1）S=（30-2x）x=-2x2+30x，∴6≤x＜15；（2），∴6≤x≤11，S=-2x2+30x，∵a=-2＜0，∴苗圃园的面积y有最大值，∴当x=时，即平行于墙的一边长15＞8米，y最大=112.5平方米；∵6≤x≤11，∴当x=11时，y最小=88平方米；（3）由题意得：-2x2+30x≥100，∵30-2x≤18，解得：6≤x≤10．【解析】（1）由篱笆长30米即可得出y关于x的函数关系式，再根据x＞0、S＞0、S≤18即可求出自变量的取值范围；（2）根据题意得到二次函数解析式S=x（30-2x）=-2x2+30x，根据二次函数的性质求解即可；（3）由题意得不等式，即可得到结论．本题考查了一元二次方程的应用、矩形的面积以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据篱笆长度找出y关于x的函数关系式；（2）利用矩形的面积公式，找出关于x的一元二次方程．26.【答案】矩形（或正方形）【解析】解：（1）由美好四边形的定义可知：矩形（或正方形）是美好四边形．故答案为：矩形（或正方形）．（2）证明：∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC．又∵BD BC，∴∠DBC=90°，∴∠BAD=∠DBC，∴△ABD∽△BDC，∴BD是四边形ABCD的美好线．（3）①在Rt△AOB中，AB=2，OA=4，∴OB=2．∵四边形OABP是美好四边形，∠OBA=∠BOP，∴△OAB∽△BPO或△OAB∽△PBO．当△OAB∽△BPO时，BP x轴，∵点B的坐标为（2，4），∴点P的坐标为（2，0）；当△OAB∽△PBO时，=，即=，∴OP=10，∴点P的坐标为（10，0）．②分两种情况考虑（如图3）：（i）作∠MOB=∠AOB，过点B作BQ1OM于点Q1，过点B作BQ2OB，交OM 于点Q2，连接AQ1交OB于点E，过点E作EF y轴于点F．易证：△OAB≌△OQ1B，△OAE∽△OBA，△OFE∽△OAB．利用面积法可求出：AE=，∴OE=2AE=，BE=OB-OE=，∴=，∴OF=OA=，EF=AB=，∴点E的坐标为（，），∴点Q1的坐标为（，），∴当反比例函数y=（x＞0，k为常数且k＞0）过点Q1时，k=×=；过点Q1作Q1R x轴于点R，过点Q2作Q2S x轴于点S，同理，可得出：==，∴点Q2的坐标为（4，3），∴当反比例函数y=（x＞0，k为常数且k＞0）过点Q2时，k=4×3=12；（ii）过点A作AN∥OB，过点B作BQ3AB，交AN于点Q3，过点B作BQ4AN 于点Q4，过点Q4作Q4T AB于点T，则四边形OAQ3B为平行四边形，△ABQ4∽△BOA，∴点Q3的坐标为（2，8），∴当反比例函数y=（x＞0，k为常数且k＞0）过点Q4时，k=2×8=16；由（i）可知：AT=AB=，Q4T=2AT=，∴点Q4的坐标为（，），∴当反比例函数y=（x＞0，k为常数且k＞0）过点Q4时，k=×=．综上所述：k的值为，12，16或．（1）利用美好四边形的定义找出我们常用的矩形（或正方形）是美好四边形；（2）由AB∥CD可得出∠ABD=∠BDC，结合∠DBC=90°=∠BAD可得出△ABD∽△BDC，进而可证出BD是四边形ABCD的美好线；（3）①在Rt△AOB中，利用勾股定理可求出OB的长度，由美好四边形的定义结合∠OBA=∠BOP，可得出△OAB∽△BPO或△OAB∽△PBO．当△OAB∽△BPO时，BP x轴，结合点B的坐标可得出点P的坐标；当△OAB∽△PBO时利用相似三角形的性质可求出OP的长度，进而可得出点P 的坐标；②依照美好四边形的定义画出图形，利用数形结合、相似三角形的性质以及面积法，可分别求出点Q1，Q2，Q3，Q4的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值．本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）读懂题意，找出矩形（或正方形）是美好四边形；（2）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△ABD∽△BDC；（3）①分△OAB∽△BPO和△OAB∽△PBO两种情况求出点P的坐标；②利用数形结合、相似三角形的性质以及面积法，求出点Q1，Q2，Q3，Q4的坐标．第21页，共21页。
精品解析：浙江省宁波市镇海区镇海蛟川书院九年级上学期期中数学试题(原卷版)
（2）点E是 上一点， ，延长 交 于F， ．
①求 的长．
②若 ，求 的半径．
，相似比为__________．
20.如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离 为 ，看台所在斜坡 的坡比 ，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上．
（1）求 的长．
（2）求旗杆 高度．（结果保留根号）
21.如图，有一座拱桥是圆弧形，它 跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
（1）当 时，求 的值．
（2）以点P为圆心，以 为半径画圆，当 与菱形 的一边所在直线相切，且切点不在菱形的边上时，求出t的值．
23.定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”．
（1）如图1，在 的正方形网格中，有一个网格 和两个网格四边形 与四边形 ，其中是被 分割成的“友爱四边形”的是______．
（1）求 所在圆的半径r的长；
（2）当洪水上升到跨度只有30米时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？并说明理由．
22.如图，在边长为5的菱形 中， ，O为坐标原点，A点在x轴的正半轴上，B，C两点都在第一象限．点P以每秒1个单位的速度沿 运动一周，设运动时间为t（秒）．请解答下列问题：
4.如图，PA，PB分别切 于点A，B， ，CD切 于点E，交PA，PB于点C，D两点，则 的周长是
A.12B.18C.24D.30
5.下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对 圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（）
2018-2019学年九年级上第3章圆的基本性质综合测评卷(含答案)
第3章综合测评卷一、选择题(每题3分，共30分)1.在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ，D 是AB 边的中点，以点C 为圆心、2.4cm 为半径作圆，则点D 与⊙C 的位置关系是(B ).A.点D 在⊙C 上B.点D 在⊙C 外C.点D 在⊙C 内D.不能确定2.如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=50°，则∠BOC 的度数为(D ).A.40°B.50°C.80°D.100°(第2题) （第3题）（第4题）（第5题）3.如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 经过圆心，∠B=3∠BAC，则∠ADC 等于(B ).A.100°B.112.5°C.120°D.135°4.运用图形变化的方法研究下列问题：如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8，则图中阴影部分的面积是(A ).A. 225π B.10π C.24+4π D.24+5π 5.如图所示，在⊙O 中，半径OC 垂直弦AB ，垂足为点D ，且AB=8，OC=5，则CD 的长是(C ).A.3B.2.5C.2D.16.观察下列图片及相应推理，其中正确的是(B ).A. B.C. D.7.如图所示，四边形OABC 是菱形，点B ，C 在以点O 为圆心的上，且∠1=∠2，若扇形EOF 的面积为3π，则菱形OABC 的边长为(C ).A. 23 B.2 C.3 D.4 (第7题)(第8题)(第9题)8.如图所示，正六边形硬纸片ABCDEF 在桌面上由图1的起始位置沿直线不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm ，则正六边形的中心O 运动的路程为(D ).A.πcmB.2πcmC.3πcmD.4πcm9.如图所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 是的中点.P是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为(A ).A. 2B.1C.2D.2210.如图1所示为一张圆形纸片，小芳对其进行了如下连续操作：将纸片左右对折，折痕为AB ，如图2所示；将纸片上下折叠，使A ，B 两点重合，折痕CD 与AB 相交于点M ，如图3所示；将纸片沿EF 折叠，使B ，M 两点重合，折痕EF 与AB 相交于点N ，如图4所示； 连结AE ，AF ，如图5所示．经过以上操作，小芳得到了以下结论：①CD∥EF；②四边形MEBF 是菱形；③△AEF 是等边三角形；④S △AEF ∶S 圆32∶4π.以上结论正确的有(D ).A.1个B.2个C.3个D.4个(第10题)二、填空题(每题4分，共24分)11.一条弦分圆周为5∶7，这条弦所对的圆周角为 75°或105° ．12.如图所示，正五边形ABCDE 内接于⊙O，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且BP=CQ ，则∠POQ= 72° .（第12题） (第13题)(第15题)13.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为 8 mm ．14.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A(13，0)，直线y=kx －3k+4与⊙O 交于B ，C 两点，则弦BC 的长的最小值为 24 ．15.如图所示，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，C 是上的一个动点(不与点A ，B 重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D ，E.若DE=1，则扇形AOB 的面积为 2 ． 16.正方形和圆都是人们比较喜欢的图形，给人以美的感受.某校数学兴趣小组在学习中发现：(第16题)(1)如图1所示，研究在以AB 为直径的半圆中，裁剪出面积最大的正方形CDEF 时惊喜地发现，点C 和点F 其实分别是线段AF 和BC 的黄金分割点.如果设圆的半径为r ，此时正方形的边长a 1= 552r ．(2)如图2所示，如果在半径为r 的半圆中裁剪出两个同样大小且分别面积最大的正方形的边长a 2= 22r .如图3所示，并列n 个正方形时的边长an= 2r n 241+ ． (3)如图4所示，当n=9时，我们还可以在第一层的上面再裁剪出同样大小的正方形，也可以再在第二层的上面再裁剪出第三层同样大小的正方形，则最多可以裁剪到第 5 层.三、解答题(共66分)17.（6分）如图所示，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22 时，求阴影部分的面积. （第17题） （第17题答图）【答案】如答图所示，连结OC.∵在扇形AOB 中，∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是的中点，∴∠COD=45°.∴OD＝CD ＝22.∴OC=()()222222+=4.∴S 阴影=S 扇形BOC -S △ODC =36045×π×42-21×(22)2=2π-4. (第18题)18.(8分)如图所示，在平面直角坐标系中，直线l 经过原点O ，且与x 轴正半轴的夹角为30°，点M 在x 轴上，⊙M 半径为2，⊙M 与直线l 相交于A ，B 两点，若△ABM 为等腰直角三角形，求点M 的坐标．【答案】（第18题答图）如答图所示，过点M 作MC⊥l 于点C.∵△MAB 是等腰直角三角形，∴MA＝MB.∴∠BAM＝∠ABM＝45°.∵MC⊥直线l ，∴∠BAM＝∠CMA＝45°.∴AC＝CM.在Rt△ACM 中，∵AC 2＋CM 2＝AM 2，∴2CM 2＝4，即CM ＝2.在Rt△OCM 中，∠COM＝30°，∴OM＝2CM ＝22.∴M(22，0). 根据对称性，在负半轴的点M(－22，0)也满足条件.∴点M 的坐标为(22，0)或(-22，0).19.(8分)赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.若桥跨度AB 约为40m ，主拱高CD 约10m.(1)如图1所示，请通过尺规作图找到桥弧所在圆的圆心O(保留作图痕迹).(2)如图2所示，求桥弧AB 所在圆的半径R.图1图2（第19题） 图1图2（第19题答图）【答案】(1)如答图1所示.(2)如答图2所示，连结OA.由(1)中的作图可知：△AOD 为直角三角形，D 是AB 的中点.∴AD=21 AB=20（m ）.∵CD=10m，∴OD=(R -10)m.在Rt△AOD 中，由勾股定理得OA 2=AD 2+OD 2，即R 2=202+(R-10)2，解得R=25.∴桥弧AB 所在圆的半径R 为25m. (第20题)20.(10分)如图所示，△ABC 是⊙O 的内接三角形，C 是上一点(不与点A ，B 重合)，设∠OAB=α，∠C=β．(1)当α=35°时，求β的度数．(2)猜想α与β之间的关系，并给予证明．【答案】 （第20题答图）(1)如答图所示，连结OB ，则OA=OB ，∴∠OBA=∠OAB=35°.∴∠AOB=110°.∴β=21∠AOB=55°. (2)α+β=90°.证明：∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=α.∴∠AOB=180°-2α. ∴β=21∠AOB=90°-α.∴α+β=90°. 21.（10分）如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为上任意一点，连结DE ，AE. (1)求∠AED 的度数.(2)如图2所示，过点B 作BF∥DE 交⊙O 于点F ，连结AF ，AF=1，AE=4，求DE 的长.图1图2（第21题） 图1图2（第21题答图）【答案】(1)如答图1所示，连结OA ，OD.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOD=90°.∴∠AED=21 ∠AOD=45°.(2)如答图2所示，连结CF ，CE ，CA ，BD ，过点D 作DH⊥AE 于点H.∵BF∥DE，∴∠FBD＝∠EDB. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB∥CD.∴∠ABD＝∠CDB.∴∠ABF＝∠CDE.∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°.∵CD=AB ，∴△CDE ≌△ABF.∴CE=AF=1.∴AC=22CE AE =17.∴AD=22AC= 234.∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°.∴DH=HE.设DH=EH=x.在Rt△ADH 中，∵AD 2=AH 2+DH 2，∴（234）2=(4-x)2+x 2，解得x=23或25.∴DE=2DH=223或225. 22.(12分)已知⊙O 中，AB=AC ，P 是∠BAC 所对弧上一动点，连结PB ，PA ．(1)如图1所示，把△ABP 绕点A 逆时针旋转到△ACQ ，求证：P ，C ，Q 三点在同一条直线上．(2)如图2所示，连结PC ，若∠BAC=60°，试探究PA ，PB ，PC 之间的关系，并说明理由．(3)若∠BAC=120°，(2)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．(第22题) 图1图2（第22题答图）【答案】(1)如答图1所示，连结PC.∵把△ABP 绕点A 逆时针旋转到△ACQ，∴∠ABP=∠ACQ. ∵四边形ABPC 为⊙O 的内接四边形，∴∠ABP+∠ACP=180°.∴∠ACQ+∠ACP=180°.∴P，C ，Q 三点在同一条直线上.(2)PA=PB+PC.理由如下：如答图2所示，把△ABP 绕点A 逆时针旋转到△ACQ.∴P，C ，Q 三点在同一条直线上，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ ，PB=CQ.∵∠BAC=60°，即∠BAP+∠PAC=60°，∴∠PAC+∠CAQ=60°，即∠PAQ=60°.∴△APQ 为等边三角形.∴PQ=PA.∴PA=PC+CQ=PC+PB.(3)(2)中的结论不成立.3PA=PB+PC.23.(12分)某班学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求：杯口直径AB=6cm ，杯底直径CD=4cm ，杯壁母线AC=BD=6cm.请你和他们一起解决下列问题：(1)小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图(如图2所示，忽略拼接部分)，得到图形是圆环的一部分．①图2中的长为 6πcm ，的长为 4πcm ，ME=NF= 6cm .②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定MN 所在圆的圆心O ，如图3所示.小顾同学发现之间存在以下关系：，请你帮她证明这一结论.③根据②中的结论，求所在圆的半径r 及它所对的圆心角的度数n°．(2)小顾同学计划利用矩形、正方形纸各一张，分别按如图4、图5所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求矩形纸片的长和宽以及正方形纸片的边长．(第23题)【答案】(1)6πcm 4πcm 6cm②设MN 所在圆的半径为r ，所对的圆心角度数为n°，则， ∴.③∵，解得r=12.∵=180r n π，∴180r n π=4π， 解得n=60.∴所在圆的半径r 为12cm ，它所对的圆心角的度数为60°.(2)如答图所示，连结EF ，延长EM ，FN 交于点O ，（第23题答图）设RS 与交于点P ，OP 交ZX 于点Q.∵∠MON=60°，∴△MON 和△EOF 是等边三角形，∴EF=12+6=18，∵OQ⊥MN，MQ=QN ，∴∠QON=30°.∴OQ=63.∴长方形的宽为(18-63)cm. 设正方形边长为x （cm ）.∵EF=18，∴BE=BF=92.在Rt△AOE 中，AO 2+AE 2=OE 2，即x 2+(x-92)2=182，解得x=29 (2±6)，∴正方形边长为29 (2+6)cm.。
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高三(上)期中数学试卷
2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，则A∩B=（）A. {x|1＜x≤2}B. {x|0≤x≤1}C. {x|1≤x≤2}D. {x|0≤x≤2}2.已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（）A. -2iB. 2iC. -2D. 23.已知双曲线C：=1（b＞0）的离心率为，则焦点到渐近线的距离为（）A. 2B. 2C. 4D. 84.若x、y满足约束条件，则z=x+y的最大值是（）A. -5B. 1C. 2D. 45.已知x，y都是实数，则“x≤y“是“|x|≤|y|”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数f（x）=e x•ln|x|的大致图象为（）A. B.C. D.7.若cosα=2（1+sinα），α≠2k，k∈Z，则tanα=（）A. B. C. D.8.若正实数x，y满足ln（x+2y）=ln x+ln y，则2x+y取最小值时，x=（）A. 5B. 3C. 2D. 19.若方程x3-2ax2+（a2+2）x=4a-有四个不相等的正根，则实数a的取值范围是（）A. a＞3B. a＞2C. 2＜a＜3D. -3＜a＜310.设I是含数π的有限实数集，f（x）是定义在I上的函数，若f（x）的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（π）的取值不可能是（）A. πB. πC. πD. π二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.log39=______；若a=log43，则2a=______．12.已知随机变量ξ的分布列如表，若当Eξ=时，则a=______，D（ξ）=______．ξ012P a b13.我国古代数学著作《算法统宗》第八卷“商功”第五章撰述：“刍荛（chúráo）：倍下长，加上长，以广乘之，又以高乘，用六归之．如屋脊：上斜下平．”刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也．即将方台的两边切下来合在一起就是“刍甍”，是一种五面体（如图）：矩形ABCD，棱EF∥AB，AB=4，EF=2，△ADE 和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为______，体积为______．14.已知F1，F2分别为椭圆C：+y2=1（a＞1）的左、右焦点，点F2关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则长轴长为______；若P是椭圆上的一点，且|PF1|•|PF2|=，则S=______．15.将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则使a×b×c+d×e×f是偶数的排列有______种．（用数字作答）16.设平面向量，满足1≤||≤2，2≤||≤3，则||+|-|的取值范围是______．17.设数列{a n}满足a n+1=2（|a n|-1），n∈N*，若存在常数M＞0，使得对于任意的n∈N*，恒有|a n|≤M，则a1的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数的部分图象如图所示：（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角α满足，角β满足，求sinβ的值．19.如图，△ABC为正三角形，且BC=CD=2，CD⊥BC，将△ABC沿BC翻折．（I）若点A的射影在BD上，求AD的长；（Ⅱ）若点A的射影在△BCD内，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，求AD的长．20.设各项为正项的数列{a n}，其前n项和为T n，a1=2，a n a n+1=6T n-2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2n，求数列{|a n-b n|}的前n项和S n．21.已知抛物线C：y2=4x上动点P（x1，y1），点A在射线1：x-2y+8=0（y≥0）上，满足PA的中点Q在抛物线C上．（I）若直线PA的斜率为1，求点P的坐标；（Ⅱ）若射线1上存在不同于A的另一点B，使得PB的中点也在抛物线C上，求|AB|的最大值．22 已知函数f（x）=x-ln x-a有两个不同的零点x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：x1+x2＞a+1．2018-2019学年浙江省9+1高中联盟高三（上）期中数学试卷答案和解析【答案】1. C2. A3. B4. D5. D6. A7. C8. B9. A10. B11. 212.13. 8+814. ，15. 64816. [4，2]．17. [-2，2]18. 解：（1）由图象可得A=2，T=+=，即T=π，∴ω==2，∵f（）=2sin（2×+φ）=-2，解得φ=,∵,∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）∵，∴2sinα=，∴sinα=，cosα=，∵，∴cos（α-β）=±，∴sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β），即sinβ=或-．19. 解：（1）过A作AE⊥BD交BD于E，则AE⊥平面BCD．取BC中点O，连接AO，OE，∵AE⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AE⊥BC，△ABC是正三角形，∴BC⊥AO，又AE∩AO=A，AE，AO⊂平面AOE，∴BC⊥平面AOE，∴BC⊥OE．又BC⊥CD，O为BC的中点，∴E为BD的中点．∵BC=CD=2，∴OE=CD=1，AO=，BD=2，∴DE=，AE=．∴AD=；（2）以O为原点，以BC为x轴，以BE为y轴，以平面BCD的过O的垂线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：设二面角D-BC-A为θ，则A（0，cosθ，sinθ），B（-1，0，0），C（1，0，0），D（1，2，0）．∴=（1，cosθ，sinθ），=（0，2，0），=（-1，cosθ，sinθ），设平面ACD的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（sinθ，0，1）．∴|cos＜＞|==，解得sinθ=．∴A（0，，），又D（1，2，0）．∴|AD|=．20. 解：（Ⅰ）各项为正项的数列{a n}，其前n项和为T n，a1=2，a n a n+1=6T n-2，可得a1a2=6T1-2=2a2=12-2=10，解得a2=5，由n≥2时，a n a n+1=6T n-2，可得a n-1a n=6T n-1-2，两式相减可得a n（a n+1-a n-1）=6a n，a n＞0，可得a n+1-a n-1=6，可得数列的奇数项和偶数项均为公差为6的等差数列，可得正项的数列{a n}为2，5，8，11，14，17，…，即有正项的数列{a n}的通项公式为a n=2+3（n-1）=3n-1；（Ⅱ）|a n-b n|=|3n-1-2n|，当1≤n≤3时，前n项和S n=（2+…+3n-1）-（2+…+2n）=n（3n+1）-=n（3n+1）-2n+1+2；当n≥4时，前n项和S n=1+（16+…+2n）-（11+…+3n-1）=1-（n-3）（3n+10）+=2n+1-n（3n+1）．综上可得前n项和S n=．21. 解：（Ⅰ）设直线PA的方程为y=x+b，则A（8-2b，8-b），设Q（x2，y2），由，得y2-4y+4b=0，由△=16-16b＞0，得b＜1，y1+y2=4，y1y2=4b，又y1+8-b=2y2，解得或，经检验都是方程的解，∴P（0，0）或（16，-8）；（Ⅱ）设A（2t1-8，t1），B（2t2-8，t2），t1，t2≥0，则由PA得中点Q（）在抛物线C上，可得，整理得：，同理：，∴t1，t2是方程的两个不相等非负根，∴，解得-8≤y1＜0，∴|AB|=，当且仅当y1=-8时取“=”．∴|AB|的最大值为．22. 解：（1）∵函数f（x）=x-ln x-a∴f′（x）=1-，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，故当x=1时，函数f（x）=x-ln x-a取最小值1-a，若函数f（x）=x-ln x-a有两个不同的零点x1，x2．则1-a＜0，即a＞1；证明：（2）若函数f（x）=x-ln x-a有两个不同的零点x1，x2．则x1-ln x1=a，且x2-ln x2=a，故x1+x2=2a+ln x1+ln x2=2a+ln（x1•x2），若证x1+x2＞a+1．即证：x1+x2+ln（x1•x2）＞2．即2+ln（x1•x2）≥2．令x1•x2=t，由（1）中a＞1得：t≥1则只需证2+ln t≥2设g（t）=2+ln t，则g′（t）=+=＞0，∴g（t）为增函数，又由g（1）=2故2+ln t≥2，原不等式得证【解析】1. 解：A={x|x-1≥0}={x|x≥1}，则A∩B={x|1≤x≤2}，故选：C．求出集合A的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件结合交集的定义是解决本题的关键．比较基础．2. 解：∵复数z满足zi=1+i，∴z==1-i，∴z2=-2i，故选：A．根据已知，求出z值，进而可得答案．本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，难度不大，属于基础题．3. 【分析】运用离心率公式和渐近线方程可得b，c，结合点到直线的距离公式，进而得到焦点到渐近线的距离．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的运用，属于基础题．【解答】解：双曲线C：=1（b＞0）的离心率为，则e==，即c=×=4，则b=2．设焦点为（4，0），渐近线方程为y=x，则d==2，故选：B．4. 解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大；由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=x+y得z=2+2=4．即目标函数z=x+y的最大值为4．故选：D．画出约束条件表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数的最大值．本题主要考查了线性规划的应用问题，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解题的关键．5. 解：当x=-2，y=0时，满足x≤y，但|x|≤|y|不成立，当x=0，y=-2时，满足|x|≤|y|但x≤y不成立，即“x≤y“是“|x|≤|y|”的既不充分也不必要条件，故选：D．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质和关系是解决本题的关键．6. 解：函数f（x）为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当x→+∞，f（x）→+∞，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键．7. 解：cosα=2（1+sinα），所以：=2（），整理得：=2，由于：α≠2k，k∈Z，解得：，所以：=．故选：C．直接利用三角函数关式的变换和同角三角函数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8. 解：∵ln（x+2y）=ln x+ln y；∴x+2y=xy，且x＞0，y＞0；∴；∴，当且仅当，即x=y=3时取等号．故选：B．根据ln（x+2y）=ln x+ln y及x，y都为正数即可得出，从而得出，根据基本不等式即可得出，并且当x=3时取等号，即得出2x+y取最小值时，x=3．考查对数的运算性质，基本不等式及其应用．9. 解：方程x3-2ax2+（a2+2）x=4a-有四个不相等的正根，可得a2x-a（2x2+4）+（x3+2x+）=0有四个不相等的正根，即有△=（2x2+4）2-4x（x3+2x+）=8x2，解得a==x+±，x＞0，由a=x++有两个不等正根，由y=x++＞2+=3，可得a＞3时，a=x++有两个不等正根；即有a=x+-在a＞3有两个不等正根，综上可得a＞3，故选：A．由题意可得a2x-a（2x2+4）+（x3+2x+）=0有四个不相等的正根，由二次方程的求根公式和基本不等式，即可得到所求范围．本题考查函数方程的转化思想，注意运用主元法和二次方程思想是解题的突破口，考查运算能力，属于难题．10. 【分析】本题函数值的求法，考查学生分析解决问题的能力，考查函数定义等基础知识，考查数形结合思想，是中档题.直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意可得：问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．设f（π）处的点为A1，∵f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，∴旋转后A1的对应点A2也在f（x）的图象上，同理A2的对应点A3也在图象上，以此类推，f（x）对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，当f（π）=时，即A1（π，），此时有A5（π，-），不符合函数的定义，故B错误；故选：B．11. 解：log39=2；若a=log43，则4a=3，∴2a=．故答案为：2，．利用对数、指数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12. 解：根据ξ的分布列得：+a+b=1，…①∵Eξ=，∴0×a+1×b+2×=1，…②由①②联立得a=，b=，∵η=aξ+b∴D（ξ）=（0-）2×+（1-）2×+（2-）2×==．故答案为：；．利用概率的性质和期望构建关于a、b的方程组，求出a、b值，然后利用方差公式求解即可．本题考查了概率的性质、分布列及期望，解决本题要注意利用概率和为1这一条件，还要会利用Eη=aEξ+b．13. 解：由题意知该五面体的表面积为：S=S矩形ABCD+2S△ADE+2S梯形ABFE=2×4+2××2×+2××（2+4）×=8+8；过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连结OQ．∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，∴OP=（AB-EF）=1，PF=，OQ=BC=1，∴OF=，采用分割的方法，分别过F，E作与平面ABCD垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分，如图，包含一个三棱柱EMN-FQH，两个全等的四棱锥：E-AMND，F-QBCH，∴这个几何体的体积：V=V EMN-FQH+2V F-QBCH=S△QFH×MQ+2×S矩形QBCH×FQ=×2××2+2××1×2×=．故答案为：8+8；．由题意知两个三角形全等，两个梯形全等，由此求出五面体的表面；采用分割的方法，分别过F，E作与平面ABCD垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分，包括一个三棱柱和两个四棱锥，其中两个四棱锥的体积相等，三者相加得到几何体的体积．本题考查不规则几何体的体积求法，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想方法和数学转化思想方法，是中档题．14. 求出点F2关于直线y=x的对称点Q，代入椭圆方程求得a，则长轴长可求；利用余弦定理结合椭圆定义求得sin∠F1PF2，代入三角形面积公式得答案．解：由椭圆C：+y2=1（a＞1），知c=．∴F2（，0），点F2关于直线y=x的对称点Q（0，），由题意可得：，即a=，则长轴长为2；∴椭圆方程为．则|PF1|+|PF2|=2a=2，又|PF1|•|PF2|=，∴cos∠F1PF2===．∴sin∠F1PF2=．则S==．故答案为：；．求出点F2关于直线y=x的对称点Q，代入椭圆方程求得a，则长轴长可求；利用余弦定理结合椭圆定义求得sin∠F1PF2，代入三角形面积公式得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题．15. 解：1，2，3，4，5，6随机排成一列，共有A66=720种，abc+def为偶数等价于“a，b，c不全为奇数，且d，e，f不全为奇数“∴共有A66-2A33A33=648，故答案为：648利用间接法，先求出1，2，3，4，5，6随机排成一列，再排除再求a，b，c全为奇数，且d，e，f全为奇数的情况即可本题考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16. 设t=||+|-|，t2=2+2+2+2+2-2+2|||-|=2（2+2）+2|+||-|，当（）⊥（-）时，即||=||=2且=0，t2min=2×（22+22）=16，t min=4，当||=|-|时，2|||-|≤||2+|-|2=2（2+2）∴t2max=4（2+2）=4（22+32）=4×13，t max=2，综上所述，的取值范围是[4，2]．故答案为：[4，2]．根据即可求出的范围，进而得出的取值范围．考查向量数量积的运算和向量模长的计算．17. 【分析】本题考查数列递推式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．由题意，存在常数M＞0，使得对于任意的n∈N*，恒有|a n|≤M，可得-M≤a n≤M，得-M≤a n+1≤M，即可得出结果．【解答】解：由题意，存在常数M＞0，使得对于任意的n∈N*，恒有|a n|≤M，所以-M≤a n≤M，①∴|a n+1|≤M，∴得-M≤a n+1≤M，又a n+1=2（|a n|-1）所以-M≤2（|a n|-1）≤M；即，②由①②，可得：M=2，又|a1|≤M所以a1的取值范围是[-2，2]．故答案为：[-2，2]．18. 本题主要考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，三角函数的化简和计算，属于基本知识的考查．（1）由图象可得A=2，T=+=，即T=π，代值计算求出φ=；（2）先求出sinα=，cosα=，再根据两角差的正弦公式即可求出．19. （1）过A作AE⊥BD交BD于E，则AE⊥平面BCD，证明BC⊥平面AOE得出E为BD的中点，利用勾股定理计算|AD|；（2）以O为原点建立空间坐标系，设二面角D-BC-A为θ，用θ表示出A的坐标，求出和平面ACD的法向量，令|cos＜，＞|=，得出sinθ，从而得出A点坐标，代入两点间的距离公式求出|AD|．本题考查了空间角及空间距离的计算，考查空间向量的应用，属于中档题．20. （Ⅰ）令n=1，求得a2=5，将n换为n-1，两式相减可得数列的奇数项和偶数项均为公差为6的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到所求通项；（Ⅱ）讨论当1≤n≤3时，n≥4时，去绝对值，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和，注意运用分类讨论思想，考查运算能力和推理能力，属于中档题．21. 本题考查直线与抛物线综合，考查数学转化思想方法与整体运算思想方法，考查函数与方程思想的应用，考查计算能力，是难题．（Ⅰ）设直线PA的方程为y=x+b，则A（8-2b，8-b），设Q（x2，y2），联立直线方程与抛物线方程，由判别式大于0求得b的范围，然后结合点A在射线1：x-2y+8=0（y≥0）上及根与系数的关系求解点P的坐标；（Ⅱ）设A（2t1-8，t1），B（2t2-8，t2），t1，t2≥0，由PA得中点Q在抛物线C上，可得，同理，可知t1、t2是方程的两个不相等非负根，然后利用根的分布求得-8≤y1＜0，再把|AB|转化为含有y1的函数式求解．22. （1）函数f（x）=x-ln x-a有两个不同的零点x1，x2．则函数f（x）=x-ln x-a的最小值1-a＜0；（2）令x1•x2=t，由（1）中a＞1得：t≥1，则只需证2+ln t≥2，设g（t）=2+ln t，可得结论．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．。
浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题 (含答案)
2023学年第一学期期中测试初三数学试题卷一、选择题（本大题有10个小题共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中，图象一定经过原点的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知，且，，则的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．80°D ．10°3．如图，在Rt △ABC 中，，AB ＝5，AC ＝3，则等于（ ）A．B ．CD ．4．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）A ．图象的开口向上B ．当时，y 随x 的增大而增大C ．图象的顶点坐标是D ．图象与x 轴有唯一交点5．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A ，镜子O ，树底B 三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA ＝2.4米，OB ＝6米，则树高为（ ）米．A ．4B ．5C ．6D ．7第5题6．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是OB 的中点，过点C 作，交半圆于点D ，则与AD 的长度的比为（）32y x =-1y x=22y x x -+21y x =+111ABC A B C △∽△60A ∠=︒140B ∠=︒1C ∠90C ∠=︒sin B 344535224y x x =-++1x <()1,3CD AB ⊥ BD第6题A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：57．如图，一只松鼠先经过第一道门（A ，B 或C ），再经过第二道门（D 或E ）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A 门，再经过E 门”的概率是（）第7题A．B ．C ．D8．如图，在中，AB 是直径，弦AC ＝5，．则AB 的长为（）第8题A ．5B ．10C ．D ．9．已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，在中，直径AB ＝10，弦BC ＝6，点D 在BC 的延长线上，线段AD 交于点E ，过点E 作12131516O BAC D ∠=∠()22y a x h =-+()11,A x y ()22,B x y 1222x x -<-120y y -≥120y y -<()120a y y ->()120a y y -<O O //EF BC分别交，AB 于点F ，G ．若，则EG ：FG 的值为（ ）第10题A．B ．C ．D二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．抛物线经过点，则______．12．己知a ＝3，b ＝12，则a ，b 的比例中项为_____．13．如图，△ABC 中，，．若△ADE 的面积为3，则△ABC 的面积为_____．第13题14．二次函数的图象过点，则方程的解为_____．15．如图，在△ABC 中，于点D ，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，G 为边BC 上一点，，连结EF ．若，，BC ＝14，则GD 的长为_____．第15题16．如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点Р沿折线BE -ED -DCO 45D ∠=︒72525142y ax =()3,5a =//DE BC 12AD AB =20(2y ax ax c a =-+≠）()3,0220ax ax c -+=AD BC ⊥EGB FDC ∠=∠4tan 5B =tan 2C =运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1m/s ．设P ，Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为．已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则_____﹔当t ＝_____时，．第16题三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）17．（6分）计算：．18．（6分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n 1001502005008001000摸到白球的次数m5896b 295480601摸到白球的频率a0.640.590.590.600.601（1）上表中的a ＝______，b ＝______；（2）“摸到白球”的概率的估计值是______（精确到0.1）；（3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．19．（6分）如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，，AE ＝5，AC ＝9，DE ＝6．（1）求证：．（2）求BC 的长．20．（8分）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC ．如图所示，一架水平飞行的无人机在A 处测得正前方河流的点B 处的俯角，点C 处的俯角，线段AD 的长为无人机距地面的2cm y cos ABE ∠=ABE QBP △∽△2sin 60cos 45tan 60︒+︒-︒m nAED C ∠=∠ABC ADE △∽△FAB α∠=37FAC ∠=︒高度，点D 、B 、C 在同一条水平直线上，，BD ＝5米．（1）求无人机的飞行高度AD ．（2）求河流的宽度BC ．（参考数据：，，）21．（8分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A ，B ，C 均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．（1）在图1中以线段AB 为边画一个△ABD ，使其与△ABC 相似，但不全等．（2）在图2中画一个△EFG ，使其与△ABC 相似，且面积为8．图1图222．（10分）如图，△ABC 内接于，AD 平分交于点D ，过点D 作交AC 的延长线于点E ．（1）求证：：（2）若，的半径为5，求AB 的长；（3）在（2）的条件下，求AD 的长．23．（10分）在平面直角坐标系内，二次函数 （a 为常数）．tan 3α=sin 370.60︒≈cossin 370.80︒≈tan 370.75︒≈O BAC ∠O //DE BC OD DE ⊥60E ∠=︒O ()21y x a a =-+-（1）若函数的图象经过点，求函数的表达式．（2）若的图象与一次函数的图象有两个交点，横坐标分别为，2，请直接写出当时x 的取值范围．（3）已知在函数的图象上，当时，求证：．24．（12分）[基础巩固]（1）如图1，正方形ABCD 和正方形BHGF ，其中D ，G ，F 三点共线，延长BG 交CD 于E ，连结AH ．①求证：；②不难证明：，因此的值为_______；【尝试应用】（2）在（1）的条件下，如图1，若CE ＝1，DE ＝3，求正方形BHGF 的边长；【拓展提高】（3）如图2，正方形ABCD 和正方形BHGF ，P 是AB 中点，连结CP ，F 恰在CP 上，连结DG ，AG ，若，求AG 的最小值．图1 图21y ()1,01y 1y 21y x =+1-12y y >()1,x n 1y 020x a ≥>54n >-EDG EBD △∽△BHA BGD △∽△DGAH4AB =2023学年第一学期期中测试初三数学答案一、选择题（每小题3分，共30分）12345678910CCDBAADCDA二、填空题（每小题4分，共24分）11121314151612，3说明：第16题每空2分三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（6分）计算：．18．（1）上表中的a ＝0.58，b ＝118；（2）“摸到白球”的概率的估计值是0.6（精确到0.1）；（3）（个），答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球．19．（6分）（1）证明：∵，，∴．（2）∵∴，∴，∴．20．（8分）（1）由题意得：，596±13x =21x =-452942sin 60cos 45tan 60︒+︒-︒2=+=150.61510÷-=AED C ∠=∠A A ∠=∠ABC ADE △∽△ABC ADE △∽△BC AC DE AE =965BC =545BC =//AF C∴．．在Rt △ARD 中．，∵，米，∴（米），答：无人机的飞行高度AD 为75米（2）在Rt △ACD 中，，∴（米），∴（米），答：河流的宽度BC 为75米．21．（8分）下图每小题各4分21．（10分）（1）证明：∵BC 为的直径，∴，FAB ABD α∠=∠=37FAC ACD ∠=∠=︒tan ADABD BD∠=tan 3α=25BD =-tan -25375AD BD a ⋅⨯=tan 4ADCD CD∠=7575100tan tan 370.75AD CD ACD ==≈=∠︒1002575BC CD BD =-=-=O 90BAC ∠=︒∵AD 平分，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴；（3）连CD ，作于F易得， ∴∴∴说明：AD 的长也可通过旋转求得（如下图）23．（10分）（1）解：∵函数y 的图象经过点，∴，解得：或1，BAC ∠290BOD BAD ∠=∠=︒//DE BC 90ODE ∠=︒OD DE ⊥//DE BC 60ACB E ∠=∠=︒30B ∠=︒10BC =152AC AB ==AB ==CF AD ⊥145∠=︒230B ∠=∠=︒AF CF AC ===FD ==AD AF FD =+=()1,0()2110a a -+-=0a =∴函数y 1的表达式为或；（2）解：根据题意作出草图如下，由函数图象可知，当时x 的取值范围是：或； （3）证明：∵，∴-∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，∴和时的函数值相同，∴由图象可知当时的函数值小于当时的函数值，即：，∵，∴，∴．24．（12分）（1）①∵，，∴∵∵211y x =-2121y x x =-+12y y >1x <-2x >02x a >002x a +>x a =0x =2x a =0x =0x x -21n a a >+-22151()24a a a +-=+-2514a a +-≥-54n >-12245∠==︒45BDE ∠=︒1BDE ∠=∠33∠=∠EDG EBD△∽△②不难证明：，因此；（2）易得：∵∴∴∴，∴（3）连BG ，延长DG 交AB 于Q ，作于K 易证，则∴为定值点G 是射线DG上的动点，当时，AG 最小．设，则∵∴BHA BGD △∽△DG AHBE =EDGEBD△∽△2·DE EG EB =EG ==BG=BH BG ==QK BD ⊥DGB EFB △∽△1tan 1tan 22∠=∠=3452∠=︒-∠AG DG ⊥QK BK x ==2DK x =3BD BK DK x =+==OK BK x ===∴∴，∴∵∴∴AG 最小值为说明证明或建模、建系均可求得AG的最小值83BQ ==43AQ=DQ =··AQ AD DQ AG=AG=12∠=∠。